22b Voolu pidevus

2. Hüdrodünaamika

21. Voolamine avadest22. Voolu pidevus23. Survekadu

22b Ülevaade

Bernoulli seadusReynoldsi arvVoolufunktsioonVoolu potentsiaal

22b ÕpiväljundidTeadmised

○ mis on Bernoulli seadus

○ millest sõltub rõhk liikuvas vedelikus

○ mis on Bernoulli võrrand ideaalvedeliku jaoks

○ millal tohib kasutada Bernoulli võrrandit

Oskused○ kasutada Bernoulli

seadust○ arvutada rõhku

liikuvas vedelikus○ leida voolu kiirust

22b Kirjanduse loetelu[1] Hüdraulika ja pumbad. Aleksander Maastik jt. [2] Hüdromehaanika. K. Laigna[3] Hüdraulika. L.Tepaks[4] Hüdraulika. J. Rabinovitš

[5] Гидравлика. Р.Р. Чугаев[6] Гидравлика. А.И. Богомолов, К.А. Михайлов[7] Гидравлика. Е. З. Рабинович[8] Гидравлика. И.З. Френкель

[9] Engineering fluid mechanics. W.P. Graebel[10] Understanding Hydraulics. L.Hamill

[1] lk 51-58

[2] lk 79-85[3] lk 74-84[4] lk 79-87

[5] стр. 95-101[6] стр. 67-72

[7] стр. 68-74[8] стр. 120-124, 143-147, 152-156[9] p.123-129

[10]

Terminid (1)Bernoulli printsiip - kui vedeliku kiirus suureneb, selle rõhk langeb.Statsionaarne vool - igas punktis kiirus konstantne, ei sõltu ajast. Erinevates punktides ta on erinev. Ebastatsionaarne (muutuv) vool - ühes ja samas punktis kiirus võib olla erinevate väärtustega erinevatel ajahetkedel. Voolujoon - kiirusväljas asuv kõverjoon, mille igas punktis puutuja siht ühtib kiirusvektori sihiga selles punktis. Trajektoor - vedelikuosakese liikumistee ruumis; kirjeldab osakese asendit eri hetkedel.

Terminid (2)Vool on liikuv vedelik, mida ümbritseb liikumatu keskkond (kas gaasiline, tahke või vedel). Vabavool - liigub raskusjõu toimel. Vabapind - kokkupuutepind gaasilise keskkonnaga. Survevool - liigub välisjõu toimel mistahes suunas. Joad võivad olla vabajoad (gaasis) või sukeljoad (vedelikus). Voolu ristlõige (elavlõige) - voolu risti voolujooni lõikav pind. Märgpiire (märgperimeeter) - voolava vedeliku kokkupuutejoon elavlõike liikumatu piirdega (v.a. vabapind)Hüdrauliline raadius - elavlõike ja märgpiirde suhe. Vooluhulk - ristlõiget ajaühikus läbiv vedeliku maht.

Voolu parameetrid

χ - märgpiire (m)

Hüdrauliline raadius (m)R = A / χ

A - elavlõige (m2)

Toru hüdrauliline raadius R = 0,25d

Bernoulli seadusKui vooluhulk ei muutu, voolu ristlõikes madalama kiirusega valitseb suurem rõhk.

Bernoulli kolmikliige

Bernoulli võrrandi geomeetriline tõlgendus

surve, m

pikkus, m

1) z - kõrgussurve + 2) piesomeetersurve + 3) kiirussurve

Täissurve =

Bernoulli võrrandi füüsikaline (energeetiline) tõlgendus

energiajoon

survejoonkineetiline energia

potentsiaalne rõhu-

erienergia

erienergia

potentsiaalne asendi-

erienergia

Reynoldsi arv

Määrab voolamise režiimi. Torus Re alla 2000 laminaarne, üle 4000 turbulentne. Kanalis alla 500 laminaarne, üle 1000 turbulentne.

Vee kinemaatiline viskoossus on 10-6 m2/s

Näide

Leida voolukiirus torus läbimõõduga 10 cm, kus voolab vooluhulk 4 liitrit sekundis.

Lahendus:Voolukiirus sõltub vooluhulgast ja ristlõike pindalast. u=Q/A = Q / (π d2 /4)u = 0,004 x 4 / 3,14 x 0,01 = 0,5 m/s

Küsimused

Mida on vaja teada voolukiiruse leidmiseks torus?Millistel juhtudel kehtib Bernoulli kolmikliige?Mida väidab Bernoulli printsiip?Kuidas iseloomustatakse laminaarne voolamine?Kuidas iseloomustatakse turbulentne voolamine?Mis jääb muutmatuks statsionaarses voolus?Mis tingimusel voolamine on statsionaarne?Mida näitab Reynoldsi arv?Mille poolest erineb ideaalvedelik reaalvedelikust?Mida iseloomustab Bernoulli võrrandi kolmas liige geomeetriliselt?Mis on vooluhulk? Mõõtühikud?

Kontrolli oma teadmisi

Kontrolli oma teadmisi

Peale mooduli läbimist...

● teate, mis on voolamise Euleri võrrandid

● teate, mis on div(u), potentsiaalne voolamine

● teate, mis on reaal- ja ideaalvedelik

● teate, mis asi on Bernoulli võrrandi energeetiline tõlgendus

● teate, mis on voolufunktsioon

● oskate määrata, kas vool on potentsiaalne, divergentsivaba

● oskate leida voolufunktsiooni● oskate leida kiirusvektori

väärtust

1. Voolu pidevus

● Mis on divergentsivaba kiirus

● Mis on kokkusurumatus

● määrata, kas vool on pidev või mitte

● leida kiirusvektori komponendid

Voolu pidevusMatemaatiliselt kokkusurumatus avaldatakse läbi kiiruse divergentsi.

Divergents on skalaarkorrutis kiirusvektori komponentide vahel ja osatuletise komponentide vahel.

Kiirus on esitatud vektorina ruumis.

Kiirusvektori kuju

z

x

y

kiiru

s

u (rõh

tkompo

nent

x-telj

e

suun

as)

v, (rõhtkomponent y-telje suunas)

w, (vertikaalne komponent)

Kiirusvektor 2D-diagrammil

Kiirusvektor 2D-diagrammil

Kiirusvektor 2D-diagrammil

NäideAntud kiiruse jaotus, määrata, kas vool on kokkusurumatu (ehk divergentsivaba).

Lahendus:Vool on kokkusurumatu ainult juhul, kui kiiruse divergents on null. Esimese liikme (u) osatuletis x järgi: (-4x + y + z)'x = -4 Teise liikme (v) osatuletis y järgi:(x -3y + 2z)'y = -3Kolmanda liikme (w) osatuletis z järgi:(4x - 6y + 4z)'z = 4Liidame kõik kokku: -4 - 3 + 4=-3 ei ole null.

Vastus: kokkusurumatuse tingimus ei ole täidetud

Kontrolli oma teadmisi

Antud kiiruse jaotus u(x,y,z). Kas vool on kokkusurumatu? Kuidas tuleb muuta vektorit, et vool oleks kokkusurumatu?

Küsimused

Kuidas matemaatiliselt avaldatakse vedeliku kokkusurumatus?

2. Voolufunktsioon (ψ)

● Mida tähendab voolufunktsioon

● Milleks seda on vaja

● määrata, kuhu vool on suunatud

Voolufunktsioon (ψ)

Voolufunktsioon on üksiku voolujoone võrrand.

Ühesuunaline voolamine

Kiirusvektor

Kahesuunaline voolamine

Kiirusvektor

Voolujoone graafik

Kiirusvektor

Voolufunktsioon

3

4

x

y

Punase joone võrrand:

Näide

Antud kiirusvektor, leida voolufunktsioon.

Lahendus: Leida integraalid nii, et osatuletised annaksid kiirusvektori komponendid.

Küsimused

Kas voolujooned võivad lõikuda? Kuidas, miks?Mida näitab voolufunktsioon?Milleks on vaja voolufunktsiooni?Mis jooned on risti voolujoontega?

Kontrolli oma teadmisi

Antud kiirusvektor, leida voolufunktsioon, kanda 2 joont graafikule.

Antud voolufunktsioon, leida kiirusvektor.

Leida kiirusvektori suund ja suurus punktis A (x,y).

Kanda graafikule voolujooned.

3. Kiiruse potentsiaal (φ)

● Mis on potentsiaalne voolamine

● Mille jaoks seda on vaja● Mis on keerilisus ja

pöörelisus● Millal voolus võivad olla

keerised

● määrata, kas vool on pöörisevaba

Kiiruse potentsiaal (φ)

Potentsiaalne voolamine tähendab, et keeriseid ei esine. See ei tähenda, et voolujooned on sirged.

Kiiruse potentsiaal

Potentsiaalne voolamine on matemaatiline lihtsustus, mis eeldab, et voolus ei ole keeriseid (pööriseid). Iga keerisevaba liikumine on potentsiaalne ja iga potentsiaalne voolamine on keerisevaba.

Potentsiaaljooned on risti voolujoontega.

Ühel potentsiaaljoonel on samad kiirusvektori väärtused.

Potentsiaaljoone graafikKiirusvektor

Kiiruse potentsiaal

3

4

x

y

-4

-3Helesinise joone võrrand:

NäideAntud kiiruse funktsioon, määrata, kas voolamine on keerisevaba.

Lahendus:Keerisevaba voolamine toimub ainult juhul, kui kiirusvektori rootor on null. Rootor koosneb kolmest komponendist:1: 4 - 4 = 0

2: 0 - 0 = 0

3: 2x - 4x - 5 = -2x-5

Summa: 0 + 0 + (-2x-5) < 0Vastus: voolamine ei ole keerisevaba

Harjutus1. Antud kiirusvektor, on vaja leida potentsiaalLahendus: Leida integraalid nii, et osatuletised annaksid kiirusvektori komponendid.

2. Antud potentsiaalne funktsioon, leida kiirusvektorLahendus: Leida osatuletised vastava muutuja järgi.

3. Leida kiirusvektori suund ja suurus punktis A (x,y,z)Lahendus: Panna x, y ja z väärtused kiirusvektori võrrandisse.

4. Kanda joonisele potentsiaaljooned.Lahendus: Leida potentsiaalfunktsioon, leida kaks kuni neli punkti, ühendada punktid (sirgjoon, kõverjoon, ringjoon).

Kontrolli oma teadmisiMäärata, kas voolamine on potentsiaalne: