Notatki - Urząd Miasta Łodzicmf.p.lodz.pl/iowczarek/materialy/fizyka/inf_3...tego ciała niebieskiego, aby tor jego ruchu stał sie˛ parabola˛lub hiperbola.˛ W przypadku Ziemi

Pole grawitacyjne

dr inz. Ireneusz Owczarek

CNMiF PŁ

[email protected]://cmf.p.lodz.pl/iowczarek

1 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne

Grawitacja Pole fizyczne

Definicje

Pole fizyczne

to przestrzenny rozkład wielkosci fizycznej.

Pole fizyczne jest polem realnie istniejacej wielkosci fizycznej.

W zaleznosci od charakteru tej wielkosci rozróznia sie:

pole skalarne, np. pole temperatury lub cisnienia,

pole wektorowe – gdy kazdemu punktowi przestrzeni przypisany jestpewien wektor. Przykładem jest pole ciezkosci lub pole magnetyczne,

pole tensorowe, np. pole tensora naprezenia–energii w ogólnej teoriiwzglednosci.

Analiza pola sprowadza sie do badania rozkładu pola, wprowadzaniawielkosci charakteryzujacych pola skalarne i wektorowe oraz formułowaniaogólnych zwiazków miedzy nimi.



Rodzaje pól

Ze wzgledu na rozkład przestrzenny wielkosci charakteryzujacych polewyróznia sie:

1 pole jednorodne,2 pole centralne,3 pole zródłowe (lub bezzródłowe),4 pole wirowe (lub bezwirowe).

Ze wzgledu na czasowa zmiennosc tych wielkosci, mozna podzielic na1 stacjonarne (wielkosc charakteryzujaca pole w dowolnym punkcie nie

zmienia sie w czasie),2 niestacjonarne (zmienne w czasie).

Linie pola

to linie, do których styczne w kazdym punkcie maja kierunek zgodnyz kierunkami sił działajacych w tym polu.



Rodzaje pól . . .

Pole centralne

to pole fizyczne, dla którego linie pola maja przebieg radialny – sa wszedzieprostopadłe do sferycznych izopowierzchni.

Linie przechodza przez jeden punkt, zwany centrum sił lub centrum pola.


Notatki

Notatki

Notatki

Notatki


Rodzaje pól . . .

Pole potencjalne

to pole sił, w którym istnieje potencjał V (~r, t) taki, ze

~F = −dVd~r.

Jezeli potencjał V (~r) nie zalezy od czasu, to siła i odpowiednio jej pole sazachowawcze.W polu siły zachowawczej praca wykonana na drodze miedzy dwomapunktami przestrzeni nie zalezy od kształtu drogi (przejscia) miedzy nimi.



Ciazenie powszechne

Prawo powszechnego ciazenia

Miedzy dowolnymi dwoma punktami materialnymi działa siła wzajemnegoprzyciagania wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych punktówi odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległosci miedzy nimi

~F = −Gm1m2r2

· ~rr

lubF = −Gm1m2

r2.

Wielkosc

G = 6, 67 · 10−11m3

kg · s2 .

jest stała grawitacji.

Jest to stała uniwersalna równaliczbowo sile grawitacyjnej, jakawywieraja na siebie dwa ciała o masie1 kg kazde z odległosci 1m.



Zródła pola

Pole grawitacyjne jest to przestrzen, w której na umieszczone w niej ciałaobdarzone masa działa siła grawitacyjna.Pole to opisane jest przez:

1 zródła,2 przestrzenny rozkład wielkosci charakteryzujacych pole:

natezenie,potencjał,energie.

Zródłami i obiektami oddziaływania pola grawitacyjnego sa ciała wazkie.Charakteryzuja je ich: masy i rozmieszczenie.

ρ =dm

dV.



Natezenie pola

Miara ilosciowa pola grawitacyjnego jest jego natezenie ~E.

Wartosc natezenia pola grawitacyjnego

jest równa liczbowo sile, z jaka to pole działa na punkt materialny o masiejednostkowej

~E =~F

m= −GM

r3~r = ~g

Wektor natezenia ~E jest równoległy do siły grawitacyjnej i jest tak samozwrócony.Natezenie pola grawitacyjnego i przyspieszenie grawitacyjne sa okreslonetymi samymi wzorami.

Wnioski

Zródłem pola grawitacyjnego jest ciało o okreslonej masie,

Natezenie pola grawitacyjnego jest zwrócone ku masie, która to polewytwarza,

Natezenie pola grawitacyjnego ma wymiar przyspieszenia, tj. ms2

.


Notatki

Notatki

Notatki

Notatki


Potencjał pola

Wielkoscia skalarna charakteryzujaca pole grawitacyjne jest potencjał V .

Potencjał grawitacyjny

jest to praca wykonana przez siły grawitacji przy przemieszczeniu punktumaterialnego o jednostkowej masie z danego punktu pola donieskonczonosci

V =Wr→∞m

=1m

∞∫r

~F · d~r = −GM∞∫r

1r2dr = −GM

r

Znak „–" oznacza, ze pole grawitacyjne jest polem sił przyciagajacych.

Powierzchnie ekwipotencjalne topowierzchnie, których wszystkiepunkty maja taki sam potencjałgrawitacyjny.Powierzchnie ekwipotencjalne i linie siłprzecinaja sie w kazdym punkcie polapod katem prostym.



Energia

Gdy dwa ciała o masach odpowiednio równych M i m znajduja siew odległosci r od siebie, wówczas ich energia potencjalna zwiazanaz oddziaływaniami grawitacyjnymi jest równa pracy, jaka musi wykonac siłagrawitacyjna, aby rozsunac te ciała na odległosc nieskonczenie wielka

Ep = Wr→∞ =

∞∫r

~F · d~r = −GMm

∞∫r

dr

r2= −GMm

r.

Energia potencjalna jest najwieksza w nieskonczonosci i ma wartosc równozeru.Gdy ciało zbliza sie do zródła pola, to jego energia potencjalna maleje

rA > rB ⇒ 1rA

<1rB

⇒ ∆Ep < 0.

WAB =

rB∫rA

~F · d~r =

rB∫rA

(−GMm

r2

)dr.

WAB = GMm

rB−GMm

rA= EpA − EpB .


Grawitacja Prawo Gaussa

Strumien pola

Jezeli w przestrzeni, w której kazdemu jejpunktowi o współrzednych x, y, zprzyporzadkowany jest wektor natezenia pola,np. ~E(x, y, z) przechodzacy przez elementpowierzchni d~S to dΦ = ~E · d~S.

Strumien pola

Φ =

∫~E · d~S

jest wielkoscia skalarna opisujaca pole wektorowe oraz jego zródłowosc.

Jako suma strumieni czastkowych

∆Φi = ~Ei ·∆~Si

ΦS =n∑i=1

~Ei ·∆~Si.


Grawitacja Prawo Gaussa

Strumien pola . . .

Szczególnie waznym przypadkiem jest strumien przechodzacy przezpowierzchnie zamknieta

Φ =

∮~E · d~S.

Jezeli jego wartosc jest rózna od zera, to pole jest polem zródłowym (posiadawewnatrz tej powierzchni zródło).

W przypadku centralnego polagrawitacyjnego prawo Gaussaprzyjmuje postac∮

~E · d~S = −4πGM.


Notatki

Notatki

Notatki

Notatki

Grawitacja Grawitacja wewnatrz Ziemi

Spadek w tunelu

Przykład:Znalezc przyspieszenie pojazdu o masie m w zaleznosci od jego odległosci rod srodka Ziemi.

Jezeli gestosc kuli jest stała to

ρ =M

V

MwewnV(r)

=M43πR

3

toMwewn =

M

R3r3.

Strumien wektora ~E wewnatrz kuli o promieniu r

Φ = −4πGMwewn

E · 4πr2 = −4πGMwewn.


Grawitacja Grawitacja wewnatrz Ziemi

Spadek w tunelu . . .

E · 4πr2 = −4πGMwewn

E · r2 = −GM

R3r3

E = −GM

R3r.

Zaleznosc przyspieszenia grawitacyjnego od odległosci od srodka Ziemi.


Satelity Predkosci w astrofizyce

Układ słoneczny



Predkosc kosmiczna

Z równowagi sił grawitacji i odsrodkowej na orbicie o promieniu r

GMm

r2= m

v2

r

Pierwsza predkosc kosmiczna

to najmniejsza pozioma predkosc, jaka nalezy nadac ciału wzgledemprzyciagajacego je ciała niebieskiego, aby ciało to poruszało sie pozamknietej orbicie

vI =

√GM

r.

Ciało staje sie wtedy satelita ciała niebieskiego.

Przykładowe predkosci dla:

Ziemi (r = RZ ): 7,91 kms ,

Ksiezyca: 1,68 kms ,

Słonca: 436,74 kms .


Notatki

Notatki

Notatki

Notatki


Predkosc kosmiczna . . .

Energia mechaniczna w nieskonczonosci równa jest 0, zatem na powierzchniciała niebieskiego

E =mv2

2− GMm

r= 0

Druga predkosc kosmiczna

to predkosc, jaka nalezy nadac obiektowi, aby opuscił na zawsze dane ciałoniebieskie poruszajac sie dalej ruchem swobodnym

vII =

√2G

M

r.

Czyli jest to predkosc (ucieczki), jaka trzeba nadac obiektowi na powierzchnitego ciała niebieskiego, aby tor jego ruchu stał sie parabola lub hiperbola.

W przypadku Ziemi predkosci ta ma wartosc 11,9 kms .



Predkosc kosmiczna . . .

Trzecia predkosc kosmiczna

to predkosc poczatkowa potrzebna do opuszczenia Układu Słonecznego.

vIII = 16,7 kms .

Czwarta predkosc kosmiczna

to predkosc poczatkowa potrzebna do opuszczenia Drogi Mlecznej.

vIV = 130 kms .

R

r=384 0006400

= 60

T = 27,3 dnia = 2, 36 · 106 s


Satelity Energia układu ciał

Energia mechanicznaEnergia potencjalna układu

Ep(r) = −GMm

r.

W celu wyznaczenia energiikinetycznej np. satelity na orbiciekołowej

GMm

r2= m

v2

r

wówczasGM

r= v2

i energia kinetyczna

Ek(r) =12mv2 =

GMm

2r.

Całkowita energia układu ciał

E(r) = Ek(r)+Ep(r) =GMm

2r−GMm

r

E(r) = −GMm

2r.


Ruch w polu sił centralnych Tory ruchu ciał niebieskich

Rodzaje orbit

Orbita

to tor ciała niebieskiego lub sztucznego satelity krazacego wokół innego ciałaniebieskiego.

Ciała poruszaja sie wokół wspólnego srodka masy.Pod wpływem siły centralnej ciała poruszaja sie po tzw. krzywychstozkowych.Orbita moze byc otwarta (wtedy ciało nie powraca) lub zamknieta (ciałopowraca), co zalezy od całkowitej energii układu.Otwarte orbity maja kształt hiperboli (czasem bardzo bliskiej paraboli),a zamkniete orbity maja kształt elipsy (okregu).


Notatki

Notatki

Notatki

Notatki


Siła centralna

Ogólny przypadek ruchu punktu materialnego o masie m w polu centralnejsiły zachowawczej ~F we współrzednych biegunowych:

x = r cosϕ, y = r sinϕ,

r =√x2 + y2, ϕ = arc tg

y

x.

v2 = v2r + v2ϕ,

v2 =(dr

dt

)2+(rdϕ

dt

)2,

v2 =(dr

dt

)2+ r2ω2.

Z zasady zachowania momentu pedu, wynika, ze jest to ruch w płaszczyznie~r i ~v

L = rmvϕ = mr2dϕ

dt= mr2ω,

v2 =(dr

dt

)2+(L

mr

)2.



Siła centralna . . .

Korzystajac z zasady zachowania energii

E = Ek + Ep =12m(dr

dt

)2+

L2

2mr2+ Ep(r) =

12m(dr

dt

)2+ Uef (r).

Efektywna energia potencjalna

Uef (r) =L2

2mr2︸︷︷︸energia odsrodkowa

+Ep(r),

dlatego istnieje siła odsrodkowa

F = − d

dr

(L2

2mr2

)=

L2

mr3= mrω2.

Jesli L 6= 0 to zasada zachowania momentu pedu “zapobiega” zblizeniu sieciała do zródła siły (~r 6= 0).



Ruch radialny

Jesli moment pedu jest rózny od zera,L 6= 0, istnieje ograniczenie naodległosc najmniejszego zblizeniaciała do centrum siły:

r rmin.

Jesli całkowita energia ciała jestmniejsza niz graniczna wartoscenergii potencjalnej dla duzychodległosci, E < Uef (∞), to ciało niemoze dowolnie oddalic sie od centrumsiły i ruch odbywa sie w ograniczonymobszarze

r ¬ rmax.Charakter ruch ciała w tym polu zalezy od jego energii całkowitej

E > 0 – tor otwarty,

E < 0 – tor zamkniety,

E = Emin – ruch po okregu



Ruch katowy

Tor planety zalezy od energii układu. JesliE > 0, to e > 1, co oznacza, ze tor jest hiperbola,E = 0, to e = 1, co oznacza, ze tor jest parabola,E < 0, to e < 1, co oznacza, ze tor jest elipsa.

Jedyna mozliwoscia odpowiadajaca ograniczonemu ruchowi planety wokółgwiazdy jest elipsa, co tym samym dowodzi pierwszego prawa Keplera.

W przypadku orbity eliptycznej energiamechaniczna satelity na orbicieeliptycznej o półosi wielkiej a

E = −GMm

2a.


Notatki

Notatki

Notatki

Notatki

Ruch w polu sił centralnych Planety i satelity

Prawa Keplera

Pierwsze prawo Keplera

Kazda planeta porusza sie po orbicie eliptycznej, w której ognisku znajdujesie Słonce.

Równanie toru planety wewspółrzednych biegunowych

r =p

1 + e cos θ

gdzier jest promieniem wodzacym,e – mimosrodem,p – parametrem elipsy.



Prawa Keplera . . .

Drugie prawo Keplera

Promien wodzacy planety zakresla w równych odstepach czasu równe pola.

Szybkosc zmian pola

dS

dt=

12r2dθ

dt=

12r2ω,

co oznacza, ze predkoscpolowa planety

dS

dt=

L

2m

jest wielkoscia stała

σ =12r2dθ

dt=

L

2m= const.



Prawa Keplera . . .

Trzecie prawo Keplera

Kwadraty okresów obiegu planet dookoła Słonca sa wprost proporcjonalnedo szescianów wiekszych półosi ich orbit

T 2

a3= const.

Gdy tor jest elipsa, półosie elipsy mozna zapisac w postaci

a =p

1− e2 , b =p√

1− e2.

Pole elipsy o półosiach a i b wynosi

S = πab.



Prawa Keplera . . .

Poniewaz predkosc polowa planety w jej ruchu wokół gwiazdy jest stała, tookres obiegu planety mozna obliczyc ze wzoru

TdS

dt= πab,(

TL

2m

)2= π2a2

(L2

GMm2

)2 G2M2m32L2E

.

Przekształcajac otrzymuje sie okres obiegu planty wokół gwiazdy

T =

√4π2a3

GM,

lub w postaci4π2

GM=T 2

a3= const.


Notatki

Notatki

Notatki

Notatki


Literatura

Halliday D., Resnick R, Walker J.Podstawy Fizyki t. 1-5.PWN, 2005.

Praca zbiorowa pod red. A. JustaWstep do analizy matematycznej i wybranych zagadnien z fizyki.Wydawnictwo PŁ, Łódz 2007.

Jaworski B., Dietłaf A.Kurs Fizyki t. 1-3.PWN, 1984.

Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁhttp://cmf.p.lodz.pl/efizykae-Fizyka. Podstawy fizyki.

Kakol Z. Zukrowski J.http://home.agh.edu.pl/˜kakol/wyklady_pl.htmWykłady z fizyki.


Notatki

Notatki

Notatki

Notatki

Documents

Notatki - Urząd Miasta Łodzicmf.p.lodz.pl/iowczarek/materialy/fizyka/inf_3...tego ciała niebieskiego, aby tor jego ruchu stał sie˛ parabola˛lub hiperbola.˛ W przypadku Ziemi