Learning Channel (Pty) Ltd 3rd Floor, The Mills

66 Carr StreetNewtown

Johannesburg(011) 639-0179

Website: www.learn.co.za

Nasionale SeniorsertifikaatGraad 12

WiskundeVraestel 2

2 2009 Wiskunde Graad 12 Vraestel 2

2009 WISKUNDE GRAAD 12 VRAESTEL 2

TYD: 3 UUR PUNTE: 150

INSTRUKSIES EN INLIGTINGLees die volgende instruksies noukeurig voordat jy die vrae beantwoord.

1. Hierdie vraestel bestaan uit 12 vrae. Beantwoord ALLE vrae.

2. Toon duidelik ALLE bewerkings, diagramme, grafieke, ensovoorts, wat jy gebruik het om jou antwoord te bereken.

3. ’n Goedgekeurde wetenskaplike sakrekenaar (nieprogrammeerbaar en niegrafies) kan gebruik word, behalwe as anders aangetoon word.

4. Antwoorde moet tot TWEE desimale plekke afgerond word waar nodig, behalwe as anders gevra word.

5. Diagramme is NIE noodwendig volgens skaal geteken nie.

6. VIER DIAGRAMBLAAIE is aan die einde van die vraestel aangeheg vir die beantwoording van VRAAG 3, VRAAG 8.2, VRAAG 9.1 en 9.2 en VRAAG 10.1. Skryf jou eksamennommer in die spasies wat daarvoor gelaat is en handig dit in saam met jou ANTWOORDBOEK.

7. Nommer die antwoorde korrek volgens die nummeringstelsel wat in hierdie vraestel gebruik word.

8. Dit is in jou eie belang om netjies en duidelik leesbaar te skryf.

2009 Wiskunde Graad 12 Vraestel 2 3

VRAAG 1In die diagram is PQRS ’n trapesium met hoekpunte P(5; 2), Q(1; −1), R(9; −5) en S. PT is die loodregte hoogte van PQRS en W is die middelpunt van QR. Punt S lê op die x-as en P ̂ R Q = q.

x

y

P(5; 2)

R(9; –5)

Q(1; –1)

T

W

S

1.1 Bepaal die vergelyking van PW as W die middelpunt van QR is. (2)

1.2 Bepaal die vergelyking van PS. (4)

1.3 Bepaal die vergelyking van PT. (3)

1.4 Bepaal die koördinate van T. (5)

1.5 Toon aan dat QT = 1 _ 3 TR . (5)

1.6 Bereken die grootte van q afgerond tot twee desimale plekke. (5)

[24]

4 2009 Wiskunde Graad 12 Vraestel 2

VRAAG 22.1 Bereken die waarde van k as die punte A(6; 5), B(3; 2) en C(2k; k + 4) kollineêr is. (3)

2.2 ’n Sirkel met vergelyking x2 + y2 − 4x + 6y + 4 = 0 is 90° kloksgewys om die oorsprong geroteer en dan vergroot deur die oorsprong met ’n skaalfaktor van 2 eenhede. Bepaal die vergelyking van die nuwe sirkel wat onder hierdie transformasie gevorm word. (6)

2.3 In onderstaande diagram, raak ’n sirkel met middelpunt C die y-as by A(0; 2). ’n Reguitlyn met vergelyking 3x + 4y = −7 sny die sirkel by B(−1; −1) en D.

x

y

D

C

B(–1; –1)

A(0; 2)

2.3.1 Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel in B. (4)

2.3.2 Bepaal die vergelyking van die sirkel in die vorm (x − a)2 + (y − b)2 = r2 . (5)

2.3.3 Bepaal die koördinate van D. (4)

[22]

2009 Wiskunde Graad 12 Vraestel 2 5

VRAAG 3In onderstaande diagram, word die punt A(−3; 2) voorgestel.

A(–3; 2)

x

y

3.1 Stel die volgende punte voor op die aangehegde diagramvel:

Punt B, die rotasie van punt A, 90° antikloksgewys om die oorsprong. •Punt C, die rotasie van punt A, 180° om die oorsprong. •Punt D, die rotasie van punt A, 90° kloksgewys om die oorsprong. (3) •

3.2 Watter tipe vierhoek is figuur ABCD? Verduidelik deur na die eienskappe van vierhoeke te verwys. (3)

3.3 Figuur ABCD is vergroot deur ’n skaalfaktor van 2 eenhede deur die oorsprong, om sy beeld A′B′C′D′ te vorm. Op die diagram wat op die diagramvel voorsien is, skets die beeld A′B′C′D′ en dui die koördinate van die hoekpunte aan. (2)

3.4 Bepaal die verhouding: Oppervlakte ABCD

___ Oppervlakte A′B′C′D′ (1)

3.5 ABCD is om die y-as gereflekteer om sy beeld EFGH te vorm.

3.5.1 Skryf die koördinate van E neer. (1)

3.5.2 Bepaal die verhouding: Omtrek ABCD Omtrek EFGH (1)

3.6 Beskryf deur middel van woorde en algebraïese notasie, die enkel transformasies wat betrokke is as figuur ABCD getransformeer word deur die reël:

(x; y) → ( 1 _ 2 x; – 1 _ 2 y – 1) (3)

[14]

6 2009 Wiskunde Graad 12 Vraestel 2

VRAAG 4Onderstaande diagram stel ’n Londense polisie-embleem voor, met middelpunt die oorsprong.

Punt A(1; 2,4) op die embleem is kloksgewys geroteer om die oorsprong.

A(1; 2,4)

A’(p; q)

x

y

Die beeld van A is die punt A′(p; q). Die koördinate van hierdie beeldpunt kan verkry word deur die punt A om die x-as te roteer, of deur die punt A in ’n kloksgewyse rigting om die oorsprong te roteer.

4.1 Bereken die grootte van die rotasiehoek indien punt A kloksgewys om die oorsprong gereflekteer word om sy beeldpunt A′(p; q) te vorm. (2)

4.2 Bepaal vervolgens die koördinate van A′, afgerond tot een desimale plek, deur die gepaste transformasiereël te gebruik. (4)

[6]

2009 Wiskunde Graad 12 Vraestel 2 7

VRAAG 55.1 Vereenvoudig die volgende sonder die gebruik van ’n sakrekenaar:

tan(−60°)cos(−156°) cos 294°

____ sin 492°

(7)

5.2 Vereenvoudig sonder die gebruik van ’n sakrekenaar:

cos2(180° + x)[tan(360° − x).cos(90° + x) + sin(x − 90°).cos180°] (9)

5.3 As sin 61° = √__

a , bepaal die waarde van die volgende in terme van a:

cos 73° cos 15° + sin 73° sin 15° (6)

[22]

VRAAG 66.1 6.1.1 Bewys dat sin(45° + q).sin(45° − q) = 1 _ 2 cos 2q (5)

6.1.2 Bepaal vervolgens die waarde van sin 75°.sin 15° (3)

6.2 Bepaal die algemene oplossing van die volgende vergelyking.

sin 2x + 2 sin x + cos 2x + cos x = 0

Rond jou antwoorde af tot een desimale plek indien van toepassing. (7)

[15]

VRAAG 7’n Stuk land het die vorm van ’n vierhoek ABCD met AB = 20 m, BC = 12 m, CD = 7 m en AD = 28 m. ̂ B = 110°. Die eienaar besluit om die land in twee te verdeel deur ’n heining van A na C op te sit.

12 m

20 m

110°

A

B

C

D

7 m

28 m

7.1 Bereken die lengte van die heining AC korrek tot een desimale plek. (2)

7.2 Bereken die grootte van B ̂ A C korrek tot die naaste graad. (2)

7.3 Bereken die grootte van ̂ D , korrek tot die naaste graad. (3)

7.4 Bereken die oppervlakte van die hele stuk land ABCD, korrek tot een desimale plek. (3)

[10]

8 2009 Wiskunde Graad 12 Vraestel 2

VRAAG 88.1 Los op vir x as cos(x − 30°) = sin 3x waar x ∈ [−60°; 120°]. (8)

8.2 Skets die grafieke van die volgende funksies op dieselfde assestelsel vir die interval x ∈ [−60°; 120°]. Gebruik die diagram wat op die diagramvel gegee is.

f(x) = cos(x − 30°) g(x) = sin 3x (6)

8.3 Verduidelik grafies wat die oplossings is wat die vergelyking cos(x − 30°) = sin 3x voorstel. (1)

8.4 Bepaal grafies die waardes van x waarvoor cos(x − 30°) > sin 3x (2)

[17]

VRAAG 9Vyftig motoriste is gevra om die aantal kilometer wat hulle weekliks reis, aan te teken. Die volgende tabel toon hul resultate:

Aantal kilometer Aantal motoriste Kumulatiewe frekwensie

10 < x ≤ 20 2 2

20 < x ≤ 30 9

30 < x ≤ 40 13

40 < x ≤ 50 26

50 < x ≤ 60 42

60 < x ≤ 70 50

9.1 Voltooi die tweede kolom van die tabel. (Gebruik die tabel op die diagramvel.) (1)

9.2 Op die rooster wat op die diagramvel voorsien is, teken die kumulatiewe frekwensieveelhoek (ogiefkromme). (3)

9.3 Gebruik jou grafiek om die mediaan aantal kilometer per week te beraam. (1)

[5]

VRAAG 10’n Mediese navorser het die groei in die aantal bakterieë oor ’n tydperk van 10 uur aangeteken. Die resultate is in die volgende tabel aangeteken:

Tyd in uur 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Aantal bakterieë 5 10 7 13 10 20 30 35 45 65 80

10.1 Op die diagram wat op die diagramvel voorsien is, teken ’n spreidingstipping/puntediagram van hierdie data. (2)

10.2 Gee die tipe verhouding (liniêr, kwadraties of eksponensiaal) wat bestaan tussen die aantal uur en die groei in die aantal bakterieë. (1)

[3]

2009 Wiskunde Graad 12 Vraestel 2 9

VRAAG 11Die maksimum daaglikse temperatuur vir Johannesburg vir die eerste 10 dae in Julie, is in die volgende tabel in °C aangeteken.

23 25 22 28 27

20 18 17 24 25

11.1 Bereken die gemiddeld vir hierdie data (tot een desimale plek). (2)11.2 Gebruik ’n sakrekenaar en bereken die standaardafwyking vir hierdie data (tot een

desimale plek). (2)

11.3 Hoeveel temperature lê buite die standaardafwyking van die gemiddeld? (2)

[6]

VRAAG 12Beskou die volgende houer-en-punt-stipping:

10 20 45 52 80

Die datastel bevat nege getalle in totaal. Die tweede en derde getal van die datastel is dieselfde. Die sewende en agtste getalle verskil. Die gemiddeld van die datastel is 40.

Skryf ’n moontlike lys van nege getalle neer wat die resultaat van bostaande houer-en-punt-stipping sal hê. [6]

TOTALE PUNTE: 150

10 2009 Wiskunde Graad 12 Vraestel 2

NAAM: _______________________________________________________________

DIAGRAMVEL 1

VRAAG 3.1, 3.3

A(–3; 2)

x

y

2009 Wiskunde Graad 12 Vraestel 2 11

DIAGRAMVEL 2

VRAAG 8.2

12 2009 Wiskunde Graad 12 Vraestel 2

DIAGRAMVEL 3

VRAAG 99.1

9.2

Aantal kilometer Aantal motoriste Kumulatiewe frekwensie

10 < x ≤ 20 2 2

20 < x ≤ 30 9

30 < x ≤ 40 13

40 < x ≤ 50 26

50 < x ≤ 60 42

60 < x ≤ 70 50

2009 Wiskunde Graad 12 Vraestel 2 13

DIAGRAMVEL 4

VRAAG 1010.1