Wavelet

Wavelet - Transformada e Coerencia

Dr. Eduardo S. Pereira.

25 de setembro de 2013

Sumario

1 Wavelet - Ondeleta

2 Transformacao contınua de ondeletaExemplo

3 Coerencia WaveletExemplo

4 Bibliografia

Wavelet - Ondeleta

Wavelet

A Wavelet, ou ondeleta em portugues, euma funcao com media zero e que edefinida em frequencia e tempo. Pode secaracterizar a ondeleta pelo modo como elase localiza no espaco de tempo e defrequencia.

Aqui vale ressaltar que de acordo com oprincıpio de incerteza de Heisenberg quesempre existira uma incerteza intrınseca emo quao pequeno pode ser a banda detempo e frequencia.

Wavelet - Ondeleta

Wavelet

A Wavelet, ou ondeleta em portugues, euma funcao com media zero e que edefinida em frequencia e tempo. Pode secaracterizar a ondeleta pelo modo como elase localiza no espaco de tempo e defrequencia.

Aqui vale ressaltar que de acordo com oprincıpio de incerteza de Heisenberg quesempre existira uma incerteza intrınseca emo quao pequeno pode ser a banda detempo e frequencia.

Wavelet - Ondeleta

Wavelet

Uma ondeleta particular e a deMorlet, a qual e definida como:

ψ0(η) = π−1/4eiω0ηe−

12 η2

(1)

sendo ω0 a frequencia adimensionale η o tempo adimensional.

Transformacao contınua de ondeleta


A ideia da transformacao contınua de ondeleta (ContinuousWavelet Transform - CWT) esta em aplicar a ondeleta como umfiltro passa bandas numa serie temporal. A ondeleta sofreestreitamento no tempo variando sua escala (s), tal que η = s.t,sendo que sua normalizacao tem unidade de energia.



A CWT de uma funcao f e definida pela transformacao integral:

Ψ(a,b) =∫

∞

−∞

f (u)ψ∗a,b(u)du, (2)

para a > 0.



Sendo:

ψ∗a,b(u) =

1a

ψ

(u−b

a

)(3)

Representa uma famılia de funcoes wavelets, chamada dewavelet mae. O parametro a refere-se a escala, b e a translacaoou parametro de localizacao da wavelet mae e ψ∗a,b(u) e ocomplexo conjugado de ψa,b(u).



Sendo:

ψ∗a,b(u) =

1a

ψ

(u−b

a

)(3)

Representa uma famılia de funcoes wavelets, chamada dewavelet mae. O parametro a refere-se a escala, b e a translacaoou parametro de localizacao da wavelet mae e ψ∗a,b(u) e ocomplexo conjugado de ψa,b(u).



Observe que o parametro de translacao esta estritamenterelacionado com o tempo, desde que ele indica onde a waveletmae esta localizada. A translacao da wavelet mae pode serpensada como transladada desde t=0.

Ja o parametro de escala e o inverso da frequencia.



Observe que o parametro de translacao esta estritamenterelacionado com o tempo, desde que ele indica onde a waveletmae esta localizada. A translacao da wavelet mae pode serpensada como transladada desde t=0.

Ja o parametro de escala e o inverso da frequencia.


Exemplo

Exemplo

Exemplo de sinalcomposto por quatrofrequencias: 30 Hz, 20Hz, 10 Hz e 5 Hz.FONTE: http://users.rowan.edu/

˜polikar/WAVELETS/WTpart3.html

http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTpart3.html





Exemplo

Exemplo

Transformada Waveletdo Sinal. Wavelet Mae:Morlet.


Exemplo

Exemplo



Exemplo

Exemplo


Coerencia Wavelet

Coerencia Wavelet

O objetivo da coerencia wavelet e o de identificar em que bandade frequencia e em que intervalo de tempo duas seriestemporais estao relacionadas.

Para esse tipo de analise e preciso realizar uma suavizacao doespectro cruzado antes de calcular a coerencia, pois de outraforma o resultado sempre sera igual a 1. [3]

Coerencia Wavelet

Coerencia Wavelet

O objetivo da coerencia wavelet e o de identificar em que bandade frequencia e em que intervalo de tempo duas seriestemporais estao relacionadas.

Para esse tipo de analise e preciso realizar uma suavizacao doespectro cruzado antes de calcular a coerencia, pois de outraforma o resultado sempre sera igual a 1. [3]

Coerencia Wavelet

Coerencia Wavelet

Dada duas series X e Y , com as tranformadas wavelets W Xn (s) e

WYn (s), sendo n o ındice de tempo e s a escala, o espectro

cruzado wavelet e dado por:

W XYn (s) =W x

n (s)WY∗n (s) (4)

sendo que o simbolo ∗ denota o complexo conjugado.

Coerencia Wavelet

Coerencia Wavelet

Dada duas series X e Y , com as tranformadas wavelets W Xn (s) e

WYn (s), sendo n o ındice de tempo e s a escala, o espectro

cruzado wavelet e dado por:

W XYn (s) =W x

n (s)WY∗n (s) (4)

sendo que o simbolo ∗ denota o complexo conjugado.

Coerencia Wavelet

Coerencia Wavelet

A coerencia wavelet quadrada e definida como o valor absolutoquadrado o espectro cruzado de wavelets, normalizado pelosespectros de potencia suavizados das wavelets [3]:

R2n(s) =

|S(s−1W XYn (s))|2

S(|s−1W Xn (s)|2)S(|s−1WY

n (s)|2)(5)

sendo que S(W ) denota suavizacao no tempo e na escala. Ofator s−1 e usado para converter o espectro em densidade deenergia.

Coerencia Wavelet

Coerencia Wavelet

A coerencia wavelet quadrada e definida como o valor absolutoquadrado o espectro cruzado de wavelets, normalizado pelosespectros de potencia suavizados das wavelets [3]:

R2n(s) =

|S(s−1W XYn (s))|2

S(|s−1W Xn (s)|2)S(|s−1WY

n (s)|2)(5)

sendo que S(W ) denota suavizacao no tempo e na escala. Ofator s−1 e usado para converter o espectro em densidade deenergia.

Coerencia Wavelet

Coerencia Wavelet

A funcao de suavizacao vai depender da escala usada e dawavelet mae considerada [3].

A funcao de suavizacao e definida como [5]:

S(W ) = Sscale(Stime(W (s, t))) (6)

sendo que Sscale denota suavizacao ao logo do eixo da escala eStime no do tempo.

Coerencia Wavelet

Coerencia Wavelet

A funcao de suavizacao vai depender da escala usada e dawavelet mae considerada [3].

A funcao de suavizacao e definida como [5]:

S(W ) = Sscale(Stime(W (s, t))) (6)

sendo que Sscale denota suavizacao ao logo do eixo da escala eStime no do tempo.

Coerencia Wavelet

Coerencia Wavelet

Para o caso da Wavelet de Morlet, tem-se [5]:

Stime(W )|s =(

W (t,s)c1e−t2/2s2)|s (7)

Sscale(W )|t =(W (t,s)c2

Π(0.6s))|t (8)

sendo que c1 e c2 constantes de normalizacao e Π e a funcaoretangulo. O fator 0.6 e empiricamente determidado pelocomprimento de decorrelacao de escala para a wavelet deMorelet [3].

Coerencia Wavelet

Coerencia Wavelet

Para o caso da Wavelet de Morlet, tem-se [5]:

Stime(W )|s =(

W (t,s)c1e−t2/2s2)|s (7)

Sscale(W )|t =(W (t,s)c2

Π(0.6s))|t (8)

sendo que c1 e c2 constantes de normalizacao e Π e a funcaoretangulo. O fator 0.6 e empiricamente determidado pelocomprimento de decorrelacao de escala para a wavelet deMorelet [3].

Coerencia Wavelet

Exemplo

Exemplo

Sinais Aleatorios Coerencia Wavelet

Bibliografia

Bibliografia

[1] Mallat, Stephane G. (1999). A wavelet tour of signal processing[2] Addison, Paul S. The illustrated wavelet transform handbook[3] Torrence, Christopher and Compo, Gilbert P. (1998). A PracticalGuide to Wavelet Analysis[4] Grinsted, A., Moore, J.C., Jevrejeva, S., 2004, Nonlin. ProcessesGeophys., 11, 561?566, doi:10.5194/npg-11-561-2004[5] Jevrejeva, S., Moore, J.C., Grinsted, A., 2003, J. Geophys. Res.,108(D21), 4677, doi:10.1029/2003JD003417[6] Torrence, C., Webster, P. ,1999, J.Clim., 12, 2679?2690

Bibliografia

FIM

Muito Obrigado

Documents

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