LAPLASOVA TRANSFORMACIJA
Ova transformacija je nazvan po francuskom matematiaru Pjeru Laplasu (Pierre-Simon
Laplace, 1749-1827). Uvoenjem ovakvih transformacija, mogue je probleme iz jedne oblasti
matematike prevesti u drugu u kojoj se lake reavaju. Na primer, reavanje diferencijalnih
jednaina svodi se na reavanje algebarskih jednaina.
1. UVOD
Definicija 1. Neka je f(t) kompleksna funkcija realne promenljive, koja zadovoljava sledee uslove:
1. Funkcija f (t) zajedno sa svojim izvodima do n-tog reda je deo po deo neprekidna; 2. f(t) = 0 za t < 0; 3. Postoje pozitivni brojevi M i s takvi da je
stMetf (t > 0).
Takva funkcija predstavlja original.
Definicija 2. Laplaceova transformacija ili slika originala f (t) definisana je sa
L
0
)()())(( tfpFtf e-pt
dt (pC). (1)
Ovaj integral nosi naziv Laplaceov integral.
Teorema 1. (Konvergencija Laplaceovog integrala) Ako je f (t) original tada Laplaceov integral
(1) konvergira u svakoj oblasti },)Re(:{ app gde je .sa
Dokaz. Neka su ispunjei uslovi iz Definicije 2 i neka je .)Re( sap Tada je
.|||||)(||)(||)(|
000
dteMdtetfdtetfpF ptptpt
Kako je
,|||||||| )Re()Im()Re())Im()(Re( attptpitptpippt eeeeee
to je
.|)(|0 0
)()(
sa
M
as
eMdteMpF
t
t
tastas
2. OSNOVNA SVOJSTVA
Teorema 1. (Teorema o linearnosti) Vai formula
L(c1f1(t) + c2f2(t)) = c1L(f1(t)) + c2L(f2(t)),
Gde su c1, c2 proizvoljne konstante.
Dokaz. Po definiciji je:
L(c1f1(t) + c2f2(t)) ))t(fc)t(fc( 2210
1
e-pt
dt
Na osnovu osobina odreenog integrala, dobija se:
))t(fc)t(fc( 2210
1
e-pt
dt = c1
0
1 )t(f e-pt
dt + c2
0
2 )t(f e-pt
dt = c1L(f1(t)) + c2L(f2(t)),
to ustvari predstavlja dokaz predhodne teoreme.
Teorema 2. Ako je a proizvoljan kompleksan broj i ako je L(f(t)) = F(p), imamo:
L(eat
f(t)) = F(p-a).
Dokaz. Primenjujui Definiciju 2, dobijamo:
L(eat
f(t)) =
0
eat
f(t)e-pt
dt =
0
f(t)e-(p-a)t
dt = F(p-a).
Teorema 3.(Teorema o slinosti) Ako je k > 0 i L(f(t)) = F(p) tada je
L( f(kt)) = .1
k
pF
k
Dokaz. Kako je
L
0
)())(( ktfktf e-pt
dt,
stavljajui kt = u, dobija se
L( f(kt)) = k
1
0
)(uf e-(pu/k)
dt =
k
pF
k
1,
ime je teorema dokazana.
Teorema 4. Ako je L(f(t)) = F(p), tada za svaku pozitivnu konstantu a vai
L( f(t-a)) = e-ap
F(p).
Dokaz. Kako je
L( f(t-a)) =
0
f(t a)e-pt
dt ,
ako uvedemo smenu t a = u, i vodei rauna o tome da je f (u) = 0 za u < 0, dobija se:
0
f(t a)e-pt
dt =
a
f(u)e-p(u+a)
du = e-ap
a
f(u)e-pu
du = e-ap
F(p),
to je i trebalo dokazati.
Teorema 5. Za a > 0 vai formula
L( f(t+a)) = e-ap
( F(p) - a
tf0
)( e-pt
dt ),
gde je L(f(t)) = F(p).
Dokaz. Po definiciji je
L( f(t+a)) =
0
)( atf e-pt
dt ( a > 0 ).
Ako uvedemo smenu t +a = u ( ua ), dobijamo
0
)( atf e-pt
dt =
a
uf )( e-up+ap
du = eap
a
uf )( e-up
du
= eap
(
0
)(uf e-up
du - a
uf0
)( e-up
du ) = eap
( F(p) - a
uf0
)( e-up
du )
Teorema 6. Ako je original f(t) periodina funkcija sa periodom T, tada je:
L(f(t)) = F(p) = dtetfe
T
pt
Tp
0
)(1
1
Dokaz. Imamo
F(p) =
0
)(tf e-pt
dt = T
tf0
)( e-pt
dt +
T
tf )( e-pt
dt.
Uvodei smenu t = u + T, dobija se:
T
tf )( e-pt
dt = e-Tp
0
)( Tuf e-pu
du = e-Tp
0
)(uf e-pu
du = e-Tp
F(p), jer je f(u + T) = f(u).
Zadatak 1.1. Odrediti Laplasovu transformaciju funkcije date grafiki.
Reenje. Funkcija je periodina sa osnovnim delom
Stoga je
dtetfe
pt
p
2
0
2)(
1
1
dtedte
e
ptpt
p
2
1
1
0
21
1
1
12
2
p
p
ep
e
Teorema 7. Ako su funkcija f(t) i njeni izvodi do n-tog reda originalni, tada vai formula
L nn ptf ))(( )( L )0())(( )(1
0
1 kn
k
kn fptf
.
Dokaz. Primeniemo princip matematike indukcije. Za n = 1, imamo:
.)('))('(0
dtetftfL pt
Primenom parcijalne integracije birajui dtetu pt)(1 i ,)(')(1 dttftdv dobijamo
))('( tfL =
t
t
pt tfe0
)( + p dtetfpt
0
)( = pL(f(t)) f(0),
to znai da je formula u ovom sluaju tana. Pretpostavimo da formula vai za neko n. Slinom
primenom parcijalne integracije, dobija se:
L dtetftf ptnn
0
)1()1( )())(( =
t
t
npt tfe0
)( )( + p dtetf ptn
0
)( )( = pL(f(n)
(t)) f(n)
(0)
=p (pnL(f(t)) - )0()(
1
0
1 kn
k
kn fp
) - f(n)
(0) = pn+1
L(f(t)) - ).0()(
0
kn
k
kn fp
Prema tome, poto formula i za n+1, zakljuujemo da je formula vai za bilo koji prirodan broj n.
1 2 3 4 5 6t
1.0
0.5
0.5
1.0
f t
Teorema 8. Ako je L(f(t)) = F(p), tada je
L ( t
duuf0
)( ) = p
pF )(.
Dokaz. Prema definiciji je
t
duufLJ0
)( .)(0 0
dteduuf pt
t
Primenom parcijalne integracije birajui t
duuftu0
1 )()( i ,)(1 dtetdvpt dobijamo
000
)()( dttfp
eduuf
p
eJ
ptt
t
tpt
= dttfep
pt )(1
0
=p
pF )(.
Teorema 9. Ako je L(f(t)) = F(p), tada vai:
L( tnf(t)) = ( -1)
nF
(n)(p).
Dokaz. Kako je po definiciji F(p) =
0
)( dttfe pt ,diferenciranjem ove jednakosti po p dobija se:
F(n)
(p) = (-1)n
dttfet ptn )(0
.
3. TABLICA LAPLACEOVE TRANSFORMACIJE 1. Laplaceova transformacija eksponencijalne funkcije nalazi se primenom Definicije 2:
L(et) =
0
te e-pt
dt = dtetp
0
)1( =
1
1
p ( Re(p)>1 ).
Kako je L(et) =
1
1
p, a na osnovu teoreme o slinosti, dobija se:
L(eat
) =
1
11
a
pa = .
1
ap
2. Poznati su sledei obrasci:
cos at = 2
iatiat ee sin at =
i
ee iatiat
2
ch at = 2
atat ee sh at =
2
atat ee
Prema tome:
iap
1
iap
1
22 ap
p
.
Koristei se identinom logikom, dobija se:
iap
1
iap
1
22 ap
a
.
ap
1
ap
1
22 ap
p
.
ap
1
ap
1
22 ap
a
.
Pregled Laplaceovih transformacija nekih elementarnih funkcija, dat je tabelarno u nastavku teksta.
Original Slika Ogranienja
1
2
3
4
5
6 22 ap
p
7 22 ap
a
8 22 ap
p
9 22 ap
a
4. INVERZNA LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA
Definicija 3. Inverzna Laplaceova transformacija slike F (p) je original f (t) definisan sa
)())(()()( 1 pFtfLpFLtf (pC). (1)
Odreivanje inverzne Laplaceove transformacije date slike je direktno povezano sa sledeom teoremom.
Teorema 1. Ako funkcija f(t) zadovoljava Dirichletove uslove (1)-(2):
1. f (t) je deo po deo neprekidna; 2. f (t) ima konano mnogo ekstremuma;
i uslov
3. integral
dttf |)(| je konvergentan,
tada se f(t) moe predstaviti Fourierovim integralom
.))(cos()(2
1)(
drduutruftf
Slian integral po sinusu je jednak nuli zbog neparnosti ove funkcije. Stoga je
.)(2
1)( )(
drdueuftf iutr
Teorema 2(Riemann-Mellin). Ako je L(f(t)) = F(p), funkcija f(t) zadovoljava Dirichletove uslove (1)-
(2) i integral
0
)( dtetf pt je uniformno-konvergentan po pravoj },)Re(:{ spp tada je
is
is
ptdpepFi
tf .)(2
1)(
Inverzna Laplaceova transformacija f(t) funkcije F(p) definisana je izrazom:
is
is
ptdpepFi
pFLtf .)(2
1)()( 1
to se svodi na proraunavanje krivolinijskog integrala u kompleksnoj ravni. Ovaj postupak
implicira iz Riemann-Mellinove teoreme. Budui da je ovaj postupak dosta sloen, za nalaenje
inverzne transformacije koriste se jednostavnije metode. Kod jednostavnijih funkcija F(p) koristi
se tablica funkcija.
5. PRIMENE LAPLACEOVE TRANSFORMACIJE
Laplaceova transformacija funkcija se moe uspeno primeniti na reavanje obinih i parcijalnih diferencijalnih jednaina, diferencnih i diferencno-diferencijalnih jednaina.
5.1. REAVANJE DIFERENCIJALNIH JEDNAINA
Koristei pravila za nalaenje Laplaceove transfo
