Variace - uèebnice (Výchozí)M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1 ±Iracionální rovnice Iracionální rovnice Iracionální rovnicí nazýváme takovou rovnici, která

M - Matematika - třída 2ODK -celý ročník

Obsahuje učivo celého školního roku 2006/2007.

Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.

VARIACE

1

M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1

Iracionální rovnice±

Iracionální rovnice

Iracionální rovnicí nazýváme takovou rovnici, která má neznámou pod odmocninou.

Při řešení iracionálních rovnic používáme zpravidla neekvivalentní úpravy (tj. takové úpravy, po jejichž provedení se může změnit řešení rovnice), proto musíme vždy provést zkoušku.

Mezi neekvivalentní úpravy, které budeme u těchto typů příkladů používat, patří nejčastěji umocnění rovnice na druhou. Umocnění rovnice provedeme tak, že umocníme levou i pravou stranu rovnice.

Pozn.: Umocněním obou stran rovnice na druhou dostaneme rovnici, pro kterou platí: Každý kořen původní rovnice je i kořenem této nové rovnice. Obráceně to ale neplatí!

Ukázkové příklady:

Příklad 1:

Řešte rovnici:

101022 -=+- xxx

Řešení:

Umocněním rovnice na druhou dostaneme:x

2 - 2x + 10 = (x - 10)

2

x2 - 2x + 10 = x

2 - 20x + 100

po úpravě:x = 5

Zkouška:

5105.252 =+-=LP = 5 - 10 = -5L ¹ P

Daná rovnice tedy nemá řešení.

Příklad 2:

Řešte rovnici:

57 -=+ xx

Řešení:

Umocněním dostaneme rovnici:x + 7 = (x - 5)

2

Po úpravěx + 7 = x

2 - 10x + 25

Dostali jsme kvadratickou rovnici, u níž zjistíme, že má kořeny 2 a 9.

Zkouška:

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 1 z 118


)2()2(

352)2(

3972)2(

PL

P

L

¹

-=-=

==+=

Kořen 2 tedy není řešením.

)9()9(

459)9(

41679)9(

PL

P

L

=

=-=

==+=

Kořen 9 tedy je řešením zadané iracionální rovnice.

Příklad 3:

Řešte rovnici:

11355 -=- xx

Řešení:

Umocněním dostaneme rovnici:(5 - 5x) = (3x - 11)Po úpravě:x = 2

Zkouška:

52.55 -=-=L

Dále řešit nemusíme, protože v oboru reálných čísel neexistuje druhá odmocnina ze záporného čísla. Závěr tedy je, že iracionální rovnice nemá řešení.

Příklad 4:

Řešte rovnici:

739 =++ xx

Řešení:

Umocněním rovnice na druhou dostaneme:

499969 =++++ xxxx

Po ekvivalentních úpravách:

xxx 52093 -=+

Umocníme ještě jednou a dostaneme:9x

2 + 81x = 400 - 200x + 25x

2

Po úpravě:16x

2 - 281x + 400 = 0

Kořeny této rovnice jsou čísla 16 a 25/16

Zkouškou se přesvědčíme, že kořenem zadané iracionální rovnice je pouze číslo 25/16.



Příklad 5:

Řešte rovnici:

592 =+x

Kromě běžného, už uvedeného, postupu můžeme zde použít i následující úvahu:Výraz na levé straně rovnice je definován pro libovolné reálné číslo a je pro libovolné reálné číslo nezáporný, proto rovnice x

2 + 9 = 25 je ekvivalentní s rovnicí původní. Rovnice x

2 + 9 = 25 má dvě řešení, a to x1 = 4 a x2

= -4. Tato řešení jsou tedy i řešeními rovnice původní. S ohledem na to, že jsme provedli pouze ekvivalentní úpravy, nemusíme v podstatě ani dělat zkoušku. Pro nezáporná čísla u, v je totiž u = v právě tehdy, když platí u

2 = v

2.

Iracionální rovnice - procvičovací příklady±

1.

4Výsledek:

1197

2.

20Výsledek:

1178

3. Řešte rovnici:

( )( ) ( ) 01.1.3 =---+ xxxx

1Výsledek:

1194

4. Řešte rovnici:

P = {0; 3}Výsledek:

1186

5.

-0,5Výsledek:

1191

6.

Nemá řešeníVýsledek:

1187

7.

-5/3Výsledek:

1190

8.

5Výsledek:

1189



9. Řešte rovnici:

-1Výsledek:

1185

10.

9Výsledek:

1184

11.

9Výsledek:

1195

12. Řešte rovnici:

( )( ) 0375.1 =---+ xxx

-3Výsledek:

1193

13.

Nemá řešeníVýsledek:

1182

14.

P = {9; -1/3}Výsledek:

1192

15.

23±Výsledek:

1179

16.

8Výsledek:

1183

17.


1196

18.


1181

19.

2,5Výsledek:

1188

20.

3Výsledek:

1180



Planimetrie±

Planimetrie

Planimetrie je geometrie zabývající je rovinnými útvary (= rovinná geometrie).

Základní geometrické prvky a útvary:

Bod - nejmenší geometrický útvarZnázorňujeme:

Přímka - rovná čára spojující dva body; každými dvěma body je jednoznačně určena právě jedna přímka. Přímku značíme buď malým písmenem (např. p) nebo dvěma body (např. «AB)Znázorňujeme:

Pozn.: Dvěma body může být dána i polopřímka nebo úsečka Polopřímka: Znázorňujeme:

Zapisujeme: ®AB Úsečka: Znázorňujeme:

Zapisujeme: AB Pozn.: Potřebujeme-li vyjádřit délku (velikost) úsečky AB, pak zapisujeme |AB| = 20 cmPozn.: Platí, že ®AB ¹ ®BA

Rovina - geometrický útvar, který je určen třemi nekolineárními body, případně přímkou a bodem, který na této přímce neleží. Znázorňujeme:

nebo Zapisujeme: «ABC nebo «pC



Pozn.: Obdobným způsobem vyjadřujeme i polorovinu. Zapisujeme: ®ABC nebo ®pC

Úhel - je část roviny, která je ohraničena dvěma polopřímkami se společným počátečním bodem. Znázorňujeme:

Zapisujeme: |úhel ABC| = aÚhel může být:• nulový (velikost 0°)• ostrý (velikost 0° < a < 90°)• pravý (velikost 90°)• tupý (velikost 90° < a < 180°)• přímý (velikost 180°)• plný (velikost 360°)Jiné dělění:• úhel konvexní (velikost 0° < a < 180°)• úhel konkávní (někdy též nekonvexní) (velikost 180° < a < 360°)

Dvojice úhlů v rovině:1. Dvojice úhlů vrcholových (oba úhly mají stejnou velikost)

2. Dvojice úhlů vedlejších (jejich součet je 180°)

3. Dvojice úhlů souhlasných (mají stejnou velikost)



4. Dvojice úhlů střídavých (mají stejnou velikost)

Rovinné útvary

I. Trojúhelník

Trojúhelník je nejjednodušší rovinný útvar, má tři vrcholy, tři strany, tři vnitřní úhly a tři vnější úhly.• Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy 180°.• Součet vnitřního úhlu a vnějšího úhlu při stejném vrcholu je 180°.• Vnější úhel má vždy stejnou velikost jako součet obou vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech.• Pro každý trojúhelník musí platit trojúhelníková nerovnost (součet každých dvou stran musí být vždy větší

než strana třetí).• Strany v trojúhelníku značíme podle jejich protějších vrcholů.• Každý trojúhelník má tři výšky (kolmice spuštěná z vrcholu k protější straně); průsečík výšek se nazývá

orthocentrum.• Každý trojúhelník má tři těžnice (úsečka spojující vrchol se středem protější strany); průsečík těžnic se

nazývá těžiště; těžiště rozděluje těžnici na dva úseky, které jsou v poměru 1 : 2, větší díl je blíže k vrcholu.• Každý trojúhelník má tři střední příčky (úsečka spojující dva středy stran); střední příčka je vždy

rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníka a má vůči ní poloviční velikost.• Každý trojúhelník má střed kružnice opsané (průsečík os stran); kružnice opsaná prochází všemi vrcholy

trojúhelníka.• Každý trojúhelník má střed kružnice vepsané (průsečík os vnitřních úhlů); kružnice vepsaná se dotýká

všech tří stran.• obvod trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c• obsah trojúhelníka se vypočte podle vzorce S = (1/2).a.va

• obsah trojúhelníka se může též vypočítat podle vzorce S = (1/2).a.b.sing• pro obsah trojúhelníka platí též Heronův vzorec:

2

)).().(.(

cbas

csbsassS

++=

---=

Rozdělení a vlastnosti trojúhelníků:

A. Obecný trojúhelník• nemá žádné specifické vlastnosti, platí pro něj vlastnosti výše uvedenéB. Ostroúhlý trojúhelník



• trojúhelník, který má všechny vnitřní úhly ostréC. Pravoúhlý trojúhelník• trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel pravý a zbývající dva vnitřní úhly ostré• zvláštní význam má rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, který má jedem vnitřní úhel velikosti 90° a

zbývající dva vnitřní úhly shodné - velikosti 45°.• u pravoúhlého trojúhelníka nazýváme nejdelší stranu (proti pravému úhlu) přepona a zbývající dvě strany

odvěsny• u pravoúhlého trojúhelníka je střed kružnice opsané vždy středem přepony; tato vlastnost vyplývá z

Thaletovy věty• pro výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníka, který má odvěsny a, b a přeponu c, platí vzorec S =

(1/2).a.b; je to proto, že odvěsny jsou v tomto typu trojúhelníka zároveň výškami• v pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta c

2 = a

2 + b

2 (při označení přepony písmenem c)

• v pravoúhlém trojúhelníku, kde c je přepona, platí též goniometrické funkce:

c

a

přepona

protilehlá==asin

c

b

přepona

přilehlá==acos

b

a

přilehlá

protilehlátg ==a

a

b==

protilehlá

přilehlácotga

D. Tupoúhlý trojúhelník• má jeden vnitřní úhel tupý a zbývající dva vnitřní úhly ostré• dvě výšky tohoto trojúhelníka leží mimo trojúhelník; mimo trojúhelník leží i orthocentrumE. Rovnoramenný trojúhelník• má dvě strany shodné - nazývají se ramena, a zbývající strana se nazývá základna• vnitřní úhly při základně jsou shodné• trojúhelník je osově souměrný, osa souměrnosti půlí základnu• výška spuštěná z hlavního vrcholu (tj. z vrcholu proti základně) je kolmá k základně• střed kružnice opsané i vepsané leží na ose souměrnosti• výška spuštěná z hlavního vrcholu je zároveň i těžnicí• na ose souměrnosti leží i těžiště• rovnoramenný trojúhelník může být i ostroúhlý i tupoúhlý, ale i pravoúhlý• obvod rovnoramenného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 2a + cF. Rovnostranný trojúhelník• má všechny strany stejně dlouhé• má všechny vnitřní úhly stejně velké a mají velikost 60°• má všechny vnější úhly stejně velké a mají velikost 120°• je osově souměrný - má tři osy souměrnosti• střed kružnice opsané je zároveň i středem kružnice vepsané a zároveň i orthocentrem a těžištěm• výšky jsou zároveň i těžnice• obvod rovnostranného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 3.a• výška se vypočte podle vzorce v = a.Ö3/2

II. Čtyřúhelník

A. Obecný čtyřúhelník• má čtyři strany, čtyři vrcholy, ale jinak žádné specifické vlastnosti• čtyřúhelníky zpravidla značíme ABCD, jejich strany pak a, b, c, d a úhlopříčky |AC| = e, |BD| = f• součet všech vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360°B. Rovnoběžník• čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné• obvod rovnoběžníka se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b)• obsah rovnoběžníka se vypočte podle vzorce S = a . va

• každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné• součet dvou sousedních vnitřních úhlů je 180°• úhlopříčky se navzájem půlí• je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček

a) čtverec• má všechny strany stejně dlouhé, všechny vnitřní úhly shodné - velikosti 90°



• úhlopříčky čtverce jsou shodné, půlí se a jsou navzájem kolmé• průsečík úhlopříček je středem kružnice opsané i středem kružnice vepsané• je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček• je osově souměrný, má čtyři osy souměrnosti (2 osy stran a 2 prodloužené úhlopříčky)• obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a• obsah se vypočte podle vzorce S = a

2 nebo také S = u

2/2

• úhlopříčka se vypočte podle vzorce u = a.Ö2b) obdélník• má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné• má všechny vnitřní úhly pravé• úhlopříčky obdélníka jsou shodné, navzájem se půlí• průsečík úhlopříček je střed kružnice opsané• je středově souměrný podle středu úhlopříček• je osově souměrný - má dvě osy souměrnosti, kterými jsou osy stran• obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b)• obsah se vypočte podle vzorce S = a.b• pro výpočet délky úhlopříčky platí Pythagorova větac) kosočtverec• má všechny strany stejně dlouhé• každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné• každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180°• úhlopříčky se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé• je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček• je osově souměrný, má dvě osy souměrnosti, které jsou prodlouženými úhlopříčkami• obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a• obsah se vypočte podle vzorce S = a.va nebo také S = u1.u2/2• lze vepsat kružnici - středem je průsečík úhlopříčekd) kosodélník• má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné• má každé dva protější vnitřní úhly shodné• každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180°• úhlopříčky se navzájem půlí• je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček

C. Lichoběžník• čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě protější strany různoběžné;

rovnoběžné strany nazýváme základny, zbývající dvě strany nazýváme ramena• obvod lichoběžníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c + d• obsah lichoběžníka se vypočte podle vzorce

( )2

.caS

v+=

a) rovnoramenný lichoběžník• má obě ramena shodná• má oba vnitřní úhly při každé základně shodné• úhlopříčky jsou shodné• je osově souměrný - má jednu osu souměrnosti, kterou je osa obou základenb) pravoúhlý lichoběžník• má právě dva vniřní úhly pravé• jedno rameno je kolmé k oběma základnám

III. Pravidelný pětiúhelník• má všechny strany shodné• má všechny vnitřní úhly shodné• postup konstrukce:

• sestrojíme kružnici se středem S a v ní navzájem dva kolmé průměry AB a CD• najdeme střed K úsečky SB



• sestrojíme úsečku KC• obloukem kružnice o středu K a poloměru KC protneme průměr AB a získáme tak bod L• úsečka LC je pak délkou strany pravidelného pětiúhelníka; tuto úsečku naneseme kružítkem na

původní kružnici a získáme tak vrcholy hledaného pravidelného pětiúhelníka

IV. Pravidelný šestiúhelník• má všechny stany shodné• je středově souměrný• je osově souměrný- má 6 os souměrnosti• sestrojíme-li všechny úsečky spojující střed s vrcholy, rozdělíme pravidelný šestiúhelník na 6 shodných

rovnostranných trojúhelníků• každý vnitřní úhel má velikost 120°• lze opsat i vepsat kružnici• postup konstrukce:

• sestrojíme kružnici se středem S a poloměrem r• na kružnici zvolíme libovolný bod A• z bodu A postupně naneseme na kružnici poloměr r a získáme tak zbývajících pět vrcholů hledaného

šestiúhelníka

V. Pravidelný osmiúhelník• má všechny strany shodné• je středově souměrný• je osově souměrný - má čtyři osy souměrnosti• lze opsat i vepsat kružnici

VI. Kruh, kružnice a jejich části

Základní pojmy:

Kružnici označujeme k, kruh označujeme K. Často zapisujeme k(S; r) nebo K(S; r), což znamená kružnice (resp. kruh) o středu S a poloměru r.

Kružnice je množina bodů, které mají od jednoho pevného bodu stejnou vzdálenost. Tento pevný bod nazýváme střed a konstantní vzdálenost bodů od středu nazýváme poloměr kružnice.

Kruh je množina všech bodů, které mají od jednoho pevného bodu vzdálenost, která je menší nebo rovna poloměru obvodové kružnice. Jinými slovy lze též vyjádřit, že kruh je část roviny, která je ohraničena kružnicí.

Poloměr označujeme nejčastěji r. Dvě délky poloměru tvoří průměr kružnice - označujeme d.

Tětiva kružnice je úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici. Nejdelší tětivou kružnice je její průměr.

Přímka a kružnice mohou mít několik vzájemných poloh:1. Přímka a kružnice nemají žádný společný bod, pak přímku nazýváme vnější přímkou kružnice.



2. Přímka a kružnice mají právě jeden společný bod, pak přímku nazýváme tečnou.3. Přímka a kružnice mají dva společné body, pak přímku nazýváme sečna. Část přímky, která v tomto

případě leží uvnitř kružnice, nazýváme už zmíněnou tětivou.

Tečna je vždy kolmá na poloměr.

Osa tětivy vždy prochází středem kružnice.

Úhel a nazýváme obvodový úhel; úhel w nazýváme středový úhel. Platí pravidlo, že úhel středový je dvojnásobkem úhlu obvodového.

KružnicePro výpočet délky kružnice platí vzorce:l = 2.p.r nebo l = p.d

KruhPro výpočet obvodu kruhu platí vzorce:o = 2.p.r nebo o = p.d

Pro výpočet obsahu kruhu platí vzorce:S = p.r

2 nebo S = p.d

2/4

Kruhový oblouk

Pro délku kruhového oblouku a platí:

ap

.180

.ra =

nebo a

p.

360

.da =

Soustředné kružnice



Jedná se u dvě nebo více kružnic, které mají stjný střed, ale různý poloměr.

Kruhová výsečJedná se o rovinný útvar.

Pro obsah kruhové výseče S platí:

ap

.360

.rS

2

= nebo

ap

.1440

.dS

2

=

Kruhová úsečJedná se opět o rovinný útvar.

MezikružíRovinný útvar.

Obsah mezikruží:



S = p . (R2 - r

2)

Shodnost trojúhelníků, důkazy±

Shodnost trojúhelníků

O dvou útvarech říkáme, že jsou shodné, lze-li je v rovině přemístit tak, že se kryjí.

Shodnost rozlišujeme:1. Útvary přímo shodné (posunutím v rovině se navzájem kryjí)2. Útvary nepřímo shodné (nelze je posouváním ztotožnit, ale lze je ztotožnit převrácením)

Uvedené vlastnosti platí analogicky i v prostoru. Můžeme ztotožnit tělesa - např. krychle, kvádry, apod.; nelze ale ztotožnit např. levou a pravou ruku. Proto i zde hovoříme o nepřímé shodnosti, někdy též tzv. zrcadlení.

Věty o shodnosti trojúhelníků:

Věta sss.

Pro každé dva trojúhelníky ABC, A´BĆ´platí: Shodují-li se trojúhelníky ve všech třech stranách, jsou shodné.

Věta sus:

Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném, pak jsou shodné.

Věta usu:

Shodují-li se dva trojúhelníky v jedné straně a v obou úhlech k této straně přilehlých, pak jsou shodné.

Věta Ssu:

Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a v úhlu ležícím proti větší z nich.

Pozn.: Každá matematická věta se skládá ze dvou částí - z předpokladu a z tvrzení. Po vyslovení každé matematické věty by měl následovat její důkaz. V tom se také matematická věta liší od definice. Definice je obecně platné tvrzení, které už nedokazujeme.

Pro důkazy matematických vět používáme obvykle 3 typy důkazů:

1. Přímý důkaz - na základě předpokladu uvedeného v matematické větě a na základě obecně platných vlastností vyplývajících z definic nebo z jiných už dokázaných vět, vyvozujeme tvrzení vyslovené matematické věty.

2. Nepřímý důkaz (důkaz sporem) - předpokládáme, že platí negace tvrzení stanoveného v matematické větě. Na základě obecně platných definic nebo už dokázaných matematických vět dojdeme ke sporu, tj. k závěru, který neplatí. V důsledku toho pak vyslovíme závěr, že negace původně stanoveného tvrzení neplatí a musí tedy platit původní tvrzení.

3. Důkaz matematickou indukcí - s tímto typem důkazu se seznámíme později; založen je na tom, že dokážeme, že věta platí pro n = 1, pak pro libovolné n + 1 a v závěru na základě získaných poznatků větu dokážeme.

Důkazové úlohy:

Příklad 1:



Nad stranami AC a BC rovnostranného trojúhelníka ABC jsou sestrojeny rovnostranné trojúhelníky ACD a BCE tak, že každý z nich leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že trojúhelník AEC je shodný s trojúhelníkem DBC.

Řešení:

|AC| = |CD| .. vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka|BC| = |CE| .. vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka|AC| = |BC| .. vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka ... (1)

Z uvedených tří vlastností vyplývá, že |CD| = |CE| ... (2)

úhel g = 60° .. vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka

|úhel DCB| = g + 60°|úhel ACE| = g + 60°

Z uvedených dvou vlastností vyplývá, že |úhel DCB| = |úhel ACE| ... (3)

Ze závěrů (1), (2), (3) vyplývá, že trojúhelníky jsou tedy shodné podle věty sus. CBD

Příklad 2:

Je dán čtverec ABCD. Veďte v něm dvě libovolné příčky k sobě kolmé, z nichž jedna protíná strany AD a BC v bodech P a Q a druhá protíná strany AB a CD v bodech U a V. Dokažte, že platí |PQ| = |UV|

Řešení:



D BCE je shodný s D ABF (Ssu)

Odtud vyplývá, že: |EC| = |FB| = |UV| = |PQ|

Závěr: |PQ| = |UV| CBD

Shodnost trojúhelníků - procvičovací příklady±

1. Na ose o ostrého úhlu AVB zvolte bod S uvnitř úhlu AVB a sestrojte kružnici k(S; r) tak, aby r > SV. Dokažte, že platí |MN| = |PQ|, kde M, N jsou body, ve kterých přímka AV protíná kružnici k a P, Q body, ve kterých přímka VB protíná kružnici k.Výsledek:

1257

2. Je dána kružnice k(S; r) a bod P, který leží vně kružnice k. Veďte bodem P ke kružnici k tečny t1, t2 a označte jejich dotykové body T1 a T2. Dokažte, že |PT1| = |PT2| a |úhel SPT1| = |úhel SPT2|.Výsledek:

1256

3. Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC a bod D, který je středem jeho základny AB. Bodem D jsou vedeny kolmice k ramenům AC a BC trojúhelníka ABC a jejich paty označeny M, N. Dokažte, že D DMC je shodný s D DNC.Výsledek:

1259

4. Rovnoramenný trojúhelník ABC má při základně AB úhel 30°. Dokažte, že osy ramen tohoto trojúhelníka rozdělují jeho základnu AB na tři stejné díly.Výsledek:

1258

5. Nad stranami AB a AC ostroúhlého trojúhelníka ABC jsou sestrojeny čtverce ABPQ a ACRT tak, že leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že |CQ| = |BT|.Výsledek:

1255



Podobnost trojúhelníků±

Podobnost trojúhelníků

Definice:Trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou podobné, jestliže pro jejich strany platí:a´= k . ab´= k . bc´= k . cČíslo k nazýváme koeficientem (poměrem) podobnosti. Koeficient podobnosti je vždy větší než nula.

Je-li k > 1, hovoříme o tzv. zvětšení, je -li 0 < k < 1, hovoříme o tzv. zmenšení.

Pozn.: Pokud by bylo k = 1, nastala by shodnost. Shodnost je tedy zvláštní případ podobnosti.

Věty o podobnosti trojúhelníků:

Věta sss:

Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže jejich poměry každých dvou odpovídajících si stran jsou shodné.

Věta sus:

Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují v jednom úhlu a poměry odpovídajících si stran, které svírají uvedený úhel, jsou shodné.

Věta uu:

Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují ve dvou odpovídajících si úhlech.

Poznámka:Pro podobné útvary tedy platí:- odpovídající si úsečky jsou ve stejném poměru- odpovídající si úhly jsou shodné

Důkazové úlohy:

Příklad 1:

Věta: Jestliže dva libovolné trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou rovnostranné, pak jsou podobné.

Důkaz:

Vnitřní úhly při vrcholech A, B, C mají velikost 60° ... vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníkaVnitřní úhly při vrcholech A´, B´, C´ mají velikost 60° ... vyplývá z vlastností rovnostranného

trojúhelníkaVnitřní úhel při vrcholu A je tedy shodný s vnitřním úhlem při vrcholu A´, vnitřní úhel při vrcholu B je shodný s vnitřním úhlem při vrcholu B´. Oba trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty uu. CBD

Příklad 2:

Věta: Jestliže dva pravoúhlé trojúhelníky jsou rovnoramenné, pak jsou podobné.

Důkaz:



Vnitřní úhly při vrcholech A, A´mají velikost 90° a jsou tedy shodné (vyplývá z předpokladu)|AB| = |AC| ... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka|A´B´| = |AĆ´| ... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka

k==CA

CÁ´

BA

BÁ´

Trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty sus. CBD

Výpočtové úlohy:

Příklad 3:

Les tvaru trojúhelníka ABC je na mapě v měřítku 1 : 50 000 zakreslen jako trojúhelník A´BĆ´ o stranách délek 3,2 cm, 4,8 cm 5,4 cm. Určete skutečné velikosti stran trojúhelníka.

Řešení:

|A´B´| = 3,2 cm|BĆ´| = 4,8 cm|AĆ´| = 5,4 cmk = 1 : 50 000|AB| = ? [cm]|BC| = ? [cm]|AC| = ? [cm]------------------------------|AB| = (1/k) . |A´B´||AB| = 3,2 . 50 000 cm = 160 000 cm = 1,6 km|BC| = 4,8 . 50 000 cm = 240 000 cm = 2,4 km|AC| = 5,4 . 50 000 cm = 270 000 cm = 2,7 km

Rozměry lesa jsou 1,6 km, 2,4 km, 2,7 km.

Podobnost trojúhelníků - procvičovací příklady±

1. Jsou dány dva podobné trojúhelníky , jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obsahy.

k2Výsledek:

1269



2. Jsou dány trojúhelníky ABC a A´BĆá platí:a = 6 b = 8 c = 9 a´= 5 b´= 6 2/3 c´= 7 1/2Rozhodněte, zda jsou trojúhelníky podobné.

Jsou podobné.Výsledek:

1273

3. Nepřátelská pozorovatelna je vzdálena 4 200 metrů a je položena o 180 metrů výše než postavení dělostřelecké baterie. Jak daleko lze umístit dělo za krytem, aby nebylo vidět z nepřátelské pozorovatelny? Kryt před baterií je 15 metrů vysoký.

350 mVýsledek:

1263

4. Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že:|EF| = 5 cm|MN| = 7 cm|EG|= 6 cm|NK| = 4 cmVypočtěte délku strany |MK|.

8,4 cmVýsledek:

1272

5. Trojúhelníkové pole o rozměrech 162,5 m, 117,5 m a 180 m je na mapě zakresleno jako trojúhelník se stranami 6,5 mm, 4,7 mm, 7,2 mm. Určete měřítko mapy.

1 : 25 000Výsledek:

1260

6. Přímá cesta rovnoměrně stoupá na každých dvou metrech o 46 cm. O kolik metrů stoupne cesta na vzdálenosti 270 metrů?

62,1 mVýsledek:

1262

7. Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou podobné, je-li zadáno:a = 5/3b = 11/6vnitřní úhel při vrcholu C je 70°a´= 5/2b´= 11/4vnitřní úhel při vrcholu C´je 70°

Jsou podobnéVýsledek:

1264

8. Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že:|EF| = 5 cm|MN| = 7 cm|EG|= 6 cm|NK| = 4 cmVypočtěte délku strany |FG|.

2,86 cmVýsledek:

1271

9. Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou podobné, je-li zadáno:a = 2,5b = 7vnitřní úhel při vrcholu C je 90°a´= 5b´= 13,9vnitřní úhel při vrcholu C´je 90°

Nejsou podobnéVýsledek:

1265



10. Školní budova vrhá na rovinu dvora stín 16 m dlouhý a v téže době vrhá svislá tyč stín 132 cm dlouhý. Určete výšku budovy.

12,12 mVýsledek:

1261

11. Jsou dány dva podobné trojúhelníky , jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obvody.

kVýsledek:

1268

12. Dokažte, že trojúhelník ABC a trojúhelník A´BĆ, který má vrcholy ve středech stran trojúhelníka ABC, jsou trojúhelníky podobné.Výsledek:

1270

13. Dva rovnoramenné trojúhelníky mají základny c, c´ a výšky v, v´. Dokažte, že jsou trojúhelníky podobné, platí-li c : v = c´: v´Výsledek:

1266

14. Z vrcholu pahorku 80 metrů vysokého je vidět na vodorovné rovině za sebou dvě tyče pod hloubkovými úhly 62° a 42°. Určete vzdálenost obou tyčí.

46,3 mVýsledek:

1267

Eukleidovy věty±

Eukleidovy věty

1. Věta o výšce

Pata výšky C´rozdělí stranu c na dvě části: ca, cb.Tvrzení: Trojúhelník ACĆ je podobný s trojúhelníkem CC´B. Důkaz je zřejmý podle věty uu, neboť oba trojúhelníky obsahují úhly alfa a beta.

Pozn.: Dva úhly, které mají na sebe kolmá ramena, jsou shodné.

Z podobnosti trojúhelníků vyplývá:

baa

b

ccvv

c

c

v.2 =Þ=



Rovněž by se dalo vyjádřit se stejným závěrem:

bab

a

ccvv

c

c

v.2 =Þ=

Vzniklý závěr nazýváme Eukleidovou větou o výšce a můžeme ji slovně vyjádřit následující větou:Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou úseky strany c.

Každou větu je nutno dokázat - důkaz už byl ale vlastně proveden výše.

2. Věta o odvěsně

Trojúhelník ACĆ je podobný s trojúhelníkem ACB. Podobnost lze odůvodnit opět podle věty uu, neboť v obou trojúhelnících jsou opět úhly alfa i beta.

Z podobnosti trojúhelníků vyplývá:

ccbc

b

b

cb

b .2 =Þ=

Rovněž by se dalo vyjádřit:

ccac

a

a

ca

a .2 =Þ=

Vzniklé vzorce jsou matematickým vyjádřením Eukleidových vět o odvěsně. Protože každý pravoúhlý trojúhelník má dvě odvěsny, jsou vždy i dvě Eukleidovy věty o odvěsnách. Opět můžeme napsat matematickou větu:Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou přepona a úsek přilehlý k dané odvěsně.

Důkaz i této věty už byl vlastně proveden výše.

Ukázkové příklady

Příklad 1 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o výšce:

Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku o délce x = Ö10

Řešení:



1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2 . 52. Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x

2 = 10, resp. x

2 = 2 . 5

3. Zvolíme-li x = v, ca = 2, cb = 5, pak můžeme snadno použít větu o výšce.4. Protože platí ca + cb = c, zjistíme, že přepona bude dlouhá 2 + 5 = 75. Narýsujeme úsečku AB o délce 7.6. Vyznačíme bod C´ a to tak, že je vzdálen od bodu A o délku 5.7. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB.8. V bodě C´vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X.9. Délka úsečky C´X pak odpovídá hledané x = Ö10

Příklad 2 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o odvěsně:

Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku o délce x = Ö10

Řešení:

1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2 . 52. Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x

2 = 10, resp. x

2 = 2 . 5

3. Zvolíme-li x = a, ca = 2, c = 5, pak můžeme snadno použít větu o odvěsně a.4. Narýsujeme úsečku AB o délce 5.5. Vyznačíme bod C´ a to tak, že je vzdálen od bodu B o délku 2.6. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB.7. V bodě C´vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X.8. Délka úsečky XB pak odpovídá hledané x = Ö10

Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná±

Střední geometrická úměrná

Vraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce:

v2 = ca . cb

neboli

ba ccv .=

Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin.

Příklad 1:

Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají.

Řešení:

Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r1. Pak má platit:

2

22

1

rr =



rr

r .2

1 =

Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou

Čtvrtá geometrická úměrná

Platí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah

x

c

b

a=

pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí.

Příklad 2:

Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček 3 cm, 5 cm, 2Ö2 cm

Řešení:

Ze zadání musí platit vztah:

x

22

5

3=

Příklad 3:

Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu:

b

ax

2

=

Řešení:

Zadaný vztah přepíšeme do tvaru

b

a

a

x=



neboli

x

a

a

b=

Eukleidovy věty - procvičovací příklady±

1. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö17. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.

4,12Výsledek:

1366

2. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö21. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.

4,58Výsledek:

1358


3,61Výsledek:

1363


4,58Výsledek:

1369


3,16Výsledek:

1355

6. Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a

Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b.Výsledek:

1421




3,74Výsledek:

1364


3,32Výsledek:

1354


2,83Výsledek:

1357


3,87Výsledek:

1365


3,46Výsledek:

1362


5,29Výsledek:

1352


3,61Výsledek:

1353


4,24Výsledek:

1367


4,36Výsledek:

1368

16. Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d2, kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček.

Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d.

Výsledek:

1422


4,69Výsledek:

1359


3,32Výsledek:

1361




4,80Výsledek:

1360


4,36Výsledek:

1356


4,24Výsledek:

1351


4,69Výsledek:

1370

Pythagorova věta±

Pythagorova věta

Věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami.

Důkaz:

Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí:a

2 = c . ca

b2 = c . cb

----------------Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme:a

2 + b

2 = c . ca + c . cb = c . (ca + cb) = c . c = c

2

CBDPlatí také věta obrácená:

Věta: Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c2 = a

2 + b

2, pak jde o pravoúhlý

trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C.

Důkaz:

Zvolme pravoúhlý trojúhelník A´BĆ´takový, aby při vrcholu C´ byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy:a´ = ab´ = bPro přeponu trojúhelníka A´BĆ´platí Pythagorova věta:c´

2 = a´

2 + b´

2 = a

2 + b

2 = c

2

Z toho vyplývá, žec´ = cTrojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A´BĆ´(sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C´(který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat.




Příklad 1:

Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý.

Řešení:

a = 4 cmb = 5 cmc = 6 cmc´= ? [cm]-----------------------Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c´. Pokud bude platit c´ = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý.

64154´ 2222 ¹=+=+= bac

Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý.

Pythagorova věta - procvičovací příklady±

1.

4,9 cmVýsledek:

1350

2.

1,78 cmVýsledek:

1349

3.

12Výsledek:

1346

4.

Výsledek:

1347

5.

Výsledek:

1348

6.

Výsledek:

1345



7.

12 cmVýsledek:

1344

8.

0,6 cmVýsledek:

1340

9.

110 mVýsledek:

1342

10.

6,06 cmVýsledek:

1341

11.

1 092 cm2Výsledek:

1343

12.

1,4 mVýsledek:

1339

Výpočty rovinných útvarů±

Výpočty rovinných útvarů

Tato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme.Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit.

Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady±



1.

b)

Výsledek:

1595

2.

Čtverec má větší obsah než obdélník.Výsledek:

1565

3.

TupoúhlýVýsledek:

1577

4.

4,8 cmVýsledek:

1543

5.

0,4 mVýsledek:

1532

6.

o = 24 cm; S = 41,6 cm2Výsledek:

1602

7.

54 cm2Výsledek:

1586

8.

10 cmVýsledek:

1603



9.

155°, resp. 205°Výsledek:

1615

10.

NemohouVýsledek:

1566

11.

3 200 m2Výsledek:

1555

12.

0,8 mVýsledek:

1508

13.

|AF| = 5 cm, |BC| = 1 cmVýsledek:

1522

14.

Výsledek:

1626



15.

24,3 cm2Výsledek:

1539

16.

Výsledek:

1563

17.

480 cm2

26 cm

Výsledek:

1601

18.

Výsledek:

1515

19.

Výsledek:

1559

20.

280 KčVýsledek:

1513



21.

Výsledek:

1623

22.

|BC| = 10 cm, obsah je 54 cm2Výsledek:

1579

23.

5,7 mVýsledek:

1548

24.

6,6 dm2Výsledek:

1572

25.

, , Výsledek:

1583

26.

3350 m2Výsledek:

1596



27.

58°Výsledek:

1590

28.

60 cm2Výsledek:

1553

29.

30 mVýsledek:

1521

30.

Výsledek:

1549

31.

90°Výsledek:

1541

32.

a = 110°, b = 70°, c = 60°, d = 50°, e = 60°, f = 70°, g = 60°, h = 110°Výsledek:

1509

33.

Výsledek:

1578



34.

2 řešení:Výsledek:

1574

35.

v = 4,33 cm

Výsledek:

1552

36.

9,18 cmVýsledek:

1609

37.

Poloměr kružnice opsané: 4,62 cmPoloměr kružnice vepsané: 2,31 cm60,5 %

Výsledek:

1607

38.

, , Výsledek:

1544



39.

27 obdélníkůVýsledek:

1561

40.

Výsledek:

1604

41.

Výsledek:

1514

42.

Výsledek:

1551

43.

6Výsledek:

1582

44.

17,32 cmVýsledek:

1610

45.

Výsledek:

1605



46.

795, 2 m2Výsledek:

1624

47.

977 m2Výsledek:

1569

48.

40 mVýsledek:

1524

49.

4 100 krátVýsledek:

1547

50.

88 cmVýsledek:

1528

51.

40,2 m2Výsledek:

1570

52.

NeVýsledek:

1538

53.

70°Výsledek:

1512



54.

4/5Výsledek:

1564

55.

34,9 %Výsledek:

1533

56.

Výsledek:

1519

57.

Zmenšení obsahu o 20 %Zmenšení obvodu o 11,11 %

Výsledek:

1576

58.

53,7 cm2Výsledek:

1518



59.

4 cm2Výsledek:

1617

60.

56,25 cm2Výsledek:

1592

61.

ABDVýsledek:

1557

62.

75°Výsledek:

1597

63.

193 mVýsledek:

1625



64.

700 m2; 160 mVýsledek:

1593

65.

50 cm2Výsledek:

1529

66.

Výsledek:

1613

67.

7,5 haVýsledek:

1520

68.

75°Výsledek:

1594



69.

30 cmVýsledek:

1536

70.

, Výsledek:

1517

71.

0,08 m2, 800 cm

2Výsledek:

1531

72.

10Výsledek:

1584

73.

13,5 cmVýsledek:

1612

74.

414 m2Výsledek:

1567

75.

77,8 %Výsledek:

1587



76.

204 cm2Výsledek:

1614

77.

19 cm2Výsledek:

1608

78.

Není zavlažováno 61,81 m2, třetí strana pole je 33,94 m.Výsledek:

1537

79.

57,74 cm2Výsledek:

1554

80.

15Výsledek:

1598

81.

3,14 cm2Výsledek:

1545

82.

Výsledek:

1516



83.

Výsledek:

1620

84.

11Výsledek:

1581

85.

0,35 mVýsledek:

1530

86.

2 řešení: 10,5 cm; 1,5 cmVýsledek:

1550

87.

20°Výsledek:

1589

88.

v = 6,06 cmABD

Výsledek:

1556

89.

16 trojúhelníkůVýsledek:

1618



90.

249 cm2Výsledek:

1627

91.

, , Výsledek:

1526

92.

94°Výsledek:

1546

93.

120°Výsledek:

1510



94.

Výsledek:

1562

95.

52 cmVýsledek:

1560

96.

13,9 cmVýsledek:

1588

97.

Výsledek:

1591

98.

Výsledek:

1527

99.

5 cmVýsledek:

1507



100.

Výsledek:

1558

101.

25 mmVýsledek:

1622

102.

4 krátVýsledek:

1585

103.

Výsledek:

1542

104.

Výsledek:

1535

105.

Výsledek:

1599

106.

5 cmVýsledek:

1568



107.

Výsledek:

1621

108.

50°Výsledek:

1511

109.

112 dlaždicVýsledek:

1534

110.

6,075 cm2Výsledek:

1540

111.

1/2Výsledek:

1575

112.

65,1 %Výsledek:

1606



113.

Porovnejte obsahy trojúhelníků ABC a ABCńa obrázku.

Oba obsahy jsou shodnéVýsledek:

1580

114.

2 400 cm2Výsledek:

1525

115.

140 mVýsledek:

1611

116.

46 cmVýsledek:

1616

117.

5 cmVýsledek:

1628



118.

Výsledek:

1523

119.

4 cmVýsledek:

1600

Shodná zobrazení±

Shodná zobrazení

Zobrazení nazveme shodné, jestliže útvary představující vzor a obraz jsou shodné.

Body, které se zobrazují samy na sebe, nazýváme body samodružné.

Mezi shodná zobrazení patří:

I. Identita (totožnost)

Identita je shodné zobrazení, kdy vzor a obraz jsou stejné (identické) útvary. Identita (totožnost) má nekonečně mnoho samodružných bodů.

Zapisujeme: I: Útvar A ---> Útvar B

II. Posunutí (translace)

Posunutí je shodné zobrazení, které je dáno vektorem posunutí (orientovanou úsečkou). Posunutí nemá žádné samodružné body.

Zapisujeme: T[AB]: Útvar A ---> Útvar B

III. Osová souměrnost

Osová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jednou přímkou, zvanou osa souměrnosti. Osová souměrnost má nekonečně samodružných bodů a jsou jimi všechny body ležící na ose souměrnosti. Můžeme tvrdit, že osová souměrnost má i nekonečně mnoho samodružných přímek, mezi něž patří jednak osa souměrnosti, ale i všechny přímky, které jsou k ose souměrnosti kolmé.

Zapisujeme: O[<-->p]: Útvar A ---> Útvar B

IV. Středová souměrnost



Středová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jedním bodem, zvaným střed souměrnosti. Středová souměrnost má právě jeden samodružný bod, kterým je právě střed souměrnosti.

Zapisujeme: S[S]: Útvar A ---> Útvar B

V. Otočení (rotace)

Otočení je shodné zobrazení, které je dáno jedním pevným bodem (středem otáčení) a úhlem otočení. Úhel otočení považujeme za kladný, otáčíme-li útvar proti směru hodinových ručiček a pokud otáčíme útvar po směru hodinových ručiček, pak považujeme úhel za záporný. Rotace má právě jeden samodružný bod, kterým je střed rotace.

Zapisujeme: R[S; +30°]: Útvar A ---> Útvar B

Pozn.: Středová souměrnost je vlastně zvláštní případ rotace.

Shodná zobrazení - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

1688

2.

Výsledek:

1696

3.

Výsledek:

1693

4.

Výsledek:

1682

5.

Výsledek:

1695



6.

Výsledek:

1686

7.

Výsledek:

1681

8.

Výsledek:

1694

9.

Výsledek:

1692

10.

Výsledek:

1687

11.

Výsledek:

1689

12.

Výsledek:

1691



13.

Výsledek:

1684

14.

Výsledek:

1683

15.

Výsledek:

1698

16.

Výsledek:

1697

17.

Výsledek:

1699



18.

Výsledek:

1685

19.

Výsledek:

1690

Orientovaný úhel±

Orientovaný úhel

Orientovaným úhlem AVB se nazývá uspořádaná dvojice polopřímek VA, VB, kde V je jejich společný počátek, přičemž:VA je počáteční rameno úhluVB je koncové rameno úhluV je vrchol orientovaného úhlu

Hodnota orientovaného úhlu je kladná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB proti směru chodu hodinových ručiček.Hodnota orientovaného úhlu je záporná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB po směru chodu hodinových ručiček.



Stupňová a oblouková míra

Velikost úhlů můžeme vyjadřovat jednak ve stupňové míře (plný úhel pak má 360°) a dále v míře obloukové (plný úhel pak má velikosti 2p rad).

Stupňová míra:

Oblouková míra:



p je tzv. Ludolfovo číslo a jeho hodnota je přibližně 3,14. Plný úhel má tedy hodnotu 2p rad, což je tedy přibližně 6,28 radiánů.

K převodům velikostí úhlů ze stupňů na radiány a naopak můžeme výhodně využít např. trojčlenku.

U číselné hodnoty úhlu v obloukové míře se obvykle jednotka rad vynechává.

Příklad 1:Úhel o velikosti 15° převeďte do obloukové míry.

Řešení:

180° ... p rad15° ... x rad-------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru)

radx12180

15. pp==

Pozn.: Výsledek můžeme klidně vyjádřit i ve tvaru 0,26 rad (přibližně)

Příklad 2:Úhel o velikosti 3p/4 rad převeďte na stupně.

Řešení:

180° ... p rad



x° ... 3p/4 rad-------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru)

o1354

3

.180 ==p

p

x

Úhel má tedy velikost 135°.

Z předchozích postupů můžeme snadno odvodit vzorce pro převody jedním nebo druhým směrem:

1. Převod ze stupňů na míru obloukovou

radx180

. oap=

2. Převod z radiánů na míru stupňovou

p

aradx

.180=

Stupňová a oblouková míra - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

1234

2.

70,02°Výsledek:

1252

3.

180°Výsledek:

1243

4.

2°Výsledek:

1245

5.

Výsledek:

1233

6.

195°Výsledek:

1248

7.

Výsledek:

1239



8.

Výsledek:

1236

9.

9,97°Výsledek:

1251

10.

Výsledek:

1235

11.

Výsledek:

1232

12.

36°Výsledek:

1244

13.

23°Výsledek:

1249

14.

Výsledek:

1240

15.

Výsledek:

1231

16.

Výsledek:

1238

17.

Výsledek:

1237

18.

270°Výsledek:

1250

19.

Výsledek:

1241

20.

40°Výsledek:

1254



21.

210°Výsledek:

1247

22.

Výsledek:

1242

23.

15°Výsledek:

1246

24.

172°Výsledek:

1253

Jednotková kružnice±

Jednotková kružnice

Jednotková kružnice je taková kružnice, jejíž poloměr je 1. Využít ji můžeme například k odvození goniometrických funkcí platících pro pravoúhlý trojúhelník.

Funkce sinus±

Funkce sinus

Určení funkce z jednotkové kružnice:



V pravoúhlém trojúhelníku je funkce sinus určena jako podíl protilehlé odvěsny a přepony.

Funkce sinus je tedy goniometrická funkce daná předpisem f: y = sina

Poznámky:

Funkce shora omezená:



Funkce zdola omezená:



Funkce periodická:



Funkce lichá:

Funkce

se nazývá kosekans a a zapisuje se y = cosec a



Funkce kosinus±

Funkce kosinus


V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem přilehlé odvěsny a přepony.

Funkce kosinus je funkce, která je dána předpisem f: y = cos a .

Poznámky:

Funkce sudá:



Funkce

se nazývá sekans a, zapisujeme y = sec a

Funkce tangens±

Funkce tangens

Určení funkce tangens z jednotkové kružnice:



Funkce tangens a je goniometrická funkce definovaná pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar:

V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem protilehlé a přilehlé odvěsny.

Poznámky:

Funkce rostoucí:



Funkce kotangens±

Funkce kotangens


Funkce y = cotg a je goniometrická funkce, která je definována pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar:

V pravoúhlém trojúhelníku je funkce definována jako podíl přilehlé odvěsny a protilehlé odvěsny.



Poznámky:

Funkce klesající:

Řešení pravoúhlého trojúhelníka±

Řešení pravoúhlého trojúhelníka

Mění-li se v pravoúhlém trojúhelníku velikost úhlu alfa, mění se i poměry délek stran v tomto trojúhelníku. Proto jsou v pravoúhlém trojúhelníku definovány tyto vztahy pro goniometrické funkce ostrého úhlu:



Pozn.: Veškeré výpočty goniometrických funkcí budeme provádět zpravidla na kalkulačce a výsledky budeme udávat s přesností na čtyři platné číslice. Respektujeme přitom správné zaokrouhlení čísel.

Za platnou číslici se považuje každá číslice v číslu, která je na pozici počínaje od první nenulové zleva.Pokud nebude zadáno jinak, vždy uvažujeme obvyklé značení v pravoúhlém trojúhelníku, což je: Pravý úhel při

vrcholu C, přepona c, odvěsny a, b, ostré úhly při vrcholu A, B.

Příklad 1:

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je |AB| = c = 8 cm, |BC| = a = 5 cm. Vypočti velikosti ostrých úhlů při vrcholech A, B trojúhelníku ABC.

Řešení:

|AB| = c = 8 cm|BC| = a = 5 cma = ? [° ´]b = ? [° ´]----------------------------

c

a=asin

8

5sin =a



sin a = 0,625a = 38°41´

c

a=bcos

8

5cos =b

cos b = 0,625b = 51°19´

Závěr: Vnitřní úhel při vrcholu A má velikost 38°41á vnitřní úhel při vrcholu B má velikost 51°19´.

Příklad 2:

V pravoúhlém trojúhelníku OPQ s pravým úhlem při vrcholu Q je |OQ| = p = 5 cm, |úhel QOP| = 35°10´. Vypočti délku odvěsny |PQ| = o.

Řešení:

|OQ| = p = 5 cm|úhel QOP| = 35°10´|PQ| = o = ? [cm]-----------------------------

OQ

PQúhelQOPtg =

|PQ| = |OQ| . tg|úhel QOP||PQ| = 5 . tg 35°10´= 5 . 0,7046 = 3,5 (po zaokrouhlení)|PQ| = 3,5 cm (po zaokrouhlení)

Závěr: Délka odvěsny je přibližně 3,5 cm.

Příklad 3:

Nejvyšší přípustné stoupání silnic je dáno poměrem 1 : 18. Pod jakým největším úhlem může silnice stoupat?

Řešení:

|BC| = 1 díl|AB| = 18 dílůa = ? [°´]------------------------------

AB

BCtg =a

18

1=atg

tg a = 0,0556a = 3°11´



Závěr: Úsek silnice může stoupat nejvýše pod úhlem 3°11´.

Pravoúhlý trojúhelník - procvičovací příklady±

1. Přímá železniční trať stoupla na vzdálenosti 100 m (měřeno ve vodorovné poloze) o 1,4 m. Vypočítej velikost úhlu stoupání.

0,83°Výsledek:

1461

2. Vypočti obsah kosočtverce ABCD, je-li tangens úhlu ABD roven Ö15 a |AC| = 4 cm.

2,1 cm2Výsledek:

1471

3. Stavební materiál byl na stavbu dopravován transportérem dlouhým 10 m pod úhlem w = 20°. Do jaké výšky v metrech byl tento materiál dopravován? (Obloukovité zakončení transportéru neber v úvahu.)

3,4 mVýsledek:

1462

4. Stabilitu roury na vodorovné podložce zabezpečuje ocelové lano, které rouru obepíná. Lano je ukotveno v bodech A, B. Platí |AT1| = |BT1|; T1 je bod dotyku roury s podložkou. Vypočítejte délku lana od bodu A do bodu B, jestliže vnější průměr roury se rovná 44 cm a velikost úhlu T3ST2 je rovna 90°; S je střed kruhového průřezu rourou, který je kolmý na osu roury.

140,8 cmVýsledek:

1481

5. V pravoúhlém trojúhelníku ABC je délka přepony |AB| = c = 6,9 cm a |úhel CAB|= a 34°. Vypočti délky odvěsen AC a BC.

a = 3,9 cm, b = 5,7 cmVýsledek:

1467

6. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí:a = 63°10´, a = 6,7 m

b = 3,39 m, c = 7,51 m, b = 26°50´, g = 90°Výsledek:

1466



7. V kosočtverci ABCD je úhlopříčka |AC| = e = 24 cm a |úhel SAB| = e = 28°; S je průsečík úhlopříček AC a BD. Vypočtěte obvod kosočtverce ABCD.

54 cmVýsledek:

1475

8. Průměr podstavy válce je 36 cm. Velikost úhlu w, který svírá úhlopříčka osového řezu s výškou válce v, je 30°. Vypočti povrch válce.

9083 cm2Výsledek:

1473

9. Úhlopříčka obdélníkového půdorysu chaty je dlouhá 10 m a s kratší stranou tohoto půdorysu svírá úhel 60°. Vypočti obsah půdorysu chaty.

43,3 m2Výsledek:

1470

10. Krov dlouhý 6,6 m přesahuje přes okraj zdi 60 cm své délky a s rovinou půdy svírá úhel 42° (viz obrázek). O kolik centimetrů by se snížila výška půdy v, kdyby tentýž krov přesahoval přes okraj zdi 75 centimetrů své délky?

22,8 cmVýsledek:

1479



11. Rampu u skladu zboží drží 4 stejné ocelové vzpěry, jedna z nich je nakreslena na obrázku. Kolik metrů ocelové trubky čtvercového průřezu se spotřebovalo k výrobě všech čtyř vzpěr, jestliže se jejich spotřeba úpravou ve svárech zvýšila o 7 procent?

21 mVýsledek:

1478

12. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí:a = 48°30´, c = 3,2 m

a = 2,40 m, b = 2,12 m, b = 41°30´, g = 90°Výsledek:

1465

13. Před rovinným zrcadlem jsou dva body A, B vzdálené od sebe 36 cm. Vzdálenost bodu A od zrcadla je 7 cm, bodu B 18 cm. Pod jakým úhlem je třeba vést světelný paprsek (jde o úhel mezi rovinou zrcadla a paprskem) bodem A, aby po odrazu procházel bodem B?

36,1°Výsledek:

1480

14. Tělesová úhlopříčka u1 kvádru je dlouhá 9,7 dm a s podstavnou úhlopříčkou u2 svírá úhel a = 42°. Vypočti výšku kvádru v.

6,5 dmVýsledek:

1463



15. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB je dáno: b = 30 cm, b = 67°. Vypočti délku odvěsny a.

12,7 cmVýsledek:

1460

16. Na obrázku jsou narýsovány tečny t1 a t2 z bodu P ke kružnici k(S; 3 cm). Platí: |PS| = 9,6 cm. Vypočti délku tětivy T1T2.

5,7 cmVýsledek:

1476

17. Délka a šířka obdélníku jsou v poměru 8 : 5. Jak velké úhly svírá úhlopříčka obdélníku s jeho stranami?

S delší stranou 32°, s kratší stranou 58°.Výsledek:

1469

18. Profil příkopu na obrázku je rovnoramenný lichoběžník se základnami dlouhými 60 cm a 80 cm. Sklon boční stěny příkopu je 80°. Vypočti hloubku příkopu.

56,7 cmVýsledek:

1472

19. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí:a = 24 cm, c = 30 cm.

b = 18 cm, a = 53°08´, b = 36°52´, g = 90°Výsledek:

1464

20. V rovnoramenném trojúhelníku XYZ je dána délka jeho základny |XY| = z = 9 cm a velikost úhlu |úhel XYZ|= 50°10´. Vypočti obsah tohoto trojúhelníku.

24,3 cm2Výsledek:

1474



21. V pravoúhlém trojúhelníku EFG jsou dány délky odvěsen |FG| = e = 10,4 m a |EG| = f = 6,8 m. Vypočti velikosti jeho ostrých úhlů při vrcholech E a F.

Úhel při vrcholu E má velikost 56°49á úhel při vrcholu F má velikost 33°11´Výsledek:

1468

22. Jedna část střechy má tvar obrazce složeného z obdélníku a z kosodélníku (viz obrázek). Vypočti spotřebu tašek na její pokrytí, počítá-li se s 18 taškami na jeden metr čtverečný a s osmi procenty tašek navíc z důvodu jejich tvarové úpravy.

1040 ksVýsledek:

1477

Tabulka důležitých hodnot gon. funkcí±

Tabulka důležitých hodnot goniometrických funkcí

Goniometrické funkce úhlů větších než 90°±

Goniometrické funkce úhlů větších než 90°

Určíme snadno z jednotkové kružnice na základě znalosti úhlů do 90°.



Všimněme si, že pro základní úhel a vychází funkce sinus jako svislá úsečka (označena červeně) a funkce kosinus jako vodorovná úsečka (označena modře). Navíc pro základní úhel a je funkce sinus "krátká" úsečka a funkce kosinus "dlouhá" úsečka. Toho všeho využijeme pro určení dalších vzorců.Obrázek naší jednotkové kružnice využijeme pro určení vzorců pro úhly velikosti (90° + a). Pro určení dalších vzorců budou úvahy analogické, proto už budou pouze popsány slovy (bez náčrtku jednotkové kružnice).

Platí tedy:sin (90° + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladnýZávěr:sin (90° + a) = cos a

cos (90° + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek zápornýZávěr:cos (90° + a) = - sin a

Hodnoty tangens a kotangens určíme z právě uvedených hodnot funkcí sinus a kosinus pomocí známých vzorců:

( ) ( )( )

aa

a

a

aa cotg

sin

cos

90cos

90sin90 -=

-=

+

+=+tg

( ) ( )( )

aa

a

a

aa tg-=

-=

+

+=+

cos

sin

90sin

90cos90cotg

--------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (180 -a):



Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické.sin (180° - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladnýZávěr:sin (180° - a) = sin a

cos (180° - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek zápornýZávěr:cos (180° - a) = - cos a

( ) ( )( )

aa

a

a

aa tg

cos

sin

180cos

180sin180 -=

-=

-

-=-tg

( ) ( )( )

aa

a

a

aa cotg

sin

cos

180sin

180cos180cotg -=

-=

-

-=-

--------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (180 + a):Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické.sin (180° + a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek zápornýZávěr:sin (180° + a) = - sin a

cos (180° + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek zápornýZávěr:cos (180° + a) = - cos a

( ) ( )( )

aa

a

a

aa tg

cos

sin

180cos

180sin180 =

-

-=

+

+=+tg

( ) ( )( )

aa

a

a

aa cotg

sin

cos

180sin

180cos180cotg =

-

-=

+

+=+

--------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (270 - a):Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické.sin (270° - a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek zápornýZávěr:sin (270° - a) = - cos a

cos (270° - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek zápornýZávěr:cos (270° - a) = - sin a

( ) ( )( )

aa

a

a

aa cotg

sin

cos

270cos

270sin270 =

-

-=

-

-=-tg

( ) ( )( )

aa

a

a

aa tg

cos

sin

270sin

270cos270cotg =

-

-=

-

-=-

--------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (270 + a):Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické.



sin (270° + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek zápornýZávěr:sin (270° + a) = - cos a

cos (270° + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladnýZávěr:cos (270° + a) = sin a

( ) ( )( )

aa

a

a

aa cotg

sin

cos

270cos

270sin270 -=

-=

+

+=+tg

( ) ( )( )

aa

a

a

aa tg

cos

sin

270sin

270cos270cotg -=

-=

+

+=+

--------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (360 - a):Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické.sin (360° - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek zápornýZávěr:sin (360° - a) = - sin a

cos (360° - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladnýZávěr:cos (360° - a) = cos a

( ) ( )( )

aa

a

a

aa tg

cos

sin

360cos

360sin360 -=

-=

-

-=-tg

( ) ( )( )

aa

a

a

aa cotg

sin

cos

360sin

360cos360cotg -=

-=

-

-=-


Příklad 1:

Vypočtěte:sin 330° - cos 210° + tg 150° - 0,5 tg 45°

Řešení:

sin (360°- 30°) - cos (180° + 30°) + tg (180° - 30°) - 0,5 . 1 = = - sin 30° - (- cos 30°) + (- tg 30°) - 0,5 =

=--+-

=--+-=6

332333

2

1

3

3

2

3

2

1

6

31

6

333+-=

-+-=

Příklad 2:

Vypočtěte:sin 660° - cos 585° + 0,5 . tg 780° + tg 495°



Řešení:

Při řešení využijeme vlastností, že goniometrické funkce jsou periodické. U funkcí sinus a kosinus můžeme libovolně přičítat (odečítat) periodu 360°, resp. její násobky. U funkcí tangens a kotangens můžeme libovolně přičítat nebo odečítat násobky periody, kterou je 180°.

sin 660° - cos 585° + 0,5 . tg 780° + tg 495° = sin 300° - cos 225° + 0,5 . tg 60° + tg 135° = = sin (360° - 60°) - cos (180° + 45°) + 0,5 . tg 60° + tg (90° + 45°) == - sin 60° - (- cos 45°) + 0,5 . tg 60° + (- cotg 45°) =

=-++-= 13.2

1

2

2

2

3

=-++-

=2

2323

12

2-=

Goniometrické funkce úhlů větších než 90° - procvičovací příklady±

1.

-0,577Výsledek:

1735

2.

-1Výsledek:

1730

3.

1Výsledek:

1719

4.

0,125Výsledek:

1724

5.

-0,866Výsledek:

1720

6.

0Výsledek:

1715

7.

-0,707Výsledek:

1722

8.

1,155Výsledek:

1738



9.

-0,577Výsledek:

1728

10.

0,25Výsledek:

1713

11.

-1Výsledek:

1731

12.

-1,155Výsledek:

1739

13.

4Výsledek:

1744

14.

0,134Výsledek:

1742

15.

-1,732Výsledek:

1729

16.

0,707Výsledek:

1716

17.

-1Výsledek:

1736

18.

-1,732Výsledek:

1734

19.

-0,707Výsledek:

1723

20.

0,866Výsledek:

1718

21.

-2Výsledek:

1743



22.

0Výsledek:

1741

23.

0Výsledek:

1714

24.

0Výsledek:

1725

25.

0Výsledek:

1740

26.

1,732Výsledek:

1727

27.

0,577Výsledek:

1732

28.

1Výsledek:

1712

29.

0,577Výsledek:

1726

30.

1,732Výsledek:

1733

31.

-0,707Výsledek:

1721

32.

-1Výsledek:

1737

33.

-0,5Výsledek:

1717

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi±

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi využíváme ke zjednodušování výrazů obsahujících goniometrické funkce a dále i k řešení goniometrických rovnic, jimiž se budeme zabývat později.



Přehled důležitých vzorců, které budeme často využívat:

x

xtgx

cos

sin=

x

xx

sin

coscotg =

sin (-x) = - sin xcos (-x) = cos xtg (-x) = - tg xcotg (-x) = - cotg x

sin2 x + cos

2 x = 1

tg x . cotg x = 1

sin (x + y) = sin x . cos y + cos x . sin ysin (x - y) = sin x . cos y - cos x . sin ycos (x + y) = cos x . cos y - sin x . sin ycos (x - y) = cos x . cos y + sin x . sin y

tgytgx

tgytgxyxtg

.1)(

-

+=+

tgytgx

tgytgxyxtg

.1)(

+

-=-

sin 2x = 2sin x . cos xcos 2x = cos

2 x - sin

2 x

xtg

tgxxtg

21

22

-=

2

cos1

2sin

xx -=

2

cos1

2cos

xx +=

x

xxtg

cos1

cos1

2 +

-=

2cos

2sin2sinsin

yxyxyx

-+=+

2sin

2cos2sinsin

yxyxyx

-+=-

2cos

2cos2coscos

yxyxyx

-+=+

2sin

2sin2coscos

yxyxyx

-+-=-

Příklad 1:



Řešení:

Příklad 2:

Řešení:

Příklad 3:

Řešení:

Příklad 4:

Řešení:

Příklad 5:

Řešení:

Příklad 6:



Řešení:

Příklad 7:

Řešení:

Příklad 8:

Řešení:

Příklad 9:

Řešení:



Příklad 10:

Řešení:

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - procvičovací příklady±



1.

2Výsledek:

1770

2.

Výsledek:

1762

3.

Výsledek:

1763

4.

Výsledek:

1773

5.

Výsledek:

1779

6.

Výsledek:

1766



7.

Výsledek:

1755

8.

Výsledek:

1761

9.

Výsledek:

1759

10.

Výsledek:

1774

11.

Výsledek:

1780

12.

Výsledek:

1757

13.

1Výsledek:

1771



14.

Výsledek:

1758

15.

Výsledek:

1778

16.

Výsledek:

1777

17.

Výsledek:

1775

18.

Výsledek:

1764

19.

Výsledek:

1756

20.

Výsledek:

1767



21.

Výsledek:

1765

22.

Výsledek:

1768

23.

Výsledek:

1772

24.

0Výsledek:

1769

25.

Výsledek:

1776

26.

Výsledek:

1760



Goniometrické rovnice±

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice jsou takové rovnice, které obsahují neznámou v argumentu goniometrické funkce.

Při řešení goniometrických rovnic využijeme vztahů mezi goniometrickými funkcemi, znalosti grafů jednotlivých goniometrických funkcí a dále tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí. Vždy musíme vzít v úvahu periodu jednotlivých goniometrických funkcí.

Příklad 1:

Řešte rovnici sin x = 0,5

Řešení:

Z tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí víme, že sin x = 0,5 je splněno pro x = 30°.Platí tedy, že x1 = 30° + k.360°

Funkce sinus nabývá ale hodnoty 0,5 ještě pro úhel (180° - 30°) = 150° (k závěru dospějeme nejsnáze, pokud si představíme průběh grafu funkce sinus). Dostáváme tak druhé řešení:x2 = 150° + k.360°

Obě řešení lze vyjádřit i v obloukové míře:

Příklad 2:

Řešte rovnici:

2

3sin -=x

Řešení:

Pokud je hodnota záporná, vytvoříme si nejprve hodnotu pomocnou, a to s kladným znménkem. Řešíme tedy nejprve pomocnou rovnici

2

3sin =x

Vyjde nám tak pomocný úhel x0 = 60°. Protože ale hodnota má být ve skutečnosti záporná, určíme z grafu hodnotu neznámých:x1 = (180° + 60°) + k.360° = 240° + k.360°x2 = (360° - 60°) + k.360° = 300° + k.360°

I v tomto případě lze oba výsledky vyjádřit v obloukové míře:

Příklad 3:

Řešte rovnici sin 2x = 0,5



Řešení:

V tomto případě je vhodné použít substituci: y = 2xŘešíme pak rovnici sin y = 0,5Z příkladu č. 1 už víme, že tato rovnice má dvě řešení:y1 = 30°+ k.360°y2 = 150° + k.360°Vrátíme se k substituci a dostaneme:2x1 = 30° + k.360° a odtud: x1 = 15° + k.180°2x2 = 150° + k.360° a odtud: x2 = 75° + k.180°

I tyto výsledky lze vyjádřit oba v obloukové míře:

Příklad 4:

Řešte rovnici: cos 3x . sin 2x = 0

Řešení:

Využijeme věty, že součin se rovná nule tehdy, je-li roven nule alespoň jeden z činitelů. Proto řešení rovnice rozdělíme na dvě části:1. část:Řešíme cos 3x = 0Substituce: y = 3xRovnice cos y = 0 má řešení:y1 ́= 90° + k . 360°y2 ́= 270°+ k . 360°Vzhledem k tomu, že ale 270° = 3 . 90°, vidíme, že vlastně lze oba výsledky sloučit do jednoho, protože se vlastně jedná o všechny liché násobky čísla 90°.Získáme tak řešení:y1 = (2k + 1) . 90°

Pozn.: Liché násobky vyjadřujeme (2k + 1), kde k je libovolné celé číslo, a sudé násobky vyjadřujeme 2k, kde k je libovolné celé číslo.

Vrátíme se k substituci a získáme:3x1 = (2k + 1) . 90° neboli x1 = (2k + 1) . 30°

2. část:Řešíme sin 2x = 0Substituce: y = 2xRovnice sin y = 0 má dvě řešení:y1́ = 0° + k . 360°y2́ = 180° + k . 360°Vzhledem k tomu, že ale 180° = 2 . 90° a 0° = 0 . 90°, vidíme, že se vlastně vždy jedná o sudé násobky čísla 90° a při představení si grafu zjistíme, že se jedná o všechny sudé násobky čísla 90°. Získáme tak opět jediné řešení:y2 = 2k . 90°Vrátíme se k substituci a získáme:2x2 = 2k . 90° neboli x2 = k . 90°

Oba konečné výsledky lze opět vyjádřit v obloukové míře:



Příklad 5:

Řešte rovnici: 4cos2x + 4cosx - 3 = 0

Řešení:

Substituce y = cos xZískáme tak kvadratickou rovnici 4y

2 + 4y - 3 = 0

Zjistíme, že tato kvadratická rovnice má kořeny:y1 = -1,5 a y2 = 0,5Vrátíme se k substituci:cos x1 = -1,5Tato rovnice ale nemá řešení, protože obor hodnot funkce y = cos x je <-1; 1>cos x2 = 0,5x2 = 60° + k . 360°x3 = (360° - 60°) + k . 360° = 300° + k . 360°

Řešením tedy je x1 = 60° + k . 360°, x2 = 300° + k . 360°, neboli v obloukové míře:

Goniometrické rovnice - procvičovací příklady±

1. Řešte rovnici:

Výsledek:

1808

2. Řešte rovnici:

Výsledek:

1814

3. Řešte rovnici:

Výsledek:

1811

4. Řešte rovnici: sin2 x - cos

2 x + sin x = 0

Výsledek:

1794

5. Řešte rovnici:

Výsledek:

1826



6. Řešte rovnici:

Výsledek:

1833

7. Řešte rovnici: 6sin2 x + 3sin x . cos x - 5cos

2 x = 2

Výsledek:

1800

8. Řešte rovnici:

Výsledek:

1825

9. Řešte rovnici:

Výsledek:

1816


Výsledek:

1824


Výsledek:

1785


Výsledek:

1820

13. Řešte rovnici: cos 2x = 1Výsledek:

1781


Výsledek:

1823

15. Řešte rovnici: cotg 6x = -1Výsledek:

1784


Výsledek:

1829




Výsledek:

1815


Výsledek:

1805


Výsledek:

1809


Výsledek:

1813


Výsledek:

1822


Výsledek:

1806

23. Řešte rovnici: 2tg x - 3cotg x = 1Výsledek:

1792


Výsledek:

1831


Výsledek:

1832


Výsledek:

1791




Výsledek:

1819


Výsledek:

1807

29. Řešte rovnici: 2sin2 x + sin x - 1 = 0

Výsledek:

1793

30. Řešte rovnici: 3cos2 x - sin

2 x - sin 2x = 0

Výsledek:

1790

31. Řešte rovnici: cos 2x = cos2 2x

Výsledek:

1803


Výsledek:

1818

33. Řešte rovnici: 2sin2 x = 3cos x

Výsledek:

1795


Výsledek:

1830


Výsledek:

1788


Výsledek:

1783

37. Řešte rovnici: sin 2x = 3sin2 x

Výsledek:

1797




Výsledek:

1817

39. Řešte rovnici: 7sin x + 4cos x = 8Výsledek:

1802


Rovnice nemá řešení.Výsledek:

1827


Výsledek:

1828

42. Řešte rovnici: sin2 x - 2sin x . cos x - cos

2 x = 0

Výsledek:

1799

43. Řešte rovnici: sin x . (1 + 2cos x) = 0Výsledek:

1787

44. Řešte rovnici: sin x . cos x == 0,25Výsledek:

1789


Výsledek:

1821


Výsledek:

1812


Výsledek:

1810

48. Řešte rovnici: sin2 x + 1,5cos

2 x = 2,5sin x . cos x

Výsledek:

1801




Výsledek:

1798

50. Řešte rovnici: tg x = 1Výsledek:

1782


Výsledek:

1804

52. Řešte rovnici: cos 2x = 2cos xVýsledek:

1796

53. Řešte rovnici: sin x . cotg 2x = 0Výsledek:

1786

Sinová věta±

Sinová věta

Věta: V trojúhelníku ABC platí: a : b : c = sina : sinb : sing

Lze zapsat i jinak:

b

a

sin

sin=

b

a

; g

b

sin

sin=

c

b

; a

g

sin

sin=

a

c

nebo

gba sinsinsin

cba==

Důkaz:



Volme jednotkovou kružnici.Platí:

r

aaBC ==

Použijeme pro trojúhelník ZBC Pythagorovu větu:

( )

( ) ( )aa

aaaaaa

aaaaa

22

2222

2222

2

22

sin4sin2.2

sincoscossin.22cos1.22cos2-2

2cos2cos212sin2cos12sin

==

=+-+=-==

=+-+=-+==r

aBC

a2

2

2

sin4=r

a

a, r, sina jsou kladné hodnoty, proto můžeme odmocnit a dostaneme:

ra

2sin

=a

Obdobně bychom dokázali:

rb

2sin

=b ;

rc

2sin

=g

Odtud tedy platí:

gba sinsinsin

cba==

Slovní vyjádření věty:Poměr dvou stran v trojúhelníku je roven poměru sinů protilehlých úhlů.

Užití sinové věty:Známe-li buď dva úhly a jednu stranu nebo dvě strany a úhel ležící proti jedné z nich.



Sinová věta platí pro obecný trojúhelník, nikoliv tedy jen pro trojúhelník pravoúhlý.

Příklad 1:

Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno:a = 123,07 mb = 65° 30´ 12´´g = 72° 02´ 36´´-----------------------------------Známe stranu a, proto potřebujeme znát i úhel ležící proti ní. Snadno ho vypočteme:a = 180° - (b + g ) = 180° - (65° 30´ 12´´ + 72° 02´ 36´´) = 180° - 137° 32´ 48´´== 42° 27´12´´

ba sinsin

ba=

a

b

sin

sin.ab =

´´12´2742sin

´´12´3065sin.07,123

°

°=b

b = 165,92 m

ga sinsin

ca=

a

g

sin

sin.ac =

´´12´2742sin

´´36´0272sin.07,123

°

°=c

c = 173,45 m

V zadaném trojúhelníku má tedy úhel a velikost 42°27´12´´, strana b je dlouhá 165,92 metru a strana c má délku 173,45 m.

Sinová věta - procvičovací příklady±

1.

46 mVýsledek:

1845

2.

Výsledek:

1846

3. Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu B trojúhelníku ABC, je-li dáno:

21° 34´ 48´´Výsledek:

1841



4.

Výsledek:

1847

5.

103 mVýsledek:

1843

6.

43,3 mVýsledek:

1844

7. Určete ostatní úhly v trojúhelníku ABC, je-li dáno:

Výsledek:

1839

8.

107,8 mVýsledek:

1834

9. Určete délku strany b trojúhelníka ABC, je-li dáno:

251,6 mVýsledek:

1837

10.

Výsledek:

1848

11. Určete délku strany a trojúhelníka ABC, je-li dáno:

23,75 mVýsledek:

1836

12. Vypočti stranu c, je-li v trojúhelníku ABC dáno:

11,35 mVýsledek:

1835



13.

2094 mVýsledek:

1849

14. Určete délku strany c trojúhelníka ABC, je-li dáno:

319,1 mVýsledek:

1838

15. Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu A trojúhelníku ABC, je-li dáno:

13° 18´ 36´´Výsledek:

1840

16.

8 523,3 m 8 219 mVýsledek:

1842

Kosinová věta±

Kosinová věta

Věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly a, b, g , a stranami a, b, c platí: a

2 = b

2 + c

2 - 2bc.cosa

b2 = a

2 + c

2 - 2ac.cosb

c2 = a

2 + b

2 - 2ab.cosg

Důkaz:



2

222

c

aBCa ==

a

aaaaa

cos2

1

sincoscos2sincos

2

2

22

2

22

22

c

b

c

b

c

b

c

b

c

bBC

-+=

=++-=+÷ø

öçè

æ-=

a2 = b

2 + c

2 - 2bc.cosa

Je-li a > 90°, pak cosa = - cos(180° - a) a platí tedy:a

2 = b

2 + c

2 +2bc.cos(180° - a)

Kosinová věta platí též, podobně jako sinová věta, pro obecný trojúhelník.

Příklad 1:

Řešte trojúhelník, je-li dáno: a = 7 cm, c = 4 cm, b = 78°

Řešení:

a = 7 cmc = 4 cmb = 78°b = ? [cm]a = ? [° ´]g = ? [° ´]--------------------------------------b

2 = a

2 + c

2 - 2ac.cosb

b2 = 7

2 + 4

2 - 2 . 7 . 4 . cos 78°

b2 = 49 + 16 - 56 . cos 78°

b2 = 53,3576

b = 7,3 cm (po zaokrouhlení)

ba sinsin

ba=

b

a ba

sin.sin =

9379,03,7

78sin.7sin =

°=a

a = 69° 42´

ga sinsin

ca=

a

c ag

sin.sin =

5359,07

´4269sin.4sin =

°=g



g = 32° 24´

Závěr: Zbývající prvky trojúhelníka jsou b = 7,3 cm, a = 69° 42´, g = 32° 24´.

Poznámka: Úhly a a g můžeme též vypočítat podle Kosinové věty:

a2 = b

2 + c

2 - 2bc . cos a

bc

acb

2cos

222 -+=a

3474,04.3,7.2

743,7cos

222

=-+

=a

a = 69°40´

c2 = a

2 + b

2 - 2ab . cos g

ab

cba

2cos

222 -+=g

8443,03,7.7.2

43,77cos

222

=-+

=g

g = 32°24´

Výsledky jsou tedy přibližně stejné. Nepatrná odchylka vznikla zaokrouhlením úhlů na minuty. Kdybychom počítali ve vteřinách, byly by výpočty přesnější.

Kosinová věta - procvičovací příklady±

1. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 16,9 m, b = 26 m, c= 27,3 m

36° 52´Výsledek:

1877

2. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 6 m, b = 11 m, c= 7 m

115° 23´Výsledek:

1859

3.

365,3 mVýsledek:

1850

4.

5,6Výsledek:

1851



5. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 16,9 m, b = 26 m, c= 27,3 m

75° 45´Výsledek:

1879

6. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 4 : 5 : 6

55° 46´Výsledek:

1871

7. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 6 m, b = 11 m, c= 7 m

29° 32´Výsledek:

1858

8. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 16,9 m, b = 26 m, c= 27,3 m

67° 23´Výsledek:

1878

9. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 40 m, b = 23 m, c= 23 m


1866

10. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 6 m, b = 11 m, c= 7 m

35° 05´Výsledek:

1860

11.

7Výsledek:

1856

12.


1881

13. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 1 : 2 : 3

Trojúhelník neexistuje.Výsledek:

1875

14. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 1 : 2 : 3

Trojúhelník neexistuje.Výsledek:

1874

15. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 26° 38´16´´, b = 683,1 m, c= 534,7 m


1862

16. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 40 m, b = 23 m, c= 23 m

29° 35´ 30´´Výsledek:

1865



17.

5,3Výsledek:

1853



1869

19.

8 885 mVýsledek:

1884

20.

75° 11´Výsledek:

1880

21. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a: b : c = 2 : 3 : 4

46° 34´Výsledek:

1868

22.

70° 32´ 38° 56´Výsledek:

1876

23.

1 825 NVýsledek:

1857

24.

2,5Výsledek:

1855

25.

1635 mVýsledek:

1883

26.

5Výsledek:

1852

27.

3,6Výsledek:

1854



28. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 2 : 3 : 4

28° 57´Výsledek:

1867

29. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 40 m, b = 23 m, c= 23 m

29° 35´ 30´´Výsledek:

1864


82° 49´Výsledek:

1872


Trojúhelník neexistujeVýsledek:

1873

32.

59° 70° 32´ 50° 28´ Výsledek:

1882

33. Určete velikost strany a v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 26° 38´16´´, b = 683,1 m, c= 534,7 m

315,5 mVýsledek:

1863


41° 25´Výsledek:

1870

35. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 26° 38´16´´, b = 683,1 m, c= 534,7 m

49° 27´Výsledek:

1861

Komplexní čísla±

Komplexní čísla

Obor komplexních čísel je nejvyšším číselným oborem, s nímž se při studiu na střední škole seznámíme. Je vlastně jakousi nadmnožinou oboru reálných čísel. Znamená to tedy, že reálná čísla jsou zvláštním případem čísel komplexních.

Komplexní čísla označujeme C.

Na rozdíl od reálných čísel, která můžeme znázornit na číselné ose, čísla komplexní můžeme znázornit pouze tehdy, pokud máme osy svě (na sebe kolmé). Komplexní čísla tedy znázorňujeme uspořádanou dvojicí, podobně jako body v kartézské soustavě souřadnic.

Pozn.: Uspořádaná dvojice je dvojice čísel, kde záleží na jejich pořadí. Tuto dvojici čísel zapisujeme do hranaté závorky.

Rovina, v níž zobrazujeme komplexní čísla, se nazývá rovina komplexních čísel nebo také Gaussova rovina.Osa x se v Gaussově rovině nazývá osa reálných čísel (reálná osa) a nanášíse na ni reálná část komplexního čísla (tj. první složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje), osa y se nazývá osa ryze imaginárních čísel (imaginární osa) a nanáší se na ni imaginární část komplexního čísla (tj. druhá složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje).



Komplexní číslo z znázorněné na obrázku tedy můžeme znázornit buď [a1; a2] nebo způsobem uvedeným v obrázku, a to z = a1 + a2 i. Tento zápis nazýváme algebraickým zápisem komplexního čísla. Číslo i se nazývá imaginární jednotka a platí: i = [0; 1].Pro imaginární jednotku platí:i2 = -1

i3 = -i

i4 = +1

i5 = i

i6 = -1

atd...

Algebraický tvar komplexního čísla

Nechť je dáno komplexní číslo a = [a1; a2]. Jeho vyjádření ve tvaru z = a1 + a2i se říká algebraický tvar komplexního čísla. Číslo a1 představuje reálnou část komplexního čísla, číslo a2 představuje imaginární část komplexního čísla. Výhodou tohoto vyjádření komplexního čísla je to, základní početní operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru je možné provádět stejným způsobem jako kdyby šlo o reálné dvojčleny.

Absolutní hodnota komplexního čísla



Absolutní hodnota komplexního čísla představuje jeho vzdálenost od počátku souřadného systému (průsečíku reálné a imaginární osy). K jejímu určení tedy stačí znalost Pythagorovy věty.Platí vzorec:

2

2

2

1 aaz +=

Komplexní jednotka

Komplexní jednotka je komplexní číslo z, jehož absolutní hodnota je rovna 1.Platí tedy |z| = 1

Čísla komplexně sdružená

Čísla komplexně sdružená označujeme . [čteme zet s pruhem]Velikost komplexního čísla z a velikost čísla k němu komplexně sdruženého se sobě rovnají.

Součet komplexního čísla a čísla k němu komplexně sdruženého je číslo reálné.

Součin komplexního čísla a čísla komplexně sdruženého je opět číslo reálné.

Rovnost komplexních čísel

Komplexní čísla z1 = a1 + b1i a z2 = a2 + b2i jsou si rovna, jestliže jsou si rovny jejich reálné a imaginární části, tj. platí a1 = a2 a zároveň b1 = b2

Součet komplexních čísel



Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich součet tak, že se sčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný součet (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině

Rozdíl komplexních čísel

Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich rozdíl tak, že se odčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný rozdíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině

Součin komplexních čísel

Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich součin tak, že se roznásobí reálné a imaginární části obou komplexních čísel (každý člen každým členem). Výsledný součin má potom následující souřadnice v Gaussově rovině



Podíl komplexních čísel

Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich podíl takto:

Výsledný podíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině



Je patrné, že podíl dvou komplexních čísel ve tvaru zlomku se vypočte tak, že se zlomek rozšíří číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli (děliteli).

Goniometrický tvar komplexního čísla



Moivreova věta

Moivreova věta říká, že součin dvou komplexních jednotek je opět komplexní jednotka, jejíž argument je roven součtu argumentů obou činitelů. Z této věty plyne vztah pro n-tou mocninu komplexní jednotky:

a vztah pro n-tou mocninu komplexního čísla:

Příklad 1:

Řešení:

Příklad 2:

Řešení:



Příklad 3:

Řešení:

Příklad 4:

Řešení:

Příklad 5:

Řešení:

Příklad 6:



Řešení:

Příklad 7:

Řešení:

Příklad 8:

Vypočtěte i148

Řešení:

Příklad 9:

Řešení:

Příklad 10:

Řešení:



Příklad 11:

Řešení:

Komplexní čísla - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

1658

2.

x = 3; y = -2Výsledek:

1656

3.

3iVýsledek:

1638

4.

1 - iVýsledek:

1641

5.

Výsledek:

1666

6.

Výsledek:

1657

7.

Výsledek:

1632

8.

Výsledek:

1634



9.

Výsledek:

1646

10.

Výsledek:

1644

11.

1Výsledek:

1636

12.

1Výsledek:

1630

13.

Výsledek:

1637

14.

0Výsledek:

1650

15.

0,4Výsledek:

1652

16.

Výsledek:

1633

17.

Výsledek:

1639

18.

-iVýsledek:

1655



19.

18 + 4iVýsledek:

1654

20.

Výsledek:

1665

21.

Výsledek:

1645

22.

Výsledek:

1663

23.

1Výsledek:

1629

24.

-100Výsledek:

1647

25.

iVýsledek:

1642

26.

2iVýsledek:

1664

27.

Výsledek:

1660

28.

Výsledek:

1662

29.

Výsledek:

1661



30.

Výsledek:

1659

31.

10,6Výsledek:

1651

32.

2,83Výsledek:

1653

33.

Výsledek:

1649

34.

-7Výsledek:

1635

35.

Výsledek:

1648

36.

1Výsledek:

1631

37.

Výsledek:

1640

38.

Výsledek:

1643



Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel±

Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel

Do této kapitoly spadají kvadratické rovnice, při jejichž řešení vychází diskriminant záporný.

Pozn.: Už dříve jsme řešili kvadratické rovnice a rozlišovali jsme situace, kdy diskriminant byl větší než nula - pak kvadratická rovnice měla dva reálné různé kořeny; pak jsme poznali situaci, kdy diskriminant vyšel roven nule - v tom případě měla kvadratická rovnice jeden dvojnásobný kořen a v případě, že diskriminant vyšel záporný, uváděli jsme dosud, že kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. V oboru komplexních čísel však řešení má.

Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel je založeno na poznatku, že v oboru komplexních čísel umíme odmocnit i zápornou odmocninu.

Platí totiž, že např. Ö(-4) = 2i

Kvadratická rovnice x2 = -4 pak má tedy dvě různá řešení, a to x1 = 2i a x2 = -2i

V oboru komplexních čísel má tedy každá kvadratická rovnice s reálnými koeficienty řešení.

Příklad 1:

V oboru komplexních čísel řešte rovnici 7x2 + 5 = 0

Řešení:

7x2 + 5 = 0

7 . (x2 + 5/7) = 0

x2 + 5/7 = 0

[x + i .Ö(5/7)] . [x - i . Ö(5/7)] = 0

x1 = - i . Ö(5/7)x2 = i . Ö(5/7)

Příklad 2:

V oboru komplexních čísel řešte rovnici 3x2 - 4x + 2 = 0

Řešení:

D = b2 - 4ac

D = (-4)2 - 4 . 3 . 2 = -8

a

Dbx

22,1

±-=

3.2

8)4(2,1

-±--=x

6

8.42,1

ix

±=

6

2.242,1

ix

±=



6

)2.2.(22,1

ix

±=

3

222,1

±=x

Do této kapitoly můžeme zahrnout i rozklady trojčlenů na součin v oboru komplexních čísel. K jejich určení totiž využíváme s výhodou řešení pomocné kvadratické rovnice.

Příklad 3:

Rozložte v součin lineárních činitelů trojčlen 4x2 - 12x + 25

Řešení:

Protože kořeny rovnice 4x2 - 12x + 25 = 0 jsou čísla

ii

x 22

3

8

256.122,1 ±=

±=

dostáváme:

( )( )ixix

ixixxx

432.432

22

3.2

2

3.425124 2

+---=

=÷ø

öçè

æ+-÷

ø

öçè

æ--=+-

Kvadratické rovnice v C - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

1965

2.

Výsledek:

1973

3.

Výsledek:

1963

4.

Výsledek:

1971

5.

Výsledek:

1970



6.

Výsledek:

1968

7.

Výsledek:

1964

8.

Výsledek:

1974

9.

Výsledek:

1967

10.

Výsledek:

1969

11.

Výsledek:

1972

12.

Výsledek:

1966


Obsah


Iracionální rovnice 1

Iracionální rovnice - procvičovací příklady 3

Planimetrie 5

Shodnost trojúhelníků, důkazy 13

Shodnost trojúhelníků - procvičovací příklady 15

Podobnost trojúhelníků 16

Podobnost trojúhelníků - procvičovací příklady 17

Eukleidovy věty 19

Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná 21

Eukleidovy věty - procvičovací příklady 23

Pythagorova věta 25

Pythagorova věta - procvičovací příklady 26

Výpočty rovinných útvarů 27

Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady 27

Shodná zobrazení 47

Shodná zobrazení - procvičovací příklady 48

Orientovaný úhel 51

Stupňová a oblouková míra - procvičovací příklady 54

Jednotková kružnice 56

Funkce sinus 56

Funkce kosinus 61

Funkce tangens 62

Funkce kotangens 64

Řešení pravoúhlého trojúhelníka 65

Pravoúhlý trojúhelník - procvičovací příklady 68

Tabulka důležitých hodnot gon. funkcí 72

Goniometrické funkce úhlů větších než 90° 72

Goniometrické funkce úhlů větších než 90° - procvičovací příklady 76

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi 78

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - procvičovací příklady 82

Goniometrické rovnice 87

Goniometrické rovnice - procvičovací příklady 89

Sinová věta 94

Sinová věta - procvičovací příklady 96

Kosinová věta 98

Kosinová věta - procvičovací příklady 100

Komplexní čísla 103

Komplexní čísla - procvičovací příklady 112

Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel 116

Kvadratické rovnice v C - procvičovací příklady 117

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00

Documents

Variace - uèebnice (Výchozí)M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1 ±Iracionální rovnice Iracionální rovnice Iracionální rovnicí nazýváme takovou rovnici, která