WYKŁAD 8. Siła spójności

A,B – dowolne podzbiory V(G)

Ścieżkę P w grafie G o końcach a i b nazywamy A-B ścieżką, gdy

}{)(},{)( bBPVaAPV

Jeśli A={u}, B={v}, to piszemy u-v ścieżka.

Zbiory rozdzielające

Mówimy, że zbiór wierzchołków (krawędzi) X rozdziela A i B, gdy każda A-B ścieżka zawiera element zbioru X.

Mówimy, że X rozdziela G, gdy w G-X istnieją wierzchołki u i v takie, że X rozdziela {u} i {v}.Wtedy zbiór X nazywamy, odpowiednio, cięciem wierzchołkowym lub cięciem krawędziowym.

Ilustracja

A B

X

Wierzchołki i krawędzie cięcia

• Jeśli X={v} rozdziela dwa wierzchołki tej samej składowej grafu G, to v jest wierzchołkiem cięcia.

• Krawędź, która rozdziela swoje końce, to krawędź cięcia.

• Wierzchołek (krawędź) cięcia stanowi 1-elementowe cięcie wierzchołkowe (krawędziowe)

Bloki• Maksymalny, spójny podgraf H grafu G, bez

wierzchołków cięcia (w H) nazywamy blokiem• Dwa bloki mają co najwyżej 1 wspólny

wierzchołek, który jest wtedy wierzchołkiem cięcia grafu G; każda krawędź należy do innego bloku; G jest sumą swoich bloków.

B_1

B_2

B_3B_4

B_5

Graf bloków• Graf bloków grafu G to dwudzielny graf o

dwupodziale (A, B), gdzie A to zbiór wierzchołków cięcia, B – zbiór bloków G, a krawędź łączy

)(gdy i BVaBAa BFakt. Graf bloków jest lasem. (ćw.)

1

23

4

5

42

1

3

5

k-Spójność

• Przyjmujemy, że każdy graf jest 0-spójny. • Dla k>0, graf G jest k-spójny, gdy |V(G)|>k

i nie ma cięcia wierzchołkowego mocy mniejszej niż k (inaczej: G-X jest spójny dla każdego zbioru wierzchołków X mocy |X|<k).

• Każdy spójny graf oprócz K_1 jest 1-spójny.• Blok jest maksymalnym 2-spójnym

podgrafem, chyba, że jest mostem lub wierzchołkiem izolowanym.

Stopień spójności

• Stopień spójności κ(G) to największe k, dla którego G jest k-spójny.

• Np. κ(G)=0 gdy G jest niespójny; κ(K_n)=n-1 dla n=1,2,…

• Jeśli G nie jest grafem pełnym, to κ(G) jest mocą najmniejszego cięcia wierzchołkowego w G.

Grafy 2-spójne

Tw. Graf G jest 2-spójny wgdy można go otrzymać z cyklu przez sukcesywne dodawanie ścieżek zaczepionych obydwoma końcami w dotychczasowym grafie, tzn. istnieje ciąg grafów H_1,...,H_l, gdzie H_1 jest cyklem, H_l=G i dla każdego i=2,...,l graf H_i jest sumą H_{i-1} i ścieżki P_i o końcach u_i i v_i takiej, że

},{)()( 1 iiii vuHVPV

Dowód na ćw.

Ilustracja

H_{i-1} P_i

Krawędziowa k-spójność

• Graf G jest k-krawędziowo-spójny, gdy |V(G)|>1 i nie ma cięcia krawędziowego mocy mniejszej niż k (inaczej: G-X jest spójny zawsze, gdy X jest zbiorem krawędzi mocy |X|<k).

• Stopień spójności krawędziowej κ’(G) to największe k, dla którego G jest k- krawędziowo-spójny.

• Równoważnie, κ’(G) to moc najmniejszego cięcia krawędziowego w G.

Krawędziowa k-spójność a RRD

• Jeśli G ma k RRD, to G jest k-krawędziowo-spójny (oczywiste)

• Jeśli G jest 2k-krawędziowo-spójny, to G ma k RRD (dowód na ćwiczeniach)

κ(G), κ’(G), δ(G)

Twierdzenie (Whitney, 1932)

)(' G(G)κκ(G)

Dowód: Prawa nierówność: Krawędzie incydentne z dowolnym

wierzchołkiem stanowią cięcie krawędziowe.Lewa nierówność:

Jeśli G=K_n, to κ(G)=κ’(G)=n-1.

Lewa nierówność – c.d.

• Niech X będzie najmniejszym cięciem krawędziowym w grafie G nie będącym grafem pełnym.

• X można traktować jako dwudzielny podgraf grafu G z 2-podziałem V_1, V_2=V(G)-V_1.

• Każda krawędź między V_1 i V_2 należy do X.

V_1 V_2

X

Lewa nierówność – dokończenie

• Jeśli V_1={v}, to istnieje u taki, że uv nie jest krawędzią w G (w przeciwnym razie G byłby pełny). Wtedy sąsiedzi v tworzą cięcie wierzchołkowe (rozdziela u i v) mocy nie większej niż |X|.

• Jeśli |V_1|,|V_2|>1, to istnieją v w V_1 i u w V_2 takie, że uv nie jest krawędzią w G.(ćw.) Biorąc po 1 końcu każdej krawędzi zbioru X, ale tak by ominąć v i u, otrzymujemy cięcie wierzchołkowe (rozdziela u i v) mocy nie większej niż |X|. �

Ilustracjau

vd(v)=δ

V_1 V_2

X

Tw. Mengera (1927)

• Jeśli istnieje k parami rozłącznych A-B ścieżek, to każdy zbiór wierzchołków rozdzielający A i B musi mieć moc co najmniej k.

Tw 1. Niech A,B będą dowolnymi podzbiorami V(G). Wtedy najmniejsza moc zbioru wierzchołków rozdzielających A i B równa się największej mocy zbioru rozłącznych A-B ścieżek. Bez dowodu.

Ilustracja

V_1 V_2

Tw. Königa raz jeszcze

Wniosek 1 : Tw. Königa

Dowód: Niech G będzie grafem 2-dzielnym o 2-podziale (A,B). Zbiór rozdzielający to pokrycie wierzchołkowe. Rozłączne A-B ścieżki to skojarzenie. �

A B

A i B -- jednoelementowe

• Dwie u-v ścieżki nazywamy niezależnymi, gdy ich jedynymi wspólnymi wierzchołkami są ich końce.

Wn.2. Niech a i b będą wierzchołkami grafu G.(i) Jeśli a i b nie są połączone krawędzią, to moc

najmniejszego zbioru wierzchołków różnych od a i b, rozdzielającego a i b, jest równa mocy największego zbioru niezależnych a-b ścieżek.

(ii) Moc najmniejszego zbioru krawędzi rozdzielających a i b jest równa mocy największego zbioru krawędziowo rozłącznych a-b ścieżek.

Dowód Wniosku 2 (ćw.)

(i) Zastosuj Tw. 1 do A=N(a) i B=N(b) �(ii) Zastosuj Tw. 1 do grafu krawędziowego

L(G), A=E(a), B=E(b) �

a bAB

Globalne Tw. Mengera

Tw 2. (Menger, 1927)(i) Graf jest k-spójny wgdy zawiera co najmniej

k parami niezależnych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków.

(ii) Graf jest k-krawędziowo-spójny wgdy zawiera co najmniej k parami krawędziowo rozłącznych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków.

Dowód Tw. 2(i)

Jeśli G ma k niezależnych ścieżek między każdą parą wierzchołków, to |V(G)|>k i G nie może mieć cięcia wierzchołkowego mocy mniejszej niż k.

Zatem G jest k-spójny.� Przypuśćmy, że k-spójny graf G zawiera wierzchołki

a i b nie połączone k niezależnymi ścieżkami.

.

Dowód Tw. 2(i) c.d.

• Z Wniosku 2(i), ab jest krawędzią. • Podgraf G’:=G-ab ma co najwyżej k-2

niezależne a-b ścieżki.• Ponownie z Wniosku 2(i), istnieje zbiór

wierzchołków X mocy |X|<k-1 rozdzielający a i b w G’.

• Ponieważ |V(G)|>k, to istnieje w G wierzchołek v taki, że

},{ baXv

Dowód Tw. 2(i) dokończenie

• X rozdziela w G’ wierzchołek v od a lub b (powiedzmy od a).

• Wtedy X powiększony o b rozdziela w G v i a, co przeczy k-spójności G. �

Dowód Tw. 2 (ii) -- ćwiczenia

Ilustracja

a b

X

v