األول الفصلالطبيعية Nاألعداد

الصحيحة Zاألعداد

العادية Qاألعداد

الحقيقية Rاألعداد

المطلقة القيمة

خواصه

كان عندئذ إذا

1)

2)

3)

4)

5)

حقيقيين: عددين بين المسافة تعريف

الحقيقين لدينا العددين بين البعد أو المسافة نسمي

: : أي

حقيقي: عدد مجاورة تعريف

مجموعة وليكن ليكن على نطلق موجب حقيقي عدد

الحقيقية العدد األعداد عن تبعد المسافة x0والتي

المجاور x0للعدد اسم

بالرمز المجاورة هذه إلى العدد نرمز على نطلق حيث

المجاور قطر نصف اسم

بين المسافة أن التالية بما بالعالقة يعطى

المجاورة من للعدد فإن المتراجحة تكون تتحقق حيث

التالية

ينتج المطلقة القيمة خواص وحسب

المجاورة أن يعني التي للعدد وهذا األعداد مجموعة تمثل

: المفتوح المجال إلى تنتمي

2

المحدودة المجموعة

المجموعة عن عدد Gنقول وجد إذا األعلى من محدودة أنها

: المتراجحة تتحقق بحيث

للمجموعة bنسمي األعلى Gالحد

المجموعة عن وجد Gنقول إذا األدنى من محدودة :أنها بحيث

a :للمجموعة األدنى الحد يسمى

ومنه معا واألدنى األعلى من محدودة كانت إذا محدودة أنها نقول

مثل Gالمجموعة حقيقي عدد وجد إذا تتحقق M>0محدودة بحيث

العالقة:

تعريف

عن آخر Gمن b0نقول حد أي كان إذا أصغري أعلى أكبر حد

b0أويساوي

األصغري األعلى للحد بـ Gللمجموعة bونرمز

3

األدنى الحد لـ ونسمي أعظمي أدنى حد Gحد أي كان إذا

آخر يساوي أدنى أو بـ aأصغر له infGونرمز

العددية المتوالية

: الحسابية المتوالية تعريف

من تطبيق الشكل هي على مرتبة األعداد من مجموعة هي

التالي

a , a + r , a+2r , ,…..

األول aحيث األساس: rالحد

رتيبته الذي العام بالدستور nوالحد يعطى

an=L = a1 + (n-1)r ;n = 1,2,……

:nومجموعة بالعالقة يعطى

S =

الهندسية المتوالية تعريف

4

التالي بالشكل مرتبة األعداد من مجموعة هي

a, ar , ar2 , ar3 , ……………arn

األول aحيث األساس: rالحد

العام بالعالقة Lالحد يعطى

L = arn-1

:nومجموعة بالعالقة يعطى حد

خاصة حالة وفي

0 < r <1 , n

S = :

لنيوتن: الحدين ذي دستور تعريف

ل برنو ي متراجحة

حالة نالحظ فإن A = (1+x)في

An 1+n(A-1)

5

العقدية األعداد مجموعة

جذر لها ليس

للعدد القوى أن بين Iنستنتج i,i,-1,-1محصورة

العالقة حيث Z = a+ibمن

القسمة : وأخيرا الضرب الفرق، الجمع، ندرس

الضرب

Z=a+ib , Z1=a1+ib1

Z.Z1=(ac-bd)+(ad+bc)i

القسمة

العدد جذر a+ibوالمساوي Z.Z1لنأخذ

(c+id)(x+iy)=a+ib

لها العقدي العدد نالحظ x+iyوالمطلوب

cx-dy+(dx+cy)i=a+bi

نالحظ ومنه

cx-dy=a

dx+cy=b

نالحظ المعادلة جملة يحل

6

نكتب ولكن ومنه

X + Yi

تمرين:

من أقل هي والتي الفردية الطبيعية األعداد جميع مجموع أحسب

500

هي األعداد هذه إن

1,3,5,………..,499

a1=1 , r=2 , an=499

إذا

L=a1+(n-1)r

L=1+(n-1)2=499

نحصل

7

n=250 , Sn=62500

والمعلوم: العددية للمتوالية حدود عشرة أول مجموع بين تمرين

لدينا

a9=35 , a5=19

لدينا الشروط من

a5 = a1+4r=19

a9=a1+8r=35

نحصل الجملة هذه بحل

a1=3 , r=4

تمرين

لدينا معلوم حيث الهندسية للمتوالية حدود خمسة أول أحسب

a2=4 , a5=32

العالقة إلى استنادا

an=a1rn-1

a2=a1r=4

a5=a1r4=32

8

نحصل الجملة a1 = 2 r=2بحل

حدود خمسة لدينا يكون

2,4,8,16,32

الثاني الفصلالعددية المتتاليات

العددية المتتالية تعريف

تطبيق أي الطبيعية نسمي األعداد مجموعة منطلقه

الحقيقية األعداد مجموعة عددية Rومستقره بمتتالية

بـ رمزنا العدد xnفلو x(n) = xnأي لصورة

األعداد مجموعة لدينا لتشكت السابق التطبيق وفق

{x,x1,x2,x3,…………..}

ويسمى حدا فيها عدد كل يسمى حيث عددية متتالية تسمى xالتي

n بـ لمتتالية ونرمز للمتتالية العام بالحد

حدها أو التي المتتالية لعناصر المولدة الصيغة وهي

نكتب xnالعام أي

9

للمتتالية العام الحد بإعطاء المتتالية إلعطاء األساسية الطريقة إن

xn

أمثلة

العام) 1 حدها التي هي المتتالية

العام) 2 حدها التي هي المتتالية

العام) 3 حدها التي :المتتالية هي

العام) 4 حدها التي هي المتتالية

10

التي الحدود من منته وعدد العام الحد بين تربط عالقة بإعطاء

للمتتالية األول للحد قيمة إعطاء مع بواسطة x1تسبقه x1حيث

المتتالية حدود من حد أي إيجاد يتم الربط وعالقة

أمثلة

العالقة) 1 أجلها من تتحقق التي المتتالية إيجاد

األول حدها يساوي 1يساوي x1حيث الثاني حدها حسب 3أو

: نجد العالقة

: المتتالية الحدود على نحصل وهكذا

العام) 2 شكلها والتي الحسابية المتتالية

B ، كافة x1=aأساسها حساب يتم معرفتهم ومن األول حدها

حدودها

مثال

فرضنا ، b=2إذا x1=3 ينتج

11

العام) 3 حدها شكل والتي الهندسية المتتالية

، x1=aحيث األول أساسها qحدها

، a=3فرضنا q=2: ينتج

2-2 - المتتالية- نهاية مفهوم المتقاربة المتتالية

1( كوشي ( شرط المتقاربة المتتالية ـ

العددية المتتالية عن الحقيقي نقول العدد من متقاربة أو (aأنها

العدد نهايتها حقيقي) aأن عدد كل نرفق أن استطعنا بعدد إذا

الطبيعي طبيعي العدد يكن مهما تتحقق n>mبحيث

المعرف المتراجحة للتقارب كوشي شرط يكافئ وهذا

: يلي كما

12

المتتالية aنسمي تقارب المتتالية نقطة أن أحيانا نقول كما

.( المتتالية ( تكن لم وإذا أحيانا تقاربها نقطة نذكر أن دون متقاربة

. متباعدة فنسميها متقاربة

المتتالية كانت النقطة إذا إلى هذه aمتقاربة في نكتب فإننا

الحالة

أو أو

مالحظة:

المتراجحة 1 استخدام نستطيع التقارب دراسة عند عن ـ بدل

يلي كما للسابق مكافئ تعريف على ونحصل

مثال

العام حدها التي المتتالية أن الواحد برهن من تتقارب

ليكن: ونطبق الحل معطى حقيقيا عددا

: نجد للتقارب كوشي شرط

كان :أو إذا أن بسهولة نجد

13

للتقارب الهندسي المعنى سندرس األمثلة متابعة وقبل

: المتتاليات لتقارب الهندسي المعنى

النقطة لتكن من متقاربة أجل aمتتالية من أنه ذلك معنى إن

إيجاد :Nمن mيمكن المتراجحة تتحقق بحيث

قيم جميع أجل من

أجل من أنه ذلك يكون معنى أن يعنى يجب وهذا

الرتبة من ابتداء المجال mأنه في المتتالية حدود تقع أن يجب

المفتوح

المتتالية كانت إذا أنه سبق مما النقطة ينتج من فإنه aمتقاربة

الحقيقي العدد يكن طبيعي مهما عدد إيجاد تقع mيمكن بحيث

الرتبة هذه من اعتبارا المتتالية حدود المجال mجميع في

المتتالية كانت إذا آخر النقطة وبشكل من من aمتقاربة فإنه

أي المفتوح أجل المجال يحوي أن حدود يجب جميع

المفتوح ( المجال يحوي أن يجب أو معينة رتبة من اعتبارا المتتالية

( أن هنا نالحظ أن يجب منها منته عدد عدا ما المتتالية حدود جميع

كان إذا ألنه وذلك أيضا صحيح فإنه العكس معطى حقيقيا عددا

14

المفتوح المجال كون المتتالية من حدود جميع يحوي

معينة رتبة من كان mاعتبارا إذا أنه ينتج :مثال فإن

المفتوح المجال مركزه نسمي الذي المفتوح aبالمجال

قطره :ونصف التالية. النظرية صياغة يمكن سبق ما على بناء

) 1 - 1 نظرية(

المتتالية تتقارب لكي والكافي الالزم النقطة الشرط هو aإلى

مركزه مفتوح مجال أي يحوي قطره aأن حدود ونصف جميع

منها منته عدد عد ما المتتالية

) 1 - 2 ( مالحظة

النقطة )c,d(ليكن ولتكن مفتوحا نجد aمجاال بسهولة إليه تنتمي

مركزه مفتوحا مجاال يحوي المجال هذا قطر aأن نصف وذو

كان إذا موجب

أن نجد

النقطة يحوي مفتوح مجال أي للنقطة aنسمي باالعتماد aجوارا

: التالية النظرية صياغة يمكن السابقة المالحظة على

) 1 - 3 ( نظرية

15

المتتالية لتقارب والكافي الالزم النقطة الشرط أن aإلى هو

للنقطة جوار أي النقطة ( aيحوي تنتمي مفتوح مجال )aأي إليه

منها منته عدد عدا ما المتتالية حدود جميع

: ) 2 ( مثال

المتتالية أن الصفر برهن من تتقارب

ليكن للتقارب الحل كوشي شرط ولنطبق معطى حقيقيا عددا

المتراجحة mبفرض يحقق طبيعي أجل أو عدد من

طبيعي عدد إذا أي نالحظ حيث المسألة لهذه حال يعتبر

فإن أخذنا

العدد تلي التي الحدود جميع المفتوح 13إن المجال ضمن تقع

قطره ونصف الصفر مركزه الذي

مثال

المتتالية نهاية أن العدد برهن من 2-متقاربة

الحل

16

التقارب ليكن شرط ولنطبق معطى حقيقيا عددا

المتراجحة mبفرض يحقق طبيعي عدد

طبيعي عدد أي أجل من بسهولة نجد

أجل فمن المسألة لهذه حال نجد يعتبر

العدد تلي التي الحدود جميع المفتوح 299إذا المجال ضمن تقع

مركزه قطره )2(-الذي ونصف

العدد من متقاربة )2(-والمتتالية

) 2 - 2 - 2 ( مالحظة

طبيعي عدد أي كان إن إذا المتتالية نهاية لمسألة حل mهو

األعداد كل إيجاد الضروري من ليس ذلك وعلى لها التي حال

األعداد هذه أحد وجود إثبات يكفي بل النهاية لمسألة حلول هي

فقط

المتباعدة المتتالية

17

متتالية عن ويمكن نقول متقاربة غير كانت إذا متباعدة أنها

أي التقارب لشرط منطقي كنقيض متتالية تباعد شرط كتابة

المتتالية تكون أخرى للعدد بعبارة جوار كل كان إذا ال aمتباعدة

المتتالية حدود من منته غير عدد على يحتوي

التالية: المتتاليات أمثلة

متقاربة كلها

النهاية : )2-2-1(نظرية وحدانية

وحيدة تقارب نقطة متقاربة عددية متتالية لكل

لتكن: العدد البرهان من ومتقاربة الحقيقية األعداد من متتالية

: aولنبرهن aالحقيقي لنفرض للمتتالية bوحيدة ثانية نهاية

أن a=bولنبرهن

أن . aبما يمكن للتقارب كوشي شرط إلى استنادا للمتتالية نهاية

عدد كل نرفق طبيعي أن بحيث m1بعدد

أجل من يكون bوكذلك

18

أجل لنختار من n>mويكون معا لدينا

أجل ولنحسب n>mمن

أن أن أي وبما إذا موجب صغير أي مقدار من أصغر

: وبالتالي موجب عدد

المطلوب وهو

- 3-2 : الجزئية المتتالية

المتتالية عن المتتالية نقول من جزئية متتالية كانت أنها إذا

المتتالية عناصر عناصر من تتشكل

مثال:

المتتالية المتتالية من جزئية متتالية

) 2 - 3 - 1 ( نظرية

المتتالية كانت من إذا جزئية متقاربة متتالية منها فكل

من aمتقاربة

البرهان:

19

المتتالية أن إيجاد بما يمكن إذا حيث متقاربة

يكن من والمتتالية ينتج مهما aمتقاربة

مثال:

، المتتاليتان

أن من نالحظ متقاربة جزئية فهي

: ) 2 - 3 - 1 ( مالحظة

المتتالية احتوت متقاربة إذا جزئية متتالية من كل فليس

متقاربة نفسها هي تكون أن الضرورة

مثال

,

من نالحظ حين جزئية في متقاربة متباعدة وهي

المحدودة 4-2 - المتتاليات

العددية المتتالية حقيقيين نسمي عددين وجد إذا محدودة

يكون بحيث

موجب حقيقي عدد يوجد المتراجحة M<0أو تتحقق بحيث

20

المتتالية أن نجد وجد بسهولة إذا وفقط إذا محدودة تكون

المتتالية حدود جميع حاوي مفتوح مجال

المتتالية كانت إذا الحقيقية يوجد في فإنه بحيث M<0محدودة

أن M<يكون وبالتالي وذلك أي

المفتوح المتتالية المجال حدود جميع يحوي

المفتوح: المجال ليكن المتتالية العكس حدود جميع يحوي

بفرض ذلك المجال عند يحوي فإن

ثم المجال ومن

إذا

المتتالية عن حدودها ونقول بعض وجد إذا محدودة غير أنها

المفتوح المجال خارج إلى تكن تنتمي مهما

األعلى 1-4-2 من المحدودة المتتالية

المتتالية عن ) نقول إذا ( اليمين من أو األعلى من محدودة أنها

الحقيقي العدد Mوجد

المتراجحة تتحقق أن بحيث إلى يؤدي وهذا

المفتوح المجال إلى تنتمي حدودها جميع

األدنى 2-4-2 - من المحدودة المتتالية

21

المتتالية عن ) نقول إذا ( اليسار من أو األدنى من محدودة أنها

حقيقي عدد المتراجحة mوجد تتحقق بحيث

المتتالية حدود جميع أن إلى يؤدي المجال وهذا إلى تنتمي

المفتوح

من )2-4-1(مالحظة محدودة تكون قد محدودة الغير المتتالية

معا االثنين من أو األدنى من أو األعلى

أمثلة

المتتالية 1 ألن ـ محدودة

تحقق M=1أو وذلك المتراجحة بحيث

جميع أجل من

المتتالية 2 حقيقي ـ عدد يوجد ال ألنه محدودة يحقق Mغير

المتراجحة

تقع حدودها جميع ألن األعلى من أو اليمين من محدودة ولكنها

المجال ضمن

المتتالية 3 تكون السابق المثال أسلوب محدودة، ـومن غير

تقع حدودها جميع ألن االدنى من أو اليسار من محدودة ولكنها

المجال ضمن

22

غير ـالمتتالية 4 الوقت وبنفس محدودة غير متتالية هي

المجال في تقع حدودها ألن األعلى من وال األسفل من محدودة

محدودين غير عددان هما المجال وطرفي

المرتبة 5-2 - المتتالية

العددية المتتالية عن أو نقول متزايدة كانت إذا مرتبة أنها

متناقصة

المتزايدة 1-5-2 - المتتالية

المتتالية عن ) نقول كان ( إذا متناقصة غير متزايدة أنها

بـ لها أي ونرمز تامة المتراجحة كانت أن وإذا نقول

المتتالية تماما متزايدة

المتناقصة 2-5-2 - المتتالية

المتتالية عن ) نقول كان ( إذا متزايدة غير متناقصة أنها

بـ لها أي ونرمز تامة المتراجحة كانت أن وإذا نقول

تماما متناقصة المتتالية

2 - 5 - 1 - مالحظة

الفرق إشارة دراسة من متتالية ترتيب على فإذا نستدل

اإلشارة كانت وإذا متزايدة المتتالية فإن موجبة اإلشارة كانت

23

. متناقصة المتتالية فإن سالبة

النسبة بمقارنة الواحد أو من أكبر النسبة حيث واحد بالعدد

متناقصة الواحد من وأصغر متزايدة

أمثلة

العام 1 حدها التي المتتاليات أن أثبت ـ تماما متزايدة هي

: أن الحالة هذه في لنبرهن

لنوجد

الكسر الطبيعي إن العدد يكن مهما وذلك موجب nهو إذا

تماما متزايدة هي المتتالية

هو 2 العام حدها التي المتتالية أن أثبت ـ تماما متناقصة هي

أن نثبت الحالة هذه لنوجد :في إذا

الكسر الطبيعي إن العدد كان مهما وذلك سالب n>1هو إذا

تماما متناقصة هي المتتالية

الموجبة: 3-5-2 المتتالية

24

العددية المتتالية موجبة نسمي حدودها جميع كانت إذا موجبة

بـ لها ونرمز

- 4-5-2 : السالبة المتتالية

العددية المتتالية سالبة نسمي حدودها جميع كانت إذا سالبة

بـ لها ونرمز

نظرية:

محدودة متتالية هي متقاربة متتالية كل

البرهان

العدد ليكن من متقاربة عدد aمتتالية كل أجل من عندئذ

إيجاد : يمكن بحيث

أي

: أن نجد

محدودة إذا

مالحظة:

. إذا أي صحيح يكون أن الضروري من ليس النظرية هذه عكس إن

25

المتتالية متقاربة .كانت تكون أن الضروري من فليس محدودة

مثال:

ألن المتتالية غير محدودة ولكن محدودة

حدودها ألن متقاربة

محدودة نهاية لها ليس

المتتالية نالحظ كذلك

نظرية:

( ) ( األدنى ( من األعلى من محدودة متناقصة متزايدة متتالية كل

( متقاربة ( ومحدودة مرتبة متتالية كل أي متقاربة متتالية هي

البرهان

العدد لتكن األعلى وحدها األعلى من ومحدودة متزايدة متتالية

L إي

كان األقل إذا على عنصر يوجد عندئذ كيفيا معطى موجب عدد

المتراجحة تتحقق بحيث المتتالية من

26

كل ومنه أجل من صحيحة المتراجحة m<nوهذه إذا

التقارب شرط وهو

ينتج المطلوب ومنه وهو

مالحظة:

من والمحدودة المتناقصة المتتالية أن إثبات الطريقة بنفس يمكن

متقاربة األدنى

مثال:

ومتقاربتان ، المتتاليتان محدودتان

النهايات 6-2 - على الحسابية العمليات

لدينا هاتين ، لتكن من سنحاول عدديتين متتاليتين

: جمع من الناتجة المتتالية جديدة متتاليات نبني أن المتتاليتين

مجموع تسمى المعطيتين المتتاليتين في المتقابلة الحدود

وتساوي نعرف المتتاليتين أن يمكن الطريقة بنفس

كان و يكن إذا مهما المتتالية nوذلك تعريف يمكن فإنه

نظرية:

كانت :، إذا فإن متقاربتين متتاليتين

27

1)

2)

3) :

: المتتاليتان كانت إذا يلي كما تفهم أن يجب النظرية و هذه

مع ( والتقسيم الضرب و والطرح المجموع متتالية فإن متقاربتان

( السابقة العالقات تحقق تقاربها ونقاط تتقارب المضاف الشرط

البرهان

:)1(لنبرهن

أن .وليكن و لنفرض معطى حقيقيا عددا

أن العدد بما أجل من طبيعي فإنه عدد إيجاد بحيث n1يمكن

قيم يكون جميع أجل أن من أجل وبما من فإنه

طبيعي العدد عدد إيجاد يكون يمكن أجل. بحيث من

كان إذا أنه بسهولة فإن نجد

و

كان إذا ذلك على :بناء أن بسهولة نجد

األول المطلوب وهو

28

2: التالي) المقدار لنحسب ذلك أجل من

المتتالية أن يوجد بما ثم ومن محدودة تكون فإنها Lمتقاربة

يكون يكن بحيث عدد nمهما إيجاد يمكن ثم يحقق Mومن

التاليتين يكن العالقتين مهما و nوذلك

على البرهان أجل أن لنأخذ )2(من بما كيفيا فإنه عددا

إيجاد المتراجحة يمكن تتحقق أجل بحيث من

طبيعي عدد إيجاد يمكن الطريقة تتحقق وبنفس بحيث

أجل المتراجحة العددين بفرض من أكبر

أن بسهولة نجد

الثاني المطلوب وهو

على البرهان أجل أن )3(من ولنحسب و و لنفرض

التالي المقدار ذلك بعد

29

يكون النظرية حسب أجل اآلن أن من أخيرا لنفرض

أن بما ذلك عند معطى كيفي إيجاد عدد يمكن فإنه

المتراجحة تتحقق بحيث

أن إيجاد وبما يمكن المتراجحة فإنه تتحقق بحيث

كان بفرض إذا أنه :نجد فإن

األخير المطلوب وهو

مالحظة:

المتتاليتين أن هنا نالحظ أن متقاربتين ، يجب غير تكونا قد

أن . أو مع أن نجد المثال سبيل فعلى متقاربتين تكونا

المتتاليتين المتتاليتين أن رغم و متباعدتان

متقاربتان

) 1 نتيجة (

العدد لتكن من متقاربة فإن و aمتتالية اختياري عدد

العدد المتتالية إلى متقاربة

30

)2(نتيجة

، ، لتكن

قيم جميع أجل من يتحقق nعندئذ

نظرية

كانت وكان إذا جميع متقاربة أجل فإن من

نظرية:

كانت المتراجحة و إذا وتحققان متقاربتين متتاليتن

جميع أجل فإن من

نظرية

الثالث المتتاليات كانت المتراجحات ووإذا دوما تحقق

المتتاليتان كانت واحدة ووإذا مشتركة نهاية من aتتقاربان

أي:

المتغير eالعدد العام لنأخذ حدها التي المتتالية أو

: أن أوال نالحظ المتتالية هذه ولندرس

31

: نجد مشابه وبشكل

أن يعني في وهذا المتقابلة العناصر ألن ذلك ويعود

عناصر من في أكبر موجب حد وجود إلى وغير باإلضافة

في يقابله ما المتتالية موجود ثانية إذا ناحية ومن متزايدة

لدينا:

على باالعتماد إذا األعلى من محدودة المتتالية فإن ثم ومن

العدد يساوي أو أقل لعدد متقاربة تكون السابقة نرمز 3النظرية

بـ المتتالية هذه eلنهاية إذا

العدد . eإن يؤخذ فهو الرياضي التحليل في كبيرا دورا يلعب

العدد عادة يسمى الطبيعي للوغارتم النبري eكأساس بالعدد

ستة ( بدقة تقريبا ويساوي عادي غير عدد وهو نيبر العالم باسم

( الفاصلة بعد e = 2.718281أعداد

النهاية لوجود كوشي معيار

32

المتتالية لدينا العدد لتكن إلى تتقارب أنها أن aولنفرض أي

معطى موجب عدد أي أجل من ذلك إيجاد عند يمكن

المتراجحة تتحقق بحيث

قيم جميع أجل من

تساوي n,mلتكن أو أكبر طبيعية أن أعدادا بسهولة نجد ذلك عند

و

: أن ينتج وبالتالي

: التالية الخالصة على نحصل وبالتالي

المتتالية كانت موجب إذا عدد أي أجل من فإنه متقاربة

طبيعي عدد إيجاد يمكن المتراجحة معطى تتحقق بحيث

قيم جميع أجل nمن

و

ويلخص برهان بدون ذلك ونقبل أيضا صحيح العكس الحقيقة في

: التالية النظرية في ذلك

نظرية

33

المتتالية عدد تتقارب أي أجل من وجد إذا وفقط عدد إذا

المتراجحة طبيعي تتحقق قيم بحيث جميع أجل و nمن

في أهميته وتتميز كوشي بشرط عادة يسمى السابق الشرط إن

معرفة دون ال أم متقاربة المتتالية هل نعرف أن نستطيع أننا

. إليها تتقارب التي النقطة

( ) الالنهاية إلى تسعى التي المتتاليات الكبر في المتناهية المتتاليات

األعلى من محدودة وغير األدنى من محدودة متتالية كل تعريف

( إلى ( متناهية متتالية تسمى محدودة نهاية تكاثف نقطة لها وليس

الموجبة الالنهاية

من ومحدودة األدنى من محدودة غير متتالية كل تسمى كما

السالبة الالنهاية إلى متناهية متتالية األعلى

أو الموجبة الالنهاية إلى المتناهية المتتالية عن التعبير يمكن

: يلي كما السالبة

متتالية عن إلى نقول تؤول من أو أنها استطعنا إذا

موجب كيفي عدد كل طبيعي Aأجل عدد إيجاد كاف بمقدار كبير

m كل أجل :m<nومن يكون

xn < -A

xn > A

34

: يلي بما لذلك ونرمز

:

أو

:

مثال

العام حدها التي الالنهاية المتتالية إلى تسعى

: أن حيث

xn =

أجل أن من من نجد محدودة غير المتتالية أ، نجد بذلك

ألن تكاثف نقطة لها وليس من األعلى محدودة أيضا وهي

بالصفر األدنى

الكبر في المتناهية المتتاليات خواص بعض

كان 1 إذا محدودة وكانت ـ

فإن

كان 2 إذا كان ـ فإن وإذا

35

إذا 3 mil()كان ـ nn

X كانت فإن وإذا محدودة

كان 4 إذا فإن ـ

الرمز المتتالية إن أن بقيم يعني الصفر إلى تسعى

موجبة،

سالبة 0-وأن بقيم الصفر إلى تسعى المتتالية أن يعني

كان 5 إذا طبيعي وكانت ـ عدد وجد وإذا mمحدودة،

كل أجل من أنه يكون n>mبحيث فإن ،

طبيعي 6 عدد وجد إذا كل mـ أجل من أو (يكون n>mبحيث

النهاية) كانت فإن وإذا ثابتة بإشارة باالحتفاظ

إشارة حسب اإلشارة و وتتحدد

36

مالحظات

كان 1 إذا و ـ

النهاية عن شيء أي نقول أن نستطيع فال

خاصة حالة كل دراسة ويجب التعيين عدم حاالت من حالة ألنها

حدة على

كان 2 إذا وكان ـ شيئا نقول أن نستطيع فال

المتتالية نهاية عن مسبقا

أمثلة

كان 1 إذا النهاية و ـ هي فما

الحل

فإن و ـ 2

37

كان 3 إذا فإن و ـ

محددة نهاية يوجد ال

فإن و ـ 4

كان 5 إذا فإن و ـ

) الصفرية ) المتتاليات الصغر في المتناهية المتتاليات

) الصفر) إلى تؤول التي المتتاليات

تعريف:

في متناهية متتالية الصفر تنتهيإلى التي المتقاربة المتتالية تدعى

صفرية متتالية أو الصغر

: التالية بالخواص الصفرية المتتاليات تتمتع

1)

2) ,

38

محدودة (3

4)

هي الصفرية للمتتالية األساسية المتتالية إن

النوع من متتالية كل صفرية حيث إن متتالية هي

القوة نهايات

، ، ، متقاربة

مثال

العام حدها التي المتتالية

عن حيث مستقلة أعداد متتالية و nهي هي

: نجد. بالفعل صفرية

المتتالية أن الخاصة وبما وحسب هي فإن )2(صفرية

صفرية

39

تعريف:

المتتالية أن من نقول أكبر بسرعة الصفر إلى تسعى

المتتالية المتتالية كانت صفرية إذا

المتتاليتان: :و مثال ولكن صفريتان

صفرية

أن على يدل من وهذا أكبر بسرعة الصفر إلى تسعى

: ) 5 ( نظرية

الخاصة المتتالية )1(حسب سندرس

أن نكتب بما أ، وبالتالي نستطيع

أن :وبما نجد

40

المتتالية وبالتالي إن حيث صفرية صفرية هي أيضا

الخاصة المتتالية )4(وحسب و فإن أيضا هي

: أن برهنا وبذلك صفرية

التالية النظرية على نحصل أن يمكن السابقة، العالقة على اعتمادا

: الصفرية بالمتتاليات الخاصة

: ) 6 ( نظرية

المتتالية كانت التاليين إذا الشرطين من واحدا تحقق

1)

2)

صفرية فإن

مثال:

صفرية المتتالية

الحل:

وبالتالي و إن

: ) 7 ( نظرية

41

المتتالية العدد تتقارب متتالية aإلى كانت إذا وفقط إذا

)الفرق صفرية ( الصفر في متناهية

لنضع: البرهان

: نفرض الشرط أن لزوم ولنبرهن

أن أجل بما من طبيعي فإنه عدد :mيوجد يكون بحيث

أو

أن الصغر عندما أي في المتناهي تعريف حسب

: أن لنفرض الشرط أجل عندما كفاية من يوجد فإنه

طبيعي :mعدد يكون بحيث

أو

بأن تفيد األخيرة المتراجحة فإن متتالية، تقارب تعريف وحسب

العدد نحو .aتتقارب وهوالمطلوب

: 2 مثال

المتتالية أن العدد برهن إلى الفرق a=1تتقارب لنحسب

فنجد

42

أن يعني :عندما وهذا إذا

:sبفرض أن برهن طبيعي، عدد

الفرق لنأخذ

أن :حيث وبما أن نجد

وبالتالي

: 4 مثال

النوع من متتالية كل أن : برهن حيث الصغر في متناهية هي

k>0 و.

: النسبة لندرس

المثال :3وحسب نجد

43

النظرية المتتالية 6وحسب .فإن الصغر في متناهية

: شهيرة متتاليات

المتتالية 1 حيث ـ

:لتكن التالية الحاالت ولندرس

أ، أـ وجدنا

:نجد a=1ب- المتتالية نجد وبالتالي

. الواحد ونهايتها متقاربة وهي

:a=-1جـ- بالشكل المتتالية نأخذ

إما فهي محدودة غير نهايتها ألن متباعدة 1+أو 1-وهي

العدد ء- a<-1أو a>1وهنا

الحالة نكتب a>1لندرس أن نستطيع حيث عندئذ

.و أي متباعدة المتتالية أ، على يدل وهذا

44

المتتالية a<-1الحالة نجزئ أ، يمكن الحالة هذه إلى في

جزئيتين تتناهى ، متتاليتين األولى المتتالية إن

إلى إلى تتناهى فهي الزوجية القوى ذات الثانية وأما

كل 2 أجل من : و ـ فإن

المتتالية يمكن : فمثال بالشكل تكتب أن

نجد ونهايتها و وهنا متقاربة فالمتتالية وبالتالي

: يلي كما حدودها بعض نكتب أن يمكن

المتتالية 3 ـ

عندما أهمية المتتالية :a>1لهذه نفرض لذلك صفرية أنها وسنبرهن

:و نجد ومنه

فإن وبالتالي نجد عندما وبما وبالتالي

:أن يلي كما فتحسب نهايتها أما متقاربة المتتالية فإن

نجد وبذلك

45

المتتالية 4 a>0، ـ

أن) 1 ، نفرض عندئذ a>1لنفرض

المتتالية أن صفرية وسنبرهن

العالقة طرفي الدرجة لنرفع :nإلى فنجد

برنولي عالقة حسب

أو أي

الخاصة على أن 4باالعتماد : نجد ، a>1وبالتالي

عندما 2 وبالتالي فإن a=1ـ دائما

عندما 3 :b>1حيث لنفرض a<1<0ـ عندئذ

مالحظة:

أن أن نعلم أن وبما برهان ووجدنا وهذا

أن على :a>0حيث جديد نكتب أن ويمكن

المتتالية تقارب برهن

المتتالية 5 لنكتب ـ

: المتتالية لنشكل

46

إن

المتتالية فهي ولكن موجبة أنها وبما باضطراد متناقصة

فإن وبالتالي اليسار من .محدودة متقاربة

المتتالية أجل نكتب من

: نجد النهاية بأخذ

المتتالية أن برهن النبري بذلك العدد ونهايتها أي eمتقاربة

محلولة أمثلة

التالية 1 المتتاليات نهايات أوجد :ـ كان إذا

1)

2)

3)

4)

5)

47

6)

7)

8)

الحل

مرافق) 1 على ونقسمه العام الحد نضع

على :بالتقسيم نجد

أن و بما

إذا:

عندئذ:

باستخدام ) 2 الصغر في متناهية المتتالية هذه أن سنبرهن

العالقة:

48

3 (

المطابقة باستخدام

: الشكل للمتتالية العام الحد سيأخذ وبذلك

نجد النهاية بحساب عندئذ

4 (

ألن

5 (

على والمقام البسط :nنقسم فنجد

49

النهاية استخدمنا

إذا

6 (

: المتتاليتين في محتواة المتتالية هذه عناصر جميع إن

،

أن ، بما

للمتتالية فإن هما وبالتالي للتكاثف 1,-1نقطتان

. نهاية لها ليس أي متباعدة، فالمتتالية وبالتالي

7 (

: بالشكل العام الحد نكتب أن يمكن

50

العام حدها التي المتتالية اعتبار يمكن متتاليتين وهنا كجداء

،

: أن نعلم

فإن وبالتالي nz: فإن وبالتالي محدودة متتالية

عندما

أي

نكتب ) 8 أن يمكن

أو

قانون:

تساويهم فهي متساويتين متتاليتين بين محصورة متتالية كانت إذا

إن

51

المتتالية 2 من األولى الحدود بعض اكتب :ـ حيث

1)

2)

3)

n

nnx

n

nn

;2)1(

;1

1

4)

5)

6)

الحل

1)

2)

3)

4)

52

فردي

زوجي

5)

6)

منها 3 أيا واستنتج التالية للمتتاليات العام الحد صيغة أوجد ـ

محدودة:

1)

بالمجال إذا محدودة متتالية وهي

2)

إن إذا ،

3)

، إذا

4)

.إذا محدودة وغير

5)

53

المتتاليات 4 هي ما حدودها ـ التي المتتاليات من المرتبة

التالية العامة

1)

.إذا متزايدة والمتتالية

2)

)12(12

)1(12

1121

nnnn

nnnn

nnnn

xx

n

n

إعطاء حدين nيمكن بين الفرق أن من والتأكد متتاليتين قيمتين

. متناقصة المتتالية وبالتالي سالب متتاليين

3)

: مرتبة غير المتتالية

54

تمارينالتالية المتتاليات نهايات كان أوجد إذا

ـ 1

مرافق على ونقسمه العام الحد نضع

على :بالتقسيم نجد

أن بما

إذا

:ـ 2 الصغر في متناهية المتتالية هذه أن لنبرهن

: العالقة باستخدام

55

ـ 3

ألن

ـ 4

على والمقام البسط :nنقسم فنجد

النهاية استخدمنا حيث

ـ 5

: بالشكل العام الحد يكتب

العام حدها التي المتتالية اعتبار متتاليتين يمكن كجداء

56

،

: أن نعلم

سالب ومرة موجب مرة

فإن وبالتالي nz: فإن وبالتالي محدودة متتالية

عندما

أي

نكتب ) 6 أن يمكن

أو

إذا

إذا

تساويهم فهي متساويتين متتاليتين بين محصورة متتالية كانت إذا

: التالية النهايات أوجد ـ

،

57

بـ نضرب

،

: مرتبة التالية المتتاليات كانت إذا فيما بين ـ

(أ

.إذا متزايدة والمتتالية

(ب

)12(12

)1(12

1121

nnnn

nnnn

nnnn

xx

n

n

إعطاء حدين nيمكن بين الفرق أن من والتأكد متتاليتين قيمتين

. متناقصة المتتالية وبالتالي سالب متتاليين

58

(جـ

. مرتبة غير المتتالية

المتتاليات

ـ 1المتتالية:

طبيعي: s ـ 2 عدد

الصغر ـ 3 في متناهية هي

الشهيرة المتتاليات

ـ 1

حاالت أربع هناك

أـ

a=1ب-

a=-1جـ-

إما نهايتها 1+أو 1-متباعدة

العدد ء- a<-1أو a>1هنا

59

ـ2

ـ 3

a>0، ـ 4

a>1أـ

a=1ب-

a<1<0جـ-

ـ 5

8: المتتالية نهاية أوجد ـ

المطابقة باستخدام

: الشكل للمتتالية العام الحد سيأخذ

نجد النهاية بحساب عندئذ

-7تابع -

60

: يلي ما نهاية أوجد

نهاية ، ـ 1 هي ما

ـ 2

كان 3 إذا :، ـ فإن

. محدودة نهاية يوجد ال

الثالث الفصلالعددية السالسل

1-3: العددية السلسلة تعريف

كانت فإذا نهائية ال عددية متتالية لحدود الالنهائي المجموعة هي

حدودها الحقيقية األعداد من فإن متتالية

الحدود لهذه الالنهائي سلسلة المجموع بشكل

بـ لها ونرمز عددية

61

للسلسلة، نسمي األول الثاني، بالحد ذا حدها حدها

حدود nالمرتبة جميع تولد التي الرياضية الصيغة وهو العام الحد أو

السلسلة.

العام حدها بإعطاء أو حدودها جميع بإعطاء إما السلسلة تمثل

: بالشكل اختصارا للسلسلة حيث وتكتب العام الحد هو

المفروضة.

أمثلة

السلسلة) 1

العام حدها التوافقية، بالسلسلة السلسلة هذه وتكتب تسمى

المختصر بالشكل

السلسلة) 2

العام المختصر حدها بالشكل ونكتب

62

العام السلسلة) 3 وشكلها حدها

المختصر

حقيقي حيث السلسلة) 4 عدد

العام حدها الهندسية، بالسلسلة السلسلة هذه ونسمي

السلسلة) 5

العام الحد وفيها الحسابية السلسلة تسمى

السلسلة مجموع

المجموع كان الدقيقة إذا قيمته نجد أن فيمكن منتهيا

نستطيع فال النهائيا المجموع كان إذا أما السلسلة مجموع ويسمى

. الخاصة الحاالت بعض في إال عنه شيئا نقول أن

الجزئية المجاميع متتالية

: اآلتية الحقيقية األعداد متتالية لدينا لتكن

(1)

يلي كما لحدودها الجزئية المجاميع بأخذ بالتتالي بدأنا وإذا

63

المتتالية للسلسلة تمثل الجزئية المجاميع

بـ لها ونرمز الجزئية المجاميع متتالية وتسمى

المتباعدة والسالسل المتقاربة السالسل

الجزئية المجاميع متتالية كانت ونهايتها إذا أي sمتقاربة

العدد هذه sفإن في السلسلة وتكون السلسلة مجموع يمثل

. الجزئية المجاميع متتالية كانت إذا أما متقاربة الحالة

تكون نفسها السلسة فإن محددة، نهاية لها ليس أي متباعدة

. محدد مجموع لها وليس متباعدة

وأما المتقاربة السالسل يخص السلسلة مجموع عن الحديث إن

. مجموعها عن للحديث معنى فال المتباعدة السالسل

: : اآلتية السلسلة المتباعدة السالسل من

1+1+1+1+………+1+….

: الجزئية المجاميع متتالية ألن متباعدة وهي

1,2,3,………,n,…….

. الالنهاية إلى تؤول أنها حيث نعلم كما متباعدة

64

أمثلة

+……1+……..+1+1+1+1السلسلة) 1

فنحصل لها الجزئية المجاميع متتالية لنأخذ

: لها الجزئية المجاميع متتالية وتكون

1,2,3,………,n,…..

الالنهاية إلى تؤول ألنها متباعدة وهي

السلسلة) 2

نحصل لها الجزئية المجاميع لنأخذ

لها الجزئية المجاميع متتالية ألن وتكون متقاربة

السلسلة) 3

65

نحصل لها الجزئية المجاميع بأخذ

أي إلى تتقارب ال لها الجزئية المجاميع متتالية أن نالحظ بسهولة

متباعدة السلسلة أن أي حقيقي عدد

في أساسيا دورا تلعب التي الهامة، السالسل بعض لندرس

الرياضيات

الحسابية السلسلة

: وهي الحسابية، المتتالية حدود مجموع هي الحسابية السلسلة

مقدار بإضافة سابقه عن فيها حد كل ينشا التي األعداد متتالية

:rثابت أي المتتالية أساس يسمى

: اآلتي الشكل تأخذ الحسابية، المتتالية حدود نجد وبذلك

النوني مجموعها ويكون

الحسابية السلسلة خواص

اآلتية 1 بالصيغة العام الحد يعطى ـ

66

أساس 2 هو ثابتا مقدارا يساوي متتاليين حدين بين الفرق ـ

أي rالسلسلة

أي 3 األول الحد عدا ما مجاوريه بين حسابي وسط هو فيها حد كل ـ

هو 4 ثابتا مقدارا يساوي السلسلة في متقابلين حدين مجموع إن ـ

: الشكل على السلسلة حدود كانت إذا بالحقيقة

فإن

الحسابية 5 السلسلة حدود مجموع ـ

بشكل مرتين المنتهية الحسابية السلسلة حدود مجموع لنكتب

يلي كما متعاكس

67

متقابلين حدين كل نجمع

الخاصة يساوي )4(وبحسب األزواج مجموع أن nوبمالحظة زوجا

يساوي زوج كل وأن إذا

(I)

(I')

مجموع ')I) , (I(العالقتان السلسلة nتعطيان حدود من حدا

الحسابية

لحدود الالنهائي المجموع إيجاد نستطيع ال أننا البديهي من

الصيغتين وحسب ألنه الحسابية، فإن ')I) , (I(السلسلة

. عندما دوما متباعدة الحسابية فالسلسلة إذا

أمثلة

هو 1 الطبيعية األعداد من األولى حد المائة مجموع ـ

68

هو 2 الزوجية الطبيعية األعداد من األولى حد المائة مجموع ـ

هو 3 الفردية الطبيعية األعداد من األولى حد المائة مجموع ـ

الهندسية 2 السلسة ـ

السلسلة: نسمي تعريف

تساوي فيهما متتاليين حدين بين القسمة كانت إذا هندسية سلسلة

ثابتا :حيث qمقدارا أي الهندسية، السلسلة أساس يسمى

بالشكل الهندسية السلسلة حدود كتابة نستطيع ذلك وعلى

المجموع هذا لنسمي

(1)

بـ العالقة هذه طرفي فنجد qلنضرب

(2)

)2(من )1(بطرح

69

الهندسية السلسلة خواص

ثابت 1 بعدد بضربه سابقه عن حدودها كل ينتج السلسلة qـ أساس

حد 2 كل الحد ـ عدا ما مجاوريه بين هندسي وسط حدودها من

األول

العالقة برهن

مجموع 3 بالعالقة nـ يعطى حدودها من حدا

الهندسية السلسلة تقارب دراسة

عندما 1 أن أي ـ نعلم

: فإن وبالتالي

متقاربة فالسلسلة ومحدودة موجودة النهاية أن أي

أو أي ـ 2

70

المجموع نهاية بأخذ

عندما ولكن

إذا

متباعدة السلسلة أن أي

وتساوي q=1ـ 3 ثابتة السلسلة حدود مجموعها aتكون وعندئذ

متباعدة أيضا السلسلة أي

السلسلة 1-ـ 4 حدود مجموع يكون

تساوي الجزئية المجاميع متتالية يكون aأو 0إن حسبما nوذلك

فهي المتتالية لهذه نهاية تحديد نستطيع ال إذا فرديا، أو زوجيا

ثابتا مقدارا مجموعها أن علما aأو 0متباعدة،

المنتهية غير السلسلة حدود باقي

المنتهية غير السلسلة إن حين نقول متقاربة سلسلة بأنها

الـ . nيكون الـ نهاية تكون عندما أي محددا مقدارا منها األولى حدا

n محددة نهاية منها األولى حدا

71

السلسلة هذه مجموع فإن متقاربة السلسلة تكون عندما وهكذا

تقاربها إلى يؤدي

الـ مجموع السلسلة nإذا لمجموع تقريبية قيمة يمثل السلسلة من

السلسلة مجموع تقدير في الخطأ حيث لنفرض

:يسمى السلسلة باقي

عندما المتقاربة الهندسية السالسل يكون في

المتقاربة للسلاسل الأساسية النظرياتحدها: 1نظرية يتناهى أن هو عددية سلسلة لتقارب الالزم الشرط

الصفر إلى العام

لنفرض: . البرهان النوني المجموع إذا متقاربة سلسلة

. ولتكن ووحيدة محدودة نهاية إلى ينتهي .عندما Aلحدودها

للسلسلة العام الحد المجموعتين إن بين الفرق ، هو

نتيجة:

72

الصفر إلى ينتهي ال العام الحد كان إذا أنه النظرية هذه من نفهم

. السلسلة ذلك على كمثال متباعدة السلسلة أن على يدل فهذا

فيها التي حيث الهندسية متباعدة أنها وجدنا

الشرط لنأخذ إن كافيا وليس السلسلة لتقارب الزم هو

التوافقية السلسلة ذلك على فيها كمثال ولكنها التي

: هي. السلسلة حدود إن لدينا بالحقيقة متباعدة

على الثاني الحد من ابتداء السلسلة هذه حدود نكتب أن يمكن

حدودها عدد مجموعات ترتيب kحيث شكل

المجموعة

بعدد وضربناه األخير وهو حدودها أصغر مجموعة كل من أخذنا وإذا

لمجموع الحقيقية القيمة من أصغر قيمة على نحصل فيها الحدود

: أي المجموعة عناصر

73

الـ مجموع وهو )n-1(إن منها األولى الالنهاية حدا إلى يتناهى

الالنهاية إلى يتناهى السلسلة هذه حدود مجموع أن نجد لذلك

. أن من الرغم على متباعدة فهي وبالتالي

: 2 نظرية

العدد ، لتكن إلى متقاربتين إن Bو Aسلسلتين

العدد نحو متقاربة سلسلة هو وفرقهما :مجموعهما أي

البرهان:

( لـ ( الفرق المجموع للمتتالية nلنأخذ األولى حد

ومنه

ينتج:

: 3 نظرية

السلسلة كانت العدد إذا ومجموعها السلسلة Aمتقاربة فإن

العدد ومجموعها متقاربة

74

البرهان:

نكتب أن يمكن

المطلوب وهو

: 4 نظرية

السلسلة من حذفنا أو أضفنا حدودها إذا من منته عددا

. التباعد أو التقارب حيث من السلسلة طبيعة تتغير فال األولى

البرهان

السلسلة منها لنأخذ السلسلتين kولنحذف فينتج األولى حد

(1)

(2)

بـ الـ ولنرمز الحدود للسلسلة )n(لمجموع و )1(األولى

الـ الحدود للسلسلة nلمجموع :)2(األولى نالحظ

ينتج kحيث بفرض محدود .Mعدد محدود عدد

: نجد األخيرة للعالقة الطرفين نهاية وبأخذ

75

كان ينتج إذا . موجودة ال وبالتالي وبالعكس موجودة

. تباعدها أو تقاربها حيث من السلسلة طبيعة تتغير

السلسلة: 4نظرية من طرحنا أو أضفنا من إذا منته عددا

. تباعدها أو تقاربها حيث من السلسلة طبيعة تتغير ال الحدود،

البرهان

السلسلة منها لتكن على 'nولنحذف نحصل األولى حدا

جديدة حيث سلسلة

أجل من :n'>nعندئذ لدينا

للسلسلة الجزئي للمجموع الجزئي بـ نرمز وللمجموع

:بـ للسلسلة نجد عندئذ

النهاية كانت ) فإذا النهاية ( فإن موجودة غير أو موجودة

( ) إذا موجودة غير أو موجودة بـ تكون يتعلق nال

76

( السالبة ( غير الموجبة الحدود ذات السالسل

جميع تكون التي السالسل هي الموجبة الحدود ذات السالسل إن

حدودها

حيث

( متقاربة ( إما هي السالبة غير أو الموجبة الحدود ذات السالسل إن

أي متباعدة أو

أو إما

الموجبة للسلسلة الجزئية المجاميع متتالية هي إن

. متزايدة متتالية

ولكن حيث

إذا

: 5 نظرية

السلسلة النهاية تتقارب نوجد عندئذ متقاربة،

.حيث السلسلة لهذه الجزئية المجاميع لمتتالية العام الحد هو

أن من وبمالحظة ومتقاربة موجبة حدودها لكون ،Aمتزايدة

أن كل ينتج أجل من المتتالية وذلك إذا محدودة ،

بالعدد األعلى صفر Aمن بالعدد األدنى ومن

77

: أن لنفرض الشرط العددية كفاية للسلسلة ،محدودة

المجاميع متتالية فإن موجبة، حدود ذات السلسلة هذه كانت ولما

.الجزئية متزايدة

أن إذا أي متقاربة، فهي وبالتالي األعلى من ومحدودة متزايدة

.السلسلة متقاربة

مثال

العددية متتالية السلسلة ألن ومتقاربة موجبة حدود ذات

الجزئية :المجاميع ألن األعلى من محدودة

بحدود استبدلنا سلسلة وهنا حدود وهي منها أكبر حدودا

ألن وذلك متقاربة :هندسية يكون سبق لما واستنادا

بالعدد محدودة الجزئية المجاميع متتالية 2إذا

مثال:

السلسلة أن .برهن متباعدة

78

الجزئية المجاميع متتالية لنشكل

إذا

فهي إذا األعلى من محدودة وغير متزايدة موجبة متتالية

السلسلة إذا .متباعدة متباعدة

: السالسل تقارب اختبارات

1 : المقارنة اختبار ـ

: السالبة غير الحدود ذوات اآلتيتان العدديتان السلسلتان لدينا لتكن

(1)

(2)

أجل وليكن السلسلتين حيث من من حد ترتيب

عندئذ

السلسلة كانت السلسلة إذا فإن متقاربة متقاربة

79

السلسلة كانت السلسلة إذا فإن متباعدة متباعدة

البرهان

ليكن

الواضح السلسلة من أن بما النظرية شروط )2(حسب

المتتالية فإن متقاربة،

. محدودة فهي وبالتالي أيضا، متقاربة

مثال:

السلسلة تقارب ادرس

السلسلة حدود من أصغر السلسلة هذه حدود إن

السلسلة من ) المتقاربة ) إذا سابقا درست متقاربة

نالحظ حيث متقاربة المفروضة السلسلة

80

السلسلة 3 كانت إذا أما طبيعة ـ معرفة نستطيع فال متباعدة،

متباعدة السلسلة تكون وقد متقاربة تكون فقد ،

: 2 مالحظة

من عدد تقارب معرفة إلى يحتاج المقارنة اختبار تطبيق إن

: منها بعضا هنا ونذكر تباعدها أو السالسل

1 دوما متباعدة الحسابية السلسلة ـ

عندما 2 متباعدة الهندسية السلسلة عندما ـ ومتقاربة

التوافقية 3 السلسلة ـ دوما متباعدة

العام 4 الشكل ذات ريمن سلسلة متقاربة حيث ـ

عندما p>1عندما ومتباعدة

العددية: 1مثال السلسلة لتكن

: السلسلة حدود من أصغر حدودها إن

أساسها هندسية الثانية السلسلة أن . وبما إذا متقاربة فهي

. متقاربة المفروضة السلسلة فإن المقارنة اختبار وحسب

81

السلسلة: 2مثال تقارب ادرس

المتراجحة: باستخدام الحل

أجل أن من نجد المفروضة، السلسلة حدود على

السلسلة اخترنا أننا فيها أي ريمن سلسلة ألنها المتقاربة

p=2>1 متقاربة المفروضة فالسلسلة المقارنة اختبار وحسب

السلسلة: 3مثال تقارب ادرس

العام الحد ألن موجبة، حدود ذات السلسلة هذه إن

: . أن نجد ولكن دوما موجب

السلسلة أساسها وأن ألن متقاربة هندسية سلسلة فهي

متقاربة المفروضة فالسلسلة إذا

: 4 مثال

82

السلسلة تقارب ادرس

الحل

: نجد المفروضة للسلسلة العام الحد بدراسة

السلسلة السلسلة إن من خاص شكل ألنها متباعدة

اختبار حسب متباعدة المفرضة السلسلة إذا المتباعدة، التوافقية

المقارنة.

: 5 مثال

السلسلة تقارب ادرس

الحل

أن أجل بما على من :الطرفين نجد

83

فيها السلسلة ريمن سلسلة ألنها متباعدة

متباعدة المفروضة السلسلة إذا

مثال:

السلسلة تقارب ادرس

الحل

أجل من سالبة غير السلسلة هذه حدود فإننا. إن ولذلك

ألن تقاربها، على ذلك يؤثر أن دون السالبة، غير الحدود سنخرج

. السلسلة تقارب سندرس ولذلك محدود المحذوفة الحدود عدد

الجديدة

84

العام الحد ذات السلسلة سلسلة إن طرح حاصل هي

متباعدة متقاربة سلسلة .من متباعدة سلسلة فهي

متباعدة المفروضة فالسلسلة المقارنة اختبار وحسب

السابقتين المالحظتين على اعتمادا مالحظة

السلسلتين لدينا كان النهاية Un , Vnإذا ولحساب

محدودة

معدومة =

محدودة غير

نوع 1 من فالسلسلتين معدومة وغير محدودة النهاية كانت إذا ـ

واحد

وكانت 2 معدومة النهاية كانت إذا فإن ـ متقاربة متقاربة

85

وكانت 3 محدودة غير النهاية كانت إذا فإن ـ متباعدة

متباعدة

وكانت 4 معدومة النهاية كانت إذا تحديد ـ نستطيع فال متباعدة

السلسلة طبيعة

وكانت 5 محدودة غير النهاية كانت إذا نستطيع ـ فال متقاربة

السلسلة طبيعة تحديد

كوشي 2 اختبار ـ

نظرية:

النهاية لتكن ولندرس موجبة حدود ذات سلسلة

كان 1 إذا متقاربة ـ فالسلسلة

كان 2 إذا متباعدة ـ فالسلسلة

كان 3 إذا يعطينا ـ ال كوشي اختبار أن أي شك، حالة فلدينا

السلسلة لطبيعة قاطعة نتيجة

البرهان

كان الطبيعي وكان إذا العدد يوجد ،عندئذ

أجل من لـ أو يكون بحيث كبيرة قيم أجل nفمن

86

من الهندسية mأكبر السلسلة أ، نجد عندما ، ، متقاربة

السلسلة عندما وبالتالي أما ، فإن متقاربة

لـ الكبيرة القيم أجل ستكون nفمن وبالتالي وبالتالي ،

عندما الصفر إلى يتناهى ال للسلسلة العام الحد فإن

. المطلوب وهو متباعدة فالسلسلة

أمثلة

: اآلتية السالسل تقارب ادرس كوشي، اختبار على اعتمادا

1)

2)

3)

4)

الحل

1)

. متقاربة والسلسلة

2)

. متقاربة والسلسلة

87

3)

=

العدد تتبع السلسلة طبيعة :aفإن

كان إذا متقاربة ـ السلسلة فإن

كان إذا متقاربة ـ السلسلة فإن

عندما أما بتعويض a=1ـ دراستها يمكن شك، حالة في a=1فلدينا

. السلسلة على فنحصل السلسلة،

النظرية على لذلك )1(نعتمد السلسلة هذه طبيعة معرفة في

. العام الحد نهاية نوجد

النظرية حسب متباعدة السلسلة .)1(وبالتالي

4)

متباعدة والسلسلة

تمرين:: ( اآلتية ( السالسل تباعد تقارب ادرس كوشي، اختبار على اعتمادا

88

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

3 ( النسبية) ( احتبار داالمبير اختبار

لتكن: :نظرية النهاية ولندرس موجبة حدود ذات سلسلة

كان) 1 متقاربة إذا فالسلسلة

كان) 2 متباعدة إذا فالسلسلة

كان) 3 تباعد إذا أو تقارب معرفة في شك حالة فلدينا

السلسلة

كان) 1 الطبيعي فإن إذا العدد يوجد عندئذ

قيم جميع أجل من المتراجحة بحيث تتحقق

89

أجل لدينا n=mمن

السلسلتين لدينا تتشكل

(1)

(2)

السلسلة من حد أي أن له )1(نالحظ المقابل الحد يساوي أو أصغر

السلسلة أساسها )2(من هندسية سلسلة ألنها المتقاربة

السلسلة وبالتالي )1(وبالتالي متقاربة متقاربة

معينة لنفرض) 2 قيمة من اعتبارا لدينا سيكون

من اعتبارا متزايدة السلسلة حدود ال m+1إذا العام الحد ينتج

. متباعدة والسلسلة أبدا الصفر إلى ينتهي

راب- 4 اختبار

نظرية

: التالية الموجبة الحدود ذات السلسلة لتكن

90

التالية راب متتالية انتهت إذا

أن عندما Rإلى أي

عندئذ:

متقاربة ـ 1 السلسلة تكون

متباعدة ـ 2 السلسلة تكون

البرهان

السلسلة مقارنة على تعتمد راب السلسلتين )1(نظرية مع

التاليتين

المتقاربة 1 ـ

(2)

(3)

أجل ومن المقارنة، نظرية على كافي nوباالعتماد بشكل كبير عدد

: التالية المترجحة تتحقق

عندما متباعدة وتكون متقاربة، تكون السلسلة فإن ما، عدد

أجل من يمكن أن nإذا كاف بشكل كبير

(4)

91

األختياري العدد للمتراجحة sلنأخذ على المحقق وباإلعتماد

: المبرهنة صحة

العدد أجل من أن nإذا نجد كاف بقدر الكبير

(5)

من :)5) , (4(نستنتج

: التالي الشكل على المتراجحة هذه صياغة ويمكن

للسلسلة متتالين حدين بين ما عالقة األيمن الطرف أن )2(نالحظ

السلسلة أن نستنتج المقارنة نظرية وباستخدام )1(المتقاربة

متقاربة

: يكون ما قيمة من ابتداء ويمكن ـ

92

: التالي بالشكل المتراجحة هذه صياغة ويمكن

للسلسلة متتاليين حدين بين ما عالقة األيمن الطرف أن 3نالحظ

السلسلة أن نستنتج المقارنة نظرية وباستخدام 1المتباعدة

متباعدة

أمثلة

راب اختبار على اعتمادا التالية السالسل تقارب ادرس

1) 2)

الحل

1)

راب اختبار نطبق

حيث متقاربة السلسلة R=2إذا

93

2)

وال

حيث متقاربة سلسلة

أمثلة

: دالمبير اختبار على اعتمادا التالية السالسل تقارب ادرس

1) 2)

3) 4)

الحل

1)

94

إلى ولكن من eيتناهى أصغر :eبقيم ومنه

. متباعدة والسلسلة

2)

. متباعدة والسلسلة

3)

95

. متباعدة والسلسلة

4)

. متقاربة والسلسلة

السلسلة :إن ألن متباعدة

تمرين:

: ( اآلتية ( السالسل تباعد تقارب ادرس دالمبير اختبار على اعتمادا

1) 2)

3) 4)

5)

6) 7)

8) 9)

96

10) 11)

12) 13)

14) 15)

16)

مثال

( السلسلة ( تباعد تقارب ادرس

الحل:

: نجد دالمبير اختبار بتطبيق

97

آخر اختبار سنطبق لذلك واحدة، نتيجة يعطينا لم دالمبير اختبار إذا

: الحاالت هذه مثل في عادة يطبق الذي راب اختبار وهو

متقاربة والسلسلة

مثال:

( السلسلة ( تباعد تقارب ادرس

الحل:

نجد دالمبير اختبار بتطبيق

98

السلسلة تباعد أو تقارب لمسألة حال يعطينا ال دالمبير اختبار إذا

: راب اختبار نطبق

أن بما

لنكتب

نكتب لذلك تعيين عدم

نفرض

أوبيتال فإن عندما قاعدة تطبيق نستطيع بذلك

اللوغاريتمي، االشتقاق على اعتمادا البسط في المشتق نوجد

سنفرض لذلك

باالشتقاق

99

إذا

متباعدة السلسلة وبالتالي

تمرين:

: اآلتية السالسل تقارب ادرس راب، اختبار على اعتمادا

1)

2)

المتناوبة السالسل

الخاصة، السالسل من نوعا الفقرة هذه ستدرس

الحدود ذا السالسل وهي الكبيرة، األهمية ذات

. المتناوبة السالسل وخاصة اإلشارة، المختلفة

تعريف:

100

العددية السلسلة حدين نسمي كل فيها التي

. متناوبة سلسلة باإلشارة، مختلفين متجاورين

العام بالشكل المتناوبة السلسلة نكتب أن يمكن

التالي:

(1)

جميع المتناوبة حيث السالسل تقارب سندرس

: التالي االختبار على اعتمادا

اليبنتز Leibnitz اختبار

نظرية:

المتناوبة السلسلة تحققت )1(تتقارب إذا

: التالية الشروط

السلسلة) 1 لحدود المطلقة القيم متتالية

: ( أن ( أي متزايدة غير أو متناقصة

101

الالزم) 2 الشرط يكون األول الشرط تحقق مع

يتناهى أن هو المتناوبة السلسلة لتقارب والكافي

أي الصفر إلى العام الحد

تتعدى) 3 ال السلسلة حدود لباقي المطلقة القيمة

. األول الحد

البرهان

: من تأتي الثاني الشرط ضرورة إن الشرط ضرورة

العام )1(النظرية حدها متقاربة سلسلة كل أن حيث

. الثاني الشرط تحقق مع ولكن الصفر إلى يتناهى

السلسلة لتقارب الثالث الشرط كافيا )1(يكون

: الشرط كفاية

للسلسلة الجزئية المجاميع األدلة )1(لنأخذ ذات

. والفردية الزوجية

زوجي عدد مجموعة عن األولى 2nنبحث حدودها من

أي:

102

التالي الشكل على المجموع نكتب

متناقصة السلسلة لحدود المطلقة القيمة ولكن

يتزايد وعندما تناه nفرضا، بال

نستنتج:

,

وبالتالي:

المتحول المقدار . إذا ثانية جهة ومن متناهي غير

لدينا:

سالبة غير األقواس داخل القيم جميع ألن وذلك

103

إن تكن ومنه مهما عندما حيث nمحدودة أي

أن فإن برهنا وقد محدودة نهاية إلى تسعى

متقاربة هي ومحدودة مطردة متتالية كل

لدينا أيضا

، حيث فرضا

من فردي عدد أو زوجي عدد مجموع كان إذا ومنه

محدودة نهاية إلى يسعى المتناوبة السلسلة Aحدود

السلسلة باقي اآلن لنحسب

مثال:

: المتناوبة السلسلة

. حيث اليبنتز نظرية شروط تحقق السلسلة هذه إن

لحدودها المطلقة القيم متتالية أو متناوبة سلسلة أنها

وكذلك, متناقصة

104

متقاربة المفروضة السلسلة إذا

المتناوبة: السلسلة مثال

المطلقة القيم ومتتالية متناوبة السلسلة هذه إن

متناقصة لحدودها

الصفر إلى يتناهى فهو العام الحد وأما

: متقاربة المفروضة السلسلة إذا

: 3 مثال

متغيرة الحدود ذات للسالسل المطلق التقارب

اإلشارة:

105

مطلقا المتقاربة السالسل

تعريف:

متغيرة الحدود ذات العددية السلسلة عن نقول

اإلشارة

الحدود . حيث مطلقا، متقاربة إنها اإلشارة مختلفة

إذا أي متقاربة، لحدودها المطلقة القيم سلسلة إذا

السلسلة كانت

متقاربة

نتيجة:

السلسلة تقاربت أي (إذا مطلقا تتقارب ولم

) كانت فإن ، .متباعدة شرطيا متقاربة

: المطلق التقارب اختبارات

106

ذات للسالسل التقارب اختبارات استخدام يمكننا

غير تقارب ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟الحدود اختبار لدراسة

السالسل أو المتناوبة بعد؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟السالسل

ذات سالسل فتصبح لحدودها، المطلقة القيم أخذ

االختبارات ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟حدود سنستخدم ولذلك

القيم إشارة مع هو ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟السابقة كما

: بالنسبة الحال

كوشي الختبار

دالمبير واختبار

راب واختبار

أمثلة

: التالية السالسل تقارب ادرس

1) 2)

3)

107

4) 5)

6) 7

الحل

1)

: السلسلة لهذه المطلق التقارب ندرس

أساسها السلسلة هندسية فهي سلسلة

متقاربة.

المفروضة السلسلة فإن المقارنة اختبار وحسب

. مطلقا متقاربة

2)

. متناوبة، السلسلة هذه أن حيث اليبنتز اختبار نطبق

: هي لحدودها المطلقة والقيم

108

إلى يتناهى العام وحدها متناقصة، المتتالية هذه إن

. متقاربة المفروضة السلسلة إذا الصفر،

3)

: نجد العام لحدها المطلقة القيمة بدراسة

العام الحد ذات السلسلة تقارب ندرس

: كوشي اختبار حسب

المقارنة، اختبار وحسب متقاربة، السلسلة هذه إذا

. مطلقا متقاربة المعطاة السلسلة فإن

4)

: نجد دالمبير اختبار بتطبيق

109

السابقة التعيين عدم حالة على أوبيتال قاعدة نطبق

. إذا المفروضة السلسلة وبالتالي متباعدة

متباعدة.

السلسلة أن فالسلسلة بما متباعدة

السلسلة ولكن تكون متباعدة أن يمكن

اختبار عليها نطبق متناوبة، باعتبارها شرطيا متقاربة

اليبنتز.

المطلقة القيم متتالية إن

110

المتتالية هذه أن على مباشرة الحكم نستطيع ال

متناقصة.

العام حدها التي المتتالية أنها سندرس وسنبرهن

. الصفر إلى العام حدها وينتهي متناقصة

المتتالية تناقص من : للتأكد التابع نأخذ

مشتقه وندرس

من التابع بدءا التابع وبالتالي متناقص أو

كل أجل من

: يلي كما فتحسب العام الحد نهاية أما

أوبيتال قاعدة بتطبيق

المتتالية متقاربة إذا وغير شرطيا متقاربة

مطلقا.

111

6)

السلسلة فإن الصفر، إلى يتناهى ال العام الحد أن بما

متباعدة

7)

دالمبير اختبار بتطبيق

السلسلة السلسلة إذا فإن وبالتالي متباعدة،

متباعدة

112

تمرين: شرطيا والمتباعدة مطلقا المتقاربة السالسل هي ما

: اآلتية السالسل بين من والمتباعدة1)

2) 3)

4) 5)

6) 7)

8) 9)

10) 11)

12) 13)

113

14) 15)

16) 17)

18) 19)

20) 21)

: السالسل بعض مجموع حساب

مثال:

السلسلة مجموع أوجد

هندسيتين سلسلتين مجموع هي السلسلة هذه إن

هما:

ألن متقاربتان ، وهما

: هو مجموعهما فإن لذلك

114

: 2 مثال

المتقاربة السلسلة حدود مجموع أوجد

الجزئية المجاميع متتالية نشكل

نجد وهكذا

العام الحد كسر مجموع نفرق إلى

كسرين

115

نجد وحذفها المقامات بتوحيد

: نجد بالمطابقة

: نجد السابقتين المعادلتين جملة بحل

بالشكل العام الحد نكتب أن نستطيع إذا

ومجموعها متقاربة المفروضة السلسلة إذا

: 3 مثال

السلسلة مجموع أوجد

116

الحل

: الجزئية المجاميع لمتتالية العام الحد نشكل

الكسر .نفرق بسيطة كسور مجموع إلى

ومجموعها متقاربة السلسلة 1إذا

: 4 مثال

: السلسلة حدود مجموع أوجد

117

الحل

: الجزئية المجاميع لمتتالية العام الحد نشكل

العام الحد كسر نفرق

: نجد الثوابت قيم بحساب

وبالتالي:

118

:5مثال

السلسلة حدود مجموع أوجد

الحل

الفرق :لنأخذ فنجد

119

120