Název školy Integrovaná střední škola technická, Vysoké Mýto, Mládežnická 380

Číslo a název projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0374Inovace vzdělávacích metod EU - OP VK

Číslo a název klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Autor Ing. Pavel Novotný

Číslo materiálu VY_32_INOVACE_MAT_4S_NO_07_07

Název Elipsa – vzájemná poloha přímky a elipsy

Druh učebního materiálu Prezentace

Předmět Matematika

Ročník 4

Tématický celek Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině

Anotace Specifikace vzájemné polohy přímky a elipsy, řešení zadaných příkladů

Metodický pokyn Materiál slouží k výkladu nové látky a následnému procvičení na řešených příkladech (35 min)

Klíčová slova Elipsa, střed, poloosa, vrcholy, ohniska, rovnice, kvadratický trojčlen

Očekávaný výstup Žáci jsou schopni určit vzájemnou polohu přímky a elipsy

Datum vytvoření 27.6.2012

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A ELIPSY

- o vzájemné poloze rozhodujeme podle počtu řešení soustavy lineární (přímka) a kvadratické (elipsa)- řešení vede vždy na kvadratickou rovnici a o počtu řešení tedy rozhoduje diskriminant- přímka může být vzhledem ke kružnici:

a) sečnou - přímka protíná elipsu ve dvou bodech; D > 0

b) tečnou - přímka se dotýká elipsy v jednom bodě; D = 0

c) vnější přímkou - přímka s elipsou nemá společný žádný bod; D < 0

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A ELIPSY

Příklad 1: Určete vzájemnou polohu přímky p a elipsy e, popř. určete průsečíky nebo tečný bod

e: 2x2 + 3y2 + 4x – 6y – 1 = 0p: 2x – 5y – 12 = 0

/ . 2

31y2 +104 + 190 = 0

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A ELIPSY

Příklad 1: Určete vzájemnou polohu přímky p a elipsy e, popř. určete průsečíky nebo tečný bod

e: 2x2 + 3y2 + 4x – 6y – 1 = 0p: 2x – 5y – 12 = 0

31y2 +104 + 190 = 0D = 1042 – 4.31.190 = -12744D < 0

přímka je vnější přímkou kružnice

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A ELIPSY

Příklad 2: Určete vzájemnou polohu přímky p a elipsy e, popř. určete průsečíky nebo tečný bod

e: x2 + 2y2 – 8x + 8y – 30 = 0p: x – 5y + 13 = 0 x = 5y – 13

(5y – 13)2 + 2y2 – 8(5y – 13) + 8y – 30 = 0

25y2 – 130y + 169 + 2y2 – 40y + 104 + 8y – 30 = 0

27y2 – 162y + 243 = 0

D = (-162)2 – 4.27.243 = 0přímka je tečnou k elipse

x = 5.3 – 13 = 2 T = [2,3]

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A ELIPSY

Příklad 3: Určete vzájemnou polohu přímky p a elipsy e, popř. určete průsečíky nebo tečný bod

e: 3x2 + 5y2 – 18x + 40y ˇ+ 59 = 0p: 3x + y – 5 = 0 y = -3x + 5

3x2 + 5(-3x + 5)2 – 18x + 40(-3x + 5) + 59 = 0

3x2 + 5(9x2 – 30x + 25) – 18x – 120x + 200 + 59 = 0

3x2 + 45x2 – 150x + 125 – 18x – 120x + 200 + 59 = 0

48x2 – 288x + 384 = 0 / : 48

D = (-6)2 – 4.8 = 4

x2 – 6x + 8 = 0 přímka je sečnou elipsy

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A ELIPSY

Příklad 3: Určete vzájemnou polohu přímky p a elipsy e, popř. určete průsečíky nebo tečný bod

e: 3x2 + 5y2 – 18x + 40y ˇ+ 59 = 0p: 3x + y – 5 = 0 y = -3x + 5

D = (-6)2 – 4.8 = 4

x2 – 6x + 8 = 0

x1 = 4, x2 = 2

1) x1 = 4, y1 = -3.4 + 5 = - 7

2) x2 = 2, y2 = -3.2 + 5 = - 1Průsečíky P1 = [4, -7]

P2 = [2, -1]