UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA DEPARTAMENTO DE INDUSTRIAS

SEGURIDAD DE FUNCIONAMIENTO LEY DE WEIBULL

RAÚL STEGMAIER

2007

Ley de Weibull La ley de Weibull es ampliamente utilizada para el análisis de confiabilidad debido a que con este modelo es posible representar todo el ciclo de vida de un elemento. Las relaciones para este modelo son las siguientes:

βα

γ )()(−−

=t

etR β

αγβ

αγ

αβ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−

×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=t

ettf1

)( 1)()()()( −−== β

αγ

αβλ t

tRtft

E t( ) ( )= + +γ α β

βΓ 1

gráficamente tenemos:

f(t)

0

β

ββ= 0,5 = 3

= 1

t 0

(t)λ

t

β β

β

= 0,5 = 3

= 1

donde: γ: La constante de localización, es expresada en las mismas unidades de t y define el

punto de partida o el origen de la distribución

α: Es la constante de escala, alargamiento de la distribución en el eje del tiempo. Cuando t - γ = α la confiabilidad es constante igual R(t) = 36.8%; esta constante representa el tiempo, medido desde γ, para el cual el 63.3% de la población puede haber fallado, esto para cualquier valor de β . Por esta razón, α es también llamado la característica de vida.

β: Es la constante de forma; este parámetro controla la forma de la distribución Si β < 1, λ(t) es decreciente β = 1, λ(t), es constante β > 1, λ(t) es creciente

Estimación de los parámetros de la Ley de Weibull. Para la estimación de los parámetros es necesario seguir los pasos siguientes: 1.- Construir a partir de los datos experimentales la función de falla acumulada del sistema o componente. 2.- Determinar los parámetros de la ley. Para estas opciones se tiene: 1).- Determinación de función de falla acumulada a) Método de Rangos promedio La función de falla acumulada puede ser obtenida utilizando el método de rangos promedio a través de la aproximación de Benard

4.03.0

)(+

−=

NoK

tF jj

(1) Donde:

F(tj) : Probabilidad de fallas acumulada al tiempo tj Kj : Nº de eventos (fallas) que han ocurrido hasta tj No : Nº total de eventos.

Ejemplo: Una empresa de equipo electromecánico recolectó la siguiente información de su servicio postventa de un determinado elemento (ordenados en orden creciente de tiempos de buen funcionamiento que han concluido en una falla).

Kj Tiempos de buen funcionamiento

1 205 2 312 3 402 4 495 5 570 6 671 7 801 8 940 9 1150

Lo que nos da los siguientes indicadores de seguridad de funcionamiento.

Kj Tiempos de buen funcionamiento

Relación F(t)

1 205

4.093.01

+−

0,07

2 312

4.093.02

+−

0,18

3 402

4.093.03

+−

0,29

4 495 .. 0,39 5 570 .. 0,50 6 671 .. 0,61 7 801 .. 0,71 8 940 .. 0,82 9 1150 .. 0,93

b) Cálculo del ranking ajustado con datos censurados a la derecha. Es muy común que los datos experimentales de los que se dispongan, tengan además de la información de tiempo en la que un elemento opero hasta la falla, de tiempos en los cuales dicho electo fue reemplazado en un momento previo a que este evidenciara una falla (por ejemplo frente a una política de mantenimiento preventivo cíclico FTM). Esto significa que en este último caso estamos frente a tiempos censurados a la derecha, es decir, el tiempo de operación del elemento fue suspendido, por la acción preventiva, sin conocer cuanto tiempo adicional habría funcionado hasta fallar. Por este motivo los eventos asignables a la falla y su ranking deben ser ajustados considerando el hecho de que no se conoce cuanto habría funcionado hasta la falla al momento de la suspensión preventiva un elemento, pero no es menos cierto que si se conoce el hecho de que el elemento funciono sin fallar hasta el momento de la suspensión preventiva. El ajuste de la posición de las fallas, se realiza determinando la posición media de estos eventos (median rank position). La metodología consiste en ajustar el ranking de fallas, considerando las posiciones probables de los datos suspendidos y asociando la posición media a las fallas observadas. Para el cálculo de la posición media ajustada de cada falla se utiliza la formulación siguiente:

11

11 ( 1)

jj j

j

N rr r

N k−

−

+ −= +

+ − − (2)

donde, rj: Posición Media de la falla j (Median Rank Position). kj: Ranking Global de eventos. N: Número de eventos totales (Correctivas y Preventivas). r0 = 0. Con el nuevo ranking de fallas ajustado se obtiene la probabilidad de falla acumulada utilizando la ecuación (1) anterior. 2).- Determinación de los parámetros de la ley de Weibull Utilizando el análisis de regresión de ranking sobre Y para calcular los parámetros de la distribución de Weibull, el procedimiento es el siguiente: El primer paso es construir la función en su forma lineal. Para la distribución de Weibull de dos parámetros (Alfa y Beta), la distribución acumulada de fallas es:

β

α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=t

etF 1)( (3) Aplicando logaritmo natural en ambos lados de la ecuación (3)

β

α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−

ttFLn ))(1( (4)

[ ]{ } ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−α

β tLntFLnLn )(1 (5)

o: [ ]{ } ( ) )()(1 tLnLntFLnLn βαβ +−=−− (6)

Considerando: [ ]{ })(1 tFLnLny −−= (7)

( )αβ Lna −= (8) y:

β=b (9) Los que resultan en la ecuación de una recta del tipo:

bxay += (10) Ejemplo: En la tabla siguiente se muestra la estadística histórica de reemplazos de un elemento. Se indica el momento en el cual se produjo el evento, su duración y si el reemplazo fue efectuado siguiendo una política de prevención (estando bueno Preventivo) o por falla del mismo Correctivo. Además se indica en la última columna el tiempo que el elemento funciono sin fallar entre cada evento de reemplazo.

Fecha Duración Tipo Tiempos de

funcionamiento entre eventos hrs

21-1-05 20:45 1,8 Preventiva 30-1-05 19:33 5,68 Correctiva 213 15-2-05 19:13 2,24 Correctiva 378 9-3-05 17:28 2,65 Preventiva 524

14-3-05 20:07 0,56 Correctiva 120 28-3-05 3:40 2,04 Correctiva 319 18-4-05 1:43 3,28 Preventiva 500

19-4-05 19:00 3,34 Correctiva 38 10-5-05 18:20 4,87 Preventiva 500 11-8-05 9:12 4,31 Correctiva 2218

18-8-05 10:31 5,83 Correctiva 165 15-9-05 23:21 2,87 Correctiva 679 4-11-05 18:13 4,12 Correctiva 1192 25-11-05 18:20 0,57 Preventiva 500 14-12-05 5:54 5,24 Correctiva 443 25-12-05 11:09 5,45 Correctiva 264 15-1-06 12:36 2,47 Preventiva 500 5-2-06 11:04 1,93 Preventiva 500 8-2-06 19:00 3,13 Correctiva 78 5-3-06 13:07 0,94 Correctiva 591 6-4-06 23:04 1,89 Correctiva 777 17-6-06 1:57 4,58 Correctiva 1705 8-7-06 2:32 3,67 Preventiva 500 20-8-06 1:12 2,96 Correctiva 1027 10-9-06 0:10 5,44 Preventiva 500

7-11-06 18:36 1,41 Correctiva 1405 15-12-06 0:01 4,37 Correctiva 892 5-1-07 0:23 1,25 Preventiva 500

26-1-07 10:38 3,49 Correctiva 513 Tomando en consideración la información anterior, se procede a construir la función de fallas acumulada F(t). Para efectuar esto y en atención a que en los datos disponibles hay información correspondiente a reemplazos preventivos, es decir, se suspendió la vida del elemento, se hace aconsejable ajustar en ranking de la fallas de acuerdo a lo indicado en la ecuación (2) y que se muestra en la última columna de la tabla siguiente. De los antecedentes del caso es necesario indicar que del total de eventos (28), son sólo por reemplazos a la falla (19), de estos últimos en los nueve primeros no hay diferencia entre el ranking general de fallas y el ajustado dado que no hay reemplazos preventivos hasta ese momento. Desde esa falla en adelante comienza a ser relevante el ajuste, por ejemplo la falla 18 en el ranking inicial de fallas, en el ranking ajustado correspondería a la falla 25,3 considerando que son en total 28 observaciones y en 9 de ellas el elemento “sobrevivió” hasta su reemplazo preventivo.

Tipo

Tiempos de funcionamiento

entre eventos hrs

Ranking global de eventos Kj

Ranking inicial de fallas

Ranking ajustado de

fallas rj [Ecuación (2)]

Correctiva 38 1 1 1,0 Correctiva 78 2 2 2,0 Correctiva 120 3 3 3,0 Correctiva 165 4 4 4,0 Correctiva 213 5 5 5,0 Correctiva 264 6 6 6,0 Correctiva 319 7 7 7,0 Correctiva 378 8 8 8,0 Correctiva 443 9 9 9,0 Preventiva 500 10 Preventiva 500 11 Preventiva 500 12 Preventiva 500 13 Preventiva 500 14 Preventiva 500 15 Preventiva 500 16 Preventiva 500 17 Correctiva 513 18 10 10,7 Preventiva 524 19 Correctiva 591 20 11 12,5 Correctiva 679 21 12 14,3 Correctiva 777 22 13 16,2 Correctiva 892 23 14 18,0 Correctiva 1027 24 15 19,8 Correctiva 1192 25 16 21,7 Correctiva 1405 26 17 23,5 Correctiva 1705 27 18 25,3 Correctiva 2218 28 19 27,2

Obtenido el ranking ajustado de fallas, se procede a calcular la función acumulada de fallas F(t), utilizando para este efecto la ecuación (1) con el ranking de fallas ajustado rj. El resultado de dicho cálculo se aprecia en la tabla siguiente:

Tiempos de funcionamiento entre eventos

hrs

Ranking global de

eventos Kj

Ranking ajustado de

fallas rj

F(t) [Ecuación (1)] R(t)

38 1 1,0 0,02 0,98 78 2 2,0 0,06 0,94 120 3 3,0 0,10 0,90 165 4 4,0 0,13 0,87 213 5 5,0 0,17 0,83 264 6 6,0 0,20 0,80 319 7 7,0 0,24 0,76 378 8 8,0 0,27 0,73

443 9 9,0 0,31 0,69 513 18 10,7 0,37 0,63 591 20 12,5 0,43 0,57 679 21 14,3 0,49 0,51 777 22 16,2 0,56 0,44 892 23 18,0 0,62 0,38 1027 24 19,8 0,69 0,31 1192 25 21,7 0,75 0,25 1405 26 23,5 0,82 0,18 1705 27 25,3 0,88 0,12 2218 28 27,2 0,95 0,05

Con este resultado se dispone de la función de fallas acumulada y función de confiabilidad para el elemento en cuestión. Para la obtención de los parámetros de la distribución de Weibull (alfa y beta), utilizaremos el procedimiento descrito en el punto 2 de este informe, a través de la uso de las ecuaciones (6), (7), (8), (9) y (10), lo que resulta en la tabla siguiente:

Ln(t) Ln(-Ln(R(t)))

3,638 -3,691 4,357 -2,785 4,787 -2,304 5,106 -1,969 5,361 -1,710 5,576 -1,496 5,765 -1,313 5,935 -1,151 6,094 -1,006 6,240 -0,789 6,382 -0,577 6,521 -0,383 6,655 -0,201 6,793 -0,024 6,934 0,152 7,083 0,333 7,248 0,529 7,441 0,757 7,704 1,071

Buscando la mejor recta que correlacione los valores siguientes, el resultado es:

y = 1,1609x - 7,9359

Esto permite obtener los parámetros de la distribución:

Parámetro Valor Ecuación Beta 1,16 (9)Alfa 930,69 (8)Gama 0,00 Por defectoMTBF 883,34 Correlación 0,9986

Por otro lado a través de un cambio de variables e incorporando gama de Ln(t) a In(t-gama) y buscando el valor de gama que maximice la correlación, es posible encontrar los valores siguientes:

Ln(t-gama) Ln(-Ln(R(t)))

3,854 -3,691 4,468 -2,785 4,861 -2,304 5,160 -1,969 5,403 -1,710 5,610 -1,496 5,794 -1,313 5,959 -1,151 6,114 -1,006 6,258 -0,789 6,397 -0,577 6,534 -0,383 6,667 -0,201 6,804 -0,024 6,943 0,152 7,091 0,333 7,254 0,529 7,447 0,757 7,708 1,071

Buscando la mejor recta que correlacione los valores siguientes, el resultado es:

y = 1,2103x - 8,2815

Esto permite obtener los parámetros de la distribución:

Parámetro Valor Ecuación Beta 1,21 (9)Alfa 936,70 (8)Gama -9,16 *MTBF 870,03 Correlación 0,9989

(*) En este caso el valor de gama se obtuvo a través de utilizar Solver de Excel y considerando que el valor de gama tuviera un valor máximo de 38 hrs, en atención a que según los datos históricos corresponde al menor tiempo de buen funcionamiento que obtuvo el elemento. Con los valores obtenidos es posible obtener los modeladores de confiabilidad y tasa de falla como se aprecia en los gráficos siguientes:

Confiabilidad %

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0 500 1000 1500 2000 2500

Tiempo hrs

Gama = 0Gama -9,16 horasDatos de entrada

Tasa de falla [1/hrs]

6,500E-04

7,500E-04

8,500E-04

9,500E-04

1,050E-03

1,150E-03

1,250E-03

1,350E-03

1,450E-03

1,550E-03

1,650E-03

0 500 1000 1500 2000 2500

Tiempo hrs

Gama = 0Gama -9,16 horas