Název školy Integrovaná střední škola technická, Vysoké Mýto, Mládežnická 380

Číslo a název projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0374Inovace vzdělávacích metod EU - OP VK

Číslo a název klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Autor Ing. Pavel Novotný

Číslo materiálu VY_32_INOVACE_MAT_4S_NO_07_11

Název Hyperbola – vzájemná poloha přímky a hyperboly

Druh učebního materiálu Prezentace

Předmět Matematika

Ročník 4

Tématický celek Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině

Anotace Specifikace vzájemné polohy přímky a hyperboly, řešení zadaných příkladů

Metodický pokyn Materiál slouží k výkladu nové látky a následnému procvičení na řešených příkladech (45 min)

Klíčová slova Hyperbola, vzájemná poloha, sečna , tečna, vnější přímka

Očekávaný výstup Žáci jsou schopni určit vzájemnou polohu přímky a hyperboly

Datum vytvoření 30.6.2012

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A HYPERBOLY

- o vzájemné poloze rozhodujeme podle počtu řešení soustavy lineární (přímka) a kvadratické (hyperbola)- řešení vede buď na kvadratickou nebo na lineární rovnici

1) kvadratická rovnice - přímka může být vzhledem k hyperbole:

a) sečnou - přímka protíná hyperbolu ve dvou bodech; D > 0

b) tečnou - přímka se dotýká hyperboly v jednom bodě; D = 0

c) vnější přímkou - přímka s hyperbolou nemá společný žádný bod; D < 0

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A HYPERBOLY

2) lineární rovnice - přímka může být vzhledem k hyperbole:

a) sečnou - přímka protíná hyperbolu v jednom bodě (přímka je || s asymptotou)

b) asymtotou - přímka nemá s hyperbolou žádný společný bod, ale hyperbola se k ní

neustále přibližujeP

P

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A HYPERBOLY

Příklad 1: Určete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly h, popř. určete průsečíky nebo tečný bod

h: x2 – 2y2 + 2x – 8y – 9 = 0p: x – y – 2 = 0 y = x – 2

x2 – 2(x – 2)2 + 2x – 8(x – 2) – 9 = 0

x2 – 2(x2 – 4x + 4) + 2x – 8(x – 2) – 9 = 0

x2 – 2x2 + 8x – 8 + 2x – 8x + 16 – 9 = 0

– x2 + 2x – 1 = 0

D = 22 – 4.(-1).(-1) = 0 přímka je tečnou k hyperbole

y = 1 – 2 = – 1 T = [1, -1]

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A HYPERBOLY

Příklad 2: Určete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly h, popř. určete průsečíky nebo tečný bod

h: 4x2 – y2 – 16x + 2y + 7 = 0p: 2x – y – 5 = 0 y = 2x – 5

4x2 – (2x – 5)2 – 16x + 2(2x – 5) + 7 = 0

4x2 – (4x2 – 20x + 25) – 16x + 2(2x – 5) + 7 = 0

4x2 – 4x2 + 20x – 25 – 16x + 4x – 10 + 7 = 0

8x – 28 = 0

přímka je sečnou hyperboly s průsečíkem P = [3,5; 2] T = [1, -1]

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A HYPERBOLY

Příklad 3: Určete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly h, popř. určete průsečíky nebo tečný bod

h: 4x2 – 9y2 + 32x + 36y – 8 = 0p: 2x – 3y + 14 = 0

přímka je asymptotou hyperboly

9y2 – 84y + 196 – 9y2 + 48y – 224 + 36y – 8 = 0

– 36 = 0

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A HYPERBOLY

Příklad 4: Určete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly h, popř. určete průsečíky nebo tečný bod

h: x2 – 9y2 – 4x + 36y – 41 = 0p: 3x – y – 4 = 0

přímka je vnější přímkou hyperboly

y = 3x – 4

x2 – 9(3x – 4)2 – 4x + 36(3x – 4) – 41 = 0

x2 – 9(9x2 – 24x + 16) – 4x + 36(3x – 4) – 41 = 0

x2 – 81x2 + 216x – 144 – 4x + 108x – 144 – 41 = 0

– 80x2 + 320x – 329 = 0

D = 3202 – 4.(– 80).(– 329) = – 2880

D < 0

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A HYPERBOLY

Příklad 5: Určete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly h, popř. určete průsečíky nebo tečný bod

h: 2x2 – 3y2 + 12x + 18y – 15 = 0p: x = 3t y = 1 – 2t t є R

přímka je sečnou hyperboly

2(3t)2 – 3(1 – 2t)2 + 12.3t + 18.(1 – 2t) – 15 = 0

18t2 – 3(1 – 4t + 4t2) + 36t + 18 – 36t – 15 = 0

18t2 – 3 + 12t – 12t2 + 36t + 18 – 36t – 15 = 0

6t2 + 12t = 0

t2 + 2t = 0

t.(t + 2) = 0 t1 = 0t2 = – 2

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A HYPERBOLY

Příklad 5: Určete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly h, popř. určete průsečíky nebo tečný bod

h: 2x2 – 3y2 + 12x + 18y – 15 = 0p: x = 3t y = 1 – 2t t є R

P1 = [0,1]1) t1 = 0: x = 3.0 = 0y = 1 – 2.0 = 1

2) t2 = – 2: x = 3.(– 2) = – 6 y = 1 – 2. (– 2) = 5

P2 = [– 6 ,5]