YAPI SİSTEMLERİNDE SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ · PDF file2/83 GĠRĠġ Sonlu elemanlar yöntemi çok güçlü ve çağdaş bir sayısal hesaplama yöntemidir. Son 40 yılda bilgisayarların

Prof.Dr. Metin AYDOĞAN

Ġ.T.Ü.ĠnĢaat Fakültesi, ĠnĢaat Müh. Bölümü

Betonarme Yapılar Bilim Dalı

Tel-Faks:0212-285 3835

E-posta: [email protected]

[email protected]

YAPI SĠSTEMLERĠNDE SONLU

ELEMANLAR YÖNTEMĠ

2/83

GĠRĠġ

Sonlu elemanlar yöntemi çok güçlü ve çağdaş bir sayısal hesaplama yöntemidir. Son 40 yılda bilgisayarların

hızlı gelişimine paralel olarak gelişen sayısal hesap yöntemleri içinde çok önemli bir yer tutmaktadır. Bu sayısal

yaklaşım yöntemi her ne kadar orijinal olarak yapı sistemleri için geliştirilmiş ise de dayandığı esasların

genelliği dolayısıyla yöntem, akışkanlar mekaniği, zemin mekaniği, uçak mühendisliği, nükleer mühendislik,

kaya mekaniği, elektromanyetik alanlar, termal analiz ve daha sayabileceğimiz pek çok mühendislik ve fizik

problemlerinin çözümünde araç olarak kullanılmaktadır.

Karşılaştığımız mühendislik problemlerin küçük bir kısmının analitik çözümü mevcuttur. Bu, çözüm aranan

bölgede çözüme ait matematiksel ifadelerin bulunabilmesi, yani sonsuz noktada çözümün bilinmesi anlamına

gelmektedir. Analitik çözümler yalnızca fizik problemin bazı basitleştirilmiş ve sadeleştirilmiş matematik

modelleri için elde edilebilir. Uygulamada karşılaşılan pek çok mühendislik problemi için kapalı çözüm bulmak

mümkün değildir. Ekseriya deneyimli mühendisler veya araştırmacılar problemin tabiatına çok uzak olmayan

basitleştirmeler ve varsayımlar altında yaklaşık çözümlere ulaşmaktadırlar. Ancak, örneğin düzgün olmayan

geometri, karışık sınır koşulları, üniform olmayan yüklemeler, lineer olmayan malzeme davranışı gibi

nedenlerle bu gibi kapalı çözümlerin elde edilmesi çok güçleşmekte veya olanaksız hale gelmektedir. Sonlu

elemanlar yönteminin kullanılması halinde bu gibi durumlara ait yaklaşık çözümler kolaylıkla elde

edilebilmektedir.

Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi

Prof. Dr. Metin AYDOĞAN

3/83

Sayısal yöntemlerin pek çoğunda çözüm, bilinmeyen büyüklüklerin bölge içinde belirli bazı ayrık noktalardaki

yaklaşık değerlerinin bulunmasına yöneliktir (Örneğin bir kirişin belirli noktalarında çökme değerlerinin

bulunması gibi). Yani çözüm, bölgedeki bu seçilmiş noktalardaki değerlerin bulunması işlemine

indirgenmektedir. Bölgede belirli bir sayıda noktayı seçme işlemine ayrıklaştırma denir. Bir bölgeyi

ayrıklaştırmanın yolu onu küçük parçalara, ünitelere, bölmektir. Bu küçük parçalar bir araya gelerek orijinal

yapıyı temsil ederler. Böylece tüm yapıyı bir seferde çözmek yerine, bu küçük üniteler için çözüm yapılıp bir

araya getirilerek orijinal bölgeye ait çözüm elde edilebilmektedir. Bu suretle küçük parçalar için yapılan basit

yaklaşımlar ile bölgenin tümü için kabul edilebilir sonuçlar elde etmek mümkün olabilmektedir. Ancak daha iyi

sonuç elde etmek için orijinal yapıyı daha küçük ünitelere bölmek, yani daha çok sayısal veri işlemek gerekir

ki, bu da mutlaka kapasiteli bilgisayarlar ve bilgisayar programları kullanımı gerektirir.



4/83

SONLU ELEMANLAR YÖNTEMĠ NEDĠR?

Sonlu elemanlar yönteminin esası çözüm aranan yapıyı, bölgeyi veya cismi çok sayıda küçük sonlu

elemanlara, kısaca elemanlara, bölmektir. Bir, iki veya üç boyutlu olabilen bu elemanlar düğüm ya da düğüm

noktası adı verilen noktalarda birbirlerine bağlanmaktadırlar. Örnek olmak üzere (Şekil.1) de bir, iki ve üç

boyutlu elemanlardan örnekler gösterilmiştir. (Şekil.2) de ise düzensiz bir geometriyi haiz bir levhanın üçgen

sonlu elemanlarla ayrıklaştırılması, veya idealleştirilmesi, görülmektedir. Bu problemin sonlu elemanlar

yöntemi ile çözümü sonucunda aranan büyüklüklerin, örneğin x ve y doğrultusundaki yer değiştirmelerin, dolu

yuvarlaklar ile gösterilen düğüm notalarındaki sayısal değerleri elde edilecektir. Eleman düğüm noktalarındaki

aranan büyüklüklerin sayısal değerleri düğüm nokta serbestlikleri olarak adlandırılmaktadır.



5/83

Aranan büyüklüğün eleman içindeki değişimi için seçimi kolay, matematik işlemlerin yapılması basit ve

problemin fiziği ile uyumlu, yani davranışı yansıtan, sürekli fonksiyonlar, örneğin polinomlar, seçilmektedir. Bu

fonksiyonlara elemanın yer değiştirme şeklini tanımladığı için genel olarak şekil fonksiyonları adı verilir.

Seçilen fonksiyonların eleman içindeki davranışa katkıları, örneğin polinom seçilmesi halinde polinomun

katsayıları, düğüm noktalarındaki aranan büyüklükler cinsinden tayin edilebilmektedir. Yani çözüm yapılıp

düğüm noktalarındaki bilinmeyenler elde edildikten sonra eleman içindeki değişim belirlenmiş demektir. Sonlu

eleman içinde davranışı iyi bir şekilde temsil eden fonksiyonlar yardımıyla oluşturulan elemana ait özellikler

orijinal yapı için bir araya getirildiğinde tüm yapıyı iyi bir yaklaşımla temsil edebilmektedir.



6/83

Sonlu elemanlar yöntemi yardımıyla çoğu mühendislik problemlerinin çözümünde karşılaşılan;

Çözüm bölgesinin düzensiz geometriye haiz olması,

Karışık ve süreksiz sınır koşullarının varlığı,

Yüklemenin üniform olmaması, süreksiz ve tekil yüklerin varlığı,

Malzemenin heterojen (beton gibi) olması, anizotrop(ahşap gibi) olması

gibi problemler kolaylıkla çözülebilir. Sonlu elemanlar yöntemi lineer ve lineer olmayan sistemlere, keza statik

olduğu gibi dinamik problemlere de uygulanabilir. Yukarıda sayılan önemli üstünlükler yanında yöntemin

genellikle kapasiteli bilgisayarlara ve özellikle amaca yönelik ya da genel bilgisayar programlarına (software)

gereksinimi olduğu unutulmamalıdır.

Bu seminerin kapsamı içinde anlatılanlar yapı sistemleri ve özel olarak sonlu elemanlar deplasman yöntemi

sınırları içinde kalacak ise de ifadeler ve kavramların genel olduğu ve tüm mühendislik problemleri için

kullanılabileceği unutulmamalıdır.



7/83

HESAPTA ĠZLENEN YOLUN BASĠT YAY PROBLEMĠ ĠLE ÖZETLENMESĠ

Sonlu elemanlar yönteminde izlenen yol basit yay örneği ile açıklanmaya çalışılacaktır. (Şekil.3a) da yay

katsayısı s [kN/m] olan lineer bir yay görülmektedir. Yay eksenel P [kN] kuvveti altında u [m] kadar

çökmektedir. Fizikten, potansiyel enerji kavramını kullanarak, yük yer değiştirme bağıntısı

P = s . u (1)

olarak elde edilir. Burada s yayın rijitliği olup çökme değerini birim yapan kuvvete eşittir. Eksenel yüklü kolon

lineer yaya benzetilebilir (Şekil.3b). Bu durumda gerilme şekil değiştirme bağıntısı ve kolon rijitliği

u=1 için (2)

olur. 1 noktasında kolona aşağıya yönlü birim yer değiştirme uygular ve 2 noktasından tutarsak 1 noktasında

AE / l , 2 noktasında ise -AE / l kuvvetini elde ederiz. Benzer olarak 1 noktasında kolonu tutar 2 noktasında

birim yer değiştirme uygularsak 2 noktasında AE/l, 1 noktasında –AE/l kuvvetlerini buluruz. Bu, 1 noktası u1

kadar yer değiştirirse 1 ve 2 noktasındaki uç kuvvetleri sırasıyla u1. A E / l ve -u1. AE/ l değerlerini alır

sonucunu verir.



8/83

Benzer olarak 2 noktası u2 kadar yer değiştirirse 1 ve 2 noktasındaki uç kuvvetleri sırasıyla

-u2 .AE/ l ve u2 .AE/ l değerlerini alır. Bu sonuçları süperpozisyon kuralını uygulayarak matris formunda

özetlersek uçlarından Q1 ve Q2 eksenel yüklü kolona ait yük yer değiştirme bağıntısı, denge denklemleri,

aşağıdaki gibi olur:

(3)

Burada eksenel yüklü kolona ait en basit sonlu eleman rijitlik matrisi [k] (4) ifadesi ile verilmiş olup (3) denge

denklemlerinin katsayıları matrisinden ibarettir.

(4)



9/83

Rijitlik matrisinin elemanları tesir katsayıları olup matrisin herhangi bir kij terimi j düğüm noktasında birim yer

değiştirmeden i düğüm noktasında oluşan kuvveti göstermektedir. Herhangi bir sonlu elemanın rijitlik matrisi

(1) yer değiştirme modeline, yani seçilen şekil fonksiyonuna, (2) elemanın geometrisine ve (3) malzeme

özellikleri veya bünye denklemlerine (gerilme-yer değiştirme bağıntılarına) bağlıdır. Bu en basit örnekte

element rijitlik matrisi doğrudan yazılmıştır ve kesindir. Ancak genel halde incelenen sonlu eleman ortamında

problemin fiziği ve geometrisine uygun yaklaşım fonksiyonları (şekil fonksiyonları) yazlarak eleman rijitlik

matrisi çıkarılır ve bu sabit kesitli çubuk sistemler dışında yaklaşıktır. Yaklaşımın sıhhati seçilen fonksiyon ile

çok yakından ilgilidir. Ancak hemen çoğu kez polinomlarla çok iyi yaklaşımlar elde edilebildiğini söylemek

mümkündür. Eleman rijitlik matrislerinin bulunmasına ilişkin ayrıntılar ileride verilecektir.

A1 ve A2 en kesit alanlarını haiz eksenel yüklü bir kolon alalım (Şekil.4a). Bu kolon sistemine ait yer, şekil

değiştirme ve gerilme değerlerini bulmak istiyoruz. Kolon iki adet bir boyutlu sonlu elemana bölünmüştür. Bu

sistemde toplam 3 adet düğüm noktası bulunmaktadır. Aynı sistem keza yay katsayıları,rijitlikleri, s1 ve s2 olan

iki adet yay ile de temsil edilebilir (Şekil.4b). Her bir sonlu elemanın rijitlik bağıntıları (4) ifadesi yardımıyla

aşağıdaki gibi hesaplanır.



10/83

Şimdiki adımda tüm sistem için denge denklemlerini bulmak üzere eleman rijitliklerini bir araya getirmek

istiyoruz. Yani her bir elemana ait rijitlik ve yükleme matrislerinden sisteme ait (global) rijitlik ve yükleme

matrisleri elde edilecektir. Bu amaçla en çok kullanılan yöntem biriktirme yöntemidir. Yöntem, aynı bir düğüm

noktasında birleşen, dolayısıyla aynı yer değiştirmeyi yapan elemanlara sadece o noktaya komşu noktalardan

katkı yapılması esasına dayanmaktadır. Örnek olarak seçtiğimiz basit sistemde 1 noktasına ait rijitlik teriminin 3

noktasına katkısı bulunmamaktadır.

Sisteme ait denge denklemleri (5) ifadesi ile verilmiş olup burada [K] sistem rijitlik matrisi (veya daha genel

olarak sistem davranış matrisi), {R}sistem toplam yük vektörü, {U} sistem yer değiştirme vektörüdür.

[K] . {U} = {R} (5)



11/83

Örneğimize dönelim. Eleman denklemlerini bir araya getirerek (5) ifadesi örnek sistem için aşağıda yazılmıştır:

Burada R3 , 3 noktasındaki reaksiyonu göstermektedir. Sisteme ait denklem sistemi geometrik sınır koşulları

uygulanmaksızın çözülemez. Geometrik sınır koşulu yapının sınırlarında veya kenarlarındaki yer değiştirme

değerlerinin yerine koyulması ile uygulanır. Örneğimizde kolon tabanı tutulmuş olduğundan geometrik sınır

koşulu tabandaki yer değiştirmenin, burada u3 değerinin, sıfıra eşit olduğudur. Bu koşulu yukarıdaki denklemde

son satır ve sütunu kaldırmak suretiyle uygulayabiliriz. Dolayısıyla sınır koşulları uygulanmış sistem

denklemleri aşağıdaki hale dönüşür:

Bir araya getirilmiş ve sınır koşulları uygulanmış denklem sistemi çözülerek problemin bilinmeyenleri,burada

boy kısalmaları, elde edilir. Lineer denklem sistemlerinde bu işlem matris teknikleri ile kolayca halledilebilir.

Lineer olmayan problemler ile özdeğer problemlerinde başka teknikler uygulanır. Örnek problemin

bilinmeyenleri

u1 = 695.3125 / 375000. = 1.85417*10-3 m, u2 = 195.3125/375000. = 0.520833*10-3 m

olarak elde edilir.



12/83

Eleman şekil değiştirmeleri ve gerilmeler tasarımda kullanmak amacıyla hesaplanmalıdır. Her iki eleman için

hesaplanan şekil değiştirme ve gerilmelerin sayısal değerleri aşağıda verilmiştir:

Burada (-) işareti basıncı göstermektedir.

Bu basit örnek yardımıyla gösterildiği gibi sonlu eleman analizinde izlenen yol aşağıdaki altı adımda

özetlenebilir:

1. Çözüm aranan bölgenin ayrıklaştırılması (bölgenin sonlu elemanlara bölünmesi, eleman ağı teşkili,

idealleştirme),

2. Şekil fonksiyonlarının seçimi (yapı problemlerinde yer değiştirme modeli),

3. Eleman davranış (rijitlik) matrisinin varyasyon ilkesi veya ağırlıklı artıklar yöntemlerinden biri ile

çıkarılması,

4. Eleman denklemlerinin bir araya getirilmesi ve sınır koşullarının uygulanması

5. Tüm sistemin çözülerek bilinmeyenlerin (yapı problemlerinde genellikle yer değiştirmelerin) elde edilmesi,

6. Tasarım veya kontrol amacına yönelik olarak diğer büyüklüklerin düğüm nokta bilinmeyenlerinden

hareketle hesabı (yapı mekaniğinde eleman şekil değiştirme ve gerilmelerinin hesabı).



13/83

GENEL SONLU ELEMAN DENKLEMLERĠ

Sonlu eleman denklemleri için genel olarak kullanılabilen bir ifade yapı sistemlerinde çok kullanılan potansiyel

enerjinin minimumu ilkesinden hareket edilerek elde edilebilir. Bu amaçla önce bazı tanımlar yapmaya

gereksinim vardır. Bu tanımların çoğu matris formunda yapılacaktır.

u : yer değiştirme fonksiyonu veya yer değiştirme fonksiyonlarından oluşan vektör

ae : düğüm noktası serbestliklerinden (bilinmeyenlerinden) oluşan vektör

N : şekil fonksiyonları matrisi (u=N ae )

ε : şekil değiştirme vektörü

L : yer değiştirmeleri şekil değiştirmelere bağlayan lineer operatör (ε =Lu=LN ae )

B : düğüm noktası serbestliklerini şekil değiştirmelere bağlayan matris (B =LN )

σ: gerilme vektörü

D : elastisite matrisi

ε0: ilkel şekil değiştirme vektörü (örneğin sıcaklık değişimi)

σ0: ilkel gerilme vektörü (örneğin öngerilme)

b : hacım kuvvetlerinden oluşan vektör (birim hacme gelen kuvvetler)

s : yüzey kuvvetlerinden oluşan vektör(birim alana gelen kuvvetler)

fp : düğüm noktası yüklerinden oluşan vektör



0 0( )D

14/83

Minimum potansiyel enerji ilkesi “bir yapıda geometrik sınır koşullarını sağlayan çözümler içinde denge

denklemlerini sağlayan çözüme ait toplam potansiyel enerji minimumdur” şeklinde tanımlanabilir. Burada

toplam potansiyel enerji iki ayrı enerjinin toplamı olarak ifade edilebilir: İç potansiyel enerji(şekil değiştirme

enerjisi), Ui ve sisteme etkiyen dış yüklerden oluşan dış potansiyel enerji, Ue . Yani = Ui + Ue olup dış

potansiyel enerji ters işaretle dış kuvvetlerin yaptığı işe eşit alınarak (zira yer değiştirme esnasında potansiyel

enerjide bir azalma söz konusudur) -Ue=+We ile = Ui - We yazılabilir. Toplamın minimumu varyasyon

hesabından

(6)

olarak elde edilir. Matris bağıntılar yardımıyla iş ifadeleri

(7a)

(7b)

şeklinde yazılabilir. (6) eşitliğinden

(8)



15/83

Lineer elastik malzeme halinde

σ=D(ε-ε0)+σ0 (Genel Hooke kanunu-eksenel yüklü kolon halinde D=E) yazılarak (9)

(10)

elde edilir. Bu sonuç bütün statik ve lineer elastik problemlere ait sonlu eleman karakteristiklerini bulmak için

kullanılabilir. D matrisi homogen, izotrop sistemlerde elastisite modülü ve Poisson oranı ile belirlenir.

Şekil değiştirmeleri düğüm nokta yer değiştirmelerine bağlayan matris

(11)

olup ilgili büyüklükler yerine koyulup varyasyon işlemi yapıldığında sonuç olarak lineer elastik sistemlerde (12)

bağıntısı elde edilir.

(12)



16/83

Burada ae vektörü bilinmeyenlerden oluşur ve koordinatların fonksiyonu olmadığından integral dışına

alınabilir. Sonuçta (13) bağıntısı elde edilir.

(13)

burada

(14)

olup eleman rijitlik matrisi Ke aşağıda verilmiştir.

(15)

Buradaki eleman eşdeğer tekil düğüm nokta kuvvetleri aşağıda gösterilmiştir:

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)



17/83

BĠR BOYUTLU HAL (EKSENEL ġEKĠL DEĞĠġTĠRME)

Örneğin (Şekil.5) de görülen tek boyutlu eksenel yüklü çubuk probleminde yer değiştirme (parametre)

fonksiyonu

Şekil.5- Tek boyutlu (eksenel şekil değiştirme) sonlu eleman

u = c1 + c2.x (21)

şeklinde 1.derece polinom olarak ifade edilebilir. Burada her bir düğüm noktasındaki boyuna yer değiştirme

düğüm nokta serbestliği olarak alınmıştır. İki noktadan bir doğru geçeceğinden yer değiştirme fonksiyonu lineer

(21) bağıntısı ile verilebilir ve bu durum problemin fiziği ile de uyumludur. i düğüm noktasında u(xi) = ui ve j

düğüm noktasında, u(xj) = uj uç koşulları yardımıyla c1 ve c2 katsayıları aşağıda izlenen yol ile kolayca bulunur:

(22)



18/83

veya matris formunda

(23)

olur. Sabitler vektörü hesaplanıp yerine konulursa

(24)

bulunur. Matris tersi alınıp yerine konulur ve çarpım yapılırsa

(25)

(26)

olur. Burada Ni ve Nj i ve j düğüm noktalarındaki serbestliklere ait şekil fonksiyonlarıdır.

(27)



19/83

Şekil fonksiyonlarının özelliklerini burada kolayca görmek mümkündür. Herhangi bir düğüm nokta

serbestliğine ait şekil fonksiyonu o noktada o serbestlik için 1 değerini, diğer noktalarda ve diğer tüm

serbestlikler için 0 değerini alır (Şekil.6). Eleman içinde herhangi bir noktadaki yer değiştirme değeri

süperpozisyon kuralı ile elde edilir.

Şekil.6- İki noktalı lineer eleman şekil fonksiyonlarının değişimi

Yer değiştirme fonksiyonu u, matris formunda

u = N ae (28)

olup bu sonlu eleman için şekil fonksiyonları matrisi N ve düğüm noktası bilinmeyenlerine ait vektör ae

aşağıdaki gibi tanımlanır:

N = [ Ni(x) Nj(x) ) ] , ae = [ ui uj ] T (29a,b)



20/83

Tek boyutlu eksenel şekil değiştirme elemanı için paragraf başında tanımlanan büyüklükler

(30a,b,c)

(31)

(32a,b)

olarak elde edilir. Burada L ve D(1x1), N ve B (1x2) boyutlu matrislerdir. Bu büyüklüklerle (2x2) boyutlu

eleman rijitlik matrisi l uzunluklu ve sabit A en kesit alanlı çubuk için

(33)

olarak elde edilir.

Ke matrisinin (2x2) boyutunda olması rastlantı değildir. Zira eleman üzerinde 2 düğüm noktası ve her bir

noktada 1 adet olmak üzere toplam 2 serbestlik bulunmaktadır. Dolayısıyla kare rijitlik matrisinin boyutu toplam

serbestlik sayısı olan 2 dir.



21/83

DÜZLEM ÇERÇEVE ELEMANI

Bu halde her bir düğüm noktasında 3 serbestlik bulunmaktadır (Şekil.7). Bunlar x ekseni doğrultusunda yer

değiştirme , y ekseni doğrultusunda yer değiştirme ve z ekseni etrafında dönmedir.

Şekil.7- Çerçeve eleman ,düğüm noktası serbestlikleri ve pozitif yönler



22/83

Düğüm noktası serbestliklerinden oluşan vektör ae

(34)

olup eleman rijitlik matrisi Ke

(35)

olarak elde edilmiştir. Üniform yayılı yük için ankastrelik uç tesirleri:

(36)



23/83

ĠKĠ BOYUTLU GERĠLME ANALĠZĠ

LEVHA SONLU ELEMANLAR: DÜZLEM GERĠLME , DÜZLEM ġEKĠL DEĞĠġTĠRME

Bu bölümde çok kullanılan iki boyutlu üçgen ve dikdörtgen sonlu elemanlardan bahsedilecektir. Ancak daha

önce düzlem gerilme ve düzlem şekil değiştirme kavramları kısaca açıklanacaktır.

Düzlem Gerilme

Düzlem gerilme halinde ince bir levha ortalama düzlemine paralel olarak yüklenmektedir. Bu halin tanımı

(37)

olarak verilmektedir (Şekil.8). Burada z indisli gerilme bileşenleri düzlem dışı değerleri göstermekte olup hepsi

sıfırdır. Elemanda x ve y doğrultularında hacım kuvvetleri olabilir. Bu hale pek çok durumda rastlanabilir.

Örneğin yatay yük taşıyan perde duvarlar, yüksek kirişler gibi.



24/83

Şekil.8- Düzlem gerilme hali (tüm yükler x-y düzlemindedir).

Elastik halde yazılan gerilme şekil değiştirme bağıntısında D elastisite matrisi malzemenin izotrop veya

anizotrop olması hallerine bağlıdır. Burada sadece izotropik hal konu edilmiştir.

σ=D(ε-ε0)+σ0

D matrisi ve vektörü düzlem gerilme ve düzlem şekil değiştirme halleri için farklıdır.

Homojen izotrop malzeme için genelleştirilmiş Hooke kanunu

(38a)

(38b)

(38c)



25/83

olup burada Poisson oranı, E elastisite modülü, G ise kayma modülüdür.G ile E arasındaki ilişki (39) bağıntısı

ile verilmiştir.

(39)

(38) bağıntıları ve bu arada ilkel gerilme ve şekil değiştirmeleri de göz önüne alırsak

(40a)

(40b)

(40c)



26/83

eşitlikleri bulunur. Sonlu eleman formülasyonuna giren tanımlar düzlem gerilme elemanlar için aşağıdaki gibi

yapılabilir:

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(46) ifadesinde sıcaklık genleşme katsayısını, sıcaklık farkını göstermektedir.

İzotrop malzeme halinde sıcaklık değişimi halinde kayma şekil değiştirmesi olmadığına dikkat ediniz. Düzlem

dışı şekil değiştirme sıfırdan farklı ve aşağıdaki değeri haizdir:

(47)

Burada zz0 sıcaklık değişmesi halinde tT olarak alınacaktır.



27/83

Düzlem ġekil DeğiĢtirme

Düzlem şekil değiştirme halinde düzlem dışı gerilmeler sıfır olur.

(48)

Örnek olmak üzere boylu boyunca giden bir istinat duvarı, bir baraj gövdesi düzlem şekil değiştirme şeklinde

idealleştirilebilir. Burada da yükler yalnızca x-y düzlemindedir.

Bu halde elastisite matrisi düzlem gerilme halinden farklıdır. Lineer, elastik ve izotropik malzeme için düzlem

şekil değiştirme haline ait gerilme-şekil değiştirme bağıntıları Hooke kanunu yardımıyla aşağıdaki gibi

yazılabilir:

(49a)

(49b)

(49c)

Burada Lame sabiti (50) ifadesiyle verilmiştir.

(50)



28/83

, , 0 ve 0 „ın yukarıdaki tanımları kullanılarak elastisite matrisi aşağıdaki gibi elde edilir:

(51)

Sıcaklık değişimi hali için ilkel şekil değiştirme vektörü

(52)

Düzlem dışı σzz gerilmesi sıfırdan farklı olup düzlem şekil değiştirme hali için

(53)

bağıntısı ile verilir. Burada zz0 sıcaklık değişmesi halinde tT olarak alınacaktır.



29/83

Levha Sonlu Elemanlar

Düzlem gerilme analizi yapmak amacıyla genellikle üçgen ve dikdörtgen sonlu elemanlar kullanılır (Şekil.9).

Şekil.9- Üçgen ve dikdörtgen levha sonlu elemanlar

Eleman uç serbestlikleri (Şekil.10) da gösterilmiştir. Şekilden de görülebileceği üzere uç serbestlikleri her bir

düğüm noktasında x ve y doğrultularındaki yer değiştirmelerden ibarettir.

Şekil.10- Üçgen ve dikdörtgen levha sonlu elemanlar uç serbestlikleri



30/83

Bu durumda üçgen levha elemanda toplam 6, dikdörtgen levha elemanda ise toplam 8 serbestlik bulunmaktadır.

Üçgen elemanda yer değiştirme fonksiyonları

(54a,b)

olup örneğin u yer değiştirme fonksiyonu için matris formunda

(55)

yazılabilir. Buradaki ci katsayıları tek boyutlu örnektekine benzer olarak hesaplanıp aynı şekilde Ni şekil

fonksiyonları (x,y) koordinatlarının fonksiyonu olarak bulunur. x ve y doğrultusundaki yer değiştirme

fonksiyonları katsayılar dışında aynı olup i,j ve k noktalarına ait şekil fonksiyonları u ve v yer değiştirmeleri

için aynı bulunur.Bir boyutlu haldekine benzer olarak

(56a,b)



31/83

yer değiştirme fonksiyonları şekil fonksiyonları ve uç serbestlikleri cinsinden ifade edilir. Üçgen eleman için yer

değiştirme fonksiyonlarından oluşan vektör olup şekil fonksiyonları matrisi

(57)

dir. Şekil değiştirme düğüm noktaları yer değiştirme matrisi B= LN ile verilmekte olup düzlem gerilme haline

ait

(58)

bağıntıları yardımıyla L ve B matrisleri kolayca elde edilir.

(59a,b)



32/83

Burada düğüm noktası yer değiştirmelerinden oluşan vektör ae

(60)

olur. Bu hale ait Ke rijitlik matrisi (6x6) boyutunda olacaktır.

Dikdörtgen levha sonlu eleman halinde yer değiştirme fonksiyonları

(61a,b)

olup ci katsayıları önceki örneklerdeki gibi tayin edilerek

(62a,b)

şeklinde yer değiştirme fonksiyonları şekil fonksiyonları ve uç serbestlikleri cinsinden hesaplanır. Bu haldeki

gerilme ve şekil değiştirme vektörleri ve lineer operatör matrisi L üçgendekinin aynıdır. Bu halde N ve B

matrisleri (2x8), rijitlik matrisi de (8x8) boyutlarında olacaktır. Keza ae vektörü de

(63)



33/83

Levha problemlerinde öncelikle problemin türü, düzlem gerilme ya da düzlem şekil değiştirme, belirlenmelidir.

Sonuçta düğüm notalarındaki yer değiştirmeler ve bunlardan hareketle şekil değiştirme ve gerilmeler hesaplanır.

Bu değerler birim boya gelen kuvvetler (kN/m) olarak bulunur. Kalınlığa bölünerek gerilme bulunur. Bu

gerilmeler x ve y yönündeki normal gerilmeler ile kayma gerilmeleri olup buradan asal gerilmelere

mukavemetin bilinen bağıntıları yardımıyla geçilir.

Levha elemanları kullanarak eksenel simetrik yüklü cisimlerin gerilme analizi yapılabilir. Dönel simetri

dolayısıyla açıdan bağımsız olan durum 3 boyutlu yerine 2 boyutlu analize olanak sağlar. Ancak bu duruma

karşı gelen lineer operatörün yukarıda (59a) bağıntısı ile verilenden farklı olduğuna dikkat edilmelidir.

Ekte üçgen ve dikdörtgen levha elemanlar için rijitlik ve gerilme matrisleri verilmiştir.



34/83

ĠNCE PLAKLARIN EĞĠLMEYE GÖRE HESABINA AĠT SONLU ELEMANLAR

Ġnce Plak Teorisine Kısa Bir BakıĢ

Plaklar ortalama düzlemine dik olarak yüklenen 2 boyutlu düzlemsel taşıyıcılardır. Kalınlıkları diğer iki plan

boyutu yanında küçük olan ve bu suretle iki boyutlu olarak hesap edilen plaklara ince plak denir. Kalınlığın

ortasından geçen düzleme ortalama düzlem adını alır. İnce plaklarda genellikle klasik küçük yer değiştirme

teorisini esas alan Kirchoff teorisi kullanılır. Bu teoride yapılan varsayımlar aşağıda sıralanmıştır:

1. Plak çökmeleri kalınlığı yanında küçüktür.

2. Şekil değiştirmeden önce ortalama düzleme dik olan düzlem, şekil değiştirmeden sonra da dik kalır

(düzlem kesit düzlem kalır ve kayma şekil değiştirmeleri ihmal edilmiştir).

3. Ortalama düzleme dik gerilme bileşeni sıfırdır.

4. Şekil değiştirmiş düzlemin herhangi bir kesitteki eğimi küçük olup, eğimin karesi birin yanında ihmal

edilebilir.



35/83

(Şekil.11) de x-y düzleminde bulunan ve z düzleminde q yükü ile yüklenmiş bir plakta yer değiştirme ve iç

kuvvetler pozitif yönleri ile gösterilmiştir.

Şekil.11- Eğilme etkisindeki ince plakta yer değiştirmeler ve iç kuvvetler

İnce plakta gerilme şekil değiştirme bağıntıları aşağıdaki gibidir:

(64)

(65)



36/83

Plak diferansiyel denklemi

(66)

olup burada K[kN/m3] temel radye plağı halinde zemin yatak katsayısını göstermektedir.

Plak Sonlu Elemanlar

İnce plakların eğilmesi problemi için kullanılabilecek bir sonlu eleman modeli her bir düğüm noktasında en az 3

adet serbestlik bulundurur. Bunlar düğüm noktasının çökmesi ve iki eksen etrafında dönmesidir (Şekil.12). i

düğüm noktası yer değiştirme vektörü (67a) bağıntısı ile dönmeleri çökmelere bağlayan ilişkiler (67b,c) ile

verilmiştir. Plak probleminin, şekil değiştirme vektörü ,(68), eğriliklerden , gerilme vektörü (69) momentlerden

ibarettir.

Şekil.12- 12 serbestlik dereceli plak sonlu eleman koordinat eksenleri ve d.n.serbestlikleri



37/83

(67a,b,c)

(68)

(69)

Elastisite matrisi (70) bağıntısı ile verilmiştir.

(70)

Bu tanımlardan sonra sonlu elemanlar yönteminde izlenen genel yol burada da aynen izlenerek plak sonlu

eleman ifadeleri bulunur. Örneğin 12 serbestlikli dikdörtgen plak sonlu elemanda şekil fonksiyonlarının

tanımlanması için 12 terimli çökme fonksiyonu alınır. Bu fonksiyon 3.dereceden tam polinoma ait tüm terimleri

ihtiva ettiği gibi daha yüksek mertebeden iki terim daha bulundurur:

(71)



38/83

Şekil fonksiyonunun daha önce yapılmış tanımı hatırlanarak ve (67) bağıntılarını kullanarak 12 serbestlikli plak

eleman için şekil fonksiyonları matrisi ,[N], teşkil edilir. Bununla yer değiştirme fonksiyonu

(72)

(73)

(74)



39/83

Yukarıdaki bağıntılar yardımıyla genel formülasyona uygun olarak eleman rijitlik matrisi kolayca elde edilir:

(75)

Eleman bazında

(76)

yazılabilir.Burada

(77)

olup dış etkilere ait bileşenlerin integral ifadeleri aşağıda verilmiştir:

(78a)

(78b)

(78c)

(78d)



40/83

Eleman gerilme matrisi, [S],

(79)

olarak elde edilir.Tüm sistem için denge denklemleri aşağıdaki gibi yazılır:

(80)

Burada [K] sistem rijitlik matrisi, {ɑ}, tüm düğüm noktalarındaki serbestlikleri (bilinmeyenleri) içeren vektör,

{f}, elemanların üzerindeki yüklerin düğüm noktalarına olan katkılarının eklenmesiyle oluşturulan vektör, {R}

ise doğrudan sistem düğüm noktalarına etkitilen yüklerden oluşan vektörü göstermektedir.

Ekte 12 serbestlik dereceli ince plak sonlu eleman için rijitlik ve gerilme matrisleri verilmiştir.



41/83

UYGULAMALAR

1. örnek; X yönünde 2x5m ve Y yönünde 2x4m açıklıklı 3m yükseklikli uzay betonarme çerçeve örneğidir.

Kolon kesitleri 40x40cm, kiriş enkesit boyutları içte 30x80cm, dışta 30x100cm dir.

Malzemeye ait Elastisite modülü E= 3.00E+7 kN/m2, Poisson oranı v=0.20 Yük birimi kN dur.

Bu örnek iki farklı yaklaşımla ele alınmıştır. İlk durumda B aksında yer alan kiriş enkesitleri 30x100cm dir.

İkinci durumda ise kısa doğrultuda ki iç kiriş enkesiti olarak daha rijit bir kesit değeri (30x200cm) girilerek

sistem davranışı incelenmiştir.

Kirişlerdeki yayılı yük değerleri; 1 ve 3 akslarında 22.8 kN/m, 2 aksında 39.0 kN/m, A ve C akslarında 16.9

kN/m ve B aksında 27.2 kN/m dir.



42/83



43/83



44/83



45/83



46/83



47/83



48/83



49/83



İkinci durum olan B aksı kiriş kesitlerinin 30x200cm olarak ele alınması;

50/83



51/83



52/83



53/83



54/83



2. örnek; yatay yüklere maruz 3m genişlikli ve 5m yükseklikli betonarme bir perde kesit tesirlerinin hesabına

aittir. Burada 4x5 dikdörtgen levha (düzlem gerilme) sonlu eleman ağı kullanılmıştır (yatayda 4x0.75m,

düşeyde 5x1.0m).

Malzemeye ait Elastisite modülü E= 2.85E+7 kN/m2, Poisson oranı v=0.20 , levha kalınlığı h=0.25m dir.

Yük birimi kN dur.

55/83



56/83



57/83

3. örnek; 4 kenarından ankastre dikdörtgen bir plağa aittir. Plak 5.35kN/m2 üniform yayılı yük ve ortasından

50kNluk bir yüke maruzdur. Plak kare olup kenar uzunlukları 4.0m dir. Burada 4x4 plak sonlu eleman ağı

kullanılmıştır(eleman boyutları 1.0x1.0m dir).

Malzemeye ait Elastisite modülü E=3.00E+7 kN/m2, Poisson oranı v=0.20, plak kalınlığı h=0.15m dir.



58/83



59/83



60/83



61/83



62/83

4. örnek; kirişsiz bir döşeme plağına aittir. Plak 13.5kN/m2 üniform yayılı yüke maruzdur. Plak kare olup

ölçüleri 24x24m dir. Çözümde Sap2000 programında 100cm aralıklara bölünmüş sonlu eleman düzeni

kullanılmıştır.

Malzemeye ait Elastisite modülü E=3.00E+7 kN/m2, Poisson oranı v=0.20, plak kalınlığı h=0.25m dir.



63/83



64/83



65/83



66/83



Maksimum çökme değeri 0,0058m dir.

67/83



M11 (X) yönü eğilme momenti değerleri:

68/83



M22 (Y) yönü eğilme momenti değerleri:

69/83



Kirişsiz döşeme plağının dış konturuna 25x75cm boyutunda çepeçevre bir kiriş konulmuştur.

70/83



71/83



72/83



Maksimum çökme değeri 0,0039m dir.

73/83



M11 (X) yönü eğilme momenti değerleri:

74/83



M22 (Y) yönü eğilme momenti değerleri:

75/83

5. örnek; 8 katlı bir betonarme binanın radye temel çözümüne aittir.

Şekilde gösterilen 75 cm kalınlığındaki radye temelin verilen düşey yükler altında hesabı yapılacaktır. Zemin

yatak katsayısı K=3000 t/m3, zemin emniyet gerilmesi σzem=18 t/m2 dir.

Çözümde Sap2000 programında 100cm aralıklara bölünmüş sonlu eleman düzeni kullanılmıştır.

Malzemeye ait Elastisite modülü E=3.0E+7 kN/m2, Poisson oranı v=0.20 dir.



76/83



77/83



78/83



79/83

G+Q kombinasyonu altında oluşan çökme değerleri:



Maksimum çökme 0,0041m değerine karşılık gelen σzmax=0,0041*3000=12,27t/m2 dir.

80/83



G+Q kombinasyonu altında oluşan M11 (X) yönü eğilme momenti değerleri:

81/83



G+Q kombinasyonu altında oluşan M22(Y) yönü eğilme momenti değerleri:

82/83

SEÇĠLMĠġ KAYNAKLAR:

[1] Çakıroğlu, A.,Özden, E., Özmen, G.,(1974) Yapı Sistemlerinin Hesabı için Matris Metotları ve Elektronik

Hesap Makinası Programları, C.I ve II, İ.T.Ü.Kütüphanesi, Sayı.1005, İstanbul.

[2] Özden, K., (1996) Mühendislikte Sonlu Elemanlar Yöntemi (Ders Notları,İngilizce), İ.T.Ü. İnşaat

Fakültesi,İstanbul.

[3] Aydoğan, M. , Omurtag M.H. (2010) Mühendislikte Sonlu Elemanlar Yöntemi (Ders Notları,İngilizce),

İ.T.Ü. İnşaat Fakültesi,İstanbul.

[4] Zienkiewicz, O.C. ,(1977) The Finite Element Method in Engineering Science,3rd edition. Mc.Graw Hill,

London.

[5] Stasa, Frank.L. ,(1986) Applied Finite Element Analysis for Engineers, CBS Publ. Japan Ltd.

[6] Przemieniecki, J.S.,(1968) Theory of Matrix Structural Analysis, Mc.Graw Hill Book Company,London.



83/83

TEŞEKKÜRLER..



Documents

YAPI SİSTEMLERİNDE SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ · PDF file2/83 GĠRĠġ Sonlu elemanlar yöntemi çok güçlü ve çağdaş bir sayısal hesaplama yöntemidir. Son 40 yılda bilgisayarların