Wavelet Tutorial Persian

:ولت يآموزش و ولت و انواع آنيل وي تبد- SFTFل ي تبد-ه يل فوريتبد

خبش اولن ي از اي شود تا اطالعاتي اعمال ميهائ گنالي به سياضيالت ريتبد قابل يگنال اصلي از سن اطالعات به راحيتيد که ايگناهلا بدست آيس

.ستندي نيابيباز زمانيگنال در حوزه يس :يگنال اصليس

Processed Signal: دري گيل قرار ميک تبدي ري که حتت تاثگنايليس. يشيمناک يم ما ي کني زمان را رسم م يگنال حوزهيک سيکه يهنگام

.ميگنال داري سي دامنه-زماناز يگنال چندان مناسب مني پردازش سيشرت کارهاي بي برارين تعبيکه ا .باشد آني فرکانسيگنال در حمتوايشرت موارد اطالعات برجسته در سيدرب

يف فرکانسي باشد طي مموجود(Frequency Spectrum) يگنال مي آن سياصر فرکانسنگنال عيک سي

ي موجود ميگنال چه فرکانس هائيدهد در آن سيباشد که نشان مئم که ي گوي کنند ميريگنال به سرعت تغيک سي ي هارياگر متغ باشد

م که ي گوئيات آا نرم باشد ميريو اگر تغ باشديفرکانس باال م ي نکند ميري تغ آن اصالي هايري باشدو اگر متغي منيفرکانس پائ

باشدي مZero Frequencyم که يگوئک جمله ي باالتر از يليک روزنامه خيبه عنوان مثال فرکانس انتشار

.باشد يانه مي ماهي

ه انجا مي اايل است کيشوديمطرحکه درسو :ن ؟ميري گينه اندازه موگنال را چگيک سي ي فرکانسيحمتواگر .شودي اجنام مFT(Fourier Transform)ن عمل با استفاده از يا

فرکانس -ش دامنهي زمان گرفته شود مناي در حوزه FTل يتبد .دي آيگنال به دست ميس

دهد که هر فرکانس به چه مقدار در يفرکانس نشان م-منودار دامنه . باشديگنال موجود ميس

ف مثبت را يط معموال يقي حقيگنال هاي در سيتيبه خاطر تقارن هرم )ميري گيقسمت دوم را در نظر من.(مريگيدر نظر م

؟مياج داري فرکانس احتيچرا ما به اطالعات حوزه ش ي قابل منا زمان به راحيتي که در حوزهياغلب موارد اطالعات

شوند ي نشان داده م فرکانس به راحيتيستند در حوزه ينک يشکل .مينگاه کن) نوار قلب(ECGگنال يک سيد به يفرض کن:مثال

و هر احنرايف.ست ها شناخته شده استيولوژي کارديل سامل براگنايس. شودي در نظر گرفته ميمار يط بيک شراياز آن شکل به عنوان

ي زمان موجود منيشه به وضوح در حوزه ي اگر چه مهيماريط بيشرا زمان که در يت حوزه است ها معموال از اطالعيولوژيباشند اما کارد

کنندي استفاده مECGگنال يردازش سپ ي ثبت شده براينوار کاغذپردازش کننده از اطالعات / ثبت کنندهيوتري کامپيا برنامه رياخ

ط يا شرايد آريم بگيکند تا تصميز استفاده مي فرکانس نيحوزه ي بعضيکيط پاتولوژيشرا.ريا خيوجود دارد )يب شناسيآس(يکيپاتولوژ

شود راحرت يز ميآنالگنال يک سي ي فرکانسيحمتوکه يمواقع هنگام .شونديص داده ميتشخ


:برخی تبديالت رياضی

روند که هر کدام يات به کار مياضي و ري در مهندسياديالت زيتبد خود را دارندي کاريب و حوزه يا و معايمزا :ا عبارتند از از آيبرخ Waveletولتيل ويو تبد.... گنر ويع ويتوزلربت ،يه ،هيل فوريتبد

Transform(WT)

:)FT(ق تر بهي دقينگاهنکه ي ار است به معينيل معکوس پذيک تبدي WTه مانند يل فوريتبدگنال پردازش ي و سيگنال اصلي سني دهد که بين اجازه را به ما ميا

يگريم به ديم و از هر کدام بتواني داشته باشيشده رابطه ا .ميبرو

: است کهني شود اينجا مطرح مي مه در ايله ائاما مس فرکانس ي فقط اطالعات حوزه FTل ي تبديدر هر زمان مشخص برا

معکوس ي طور براني مهمي زمان نداري از حوزه يباشد و اطالعيموجود مFT ي حوزه ي درباره ي و اطالعاتمي زمان را داري فقط اطالعات حوزه

. باشديل معکوس موجود منيفرکانس در تبداز هست که در يا نين است که آيود اشينجا مطرح مي که در اسوايل

زمان و فرکانس هر دو موجود يکسان اطالعات حوزه يک زمان يف يعت طي و طبي عملين سوال به کاربرد هايپاسخ به ا.باشند

. دارديگنال بستگيس :يادآوري

FTن معينيدهد به ايگنال به ما مي فرکانس سي از حوزه ي اطالعات يگنال موجود مي در سينس به چه مقدارهر فرکا: ديگويکه به ما م

يهائ دهد که در چه زماني را به ما منين آگاهي اFTاما .باشد . وجود داردي فرکانسين مولفه هايا ):Stationary signal(ستا يگنال ايسستا يگنال اي نکند سييري آن در زمان تغي فرکانسي که حمتوکنايليس

يدر چه زمانم يست ما بدانيناز ين حالت نيدر ا. شوديده مينام در ي فرکانسي موجود هستند چون متام مولفه هاي فرکانسيمولفه ها

. باشنديمتام زماا موجود م . در متام زماا موجود باشديفرکانس خاص: به طور خالصه

نکه فرکانس ي باشد به خاطر ايستا ميگنال ايک سيريگنال زيمثال س ي دارا مي داده شده اي زمانيظه را در هر حل10,25,50,100 يها

. باشد

)*100**2cos()*50**2()*25**2cos()*10**2cos()( ttcsotttx ππππ +++=


. باشديستا منيگنال ايک سير ينال زگياما س آن به طور ثابت با ي فرکانسياست که حمتو گنايلير سيگنال زيس

. معروف استChripگنال به ين سي ا کندي ميريزمان تغ

chrip در يبودن حالت متناوب يگنال باالئينسبت به س:يدتوجه کن زمان ي در متاميگنال هائي سني چني برايات فرکانسيو حمتو.ميني بيمن

افتديها اتفاق من


:بطور خالصه

باشدي زماا موجود ميش در متاميفرکانس ها:ستايموج ا

ي فرکانس ثابت مي داري متفاوتي زمانيدر حمدوده ها:ستاي اريموج غ باشد

ريستا و غيگنال اي زمان دو سي ز هنکه شکل حويبا توجه به ا فرکانس آا ي حوزه ي باشد اما شکل کلي متفاوت م(Chrip)ستايا

دو موج صرفنظر ي و نسبت دامنه Chrip موجود در يپل هاياگر از ر باشديکسان ميم يکن گنال بدون در نظر ي سيفي طي هاه از مولفي اطالعاتFT :يادآوري

ي شوند به ما مي ظاهر ميفي طيلفه ها موينکه در چه زمانيگرفنت ا يستا مني اريگنال غيک سي ي برا روش مناسيبFTن يبنا بر ا. دهد

:ک اسثناءيباشد البته جبز يستا چه مولفه هاي اريگنال غيک سيم در يم بداني خواهي مه کوقيت

تواند مناسب باشد اما اگر ي مFT باشد ي موجود مي ايفرکانس ي منFT دهد ي رخ ميمولفه ها در چه زمان هائ نيم ايم بدانيخبواه

ي دها استفي برال درسيتيه تبديل فوريتواند به ما کمک کند و تبد . باشديستا مني اري غيگنال هايس گنال ي سمي که در عمل با آا سرو کار داريگنال هائياز س ياريبسل گناين سيل اي و در حتلECG، EEG، EMG: مثال ستا هستندياري غيها

يکه موضع زماني هنگام . کنديمن يه به ما کمکي فور ليها تبد ي در چه زمان نکهي اعيني( ف مورد نظر باشند يک طي يمولفه ها

– زمان از يشي که منايليتبد) رخ دهد يا مولفه ، چه .از استيگنال به ما بدهد مورد ني سفرکانس

FTگنال وجود يک سي از ي اي فرکانسيه مولفه هاچد که ي گوي فقط م

حدنيشرت فقط در مهيدارد نه کمرت نه ب

):WT(ولتيل ويتبدWTيار قرار مي فرکانس در اخت– زمان ي از حوزه يفي تعر مثل يگري ديل هاي کند تبدين کار را مني اWTالبته تنها .دهد نيگنر هم ايع ويو توز)short time( زمان کوتاهيه يل فوريتبد

. دهنديکار را اجنام م ي مفاق اتي درحلظه ايا ژهي ويفي طي مواقع مولفه هايدر بعض

ار ين مواقع بسيند در اري توانند مورد توجه قرار گيافتند که م ي در چه بازه هژي ويفي طين مولفه ها يم ايسودمند است که بدان

ط ل مرتبي پتانسري تاخEEGدر اگر :مثال. افتندي اتفاق مي ايزمان باشديژه مورد توجه ميداد ويک روي


ک حمرک مثال نور فلش ي پاسخ مغز به ≅داد يک رويل مر تبط يپتانس

ک و يز حترا آغني است که بين پاسخ مقدار زماني اريتاخ. باشديم . شودي ميپاسخ سپر

WTزمان و فرکانس را ي از حوزه ياطالعاتت را دارد که ين قابلي ا فرکانس – از زمان يشيمنان يار قرار دهد بنابرايباهم در اخت

. دهديار ما قرار ميگنال در اختيس يگريک داستان جالب ديکند ي چگونه به طور کامل کار مWTنکه يا

ح ي توضSTFT(short time transform fourier)د پس از ياست و با يح داده مي توضي بعدي در در خبش هاي به طور جزئSTFT.داده شود

نکه به ي اي براWT مي است که بگوئن حد کايفينجا درايدر ا.شود که. غلبه کند توسعه داده شدSTFT مرتبط با يلي از مسائل حتليبعض

.م داديح خواهي توضي بعديدر خبش ها

: WT کار ي حنوه ي خمتصر درباره يحيتوض در يگنال اصلي سيه ي گذر و جتزنيو پائ باال گذر يلرت هايعبور از ف

فرکانس يحوز ه گذر و باال گذر عبور ني پائيلرت هاي زمان را از فيگنال حوزه يسلرت را ي فني پائس باال و فرکانس از فرکانيلرت خبش هائيم هر في دهيم

شود و هر دفعه خبش ين عمل چند بار تکرار مي کند ،اياستخراج م . شوديگنال برداشته مي از سيهائ

در آن موجود 1000Hz که تا فرکانس ميگنال داريک سيد يفرض کن گذر ني باال گذر و پائيلرت هايباشد با چند بار عبور دادن از فيم

:ميدار شود يم مي به دو خبش تقسيگنال اصليس :ک با ر عبوري که گنايلي و س(Hz 1000-500) باال را دارد ي که فرکانس هاگنايليس

(Hz 500-0) را داردني پائيفرکانس ها م ي دهيرا جمدد اجنام م) يجدا ساز(هين جتزي هر خبش بدست آمده ايبرا

لرت ي گذر را ار فنيگنال پائي سن بار وقيتيا: گذرنيبار دوم خبش پائ يگنال بدست مي دسته س3م ي گذر عبور دهني باال گذر و پائيهاک.آو . باشنديم)Hz 1000-500,500-250,250-0 (يه در فرکانس هامير

گنال ي دسته س4ن بار يم اي اگر جمدد عمل فوق را اجنام ده:بار سوم )Hz 1000-500,500-250,250-125 , 125-0(ميدارک يگنال را به ينکه سيام تايدهيرا آنقدر اجنام م ين جدا سازيا

ميگنال داريک دسته سيتا ما يا.ميه کني شده جتزينيش تعيسطوح از پ يدسته ها دهند اما دريشان م را نيگنال اصليقتا سيکه حقگنال به کدام يم که کدام سي دانيحاال م. باشدي خمتلف ميفرکانس

بدست آمده را يگنال هاي سي و اگر متام تعلق دارديباند فرکانسرسم )يسه بعد( D-3م و آا به صورت يگر قرار دهيکديدر کنار

:ن صورتيم در ايکن يدامنه م-فرکانس-زمان: ما ي سه بعد ن منو داري خمتصات ايحمور ها .باشند


و با چه يدهد که هر فرکانس در چه زمانين منودار به ما نشان ميا

.وجود دارد يمقدار

م که چه يم بفهمي توانيق مني طور دق ما به:تيبراساس اصل عدم قطعم ي تواني وجود دارد مافقط مي اي زمانيقادرچه حلظه ي دقيفرکانسدارد وجود ي در چه مدت زماني اي فرکانسي د هچه حمدوم که يبفهم

مقدار حرکت و مکان ذرات متحرک:دي گويزنربگ ميت هاياصل عدم قطع . شوندي شناخته منيبه طور حلظه ا

: است قابل استفادهريحبث ما به صورت زکه در

توانند ي منني نقاط معيگنال در بعضياطالعات فرکانس و زمان سم چه مولفه ي بفهم مي توانيما من :گريه عبارت دب.شناخته شوند

ن ي افتنددر عوض هبرتياتفاق م يزمان هائ در چهي اي فرکانس يها ي فرکانسيمولفه ها که چه استن يم ايم بفهمي توانيما م که يزيچ . وجود دارندي ايزمان يحمدوه ها در چه يا

است که ي ايل اصلي باشد و دليم يريک پذي مشکل تفکنيا در واقع . باشدي منيدا کردند مهيش پي گراWT به STFTژوهشگر ها از پچرا

STFT ا يبراکه يدهد در حالي را م ثابيتيريک پذيتفک متام زماWT : دهدير ارائه مي به صورت زييريغ متيريک پذيتفک

ي در حوزه ني پائي زمان و فرکانس هاي باال در حوزه يفرکانس ها باال در فرکانسيک مولفه ي: عيني. شوندي ميابيفرکانس هبرت باز

شود و بر عکس يم) ي کمرت نسيبيبا خطا (تشخيص داده زمان هبرتيحوزه فرکانس باال در يسه با مولفه ي در مقاني فرکانس پائيمولفه دري گي فرکانس هبرت قرار ميحوزه ش برابر خبي زمانيک بازه ين امر واضح است چون در يعلت ا:حيتوض

سه با خبش ي در مقايشرتيبی گنال تعدادمنونه ها يک سي يفرکانس باال :دير توجه کنيگنال دارد به شکل زي مهان سنيفرکانس پائ


:پس به طور خالصه که شوند در حايليه مي فرکانس هبرت جتزي در حوزه ني پائيفرکانس ها ستندين طور ني باال ايفر کانس ها

: شودير ميگنال باال به صورت زيولت سي ويوسته يل پيتبد

باال به Scale عيني باشد يمعکوس فرکانس م، Scaleدر منودرا باال . باشدي باال م فرکانس به معيننيپائ Scale و ني فرکانس پائمعين کي و پباال يک کوچک در منودار باال معادل فرکانس هايپ:جتا ينت

ک ي پيچون از نظر زمان( باشد ي مری تنيبزرک معادل فرکانس پائ ي مScaleم معکوس ي شود و فرکانس آن گقتيکوچک زودتر زده م

.)اتش فرکانس باال هستنديباشد لذا حمتوگنال بودند ي سيدر انتها زمان ي فرکانس باال در حوزه يمولفه ها

افتادند اما مولفه ي اتفاق مي در زمان جلوتر گريابه عبارت دي افتند که ي زمان زودتر اتفاق مي در در حوزه نيس پائ فرکانيها

فرکانس باال يا هب با مولفهيوسته از نظر ترتيولت پيل ويدر تبد . ا شده اندجاجب

: آموزش ويولت تبديل ويولت و انواع آن- SFTF تبديل-تبديل فوريه

خبش دوم

:نگاهي گذرا به خبش اولبراي (ما به تبديل ويولت(WT) براي پردازش سيگنال هاي غري ايستا )مثال سيگنال هائي که پاسخ فرکانسي آا بازمان تغيري ميکند

.نياز دارمي :به مثال زير توجه کنيد

فرض کنيد که ما دو سيگنال دارمي که هر دو داراي فرکانس هاي هستند يکي از اين دو سيگنال متام فرکانس ها را پايه ي يکساني

در کل زمان هاي وجود سيگنال دارا مي باشد و در ديگري هر شکل ظاهري اين دو .فرکانسي،در حمدوده ي زماني مشخصي وجود دارد

سيگنال در حمدوده ي زمان متفاوت مي باشد اما اندازه ي تبديل تفاوتي با هم ندارندفوريه ي آا در حوزه ي فرکانس يکي است و

مثال فوق گوياي اين مطلب است که تبديل فوريه برای سيگنال هاي از سيگنال را مني ) اطالعات(غري ايستا کاربرد ندارد و چيز زيادي

دهدشکل اول در هر منودار سيگنال حوزه ي زمان مي باشد و شکل : توضيح . آن سيگنال مي باشدFTدوم

هده مي شود که سه فرکانس دارمي براي يک با توجه به شکل فوق مشا

به صورت زير مي FTسيگنال ايستا اما براي يک سيگنال غري ايستا .شود


:مقايسه و نتيجه FTبا توجه به اينکه حوزه ي زمان دو سيگنال متفاوت مي باشداما

آا به يک شکل بدست آمد و اين دقيقا ناتواني فوريه است )Non stationary(.گنال هاي غري ايستابراي پردازش سي

چرا چنني حاليت :اما سوايل که در اينجا مطرح مي شود اين است که

پيش آمد؟چرا هر دو سيگنال تبديل فوريه ي يکساني دادند؟ :براي پاسخ اين سوال به حبث زير توجه کنيد

:تبديل فوريه

ا مي توان به فوريه نشان داد که هر سيگنال متناوبي ر19در قرن چند سال بعد از . صورت مجع ناحمدود توابع خمتلط منائي نشان داد

اينکه فوريه اين تئوري را مطرح کرد نظريه ي فوريه ابتدا به زمان متناوب و -سيگنال هاي غري متناوب سپس به سيگنال هاي گسسته

بعد از اين تعميم تبديل فوريه يک ابزار .غري متناوب بسط داده شد 1965سباتي براي بسياري از برنامه هاي کامپيوتري شد در سال حما

نوشته شد و بعد از آن تبديل فوريه FFTيک الگوريتم به نام .حمبوب تر شد

:نگاهي دقيق تر به تبديل فوريهFT يک سيگنال را به توابع منائي خمتلط در فرکانس هاي متفاوت

کار را اجنام مي جتزيه مي کند روشي که تبديل فوريه در آن اين :دهد با معادالت زير بيان مي شوند

∫∫∞

∞−

∞

∞−

−

=

=

)2()()(

)1()()(

2

2

dfefXtx

dtetxfX

tfj

tfj

π

π

نشان دهنده ي فرکانس مي f نشان دهنده ي زمان و tدر روابط باال

نشان دهنده X نشان دهنده ي سيگنال اصلي و xباشدتوجه کنيد که معادله ي تبديل (1)ي سيگنال حوزه ي فرکانس مي باشدمعادله ي

متاسفانه . تبديل فوريه ي معکوس است(2)وريه و معادله ي ف


بسياري از افراد معادالت باال را بدون اينکه قاعده ي زير را :بدانند به کار مي برند

در يک عبارت منائي در x(t) توجه کنيد،سيگنال (1)به معادله ي ت از اين عبار متام زماا ضرب شده و سپس درfيک فرکانس مشخص

) بعدا شرح داده مي شودمتام زمااعبارت (انتگرال گرفته ميشود عبارت منائي را ميتوان به صورت زير (1)توجه کنيد که در معادله

:نوشت

)3()2sin()2cos(2 tfjtfe tfj πππ +=

و يک خبش fعبارت فوق دراي يک خبش حقيقي کسينوسي، با فرکانس تا اينجا با توجه به مي باشد پس fموهومي سينوسي با فرکانس

سيگنال اصلي را در يک عبارت منائي خمتلط که داراي خبش (1)عبارت هاي سينوسي و کسينوسي است ضرب کردمي و از اين حاصلضرب انتگرال

ما متام نقاط رابه اين حاصلضرب اضافه مي گريمي به عبارت ديگردقيقا که از نظر مقدار، مقدارش (اگر مقدار اين انتگرال .کردمي

t(x(سيگنال : مقدار بزرگي باشد آنگاه مي گوئيم ) مهم نيستدر حوزه ي فرکانس (مولفه ي فرکانسي غاليب داردf در فرکانس

مفهوم اين .) بزرگ استf انداز ه ي اين سيگنال در فرکانس در fعبارت اين است که يک خبش عمده اي از سيگنال از فرکانس

.ست شده است به معين آن است که سيگنال مولفه ي مقدار انتگرال کوچک باشداگر

صفر اگر مقدار اين انتگرالو ايتا . ي نداردfفرکانسي عمده ي . مني باشدf به معين اين است که سيگنال اصال داراي فرکانس باشد

بدست مي آيند به متام حلظه (1)اطالعاتي که با انتگرال معادله ي

رتباط دارد خباطر اينکه حمدوده ي انتگرال گريي از هاي زماني او چنني .منهاي بينهايت تا مثبت بينهايت در سرتاسر زمان مي باشد

بر مي آيد که امهييت ندارد که در چه حمدوده ي زماني اي مولفه ي توجه کنيد که اين دقيقا عيب تبديل فوريه (: رخ دهدfفرکانسي

که اين موضوع به وضوح نتيجه ) باشدبراي سيگنال هاي غري ايستا ميبه عبارت ديگر مولفه ي .ي انتگرال را حتت تاثري قرار مي دهد

باشد چه درحمدوده ی زمانی 1tΔ چه درحمدوده ی زمان f فرکانسي

2tΔ و اين . مي گذارد(1) رخ دهد اثر يکساني در انتگرال معادله يلت ناتواني تبديل فوريه در مواقعي که سيگنال تغيري زماني ع

f1يعين جائي که مثال در يک سيگنال فرکانس (فرکانس داشته باشد؛به طور ... در حمدوده ي ديگر وf2در يک حمدوده ي خاص ،فرکانس

الزم به ياد آوری است .مي باشد) خالصه يک سيگنال غري ايستا باشد در متامي زماا باشد fمولفه ي فرکانسي که اگر سيگنال داراي

.نتيجه اي که توسط تبديل فوريه بدست مي آيد قابل قبول استتوجه کنيد که تبديل فوريه مي گويد که آيا يک مولفه ي فرکانسي

واين اطالعات به مکاني که اين مولفه ها . مشخص وجود دارد يا نهس بسيار مهم است که پ.در حوزه ي زمان قرار دارند، بستگي ندارد

بدانيم که آن سيگنال يک FTقبل از پردازش يک سيگنال با .سيگناتل ايستا است يا غري ايستا


:مثايل که در خبش اول زده شد اکنون واضح مي شود

: را نشان ميدهد توجه کنيدx(t) به شکل صفحه ي بعد که سيگنال

)*50*2cos()*20*2cos()*10*2cos()*5*2cos()( tttttx π += π + π + π که در متام 5,10,20,50ه ي فرکانسي دارداين سيگنال چهار مولف .زماا اتفاق مي افتند

حمور فرکانس در اينجا بصورت حمدود منايش داده شده اما در تئوري

در حقيقت در اينجا ما تبديل .اين حمور تا بينهايت ادامه دارد را حساب کردمي در چنني حاليت حمورهاي فرکانسي DFTفوريه ي گسسته ي

دو برابر فرکانس منونه برداري منتقل مي شوند و سيگنال به حداقل .اصلي حالت متقارن مي گريد

حاال به سيگنا ل زير توجه کنيد که يک سيگنال غري ايستا مي باشد

اما اين مولفه .و متامي فرکانس هاي سيگنال قبل را دارا مي باشد .ها در زمان هاي متفاوتي رخ مي دهند


:اين سيگنال به صورت زير مي باشدو تبديل فوريه ي

توجه کنيد که پيک هاي هر دو سيگنال در فرکانس هاي خاصي اتفاق علت نويزي که در شکل ديده مي شود اين است که اين مي افتد

فرکانس ها اغلب در سيگنال وجود دارند اما به دليل اينکه دامنه شند و دليل اينکه ي آا کوچک است مولفه ي عمده ي فرکانسي مني با

ماآا را مي بينيم به خاطر تغيري ناگهاني بني فرکانس هاي خمتلف .مي باشد

:مجع بندی

تا اينجا مفاهيم پايه اي تبديل فوريه را متوجه شدمي که چه موقع ميتوانيم از آن استفاده کنيم و چه موقع مني توانيم از مثال فوق

ند به خوبي بني دو سيگنال مني تواFTبه اين نتيجه مي رسيم که دو سيگنال يکسان هستند به خاطر اينکه FTمتايز قائل شود از نظر

FTبنابراين .هر دو از مولفه هاي فرکانسي يکساني تشکيل شده اند .ابزار مناسيب براي آناليز سيگنال هاي غري ايستا مني باشد

ه در پايان اين نکته ي مهم را در خاطر داشته باشيد متاسفانبيشرت افراد در اين مورد توجه مني کنند آا فرض مي کنند که

سيگنايل که آا دارند يک سيگنال ايستا مي باشد در حايل که در


البته در جائي که عالقه مند .بسياري از مواقع عملي چنني نيست چه مولفه هاي حمدوده ي زماني اينباشيد که بدانيد در چهکال ،چه مولفه مايل باشيد بدانيد که فرکانسي رخ ميدهند و فقط

يک ابزار کاري FTهاي فرکانسي اي وجود دارند در اين صورت .مناسب است

براي سيگنال ) نبايد( را مني توانيمFTبنابراين حاال که فهميدمي هاي غري ايستا به کار بربمي چه کار بايد بکنيم؟

بزار کاري جديد يک اWTقبل از پايان به يک نکته اشاره کنيم که

براي FTمي باشد و قبل از آن بسياري از حمققني فهميده بودند که سيگنال هاي غري ايستا کارائي ندارد ابزاري که در اينجا براي

بود که موضوع حبث بعدي ما مي STFTسيگنال هاي ايستا مطرح کردند . باشد

:آموزش ويولت تبديل ويولت و انواع آن- SFTF تبديل -تبديل فوريه

مسوخبش :(STFT)تبديل فوريه ی زمان کوتاه

اين خبش را با يک سوال برای مرور خبش قبل و مقدمه ی اين خبش آغاز :می کنيم

در چه بود؟FTمشکل اصلی .اين تبديل برای سيگنال های غير ايستا به درستی کار منی کرد

:به شکل زير تو جه کنيد

:ين است کهسوالی که در اينجا مطرح ميکنيم ااين سيگنال غير ايستا را به عنوان يک خبش هائی از آيا می توان

؟سيگنال ايستا در نظر گرفت .بله

، ی250 به سيگنال باال توجه کنيد اين سيگنال در بازه های زمانی .ايستا می باشد

اگر ناحيه ای که سيگنال در آن ايستا فرض می شود خيلی کوچک ال از ميان پنجره های باريکی نگاه می باشد آنگاه ما به سيگن

آن ديده ميان بقدری باريک که، خبشی از سيگنال که از .کنيم .ميشود، واقعا ايستا باشد

. ناميده می شودSTFT ،نظر شده ی تبديل فوريهاين نظريه ی جتديد سيگنال به STFT در وجود داردSTFT و FTفقط يک تفاوت کوچک بين

ی کافی کوچک تقسيم می شود که اين قطعات قطعات به اندازه برای اين منظور يک . سيگنال می توانند ايستا در نظر گرفته شوند

نای اين پنجره بايد برابر . در نظر گرفته می شود(w)تابع پنجره . ايستا بودن سيگنال معترب باشدکه خاصيتخبشی از سيگنال باشد

قرار می گيرد،يعنی تابع تابع پنجره ابتدا در شروع هر سيگنال

باشد در Tفرض کنيد که نای پنجره . قرار می گيردt=0پنجره در

تابع پنجره با t=0حلظه ی 2T

و اوليه ی سيگنال مهپوشانی می کند

با اجنام اين عمل .سپس تابع پنجره و سيگنال در هم ضرب می شوند


فقط 2T

ثانيه از سيگنال با اختصاص دادن مقدار مناسبی به تابع

1اگر پنجره مستطيلی باشد و دامنه ی آن (پنجره انتخاب می شودو اين حاصلضرب به )،حاصلضرب برابر خود سيگنال می باشدباشد

گرفته می FTر گرفته می شود که حاال ظعنوان يک سيگنال ديگر در ن هر سيگنال ديگر FT گنال مانند ی اين سيFTبه عبارت ديگر .دشو

.گرفته می شود

در بازه ی FTنتيجه ی اين تبديل 2T

اگر . اول از سيگنال می باشد

اين خبش از سيگنال ايستا باشد مهانطور که فرض شد بنابر اين

خنواهد داشت و توصيف فرکانسی مشکلی وجود 2T

1

)1()]()([),( 2'')( dtetttxft tfj

tX

πω ω −∗∫ ∗−∗=

)(t

ن سيگنال اول اي

tمرحله ی بعدی شيفت دادن اين پنجره به حمل جديد .صحيح است از حاصلضرب می FT،ضرب سيگنال در اين پنجره وايتا گرفنت

اين روند ادامه می يابد تا اينکه پنجر ه ی شيفت يافته به .باشد .انتهای سيگنال برسد

:الصه می کنند را خSTFTتعاريف فوق در يک خط

STFT

مزدوج ∗ تابع پنجره و ω خود سيگنال ،x(t)در رابطه ی باال ی يک سيگنالSTFTاز رابطه ی باال می فهميم که .خمتلط می باشد

. ی حاصلضرب يک سيگنال در يک تابع پنجرهFTچيزی نيست جز

تصوير زير می بدست می آيدSTFT ضرائب جديدی برای برای هر .تواند برای فهم هبرت مفيد باشد

ft ,'

گوسينی که در شکل به صورت رنگی نشان داده شده اند -توابع شبهقرمز ،آبی و سبز به ترتيب پنجره های .در اصل توابع پنجره هستند


321 ,, tt قرار گر فته tد که در زمان های توابع پنجر ه می باشنف در بازه های زمانی متفاوت می ل های خمتFTاينها معادل .اند

صحيحی از سيگنال (TFR)فرکانس-باشد بنابراين ما يک توصيف زمان به دست می آوريم

تابعی از (STFT)پيش از هر کار ديگر با توجه به اينکه تبديل ما

که فقط تابعی از زمان FTبر خالف (انس می باشدزمان و فرکو در صورتی که دامنه ( بعدی 2 يک تبديل (STFT)اين تبديل )بود

سيگنال غير ايستای زير را .می باشد) بعدی3را هم در نظر بگيريم :در نظر بگيريد

در زمان های خمتلف وجود دارد مولفه ی فرکانسی4در اين سيگنال بازه 300Hzول حاوی يک سيگنال سينوسی با فرکانس ا250msبازه ی

می 200Hz,100Hz,50Hz بعدی به ترتيب حاوی فرکانس های250msهای بيائيد به باشد اين سيگنال ظاهرا يک سيگنال غير ايستا می باشد

STFTاين سيگنال توجه کنيم :


STFT بعدی می2 اين سيگنال يک منودار

بعدی منودار اين تبديل 3و اگر دامنه را هم در نظر بگيريم (باشد به ترتيب حمور های زمان و فرکانس می باشندx,yحمور های )است

لطفا از اعدادی که در روی حمور های منودار قبل درج شده صرفنظر فرکانس اين توصيف توجه کنيد-کنيد فقط به شکل کلی زمان

نسبت به وسط حمور فرکانس يد که اين منودار پيش از هر چيز توجه کن

متقارن می باشد يادآوری می کنيم اگر جه در خبش های قبل دقيقا ی يک سيگنال حقيقی مهيشه FTنشان نداديم ولی اشاره کر ديم که

ی پنجر ه FT چيزی نيست جز نسخه ی STFTمتقارن است،از آجنا که نيز در فرکانس متقارن STFTشده؛بنابراين جای تعجبی نيست که

. متقارن هستندSTFT و FTپس نتيجتا کافی است که بدانيم .باشد

4 پيک در سيگنال می باشند توجه کنيد که 4مطلبی که مهم است FT مولفه ی فرکانسی خمتلف وجود دارند مهچنين بر خالف 4پيک معادل

قرار اين پيک ها در بازه های زمانی متفاوتی در طول حمور زمان مولفه ی 4و به ياد داشته باشيد که سيگنال اصلی .می گيرند

.فرکانسی که در زمان های خمتلف قرار می گيرند دارد فرکانس سيگنال داريم ما -اکنون ما يک توصيف صحيحی از زمان

عالوه بر اينکه می دانيم چه مولفه های فرکانسی ای در سيگنال آا را در حوزه ی زمان می مکان قرار گيری حاضر هستند ضمنا

.دانيم فرکانس صحيحی –توصيف زمان (TFR يک STFTممکن است تعجب کنيد که

تبديل (WTاز سيگنال ارئه می دهد پس ديگر چه احتياجی به ) در مثال باال آشکار نيستند البته STFTمسائل ضمنی .داريم) ويولت

ال واضح در اين خبش برای اينکه مفهوم را توضيح دهيم يک مث .انتخاب کرديم، که به خوبی جواب گو باشد

وجود دارند ريشه ی آا به چيزی بر می گردد STFTمشکالتی که در

به که اصلاين .که بااصل عدم قطعيت هايزنربگ شناخته می شود اعمال می شود می تواند به اطالعات گشتاور و مکان حرکت ذرات

سادگی اين اصل بيان به . شود فرکانس سيگنال نيز اعمال–زمان فرکانس سيگنال را به -می کند که يکنفر منی تواند توصيف زمان

طور دقيق، بداند برای مثال منی داند چه مولفه های فرکانسی ای چيزی که يک نفر می تواند .در چه حلظه های زمانی ای وجود دارند

جود بفهمد،بازه ی زمانی ای است که در آن باند فرکانسی مشخصی و .می گويند تفکيک پذيریکه به اين موضوع مسئله ی .دارد

وجود دارد انتخاب نای تابع پنجره STFTمسئله ای که در مورد اين تابع اگر تابع پنجره باريک باشد .است که بايد انتخاب شود

شناخته می شود اين اصطالحی است (Compactly Supported)با عنوان . زياد به کار می رودکه بعدا در دنيای ويولتتفکيک وزه ی فرکانس مسئله ی ح درFTيادآوری می کنيم که در

ی وجود ندارد به عنوان مثال ما دقيقا می دانيم چه فرکانس پذيريهائی وجود دارندو به طور مشابه در حوزه ی زمان هم مسئله ی

وجود ندارد خباطر اينکه در هر حلظه ی زمانی مقدار تفکيک پذيری تفکيک پذيری و FT زمانی در تفکيک پذيری.نال رامی دانيم سيگ


tje

صفر هستند با توجه به اينکه ما اطالعاتی در مورد FTفرکانسی در .آا نداريم

می شود پنجر ه FT فرکانسی کامل در تفکيک پذيریحقيقتی که باعث است ωتابع و اساس آن استفاده می شودFTاست که در ای

که در متام زمان ها از منهای بينهايت تا مثبت بينهايت ادامه پنجر ه دارای طول حمدودی می باشد و فقط يک خبش از STFTدر .دارد

سيگنال را می پوشاند که باعث می شود تفکيک پذيری فرکانسی ضعيفرت شود و منظور اين است که ما مولفه های فرکانسی دقيقی که

جود دارد را منی دانيم اما ما فقط می دانيم چه در سيگنال و .حمدوده ی فرکانسی ای وجود دارد

تابع اصلی به ما اجازه می دهد که تفکيک پذيری کاملی FTدر ای با طولهبدست آوريم به خاطر اينکه خود تابع اصلی پنجر

و ما تفکيک می باشد طول حمدود دارای پنجر ه STFTدر .حمدود استناممکن است بپرسيد چرا در .فرکانسی کاملی بدست می آوريم پذيری

برای بدست آوردن تفکيک پذيری STFT طول پنجر ه را در FTمانند ت افرکانسی کامل نا حمدود در نظر نگرفتيم؟جبز اينکه متام اطالع

اجنام STFTزمانی را ازدست می دهيد به جای اينکه تبديل را با .ميرسانيد به پايان FTدهيد آن را با

ی را بدست FTاگر ما پنجره هائی با طول ناحمدود استفاده کنيم

می آوريم که تفکيک پذيری کاملی از فرکانس می دهد اما اطالعاتی بعالوه برای بدست آوردن خاصيت ايستائی .در مورد زمان منی دهد

مابايد پنجر ه ای به اندازه ی کافی کوچک داشته باشيم که در آن يستا باشد پس پنجر ه ی باريک تفکيک پذيری هبرت زمانی،و سيگنال ا

خاصيت ايستائی هبرتی را تامين می کند اما از نظر تفکيک پذيری .فرکانسی ضعيف می باشد

با انتخاب:بطور خالصه

زمانی خوب تفکيک پذيری :پنجره ی باريک

تفکيک پذيری فرکانسی ضعيف

تفکيک پذيری فرکانسی خوب: ی نپنجره ضعيف زمانی تفکيک پذيری

4اين اثرات به مثال زير توجه کنيد که در آن به منظور ديدن را STFTپنجره با طول های متفاوت داريم و با استفاده از آا

حماسبه می کنيم و بررسی می کنيم که تغيير پنجر ها چه اثری رویSTFT می گذارد :

تابع پنجر های که ما استفاده می کنيم يک تابع شبه گوسينی است

)2

(2

)(ta

et−

=w


ر مقدا4به ازای طول پنجر ه را مشخص می کند aکه در اين رابطه

a اين تابع در زير نشان داده شده لطفا مقادير روی منودرارا )به طول هر پنجره(نيدناديده بگيريد و به کليت شکل توجه ک

)

2(

2

)(ta

etw−

=

001.0= را با STFT حماسبه شد در اينجا aمثال قبل با پنجر ه ی . حماسبه می کنيم استفاده از پنجر های ديگر

ابتدا به پنجر ه ی اول توجه کنيد با توجه به اينکه طول پنجره به خوبی و STFTک پذيری زمانی در باريک است انتظار داريم تفکي

تفکيک پذيری فرکانسی ضعيف باشد

اين سيکنال را نشان می دهد اين منودار با يک STFTمنودار باال زاويه خاصی،نشان داده شده که به راحتی بتوان آن را تفسير کرد


پيک موجود در زمان از يکديگر به 4مهان طور که از شکل پيدا است

شده اند مهچنين توجه کنيد که در حوز ه ی فرکانس هر خوبی جدا يک حمدوده معين داشته باشدفرکانسمقدار به جای اينکه يک پيکی

و اين دقيقا به معنای اين است کهتفکيک (ی فرکانسی را می پوشاند ) ضعيف است با اين پنجرهپذيری فرکانسی

ن تر می خوب اکنون از پنجر ه ی سومی؛ پنجر ه ای که کمی )پنجر ه ی دوم در مثال اول استفاده شد(باشداستفاده می کنيم

STFTآن به صورت زير است :

توجه کنيد که بر خالف حالت قبل پيک ها در حوزه ی زمان به خوبی از يکديگر جدا نشده اند در حالی که در حوز ه ی فرکانس به

می کنيم و ببينيم تفکيک هبرتی رسيديم اکنون عرض پنجره را زيادتر می افتدیچه اتفاق


جای تعجبی برای اين نتايج بدست آمده نيست مهانطور که ما

انتظار داشتيم تفکيک پذيری فرکانسی خيلی خوب شد اما در عوض تفکيک پذيری زمانی بسيار افتضاح شد

:نتيجه ی ائیکيک پذير از نظر تفSTFTاين مثال ها مشکالت ضمنی ای که در

و هر کسی که مايل به استفاده زمانی وجود داشت را نشان دادند . باشد با اين مسائل تفکيک پذيری مواجه استSTFTاز

چه نوع پنجر ه ای به کار بريم؟پنجر ه ی باريک يا ن؟در پنجر ه ی باريک تفکيک پذيری زمانی خوب ،و تفکيک پذيری فرکانسی ضعيف

ر پنجر ه ی ن تفکيک پذيری فرکانسی خوب و بالعکس د.می باشدبعالوه پنجر ه ی ن ممکن است .وتفکيک پذيری زمانی ضعيف می باشد

STFTپس مسئله ای که برای ما در .خاصيت ايستائی را نيز نقض کندپيش می آيد ،به طور قطع نتيجه ی انتخاب نوع تابع پنجره و

اگر مولفه های .باشداستفاده از آن در سراسر جتزيه ی سيگنال می فرکانسی در سيگنال اصلی به خوبی از يکديگر جدا شده باشند ممکن

است تفکيک پذيری فرکانسی را از دست بدهيم و در عوض تفکيک پذيری زمانی خوبی بدست آوريم به خاطر اينکه مولفه های طيفی

.قبال به خوبی از يکديگر جدا شده اند

چگونه به کار می WTه تيديل تا اينجا بايد فهميده باشيم ک وضعيت پيچيده ی تفکيک پذيری را تا يک WTآيد،تبديل ويولت

که در خبش بعدی اين موضوع را می اندازه ی معينی برطرف می کند بينيم

:آموزش ويولت ن تبديل ويولت و انواع آ- SFTF تبديل -تبديل فوريه

چهارمخبش :خالصه

برای آناليز سيگنال های غير ايستا کار FTتا اينجا فهميديم که استفاده کرديم ضمنا با مشکلی STFTبردی ندارد و به جای آن از

)مشکل تفکيک پذيری زمانی وفرکانسی( هم داشت آشنا شديم STFTکه . استفاده می کنيمWTدر اين خبش ازابزار جديدی به نام

پيوستهتبديل ويولت

:آناليز تفکيک پذير چند گانهاگر چه تفکيک پذيری زمانی و فرکانسی از نتايج پديده های

هايزنربگ(فيزيکی هستند و با وجود تبديل )اصل عدم قطعيت هر سيگنال اين امکان وجود دارد کهاستفاده شده هنوز وجود دارد

نام دارد MRAنظريه ی ديگری که را با استفاده از )multiresolution analysis (بتوانيم جتزيه کنيم.

MRAدر فر کانس های خمتلف نطور که از نامش پيداست سيگنال را ا مهبا تفکيک پذيری های متفاوت جتزيه می کند و هر مولفه ی طيفی

برای بدست آوردن MRA. بود جتزيه منی شودSTFTمانند آنچه که در در فرکانس ذيری فرکانسی ضعيف خوب و تفکيک پزمانی تفکيک پذيری

های باال ؛و تفکيک پذيری فرکانسی خوب و تفکيک پذيری زمانی ضعيف اين نظريه خصوصا در مواقعی .در فرکانس های پائين طراحی شده است

کوتاهی مولفه های فرکانسی باالئی برای مدت مورد نظرکه سيگنال داشته ایی برای زمان های طوالنیو مولفه های فرکانسی پائين

ائی که در عمل با هو خوشبختانه سيگنال .باشد مفيد واقع می شود سيگنال زير يک منونه از اين آا مواجه هستيم از اين نوع هستند

اين سيگنال يک مولفه ی فرکانسی سيگنال ها را نشان می دهد تقريبا باال برای يک حمدوه ی زمانی کوتاه و يک فرکانس تقريبا

تاسر سيگنال دارا می باشدپائين در سر


(CWT):تبديل ويولت پيوستهتبديل ويولت پيوسته بعنوان يک راه حل ديگری برای غلبه بر مشکل

آناليز ويولت به روشی مشابه ايجاد شدSTFTتفکيک پذيری در در يک تابع ضرب می سيگنال به فرمی که عمل می کند STFTآناليز

و ،STFTمشابه تابع پنجره در )دکه اين تابع،ويولت می باش(شودخمتلف حوزه ی زمان سيگنال حماسبه تبديل بطور جداگانه در خبش های

: وجود داردSTFT و CWTبا وجود اين دو تفاوت عمده بين .می شود تبديل فوريه ی يک سيگنای پنجر ه ای حماسبه منی شود و بنابراين .1

سی می باشند يعنی قله های واحد در سيگنال معادل معادل سينو فرکانس های منفی حماسبه منی شوند

هر مولفه ی تنهای طيفی تبديل برای عرض پنجره هنگاميکه .2که اين خاصيت با مفهوم ترين ويژگی . تغيير می کندحماسبه می شود . می باشد(WT)تيديل ويولت

: به صورت زير تعريف می شودCWTتبديل

)13()()(1),(),( −−

=Ψ= ∫ ∗ dts

ttxs

ss xxτCWT ψττ ψψ

s,

می باشد که پارامرت های τ تابع دو متغييرويولت پيوستهل تبدي تابع تبديل می باشد و psi(t)تابع .مقياس و انتقال می باشند

مادر مادر نام .ناميده می شود)ويولت اصلی(ويولت عبارت ويولتخود را از دو ويژگی مهم آناليز ويولت که در زير توضيح داده می

:ود می گيردشکوچکی به شرايطی )موجک(عبارت ويولت به معنی موج کوچک می باشد

دارای طول حمدود می باشد ) پنجره(مربوط می شود که اين تابع )Compactly supported( برمی گردد که اين کلمه ی موج به شرايطی

عبارت مادر بيان می دارد که توابعی .اين تابع نوسانی می باشد که در فرآيند تبديل به کار می روند از خمتلفتيبانی پشبا نواحی

مادر(يک تابع اصلی اشتقاق می يابند به عبارت ديگر )ويولتويولت (ويولت مادر منونه ی اصلی برای توليد توابع پنجرهای ديگر

به کار STFTعبارت انتقال مشابه چيزی که در .می باشد) ای ديگر ها هنگاميکه پنجره ای در طول رفت می باشد که به مکان پنجره

اگر چه ما در تبديل .سيگنال شيفت پيدا می کند مرتبط می باشد فرکانس نداشتيم جبای آن پارامرت هائی که معرفی کرديم پارامرت

. که به صورت عکس فرکانس تعريف می شد. بود مطرحمقياس

:(Scale)مقياس قياس در کاربرد نقشه ها پارامرت مقياس در آناليز ويولت معادل ،م

می باشدمانند حالتی که در نقشه ها داريم مقياس باال معادل نگاه و مقياس های پائين معادل معادل )يک سيگنال(کلی و غير دقيق به

به طور مشابه بر حسب فرکانس ؛فرکانس .نگاه دقيق و جزئی می باشدنال که معادل اطالعات کلی از يک سيگ)مقياس های باال(های پائين

معموال در کل سيگنال اندازه گيری می شود می باشد در حاليکه معادل اطالعات جزئی يک الگوی خمفی )مقياس پائين(فرکانس های باال


که معموال در يک زمان نسبتا کوتاه وجود (می باشدشده در سيگنال

بعنوان سيگنال های کسينوسی مرتبط به مقياس های خمتلف).دارند :طرح می شوندمثال در زير م

فرکانس های (خوشبختانه در کاربرد های عملی مقياس های پائيندر متام سيگنال حضور ندارند برخالف مثالی که در باال )باال

اما اين سيگنال ها در يک حمدوده ی زمانی کوتاهی وجود .داريممقياس های .دارند مانند قطار های ضربه و يا پالس های کوتاه مدت

.معموال برای متام مدت سيگنال حضور دارند)کانس های پائينفر(باال مانند عملگر رياضی آن خواه به صورت بسط دادن ويا مقياس دهی

مقياس باال معادل بسط دادن يک فشرده سازی سيگنال می باشد سيگنال و مقياس های پائين معادل فشرده سازی سيگنال می باشند

افته ی يک سيگنال کسينوسی می متام سيکنال های باال اشتقاق ي يعنی متام سيگنال های باال منونه ی بسط داده شده يا فشرده باشند

s=1 کمرتين و s=0.05در شکل باال .شده ی يک سيگنال می باشند .بيشرتين مقياس می باشد

stf1>s)(tf)( برای يک سيگنال مفروض باشد به بيان رياضی اگر

10 < < sفشرده شده و برای معادل منونه ی )(tf

1>s10 << s

معادل منونه ی منبسط شده می باشندی سيگنال

و توجه به اين مطلب که عبارت مقياس ) 3-1(با توجه به رابطه ی رای آناليز قرار گرفته در مورد مقياس بCWTدر خمرج تعريف

:عکس مطالب فوق را نتيجه می گيريم يعنیويولت سيگنال را بسط می دهند در حاليکه مقادير مقادير

.باعث فشرده سازی سيگنال می گردند


)(tx

:CWTحماسبه ی سيگنالی راشرح می دهيم فرض کنيد 1-3در اين خبش معادله ی

ويولت مادر طوری انتخاب می شود .باشد که قرار است آناليز شودکه بعنوان يک منونه برای متام پنجره ها اعمال شود متام پنجر ه

فشرده شده (هائی که استفاد ه می شوند منونه ی نسط داده شده و Morletتعدادی توابع مانند ويولت .ويولت مادر می باشند)ی توابعی هستند که در آناليز ويولت به کار می Mexicanولت وي

.های خبش های قبل آا را ديديم روند که در مثال s=1 با انتخاب CWTهنگاميکه ويولت مادر انتخاب شد حماسبات

بزرگرت و کوچکرت از مقدار s برای متام مقادير CWTآغاز می شوند و بسته به طول سيگنال،حماسبات اگر چه؛.انتخابی حماسبه می شود

تبديل کامل مهيشه مورد نياز نيست برای اهداف عملی سيگنال ها حمدود باند می باشند و بنابراين حماسبات تبديل برای يک مقدار

حمدود مقياس کافی می باشد ادامه s آغاز می شود و با افزايش s=1برای راحتی، فرآيند با

انس های باال آغاز می شود و به مست می يابد يعنی فرآيند از فرک معادل فشرده sفرکانس های پائين ادامه می يابد اولين مقدار

ويولت بسط داده می sترين ويولت می باشد و با زياد شدن مقدار .شود

قرار می گيرد تابع t=0ويولت در نقطه ی شروع سيگنال معادل می شود و در سر تاسر در سيگنال اصلی ضرب s=1ويولت در مقياس

مقدرا اين انتگرال در مقدار ثابت شود زمان انتگرال گرفته می

s1

1,0

اين عامل برای نرمال سازی انرژی می باشد تا اينکه سيگنال

در متامی مقادير مقياس يکسان دارای انرژی يکسانی تبديل در CWTمقدار نتيجه ی ائی مقدار تبديل می باشد يعنی .باشد

به عبارت ديگر تاين مقدار می باشدs=1و مقياس t=0نقطه ی =sمعادل نقطه ی =τ اين مقياس می باشد-در صفحه ی زمان

فرآيند ادامه می يابد تا اينکه ويولت به انتهای سيگنال برسد مقياس برای مقياس -در اين قسمت يک رديف از نقاط صفحه ی زمان

به يک مقدار کوچکی افزايش می يابدتوجه sسپس .تکميل شد s=1 هایبايد به طور τ,s می باشد و هر دو مقدار CWTکنيد که تبديل ما

اگر چه وقتی که اين تبديل با کامپيوتر .پيوسته افزايش يابندگرفته می شود هر دوی اين پارامرت ها در انداز ه های به قدر

وچک افزايش می يابند که اين روند معادل منونه برداری از کافی ک مقياس می باشد-صفحه ی زمان

داده s اجنام می شود و هر مقدار sهر مقدار فرآيند باال برای زمان را تکميل می کند هنگاميکه -شده يک رديف از صفحه ی مقياس

ال ی سيگنCWT به امتام رسيد sفرآيند برای متامی مقادير مطلوب : شکل زير اين مراحل را توضيح می دهد.حماسبه شده است


نشان τشکل باال سيگنال و تابه ويولت را برای چهار مقدار خمتلف ابتدای مهين خبش را می دهد اين سيگنال يک خبش ناقصی از سيگنال

که معادل کمرتين است1نشان می دهد مقدار مقياس برابر می باشد توجه کنيد ويولت چگونه فشرده ) بيشرتين فرکانس(اسمقياست اين پنجره بايد به اندازه ی باالترين )پنجره ی آبی(شده

در هر خبش .مولفه ی فرکانسی که در سيگنال وجود دارد باريک باشدنشان داده شده ويولت در سيگنال ضرب می شود اين حاصلضرب در

خمالف صفر و در بقيه ی مکان ها ويولت حضور دارد مکان هائی که صفر ميباشد با شيفت دادن ويولت در حوزه ی زمان سيگنال در حوزه

سيگنال در حوزه ی sی زمان و با تغيير مقدار .متمرکز می شود)فرکانس(مقياس

که ( داشته باشدsاگر سيگنال مولفه ی طيفی ای معادل مقدار جاری ولت در سيگنال در مکانی که حاصلضرب وي) است1در اين حالت منظور

اين مولفه های طيفی وجود دارند نسبتا مقدار بزرگی می باشداگر است در سيگنال وجود sمولفه ی طيفی ای که معادل مقدار جاری

نداشته باشد مقدار اين حاصلضرب تقريبا کوچک يا برابر صفر می باشد

در مقايسه با عرض در شکل صفحه ی قبل سيگنال در حوالی

مولفه ی طيفی قابل مالحظه ای می باشد بنابراين s=1پنجره درCWT ی سيگنال برای مقادير مقياس پائين در حوالی t

برای مقياس های .مقدار بزرگی دارد و در ساير مکاا کوچک است طوليبا متام مقدار بزرگی برای تقرCWTباال به عبارت ديگر

دارد خباطر اينکه فرکانس پائين در متام زمان ها وجود سيگنال دارد

mst 100=

ms100=


20,5 == ss را نشان می دو شکل صفحه ی قبل فرآيند يکسانی برای کاهش ( توجه کنيد که عرض پنجره با افزايش مقياس دهند

جره تبديل شروع به با زياد شدن عرض پن.تغيير می کند)فرکانس .کند بدست آوردن مولفه های فرکانس پائين می

به عنوان يک نتيجه برای هر مقياس و بازه ی زمانی يک نقطه از حماسبات برای يک مقياس معين . حماسبه می شودمقياس-صفحه ی زمان

مقياس را تشکيل می دهد و حماسبات در -،يک رديف از صفحه ی زمانمقياس را تشکيل می دهند-ای صفحه ی زمانمقياس های ديگر ستو.

سيگنال زير را در نظر بگيريد اين سيگنال شامل فرکانس های )مثال

30Hz,20Hz,10Hz,5Hzمی باشد


CWTشکل زير : اين سيگنال را نشان می دهد

توجه کنيد که مقياس های کوچکرت معادل فرکانس های باالتر هستند کاهش فرکانس مقياس افزايش می يابد بنابراين آن خبش يعنی با

باالترين فرکانس و مقياس سيگنال با مقياس نزديک صفر واقعا های باال معادل فرکانس پائين تر در آناليز سيگنال می باشند

که )30Hz(توجه کنيد که بيشرتين مولفه ی فرکانسی در اين سيگنال 0ش کمرتين مقياس در فاصله ی در ابتدای سيگنال قرار دارد در خب

قرار دارد به مين ترتيب خبش های ديگر Translation روی حمور 30تا در 5Hzسيگنال هم در تبديل مطابق شکل قرار می گيرند و مولفه ی

فرکانس (در مقياس باالتریTranslationآخرين خبش در روی حمور قرار می گيرد) پائين تر


که برای متام زماا و فرکانس STFTف به ياد داشته باشيد بر خال

در فرکانس های باال دارای تفکيک WTها تفکيک پذيری ثابتی داشت پذيری زمانی خوب و تفکيک پذيری فرکانسی ضعيف می باشد و در فرکانس های پائين دارای تفکيک پذيری فرکانسی خوب و تفکيک

بل را از يک مثال قWTپذيری زمانی ضعيف می باشد شکل زير تبديل :زاويه ی ديگر نشان می دهد

تفکيک پذيری )فرکانس های باالتر(در شکل باال مقياس های پائين تر که معادل تفکيک پذيری فرکانسی ضعيف می باشد مقياسی هبرتی دارد

بطور مشابه مقياس های باالتر که معادل فرکانس های پائين می ی می باشندباشند دارای تفکيک پذيری فرکانسی هبرت

حمور های دو شکل قبل به حنوی نرماليزه شده اند تقريبا می :توجه 150 و 1000ms معادل Translation نقطه در حمور 100توان گفت

می باشد 40Hz معادل يک باند فرکانسی Scaleنقطه در روی حمور معادل ثانيه و هرتز منی Scale ,Translatiolاعداد روی حمور (

)داد فقط تعدادمنونه های يک حماسبه می باشندباشنداين اع


:و فرکانستفکيک پذيری زمان به ياد داشته باشيد که مشکالتی که در تفکيک پذيری داشتيم

به شکل زير توجه . بودSTFT جبای WTمهمرتين دليل برای استفاده از :کنيد

ويولت در صفحه ی هر خانه در شکل باال معادل يک مقدار تبديلفرکانس می باشد توجه کنيد که هر خانه يک مساحت غير صفر -زمان

معين دارد که به مفهوم اين است که مقدار يک نقطه ی معين در در صفحه ی زمان ی کهمتام نقاط فرکانس مشخص نيست -صفحه ی زمان

نشان WTبا يک مقدار در اين خانه ها قرار می گيرد فرکانس–در شکل باال با توجه به اينکه عرض و ارتفاع خانه . شودداده می

ها تغيير می کند اما مساحت ثابت است خباطر اينکه هر خانه يک فرکانس را با خصوصيات متنوعی از –سهم مساوی از صفحه ی زمان ارتفاع خانه در فرکانس های پائين .زمان و فرکانس ارائه می کند

اما )فکيک پذيری فرکانسی هبرت استکه به معنای ت(ها کوتاهرت استکه به معنای تفکيک پذيری زمانی (عرض خانه ها بزرگرت می باشد

در فرکانس های باال عرض پنجر ها کاهش می يابد )ضعيف تر می باشد،يعنی تفکيک پذيری زمانی هبرت و ارتفاع خانه ها افزايش می

.يابد،يعنی تفکيک پذيری زمانی ضعيف تر می شود


∑=k

kkbv υ

vkb

)(tk

تفکيک پذيري فرکانسي را عرض پنجر ه اي تعيني مي کند که STFTدربار و اين پنجر ه يک د تاسر پردازش سيگنال به کار مي رودر سر

يعين تفکيک پذيري فرکانسي و زماني دبراي کل سيگنال انتخاب مي شومر بعاتي در ،فرکانس شامل -بنابر اين صفحات زمان ثابت هستند

می باشندSTFTحالت

: نظريه ی رياضی –تئوری ويولت هر برداری در فضای برداری می توئاند بر حسب ترکيبی ار بردار

يعنی با ضرب بردار ها .های پايه در آن فضای برداری نوشته شوداليز سيگنال «در بعضی اعداد ثابت و سپس با مجع اين حاصلضرب آ

می ) ويولتضرائب تبديل،ضرائب فوريه،ضرائب(شامل ختمين اين ضرائب .باشد

:بردار های پايه

جمموعه ای از بردار های خطی غير Vيک پايه برای فضای برداری می تواند بر حسب V در فضای vوابسته می باشد مثال هر بردار

.ترکيب خطی برار های پايه نوشته شود

نوشته می تواند بر حسب ترکيب خطی بردار های پايه ی بردار اين مفهوم برداری می توان برای توابع نيز تعميم يابد.شود

در اين رابطه

∑=k

kk ttf )()( φμ

φ جبای bقرار گر فته جبای بردار و تابع هستند اين FTپايه های )سينوس،کسينوس(توابع خمتلط منائی .است

پايه ها توابع متعامد می باشند که برای بازسازی تابع دارای .برخی مطلوب می باشند

k)(tfv

dttgtftgtfb

a∫∗=⟩ )()()(),(

dtttxssCWT sxx )(.)(),(),( *,∫=Ψ= τ

ψψ ψττ

:ضرب داخلی دو تابع

⟨

: نيز به صورت زير بيان می شودCWT به تعريف باال با توجه

:که در آن

)(1, s

tss

τψ ψτ−

=


نشان می دهد که آناليز ويولت در واقع تعيين CWTاين تعريف

و خود سيگنال می باشد که در اينجا)ويولت(مهسانی بين توابع پايهو ضرائب ويولت .انسی می باشدمهسانی در يکسان بودن حمتوی فرک

مقياس نزديکی سيگنال را به موج ويولت در يک )CWT(حماسبه شده سيگنال حمتوی فرکانسی بزرگی مرتبط يعنی اگرخاص نشان می دهند

در يک مقياس )توابع پايه(با يک مقياس خاص داشته باشد، ويولت را دارا می خاص به خود سيگنال در حمل ويژه ای که حمتوی فرکانسی

.است)شبيه(باشد نزديک :تعامد

: هستند اگر ضر ب داخلی آا صفر باشد متعامد,wvدو بردار

0* ==∑ nnωυ, ⟩⟨ wv

:بطور مشابه برای دو تابع متناوب داريم

∫ ==⟩⟨b

adttgtftgtf 0)(.)()(),( *

{موعه از ک جم

{ بردار ها nvvvي ,...,, مد ناميده می شوند اگر دو متعا21 : باشند1بدوی آا متعامد باشند و متام آا دارای طول

mnnmv

v δ=⟩,,...2,1)},({

⟨ kt=ه طور مشابه يک جمموعا ،متعامد هستند kψب از توابع

:اگر

∫ ≠=b

a lk lkdttt ,0)()( φφ

و

*

}{ 1)( 2 =∫ dttb

a kφ

:يا به طور معادل

lk

b

a k dtttl

δφφ =∫ )()( *

:ه داريم

⎩⎨⎧

≠=

=lkiflkif

lk 01

δ

امکان دارد بيش از يک جمموعه مهانطور که در باال اشاره شد

وابع متعامد وجود داشته باشد اما از ميان آا توابع پايه ی

ک

ت


متعا

ب مد خباطر خواص ويژه ای که دارند بريا يافنت ضرائب جنزيه

عامد باعث می شوند که حماسبات ضرائپايه های مت.مناسب می باشند .به خاطر خواص تعامد، بسيار ساده و آسان باشند

: به صوری زير حماسبه ميشودkμبرای پايه های متعامد ضرائب

∫=⟩⟨= dtttff kkk )().(, *φφμ )(tfبه صورت زير باز سازی می شود:

متعامد امکان دارد برای هر کاربردی وجود نداشته ايه های اشند در حاليکه يک منونه ی تعميم يافته ی پايه ی دو تعامدی در

تابع و

پب

های به پايه" دو تعامدی"عبارت .اين حالت می تواند استفاده شودمتعامدی برمی گردد که نسبت به يگديگر متعامد باشند اما هيچ

پايه ی متعامد منی دهندکدام از آا به تنهائی تشکيل يک

م :عرفی دو ويولت مادر در آناليز ويولت

Mexican Hat:

22

21)( σ

πσω et

−=

2t

Morlet Wavelet:

σω 2.)( tai eet−

= 2t

پارامرت مقياس σ و پارامرت مدوالسيونaکه در اين رابطه

تاثير

∑=k

kk ttf )()( φμ

. قرار می دهدهی می باشد که عرض پنجره را حتت

∑ ⟩⟨=k

kk tf )(, φφ

د


سيگنال زير منونه يک سيگنال واقعی و نتيجه ی )ثالمی باشد و برای يک شخص سامل آلزايمر یيمارب شزماي

ست

مآ

برخالف سيگنال های سينوسی تفسير اين سيگنال دشوار ا

CWT اين سيگنال در زير نشان داده شده است البته شته شده چندان مهم نوCWTعدادی که در روی حمور های

CWTک

ای

انيست نکته قابل توجه اين است که حماسبات در اصل ي

ی واقعی نيستند مهانطور که از حماسبات مشخص است اين حماسبات در يک مکان حمدودی اجنام شده است اين نوع تبديل

می باشد که در خبش هCWTدر اصل منونه ی گسسته شده ی .بعدی توضيح داده می شود


: شکل زيرمهان تبديل از زاويه ای ديگر نشان داده شدهدر


سيگنال زير منونه ی آزمايش يک فرد بيماراست که دارای

:آلزايمر می باشد

: اين سيگنال به صورت زير استCWTو

:مهين سيگنال از منائی ديگر


:ترکيب ويولتاگر شرايط زير بر دتبديل ويولت يک تبديل برگشت پذير می باش

:قرار باشد

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∞⟨

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

= ∫∞

∞−

∧ 21

2

)(2 ζ

ζ

ζψπψ dC

:و بازسازی سيگنال با استفاده از معادله ی زير امکان پذير است

∫ ∫−

Ψ=s

x dsds

ts

sC

txτ

ψ

ψ

ττψτ )(1),(1)( 22

ψ

)(t∧

يک ثابت است که به ويولتی که استفاده می Cدر رابطه ی باال

یFTتبديل ψ .می باشد tψ)(در رابطه ی اول کنيم بستگی دارد


ψ0)0( =∧

ψ. معادله یCدارد که بيان می

0)( =∫ dttψ

1N

1s2N

2s

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⟨

⟨

12

21

,NN

ss

21, NN

.برای اينکه اين رابطه برآورده شود بايد ويولت نوسانی باشد

):CWTگسسته سازی (سری ويولت با معادالت را منی توان FT,STFT,CWTچکدام از روابط هيدر عمل

شهودي ترين راه گسسته سازي يک .حتليلي يا انتگرال حماسبه منود فرکانس مي باشد -سيگنال منونه برداري از آن در صفحه ي زمان

نسبت مطابق رابطه ی نايکوئست)فرکانس پائين(در مقياس های باال

ش يابد به عبارت ديگر اگر صفحه ی منونه برداری می تواند کاهدر مقياس مقياس نياز داشته باشد با نسبت منونه برداری -زمان

در منونه برداری شود صفحه ای مشابه می تواند با آهنگ :شود که منونه برداری مقياس

:به صوت زير می باشدرابطه ی واقعی بين

12

12 N

ssN =

يا

11

22 N

ffN =

تر آهنگ منونه برداری به عبارت ديگر در فرکانس های پائين

عث صرفه ميتواند کاهش يابد که اين کاهش آهنگ منونه برداری با .جوئی قابل مالحظه ای در حماسبه می شود

تا اينجا بايد مشخص شده باشد که گسسته سازی می تواند به هر روشی بدون هيچ حمدوديتی اجنام شود تاجائيکه به آناليز سيگنال

نگ منونه ]حمدوديت های گسسته سازی سيگنال آ.ارتباط داشته باشدزسازی سيگنال درست برداری مهم هستند اگر وتنها اگر با

آهنگ منونه برداری نايکوئست کمرتين آهنگ منونه برداری است .باشدزمان سيگنال را از روی منونه های -پيوسته که امکان بازسازی

.گسسته فراهم می کند


سوالی که در اينجا مطرح ميشود اين است که آيا هنوز می توانيم

ن و مقياس را گسته کر سيگنال را با وجود اينکه پارامرت های زما ده ايم باز سازی کنيم؟

(s)پارامرت مقياس .بله حتت شرايط معينی می توان اين کار را کردابتدا در يک خمتصات لگاريتمی گسسته سازی می شود پارامرت زمان هم نسبت به پارامرت مقياس گسسته می شود يعنی يک آهنگ منونه برداری

به عبارت ديگر منونه .ی رودمتفاوت برای هر مقياس به کار م :برداری در منونه برداری دوتائی مانند شکل زير اجنام می شود

CWTمقياس نسبت می - مقادير چی در چی ای به نقاط صفحه ی زمان

وجود دارد ابتدا گسسته سازی CWTدهد بنابر اين ضرائب ناحمدودی ودی نقاط با تعداد ناحمداز ميان .حمور مقياس را در نظر بگيريد

انتخاب می فقط يک دسته نقاط حمدود استفاده از رابطه ی لگاريتمی مبنای لگاريتم بسته به کاربر دارد ولی رايج ترين مقدار .شود

بعنوان مبنا انتخاب شود فقط مقياس 2اگر . می باشد2انتخابی مقياس 3حماسبه می شوند با انتخاب مبنای ...و64و32و16و8و4و2های ايتا حمور زمان مطابق .حماسبه خواهند شد...و243و81و27و9و3های

با توجه به اينکه مقياس .گسسته سازی حمور مقياس گسسته می شود تغيير می کند آهنگ منونه برداری برای حمور زمان 2گسسته با ضريب

. برای هر مقياس تغيير می کند2با ضريب : زير می باشدبيان فرآيند گسسته سازی به بيان رياضی به صورت

jj s00 و انتقال گسسته سازیبا فرض اينکه مقياس گسسته سازی .. ττ sk=0

توجه کنيد که انتقال گسسته سازی چگونه به مقياس گسسته .باشد .سازی وابسته است

مشابه رابطه ای که بين تبديل فوريه ی پيوسته و سری فوريه و

سسته وجود داشت در حوزه ی ويولت نيز تبديل تبديل فوريه ی گو تبديل )سری ويولت(ويولت پيوسته و تبديل ويولت نيمه گسسته

ويولت گسسته مطرح می شوند : داريمCWTبرای


)()(

)(1

002

0,

,

τψ

τψ ψ

ψ

τ

ktsst

st

sj

j

kj

s

−=

−=

−−

kj ,

تشکيل پايه های متعامد دهد تبديل سری ويولت به صورت ψر اگ

:آيدزير در می

dtttx kjxkj )()( *

,, ∫=Ψ ψψ

∑∑Ψ=j k

kjx tCtx kj )()( ,, ψψ

ψ

kj ,

يا

هم متعامد و دو تعامدی باشد ψيک سری ويولت نياز دارد که

kjاگر ,ψمتعامد نباشد داريم :

dtttxkjx

kj )()(*

,, ∫

∧

=Ψ ψψ

kj ,

امدی باشد حماسبات تبديل اضافی منی متعامد و يا دو تعψاگر دهد تبديل اضای خواهد (Frame)باشد و اگر در جائی تشکيل قالب برای ويولت ساده تر از )Frame(بودبه عبارت ديگر پيدا کردن قالب

مثال زير برای .پيدا کردن توابع متعامد و دو تعامدی خواهد بود صورت نگاه کردن کل فرآيند را به.روشن شدن اين مبحث کمک می کند

از نگاه کلی يکبه يک شیء خاصی در نظر بگيريد چشم انسان ابتدا شیء تعيين می کند که بستگی به فاصله ی چشم تا آن جسم دارد

j هنگاميکه . است که اين فرآيند معادل تنظيم پارامرت مقياس نگاه می يات زياد با جزئچشم از يک فاصله ی خيلی نزديک به جسمی

به آهستگی )يا چشم(حرکت دادن سر. مقداری منفی و بزرگ داردj کندتوجه . می باشدو به اندازه ی کوچک معادل مقادير کوچک

معادل تغيرات کوچک اين حالت منفی و بزرگ باشدjکنيد وقتی که در زمان و

s −0

.τ k= 0.0 τjs

τ در وتغييرات بزرگjاست . s −0

:نجمپخبش DWT

گسسته سازی يک سيگنال پيوسته ،حماسبه ی تبديل آن را با کامپيوتر امکان پذير می کند البته اين يک تبديل گسسته منی باشد

می باشد و CWTدر اصل سری ويولت حالت منونه برداری شده ی تا جائيکه اطالعاتی که فراهم می کند مبقدار زيادی زائد می باشند

زسازی سيگنال را در بر می گيرند اين حماسبات اضافی زمان باتبديل گسسته ی ويولت اطالعاتی در مورد .تلف می کنند زيادی برای

ارائه می کند و نسبت به )در هر دو مورد (جتزيه و ترکيب سيگنال CWTبرای پياده سازی ساده تر می باشد .

بر می گردد 1976 به سال (DWT) اساس تبديل گسسته ی ويولت يک روشی برای جتزيه ی سيگنال Croise,Esteban,Galandهنگاميکه

نيز کار Crochiere,Weber,Flanagan.های گسسته ارائه کردندمشاهبی در مورد کد گذاری بر روی سيگنال های صوتی اجنام می دادند

Burt 1983در سال . ناميدندSubband codingآا روش کار خودرا ارائه کرد و آن را Subband codingمشابه روش يک روشی

Pyramidal coding ناميد که هم اکنون با نام Multioresolution analysis1989در سال . شناخته می شود Vetterliو Le Gall در

پيشرفت هائی ايجاد کردند و و بعضی از Subband codingبرنامه ی . را حذف کردندPyramidal codingاضافات

Subband coding و Multiresolution analysis:

فرکانس از يک سيگنال - است يک بيان زمانCWTايده ی اصلی مشابه يادآوری .ديجيتال با ايتفاده از روش های فيلرت کردن بدست می آيد

مهبستگی ای بين يک ويولت در مقياسهای خمتلف و CWTمی کنيم که با تغيير مقياس پنجره CWTدر .دسيگنالی با مقياسی يکسان می باش

و جاجبائی آن در حوزه ی زمان و ضرب کردن آن در سيگنال و ايتا اما در . را بدست می آورديمCWTانتگرال گيری در سرتاسر زمان

DWT فيلرت هائی با فرکانس قطع خمتلف برای جتزيه ی سيگنال در فيلرت از يکDWTسيگنال در .مقياس های خمتلف به کار می روند

باالگذر برای جتزيه ی فرکانس باال و يک فيلرت پائين گذر برای جتزيه عبور داده می برای جتزيه ی فرکانس های پائين ی فرکانس پائين

برای پياده سازی بسيار ساده تر CWT در مقايسه با DWTشود تفکيک پذيری سيگنال که معياری از اطالعات جزئی در سيگنال .است

عمل فيلرت کردن تغيير می کند و مقياس به عمليات می باشد ب Upsamplingو Subsampling تغيير می کند. Upsampling افزايش آهنگ منونه برداری با اضافه کردن منونه های

اين عمل تعداد منونه های يک سيگنال را جديد به سيگنال می باشدونه نيز کاهش آهنگ منSubsampling. افزايش می دهدnبا ضريب

n با ضريب Subsampling.برداری سيگنال با حذف بعضی منونه ها است . مرتبه در زمان کاهش می دهدnتعدادمنونه های يک سيگنال را

معموال DWTولی ميتوان گفت اگر چه اين تنها بيان درست نيست 1,2 منونه برداری شده است يعنیCWTاز 00 == τs منجر به

jkjs 2*,2 == τ و روابط گسسته سازی می شود که در خبش قبل بدست ک سيگنال گسسنه داشته باشيم جبای عبارت تابع برایيوقتی .آورديم

نشان و آن را با سيگنال از عبارت دنباله استفاده می کنيم . می دهيم

[ ]nx

[ ]n hذ پائين گHalfband با عبور سيگنال از فيلرتDWTفرآيند :آغاز می شود که با بيان رياضی به صورت

ر

[ ] [ ] [ ] [ ]knhkxnhnxk

−= ∑∞

−∞=

.*

متام مولفه های فرکانسی باالتر از نصف بيشرتين Halfband رتليک فياگر بيشرتين فرکانس موجود در .فرکانس در سيگنال را حذف می کند

يشرت ازرکانس های ب متام فHalfband باشد فيلرت 1000Hz سيگنال 500Hzدر سيگنال های گسسته واحد فرکانس راديان را حذف می کند

راديان فرکانس π2فرکانس منونه برداری سيگنال معادل .می باشدشعاعی می باشد بنابر اين بيسرتين فرکانس موجود در سيگنال برابر

πواحد فرکانس در پس به خاطر داشته باشيد که . راديان می باشد . می باشدراديانسيگنال های گسسته زمان بر حسب

نيمی از منونه پائين گذر Halfbandبا عبور سيگنال از يک فيلرت اکنون πها مطابق رابطه ی نايکوئيست حذف می شوند و سيگنال جبای

دارای ماگزيمم فرکانس 2π

می گردد به بيان ساده حذف هر منونه ی

Subsample ، 2ديگری از سيگنال باعث می شود سيگنال با ضريب ائين گذر اطالعات فرکانس باال را حذف پتوجه کنيد که فيلرت .شود

تفکيک پذيری نيز .می کند ولی مقياس را دست خنورده باقی می گذارد کردن قرار می گيرد و به اطالعات سيگنال حتت تاثير عمل فيلرت

به طور خالصه فيلرت پائين گذر تفکيک پذيری را نصف می .بستگی داردکند اما مقياس را دست خنورده باقی می گذاردسيگنال سپس با ضريب

2 subsampleمی شود که اين عمل مقياس را دو برابر می کند . :اين فرآيند به صورت زير بيان می شود

[ ] [ ] [ ]knxkhnyk

−= ∑∞

−∞=

2.

[ ]nx

[ ] [ ] [ ]knxkhnyk

−= ∑∞

−∞=

2. Subsample by 2 LPF [ ]nh

در باند ها ی فر کانسی متفاوتی با مقياس های خمتلفی DWTآناليز

اجنام می Detail وApproximationبا جتزيه ی سيگنال به دو خبش تابع مقياس دهی و : از دو دسته تابع استفاده می کند DWT.شود

به ترتيب به فيلرت های پائين گذر و فيلرت باال گذر تابع ويولت کهمرتبط می باشد جتزيه ی سيگنال به خبش های فرکانسی متفاوت با فيلرت کردن حوزه ی زمان سيگنال با فيلرت های باال گذر و پائين

]سيگنال .گذر بدست می آيد ]nx[ ]ng

باال halfbandابتدا از يک فيلرت و يک فيلرت پائين گذر گذر [ ]nhبعد از فيلرتز کردن عبور می کند

نيمی از منونه های سيگنال با توجه به رابطه ی نايکوئست و

داری ماگزيمم فرکانس πسيگنال به جای 2π

سپس برای حذف . می باشد

می شودSubsample،2نداخنت بقيه ی منونه ها سيگنال با ضريب دور ا .اين مراحل باعث جتزيه ی سطح اول سيگنال می شوند

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]nkhnxky

nkgnxky

nlow

nhigh

−=

−=

∑

∑2.

2.

اين حنوه ی جتزيه تفکيک پذيری زمانی را نصف می کند يعنی تنها

و نصف منونه های موجود در سيگنال ،متام سيگنال را توصيف می کنندمراحل فوق می توانند . پذيری فرکانسی را دو برابر می کندتفکيک

:شکل زير اين مراحل را بيان می کند.در هر سطحی اجنام شوند

[ ] منونه و در حمدوده ی 512سيگنالی با nxبعنوان مثال فرض کنيد

سيگنال از يک فيلرت در اولين مرحله ی جتزيه باشد πتا 0 فرکانس در آتن 2پائين گذر و باال گذر عبور می کند و سپس با ضريب

باال گذر در Subsample)(تغيير مقياس حاصل می شود خروجی قيلرت

منونه دارد اما فقط در حمدوده ی 256اين حالت 2π

گسرتده شده π تا

خروجی . اول تشکيل ضرائب سطح اول را می دهند منونه ی256 است

تا 0 منونه دارد اما در حمدوده ی 256فيلرت پائين گذر هم 2π

گسرتده

از فيلرت های باال گذر و پائين گذرشده است اين سيگنال جمددا

پائين گذر که تغيير خروجی فيلرت عبور می کندبريا جتزيه ی بيشرت منونه می باشد و در حمدوده ی فرکانسی 128هم يافته دارای مقياس

تا 04π

منونه 128 بطور مشابه فيلرت باال گذر نيز دارای قرار دارد

می باشد که در فاصله ی فرکانسی 4π

تا 2π

اين فرآيند . قرار دارد

برای . می يابد که دو منونه از سيگنال باقی مباندتا جائی ادامه منونه داشت اين فرآيند 512اين مثال خاص که سيگنال اوليه ی ما

DWTو ايتا . مرحله اجنام می شود8در اصلی با هبم ی سيگنالکه در اين مثال دو منونه (پيوسنت متامی ضرائب از آخرين سطح

م در سيگنال اصلی بصورت دامنه فرکانس های مه.اجنام می شود)داشت سيگنال دارای آن فرکانس هلی ويژه می DWTی باال در نواحی ای که

تفاوت مهم بين اين تبديل و تبديل فوريه .باشد قرار می گيرنداين است که زمان حضور اين فرکانس ها در تبديل از بين منی

وده ی حمد.)مشخص است که چه فرکانسی در چه زمانی حضور دارد(روندفرکانسی ای که در سيگنال اصلی برجسته منی باشد دارای دامنه ی

ی سيگنال بدون از دست دادن DWT و آن خبش از شد کوچکی می با .اطالعات مهمی می تواند در نظر گرفته نشود

حذف اطالعات ی يک سيگنال چگونه است و DWTمثال زير نشان می دهد .در يک سيگنال چگونه ممکن می شود

منونه را نشان می دهد که دامنه ی آن 512 يک سيگنال با aشکل 8 در DWT يک bبه انداز ه ی واحد نرماليزه شده است و شکل

منونه ی آخر در سيگنال 256مرحله از سيگنال را نشان می دهد منونه ی فرکانس باال در 128معادل باالترين باند فرکانسی و مهچنين

منونه ی اول که معادل فرکانس های 64در اين سيگنال .وممرحله ی د

پائين تر می باشد داراری اطالعات مناسب می باشند و بقيه ی منونه ی اول سيگنال 64سيگنال اطالعات خاصی ندارد بنابراين جبز

می توانيم از بقيه ی منونه ها بدون از دست دادن اطالعاتی صرفنظر چگونه باعث حذف موثر اطالعات DWT که اين مثال نشان می دهد.کنيم

.در سيگنال می شود

رابطه ی بين پاسخ ضربه ی فيلرت باال گذر DWTيک از خصوصيات مهم :و فيلرت پائين گذر می باشد که با رابطه ی زير بيان می شود

[ ] nhnLg n .)1(1 −=−− [ ]

[ ]ngکه در اين رابطه ؛ [ ]nh

n)1(−

)(QMF

[ ] [ ]nhng ′′ ,

فيلرت پائين گذر می و فيلرت باالگذر

برای تبديل پائين گذر و و عبارت طول فيلرت می باشدLباشد،فيلرت هائی که در اين روابط صدق می کنند .باالگذر استفاده ميشود

در پردازش سيگنال کاربرد دارند و به فيلرت های متقارن ربعی به روابط خبش باال گذر و پائين گذر به بيانی ديگر .معروفند

:صورت زير مطرح می شوند

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]∑

∑+−=

+−=

nlow

nhigh

knhnxky

kngnxky

2.

2.

باز سازی سيگنال در اين حالت بسيار ساده تر از استفاده از

برای باز سازی سيگنال در هر مر حله پايه های متعامد می باشد که به از فيلرت های ترکيبی می شود و Upsampleسيگنال

و سپس مجع .ترتيب باالگذر و پائين گذر می باشند عبور داده می شود :می شوند

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

+−′++−′=k

lowhigh knhkykngkynx )2.()2.(

Documents

Wavelet Tutorial Persian