Wiskunde - MBO Niveau 4

OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen

LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2UITGAVE: 2018/2019

Eerste- en tweedegraads verbanden

Wiskunde - MBO Niveau 4

OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4DOCENT: H.J. RiksenLEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2UITGAVE: 2016/2017

Eerste- en tweedegraads verbanden

Wiskunde Leerjaar 1 - periode 2

Hoofdstuk 1 - Rechte lijnen

Het assenstelsel

In de wiskunde is het gebruikelijk om lijnen en grafieken te tekenen in een zogenaamd assenstelsel. Dat betekent dat we altijd op ruitjespapier tekenen en ook altijd beginnen met het tekenen van twee assen; de x-as en de y-as.

Het tekenen van een correct assenstelsel gaat als volgt:

1. Teken een horizontale x-as met aan het rechter uiteinde een pijlpunt 2. Teken een verticale y-as met aan het uiteinde boven een pijlpunt 3. Zet een x bij de pijlpunt van de x-as en zet een y bij de pijlpunt van de y-as 4. Zet maatstreepjes langs beide assen op de plek waar de cijfers komen te staan 5. Zet alle cijfers netjes bij de maatstreepjes; vergeet het cijfer 0 niet

In dit assenstelsel kun je nu punten aangeven. Punt P bijvoorbeeld heeft de coördinaten (3, 2), wat betekent: 3 op de x-as en 2 op de y-as. Punt Q heeft de coördinaten (5, 4) en punt R heeft de coördinaten (1, 6).

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1−2−1

−2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

P(3, 2)

Q(5, 4)

R(1, 6)

De rechte lijn

Een rechte lijn kun je niet alleen tekenen, maar ook vastleggen in een regeltje tekst. Iedereen die deze tekst heeft, kan de lijn ook tekenen. Zo’n regeltje wordt functievoorschrift genoemd en ziet er bijvoorbeeld zo uit:

f(x) = ⅓x + 3 of f(x) = 2x + 5 of f(x) = ¼x −2

Er is nog een tweede manier om het regeltje te schrijven en dan heet het een vergelijking:y = ⅓x + 3 of y = 2x + 5 of y = ¼x −2

Zo’n vergelijking heeft dus altijd een vaste vorm: y = ….x + …Op de puntjes moet je getallen invullen. Om dat aan te geven schrijven we ook wel: y = ax + b

We bekijken nu één van de vergelijkingen uit het voorbeeld: y = ⅓x + 3

Snijpunt met de y-asGetal b is altijd de plek waar de rechte lijn de y-as snijdt. Is b gelijk aan 3? Dan snijdt de lijn de y-as in het punt (0,3). Is b gelijk aan −5? Dan snijdt de lijn de y-as in het punt (0, −5). De x-waarde van een snijpunt met de y-as is altijd 0.

Het kan ook voorkomen dat b=0. Dan wordt hij weggelaten in de vergelijking, bijvoorbeeld:y = ½x of y = 4x of y = −¼x

De lijn snijdt de y-as dan in het punt (0, 0).

HellingsgetalGetal a is altijd hoe schuin de lijn loopt, oftewel het hellingsgetal. Het hellingsgetal geeft aan hoeveel hokjes de lijn omhoog of naar beneden gaat, als je één hokje opschuift naar rechts.Is het hellingsgetal 3? Dan ga je één hokje naar rechts en drie hokjes naar boven. Is het hellingsgetal −2? Dan ga je één hokje naar rechts en twee hokjes naar beneden.Is het hellingsgetal ½? Dan ga je één hokje naar rechts en een half hokje naar boven. Je kunt nu ook zeggen: ik ga twee hokjes naar rechts en één hokje naar boven.

Opdracht 1

Geef van onderstaande lijnen het snijpunt met de y-as en het hellingsgetal. Teken de lijnen vervolgens in een assenstelsel.

a) y = ⅓x + 5b) y = 2x + 7c) y = 6x − 5d) y = ½x + 2e) y = 4x

f) y = − x − 1g) y = ¼x + 1h) y = ½xi) y = ⅙x + 6j) y = 3x + 12

a b

Opdracht 2

Geef van de lijnen a t/m f een vergelijking.

Het hellingsgetal berekenenAls je twee punten hebt, waar een lijn doorheen gaat, kun je het hellingsgetal berekenen. Je trekt de twee y-coördinaten van elkaar af en ook de twee x-coördinaten. Deze uitkomsten deel je door elkaar.

Voorbeeld: Een lijn gaat door de punten (1, 3) en (7, 5). Het hellingsgetal wordt dan:

Het snijpunt met de y-as berekenenNadat je het hellingsgetal hebt berekend, kun je ook het snijpunt met de y-as berekenen. Je hebt namelijk al dit stukje van de vergelijking: Vul nu de x en y van één van de punten in en het

getal dat op de puntjes moet staan wordt duidelijk.

Voorbeeld: Een lijn gaat door de punten (1, 3) en (7, 5). Het hellingsgetal is dus: .

hellingsgetal =y2− y

1

x2− x

1

=5− 3

7 −1=2

6=1

3

y = hellingsgetal × x + .......

13

⇒ y = 13 x + .......

⇒ 5 = 13 × 7 + .......

⇒ 5 = 2 13 + ....... → op de puntjesmoet dus2 23 staan

snijpunt met de y − as : 0,2 23( )

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1−2−1

−2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10a

b

cd

e

f

Opdracht 3

Hieronder staan steeds twee punten van een lijn. Bereken eerst het hellingsgetal van de lijn en daarna het snijpunt met de y-as. Geef vervolgens de vergelijking van de lijn.

a) (4, 9) en (12, 11)b) (16, 12) en (66, 37)c) (8, 18) en (22, 60)d) (15, −20) en (50, −90)e) (35, 27) en (85, 37)

f) (10, −110) en (78, −450)g) (30, 123) en (70, 127)h) (30, −28) en (60, −40)i) (5, 21) en (25, 25)j) (32, 744) en (100, 1560)

Het snijpunt van twee lijnen berekenen

Je kunt het snijpunt van twee lijnen berekenen door de vergelijkingen ‘gelijk te stellen’ en op te lossen. De ene lijn is bijvoorbeeld en de andere lijn is bijvoorbeeld . Er moet nu een x-coördinaat bestaan die voor beide lijnen dezelfde y-waarde heeft. Dat is het snijpunt. Die x-coördinaat met dezelfde y-waarden vind je door te stellen: de van is dezelfde als de van .

Dus:

Vroeger leerde je dat je met inklemmen de x kunt vinden die in deze vergelijking past. Nu gaan we de x berekenen met behulp van de balansmethode.

De balansmethode

We nemen als voorbeeld:

Stap 1: Alle termen met een x erin naar de linkerkant brengen. Aan de rechterkant staat één x. Die krijg je daar weg door er een x van af te trekken. Van de 3x aan de linkerkant moet je dan ook een x afhalen.

3x − x − 8 = x − x + 18 ⇒ 2x − 8 = 18

Stap 2: Alle termen zonder x erin (dus de losse getallen) naar de rechterkant brengen. Aan de linkerkant staat − 8. Die krijg je daar weg door er 8 bij op te tellen. Bij de 18 aan de rechterkant moet je dan ook 8 optellen.

2x − 8 + 8 = 18 + 8 ⇒ 2x = 26 Stap 3: Bepaal x.

Om x te vinden deel je de linkerkant en de rechterkant door 2. Als je 2x door 2 deelt, hou je namelijk alleen x over en dan heb je je doel bereikt.

�

Stap 4: Controle Om te controleren of je ergens een rekenfout gemaakt hebt, kun je de gevonden waarde van x invullen in de oorspronkelijke vergelijking:

� Het klopt!

y = 3x −8 y = x +18

y y = 3x −8 y y = x +183x −8 = x +18

3x −8 = x +18

2x2

= 262

⇒ x = 13

3x −8 = x +18 ⇒ 3×13−8 = 13+18 ⇒ 31= 31

Het uiteindelijke snijpunt van de twee lijnen

Met de berekening hierboven heb je de x-coördinaat van het snijpunt gevonden. We moeten als laatste ook nog de y-coördinaat berekenen. De y-coördinaat vinden we door de x-coördinaat in te vullen in één van de vergelijkingen van de lijnen.

Voorbeeld:

We hebben hierboven gevonden dat .

Als we dit invullen in de vergelijking dan krijgen we: .

Het snijpunt van de twee lijnen is dus: . We hadden ook kunnen invullen in de andere

vergelijking:

Opdracht 4

Oefenen met de balansmethode.

I)Losdevolgendevergelijkingenop:

a) �

b) �

c) �

d) �

e) �

f) �

g) �

h) �

i) �

j) �

II.Losdevolgendevergelijkingenop:

a) �

b) �

c) �

d) �

e) �

f) �

g) �

h) �

i) �

j) �

III.Losdevolgendevergelijkingenop:

�

IV.Losdevolgendevergelijkingenop:

�

IV.Losdevolgendevergelijkingenop:

�

Opdracht 5

Hieronderstaansteedstweevergelijkingenvaneenlijn.Berekenhetsnijpuntvandetweelijnen.

a) �

b) �

c) �

d) �

x = 13y = 3x −8 y = 3×13−8 = 31

13,31( ) x = 13y = x +18 = 13+18 = 31.

3x + 4 = 10x + 3= 5x + 7 = 82x + 4 = 82x + 4 = 12

3x = 94x = 124x = −163x +1= 162x − 3= 11

5x + 2 = 2x +8x + 7 = 12− 4x2x − 3= 9− x7 = 2x − 3

x − 6 = −2x +125x + 3= 6x − 3x +8 = 2x + 96x − 4 = 4x − 25x − 4 = −43− x = 2x − 3

a) 2x − 4 = 7 e) − 3x − 3= 7b) 2x − 4 = −7 f ) − 3x − 4 = 17c) 5x = 1 g) 12 x +1= 0d) 3x − 3= 7 h) 6x − 4 = 8

a) 4x + 3= 2x e) x + 3= 3− xb) 4x +5= 2x +1 f ) 6x + 4 = 3x −1c) 3x + 4x = 7 g) 3− x = 2x +1d) 5x − 3x = 6 h) 3− x = 2x + 3

a) 4− 2x = x −1 e) 2x + 4 = 6− xb) 6+ 3x = 5x − 6 f ) 4x −5= 5− 4xc) − 3x = 6x + 9 g) − 3− x = 5x − 4d) 8x + 4 = −6x + 3x h) x + 2 = 3+ x

y = 13 x +5 en y = −4x + 44

y = − 15 x +10 en y = −4x + 29

y = 40x +150 en y = −35x + 7650

y = 1600x + 45000 en y = − 14 x +51401