1

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНА КАРТКА (ПЛАН) ЗАНЯТТЯ №49

Предмет – «Математика»

Тема заняття – Означення дотичної і нормалі до кривої, геометричний зміст похідної, рівняння дотичної і нормалі

Тип заняття – комбінований Час – 80 хв.

Мета заняття:Дидактична –засвоєння змісту понять: січна графіка в точці, дотична до графіка в

точці, кутовий коефіцієнт дотичної, нормаль та геометричний зміст похідної; вміти знаходити рівняння дотичної та нормалі функції в точці та кутовий коефіцієнт;

Розвивальна– розвивати пам'ять і мислення; розвивати цікавість до математики, прагнення краще вчити предмет; здатність до творчого застосування знань і вдосконалення умінь;

Виховна – виховувати наполегливість і відповідальність, допитливість, уважність, натхнення, любов до навчання та вміння працювати разом.

Матеріально-технічне забезпечення та дидактичні засоби: підручник, таблиця «Похідна», роздатковий матеріал

Література:1. Шкіль М.І.Алгебра і початки аналізу 10 – 11 кл. – К.,2001.2. Нелін Є.П.Алгебра і початки аналізу 11 кл. – Х., 20113. Кравчук В.Алгебра і початки аналізу 10 кл. – Т., 2008

ХІД ЗАНЯТТЯ:1. Організаційна частина:

вітаюсь, перевірка присутності студентів і готовності аудиторії до уроку.

2. Актуалізація опорних знань студентів:Перевірка домашнього завданняЕкспрес-тест

3. Мотивація навчальної діяльності:

4. Повідомлення теми і мети заняття:Означення дотичної і нормалі до кривої, геометричний зміст похідної, рівняння дотичної і нормалі

5. Повідомлення нових знань за планом:1. Про поняття дотичної і нормалі до кривої.2. Геометричний зміст похідної.3. Рівняння дотичної та нормалі до кривої.

2

6.Узагальнення набутих знань:Розв’язування вправ (додаток№1), Відвовіді на питання

7. Домашнє завдання: [2], §2, п.23, с.23-24 №6-8, с.29-30, конспект

3

Означення дотичної та нормалі до кривої, геометричний зміст похідної, рівняння дотичної та нормалі

1. Про поняття дотичної та нормалі до кривої.Для введення означення дотичної до кривої розглянемо функцію y=f ( x ) і її графік – криву

лінію.

Нехай точки А і М належать графіку функції y=f ( x ) , проведемо січну АМ. Зафіксуємо точку А. нехай точка М, рухаючись по кривій, наближається до точки А. при цьому січна АМ буде повертатися навколо точки А і в граничному положенні при наближенні точки М до точки А січна займе положення прямої АТ. Пряму АТ називають дотичною до даної кривої в точці А.

Дотичною АТ до графіка функції y=f ( x ) в точці А називається граничне положення січної АМ, коли точка М, рухаючись по кривій, наближається до точки А.

Не в усякій точці кривої можна провести до неї дотичну.Нормаллюдо кривої Lв точці М0 називається пряма, яка проходить через точку дотику М0

перпендикулярно дотичній до кривої Lв точці М0.Наприклад, нехай пряма М0Т є дотична до кривої Lв точці М0 . Побудуємо пряму М0Nтак, щоб

( M 0 N )⊥(M 0 T ). Тоді пряма М0N буде нормаллю до заданої кривої L в точці М0.

2. Геометричний зміст похідної.

Дотична – це пряма, а положення прямої y=kx+b , яка проходить через точку A( x0 ; у0 ) і визначається кутовим коефіцієнтом прямої k=tg α , де α - кут між прямою і додатнім напрямом осі ОХ. Отже, провести дотичну до графіка означає знайти число k.

Нехай в точці A( x0 ; у0 ) кривої y= f ( x ) існує дотична,

визначимо кутовий коефіцієнт дотичної. Для цього:

4

1) надамо аргументу x0 приросту Δx , одержимо нове значення аргументу x0+ Δx .

2) Знайдемо відповідний приріст функції: Δy=f ( x0+Δx )−f ( x0 ).

3) Знайдемо відношення ΔyΔx

=f (x0+Δx )− f ( x0 )

Δx . Із трикутника АМК маємо:

ΔyΔx

=tg∠MAK.

Так як ∠MAK=ϕ - кут нахилу січної АМ з додатним напрямом осі ОХ, то

ΔyΔx

=tg ϕ.

4) Якщо Δx →0 , то Δy →0 і точка М буде переміщуватися по кривій, наближаючись до точки А.

При цьому січна АМ буде повертатися навколо точки А, а величина кута ϕ буде змінюватися зі зміною Δx . Граничним положенням січної АМ при Δx →0 буде дотична АТ, яка утворює з додатним напрямом осі ОХ деякий кут, величину якого позначимо через α .

Отже, limΔx→0

ΔyΔx

= limΔx →0

tg ϕ=tg α=k - кутовий коефіцієнт дотичної.

Геометричний зміст похідної: якщо функція має похідну в точці, то в цій точці існує дотична до її графіка, причому значення похідної в точці збігається з кутовим коефіцієнтом дотичної, проведеної до графіка функції в цій же точці.

3. Рівняння дотичної та нормалі до кривої.

Значення похідної функції y=f ( x )в точці x0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка

функції в точці з абсцисою x0 : f' (x0 )=k=tg α .

Розглянемо функцію y= f ( x ) . У точці M ( x0 ; у0 ) проведено дотичну до кривої y=f ( x ) . Складемо

рівняння дотичної АМ, знаючи координати точки M ( x0 ; у0) дотику і рівняння y= f ( x )кривої.

Дотична – це пряма. Рівняння будь-якої прямої має вигляд: y=kx+b . Оскільки k=f ' (x0 ) , тому

рівняння дотичної має вигляд: y=f ' ( x0) x+b .

Знайдемо b, виходячи з того, що дотична проходить через точку M ( x0 ; у0 ) і тому її координати

задовольняють рівнянню дотичної y0= f ' (x0 ) x0+b , звідси b= y0− f ' (x0 )x0 .

Тепер підставимо значення bв рівняння дотичної і одержимо: y=f ' ( x0) x+ y0−f ' ( x0) x0 ; y− y0= f ' ( x0) (x−x0 ) .

Отже, рівняння дотичної до кривої y= f ( x ) в точці M ( x0 ; у0) має вигляд: y− y0= f ' ( x0) (x−x0 )

Рівняння дотичної до кривої y= f ( x ) у заданій точці x0 можна знаходити за таким планом (схемою):

1) записуємо рівняння дотичної: y− y0= f ' ( x0) (x−x0 ) ;2) знаходимо y0= f ( x0) ;

5

3) знаходимо значення f' ( x ) у точці x0 : f

' (x0 ) ;4) підставляємо значення x0 , y0 ,f

' (x0 ) у рівняння дотичної.Як відомо, умовою перпендикулярності прямих, заданих рівняннями з кутовими коефіцієнтами kі

k1, є умова: k∙k1=-1, тобто k1=−1

k . Отже, враховуючи цю умову і використовуючи рівняння дотичної, рівняння нормалі до кривої Lв

точціM 0 (x0 ; y0 ) записуємо у вигляді y− y0=− 1

y ' (x0)(x−x0)

. Дане рівняння задає нормаль до кривої в точці, якщо в цій точці існує скінченна, відмінна від нуля похідна.

Якщо похідна в точці перетворюється на нуль, то дотична до кривої, в такій точці існуватиме і

буде паралельною осі ОХ, а її рівняння матиме вигляд y= y0 .З означення нормалі випливає, що нормаль до кривої існуватиме, причому вона буде

перпендикулярна до осі Ох, а її рівняння матиме вигляд x=x0 . Якщо ж похідна в точці дорівнює

нескінченності, то до кривої в точці існує дотична, рівняння якої x=x0 , а нормаль у цьому випадку

також існуватиме, буде паралельною осі ОХ і її рівняння y= y0 .

6

Додаток №1Означення дотичної та нормалі до кривої, геометричний зміст похідної, рівняння

дотичної та нормалі

1. Знайти рівняння дотичної і нормалі до параболи f ( x )=x2−2 x+5 в точках з абсцисами а) x1=0. 5 і б) x2=1 .

Відповідь: а) y=−x+4 . 75 - дотична,y=x+3 .75 - нормаль до параболи в точці (0 .5; 4 ,25 )

б)y=4 - дотична, х=1 - нормаль до параболи в точці (1 ;4 ) .

2. Знайдіть рівняння дотичних та нормалей до кубічної параболи f ( x )=x3 у точках з

абсцисами а) x1=−1 ; б) x2=0 ; в) x3=1 .

Відповідь: а) y=3 x+2 - дотична,y=−1

3x−4

3 - нормаль до параболи в точці (−1 ;−1 ) . б) y=0 - дотична, х=0 - нормаль до параболи в точці (0 ;0 ) .

в)y=3 x−2 - дотична,y=−1

3x+ 4

3 - нормаль до параболи в точці .

3. Знайти рівняння дотичної і нормалі до параболи f ( x )=3√x2

в точках з абсцисами а) x1=−1 ; б) x2=0 ; в) x3=1 .

Відповідь: а) y=−2

3x+ 1

3 - дотична,y=3

2x+ 5

2 - нормаль до параболи в точці (−1 ;1 ) . б)x=0 - дотична, y=0 - нормаль до параболи в точці (0 ;0 ) .

в)y=2

3x+ 1

3 - дотична,y=−3

2x+ 5

2 - нормаль до параболи в точці .

4. Знайти рівняння дотичної і нормалі до параболи f ( x )=2 x2+1 в точках з абсцисами а) x1=−1 ; б) x2=0 ; в) x3=1 .

Відповідь: а) y=−4 x−1 - дотична,y= 1

4x+13

4 - нормаль до параболи в точці (−1 ;3 ) . б)y=1 - дотична, x=0 - нормаль до параболи в точці (0 ;1 ) .

в)y=4 x−1 - дотична,y=−1

4x+13

4 - нормаль до параболи в точці(1 ;3 ) .

5. Знайти рівняння дотичної і нормалі до параболи f ( x )= x3

3−2 x2+3 x+1

в точках з абсцисами а) x1=0 ; б) x2=1; в) x3=3 .

Відповідь: а) y=3 x+1 - дотична,y=1

3x+1

- нормаль до параболи в точці (0 ;1 ) .

б)y=7

3 - дотична, x=1 - нормаль до параболи в точці (1 ;2 1

3 ).

1;1

1;1

7

в)y=1 - дотична, y=3 - нормаль до параболи в точці(3 ;1 ) .

8