Siła Lorentza

W przestrzeni istnieje pole magnetyczne o indukcji B. Na ładunek próbny q0 poruszający się w tej przestrzeni z prędkością v działa siła F wyrażona wzorem

)(0 BvqF

(1)

Wartość bezwzględna tej siły wyraża się wzorem:

F q vB 0 sin

x

yz

F

B

v

F B

F v

(1a)

Bv

q

q < 0

q > 0

q =0

Wiązka elektronów w polu B

Działanie pola magnetycznego na przewodnik z prądem

Prąd jest uporządkowanym ruchem ładunków elektrycznych, należy się spodziewać, że pole magnetyczne będzie wywierać siłę na przewodnik, przez który płynie prąd. Jeżeli w jednostce objętości przewodnika znajduje się n elektronów, to w przewodniku o przekroju S i długości l zawartych jest

N = nSl elektronów.Na każdy elektron działa siła opisana wzorem (1 ). Wartość wypadkowej siły działającej na przewodnik wyniesie

F = evBsin nSl

(2)

(3)

Natężenie prądu i można określić jako ładunek przepływający w jednostce czasu przez przekrój poprzeczny tego przewodnika S, możemy zapisać to wzorem

i = enSv

Z porównania wzorów (2, 3, 4) otrzymujemy

F = ilBsinWzór ten w zapisie wektorowym ma postać

F = i(l B)

Na podstawie tego wzoru można wyznaczyć siłę wzajemnego oddziaływania dwóch przewodników z prądem.

(4)

(5)

(3a)

Andrẻ-Marie Ampẻre (1775-1836)

Fizyk i matematyk francuski

Odkrył związek magnetyzmu z przepływem prądu

Prawo Ampere’a

Cyrkulacja wektora natężenia pola magnetycznego jest równa sumie algebraicznej natężeń prądów płynących wewnątrz konturu całkowania.

IB

i1i2 i3

dlB

C

i = i1 - i2 + i3

i - suma prądów wewnątrz linii C

(6)

Bdl =0 iC

Przenikalność magnetyczna próżni:0 = 410-7 Tm/A

B - wektor indukcji magnetyczneji - natężenie prądudl - wektor przesunięcia (drogi) wzdłuż linii C

(7)

r

dl

B

B dl = 0 i = B dl = B2r

i

Bi

r

0

2

B || dl(8)

(7a)

Indukcja magnetyczna wokół przewodnika z prądem i

F

B

d

l

ib

ia

a

b

Fli i

dbo a b

2

abb BliF

F i lBb b a(9)

d2

iB a

a 0

Prawo Biota - Savarta

P

r

dl

i

i

dB

30

4 r

rldiBd

(10)

dBidl

r

0

24

sin

Przykład 1.

Korzystając z prawa Biota - Savarta obliczyć wektor indukcji magnetycznej B dla dowolnego punktu leżącego na zewnątrz prostoliniowego, cienkiego, nieskończenie długiego przewodnika, przez który płynie prąd o natężeniu i.

(10)

i

dl

d

P

rd

r

sinθ

ar

a

dlrd

sin

Bi

ad

i

a

i

a

0 0

00

0

4 4 2sin cos

dBidl

r

0

24

sin

(11)

(12)

(13)

Michael Faraday (1791-1867)

Fizyk i chemik angielski Odkrył indukcję elektromagnetyczną i samoindukcję.

Prawo indukcji Faradaya

Ed

dtB

E

L

Indukowana w obwodzie SEM jest równa szybkości, z jaką zmienia się strumień pola B, przechodzący przez ten obwód. Znak „-” dotyczy kierunku indukowanej SEM.

• •

(14)

E - Siła elektromotoryczna

Pole B

Jeżeli podane równanie zastosować do zwojnicy o N zwojach, to w każdym z nich pojawi się SEM i te siły elektromotoryczne dodadzą się.

Strumień pola magnetycznego definiowany jest w sposób następujący:

SdBB

(14a)

(15)

t

N

tNE BB

)(

i

S

S

S

S

S

S

N

N

N

N

N

N

N S

v

W przewodzie zaczyna płynąć prąd o natężeniu i.

Powstające pole przeciwdziała ruchowi magnesu.

Reguła Lenza

Linie pola B wybiegają z bieguna N

Przykład 2.

Jaka siła elektromotoryczna SEM powstanie w w obwodzie o kształcie prostokąta przesuwanym z prędkością v w jednorodnym polu magnetycznym B?

i

vl

x

F1

F2

F3

F2 = F3

B B =Blx

Blvdt

dxBlBlx

dt

d

dt

dSEM B

)(

B F SEM i

F1 0

(16)

(17)

Jeżeli opór obwodu wynosi R, to w obwodzie zacznie płynąć prąd o natężeniu i.

R

Blv

R

SEMi

Siła F1 przeciwdziałająca przesuwaniu się obwodu:

F ilBB l v

R10

2 2

90 sin

Moc tracona:

P F vBlv

R 1

2( )

F1 =il B

(18)

(19)

(20)

Siła elektromotoryczna indukowana

w zmiennym polu magnetycznym

r E

B

Szybkość zmian pola B:

d

dtB

E r2

ldE

dt

dldEE B

(21)

(22)

ponieważzwój

Zmienne pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne E

Indukcyjność

Siła elektromotoryczna indukowana w cewce o N zwojach:

Strumień pola magnetycznego cewki oddalonej od wszelkich materiałów magnetycznych jest proporcjonalny do natężenia prądu i płynącego przez cewkę.

L - indukcyjność, współczynnik proporcjonalności między natężeniem prądu a strumieniem pola magnetycznego cewki

(14a)

(23)

t

N

tNE BB

)(

LiB

Ed N

dtL

di

dtLB

( )

Korzystając z prawa Faradaya indukowaną SEM można przedstawić następująco:

A stąd indukcyjność LL

Edi

dt

L

Jednostką indukcyjności jest

(24)

(25)

A

sV[H]henr1

Kierunek SEM można otrzymać z reguły Lenza.

a)

b)

W przewodzie a) prąd maleje, a w przewodzie b) rośnie. EL - siła elektromotoryczna w obu przypadkach przeciwdziała zmianie prądu.

i

i

EL

EL

Wyobraźmy sobie, że nawinęliśmy cewkę. Zauważamy różne kierunki siły elektromotorycznej EL .

a) Aby zapobiec zmniejszeniu się prądu, indukowana SEM musi mieć ten sam kierunek co prąd. b) Jeżeli prąd wzrasta, indukowana SEM musi mieć kierunek przeciwny.

Obliczanie indukcyjności cewki.

LN

iBIndukcyjność ściśle

nawiniętej cewki:

Dla długiego solenoidu o długości l, przekroju S i ilości zwojów na jednostkę długości n: N nlBSB Na podstawie prawa Ampere’a można wykazać, że indukcja B solenoidu wynosi:

B ni 0

(26)

(27)

(28)

B dl = B dl= Bh = nµ0ih

B = nµ0i

hPrzekrój

cewkin - ilość zwojów na jednostkę długości

Indukcja solenoidu

Wstawiając B do wyrażenia na strumień B i przekształcając otrzymujemy L solenoidu:

N n liSB 02

LN

in lSB

0

2

Obwód RL

R - wartość oporu

L - indukcyjność

E - SEM baterii

EL - SEM cewki

i - natężenie prądu

(29)(30)

E i

R

LEL

Na podstawie II prawa Kirchoffa zapisujemy równanie obwodu w postaci

Rozwiązaniem równania różniczkowego (31) jest

gdzie L

R nazywamy stałą czasową

(31)(32)

(33) (34)i eER

t

( )1

iERidt

diLi 2

EiREL EiRdt

diL

(32a)

Równanie (32) po pomnożeniu przez i. Składniki mają wymiar mocy.

Szybkość z jaką gromadzi się energia w polu magnetycznym dWB/dt:

dW

dtLi

di

dtB

W dW Lidi LiB B

W iB

0 0

21

2

dWB = LidiPo scałkowaniu tego wyrażenia otrzymamy całkowitą energię pola magnetycznego zawartą w cewce o indukcyjności L.

(35)

(36)

Iloczyn prądu i napięcia na cewce

Przykład 3

Wyznaczyć gęstość energii pola magnetycznego wB cewki o długości l i przekroju S.

B ni 0

L = 0 n2lS

wW

SlBB w

Li

SlB 1

2

2

Po uwzględnieniu tych związków otrzymujemy gęstość energii pola magnetycznego wB.

wB

B 1

2

2

0

(37) (37a)

(38)

Indukcja wzajemna

E

i1

i2

E2

Nawijamy teraz dwie cewki, umieszczamy je w blisko siebie.

Dwie cewki umieszczone blisko siebie mogą na siebie oddziaływać wzajemnie. Stały prąd i1 płynący w jednej cewce utworzy strumień pola magnetycznego obejmującego drugą cewkę.

Jeżeli zmienimy prąd i1 w czasie, to w drugiej cewce pojawi się siła elektromotoryczna E. Zjawisko to nazywamy indukcją wzajemną.Cewka 2 jest oddzielnym zamkniętym obwodem elektrycznym, która obejmuje strumień 21. Definiujemy indukcję wzajemną cewki 2 względem 1 jako:

MN

i21

2 21

1

M21 i1 = N2 21

Po zróżniczkowaniu względem czasu otrzymamy:

Mdi

dtNd

dt211

22

(38)(39)

Prawa strona tego równania jest zgodnie z prawem Faradaya siłą elektromotoryczną E2 pojawiającą się w cewce 2 dzięki zmianom prądu w cewce 1.

Jeżeli zamienimy cewki rolami - odłączymy źródło napięcia z obwodu cewki 1, a umieścimy je w obwodzie cewki 2, która teraz wytworzy strumień 12, to w obwodzie cewki 1 pojawi się SEM.

E Mdi

dt1 122

SEM w jednej z cewek jest proporcjonalna do szybkości zmian prądu w drugiej cewki. Zwykle też M21 = M12 = M

E Mdi

dt2 211 E M

di

dt1 122

(40)

(41)

Indukowane pole magnetyczne, pełne prawo Ampere’a

i

+ -

E

R

B

Pole elektryczne E i indukowane pole magnetyczne B w trakcie ładowania kondensatora płaskiego.

Prąd i dopływa do okładek

Pole magnetyczne jest wytwarzane przez

zmienny strumień pola elektrycznego

przepływ prądu

Wcześniej przy obliczaniu indukcji wokół przewodnika z prądem zakładano, że strumień pola elektrycznego jest równy zeru.

oEd

dt

To wyrażenie ma wymiar prądu i nosi nazwę prądu przesunięcia.

(42)B dl id

dtE

0 0 0

Prąd przesunięcia

B dl i ip 0 ( )

Koncepcja prądu przesunięcia pozwala na utrzymanie zasady ciągłości prądu.

Eq

S

0

dE

dt S

dq

dt Si

1 1

0 0 Różniczkujemy po czasie

id

dt

d ES

dtS

dE

dtpE

o 0 0

( )

(42a)

(43)(44)

(45)

Prąd przesunięcia jest równy prądowi przewodzenia w obwodzie zewnętrznym.

Przykład 4.

Obliczyć prąd przesunięcia kondensatora o okładkach kołowych, promień okładek R = 5 cm, pole elektryczne zmienia się z szybkością dE/dt =1012 V/(m•s).

dt

dER

dt

di E

p2

00

i C N m V m s Ap ( . / ( ))( )( . ) ( / ( )) .8 9 10 5 0 10 10 0 0712 2 2 2 2 12

iiS

Sip

00

1)(

(46)

(47)

WEKTORY MAGNETYCZNE

• B - Indukcja magnetyczna – wszelkie prądy

• H – Natężenie pola magnetycznego – prądy rzeczywiste

• M – Namagnesowanie (dipolowy moment magnetyczny na jednostkę objętości)

MHB

00

Związek między wektorami magnetycznymi

indukcja natężenie pola

namagnesowanie

(48)

Indukcja magnetyczna B

)(0 BvqF

Def. Jeżeli dodatni ładunek próbny porusza się w stronę punktu P z prędkością v i jeżeli na ten ładunek działa siła F, to w punkcie p istnieje pole B, gdzie B jest wektorem spełniającym związek:

Prawo Ampera może być zapisane w sposób następujący:

gdzie H jest wektorem zależnym tylko od prądów rzeczywistych. W próżni obowiązuje zależność (50) , dla materiałów magnetycznych (51), µm – przenikalność magnetyczna ośrodka.

HB o HB m0

(49)

(50) (51)

ildH

W obecności materiałów magnetycznych prawo Ampera może być zapisane z uwzględnieniem iM - prądu magnesującego:

MiildB 0

Równoważna postać równania po uwzględnieniu wektora magnetyzacji M:

ldMildB

00

(52)

(48)

Równania Maxwella

• Prawo Gaussa dla elektryczności

• Prawo Gaussa dla magnetyzmu

• Prawo indukcji Faradaya

• Prawo Ampere’a

dt

dldE B

qsdE

0

0sdB

)(00 idt

dldB E

(54)