Metode optimizacijeMetode optimizacijeVjebe

Dr.sc. eljko Stojki

SadrSadraj vjeaj vjebibi

y Upoznavanje alata Matlaby Vjebe sa praktinim primjerima

teorijskog rjeavanja problema programiranja i primjene softverskih alata.

to je to MATLABto je to MATLAB

Interaktivno razvojno sueljeJezik tehnikog raunarstvaAnaliza podataka i vizualizacijaRazvoj algoritama i distribucija aplikacija

Osnove rada sa programskim Osnove rada sa programskim paketom Matlabpaketom Matlaby Korisniko sueljey Koritenje helpay Operacije sa poljimay Rad sa matricamay Grafiki prikaz podatakay M-datoteke i pisanje funkcija u MATLAB-uy Relacijski i logiki operatori y Kontrolne petlje

Linearno programiranjeLinearno programiranje

y Primjena softvera MATLAB za rjeavanje problema linearnog programiranja

Osnove rada sa programskim Osnove rada sa programskim paketom Matlabpaketom Matlaby Matlab i rjesavanje jednainay Vektori funkcije i crtanje u matlab-uy Netnowa metoda rjesavanja jednacinay Metoda bisection rjesavanja jednacinay Metoda sekante rjesavanja jednacinay Rjesavanje linearnih sustava u matlabuy Nelinearni sustavi

HELP!!!Help help help sqrt

SQRT Square root.SQRT(X) is the square root of the elements of X. Complex results are produced if X is not positive.

See also SQRTM.

Overloaded methodshelp sym/sqrt.m

Izvravanje naredbi

y Izvravanje naredbi : Proitati naredbi (razumjeti je) Izvriti naredbu Ispisati rezultat

y Ukoliko liniju naredbe zavrimo sa ; naredba e se izvriti ali se njen rezultat nee ispisati>>A=5;>>

y Meukoraci iji rezultat nas ne zanimay Tekst iza znaka % zanemaruje se

>>A=5; %ovo je komentar>>% a=10>>

Jednostavni matematikiprorauni

y MATLAB moe posluiti za kao kalkulator>> 4*25+3

ans = 103

>>(2+1)^6ans =729

Osnovne aritmetikeoperacije

potenciranje^

"lijevo" dijeljenje\

"Desno" dijeljenje/

mnoenje*

oduzimanje-

zbrajanje+

Logiki i Relacijski operatoriy Logiki operatori rade s dvije vrijednostiy Logika istina sve osim 0, eksplicitno 1y Logika neistina 0y Logiki operatori u MATLAB-u su simboli:

~ (negacija)| (disjunkcija)&(konjunkcija)

Relacijski operatoriy Rezultat relacijske operacije je logika istina ili

neistinay Relacijski operatori su sljedei simboli:

nije jednako~=jednako==vee ili jednako>=manje ili jednakoManje> a=4 a = 4 >> b=25; >> c=3; >> d=a*b+cd = 103

Pravila imenovanja varijabliy potrebno je razlikovati uporabu

velikih/malih slovay maksimalni broj znakova je 31 y prvi znak mora biti slovo. y specijalne varijable iji su nazivi

rezervirani: ans, pi, eps, flops, inf, nan, i, j, nargin, nargout, realmin, realmax

Osnovne matematikefunkcijey MATLAB podrava osnovne matematike

funkcije npr. abs(x), acos(x), sqrt(x), sin(x),tan(x), asin(x), atan(x), ...

>> x=sqrt(2)/2 x = 0.7071

>> y=asin(x) y = 0.7854

>> y_s=y*180/pi y_s = 45.0000

Komandni prozor MATLABaMATLABov radni prostor

y MATLAB pamti varijable koje smo koristiliy Vrijable koje su u radnom prostoru moemo

vidjeti naredbomx who (ispis varijabli) >> who Your variables are: a b d kmpl2 p_kmpl1 y ans c kmpl1 kmpl3 x x whos (detaljniji ispis varijabli)>>whosName Size Elements Bytes Density Complex a 1 by 1 1 8 Full No ans 1 by 1 1 8 Full No b 1 by 1 1 8 Full No kmpl1 1 by 1 1 16 Full Yes

MATLABov radni prostor

y Ukoliko neku vrijablu elimo izbrisati izradnog prostoray koristimo naredbu clear na nain:

>> clear p_kmpl1 x y ans>> who Your variables are: a c kmpl1 kmpl3 b d kmpl2

yWorkspace Browser otvara se odabirom Show Workspacenaredbe iz File izbornika

Spremanje i ponovnauporaba podatakay Sadraj radnog prostora moemo

spremiti s binarnim formatom u eljenudatoteku ime.mat naredbom>> save imeili iz menija File|Save Workspace as...y Uitavanje eljenog radnog prostora

vrimo naredbom>> load ime

ili iz menija File|Load Workspace...

Diary

y Diary imedatoteke.txt U datoteku imena imedatoteke.txt zapisuje

sve to se dogaa u komandnom prozoru

y DIARY OFF zaustavlja diaryy DIARY ON ukljuuje diaryy DIARY mijenja stanje y Datoteka se obino sprema u direktorij

C:\MATLABR11\work

Programi i funkcije u MATLABuy MATLAB ima i mogunost razvoja algoritama

u vlastitom programskom jeziku. y M-datoteke - pohranjuju se s ekstenzijoma '.m'. y Moemo razlikovati dvije vrste M-datoteka:

skripte funkcije

y Skripte - skup naredbi koje se prenose, i izvravaju u komandnom prozoru

y Funkcije - crne kutije kojima dajemo odreeniulaz i dobijamo traeni izlaz

Path varijablay Path je varijabla okoline koja sadri spisak

direktorija u kojima se nalaze izvrne datoteke. y U MATLABu path je unaprijed podeen za sve

direktorije u kojima se nalaze orginalneMATLABove naredbe

y Path podeavamo naredbom:>> path(path,'c:\temp\matlab\'); Ili promjenimo trenutni direktorij:>> cd c:\temp\matlab

MATRICE

y matrica tipa m x n.y Brojevi su elementi matrice ili komponente

matrice.y i -ti redaky j-ti stupacy Dijagonala matrice

Matrice

y Ako je m=n kaemo da je Akvadratna matrica reda n . y Ako je m=1 kaemo da je A retana

matrica (ima samo jedan redak), y Ako je n=1kaemo da je A stupana

matrica. y Retane i stupane matrice se jo

zovu vektori.

Matrice

yMatrice A i B su jednake ako su istogtipa i ako je aij=bij za sve paroveindeksa i,j

Zbrajanje matricay Mogu se zbrajati samo matrice istog tipa. Ako

su matrice A i B istog tipa, tada je matricay C=A+By istog tipa kao i matrice A i B i vrijedi

cij=aij+bijy Dakle, matrice se zbrajaju lan po lan. y Svojstva zbrajanja su :yy A+B=B+A (komutativnost)y (A+B)+C=A+(B+C) (asocijativnost)

Mnoenje matrica sa skalaromy Matrica se mnoi s nekim skalarom (brojem)

tako da se svaki element matrice pomnoi s timbrojem.

y Drugim rijeima, elementi matrice B=A subij=aij

y Svojstva ove operacije proizlaze direktno izsvojstava mnoenja brojeva:

y (A+B)=A+By (+)A=A+ Ay (A)=()A

Mnoenje matricay Definicija mnoenja matrica je na prvi pogled

neobina, ali upravo nam ona omoguavajednostvno zapisivanje sustava linearnihjednadbi.

y Matrice A i B moemo pomnoiti samo akosu ulanane, odnosno ako A ima onolikostupaca koliko Bima redaka. Matrica C=A*Bima redaka koliko A i stupaca koliko B. Neka je, dakle, A tipa m x k i B tipa k x n . Tada je matrica C tipa m x n i vrijedi:

987

654

321

*

963

852

741

14

=

1*1+2*2+3*3=14

19412250

1227732

5032

Mnoenje matrica

y mnoenje matrica openito nije komutativno.y vrijedi: y (i) (AB)C=A(BC) (asocijativnost), y (ii) A(B+C)=AB+AC(distributivnost), y (iii) (A+B)C=AC+BC(distributivnost), y (iv) (AB)=( A)B=A( B)

Element (2,3) se izraunava:

Nul matrica i jedinina matricay Kod zbrajanja brojeva broj 0 je neutralni

element s obzirom na zbrajanjey Analogija kod matrica je nul-matrica koja ima sve

elemente jednake nuli. Nul-matricu oznaavamos O, odnosno Omn kada elimo naglasiti o kojem tipu se radi.

y Kod mnoenja brojeva broj je neutralnielement s obzirom na mnoenje, odnosno

y Analogija kod matrica je jedinina matrica . Ukoliko matrica nije kvadratna, jedininematrice u odnosu na mnoenje slijeva i zdesnasu razliitog reda.

Nul matrica i jedinina matrica

Transponirana matricay Transponirana matrica matrice A je matrica AT

koja je definirana say [AT]ij=Ajiy Ako je A tipa m x n , AT je tima n x my Oito je (AT) Ty Vrijedi :

(A+B)T = AT +BT

(A)T =AT (AB)T =AT BT

y Matrica za koju je AT =A je simetrina matrica.

Operacije s matricamay Promatrati emo samo realne matrice,

odnosno dvodimenzionalna poljapodataka, i vektore, tj. jednodimenzionalna polja podataka.

987

654

3214321

Formiranje matrica>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] A =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

>> B=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]B =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Formiranje matricay Mogue je i automatizirano formiranje vektora>> x=(0:0.1:1)

x = Columns 1 through 7 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 Columns 8 through 11 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000

>> y=linspace(0,1,11) y = Columns 1 through 7 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 Columns 8 through 11 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000

Formiranje matricay Kreiranje matrica iji su elementi sluajni brojeviy Rand(m,n) kreira matricu dimenzija m x m iji su

elementi sluajno generirani brojevi izmeu 0 i 1y Rand(m)-kreira kvadratnu matricu dimenzija m x m iji

su elementi sluajno generirani brojevi izmeu 0 i 1y Ukoliko elimo brojeve 0 -10 moramo cijelu matricu

pomnoit s 10y A=fix(rand(3)*10)

A =

4 2 0 8 6 65 8 3

Formiranje matricay U MATLABu postoje funkcije kojima se

mogu definirati matrice iji elementi sujednaki jedinici i nuli (nul matrica)

>>R=eye(3)R =

1 0 00 1 0 0 0 1

>> Q=zeros(3) Q =

0 0 0 0 0 00 0 0

>> P=ones(3) P =

1 1 1 1 1 1 1 1 1

Pristupanje dijelu matricey Pojedini element matrice moemo ispisati

definiranjem njegova retka i stupca (npr. element matrice A u prvom retku i drugomstupcu) >> A(1,2) ans = 2

y Ukoliko elimo vidjeti prva dva retka matrice A >> A(1:2,:) ans = 1 2 3

4 5 6

Pristupanje dijelu matricey Mogua je korekcija pojedinih elemenata>> r=[101 102 103]; >> A(3,:)=r

A = 1 2 3 4 5 6 101 102 103

Pristupanje dijelu matricey Mogua je nadopuna matrice (npr. elimo

matricu B proiriti s dodatnim redomjednakim vektoru-retku r)

>> B=[B;r] B =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 102 103

Pristupanje dijelu matricey Ukoliko bi kod matrice A definirali

element u drugom redu i estom stupcumatrica se proiruje na portebnudimenziju dodavajui na novodefiniranimmjestima nule.

>> A(2,6)=1 A =

1 2 3 0 0 0 4 5 6 0 0 1 101 102 103 0 0 0

Pristupanje dijelu matricey Ukoliko dio matrice izjednaimo s

praznom matricom [ ] isti dio se brieime se poetna matrica svodi na ostatak: >> A(:,4:5)=[ ] A =

1 2 3 0 4 5 6 1

101 102 103 0