34 WisMaat

Inleiding

Negatieve getallen kom je overal om je heen tegen, en hetconcept negatieve getallen is voor de meeste leerlingen inhet voortgezet onderwijs dan ook niet nieuw of moeilijk.Rekenen met negatieve getallen kan lastig zijn. Een ther-mometer is een veelgebruikte context voor de introductievan negatieve getallen: een concrete getallenlijn waaropnegatieve getallen kunnen worden afgebeeld.

fig. 1 Getallenlijn

fig. 2 Detail van de getallenlijn

De getallenlijn is een krachtig model om ook bewerkin-gen met negatieve getallen te visualiseren en er zo bete-

kenis aan te geven. De thermometer kan tot een getallen-lijn geabstraheerd worden.

Sprongen maken op de getallenlijn visualiseert het optel-len en aftrekken van getallen. Om daar handig in te wor-den, kan enige oefening helpen.

Piet Puk – een oefenleerling – is met activiteit 5 ‘Spron-gen op de getallenlijn’ aan het oefenen met optellen en af-trekken van negatieve getallen. De ene keer wordt ge-vraagd in te vullen hoeveel erbij of eraf gaat en de anderekeer wat het resultaat van een optelling of aftrekking is.Op niveau 1 wordt er alleen met hele getallen gewerkt.Daar had Piet Puk 10 punten gehaald en op niveau 2 – nuook met breuken – heeft hij voor de eerste vier opgavende volle 10 punten gehaald, opgave 5, 6, en 7 overgesla-gen (of niet goed gedaan) en voor opgave 8 ook weer 10punten gescoord.

fig. 3 Sprongen op de getallenlijn

Binnen deze oefenapplet in de Digitale Wiskunde Omge-ving voor het WisMaat-project kan Piet Puk op diverseniveaus oefenen; hij krijgt feedback en kan zelf kiezenwelke opdrachten hij wanneer doet. Al zijn werk wordtopgeslagen, zodat hij de volgende keer thuis of op schoolverder kan. Bovendien kan de docent van Piet Puk ook

In deze opdrachten maak je sprongenop de getallenlijn. Je moet het ontbre-kende getal vinden. Klik op de stip-pels en vul dit getal in. Druk daarna op“Enter” om te zien of het klopt. Je kunt denken aan de thermometer.

Niveau 1 Score: 10Niveau 2 Score: 50Niveau 3 Score: 0

WisMaatwiskunde op maat in een digitale leeromgeving

In het WisMaat-project is een digitale leeromgeving ontwikkeld waarin de nadruk ligtop de feedbackmogelijkheden van ICT. Peter Boon en Martin van Reeuwijk delenhun ervaringen.

Nieuwe Wiskrant 26-2/december 2006 35

zien wat zijn leerling doet, omdat de docent net als PietPuk elke stap van het werk terug kan halen.

Het ontstaan van het WisMaatproject

Ondanks inspanningen van de docent blijkt wiskundevoor veel leerlingen een struikelvak. Kan ICT oplossingenbieden voor deze situatie? Hoe?

Het Aloysius College in Den Haag bracht deze vraag inomloop via de Kennisrotonde bij Stichting ICT op School.De Kennisrotonde stelt zich als doel om vragen uit hetonderwijs te verzamelen, te articuleren, te inventariserenof de vragen breder leven en vervolgens experts in teschakelen om te proberen een antwoord op de vraag tevinden.In het geval van de vraag van het Aloysius College slotenzich zeven andere VO-scholen aan en werden ervaren ont-wikkelaars van digitale bedrijfsopleidingen en het Freu-denthal Instituut benaderd te participeren in een project.Zo werd het WisMaatproject geboren. In overleg met dedocenten van de acht scholen is ervoor gekozen digitaallesmateriaal te ontwikkelen als vervanging van (voorlo-pig) enkele hoofdstukken uit de bestaande wiskundeme-thoden in de eerste en tweede klas van HAVO-VWO. Bin-

nen dit materiaal willen we ideeën en mogelijkheden uit-proberen om te komen tot beter wiskundeonderwijs.

De rol die ICT hierin speelt is tweeledig. Enerzijds onder-zoeken en gebruiken we de mogelijkheden van ICT om tekomen tot wiskundeactiviteiten die rijker, aantrekkelijkeren meer op het individu zijn toegesneden. Anderzijdswordt ICT ingezet voor een toegankelijke omgeving metleerlingregistratie die het voor de docent mogelijk maaktbeter en efficiënter overzicht te houden op de leerresulta-ten van de leerlingen.

WisMaat: wiskundeactiviteiten in een di-gitale leeromgevingDe digitale wiskundeactiviteiten die in WisMaat wordenontwikkeld, bieden we aan in een webbased digitaleleeromgeving. Binnen het project is gekozen gebruik temaken van de DWO (digitale wiskunde oefenomgeving)van het Freudenthal Instituut. Het ontwikkelde lesmateri-aal voldoet aan de SCORM-standaard, waardoor het in detoekomst ook in een andere ELO, bijvoorbeeld Moodle,Teletop of N@tschool kan worden opgenomen. Deze di-gitale leeromgeving maakt het mogelijk om het werk datde leerling achter de computer doet te registreren.

fig. 4 Overzicht van de behaalde resultaten van de leerlingen

36 WisMaat

De leerling heeft hierdoor de beschikking over een elek-tronisch ‘schrift’ waarin hij zijn werk en resultaten verza-melt en dat hij via elke computer met internetaansluitingkan bekijken en er verder mee werken. De docent kandiezelfde gegevens gebruiken om individuele leerlingre-sultaten en overzichten van zijn klas in te zien, waar enwanneer hij maar wil.

Elke docent weet dat overzicht houden over de prestatiesvan een klas van 30 leerlingen lastig, zo niet onmogelijkis. Bovenstaande registratiefaciliteiten kunnen, mits goedontworpen, hieraan een substantiële, wellicht onmisbarebijdrage leveren. Echter, met een goed registratiesysteemalleen ben je er nog niet. Uiteindelijk zijn de wiskunde-activiteiten zelf cruciaal in het leerproces. In deze activi-teiten vindt het echte leren plaats. Bij het samenstellenvan deze activiteiten kijken we in eerste instantie naarreeds ontwikkelde webbased software voor wiskunde. Deuitgebreide collectie applets van WisWeb, waarmee veelscholen ook al ervaring hebben, vormt een belangrijkstartpunt bij de materiaalontwikkeling in WisMaat. Ooksoftware die is uitgegeven bij de gangbare wiskundeme-thoden wordt waar mogelijk ingepast. Naast het visuali-seren van wiskundige concepten en het bieden van explo-

ratieve omgevingen, richten we ons binnen WisMaat opde feedbackmogelijkheden van ICT. Sturing kunnen ge-ven in een individueel leerproces is een van de gesigna-leerde knelpunten uit de gesprekken die met de WisMaat-docenten zijn gevoerd. Zonder de indruk te willen wek-ken dat de computer de docent hierin volledig kanvervangen, lijkt het toch mogelijk om automatische feed-back te programmeren die een deel van de gemaakte fou-ten kan ondervangen waardoor de leerling niet vastloopt.De docent wordt zo deels ontlast en kan zich richten opcomplexere problemen. De ontwikkelde activiteiten wor-den gebundeld in een aantal modules die samen een leer-lijn vormen en een (deel van een) hoofdstuk uit het boekvervangen.

In het WisMaatproject dat tot december 2006 loopt, is hetde bedoeling om rond drie onderwerpen uit de eerste entweede klas HAVO-VWO modules te ontwikkelen: negatie-ve getallen, letterrekenen en vergelijkingen oplossen, enmeetkunde. In de eerste fase van het project zijn de achtdeelnemende scholen bezocht en zijn de plannen met dedocenten doorgesproken. De problemen die docenten er-varen bij het lesgeven werden geïnventariseerd en moge-lijke oplossingen door gebruik van ICT-mogelijkheden

fig. 5 ‘De heks met de warme en koude blokjes’

Nieuwe Wiskrant 26-2/december 2006 37

kwamen aan bod. Onze ideeën ondergingen op deze wij-ze een eerste toetsing aan de praktijk.

Er werd gekozen voor een opzet waarin docenten al snelpraktisch kennis kunnen maken met de mogelijkhedenvan digitaal lesmateriaal met webbased leerlingregistra-tie. Dat betekent dat de docenten aan de slag gaan metnog tamelijk ruw materiaal dat nog niet tot in detail ge-perfectioneerd is. Dit materiaal wordt in verschillendeklassen van de deelnemende scholen getest en op grondvan de ervaringen en in samenspraak met de betrokkendocenten verbeterd. In deze opzet worden docenten (enleerlingen) betrokken in de ontwikkeling. Eerdere erva-ringen met ICT-ontwikkelprojecten laten zien dat deze be-trokkenheid van het veld essentieel is om te komen toteen goed product en kennis die hiervoor nodig is.

Hoewel het ontwerp van digitaal lesmateriaal bij een on-derwerp vaak mogelijkheden biedt voor een zinvolle her-structurering van de lesstof, is ervoor gekozen om dichtbij de aanpak van het boek te blijven, juist om het voordocenten mogelijk te maken om het nieuwe digitale ma-teriaal te vergelijken met de bekende lessen uit het boek.

Bij een eventuele toekomstige ontwikkeling van eencomplete digitale wiskundemethode zal het ontwikkelenvan een nieuwe structuur van de verschillende onderwer-pen wellicht nodig zijn, maar dit valt buiten de mogelijk-heden van het WisMaatproject. Aan het eind van het pro-ject zullen we beschikken over een aantal prototypes, sa-men met opgebouwde kennis en ervaringen uit delespratijk. Deze producten moeten een richting aangevenwaarin het wiskundeonderwijs zich kan ontwikkelen bijintensief gebruik van ICT.

Eerste onderwerp: negatieve getallen

De modules rond negatieve getallen zijn inmiddels op descholen in de klas geweest. De voorbeelden aan het beginvan dit artikel tonen enkele schermafdrukken van de ac-tiviteiten die bij negatieve getallen ontwikkeld zijn: eenstukje authorware (de thermometer), een flashanimatie(de muis) en een applet (springen op de getallenlijn).

Behalve de thermometer en getallenlijn is ook de ‘heks metde warme en koude blokjes’ (figuur 5) die door ModerneWiskunde wordt gebruikt als model voor het rekenen met

fig. 6 Een opdrachtscherm

38 WisMaat

negatieve getallen ingezet. De heks wordt – net als de getal-lenlijn – op verschillende wijzen gebruikt, voor verschillen-de soorten bewerkingen (vermenigvuldigen is herhaald op-tellen door emmers met blokjes in de ketel te gooien of eruitte halen) en op verschillende niveaus van complexiteit.

Naast de activiteiten met modellen zijn er ook activiteitenwaarbij leerlingen kale berekeningen maken. Eerst een-voudig, maar gaandeweg steeds complexer. De softwarewaarin deze oefeningen worden uitgevoerd biedt de leer-lingen de mogelijkheid stapsgewijs naar het antwoord toete werken zonder een voorgeschreven oplossingsstrategieop te dringen. Er is bij elke stap feedback, zodat de leer-ling weet waar het fout gaat. Hierdoor wordt voorkomendat de leerling aan het eind met een verkeerde oplossingkomt zonder te weten welke stap verkeerd was.In een zelftoetsactiviteit aan het eind van de module moetde leerling dezelfde opdrachten overigens kunnen uitvoe-ren zonder de stapsgewijze feedback. Wil de leerling defeedbackmogelijkheid toch gebruiken, dan gaat dat tenkoste van zijn score.

In deze eerste module ligt de nadruk op de oefenactivitei-ten. De oefeningen van het betreffende hoofdstuk uit hetboek zijn overgebracht naar de digitale omgeving. De no-dige uitleg en instructie bij deze oefeningen zijn samen-gebracht in een begeleidend boekje dat ook bedoeld is alsstudiewijzer bij de digitale omgeving.

Ervaringen

De ervaringen met de eerste module waren over het alge-meen positief, maar er waren ook wel de nodige techni-sche problemen die voor ongemak zorgden. Zo is het be-langrijk dat de school wel een ‘open’ internetverbindingmet de buitenwereld heeft en niet een te strenge firewall.De DWO is tenslotte webbased en draait geheel, inclusiefde registratie, vanaf de webserver op het Freudenthal In-stituut. Verder leverde de DWO weinig problemen in hetgebruik. Ook docenten zonder ICT-ervaring in de les blij-ken goed uit de voeten te kunnen met de DWO.Docenten geven aan dat met name op het gebied van oefe-nen de voordelen van het digitaal lesmateriaal overtuigendzijn. Begripsvorming vraagt meer en zal een beroep blijvendoen op de ‘levende’ communicatie met docent en mede-leerlingen. Reflectie lijkt daarin een sleutelwoord.Iedereen is ervan overtuigd dat het digitale lesmateriaaldat we gebruikt hebben in het eerste experiment (metfeedback, digitale leerlijnen, registratiemogelijkheden)een bijdrage levert aan een betere (leuker, efficiënter,meer motiverend, meer op maat) leeromgeving dan diemet alleen maar een boek. De feedbackkwaliteit, metname de stapsgewijze feedback wordt zeer gewaardeerd.Men geeft aan dat het WisMaatmateriaal wat dat betrefteen voorsprong heeft op andere bekende software.Leerlingen die geïnterviewd zijn, maken duidelijk dat zedeze manier van wiskundeonderwijs waarderen. Ze zien

het werken achter de computer niet alleen als afwisseling,maar kunnen ook nauwkeurig omschrijven waarom ze ef-ficiënter leren met behulp van de geboden feedback. Erblijft echter ook nog veel te verbeteren.

Docenten en leerlingen geven aan dat alle activiteiten enopdrachten bij elkaar wel heel veel is en dat het lastig isom te kiezen wat je wel en niet doet en op basis waarvanje kunt besluiten dat je een niveau hoger zou kunnengaan. In het boekje werden suggesties gegeven voor eenroute door de modules, maar dat bleek niet toereikend.Ideaal zou zijn wanneer het systeem op grond van de re-sultaten dynamisch een individueel leerpad door het les-materiaal creëert; niet eenvoudig te implementeren bijcomplexere wiskundeactiviteiten, maar het onderzoekenwaard. We moeten hier ook zeker kijken naar de ervarin-gen van experts op het gebied van CBT (Computer BasedTraining) waar men al verder is op dit gebied, en onder-zoeken in hoeverre deze kennis bruikbaar is in het wis-kundeonderwijs. Het gebruik van het boekje naast het digitale materiaalkwam niet goed uit de verf. Leerlingen gaan meteen methet digitale materiaal aan het werk. Ze lezen slecht (zoalsoverigens ook in niet-ICT-lessen vaak het geval is). Zelf-standig werken zou beter uit de verf komen bij een betereintegratie van oefeningen, uitleg en explicitering van dewiskunde (bijvoorbeeld door samenvattingen of een teraadplegen naslagwerk) in de DWO.Ook mogelijkheden voor intelligente feedback moetenmeer aandacht krijgen, zodat uitleg/instructie op maatkan worden aangeboden. Echter, ook hier geldt dat diteenvoudiger te realiseren is bij enkelvoudige, goed score-bare activiteiten en lastiger bij complexere interacties dieook belangrijk zijn bij het leren van wiskunde. Kortom, de uitdagingen in een dergelijk project zijngroot, maar zeer de moeite waard gezien het grote belangdat we in WisMaat centraal hebben gesteld: beter en aan-trekkelijker wiskundeonderwijs.

Hoe verder …

Inmiddels draait de tweede module op de scholen. Voorde zomer moet die zijn afgerond. In deze module rondvergelijkingen en letterrekenen is het boekje overbodiggemaakt en is alle uitleg in het digitale materiaal opgeno-men. Ook is geprobeerd om meer structuur aan te biedenzodat leerlingen beter hun weg kunnen vinden door hetmateriaal. In een volgend artikel willen we op de ervarin-gen met module 2 ingaan.De modules van WisMaat zijn nog in een experimenteelstadium en zijn daarom nog niet voor iedereen toeganke-lijk. Om toch vast een indruk te krijgen van de DWO kanmen terecht op de publieke WisWeb-site www.wis-web.nl.

Peter Boon, Martin van ReeuwijkFreudenthal Instituut