ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ∆ΟΙ

Σηµειώσεις µαθήµατος ∆ηµήτρης Βαλουγεώργης

Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας Εργαστήριο Φυσικών και Χηµικών ∆ιεργασιών Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Βόλος, Οκτώβριος 2005

Πρόλογος

Το µάθηµα των Υπολογιστικών Μεθόδων εισήχθη στα πλαίσια της δεύτερης

αναµόρφωσης του Προγράµµατος Σπουδών και συγκεκριµένα την

ακαδηµαϊκή χρονιά 2001-02. ∆ιδάσκεται στο 5ο εξάµηνο και οι φοιτητές

που το παρακολουθούν θα πρέπει να έχουν ολοκληρώσει µε επιτυχία τα

µαθήµατα των Συνήθων και Μερικών ∆ιαφορικών Εξισώσεων, του

Προγραµµατισµού, της Αριθµητικής Ανάλυσης και να έχουν αποκτήσει

βασικές γνώσεις στην Μηχανική των Ρευστών και Στερεών. Στόχος του

µαθήµατος είναι να ενισχύσει την θεωρητική και εφαρµοσµένη γνώση του

φοιτητή στην υπολογιστική επίλυση µηχανολογικών προβληµάτων. Το

µάθηµα εντάσσεται στη γενικότερη προσπάθεια που γίνεται στο ΤΜΜΒ ώστε

να αναβαθµιστούν οι ικανότητες των φοιτητών του τµήµατος στις νέες

τεχνολογίες, στη πληροφορική και στην ανάπτυξη και εφαρµογή τεχνικού

λογισµικού.

Η ύλη του µαθήµατος περιλαµβάνει την αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων

διαφορικών εξισώσεων (Σ∆Ε) που περιγράφουν προβλήµατα αρχικών

τιµών, την ταξινόµηση των µερικών διαφορικών εξισώσεων (Μ∆Ε), την

αριθµητική επίλυση συνήθων και µερικών διαφορικών εξισώσεων µε τη

µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών και τέλος µία εισαγωγή στη µέθοδο

των πεπερασµένων όγκων. Συγκεκριµένα στο 1ο Κεφάλαιο αναπτύσσονται

οι µέθοδοι αριθµητικής ολοκλήρωσεης Σ∆Ε και συστηµάτων Σ∆Ε και

διατυπώνονται οι συνθήκες σύγκλισης και ευστάθειας των µεθόδων

ολοκλήρωσης. Στο 2ο Κεφάλαιο παρουσιάζεται η αριθµητική παραγώγιση

και µία εισαγωγή στη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών µε πιλοτικές

εφαρµογές σε προβλήµατα οριακών τιµών που περιγράφονται από

συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Στη συνέχεια στο 3ο Κεφάλαιο γίνεται η

µαθηµατική ταξινόµηση των µερικών διαφορικών εξισώσεων 2ου βαθµού

και εξηγείται η φυσική της σηµασία. Στα Κεφάλαια 4 και 5 η µέθοδος των

πεπερασµένων διαφορών αναπτύσσεται µε λεπτοµέρεια και εφαρµόζεται σε

2

µεγάλο εύρος ελλειπτικών και παραβολικών προβληµάτων αντίστοιχα.

∆ίδεται έµφαση στις έννοιες της ευστάθειας, της συνοχής και της

σύγκλισης του αριθµητικού σχήµατος και στα προβλήµατα που

εµφανίζονται από την διακριτοποίηση των συνεχών διαφορικών εξισώσεων.

Στο 6ο Κεφάλαιο διατυπώνεται η βασική µεθοδολογία των πεπερασµένων

όγκων, επιλύεται µία σειρά απλών προβληµάτων και κυρίως περιγράφονται

οι απαραίτητες προϋποθέσεις ώστε να υπάρχει αντιστοιχία ανάµεσα στις

µεθόδους των πεπερασµένων διαφορών και όγκων. Επίσης περιγράφεται ο

φαινοµενολογικός χαρακτήρας της ευστάθειας στις εξισώσεις

πεπερασµένων όγκων. Τέλος στο 7ο Κεφάλαιο εφαρµόζεται η µέθοδος των

πεπερασµένων διαφορών στις εξισώσεις κύµατος 1ης και 2ης τάξης και

γενικότερα σε προβλήµατα υπερβολικού χαρακτήρα.

Στη συνέχεια των σπουδών τους οι φοιτητές του ΤΜΜΒ έχουν την

δυνατότητα να παρακολουθήσουν τα µαθήµατα των Πεπερασµένων

Στοιχείων και των Υπολογιστικών Μεθόδων στην Ενεργειακή Περιοχή του

6ου και 7ου εξαµήνου αντίστοιχα, και να ολοκληρώσουν ένα βασικό κύκλο

µαθηµάτων στην Υπολογιστική Μηχανική.

Βόλος, Οκτώβριος 2005

3

Περιεχόµενα 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων (Σ∆Ε) και συστηµάτων – προβλήµατα αρχικών τιµών (8 ώρες) 1.1 Εισαγωγή 1.2 Μέθοδος Euler 1.3 Μέθοδοι Runge-Kutta 1.4 Αριθµητική επίλυση συστηµάτων διαφορικών εξισώσεων 1.5 Ευστάθεια και σφάλµατα µεθόδων Euler και Runge-Kuttta 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών – προβλήµατα οριακών τιµών σε Σ∆Ε (6 ώρες) 2.1 Εισαγωγή 2.2 Εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών

2.2.1 Σειρά Taylor 2.2.2 Πολυώνυµα παρεµβολής

2.3 Προβλήµατα δύο οριακών τιµών 2.4 Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών 2.5 Οριακές συνθήκες µε παραγώγους 3. Ταξινόµηση µερικών διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης (4 ώρες) 3.1 Εισαγωγή 3.2 Ταξινόµηση Μ∆Ε. 2ης τάξης µε δυο ανεξάρτητες µεταβλητές 3.3 Ταξινόµηση Μ∆Ε. 2ης τάξης µε περισσότερες από δυο ανεξάρτητες µεταβλητές 3.4 Οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet, Neumann και Robin 3.5 Σωστά τοποθετηµένα προβλήµατα 3.6 Φυσική σηµασία ταξινόµησης Μ∆Ε 4. Επίλυση ελλειπτικών µερικών διαφορικών εξισώσεων µε περασµένες διαφορές (8 ώρες) 4.1 Εισαγωγή (Εξισώσεις Laplace, Poisson, Helmholtz, ∆ιαρµονική) 4.2 Εξισώσεις πέντε και εννέα σηµείων 4.3 Επίλυση συστηµάτων 4.4 Μέθοδος ADI 4.5 Οριακές συνθήκες µικτού τύπου και ακανόνιστα όρια 4.6 Κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγµένες

4

5. Επίλυση παραβολικών µερικών διαφορικών εξισώσεων µε περασµένες διαφορές (8 ώρες) 5.1 Εισαγωγή θερµότητας ή διάχυσης 5.2 ∆ιακριτοποίηση του πεδίου ορισµού 5.3 Ρητό σχήµα 5.4 Πεπλεγµένο σχήµα 5.5 Πεπλεγµένο σχήµα Crank-Nicolson 5.6 Ευστάθεια 5.7 Συνοχή 5.8 Σύγκλιση 5.9 Εξίσωση θερµότητας ή διάχυσης σε δύο διαστάσεις 5.10 Ανάλυση ευστάθειας σε δύο διαστάσεις 5.11 Εφαρµογή της µεθόδου ADI σε παραβολικές εξισώσεις 5.12 Αντιστοιχία παραβολικών και ελλειπτικών σχηµάτων 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων – επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων (12 ώρες) 6.1 Εισαγωγή 6.2 Ολοκλήρωση σε όγκο αναφοράς 6.3 Οριακές συνθήκες 6.4 Χρονικά µεταβαλλόµενα προβλήµατα 6.5 Ολοκλήρωση σε δισδιάστατο και τρισδιάστατο όγκο αναφοράς 6.6 Κυλινδρικές συντεταγµένες 6.7 Επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών προβληµάτων 6.8 Σύγκριση µεταξύ των µεθόδων πεπερασµένων διαφορών και όγκων 7. Επίλυση υπερβολικών µερικών διαφορικών εξισώσεων µε περασµένες διαφορές (8 ώρες) 7.1 Εξισώσεις κύµατος 1ης και 2ης τάξης 7.2 Πρόδροµη στο χρόνο – ανάδροµη στο χώρο 7.3 Σύγκριση αριθµητικής και αναλυτικής λύσης 7.4 Ρητά σχήµατα Lax-Wendroff και McCormack 7.5 Πεπλεγµένα σχήµατα Euler και Τραπεζίου 7.6 Αριθµητική επίλυση εξίσωσης κύµατος 2ης τάξης Παράρτηµα 1. Αναλυτικές λύσεις µερικών διαφορικών εξισώσεων

5

Κεφάλαιο 1

Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών

εξισώσεων και συστηµάτων

1.1 Εισαγωγή

Η µοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινοµένων και συστηµάτων και

κυρίως αυτών που εξελίσσονται στο χρόνο επιτυγχάνεται µε την χρήση

συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Αρκετές κατηγορίες συνήθων

διαφορικών εξισώσεων επιλύονται αναλυτικά αλλά ακόµη περισσότερες

είναι αυτές που δεν επιλύονται αναλυτικά, δηλαδή δεν έχουν αναλυτικές

λύσεις κλειστής µορφής και η επίλυσή τους επιτυγχάνεται µόνο αριθµητικά.

Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε αριθµητικές τεχνικές επίλυσης

συνήθων διαφορικών εξισώσεων.

Έστω µια συνήθης διαφορική εξίσωση της µορφής

2

2 0n

n

dy d y d yF x,y, , , , ,dx dx dx

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠… (1.1.1)

όπου x και y η ανεξάρτητη και εξαρτηµένη µεταβλητή αντίστοιχα. Η

(1.1.1) έχει µοναδική λύση µόνο όταν συνοδεύεται από n συνθήκες. Εάν οι

συνθήκες αυτές ορίζονται σε ένα σηµείο x, έστω στο σηµείο 0x , τότε το

πρόβληµα ονοµάζεται πρόβληµα αρχικών τιµών, ενώ εάν ορίζονται σε

περισσότερα από ένα σηµείο τότε το πρόβληµα ονοµάζεται πρόβληµα

οριακών τιµών. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε αποκλειστικά µε

προβλήµατα αρχικών τιµών.

Όταν έχουµε να λύσουµε ένα πρόβληµα αρχικών τιµών n τάξης, συνήθως

αντικαθιστούµε την συνήθη διαφορική εξίσωση µε n εξισώσεις 1ης τάξης.

Αυτό επιτυγχάνεται προσδιορίζοντας n-1 νέες εξαρτηµένες µεταβλητές.

Αντίστοιχα οι n-1 αρχικές συνθήκες για τις παραγώγους της άγνωστης

1

εξαρτηµένης µεταβλητής αντικαθίστανται µε αρχικές συνθήκες για τις n-1

νέες εξαρτηµένες µεταβλητές του συστήµατος. Θέτοντας

1

2

2

1

1

n

n

dyydxd yydx

d yydx

−

−

=

=

=

(1.1.2)

προκύπτει το σύστηµα

( )

1

1 2

2 1

1 2 1 1 0n n

, n n

y' yy' y

y' y

F x,y,y y , y ,y'− −

− −

==

=

=…

(1.1.3)

Παράδειγµα:

Έστω η εξίσωση Bessel 2ης τάξης

( )2

2 22 0d y dyx x x p

dx dx+ + − =2 (1.1.4)

όπου p µια σταθερά. Θέτοντας dygdx

= προκύπτει το σύστηµα δύο

εξισώσεων 1ης τάξης

( )2 2 2 0

dy gdx

dgx xg x p ydx

=

+ + − = (1.1.5)

Εποµένως αφού στην περίπτωση προβληµάτων αρχικών τιµών, µια

εξίσωση n τάξης µπορεί να αντικατασταθεί από σύστηµα n εξισώσεων 1ης

τάξης θα ασχοληθούµε αρχικά µε την επίλυση εξισώσεων και στη συνέχεια

συστηµάτων 1ης τάξης.

2

Οι βασικές κατηγορίες µεθόδων επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων

1ης τάξης ταξινοµούνται ως εξής:

Α. Πρόβληµα αρχικών τιµών

i. Μέθοδοι ενός βήµατος (Euler, Runge Kutta)

ii. Μέθοδοι πολλών βηµάτων

Β. Προβλήµατα οριακών τιµών

i. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών

ii. Μέθοδος πεπερασµένων όγκων

Στο κεφάλαιο αυτό όπως προαναφέραµε θα ασχοληθούµε µε την επίλυση

προβληµάτων αρχικών τιµών, εφαρµόζοντας µεθόδους ενός βήµατος.

Προβλήµατα οριακών τιµών θα εξετασθούν στο Κεφάλαιο 3 παράλληλα µε

την εισαγωγή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών. Σηµειώνεται ότι

στη περίπτωση των προβληµάτων οριακών τιµών η αντικατάσταση της

διαφορικής εξίσωσης µε σύστηµα δεν είναι εφικτή, επειδή η φυσική

σηµασία και η µαθηµατική διατύπωση των δύο προβληµάτων δεν είναι

ισοδύναµη.

1.2 Μέθοδος Euler

Έστω το πρόβληµα αρχικών τιµών

(dy )f x, ydx

= (1.2.1)

( )0y x y= 0 (1.2.2)

Από την εξ. (1.2.1) είναι προφανές ότι για κάθε ζεύγος σηµείων

( )( )* *x , y x η συνάρτηση ( )( )* *f x , y x που ταυτίζεται µε τη κλίση της

άγνωστης συνάρτησης ( )y x στο σηµείο *x . Για παράδειγµα

( )( ) (0

0 0 0 0x x

dy )f x ,y x f x ,ydx =

= = (1.2.3)

3

Η µέθοδος Εuler βασίζεται στην υπόθεση ότι για µια µικρή

απόσταση x∆ κατά µήκος του άξονα xη κλίση της συνάρτησης ( )y x

είναι σταθερή µε τιµή ίση µε τη τιµή της κλίσης στην αρχή του

διαστήµατος. Αναπτύσσοντας την ( )y x σε σειρά Taylor γύρω από το

σηµείο 0x έχουµε

( ) ( )0 0

22

0 0 22x x x x

dy x dyy x x y x xdx dx

∆∆ ∆= =

+ = + + +… (1.2.4)

Εφαρµόζοντας την βασική υπόθεση της µεθόδου Euler στην πρώτη

παράγωγο της (1.2.4) και αποκόβοντας τους όρους από 2ης τάξης και

επάνω προκύπτει η σχέση

( ) ( ) ( )0 0 ,y x x y x xf x y∆ ∆+ + 0 0 (1.2.5)

Έχοντας υπολογίσει την τιµή ( ) ( )1 0y x y x x∆= + η διαδικασία

επαναλαµβάνεται και έχουµε

( ) ( ) ( )2 1 1y x y x xf x ,y1∆+ (1.2.6)

Θεωρώντας ότι κάθε φορά προχωρούµε στον άξονα x κατά ένα βήµα

η µέθοδος Euler γράφεται στη γενική µορφή h ∆= x

( ) ( ) ( ) ( )( )1i i i iy x y x h y x hf x ,y x+ = + + i , 0 1 2i , , ,= … (1.2.7)

ή στην απλούστερη µορφή

( ) ( )21i i i , iy y hf x y O h+ = + + , 0 1 2i , , ,= … (1.2.8)

Η (1.2.18) έχει ρητή µορφή, δηλαδή η άγνωστη ποσότητα βρίσκεται µόνο

στην αριστερή πλευρά της αναγωγικής σχέσης. Η γεωµετρική

αναπαράσταση της µεθόδου Euler είναι απλούστατη και φαίνεται στο

Σχήµα 1.1 όπου ( )1iy x + και 1iy + είναι η αναλυτική και αριθµητική τιµή της

( )y x στο σηµείο 1ix + . Είναι προφανές ότι η µέθοδος θα είναι

αποτελεσµατική µόνο όταν η συνάρτηση ( )y x είναι οµαλή και η κλίση της

στο διάστηµα x∆ παραµένει περίπου σταθερή και ίση µε την κλίση της

( )y x στην αρχή του διαστήµατος.

4

Σχήµα 1.1: Γεωµετρική ερµηνεία της µεθόδου Euler Παράδειγµα:

Έστω η διαφορική εξίσωση y' x y,= + µε αρχική συνθήκη ( ) 00 0y y= = .

Η αναλυτική λύση είναι ( ) 1xy x e x .= − − Επιλέγοντας ,

εφαρµόζουµε την µέθοδο Euler και προκύπτει ο παρακάτω πίνακας

αποτελεσµάτων:

0 1h .=

Αριθµός

βήµατος

i

ix

Αριθµητική

λύση

iy

( )i if x , y

Αναλυτική

λύση

( )iy x

Απόλυτο

σφάλµα

( )i i iy y xε = −

0 0 0 0 0 0

1 0.1 0 0.1 0.0052 -0.0052

2 0.2 0.01 0.21 0.0214 -0.0114

3 0.3 0.031 0.331 0.0499 -0.0189

4 0.4 0.0641 0.4641 0.0918 -0.0277

10 1.0 0.5937 1.5937 0.7183 -0.1246

5

Όπως προκύπτει από την τελευταία στήλη του πίνακα το απόλυτο σφάλµα

αυξάνει σε κάθε βήµα της µεθόδου. Όπως θα δούµε παρακάτω το τοπικό

σφάλµα της µεθόδου Euler είναι ( )2O h αλλά το συνολικό σφάλµα

είναι ( )O h .

Στο σηµείο αυτό είναι χρήσιµο να ξανά-διατυπώσουµε την µέθοδο Euler

εφαρµόζοντας αριθµητική ολοκλήρωση αντί για αριθµητική

παραγώγιση (σειρά Taylor). Έστω ότι επιλύουµε το ίδιο πρόβληµα

αρχικών τιµών όπως περιγράφεται από την εξίσωση (1.2.1) και την

συνθήκη (1.2.2), στο διάστηµα [ ]0 Nx ,x .

Επιλέγουµε το µέγεθος από τη σχέση h

0Nx xhN−

= (1.2.9)

όπου είναι ο αριθµός των ίσων διαστηµάτων που διαιρείται το διάστηµα N

[ 0 N ]x ,x και 0ix x ih= + , 0 1i , , ,N .= … Στη συνέχεια ολοκληρώνουµε

αναλυτικά την διαφορική εξίσωση κατά µήκος των υπό-διαστηµάτων

και έχουµε

N

( )

( )

( )

( )

1

0

2

1

1

1

1 0

2 1

1

1

i

i

N

N

x

x

x

x

x

i ix

x

N Nx

y y f x,y dx

y y f x,y dx

y y f x,y dx

y y f x,y d

+

−

+

−

= +

= +

= +

= +

∫

∫

∫

∫ x.

(1.2.10)

6

Βεβαίως ο αναλυτικός υπολογισµός των εκφράσεων (1.2.10) δεν είναι

εφικτός, αφού οι συναρτήσεις ( )f x, y δεν είναι γνωστές στα υπό-

διαστήµατα ολοκλήρωσης. Εδώ ακριβώς, εισάγεται η βασική υπόθεση της

µεθόδου Euler όπου υποθέτουµε ότι η τιµή της συνάρτησης ( )f x, y σε

κάθε υπό-διάστηµα παραµένει σταθερή και ίση µε την τιµή της ( )f x, y

στην αρχή του υπό-διαστήµατος. Η προσέγγιση αυτή είναι αντίστοιχη µε

την µεθοδολογία αριθµητικής ολοκλήρωσης 1I , ακρίβειας ( )2O h .

Εποµένως τώρα τα ολοκληρώµατα στην ακολουθία (1.2.10) υπολογίζονται

προσεγγιστικά και προκύπτει η αναγωγική έκφραση (1.2.8) της µεθόδου

Euler.

Είναι προφανές ότι η ακρίβεια της µεθόδου Euler βελτιώνεται εάν βελτιωθεί

η ακρίβεια της αριθµητικής ολοκλήρωσης σε κάθε υπό-διάστηµα. Για

παράδειγµα εάν η αριθµητική ολοκλήρωση 1I αντικατασταθεί µε

αριθµητική ολοκλήρωση 2I , δηλαδή κανόνα του τραπεζίου, βρίσκουµε

την αναγωγική έκφραση

( ) ( ) ( )31 12i i i i i i

hy y f x ,y f x , y O h .+ + +⎡= + + +⎣ 1 ⎤⎦ (1.2.11)

Η (1.2.11) έχει πεπλεγµένη µορφή, δηλαδή η άγνωστη ποσότητα

βρίσκεται και στις δύο πλευρές της αναγωγικής σχέσης. Στις περιπτώσεις

αυτές η άγνωστη ποσότητα προκύπτει µετά από επαναληπτική διαδικασία

που σταµατά όταν ικανοποιηθεί το κριτήριο σύγκλισης. Εποµένως η

(1.2.11) γράφεται στη µορφή

( ) (11 12

( n ) ( n )i i i i i i

hy y f x ,y f x , y++ +

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦)1+ (1.2.12)

όπου ο δείκτης σε παρένθεση είναι ο δείκτης επανάληψης. Είναι

προφανές ότι η αριθµητική προσπάθεια αυξάνει σηµαντικά, αφού κάθε

βήµα συνοδεύεται από ένα αναγκαίο αριθµό επαναλήψεων ώστε να

βελτιωθεί η τιµή που προκύπτει µετά την πρώτη επανάληψη. Ο

αλγόριθµος (1.2.12) είναι γνωστός σαν πεπλεγµένη Euler ή µέθοδος

Heun.

n

1iy +

7

Επιλέγοντας άλλα σχήµατα αριθµητικής ολοκλήρωσης οδηγούµεθα σε

αντίστοιχα σχήµατα αριθµητικής επίλυσης συνήθων διαφορικών

εξισώσεων. Για το λόγο αυτό πολλές φορές όταν αναφερόµεθα σε

µεθόδους επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων έχει επικρατήσει ο

όρος αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων.

1.3 Μέθοδοι Runge-Kutta

Πρόκειται για οικογένεια µεθόδων ενός βήµατος µε την έννοια ότι η τιµή

της εξαρτηµένης τιµής στο τέλος του βήµατος, όπως και στη µέθοδο Euler,

εξαρτάται µόνο από την πληροφορία που αντλείται µέσα από το

συγκεκριµένο βήµα. ∆ηλαδή η τιµή 1iy + εξαρτάται µόνο από την τιµή

και άλλες τιµές της στο διάστηµα

iy

y [ ]1i ix ,x .+

Η απλούστερη όλων είναι η Runge-Kutta 2ης τάξης που δίδεται από τη

σχέση

( ) ( )( )1 12i i i i i i i ihy y f x ,y f x , y hf x ,y+ +⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦ . (1.3.1)

Η (1.2.13) προκύπτει εφαρµόζοντας την µέθοδο Euler δύο φορές ή την

πεπλεγµένη Euler για µία µόνο επανάληψη. Πρώτα υπολογίζουµε την

ενδιάµεση τιµή

( )1i i iy y hf x ,y+ = + i (1.3.2)

και στη συνέχεια την τελική τιµή

( ) (1 2i i i i i ih ˆy y f x ,y f x , y+ ⎡= + +⎣ )1+ ⎤⎦ . (1.3.3)

Η Runge-Kutta 2ης τάξης συνοψίζεται στον αλγόριθµο

( )( )

( )

1

2

1 12

i i

i i

i i

k f x , y

k f x h,y hkhy y k k+

=

= + +

= + +

1

2

(1.3.4)

µε . Ο αλγόριθµος γίνεται εύκολα κατανοητός από την

γεωµετρική του αναπαράσταση που φαίνεται στο Σχήµα 1.2.

0 1i , ,= …

8

Σχήµα 1.2: Γεωµετρική ερµηνεία της µεθόδου Runge-Kutta 2ης τάξης Οι Runge-Kutta µεγαλύτερης τάξης προκύπτουν µε παρόµοιο τρόπο

εφαρµόζοντας µεθόδους αριθµητικής ολοκλήρωσης µεγαλύτερης τάξης. Ο

αλγόριθµος της Runge-Kutta 3ης τάξης, εφαρµόζοντας τον 1ο κανόνα του

Simpson, δίδεται από τις σχέσεις

( )1

2 12 2

i i

i i

k f x , y

h hk f x ,y k

=

⎛= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞

( )

( )

3 2

1 1 246

i i

i i

k f x h,y hkhy y k k k+

= + +

= + + + 3

(1.3.5)

µε . Οι ποσότητες προσεγγίζουν τις παραγώγους της

εξαρτηµένης µεταβλητής στα σηµεία

0 1i , ,= … 1 2 3k ,k ,k

2i i ihx ,x ,x h+ + αντίστοιχα του υπό-

διαστήµατος [ ]i ix ,x h .+

9

Η γενική µορφή των µεθόδων Runge-Kutta 4ης τάξης είναι

( )1 1 2 3i iy y h ak bk ck dk+ = + + + + 4 (1.3.6)

όπου οι ποσότητες είναι προσεγγιστικές τιµές της 1 2 3 4k ,k ,k ,k dydx

σε

διαφορετικά σηµεία του υπό-διαστήµατος [ ]i ix ,x h .+ Οι πλέον δηµοφιλείς

Runge-Kutta 4ης τάξης είναι οι αλγόριθµοι

( )

( )

( )

1

2 1

3 2

4 3

1 1 2 3

2 2

2 2

2 26

i i

i i

i i

i i

i i

k f x , y

h hk f x ,y k

h hk f x ,y k

k f x h,y hkhy y k k k k+

=

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + +

= + + + + 4

(1.3.7)

και

( )

( )

( )

1

2 1

3

4 3

1 1 2 3

3 32 23 3

3 38

i i

i i

i i

i i

i i

k f x , y

h hk f x ,y k

h hk f x ,y k

k f x h,y hkhy y k k k k+

=

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + +⎜⎝ ⎠

= + +

= + + + +

2

4

⎟ (1.3.8)

Όλοι οι αλγόριθµοι Runge-Kutta έχουν ρητό χαρακτήρα. Το συσσωρευµένο

σφάλµα της κάθε µεθόδου Runge-Kutta είναι αντίστοιχο µε την τάξη της

µεθόδου.

10

1.4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Έστω ότι έχουµε ένα σύστηµα εξισώσεων 1n ης τάξης

( )

( )

( )

11 1

22 1

1

n

n

nn n

dy f x,y , , ydxdy f x,y , , ydx

dy f x,y , , ydx

=

=

=

…

…

…

(1.4.1)

µε αρχικές συνθήκες στο σηµείο 0x

( )( )

( )

1 0 1 0

2 0 2 0

0 0

,

,

n n

y x y

y x y

y x y

=

=

= ,

(1.4.2)

Η επίλυση ενός συστήµατος εξισώσεων µε βάση τις µεθόδους που έχουν

αναπτυχθεί δεν έχει επιπλέον θεωρητικές δυσκολίες από ότι στη περίπτωση

των απλών εξισώσεων. Βεβαίως οι αναγκαίοι υπολογισµοί είναι

περισσότεροι και ο προγραµµατισµός γίνεται πιο σύνθετος.

Παράδειγµα:

22

2 2 xd y z y edx

= − + , ( )0 1y ,= ( )0'y 2= − (1.4.3α)

22

2xd y z y e

dx= − − , ( )0 0z ,= ( )0'z 0= (1.4.3β)

Εισάγουµε τις εξαρτηµένες µεταβλητές 1y y= , 2'y y= , 3y z= και 4

'y z=

και το αρχικό σύστηµα µετατρέπεται σε ένα σύστηµα 1ης τάξης τεσσάρων

εξισώσεων µε τέσσερις αρχικές συνθήκες:

1'y y= 2 ( )1 0 1y =

22 3 12' xy y y= − + e ( )2 0 2y = −

11

3'y y= 4 ( )3 0 0y =

24 3 1' xy y y e−= − − ( )4 0y 0= (1.4.4)

Αρχικά εφαρµόζουµε τον αλγόριθµο Euler για 0 1h .= . Εποµένως

( ) ( ) ( )1 1 20 1 0 0 0 8y . y hy .= + =

( ) ( ) ( ) ( )2 02 2 3 10 1 0 2 0 0 2y . y h y y e⎡ ⎤= + − + =⎣ ⎦ −

( ) ( ) ( )3 3 40 1 0 0 0y . y hy= + =

( ) ( ) ( ) ( )2 04 4 3 10 1 0 0 0 0 2y . y h y y e .−⎡= + − − = −⎣ ⎤⎦

.

(1.4.5)

Η διαδικασία συνεχίζεται βήµα - βήµα για όσα βήµατα κρίνεται αναγκαίο.

Σηµειώνεται ότι οι συναρτήσεις και αντιστοιχούν στις αρχικές

άγνωστες εξαρτηµένες µεταβλητές και , ενώ οι συναρτήσεις και

στις παραγώγους τους.

1y 3y

y z 3y 4y

Επαναλαµβάνουµε τη επίλυση του παραδείγµατος εφαρµόζοντας τώρα την

µέθοδο Runge-Kutta 2ης τάξης για 0 1h .= Τώρα οι ποσότητες και

είναι διανύσµατα τεσσάρων στοιχείων, όπου το κάθε στοιχείο συνδέεται µε

την αντίστοιχη άγνωστη εξαρτηµένη µεταβλητή:

1k 2k

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

2 01 3 1

1 4

2 01 3 1

1 0 2

2 2 0 0

3 0 0

4 0 0

k y

k y y e

k y

k y y e

= = −

= − +

= =

= − − =

0

2

=

−

(1.4.6)

και

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 1

2 0 12 3 1

2 0 13 1 1 1

2 4 4 1

2 0 12 3 1

2 0 13 1 1 1

1 0 1 0 2 1 0 1 0 1

2 2 0 1 0 1

2 0 3 0 1 0 465

3 0 1 0 4 0 0 1 2 0

4 0 1 0 1

0 3 0 1 1 705

.

.

.

.

k y . y hk . *

k y . y . e

y hk y hk e .

k y . y hk . *

k y . y . e

y hk y hk e .

= = + = + =

= − + =

+ − + + =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = + = + − = −

= − − =

+ − + − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2. (1.4.7)

12

Τελικά µετά από ένα βήµα οι τιµές των εξαρτηµένων µεταβλητών είναι:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1

2

3

4

0 1 1 0 05 2 1 0 95

0 1 2 0 05 0 0 465 1 977

0 1 0 0 05 0 0 2 0 1

0 1 0 0 05 2 1 705 0 18525

y . . .

y . . . .

y . . . .

y . . . .

= + − + =

= − + + = −

= + − = −

= + − − = −

(1.4.8)

Έχοντας σαν βάση την παραπάνω επεξεργασία ο αναγνώστης, για να

εξοικειωθεί µε τη διαδικασία, µπορεί να επιλύσει το σύστηµα των τεσσάρων

διαφορικών εξισώσεων µε Runge-Kutta 3ης και 4ης τάξης. Σηµειώνεται ότι η

κάθε εξαρτηµένη µεταβλητή της συνάρτησης ( )1 2 3 4jf x, y , y , y , y ,

στη δεξιά πλευρά του συστήµατος βελτιώνεται µε τις «δικά

της» . Στη γενική περίπτωση ενός συστήµατος µε

1 2 3 4j , , ,=

k 1 2j , , ,J= … εξισώσεις

ο πρώτος από τους δύο αλγορίθµους Runge-Kutta 4ης τάξης, στους οποίους

αναφερθήκαµε, γράφεται ως εξής:

( )1 1 2 32 26j ,i j ,i j , j , j , j ,hy y k k k k 4+ = + + + + , 0 1 2i , , ,= … (1.4.9)

όπου

( )

( )

1 1 2

1

2 1 2

2

3 1 2

3

4 1 2

2

2

2

2

j , j i J

j j j ,

j , j i J

j j j ,

j , j i J

j j j ,

j , j i J

k f x , y , y , , y

hy y k

h ˆ ˆ ˆk f x ,y , y , , y

hy y k

hk f x ,y , y , , y

y y hk

k f x h,y ,y , , y

=

= +

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

= +

…

…

…

…

(1.4.10)

13

1.5 Σφάλµατα, διάδοση σφαλµάτων , ευστάθεια και σύγκλιση

Το σφάλµα iε ανάµεσα στην αριθµητική και αναλυτική τιµή της

συνάρτησης ( )y x στον κόµβο ορίζεται από το µέτρο της διαφοράς i

( )i i iy y xε = − (1.5.1)

όπου και iy ( )iy x η αριθµητική και αναλυτική τιµή της ( )y x στο σηµείο

ix αντίστοιχα.

Για να µελετήσουµε το σφάλµα της µεθόδου Euler, επιλύουµε την (1.5.1)

για την αριθµητική τιµή και την αντικαθιστούµε στην σχέση (1.2.8). Η

επεξεργασία αυτή µας οδηγεί στη σχέση

( ) ( ) ( )( ) ( )21 1i i i i i i iy x y x hf x ,y x O hε ε ε+ ++ = + + + + (1.5.2)

Στη συνέχεια αναπτύσσουµε σε σειρά Taylor τον όρο

( )( ) ( )( )( )i

i i i i i iy y x

ff x , y x f x ,y xy

ε ε=

∂+ = +

∂ (1.5.3)

και αντικαθιστώντας την (1.5.3) στην (1.5.2) προκύπτει ότι το σφάλµα στο

βήµα συνδέεται µε το σφάλµα στο i βήµα µε τη σχέση 1i +

( )( )2

1 1i

i iy y x

fh Oy

ε ε+=

⎛ ⎞∂⎜ ⎟= + +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

h (1.5.4)

Ο πρώτος όρος στο δεξί τµήµα της (1.5.4) υποδηλώνει την συνεισφορά

του σφάλµατος του βήµατος στο σφάλµα του i 1i + βήµατος, ενώ ο

δεύτερος όρος υποδηλώνει το τοπικό σφάλµα αποκοπής. Εποµένως, ενώ το

τοπικό σφάλµα είναι 2ης τάξης το συνολικό σφάλµα της µεθόδου Euler,

µετά από βήµατα, είναι 11i + ης τάξης.

Επίσης από την (1.5.4) προκύπτει ότι εάν σε κάθε βήµα ισχύει η ανισότητα

( )1

iy y x

fhy =

∂+

∂1< (1.5.5)

14

τότε το σφάλµα παραµένει πεπερασµένο και µάλιστα µειώνεται καθώς

αυξάνει ο αριθµός των βηµάτων. Στη περίπτωση αυτή λέµε ότι η µέθοδος

είναι ευσταθής. Εάν η παράγωγος 0fy∂

<∂

τότε µπορούµε να ορίσουµε το

εύρος τιµών για το βήµα ώστε να ισχύει η (1.5.5). Αντίθετα εάν h 0fy∂

>∂

τότε η ανισότητα (1.5.5) δεν ισχύει για οποιαδήποτε τιµή του βήµατος .

Στη περίπτωση αυτή

h

( )1

iy y x

fhy =

∂+

∂1> (1.5.6)

και το σφάλµα αυξάνει συνεχώς και λέµε ότι η µέθοδος είναι ασταθής. Το

ερώτηµα που πρέπει να απαντηθεί είναι εάν η συνεχής αύξηση του

σφάλµατος συνεπάγεται και αστοχία της αριθµητικής µεθόδου. Η απάντηση

είναι: Όχι απαραίτητα. Πρέπει να ελεγχθεί η συµπεριφορά της αναλυτικής

λύσης καθώς αυξάνουν οι τιµές της ανεξάρτητης µεταβλητής x. Εάν η λύση του προβλήµατος είναι φθίνουσα συνάρτηση ως προς x, τότε βεβαίως τα αριθµητικά αποτελέσµατα είναι εσφαλµένα. Αντίθετα εάν η

λύση του προβλήµατος είναι αύξουσα συνάρτηση ως προς x, τότε ο πιο σηµαντικός παράγοντας δεν είναι οι πεπερασµένες τιµές του απολύτου

σφάλµατος αλλά οι τιµές του σχετικού σφάλµατος i

iyε

να µην µεγαλώνουν

σηµαντικά.

Στην έννοια της σύγκλισης θα αναφερθούµε µε λεπτοµέρεια σε επόµενα

κεφάλαια. Όµως στο σηµείο αυτό είναι χρήσιµο να δώσουµε το σχετικό

ορισµό. Λέµε ότι µία αριθµητική µέθοδος συγκλίνει όταν το σφάλµα i ,ε

τείνει στο µηδέν, καθώς το διάστηµα τείνει επίσης στο

µηδέν:

0 1 2i , , ,= … h

00i

hlim ε

→

= (1.5.7)

∆ηλαδή η αριθµητική λύση ανάγεται στην συνεχή λύση καθώς το

διακριτοποιηµένο πρόβληµα ανάγεται στο συνεχές πρόβληµα.

15

Για τη µελέτη ευστάθειας των άλλων µεθόδων αριθµητικής ολοκλήρωσης

συνήθων διαφορικών εξισώσεων, απλουστεύουµε την µαθηµατική

επεξεργασία και εξετάζουµε την ευστάθειά τους µε βάση την

γραµµικοποιηµένη εξίσωση

dy ydx

λ= . (1.5.8)

Στη περίπτωση αυτή εύκολα προκύπτει από την (1.5.5) ότι το κριτήριο

ευστάθειας της µεθόδου Euler είναι

1 h 1.λ+ < (1.5.9)

Η ανισότητα (1.5.9), για Rλ∈ ισχύει όταν 2 h 0,λ− ≤ ≤ ενώ για Cλ∈

ισχύει όταν ( )1 R Ih ihλ λ+ + <1. Άρα η µέθοδος είναι ευσταθής εφόσον η

ποσότητα hλ βρίσκεται εντός του κύκλου µε κέντρο ( )1 0,− και ακτίνα

1ρ = του µιγαδικού επιπέδου.

Τo κριτήριο ευστάθειας της µεθόδου Runge-Kutta 2ης τάξης, όταν

αυτή εφαρµοσθεί στην (1.5.8), προκύπτει ως εξής:

( )2 2

1 12 2i i i i i ih hy y y y h y y h λλ λ λ λ+

⎛ ⎞⎡ ⎤= + + + = + +⎜⎣ ⎦

⎝ ⎠⎟ (1.5.10)

Από τη σχέση (1.5.10) συνεπάγεται ότι το σφάλµα παραµένει µικρό όταν

2 2

12

hh λλ+ + <1 (1.5.11)

Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ότι τα κριτήρια ευστάθειας των Runge-

Kutta 3ης και 4ης τάξης είναι

2 2 3 3

12 6

h hh λ λλ+ + + <1 (1.5.12)

και

2 2 3 3 4 4

12 6 24

h h hh λ λ λλ+ + + + <1 (1.5.13)

16

αντίστοιχα. Εάν το Rλ∈ οι σχέσεις (1.5.11-1.5.13) οδηγούν στις

παρακάτω ανισότητες που είναι ενδεικτικές για το εύρος τιµών που

επιτρέπεται να πάρει το βήµα ώστε το αριθµητικό σχήµα να είναι

ευσταθές:

h

Runge-Kutta 2ης τάξης: 2 0hλ− < <

Runge-Kutta 3ης τάξης: 2 5 0. hλ− < <

Runge-Kutta 4ης τάξης: 2 785 0. hλ− < < (1.5.14)

Επίσης εφαρµόζοντας την ίδια µεθοδολογία στον αλγόριθµο (1.2.12)

προκύπτει ότι η πεπλεγµένη Euler, εφαρµοζόµενη στην γραµµική εξίσωση

(1.5.8) για Rλ∈ είναι ευσταθής όταν ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες:

0 h< < ∞ για 0λ < και 2 0hλ− ≤ − ≤ για 0λ > (1.5.15)

Τονίζεται ότι σε όλες τις περιπτώσεις οι µέθοδοι είναι ευσταθείς µόνο όταν

0.λ <

Εάν το Cλ∈ , οι αντίστοιχες περιοχές ευστάθειας θα πρέπει να

αναζητηθούν στο µιγαδικό επίπεδο και απεικονίζονται στο Σχήµα 1.3.

Υπενθυµίζουµε ότι τα αποτελέσµατα αυτά προκύπτουν ικανοποιώντας τις

ανισότητες (1.5.11-1.5.13) και ότι ισχύουν µόνο για διαφορικές εξισώσεις

της µορφής (1.5.8).

Γενικά καθώς αυξάνει η τάξη ακρίβειας της αριθµητικής µεθόδου

ολοκλήρωσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων αυξάνει και η ευστάθεια της

µεθόδου, επιτρέποντας το βήµα ολοκλήρωσης να παίρνει µεγαλύτερες

τιµές. Το ζητούµενο σε κάθε περίπτωση είναι η ανάπτυξη αριθµητικών

µεθόδων υψηλής ακρίβειας και ευστάθειας. ∆υστυχώς τις περισσότερες

φορές κάτι τέτοιο είναι δύσκολο και ανάλογα µε την εφαρµογή και τις

υπολογιστικές δυνατότητες που έχουµε θυσιάζουµε την ακρίβεια προς

όφελος της ευστάθειας ή το αντίθετο.

h

17

Σχήµα 1.3: Περιοχές ευστάθειας στο µιγαδικό επίπεδο των µεθόδων Euler

και Runge-Kutta 2ης, 3ης και 4ης τάξης.

18

Αναφορές:

Brice Carnahan, H. A. Luther, James O. Wilkes, Applied Numerical

Methods (Chapter 6), John Wiley & Sons, 1969.

Alkis Constantinides, Applied Numerical Methods with Personal Computes

(Chapter 5), McGraw Hill Int. Editions, 1988.

Γεώργιος Ακρίβης, Βασίλειος ∆ουγαλής, Εισαγωγή στην Αριθµητική

Ανάλυση, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, 1998.

Στέφανος Τραχανάς, Συνήθεις ∆ιαφορικές Εξισώσεις, Πανεπιστηµιακές

Εκδόσεις Κρήτης, 1995.

19

Κεφάλαιο 2

Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών – προβλήµατα

οριακών τιµών µε Σ∆Ε

2.1 Εισαγωγή

Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και

πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές επίλυσης

διαφορικών εξισώσεων µε πλήθος εφαρµογών στην φυσική, στην µηχανική

και σε άλλες επιστήµες. Στο κεφάλαιο αυτό, παρουσιάζεται µία εισαγωγή

στη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών, διατυπώνοντας και

αναλύοντας τα κύρια βήµατα και βασικά χαρακτηριστικά της µεθόδου σε

σχέση µε την επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων που

περιγράφουν προβλήµατα οριακών τιµών. Η συγκεκριµένη επιλογή είναι

εκπαιδευτικά σκόπιµη, αφού πρόκειται για την απλούστερη ίσως εφαρµογή

της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών.

Στο σηµείο αυτό είναι σκόπιµο να δώσουµε µία πρώτη σύντοµη και γενική

περιγραφή της µεθόδου που ισχύει για συνήθεις και µερικές διαφορικές

εξισώσεις, ενώ στη συνέχεια θα επικεντρωθούµε µόνο σε συνήθεις

διαφορικές εξισώσεις. Το συνεχές πεδίο ορισµού ℜ , όπου ορίζεται η

διαφορική εξίσωση αντικαθίσταται από ένα πεπερασµένο αριθµό σηµείων

Dℜ , όπου το Dℜ είναι υποσύνολο του ℜ ( Dℜ ⊆ℜ ) και παράλληλα το όριο

του πεδίου ορισµού αντικαθίσταται από ένα πεπερασµένο αριθµό

σηµείων

Ω

DΩ που µπορεί να ανήκουν ή και να µην ανήκουν στο . Το

νέο πεδίο ορισµού του προβλήµατος ονοµάζεται υπολογιστικό πλέγµα,

δοµικά στοιχεία του οποίου είναι τα επιλεγέντα σηµεία που ονοµάζονται

κόµβοι. Για κάθε σηµείο (κόµβο) του

ℜ+Ω

P Dℜ , διατυπώνεται µια αλγεβρική

εξίσωση που περιλαµβάνει την τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής στο

σηµείο και σε γειτονικά σηµεία του εντός των P P Dℜ και DΩ . Η

1

αλγεβρική εξίσωση ονοµάζεται εξίσωση πεπερασµένων διαφορών και

αποτελεί προσέγγιση της µερικής διαφορικής εξίσωσης στο σηµείο . Η

συστηµατική διατύπωση της αλγεβρικής εξίσωσης πεπερασµένων διαφορών

εξαρτάται από τις πολλές εναλλακτικές δυνατότητες που προσφέρονται

µέσω της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών. Εάν υπάρχουν σηµεία

στο

P

N

Dℜ προκύπτει ένα σύστηµα αλγεβρικών εξισώσεων µε

αγνώστους. Εάν το σύστηµα έχει µοναδική λύση, που συνήθως έχει, οι

τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής που προκύπτουν θεωρούνται

προσεγγιστικές σε σχέση µε αυτές της αναλυτικής λύσης. Η καλή ή κακή

προσέγγιση ανάµεσα στην υπολογιστική (αριθµητική) και πραγµατική

(αναλυτική αν υπάρχει) λύση εξαρτάται από την συγκεκριµένη

µεθοδολογία πεπερασµένων διαφορών που υιοθετείται και αξιολογείται

µελετώντας την σύγκλιση, την ευστάθεια και την συνοχή του

αριθµητικού σχήµατος. Η διαδικασία αντικατάστασης της αναλυτικής

διαφορικής εξίσωσης και του συνεχούς πεδίου ορισµού της µε ένα σύστηµα

αλγεβρικών εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών που ορίζονται στους

κόµβους του υπολογιστικού πλέγµατος ονοµάζεται διακριτοποίηση.

N N

2.2 Εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών

Η διαδικασία της διακριτοποίησης όπως ορίσθηκε στην εισαγωγή του

κεφαλαίου προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτηµένης µεταβλητής και

των παραγώγων της στους κόµβους του πλέγµατος. Ειδικά, η προσέγγιση

των παραγώγων σε κάθε κόµβο του πλέγµατος προϋποθέτει την διατύπωση

εκφράσεων που προσεγγίζουν την παράγωγο µε τιµές της εξαρτηµένης

µεταβλητής στον συγκεκριµένο και γειτονικούς κόµβους. Οι εκφράσεις

αυτές ονοµάζονται εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών και προκύπτουν

µε δύο κυρίως τρόπους: τη σειρά Taylor και την πολυωνυµική

παρεµβολή.

2

2.2.1 Σειρά Taylor

Θεωρώντας ότι η συνάρτηση ( )u x είναι αναλυτική, η ( )u x x+ ∆

αναπτύσσεται σε σειρά Taylor

( ) ( )2 3

2! 3!x xx xxx nx xu x x u x xu u u R∆ ∆

+ ∆ = + ∆ + + + +… (2.2.1)

όπου το υπόλοιπο

( )1 ,!

n

nR x u x xn x

ξ∂⎛ ⎞= ∆ + ∆⎜ ⎟∂⎝ ⎠ 0 1ξ< < (2.2.2)

είναι τάξης δηλαδή n ( )nnR O x= ∆ . Λύνοντας ως προς την πρώτη

παράγωγο xu και απαλείφοντας όρους τάξης ίσης ή µεγαλύτερης του δύο

προκύπτει

( ) ( ) (x

u x x u xu

x+ ∆ −

=∆

)O x+ ∆ . (2.2.3)

Η εξίσωση (2.2.3) αποτελεί µία έκφραση πεπερασµένων διαφορών, δηλαδή

µια προσεγγιστική αλγεβρική έκφραση της πρώτης παραγώγου της

συνάρτησης ως προς u x . Ονοµάζεται κατάντη ή πρόδροµη

πεπερασµένη διαφορά πρώτης τάξης, αφού η πρώτη παράγωγος

προσεγγίζεται από τις τιµές της u στο σηµείο x και στο σηµείο x x+ ∆ που

έπεται του σηµείου x και είναι πρώτης τάξης αφού το σφάλµα αποκοπής

είναι ανάλογο της απόστασης x∆ .

Θεωρώντας στη συνέχεια το ανάπτυγµα Taylor της ( )u x x− ∆ έχουµε

( ) ( )2 3

2! 3!x xx xxx nx xu x x u x xu u u R∆ ∆

− ∆ = − ∆ + − + +… , (2.2.4)

όπου το nR δίδεται από την (2.2.2). Λύνοντας και πάλι ως προς xu

προκύπτει η ανάντη ή ανάδροµη έκφραση πεπερασµένων διαφορών

πρώτης τάξης

( ) ( ) (x

u x u x xu

x− − ∆

=∆

)O x+ ∆ . (2.2.5)

3

Τώρα, η πρώτη παράγωγος προσεγγίζεται από τις τιµές της στο σηµείο ux και στο σηµείο x x− ∆ που προηγείται του σηµείου x . Η γραφική

απεικόνιση των (2.2.3) και (2.2.5) φαίνεται στο Σχήµα 2.1.

Σηµειώνεται ότι µε κατάλληλη αλγεβρική επεξεργασία των αναπτυγµάτων

Taylor προκύπτουν διαφορετικές εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών για

την πρώτη παράγωγο της ως προς u x . Για παράδειγµα, αφαιρώντας τα

αναπτύγµατα Taylor (2.2.1) και (2.2.4) και λύνοντας την εξίσωση που

προκύπτει ως προς την πρώτη παράγωγο οδηγούµεθα στην κεντρώα

σχέση πεπερασµένων διαφορών

( ) ( ) ( )2

2x

u x x u x xu O

x+ ∆ − − ∆

=∆

x+ ∆ . (2.2.6)

Παρατηρούµε ότι το σφάλµα αποκοπής στην έκφραση (2.2.6) είναι 2ης

τάξης που σηµαίνει ότι η ακρίβεια της προσέγγισης της xu είναι καλύτερη

σε σχέση µε την ακρίβεια των εκφράσεων (2.2.3) και (2.2.5).

∆x ω1

x+∆x x-∆x x

A

∆x

ω2

x

A

Σχήµα 2.1: Γραφική απεικόνιση πρόδροµης (αριστερά) και ανάδροµης

(δεξιά) προσέγγισης της παραγώγου xu στο σηµείο A .

Η προσέγγιση παραγώγων υψηλότερης τάξης γίνεται µε αντίστοιχη

µεθοδολογία. Για παράδειγµα, προσθέτοντας τα αναπτύγµατα (2.2.1) και

(2.2.4) και διατηρώντας όρους µέχρι και τέταρτης τάξης προκύπτει η

κεντρώα πεπερασµένη διαφορά για την δεύτερη παράγωγο

4

( ) ( ) ( ) ( 22

2xx

u x x u x u x xu

x+ ∆ − + − ∆

=∆

)O x+ ∆ . (2.2.7)

Επίσης συνδυάζοντας τα αναπτύγµατα (2.2.1) και (2.2.4) µε τα

αναπτύγµατα

( ) ( ) ( ) ( )2 32 22 2

2! 3!x xx xxx n

x xu x x u x xu u u R

∆ ∆± ∆ = ± ∆ + ± + +… (2.2.8)

διατυπώνονται οι κατάντη και ανάντη εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών

για την δεύτερη παράγωγο

( ) ( ) ( ) (2

2 2xx

u x x u x x u xu O

x+ ∆ − − ∆ +

=∆

)x+ ∆ . (2.2.9)

και

( ) ( ) ( ) (2

2 2xx

u x u x x u x xu O

x− − ∆ + − ∆

=∆

)x+ ∆ (2.2.10)

αντίστοιχα. Είναι προφανές ότι θεωρώντας περισσότερους όρους στα

αναπτύγµατα Taylor η ακρίβεια των προσεγγιστικών εκφράσεων

πεπερασµένων διαφορών βελτιώνεται αντίστοιχα. Επίσης τονίζεται ότι η

χρήση κατάντη ή ανάντη ή κεντρώων εκφράσεων πεπερασµένων

διαφορών εξαρτάται άµεσα µε τη φυσική και τον τύπο του

προβλήµατος που εξετάζεται.

Στη περίπτωση των µερικών διαφορικών εξισώσεων, η προσέγγιση των

µερικών παραγώγων γίνεται µε ανάλογο τρόπο µε βάση τη σειρά Taylor

δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών. Στην περίπτωση των δυο µεταβλητών η

σειρά Taylor είναι

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

1

, ,

1 ,2!

1 ,1 !

n

n

u x x y y u x y x y u x yx y

x y u x yx y

x y u x y Rn x y

−

⎛ ⎞∂ ∂+ ∆ + ∆ = + ∆ + ∆ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂+ ∆ + ∆ + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂+ ∆ + ∆ +⎜ ⎟− ∂ ∂⎝ ⎠

…

,

(2.2.11)

όπου το υπόλοιπο

5

( )1 ,!

n

nR x y u x x yn x y

ξ η⎛ ⎞∂ ∂

= ∆ + ∆ + ∆ + ∆⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠y ., 0 , 1ξ η< < (2.2.12)

Το σφάλµα αποκοπής είναι τάξης , δηλαδή n ( )nnR O x y= ⎡ ∆ + ∆ ⎤⎣ ⎦ . Έστω

ότι ζητείται µια έκφραση πεπερασµένων διαφορών της µικτής παραγωγού

. Προσθαφαιρώντας κατάλληλα τα τέσσερα αναπτύγµατα Taylor xyu

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 3

4

, , ,

1 1, ,2! 3!

1 ,4!

u x x y y u x y x y u x yx y

x y u x y x y u x yx y x y

x y u x yx y

⎛ ⎞∂ ∂± ∆ ± ∆ = + ±∆ ± ∆ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ ±∆ ± ∆ + ±∆ ± ∆⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂+ ±∆ ± ∆⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

+ (2.2.13)

προκύπτει η κεντρώα έκφραση πεπερασµένων διαφορών 2ης τάξης

για τη µικτή παράγωγο

( ) ( )

( ) ( ) ( )2

1 , ,4

, ,

xyu u x x y y u x x y yx y

u x x y y u x x y y O x y

= + ∆ + ∆ − − ∆ + ∆ −⎡⎣∆ ∆

− + ∆ − ∆ + − ∆ − ∆ + ⎡ ∆ + ∆ ⎤⎤⎦ ⎣ ⎦

(2.2.14)

Τις περισσότερες φορές οι εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών είναι

ανάντη, κατάντη και κεντρώες, ακριβείας 1ης και 2ης τάξης. Σε όλες τις

περιπτώσεις οι παράγωγοι της εξαρτηµένης µεταβλητής σε ένα σηµείο

διατυπώνονται σε σχέση µε τις τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στο

σηµείο αυτό και στα αµέσως γειτονικά του. Εκφράσεις πεπερασµένων

διαφορών υψηλότερης ακρίβειας είναι αναγκαίες σε εξειδικευµένα

προβλήµατα και απαιτούν περισσότερο υπολογιστικό χρόνο αφού

εµπλέκονται περισσότερα σηµεία και εποµένως περισσότερες αριθµητικές

πράξεις. Ακολουθεί ενδεικτικός πίνακας µε εκφράσεις πεπερασµένων

διαφορών 3ης και 4ης τάξης που προσεγγίζουν µερικές παραγώγους 1ης, 2ης,

3ης και 4ης τάξης. Για λόγους συντοµίας εισάγονται οι συµβολισµοί

( ) ,, i ju x y u= και ( ) ,, i m j nu x m x y n y u ± ±± ∆ ± ∆ = µε x y h∆ = ∆ = .

6

Πίνακας 2.1: Εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών µε περισσότερα από τρία σηµεία. Παράγωγος Έκφραση πεπερασµένων διαφορών

,i j

ux∂∂

( ) ( )42, 1, 1, 2,

1 8 812 i j i j i j i ju u u u O h

h + + − −− + − + +

2

2,i j

ux∂∂

( ) ( )33, 2, 1, ,2

1 4 5i j i j i j i ju u u u Oh + + +− + − + + h

2

2,i j

ux∂∂

( ) ( )3, 1, 2, 3,2

1 2 5 4i j i j i j i ju u u u O hh − − −− + − +

2

2,i j

ux∂∂

( ) ( )42, 1, , 1, 2,2

1 16 30 1612 i j i j i j i j i ju u u u u O

h + + − −− + − + − + h

3

3,i j

ux∂∂

( ) ( )32, 1, 1, 2,3

1 2 22 i j i j i j i ju u u u Oh + + − −− + − + h

3

3,i j

ux∂∂

( ) ( )34, 3, 2, 1, ,3

1 3 14 24 18 52 i j i j i j i j i ju u u u u Oh + + + +− + − + − + h

3

3,i j

ux∂∂

( ) ( )3, 1, 2, 3, 4,3

1 5 18 24 14 32 i j i j i j i j i ju u u u u O hh − − − −− + − + +

4

4,i j

ux∂∂

( ) ( )32, 1, , 1, 2,4

1 4 6 4i j i j i j i j i ju u u u u Oh + + − −− + − + + h

Επίσης στον Πίνακα 2.2 παρατίθενται εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών

για την µικτή παράγωγο xyu για x y∆ ≠ ∆ .

Πίνακας 2.2: Εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών για την µικτή παράγωγο xyu .

Παράγωγος Έκφραση πεπερασµένων διαφορών

2

,i j

ux y∂∂ ∂

( )1, 1, 1 , , 11 ,i j i j i j i ju u u uO x y

x y y+ + − −− −⎛ ⎞

− + ∆ ∆⎜ ⎟∆ ∆ ∆⎝ ⎠

2

,i j

ux y∂∂ ∂

( ), 1 , 1, 1 1,1 ,i j i j i j i ju u u uO x y

x y y− − + −− −⎛ ⎞

− + ∆ ∆⎜ ⎟∆ ∆ ∆⎝ ⎠

7

2

,i j

ux y∂∂ ∂

( ), , 1 1, 1 1, 11 ,i j i j i j i ju u u uO x y

x y y− − + − −− −⎛ ⎞− + ∆ ∆⎜ ⎟∆ ∆ ∆⎝ ⎠

2

,i j

ux y∂∂ ∂

( )1, 1 , 1 , 1 ,1 ,i j i j i j i ju u u uO x y

x y y+ + − +− −⎛ ⎞

− + ∆ ∆⎜ ⎟∆ ∆ ∆⎝ ⎠

2

,i j

ux y∂∂ ∂

( )1, 1 1, 1 , 1 , 1 21 ,2 2

i j i j i j i ju u u uO x y

x y y+ + + − + −− −⎛ ⎞

− + ∆ ∆⎜ ⎟∆ ∆ ∆⎝ ⎠

2

,i j

ux y∂∂ ∂

( ), 1 , 1 1, 1 1, 1 21 ,2 2

i j i j i j i ju u u uO x y

x y y+ − − + − −− −⎛ ⎞

− + ∆⎜ ⎟∆ ∆ ∆⎝ ⎠∆

2

,i j

ux y∂∂ ∂

( )1, 1 1, 1, 1 1, 21 ,2

i j i j i j i ju u u uO x y

x y y+ + + − + −− −⎛ ⎞

− + ∆ ∆⎜ ⎟∆ ∆ ∆⎝ ⎠

2

,i j

ux y∂∂ ∂

( )1, 1, 1 1, 1, 1 21 ,2

i j i j i j i ju u u uO x y

x y y+ + − − − −− −⎛ ⎞

− + ∆ ∆⎜ ⎟∆ ∆ ∆⎝ ⎠

2

,i j

ux y∂∂ ∂

( )1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 2 21 ,2 2 2

i j i j i j i ju u u uO x y

x y y+ + + − − + − −− −⎛ ⎞

− + ∆ ∆⎜ ⎟∆ ∆ ∆⎝ ⎠

2.2.2 Πολυώνυµα παρεµβολής

Ο δεύτερος τρόπος προσέγγισης παραγώγων είναι η παρεµβολή της

συνάρτησης µε ένα πολυώνυµο. Οι συντελεστές του πολυωνύµου

υπολογίζονται από τις τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής σε επιλεγµένα

σηµεία. Ο βαθµός του πολυωνύµου παρεµβολής αντιστοιχεί στην τάξη της

ακριβείας της έκφρασης πεπερασµένων διαφορών. Θεωρώντας, για

παράδειγµα, ένα πολυώνυµο παρεµβολής 2ου βαθµού µπορούµε να

προσεγγίσουµε τοπικά την άγνωστη συνάρτηση ( )u x µε τη σχέση

( ) 2u x Ax Bx C= + + . (2.2.15)

Για τον υπολογισµό των αγνώστων συντελεστών του πολυωνύµου,

επιλέγουµε τρία γειτονικά ισαπέχοντα σηµεία x , x x+ ∆ και 2x x+ ∆ , έτσι

ώστε η αρχή των αξόνων να είναι στο σηµείο x (βλέπε Σχήµα 2.2). Για

συντοµία τα τρία σηµεία, που βρίσκονται στις θέσεις x , x x+ ∆ και

2x x= ∆ , συµβολίζονται µε ix , 1ix + και 2ix + . Εποµένως έχουµε

8

( ) 2i i i iu x u Ax Bx C= = + + (2.2.16α)

( ) 21 1 1 1i i i iu x u Ax Bx C+ + + += = + + (2.2.16β)

( ) 22 2 2i i i iu x u Ax Bx C+ + += = + + (2.2.16γ)

Στις εξισώσεις (2.2.16) αντικαθιστούµε τις τιµές 0ix = , 1ix x+ = ∆ και

2 2ix x+ = ∆ και λύνοντας στη συνέχεια το σύστηµα των τριών εξισώσεων

που προκύπτει ως προς τους άγνωστους συντελεστές του πολυωνύµου

βρίσκουµε

iC u= (2.2.17α)

2 14 32

i iu uBx

+ +− + −=

∆iu (2.2.17β)

2 12

22

i iu uAx

+ +− +=

∆iu (2.2.17γ)

xxi-1xi-2

ui-2

ui-1ui

xi+2xi+1xi

ui+2

ui+1ui

Σχήµα 2.2: Γραφική απεικόνιση πολυωνυµικής παρεµβολής για πρόδροµη

(αριστερά) και ανάδροµη (δεξιά) προσέγγιση των παραγώγων.

Παίρνοντας τη παράγωγο του πολυώνυµο (2.2.15) ως προς x προκύπτει η

παράγωγος

2xu Ax= + B (2.2.18)

9

και αντικαθιστώντας στη συνέχεια τις εκφράσεις (2.2.17β) και (2.2.17γ)

για τους συντελεστές A και B αντίστοιχα βρίσκουµε ότι στο σηµείο

, η παράγωγος είναι 0ix =

2 14 32

i ix

u uu Bx

+ +− + −= =

∆iu. (2.2.19)

Πρόκειται για µια κατάντη έκφραση πεπερασµένων διαφορών 2ης

τάξης. Παίρνοντας τη παράγωγο της εξίσωσης (2.2.18) άλλη µια φορά

προκύπτει ότι η δεύτερη παράγωγος στο σηµείο 0ix = είναι

2 12

2 32 i ixx

u uu Ax

+ + iu− += =

∆. (2.2.20)

Τονίζεται ότι οι εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών (2.2.19) και (2.2.20)

µπορούν να διατυπωθούν επίσης χρησιµοποιώντας την µεθοδολογία που

βασίζεται στο ανάπτυγµα Taylor.

Ανάντη εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών, µε τη µεθοδολογία των

πολυωνύµων παρεµβολής, προκύπτουν αρκετά εύκολα επιλέγοντας τα

σηµεία x , x x− ∆ και 2x x− ∆ (ή ix , 1ix − και 2ix − ) και θέτοντας το σηµείο

ix στην αρχή των αξόνων (βλέπε Σχήµα 2.2). Ανάλογα πράττουµε και στη

περίπτωση κεντρώων εκφράσεων πεπερασµένων διαφορών. Τώρα τα τρία

σηµεία παρεµβολής είναι τα ix , ix x± ∆ µε την αρχή των αξόνων να

ορίζεται και πάλι στο σηµείο ix .

Το κύριο πλεονέκτηµα της πολυωνυµικής παρεµβολής είναι ότι

εφαρµόζεται ευκολότερα όταν τα σηµεία ix δεν ισαπέχουν µεταξύ τους.

2.3 Προβλήµατα δύο οριακών τιµών

Ο αριθµός προβληµάτων οριακών τιµών που περιγράφονται από συνήθεις

διαφορικές εξισώσεις είναι ιδιαίτερα µεγάλος. Στις περιπτώσεις αυτές, και

σε αντίθεση µε ότι συµβαίνει στα προβλήµατα αρχικών τιµών, οι συνθήκες

10

του προβλήµατος ορίζονται σε δύο διαφορετικές τιµές της ανεξάρτητης

µεταβλητής. Για τον συγκεκριµένο λόγο, τα προβλήµατα αυτά είναι γνωστά

στη βιβλιογραφία σαν προβλήµατα δύο οριακών τιµών. Μερικά

κλασσικά παραδείγµατα προβληµάτων δύο οριακών τιµών περιλαµβάνουν

τη ροή Poiseuille ανάµεσα σε δύο πλάκες ή σε κυλινδρικό αγωγό, το

πρόβληµα της ροής θερµότητας σε µονοδιάστατη ράβδο και το πρόβληµα

του λυγισµού λεπτής µονοδιάστατης δοκού.

Η ροή Poiseuille ανάµεσα σε πλάκες περιγράφεται από την Σ∆Ε

d du ddy dy dx

µ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

P (2.3.1)

όπου είναι η απόσταση ανάµεσα στις δύο πλάκες, 0 y L≤ ≤dPdx

είναι η

κλίση της πίεσης στην αξονική διεύθυνση x της ροής και ( )u u y= η

άγνωστη κατανοµή της ταχύτητας. Οι οριακές συνθήκες µη ολίσθησης είναι

( ) ( )0 0u L= = .

Το πρόβληµα της ροής θερµότητας σε µονοδιάστατη ράβδο περιγράφεται

από την Σ∆Ε

( ) 0d dTk h T Tdx dx ∞

⎛ ⎞ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.3.2)

όπου 0 x L≤ ≤ είναι το µήκος της ράβδου, ( )T T x= η άγνωστη

θερµοκρασιακή κατανοµή κατά µήκος της ράβδου, T∞ η θερµοκρασία του

περιβάλλοντος χώρου και και οι συντελεστές θερµικής αγωγής και

συναγωγής αντίστοιχα. Οι οριακές συνθήκες στην αρχή και στο τέλος της

ράβδου είναι

k h

( )0 LT =T και ( ) RT L T= , όπου LT και RT είναι γνωστές

θερµοκρασίες.

Τέλος το πρόβληµα του λυγισµού λεπτής µονοδιάστατης δοκού, κάτω από

συγκεκριµένες συνθήκες και υποθέσεις περιγράφεται από την Σ∆Ε

22

2 0d f fdx

λ+ = (2.3.3)

11

όπου 0 x L≤ ≤ είναι το µήκος της δοκού και ( )f f x= η αποµάκρυνση

(παραµόρφωση) από τη θέση ισορροπίας. Επίσης ( )2 /P EIλ = , όπου

είναι το εξωτερικό αξονικό φορτίο,

P

E το µέτρο ελαστικότητας και I η

ροπή αδρανείας. Θεωρώντας ότι τα δύο άκρα της δοκού είναι πακτωµένα,

προκύπτουν οι οριακές συνθήκες ( ) ( )0f f L 0= = . Παρατηρούµε ότι το

πρόβληµα του λυγισµού, όπως διατυπώνεται στη συγκεκριµένη περίπτωση,

περιγράφεται από οµογενή διαφορική εξίσωση και οµογενείς οριακές

συνθήκες. Εποµένως, σε αντίθεση µε τα δύο προηγούµενα προβλήµατα,

είναι ένα πρόβληµα ιδιοτιµών τύπου Sturm-Liouville που µπορεί να λυθεί,

όπως και τα δύο προηγούµενα κλασσικά προβλήµατα οριακών τιµών, µε τη

µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών.

Στα παραπάνω παραδείγµατα όταν οι συντελεστές των παραγώγων

θεωρούνται σταθεροί τότε οι εξισώσεις είναι γραµµικές και µπορούν να

επιλυθούν αναλυτικά και αριθµητικά. Στη περίπτωση αυτή τα αριθµητικά

αποτελέσµατα συγκρίνονται µε τα αντίστοιχα αναλυτικά και είναι εφικτό να

µελετήσουµε και να προσδιορίσουµε την ακρίβεια των αριθµητικών

αποτελεσµάτων. Αντίθετα, όταν οι συντελεστές είναι συναρτήσεις της

εξαρτηµένης µεταβλητής (άµεσα ή έµµεσα) τότε οι εξισώσεις είναι µη

γραµµικές και τις περισσότερες φορές επιλύονται µόνο αριθµητικά. Στις

περιπτώσεις αυτές θα πρέπει να είµαστε πολύ προσεκτικοί σχετικά µε την

ακρίβεια των αριθµητικών αποτελεσµάτων. Πρόκειται για ένα ιδιαίτερα

σηµαντικό ζήτηµα που θα εξετασθεί συστηµατικά σε επόµενα κεφάλαια.

Σηµειώνεται τέλος ότι είναι ιδιαίτερα χρήσιµο για τον µη µυηµένο

αναγνώστη να ανατρέξει και να εντοπίσει στη βιβλιογραφία προβλήµατα

δύο οριακών τιµών που περιγράφονται από γραµµικές και µη γραµµικές

Σ∆Ε.

12

2.4 Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών

Έχοντας πλέον µία σύντοµη περιγραφή των οριακών προβληµάτων δύο

σηµείων και κυρίως γνωρίζοντας τις µεθοδολογίες διατύπωσης εκφράσεων

πεπερασµένων διαφορών για τις παραγώγους µιας συνάρτησης, µπορούµε

να προχωρήσουµε στην περιγραφή της µεθόδου των πεπερασµένων

διαφορών σε Σ∆Ε. Θεωρούµε τη γραµµική Σ∆Ε 2ης τάξης στη γενική µορφή

( ) ( ) ( ) ( )'' ' 0P x y Q x y R x y S x+ + + =

] (2.4.1)

στο διάστηµα [ ,L Rx x x∈ µε οριακές συνθήκες

Ly y= για Lx x= και Ry y= για Rx x= . (2.4.2)

Οριακές συνθήκες, όπως οι (2.4.2), που περιέχουν τιµές µόνο της

εξαρτηµένης µεταβλητής (και όχι των παραγώγων της) ονοµάζονται

οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet και δύναται να είναι οµογενείς ή µη

οµογενείς.

Το πρώτο βήµα, στη εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων

διαφορών, είναι ο καθορισµός του υπολογιστικού πλέγµατος και των

κόµβων. Το διάστηµα [ ],L Rx x x∈ , όπως φαίνεται στο Σχήµα (2.3),

διαιρείται σε ίσα τµήµατα και το κάθε τµήµα έχει µήκος N R Lx xhN−

= . Τα

σηµεία που ορίζουν την αρχή και το τέλος κάθε τµήµατος ονοµάζονται

κόµβοι και η θέση τους στο υπολογιστικό πλέγµα προσδιορίζεται από τις

σχέσεις

( )1i Lx x i= + − h +, (2.4.3) 1,2, 1.i N= …

Είναι προφανές ότι 1 Lx x= και 1N Rx x+ = . Συνολικά, ορίζονται

κόµβοι, εκ των οποίων οι

1N +

1N − κόµβοι ix , 2,3, ,i N= … είναι εσωτερικοί

κόµβοι, ενώ οι δύο κόµβοι 1x και 1Nx + ταυτίζονται µε τα δύο όρια Lx και

Rx αντίστοιχα. Επίσης οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους κόµβους

του πλέγµατος ορίζονται από τις σχέσεις

( )i iy x y= , (2.4.4) 1,2, 1.i N= … +

13

Οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους εσωτερικούς κόµβους είναι

άγνωστες και αποτελούν το αντικείµενο της υπολογιστικής επίλυσης του

προβλήµατος, ενώ οι αντίστοιχες τιµές στα όρια είναι γνωστές από τις

οριακές συνθήκες (2.4.2).

N+1 1 3 2 i-1 i i+1 N N-1

xN+1xN xN-1xi+1xi xi-1x3 x2 x1

Σχήµα 2.3: Το υπολογιστικό πλέγµα και οι κόµβοι του πλέγµατος.

Το δεύτερο βήµα είναι η προσέγγιση της Σ∆Ε σε ένα τυχαίο εσωτερικό

κόµβο, έστω ix , του πλέγµατος. Η πράξη αυτή συµβολίζεται ως εξής:

( ) ( ) ( ) ( )'' ' 0ii i i x xx x x x x x

P x y Q x y R x y S x== = =

+ + + = (2.4.5)

Η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της Σ∆Ε προσεγγίζονται µε τις

κεντρώες εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών 2ης τάξης

( )21 1'2i

i ix x

y yy Oh

+ −=

−= + h (2.4.6α)

και

( )21 12

2''i

i i ix x

y y yyh

+ −=

− += +O h (2.4.6β)

αντίστοιχα. Οι εκφράσεις (2.4.6) αντικαθίστανται στη εξίσωση (2.4.5) που

γράφεται στη µορφή

1 1 1 12

2 02

i i i i ii i i iy y y y yP Q R y S

h h+ − + −− + −

+ + + = 2, ,i Ni , . (2.4.7) = …

Οι δείκτες , και στις διάφορες ποσότητες συµβολίζουν τις

ποσότητές αυτές στους αντίστοιχους κόµβους. Σηµειώνεται ότι η εξίσωση

(2.4.8) δεν ταυτίζεται αλλά αποτελεί προσέγγιση της εξίσωσης (2.4.5) και

το σφάλµα είναι

1i − i 1i +

( )2O h . Βλέπουµε επίσης ότι είναι αλγεβρική και ότι ισχύει

για κάθε εσωτερικό κόµβο. Εποµένως µε βάση την εξίσωση (2.4.7)

δηµιουργείται ένα σύστηµα αλγεβρικών εξισώσεων µε αγνώστους τις τιµές

της εξαρτηµένης µεταβλητής στους εσωτερικούς κόµβους του πλέγµατος.

14

Η εξίσωση (2.4.7) ονοµάζεται εξίσωση πεπερασµένων διαφορών.

Αναδιατάσσοντας κατάλληλα τους όρους της (2.4.7), την ξαναγράφουµε

στη µορφή

1 12 2 2

22 2

i i i i ii i i i iS−P Q P P Qy R y y

h h h h h− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2, ,i N, (2.4.8) = …

Εποµένως έχουµε αλγεβρικές εξισώσεις µε αγνώστους τις

τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής . Οι τιµές και που

εµφανίζονται στην πρώτη (

1N − 1N −

2 3, , , Ny y y… 1y 1Ny +

2i = ) και τελευταία ( i N= ) εξίσωση του

συστήµατος αντίστοιχα είναι γνωστές από τις οριακές συνθήκες. Εποµένως,

οι αντίστοιχοι όροι θα πρέπει να µετακινηθούν στην δεξιά πλευρά του

συστήµατος µε αποτέλεσµα να έχουµε το σύστηµα:

2 2 2 2 22 2 3 22 2 2

22 2

P P Q P Q1R y y S

h h h h h⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− + + = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

y⎞⎟⎠

(2.4.9α)

1 12 2 2

22 2

i i i i ii i i i iS−P Q P P Qy R y y

h h h h h− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3, , 1i N, = −…

(2.4.9β)

1 12 2 2

22 2

N N N N NN N N N

P Q P P Qy R y S yh h h h h− +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

N . (2.4.9γ)

Το τρίτο (και τελευταίο) βήµα είναι η επίλυση του συστήµατος (2.4.9). Το

σύστηµα έχει τριδιαγώνια µορφή και γνωρίζουµε, ότι στη περίπτωση αυτή, η

πλέον αποτελεσµατική µέθοδος επίλυσης είναι ο αλγόριθµος Thomas.

Τονίζεται ότι η λύση του συστήµατος και ο υπολογισµός των

αγνώστων αποτελεί προσέγγιση της αναλυτικής λύσης

της αρχικής εξίσωσης (2.4.1) στα σηµεία

2 3, , , Ny y y…

2 3, , , Nx x x… . Λέµε ότι η

αριθµητική µέθοδος συγκλίνει, εφόσον καθώς ο αριθµός των κόµβων

αυξάνει και το διάστηµα , βελτιώνεται η ακρίβεια των αριθµητικών

αποτελεσµάτων σε σχέση µε τα αναλυτικά. Στο συγκεκριµένο πρόβληµα

αφού οι εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών είναι 2

1N +

0h→

ης τάξης, αναµένεται η

σύγκλιση να είναι τετραγωνική. Βέβαια αυτό δεν ισχύει γενικώς αλλά για

µικρές τιµές του διαστήµατος και ακόµα καλύτερα για . Είναι

προφανές ότι καθώς αυξάνει ο αριθµός των κόµβων αυξάνει παράλληλα ο

h 0h→

15

αριθµός των αλγεβρικών εξισώσεων του συστήµατος και βεβαίως το

υπολογιστικό κόστος (µνήµη υπολογιστή και χρόνος υπολογισµών). Η

επιλογή του κατάλληλου πλέγµατος εξαρτάται από την εκάστοτε εφαρµογή.

Είναι όµως χρήσιµο και τις περισσότερες φορές απαραίτητο να γίνονται

δοκιµές µε διαφορετικά πλέγµατα ώστε να εξετάζεται η συµπεριφορά των

αποτελεσµάτων για διαφορετικά και να επιβεβαιώνεται η σύγκλισή τους. h

Όπως βλέπουµε το σύστηµα (2.4.9) αλλά όπως θα δούµε και στη συνέχεια,

ο πίνακας των συντελεστών των αλγεβρικών συστηµάτων που προκύπτουν

µε την εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών, περιέχει πολλά

µηδενικά στοιχεία και µόνο ένας µικρός αριθµός συντελεστών, σε σχέση µε

τη τάξη του συστήµατος, είναι µη µηδενικοί. Εποµένως, πρόκειται για

αραιούς πίνακες. Επίσης η απόλυτη τιµή των διαγωνίων στοιχείων είναι

µεγαλύτερη ή ίση από το άθροισµα των απολύτων τιµών των υπολοίπων

στοιχείων κάθε γραµµής. Άρα οι επαναληπτικές µέθοδοι επίλυσης

συστηµάτων (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR) θα πρέπει να προτιµώνται αντί των

άµεσων µεθόδων (απαλοιφή Gauss, παραγοντοποίηση LU), εκτός βεβαίως

αν πρόκειται για ειδικές µορφές πινάκων όπως οι τριδιαγώνιοι ή οι

συµµετρικοί πίνακες όπου ο αλγόριθµος Thomas και η µέθοδος Cholesky

αντίστοιχα είναι οι πλέον αποτελεσµατικές µέθοδοι επίλυσης.

2.5 Οριακές συνθήκες µε παραγώγους

Αρκετά συχνά µία από τις δύο οριακές συνθήκες προσδιορίζει την τιµή της

παραγώγου της εξαρτηµένης µεταβλητής (και όχι την ίδια την µεταβλητή)

στο όριο αυτό. Στη περίπτωση αυτή οι οριακές συνθήκες της Σ∆Ε (2.4.1)

δίδονται από τις σχέσεις

Ly y= για Lx x= και Rdy ydx

= για Rx x= . (2.5.1)

Η οριακή συνθήκη στο όριο Rx x= ονοµάζεται οριακή συνθήκη τύπου

Newmann και δύναται να είναι οµογενής ή µη οµογενής. Εποµένως, τώρα

η τιµή δεν είναι γνωστή και θα πρέπει να υπολογισθεί µαζί µε τις 1Ny +

16

υπόλοιπες τιµές της . Λαµβάνοντας υπόψη ότι η τιµή είναι

άγνωστη, η εξίσωση (2.4.9γ), τροποποιείται και γράφεται στη µορφή

iy 1Ny +

1 12 2 2

22 2

N N N N NN N N N

P Q P P Qy R y yh h h h h− +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

NS− . (2.5.2)

Επίσης, θα πρέπει να διατυπωθεί µία επιπλέον εξίσωση για τον κόµβο 1Nx + ,

ώστε ο αριθµός των εξισώσεων να ισούται µε τον αριθµό των αγνώστων.

Αυτό επιτυγχάνεται µε δύο διαφορετικούς τρόπους:

Ο πρώτος τρόπος εµπλέκει µόνο την οριακή συνθήκη Newmann στο

Rx x= . Η παράγωγος στην οριακή συνθήκη προσεγγίζεται από την

ανάδροµη έκφραση πεπερασµένων διαφορών 1ης τάξης

( )1

1

N N

N

dy y y O hdx h

+

+

−= + (2.5.3)

και η οριακή συνθήκη στο όριο Rx x= αντικαθίσταται από την αλγεβρική

έκφραση

1 .N Ny y hy+− + = R

1

(2.5.4)

Η εξίσωση (2.5.4) είναι η επιπλέον εξίσωση που απαιτείται και µαζί µε τις

εξισώσεις (2.4.9α), (2.4.9.β) και (2.5.2) αποτελούν ένα σύστηµα

εξισώσεων για τους αγνώστους

NN 2 3, , , Ny y y +… . Η µεθοδολογία αυτή

είναι απλή και το σύστηµα των αγνώστων παραµένει τριδιαγώνιο. Το

µειονέκτηµα της µεθόδου είναι ότι η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών

(2.5.4) για το κόµβο 1Nx + είναι 1ης τάξης, ενώ όλες οι άλλες εξισώσεις

πεπερασµένων διαφορών για τους υπόλοιπους κόµβους είναι 2ης τάξης.

∆υστυχώς η ακρίβεια του σχήµατος µειώνεται από δεύτερη σε πρώτη τάξη,

αφού το σφάλµα στην τιµή 1Ny + θα διαδοθεί και στις άλλες τιµές . iy

Ο δεύτερος τρόπος εµπλέκει την οριακή συνθήκη Newmann και την

Σ∆Ε στο Rx x= . Η παράγωγος στην οριακή συνθήκη προσεγγίζεται από

την κεντρώα έκφραση πεπερασµένων διαφορών 2ης τάξης

( 22

1 2N N

N

dy y y O hdx h

+

+

−= + ) (2.5.5)

17

ή

2 2 .N Ny y hy+ = + R (2.5.6)

Ο όρος αντιστοιχεί στο εικονικό κόµβο 2Ny + 2Nx + (βλέπε Σχήµα 2.4).

N N-1

xN+1

N+1 N+2

xN+2xNxN-1

Σχήµα 2.4: Οριακή συνθήκη µε παράγωγο - εικονικός κόµβος πλέγµατος.

Στη συνέχεια η γενική έκφραση πεπερασµένων διαφορών (2.4.7)

εφαρµόζεται στον κόµβο 1Nx + και παίρνουµε την εξίσωση πεπερασµένων

διαφορών

1 1 1 1 11 1 22 2 2

22 2

N N N N NN N N N N

P Q P P Qy R y y Sh h h h h

+ + + + ++ + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1+ .

(2.5.7)

Συνδυάζοντας τις (2.5.6) και (2.5.7) προκύπτει, για το κόµβο 1Nx + , η

εξίσωση πεπερασµένων διαφορών 2ης τάξης

1 1 11 1 12 2 2

2 2 22

N N NN N N N R

P P Py R y S hyh h h

+ + ++ + +

⎛ ⎞ ⎛+ − = − − +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

1NQh+ ⎞⎟⎠. (2.5.8)

Τώρα το σύστηµα των εξισώσεων αποτελείται από τις εξισώσεις (2.4.9α),

(2.4.9.β), (2.5.2) και (2.5.8). Το σύστηµα είναι και πάλι τριδιαγώνιο και

επιλύεται µε τον αλγόριθµο Thomas, ενώ η ακρίβεια όλων των εξισώσεων

πεπερασµένων διαφορών και εποµένως ολόκληρου του αριθµητικού

σχήµατος είναι 2ης τάξης. Τέλος σηµειώνεται ότι οι κεντρώες εκφράσεις

πεπερασµένων διαφορών είναι η πλέον συνήθης προσέγγιση για

προβλήµατα οριακών τιµών τόσο για συνήθεις όσο και για µερικές

διαφορικές εξισώσεις.

18

Κεφάλαιο 4

Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε

πεπερασµένες διαφορές

4.1 Εισαγωγή – πρότυπες εξισώσεις

Οι πλέον συνηθισµένες ελλειπτικές εξισώσεις µε πλήθος εφαρµογών σε

πολλά επιστηµονικά και τεχνολογικά πεδία είναι οι εξισώσεις Laplace

2 0u∇ = (4.1.1)

και Poison

2u f∇ = (4.1.2)

όπου 2xx yy∇ = ∂ + ∂ + ∂ zz ο Λαπλασιανός τελεστής (σε καρτεσιανό σύστηµα

συντεταγµένων), ( ), ,u u x y z= η άγνωστη εξαρτηµένη µεταβλητή και

( ), ,f f x y z= µία γνωστή συνάρτηση. Άλλες ελλειπτικές εξισώσεις που

είναι αντιπροσωπευτικές και συναντώνται αρκετά συχνά είναι η εξίσωση

Helmholtz

2 0u ku∇ + = (4.1.3)

και η διαρµονική εξίσωση

( )4 2 2u u∇ =∇ ∇ = f . (4.1.4)

Οι ελλειπτικές εξισώσεις περιγράφουν προβλήµατα οριακών τιµών,

δηλαδή φαινόµενα ισορροπίας σε µόνιµα (όχι χρονικά µεταβαλλόµενα)

προβλήµατα όπως βαρυτικά πεδία, ηλεκτροστατικά πεδία, µόνιµη θερµική

αγωγή, ιδανική ή πλήρως ανεπτυγµένη συνεκτική ροή, ελαστικότητα,

κ.τ.λ. Οι ελλειπτικές εξισώσεις ορίζονται σε κλειστά πεδία ορισµού

µε την εξαρτηµένη µεταβλητή να ορίζεται µε οριακές συνθήκες

τύπου Dirichlet, Newmann ή µικτές (Robin) στο κλειστό όριο Ω του

πεδίου ορισµού. Όταν οι εξισώσεις και οι οριακές συνθήκες είναι

διαχωρίσιµες τότε επιλύονται µε τη απλή µέθοδο διαχωρισµού των

ℜ

1

µεταβλητών, ενώ όταν είναι µη διαχωρίσιµες επιλύονται µε αναπτύγµατα

Fourier ή µέσω της επίλυσης του σχετιζόµενου (συγγενούς) προβλήµατος

χαρακτηριστικών τιµών.

Σε πολλές περιπτώσεις η αναλυτική επίλυση των ελλειπτικών µερικών

διαφορικών εξισώσεων είναι ιδιαίτερα επίπονη ή ακόµη και αδύνατη. Στις

περιπτώσεις αυτές οι εξισώσεις επιλύονται αριθµητικά. Η πλέον

διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης είναι η µέθοδος των

πεπερασµένων διαφορών. Η µέθοδος έχει διατυπωθεί µε λεπτοµέρεια στο

2ο Κεφάλαιο, στην αριθµητική επίλυση προβληµάτων δύο οριακών τιµών,

επίσης ελλειπτικού χαρακτήρα που περιγράφονται από συνήθεις διαφορικές

εξισώσεις. Τώρα η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών επεκτείνεται και

εφαρµόζεται στην επίλυση ελλειπτικών µερικών διαφορικών εξισώσεων,

όπως οι εξισώσεις (4.1.1- 4.1.4).

Το σηµαντικό πλεονέκτηµα των υπολογιστικών µεθόδων σε σχέση µε τις

αναλυτικές εστιάζεται στο γεγονός ότι οι υπολογιστικές µέθοδοι δύνανται

να εφαρµοσθούν και να επιλύσουν µη γραµµικές διαφορικές εξισώσεις.

Αντίθετα οι αναλυτικές µέθοδοι επικεντρώνονται, µε ελάχιστες εξαιρέσεις,

στην επίλυση γραµµικών µερικών διαφορικών εξισώσεων και σε κάθε

περίπτωση η αναλυτική επίλυση µη γραµµικών εξισώσεων αποτελεί ένα

ιδιαίτερα δύσκολο πεδίο που απαιτεί εξειδικευµένες µαθηµατικές τεχνικές.

Βεβαίως στο παρόν κεφάλαιο θα επικεντρωθούµε, για εκπαιδευτικούς

λόγους, στην υπολογιστική επίλυση γραµµικών εξισώσεων. Επίσης,

έχοντας στη διάθεσή µας την αναλυτική και υπολογιστική λύση του ιδίου

προβλήµατος µπορούµε να συγκρίνουµε τα υπολογιστικά προσεγγιστικά

αποτελέσµατα µε τα αντίστοιχα αναλυτικά και να αξιολογήσουµε και να

πιστοποιήσουµε την αριθµητική µεθοδολογία. Όµως, θα πρέπει να είναι

σαφές ότι οι προτεινόµενες υπολογιστικές προσεγγίσεις µπορούν µε µικρές

τροποποιήσεις να εφαρµοσθούν και σε µη γραµµικές εξισώσεις.

2

4.2 Εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών πέντε και εννέα

σηµείων

Όπως και στη περίπτωση των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, έτσι και

τώρα η εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών περιλαµβάνει

τρία βήµατα. Το πρώτο βήµα αφορά την διακριτοποίηση του πεδίου

ορισµού του προβλήµατος και την αντικατάστασή του µε το υπολογιστικό

πλέγµα. Το δεύτερο βήµα συνδέεται µε την διακριτοποίηση της µερικής

διαφορικής εξίσωσης και των οριακών συνθηκών στους κόµβους του

πλέγµατος. Τέλος το τρίτο βήµα περιλαµβάνει την επίλυση του

αλγεβρικού συστήµατος που διαµορφώνεται από τις εξισώσεις

πεπερασµένων διαφορών.

Ας εξετάσουµε σαν παράδειγµα την πρότυπη εξίσωση Poisson

2 2

2 2 1u ux y∂ ∂

+ = −∂ ∂

(4.2.1)

στο συνεχές πεδίου ορισµού ℜ : 0 1x< < , 0 y A< < και στο όριο

του πεδίου ορισµού (βλέπε Σχήµα 4.1). Το παραπάνω πρόβληµα

αντιπροσωπεύει διάφορες απλές εφαρµογές µία εκ των οποίων είναι και η

ροή ρευστού εντός ορθογώνιου αγωγού όπου

0u =

Ω

A είναι ο λόγος των δύο

πλευρών του ορθογωνίου και ( ),u u x y= η άγνωστη ταχύτητα του

ρευστού. Όλες οι ποσότητες είναι σε αδιάστατη µορφή.

u=0

Ω

2 1u∇ = −

ℜ

y=A

y=0 x=0 x=1

Σχήµα 4.1: Πεδίο ορισµού και οριακές συνθήκες

3

Το πρώτο βήµα εφαρµογής της µεθόδου περιλαµβάνει την επιλογή του

υπολογιστικού πλέγµατος. ∆ιαιρούµε τις αποστάσεις 0 1x< < και

κατά µήκος των αξόνων 0 y A< < x και σε y I και ίσα τµήµατα

αντίστοιχα. Το µήκη των ευθυγράµµων τµηµάτων κατά µήκος των αξόνων

J

x και έχουν µήκος y 1xI

∆ = και AyJ

∆ = . Τα σηµεία που ορίζουν την

αρχή και το τέλος κάθε διαστήµατος προσδιορίζονται από τις σχέσεις

0ix x i= + ∆x I

y J

, (4.2.2) 0,1, , .i = …

και

0jy y j= + ∆ , (4.2.3) 0,1, , .j = …

Από τα σηµεία ix και φέρνουµε παραλλήλους προς τους άξονες jy x και

αντίστοιχα, µε αποτέλεσµα το συνεχές πεδίο ορισµού να αντικατασταθεί

από το υπολογιστικό πλέγµα που απαρτίζεται από

y

I J× ίσα ορθογώνια,

οι κορυφές των οποίων ονοµάζονται κόµβοι και αποτελούν τα δοµικά

στοιχεία του πλέγµατος (βλέπε Σχήµα 4.2). Ο κάθε κόµβος ( ),i j του

πλέγµατος προσδιορίζεται από το ζεύγος σηµείων ( ),i jx y , για

και . Συνολικά έχουµε

0,1, ,i I= …

0,1, ,j = … J ( ) ( )1I J 1+ × + κόµβους. Αντίστοιχα,

οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους κόµβους του πλέγµατος

ορίζονται από τις σχέσεις

( ) ( )0 0 ,, ,i j i ju x y u x i x y i y u= + ∆ + ∆ = 0,1, ,i I, , 0,1, ,j = … . (4.2.4) = … J

Οι άγνωστες τιµές θα προκύψουν από την υπολογιστική επίλυση του

προβλήµατος. Οι κόµβοι που βρίσκονται εντός του

,i ju

ℜ ονοµάζονται

εσωτερικοί κόµβοι ή για λόγους συντοµίας απλώς κόµβοι, ενώ οι κόµβοι

που βρίσκονται στο ονοµάζονται οριακοί κόµβοι. Όταν το

υπολογιστικό πλέγµα αποτελείται από µικρό αριθµό κόµβων τότε

χαρακτηρίζεται σαν αραιό πλέγµα (coarse grid), ενώ στην αντίθετη

περίπτωση, όταν δηλαδή

Ω

1x∆ << και y A∆ << , τότε χαρακτηρίζεται σαν

πυκνό πλέγµα (fine grid).

4

xi-1x2 x1 x0 y0

y1

y2

yj-1

yj

yj+1

yJ-2

yJ-1

yJ

y

.

.

. . . .

.

.

. . . .

.

.

. . . .

.

.

. . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

.

.

. .. .

.

.

. .. .

.

.

.

.

.

. .. .

.

.

. .. .

.

.

.

.

x

Ω

Κόµβος (i,j)

ℜ

xi xi+1 xI-2 xI-1 xI

. . . . . . . . .

Σχήµα 4.2: Υπολογιστικό πλέγµα και κόµβοι πλέγµατος

Το επόµενο βήµα περιλαµβάνει την διατύπωση της εξίσωσης πεπερασµένων

διαφορών σε κάθε εσωτερικό κόµβο του πλέγµατος. Προσεγγίζουµε την

µερική διαφορική εξίσωση (4.2.1) στον τυχαίο κόµβο ( ),i j του πλέγµατος

και γράφουµε

2 2

2 2, ,

1,i j i j

u ux y∂ ∂

+ =∂ ∂

− J , 0,1, ,i I= … 0,1, ,j = … . (4.2.5)

Στη συνέχεια, επιλέγουµε να προσεγγίσουµε τις δεύτερες παραγώγους µε

κεντρώες εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών 2ης τάξης, κάτι που αποτελεί

πάγια τακτική στη περίπτωση των ελλειπτικών εξισώσεων. Εποµένως η

(4.2.5) γράφεται στη διακριτοποιηµένη µορφή

1, , 1, , 1 , , 12 2

2 21i j i j i j i j i j i ju u u u u u

x y− + − +− + − +

+∆ ∆

= −

−

, (4.2.6)

για και . Η αλγεβρική εξίσωση (4.2.6)

ονοµάζεται εξίσωση πεπερασµένων διαφορών πέντε σηµείων, αφού η

κάθε µία από τις εξισώσεις αυτές εµπλέκει την ποσότητα σε πέντε

κόµβους (στον κόµβο

,1, , 1i I= … 1, , 1j J= −…

u

( ),i j και στους τέσσερις γειτονικούς ( )1,i j± και

5

( ), 1i j ± ). Η ακρίβεια του σχήµατος είναι 2ης τάξης, δηλαδή το σφάλµα

είναι . Εφαρµόζοντας την (4.2.6) σε κάθε εσωτερικό κόµβο

του πλέγµατος σχηµατίζεται ένα αλγεβρικό σύστηµα µε

2 2,O x y⎡∆ ∆⎣ ⎤⎦

( ) ( )1 1I J− × −

εξισώσεις. Ο αριθµός τω αγνώστων είναι ο ίδιος, αφού στο συγκεκριµένο

παράδειγµα οι οριακές συνθήκες είναι τύπου Dirichlet και εποµένως οι τιµές

του στους οριακούς κόµβους είναι γνωστές. Όταν οι οριακές συνθήκες

είναι τύπου Newmann ή µικτές τότε η διαδικασία της διακριτοποίησης

συνεχίζεται µε την διατύπωση εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών στους

οριακούς κόµβους του πλέγµατος (βλέπε Παράγραφο 4.5).

u

Στην ειδική περίπτωση που το υπολογιστικό πλέγµα επιλέγεται έτσι ώστε

x y h∆ = ∆ = , τότε η εξίσωση (4.2.6) γράφεται στην απλούστερη µορφή

2, 1, 1, , 1 , 14 i j i j i j i j i ju u u u u h− + − +− − − − = . (4.2.7)

Το τελευταίο βήµα της µεθόδου είναι η επίλυση του συστήµατος (4.2.6) ή

του (4.2.7) µε άµεσες ή επαναληπτικές τεχνικές και ο υπολογισµός των

για και ,i ju ,1, , 1i I= −… 1, , 1j J= −… . Μια σύντοµη ανακεφαλαίωση

των µεθόδων επίλυσης αλγεβρικών συστηµάτων γίνεται στην επόµενη

παράγραφο.

Εάν η ακρίβεια των αποτελεσµάτων είναι µείζονος σηµασίας τότε

βελτιώνουµε την ακρίβεια του αριθµητικού σχήµατος χρησιµοποιώντας

εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών µε ακρίβεια ανώτερη της 2ης τάξης.

Βεβαίως, στη περίπτωση αυτή κάθε εξίσωση ( ),i j εµπλέκει την ποσότητα

στον κεντρικό κόµβο u ( ),i j και σε περισσότερους από τέσσερις

γειτονικούς κόµβους. Τυπικό παράδειγµα είναι το σχήµα εννέα σηµείων.

Για x y h∆ = ∆ = η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών εννέα σηµείων

που προσεγγίζει την (4.2.1) γράφεται στη µορφή

( )1, 1 1, 1 1, 1 1, 1

2, 1 1, 1, , 1 ,4 2

i j i j i j i j

i j i j i j i j i j

u u u u

u u u u u− − + − − + + +

− − + +

+ + + +

+ + + − = −0 h (4.2.8)

6

Το σχήµα εννέα σηµείων είναι ακριβείας 4ης τάξης 4 4,O x y⎡ ⎤∆ ∆⎣ ⎦ . Τα

σχήµατα των πέντε και εννέα σηµείων είναι τα πλέον συνηθισµένα.

Η επέκταση της συγκεκριµένης µεθοδολογίας σε τρεις διαστάσεις µπορεί

να γίνει χωρίς δυσκολία. Βεβαίως αυξάνει ο αριθµός των κόµβων ανά

εξίσωση. Οι εκφράσεις των πέντε και εννέα σηµείων ανάγονται σε

εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών επτά και είκοσι επτά σηµείων

αντίστοιχα. Σηµειώνεται τέλος, ότι ακολουθώντας µε συνέπεια τους

κανόνες και τις διαδικασίες που θεσπίσαµε στην επίλυση της εξίσωσης

Poisson (4.2.1), µπορούµε να επιλύσουµε µε τη µέθοδο των πεπερασµένων

διαφορών έναν µεγάλο αριθµό ελλειπτικών εξισώσεων.

4.3 Επίλυση συστηµάτων

Η υπολογιστική επίλυση ενός προβλήµατος µε τη µέθοδο των

πεπερασµένων διαφορών, αλλά και άλλων υπολογιστικών µεθόδων όπως οι

µέθοδοι των πεπερασµένων όγκων, των πεπερασµένων στοιχείων, των

φασµατικών µεθόδων, κ.τ.λ., καταλήγουν στην αντικατάσταση της ή των

µερικών διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν το πρόβληµα µε ένα

σύστηµα αλγεβρικών εξισώσεων. Η επίλύση του αλγεβρικού συστήµατος

αποτελεί το τελευταίο βήµα της υπολογιστικής µεθοδολογίας. Επίσης,

επειδή τις τελευταίες δεκαετίες µας ενδιαφέρει η επίλυση σύνθετων

προβληµάτων σε δύο ή τρεις διαστάσεις, αποτελεί σύνηθες φαινόµενο η

τάξη του προκύπτοντος συστήµατος να είναι ή , δηλαδή το

σύστηµα να αποτελείται από εκατοντάδες χιλιάδες ή εκατοµµύρια

εξισώσεις.

510 610

Το σύστηµα (4.27) λόγω της απλής δοµής του αποτελεί ένα από τα

πρότυπα συστήµατα στη συστηµατική µελέτη και σύγκριση αριθµητικών

µεθόδων επίλυσης γραµµικών συστηµάτων. Οι νέες αριθµητικές τεχνικές

που προκύπτουν θα πρέπει να επιλύουν, σε σχέση µε τις υπάρχουσες

τεχνικές, αλγεβρικά συστήµατα όπως το (4.2.7) σε ακόµα µικρότερο

7

χρόνο µε ακόµα µικρότερες ανάγκες µνήµης. Τα συστήµατα που

προκύπτουν µε την εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών

έχουν, τα εξής δύο χαρακτηριστικά:

1. οι πίνακες των συντελεστών είναι αραιοί πίνακες. ∆ηλαδή, τα στοιχεία

του πίνακα στη µεγάλη πλειοψηφία τους είναι µηδενικά. Για

παράδειγµα, σε κάθε εξίσωση του στο σύστηµα (4.2.6) έχουµε µόνο

πέντε µη µηδενικά στοιχεία. Καθώς ο αριθµός των κόµβων αυξάνει ο

πίνακας των συντελεστών γίνεται όλο και περισσότερο αραιός.

2. Η απόλυτη τιµή του διαγωνίου στοιχείου κάθε σειράς του πίνακα είναι

µεγαλύτερη ή ίση µε το άθροισµα των απόλυτων τιµών υπολοίπων

στοιχείων της ίδιας σειράς, δηλαδή

1

N

ij iijj i

a a=≠

≤∑ (4.3.1) 1,2, ,i = … N

όπου η καθαρή ανισότητα ισχύει για τους κόµβους που συνορεύουν µε

οριακούς κόµβους, στη περίπτωση των οριακών συνθηκών Divichlet ή

για τους οριακούς κόµβους στις περιπτώσεις των οριακών συνθηκών

Newmamm και µικτών. Πρόκειται λοιπόν για πίνακες µε διαγώνια

κυρίαρχα στοιχεία.

Οι αριθµητικές τεχνικές επίλυσης αλγεβρικών συστηµάτων που

προκύπτουν από την εφαρµογή των µεθόδων των πεπερασµένων

διαφορών πρέπει να λαµβάνουν υπόψη τα δύο παραπάνω χαρακτηριστικά

αλλά και άλλα συµπληρωµατικά στοιχεία των συγκεκριµένων συστηµάτων

(τριδιαγώνιοι πίνακες, συµµετρικοί πίνακες, θετικά ορισµένοι πίνακες

κ.τ.λ.). Εποµένως η υπολογιστικά αποτελεσµατική επίλυση αυτών των

συστηµάτων κάθε άλλο παρά τετριµµένη µπορεί να θεωρείται και αποτελεί

ανοικτό πεδίο έρευνας από τα µέσα του προηγούµενου αιώνα (1950) µέχρι

και σήµερα.

Η επίλυση γραµµικών αλγεβρικών συστηµάτων µε συµβατικές τεχνικές έχει

εξετασθεί ενδελεχώς στο αντίστοιχο κεφάλαιο του µαθήµατος «Αριθµητική

Ανάλυση» του 3ου εξαµήνου. Θα γίνει µια σύντοµη αναφορά στις τεχνικές

8

που έχουν µελετηθεί, ενώ στην επόµενη παράγραφο θα εξετασθεί η νέα

επαναληπτική µέθοδος ADI.

Οι αριθµητικές µέθοδοι επίλυσης συστηµάτων διαχωρίζονται σε δύο

µεγάλες κατηγορίες: α) στις άµεσες και β) στις επαναληπτικές. Γενικά, οι

άµεσες µέθοδοι απαιτούν αριθµό πράξεων της τάξης , ενώ οι

επαναληπτικές µέθοδοι απαιτούν αριθµό πράξεων της τάξης ανά

επανάληψη, όπου ο αριθµός των εξισώσεων του συστήµατος.

Εποµένως, µια επαναληπτική µέθοδος για να θεωρηθεί υπολογιστικά

ελκυστική θα πρέπει να συγκλίνει σε λιγότερες από

επαναλήψεις.

3N2N

N

N

Στις άµεσες µεθόδους συµπεριλαµβάνονται, µεταξύ άλλων οι παρακάτω:

Απαλοιφή Gauss

Η απαλοιφή Gauss αποτελεί την πλέον διαδεδοµένη και κλασσική

µεθοδολογία άµεσης επίλυσης αλγεβρικών συστηµάτων. Ο αναγκαίος

αριθµός πράξεων είναι ιδιαίτερα µεγάλος και σε πολλές περιπτώσεις η

χρήση της απαλοιφής Gauss σε τυπικούς προσωπικούς υπολογιστές γίνεται

ιδιαίτερα δυσχερής. Τονίζεται επίσης ότι η απαλοιφή Gauss πρέπει να

γίνεται µε οδήγηση. ∆ιαφορετικά, ο αλγόριθµος είναι ασταθής και σε

περιπτώσεις αριθµητικά ιδιόµορφων συστηµάτων οδηγεί σε λάθος

αποτελέσµατα.

Απαλοιφή Gauss-Jordan

Πρόκειται για µια απλή επέκταση της απαλοιφής Gauss µε τα ίδια ακριβώς

χαρακτηριστικά (αριθµός πράξεων, πλεονεκτήµατα µειονεκτήµατα, κ.τ.λ.).

Αλγόριθµος Thomas

Ο αλγόριθµος Thomas εφαρµόζεται µόνο σε τριδιαγώνια συστήµατα και

στην περίπτωση αυτή αποτελεί την πλέον αποτελεσµατική µεθοδολογία

επίλυσης.

9

Παραγοντοποιήσεις LU και LDU

Ο πίνακας συντελεστών A γράφεται σαν γινόµενου ενός κάτω τριγωνικού

πίνακα L και ενός άνω τριγωνικού πίνακα U µε µονάδες στη διαγώνιο. Τα

άγνωστα στοιχεία των πινάκων L και υπολογίζονται µέσω αναγωγικών

σχέσεων που βασίζονται στη βασική σχέση

UA LU= . Αφού βρεθούν οι

πίνακες L και το σύστηµα επιλύεται µε τη χρήση ενός ενδιαµέσου

άγνωστου διανύσµατος ως εξής:

Uy Ax b LUx b Ly b= ⇒ = ⇒ = , όπου

. Πρώτα επιλύουµε για το ενδιάµεσο διάνυσµα και στη συνέχεια

για το

Ux y= y

x . Με µικρή τροποποίηση της παραγοντοποίησης LU προκύπτει η

παραγοντοποίηση LDU ( A LDU= ). Τα τυπικά χαρακτηριστικά των

παραγοντοποιήσεων LU και LDU παραµένουν όπως και στην απαλοιφή

Gauss.

Αλγόριθµος Cholesky

Στη περίπτωση που ο πίνακας A είναι συµµετρικός προκύπτει,

εφαρµόζοντας την παραγοντοποίηση LU , ότι ο πίνακας . Η

ιδιότητα αυτή είναι ιδιαίτερα σηµαντική και µειώνει δραστικά τον αναγκαίο

αριθµό πράξεων. Η µεθοδολογία είναι γνωστή σαν αλγόριθµος Cholesky

και αποτελεί µία από τις πλέον αποτελεσµατικές µεθόδους επίλυσης

συστηµάτων µε συµµετρικούς πίνακες συντελεστών.

TU L=

Σχετικά µε τις άµεσες µεθόδους σηµειώνεται ότι, µε εξαίρεση τους

αλγόριθµους Thomas και Cholesky, οι υπόλοιπες τεχνικές, τουλάχιστον

στην κλασσική τους µορφή, δεν εκµεταλλεύονται την ειδική δοµή των

αλγεβρικών συστηµάτων και θα πρέπει να χρησιµοποιούνται µε φειδώ,

µόνο για πιλοτικούς σκοπούς ή στη περίπτωση µικρών συστηµάτων

( ). Τα τελευταία χρόνια έχουν αναπτυχθεί βελτιωµένες και

εξειδικευµένες άµεσες µέθοδοι όπως ο γρήγορος µετασχηµατισµός Fourier

(Fast Fourier Transform, FFT). Όταν οι πίνακες συντελεστών είναι

αριθµητικά ιδιόµορφοι η προτεινόµενη τεχνική είναι η µέθοδος διάσπασης

(αποκλεισµού) των ιδιόµορφων τιµών (Singular Value Decomposition,

SVD).

210N <

10

Περνούµε τώρα στη δεύτερη κατηγορία µεθόδων επίλυσης, αυτή των

επαναληπτικών τεχνικών. Στην επίλυση µεγάλων συστηµάτων οι

επαναληπτικές µέθοδοι εφόσον διατυπωθούν σωστά φαίνεται να έχουν

περισσότερες δυνατότητες από τις άµεσες µεθόδους. Η υπεροχή τους

οφείλεται στο γεγονός ότι οι περισσότερες επαναληπτικές µέθοδοι

αξιοποιούν τα δύο βασικά χαρακτηριστικά των συστηµάτων που

προκύπτουν από την µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών (αραιοί και

διαγώνια κυρίαρχοι πίνακες). Οι περισσότερες επαναληπτικές τεχνικές

βασίζονται στην διατύπωση αναγωγικών τύπων επαναληπτικού χαρακτήρα.

Έστω το σύστηµα Ax b= . Προσθέτοντας και στις δύο πλευρές του

συστήµατος το διάνυσµα Qx έχουµε

( )( ) ( )1 1 1 1

Ax b Ax Qx Qx b Qx Q A x b

x Q Q A x Q b I Q A x Q b− − − −

= ⇒ + = + ⇒ = − + ⇒

= − + = − +

που γράφεται στην γενική επαναληπτική µορφή

( ) ( )1n nx Gx k+ = + (4.3.2)

όπου είναι ο αριθµός επανάληψης, είναι ο πίνακας

επανάληψης, και τα διανύσµατα

n 1G I Q A−= −

1k Q b−= ( )nx και ( )1nx + δηλώνουν τις

τιµές του αγνώστου διανύσµατος µετά από και n 1n + επαναλήψεις

αντίστοιχα. Αφού κάνουµε µια αρχική εκτίµηση ( )0x εφαρµόζουµε τον

επαναληπτικό αλγόριθµο (4.3.2). Η επαναληπτική διαδικασία

ολοκληρώνεται όταν όλες οι τιµές του x έχουν συγκλίνει στην επιθυµητή

ακρίβεια, δηλαδή όταν ικανοποιούν το κριτήριο τερµατισµού

( ) ( )

( )

1

max1

n ni i

ni

x xx

ε+

+

−< , (4.3.3α)

όπου maxε το µέγιστο επιτρεπτό σχετικό σφάλµα. Πολλές φορές

χρησιµοποιούµε εναλλακτικά κριτήρια τερµατισµού όπως το µέγιστο

απόλυτο σφάλµα

( ) ( )1max

n ni ix x ε+ − < (4.3.3β)

ή την Ευκλείδεια νόρµα

11

( ) ( )( )21max

1

Nn n

i ii

x x ε+

=

− <∑ . (4.3.3γ)

Ο πίνακας επανάληψης είναι µείζονος σηµασίας σε σχέση µε τη

γρήγορη ή αργή σύγκλιση ή απόκλιση του επαναληπτικού

αλγορίθµου. Εάν ορίσουµε το διάνυσµα του σφάλµατος

G

( )nε µετά από

επαναλήψεις σαν την διαφορά ανάµεσα στην αριθµητική λύση

n( )nx και την

αναλυτική λύση x , δηλαδή

( ) ( )n nx xε = − , (4.3.4)

εύκολα προκύπτει ότι

( ) ( ) ( ) ( )1 22n n n nG G G 0ε ε ε− −= = = =… ε . (4.3.5)

Παίρνοντας µία οποιαδήποτε νόρµα β της (4.3.4) µπορούµε να

εκτιµήσουµε την διάδοση του αρχικού σφάλµατος µετά από

επαναλήψεις:

n

( ) ( ) ( )0 nn nG Gβ

0

βε ε ε= < . (4.3.6)

Εποµένως η διάδοση του σφάλµατος εξαρτάται άµεσα από την νόρµα του

πίνακα επανάληψης . Αποδεικνύεται ότι G 1Gβ< όταν ( ) 1Gρ < , όπου

( )Gρ η φασµατική ακτίνα του πίνακα επανάληψης . Εποµένως, η

επαναληπτική µέθοδος θα συγκλίνει µόνο όταν

G

( ) 1Gρ < και

βεβαίως όσο µικρότερη είναι η φασµατική ακτίνα τόσο

γρηγορότερη θα είναι η σύγκλιση της επαναληπτικής διαδικασίας.

Αντίθετα όταν ( ) 1Gρ > η επαναληπτική διαδικασία θα αποκλίνει. Η

επιλογή λοιπόν του πίνακα G (ή του ) είναι καθοριστικής σηµασίας και η

κάθε επαναληπτική µέθοδος ορίζεται ανάλογα µε την µορφή του πίνακα G

στον γενικό επαναληπτικό αλγόριθµο (4.3.2).

Q

Ακολουθεί µία σύντοµη ανασκόπηση των τεσσάρων πλέον διαδεδοµένων

επαναληπτικών αλγορίθµων. Καταρχήν ο πίνακας συντελεστών A του

συστήµατος Ax b= διασπάται σε τρεις πίνακες A D L U= + + , όπου , DL και είναι ένας διαγώνιος, ένας κάτω τριγωνικός και ένας άνω U

12

τριγωνικός πίνακας και ο κάθε ένας από αυτούς περιλαµβάνει τα αντίστοιχα

στοιχεία του πίνακα A . Στη συνέχεια οι επαναληπτικές τεχνικές Jacobi

(J), Gauss Seidel (GS), Successive Over Relaxation (SOR) και

Symmetric Successive Over Relaxation (SSOR) διατυπώνονται ως

εξής:

Jacobi

( ) ( ) ( )1 1 1n nx D L U x D+ − −= − − + b

ή

( ) ( )1

1

1 Nn n

i i ijjiij i

jx b a xa

+

=≠

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

Gauss Seidel

( ) ( ) ( ) ( )1 11n nx D L Ux D L b− −+ = + + +

ή

( ) ( ) ( )1

1 1

1 1

1 i Nn n

i i ij j ijj j iii

njx b a x a x

a

−+ +

= = +

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

Successive Over Relaxation (SOR)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1n nx D L U D x D Lω ω ω ω ω− −+ = + − + − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ b

ή

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

1 1

1 1i N

n n ni i ij j ij j

j j iii

nix b a x a x x

aω ω

−+ +

= = +

⎛ ⎞= − − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

Symmetric Successive Over Relaxation (SSOR)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11/ 2 1n nx D L U D x D Lω ω ω ω ω− −+ = + − + − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ b

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1/ 21n nx D U L D x D Uω ω ω ω ω− −+ == + − + − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ b

ή

13

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1/ 2 1/ 2

1 1

1 1i N

n n ni i ij j ij j

j j iii

nix b a x a x x

aω ω

−+ +

= = +

⎛ ⎞= − − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1/ 2 1 1/ 2

1 1

1 1i N

n n ni i ij j ij j

j j iii

x b a x a x xaω ω

−+ + +

= = +

⎛ ⎞= − − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ n

i+

Κλείνοντας την σύντοµη αναδροµή σε τεχνικές επίλυσης συστηµάτων θα

πρέπει να αναφέρουµε και τη µέθοδο Newton που αποτελεί τον πλέον

διαδεδοµένο αλγόριθµο επίλυσης µη γραµµικών συστηµάτων. Η

αριθµητική επίλυση µη γραµµικών διαφορικών εξισώσεων οδηγεί

στην διατύπωση µη γραµµικών εξισώσεων πεπερασµένων

διαφορών. Τότε, τα προκύπτοντα µη γραµµικά αλγεβρικά συστήµατα

επιλύονται συνήθως µε τη µέθοδο Newton ή µε παραλλαγές της µεθόδου.

Η µέθοδος Newton έχει αναπτυχθεί λεπτοµερώς στο µάθηµα της

Αριθµητικής Ανάλυσης του 3ου εξαµήνου.

Οι παραπάνω επαναληπτικές µέθοδοι σε συνδυασµό µε την µέθοδο ADI,

που θα εξετάσουµε στην επόµενη παράγραφο καλύπτουν πλήρως τις

ανάγκες επίλυσης συστηµάτων στο πλαίσιο του µαθήµατος. Όταν όµως η

πολυπλοκότητα του προβλήµατος αυξάνει είναι αναγκαίο να ανατρέξουµε

σε πιο εξειδικευµένες και αναβαθµισµένες τεχνικές όπως οι µέθοδοι

Conjugate Gradient (CG) και Ελαχιστοποίησης Υπολοίπων (Minimal

Residual, MINRES και Generalized Minimal Residual, GMRES). Τέλος,

σηµειώνεται ότι οι κλασσικές όπως και οι πιο εξειδικευµένες µέθοδοι

επανάληψης αποκτούν νέα δυναµική όταν συνδυασθούν µε µεθόδους

πολλαπλών πλεγµάτων (Multigrid Methods).

4.4 Μέθοδος ADI

Το ακρώνυµο ADI προέρχεται από τα αρχικά της πλήρους ονοµασίας της

µεθόδου που είναι «Alternative Direction Implicit». Η µέθοδος

εφαρµόζεται στην επίλυση συστηµάτων που προκύπτούν κατά την

αριθµητική επίλυση δισδιάστατων και τρισδιάστατων µερικών διαφορικών

14

εξισώσεων. Όταν η διαφορική εξίσωση είναι µονοδιάστατη τότε το

προκύπτον σύστηµα έχει τριδιαγώνια µορφή και ο άµεσος αλγόριθµος

Thomas έχει αποδειχθεί ιδιαίτερα αποτελεσµατικός στην επίλυση

τριδιαγωνίων συστηµάτων. Αντίθετα, όταν η διαφορική εξίσωση είναι

σε δύο ή τρεις διαστάσεις οι απλούστερες εξισώσεις πεπερασµένων

διαφορών έχουν πέντε και επτά µη µηδενικά στοιχεία αντίστοιχα.

Εποµένως η εφαρµογή του αλγόριθµου Thomas δεν είναι εφικτή. Σε µια

προσπάθεια κάλυψης αυτού του κενού στη δεκαετία του 1950 προτάθηκε

µια οικογένεια επαναληπτικών µεθόδων, όπου η κάθε επανάληψη, σε

προβλήµατα δύο διαστάσεων, περιλαµβάνει δύο διαδοχικά βήµατα. Η

µέθοδος έχει κοινά χαρακτηριστικά µε την µέθοδο SSOR που επίσης

περιλαµβάνει δύο διακριτά βήµατα ανά επανάληψη.

Έστω ότι ζητείται η επίλυση του συστήµατος (4.2.7) που γράφεται τώρα

στην µορφή

21, , 1, , 1 , , 12 2i j i j i j i j i j i ju u u u u u+ − − +− + − − + − = h . (4.4.1)

Η κεντρική ιδέα είναι η διάσπαση του πίνακα συντελεστών Α σε δύο

πίνακες, δηλαδή

A H V= + , (4.4.2)

όπου οι πίνακες H και V περιλαµβάνουν τους όρους που προκύπτουν από

τις εκφράσεις των κεντρώων πεπερασµένων διαφορών στην x (οριζόντια)

και στην (κάθετη) κατεύθυνση αντίστοιχα. Το σύστηµα (4.4.1)

διασπάται σε δύο τριδιαγώνια συστήµατα

y

21, , 1, , 1 , , 12 2i j i j i j i j i j i ju u u u u u− + − +− + − = − + + h

h

(4.4.3)

και

2, 1 , , 1 1, , 1,2 2i j i j i j i j i j i ju u u u u u− + − +− + − = − + + (4.4.4)

Και στη συνέχεια η µέθοδος ADI ορίζεται από τον επαναληπτικό

αλγόριθµο:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1/ 2 1/ 2 1/ 2 21, 1 , 1, , 1 1 , , 12 2n n n n n n n n

i j i j i j i j i j i ju u u u u uρ ρ+ + +− + −− + + − = − − + + h+

(4.4.5)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 2, 1 2 , , 1 1, 2 , 1,2 2n n n n n n n n

i j i j i j i j i j i ju u u u u uρ ρ+ + + + + +− + −− + + − = − − + + h+

(4.4.6)

15

Ο δείκτης συµβολίζει τον αριθµό επανάληψης και οι παράµετροι n ( )1

nρ και

( )2

nρ είναι σταθερές χαλάρωσης που βελτιστοποιούν την επαναληπτική

διαδικασία. Παρατηρούµε ότι η πρώτη εξίσωση είναι πεπλεγµένη µόνο στην

κατεύθυνση x και η δεύτερη είναι πεπλεγµένη µόνο στην κατεύθυνση .

Σε κάθε επανάληψη λύνονται δύο τριδιαγώνια συστήµατα και οι τιµές

y( 1),n

i ju +

υπολογίζονται µε βάση τις τιµές διαµέσου των τιµών . Οι

παράµετροι

( ),n

i ju ( 1/ 2),n

i ju +

( )1

nρ και ( )2

nρ προκύπτουν από τις ιδιοτιµές των H και V . Εάν

οι πίνακες H και V είναι συµµετρικοί και ο πίνακας A είναι θετικά

ορισµένος τότε αποδεικνύεται ότι η µέθοδος ΑDΙ πάντα συγκλίνει.

Στην απλούστερη περίπτωση ορίζουµε ( ) ( )1 2

n nρ ρ ρ= = . Ο υπολογισµός των

βέλτιστων παραµέτρων ρ αποτελεί εξειδικευµένο πρόβληµα που δε θα µας

απασχολήσει στο πλαίσιο του µαθήµατος. Βλέπουµε λοιπόν ότι ο

επαναληπτικός αλγόριθµος ADI σε κάθε επανάληψη προϋποθέτει

την επίλυση δύο τριδιαγωνίων συστηµάτων που επιτυγχάνεται µε

την εφαρµογή του αλγόριθµου Thomas.

Γενικεύοντας την µέθοδο ADI σε ελλειπτικές διαφορικές εξισώσεις µε

συντελεστές που είναι συναρτήσεις των χωρικών ανεξάρτητων µεταβλητών

εξετάζουµε την εξίσωση

( ,u uk k fx x y y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠)x y

1n

. (4.4.7)

Ο αλγόριθµος ADI γράφεται στη µορφή

( ) ( ) ( ) ( )1/ 21

n n nH I x b V I xρ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ρ

1/ 2+

(4.4.8)

( ) ( ) ( ) ( )12 2

n n n nV I x b H I xρ ρ+⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4.4.8)

όπου

H kx x∂ ∂⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

και

16

V ky y⎛ ⎞∂ ∂

= − ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠.

Έχει αποδειχθεί ότι η εφαρµογή της µεθόδου ADI στην επίλυση

συστηµάτων είναι ιδιαίτερα αποτελεσµατική.

Τέλος, ο αλγόριθµος ADI εφαρµόζεται εξίσου αποτελεσµατικά και στη

περίπτωση των µερικών διαφορικών εξισώσεων σε τρεις διαστάσεις. Στην

περίπτωση αυτή ο πίνακας A διασπάται σε τρεις πίνακες που ο καθένας

από αυτούς περιλαµβάνουν τους όρους που προκύπτουν από τις εκφράσεις

των κεντρώων πεπερασµένων διαφορών στις κατευθύνσεις x , και

αντίστοιχα. Η επαναληπτική διαδικασία τώρα περιλαµβάνει τρία

διαδοχικά βήµατα ανά επανάληψη και σε κάθε επανάληψη

επιλύονται τρία τριδιαγώνια συστήµατα.

y z

4.5 Οριακές συνθήκες µικτού τύπου και ακανόνιστα όρια

Οι οριακές συνθήκες που συνοδεύουν τις µερικές διαφορικές εξισώσεις

είναι τύπου Dirichlet ή τύπου Neumann ή µικτού τύπου. Όταν οι οριακές

συνθήκες είναι τύπου Dirichlet τότε οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής

στα όρια είναι γνωστές και η επίλυση του προβλήµατος γίνεται µόνο για

τους εσωτερικούς κόµβους. Όταν όµως είναι τύπου Neumann ή µικτού

τύπου τότε οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στα όρια είναι άγνωστες

και αποτελούν πλέον τµήµα της υπολογιστικής λύσης. Στις περιπτώσεις

αυτές είναι αναγκαίο, εφαρµόζοντας εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών,

οι αναλυτικές οριακές συνθήκες να αντικατασταθούν µε εξισώσεις

πεπερασµένων διαφορών που λύνονται µαζί µε τις υπόλοιπες εξισώσεις.

Πρόκειται για µια διαδικασία που ανάλογα µε το πρόβληµα και την

ζητούµενη ακρίβεια, απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή ώστε να µην αλλοιώνεται η

ακρίβεια όλου του αριθµητικού σχήµατος.

17

Έστω ότι ζητείται η λύση της εξίσωσης Laplace, 2 0u∇ = , στο πεδίο

ορισµού 0 , 1x y≤ ≤ µε οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet στα όρια ,

και

0y =

1y = 1x = , ενώ στο όριο 0x = η οριακή συνθήκη είναι µικτού τύπου

u ux

α β∂− + =∂

(4.5.1)

όπου οι ποσότητες α και β είναι γνωστές. Υπάρχουν δύο βασικές

µεθοδολογίες διατύπωσης εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών στα όρια

του προβλήµατος ώστε ο τελικός αριθµός των αγνώστων να ισούται µε τον

αριθµό των αλγεβρικών εξισώσεων. Η διακριτοποίηση στο όριο 0x =

φαίνεται στο Σχήµα 4.3.

j+1

j

j-1

x=0 (i=0)

x=∆x (i=1)

x=2∆x(i=2)

Σχήµα 4.3: ∆ιακριτοποίηση στο όριο 0x = .

Η απλούστερη µεθοδολογία είναι η αντικατάσταση της οριακής συνθήκης

µε µια εξίσωση πεπερασµένων διαφορών. Για παράδειγµα αντικαθιστώντας

τον πρώτο όρο της εξίσωσης (4.5.1) µε µια πρόδροµη έκφραση

πεπερασµένων διαφορών 1ης τάξης προκύπτει για τον τυχαίο οριακό κόµβο

η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (0, j )

( ) [ ]1, 0, 0,j j ju u xu x O xα β− − + ∆ = ∆ + ∆ . (4.5.2)

Εναλλακτικά, προσεγγίζοντας τη πρώτη παράγωγο µε µια πρόδροµη

έκφραση πεπερασµένων διαφορών 2ης τάξης βρίσκουµε

( ) 22, 1, 0, 0,4 3 2 2j j j ju u u xu x O xα β ⎡ ⎤− − + − + ∆ = ∆ + ∆⎣ ⎦ . (4.5.3)

18

Η (4.5.2) ή εναλλακτικά η (4.5.3) επιλύονται µαζί µε τις εξισώσεις των

εσωτερικών κόµβων. Παρατηρούµε ότι η (4.5.2) έχει ακρίβεια 1ης τάξης και

εποµένως αλλοιώνεται η συνολική ακρίβεια του αριθµητικού σχήµατος που

συνήθως είναι 2ης τάξης, ενώ αντίθετα η (4.5.3) έχει ακρίβεια 2ης τάξης και

είναι συµβατή ως προς την ακρίβεια µε τις εξισώσεις πεπερασµένων

διαφορών για τους εσωτερικούς κόµβους.

Μια δεύτερη βελτιωµένη µεθοδολογία είναι αυτή που βασίζεται όχι µόνο

στην οριακή συνθήκη αλλά και στη διαφορική εξίσωση. Με τον τρόπο αυτό

εξασφαλίζεται η συµβατότητα των εξισώσεων πεπερασµένων

διαφορών µεταξύ εσωτερικών και οριακών κόµβων όχι µόνο ως

προς την ακρίβεια αλλά και ως προς την δοµή των εξισώσεων.

Χρησιµοποιώντας το ανάπτυγµα Taylor

2 23

1, 0, 0, 20,2j j j

j

u x uu u x O xx x∂ ∆ ∂ ⎡ ⎤= + ∆ + + ∆⎣ ⎦∂ ∂

(4.5.4)

βρίσκουµε ότι

[2

1, 0,22 0,

2j j

j

u uu u x O xx x x∂ ∂⎡ ⎤= − − ∆ +⎢ ⎥∂ ∆ ∂⎣ ⎦

]∆ . (4.5.5)

Αντικαθιστώντας στην (4.5.5) την πρώτη παράγωγο από την οριακή

συνθήκη (4.5.1) προκύπτει ότι

( ) [2

1, 0,22

2 1j ju u x u b x O

x xα∂ ⎡= − ∆ + + ∆ +⎣∂ ∆

]x⎤ ∆⎦ . (4.5.6)

Στη συνέχεια προσεγγίζουµε την εξίσωση Laplace µε εκφράσεις

πεπερασµένων διαφορών στους οριακούς κόµβους ( )0, j , . Η

δεύτερη παράγωγος

1, , 1j J= −…2xxu∂ αντικαθίσταται µε την (4.5.6) και προκύπτει η

εξίσωση πεπερασµένων διαφορών

( ) 0, 1 0, 0, 11, 0,2 2

22 1 0j j jj j

u u uu x u b x

x yα + −− +

⎡ ⎤− ∆ + + ∆ + =⎣ ⎦∆ ∆, . 1, , 1j J= −…

(4.5.7)

Η χρήση της εξίσωσης (4.5.7) θα οδηγήσει σε καλύτερα αποτελέσµατα σε

σχέση µε την εξίσωση (4.5.2) αλλά η ακρίβεια παραµένει 1ης τάξης. Εάν

συµπεριλάβουµε στο ανάπτυγµα (4.5.4) όρους 3ης τάξης τότε η ακρίβεια

19

των εκφράσεων πεπερασµένων διαφορών για τη δεύτερη παράγωγο θα

είναι 2ης τάξης και συµβατή µε την ακρίβεια του αριθµητικού σχήµατος.

Στην ειδική περίπτωση της οµογενούς οριακής συνθήκης Neumann

( 0α β= = ) η εξίσωση (4.5.7) και εποµένως, όλο το αριθµητικό σχήµα

είναι ακρίβειας 2ης τάξης (βλέπε Παράγραφο 2.5). Από τα παραπάνω

παραδείγµατα φαίνεται ότι η διατύπωση εξισώσεων πεπερασµένων

διαφορών στα όρια του προβλήµατος είναι µια διαδικασία σύνθετη και

επίπονη αλλά τελείως απαραίτητη ώστε να εξασφαλίζεται η αξιοπιστία του

αριθµητικού σχήµατος.

Στο σηµείο αυτό θα αναφερθούµε συνοπτικά στη περίπτωση των µη

κανονικών ορίων. Όταν η γεωµετρία του προβλήµατος είναι απλή τότε

είναι σχετικά απλό να επιλέξουµε το υπολογιστικό πλέγµα µε τρόπο ώστε οι

οριακοί κόµβοι του πλέγµατος να ευρίσκονται πάνω στο φυσικό όριο του

προβλήµατος. Όµως πολλές φορές αυτό δεν είναι εφικτό όπως όταν

έχουµε καµπυλόγραµµα φυσικά όρια και χρησιµοποιούµε ορθογώνια

πλέγµατα. Στην περίπτωση αυτή αναφερόµεθα στα όρια του προβλήµατος

σαν µη κανονικά όρια. Το αντικείµενο της ορθολογικής προσαρµογής του

πλέγµατος στα φυσικά όρια του προβλήµατος αποτελεί σύγχρονο πεδίο

έρευνας που αντιµετωπίζεται µε την εφαρµογή σύνθετων µαθηµατικών και

υπολογιστικών εργαλείων. Στη παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουµε µία

πολύ απλή µεθοδολογία που µπορεί να καλύψει µερικώς το συγκεκριµένο

πρόβληµα.

Έστω ότι ζητείται η υπολογιστική λύση της εξίσωσης Laplace σε ένα χωρίο

που περικλείεται από ένα καµπυλόγραµµο όριο ℜ Ω µε οριακές συνθήκες

Dirichlet. Το υπολογιστικό πλέγµα είναι ορθογώνιο. Τµήµα του

καµπυλόγραµµου ορίου και του υπολογιστικού πλέγµατος φαίνονται στο

Σχήµα 4.4., όπου επίσης ορίζονται και τα σηµεία τοµής του ορίου µε το

υπολογιστικό πλέγµα. Παρατηρούµε ότι πάνω στο φυσικό όριο του

προβλήµατος δεν έχουµε κόµβους. Στην συγκεκριµένη περίπτωση αυτό δεν

αποτελεί ιδιαίτερο πρόβληµα αφού οι οριακές συνθήκες είναι τύπου

Dirichlet. Όµως, παρατηρούµε επίσης ότι υπάρχουν εσωτερικοί κόµβοι,

Ω

20

όπως ο κόµβος 1 που δεν ισαπέχει από τα γειτονικά του σηµεία. Η

διατύπωση των εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών για κόµβους όπως ο

κόµβος 1 θα γίνει µε µία µεθοδολογία ελαφρώς τροποποιηµένη σε σχέση

µε την γενικευµένη µεθοδολογία για τους υπόλοιπους εσωτερικούς

κόµβους.

bh

A

.2

h

.B

.. h

3 .

1

ah

Σχήµα 4.4: Καµπυλόγραµµο όριο και ορθογώνιο υπολογιστικό πλέγµα

Θεωρούµε x y h∆ = ∆ = και ορίζουµε τις αποστάσεις ανάµεσα στον κόµβο 1

και στους κόµβους Α και Β µε hα και hβ αντίστοιχα, όπου , 1α β < .

Εφαρµόζοντας αναπτύγµατα Taylor και διατηρώντας όρους µέχρι και 2ης

τάξης έχουµε ότι

( )23

1 2!A y yy

hu u hu u O h

αα ⎡ ⎤= + + + ⎣ ⎦ (4.5.8α)

( )23

3 1 2!y yy

hu u hu u O h⎡ ⎤= − + + ⎣ ⎦ (4.5.8β)

( )23

1 2!B x xx

hu u hu u O h

ββ ⎡ ⎤= + + + ⎣ ⎦ (4.5.8γ)

και

( )23

3 1 2!x xx

hu u hu u O h⎡ ⎤= − + + ⎣ ⎦ . (4.5.8δ)

Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (4.5.8) καταλήγουµε στην εξής προσέγγιση της

εξίσωσης Laplace στον κόµβο 1:

21

( ) ( )( ) [ ]

2 212 3

2 2 21 1

21 1 1 1

A B uu u u u u u O hx y h

α ββ α α α β β αβ⎡ ⎤+∂ ∂

+ = + + + − +⎢ ⎥∂ ∂ + + + +⎣ ⎦ (4.5.9)

Στη συνέχεια η διαδικασία επαναλαµβάνεται για όλους τους κόµβους του

πλέγµατος που είναι αντίστοιχοι του κόµβου 1 και γειτνιάζουν µε το φυσικό

όριο. Βεβαίως θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η ακρίβεια της (4.5.9) είναι

1ης τάξης. Η αντίστοιχη επεξεργασία όταν εµπλέκονται οριακές συνθήκες

Newmann ή µικτές είναι αρκετά πιο πολύπλοκη.

4.6 Κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγµένες

Μέχρι τώρα η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών έχει επικεντρωθεί

στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων στο καρτεσιανό σύστηµα

συντεταγµένων. Στη παρούσα παράγραφο παρουσιάζονται οι βασικές

τροποποιήσεις στη µεθοδολογία ώστε η µέθοδος να επεκταθεί αρχικά σε

κυλινδρικές και στη συνέχεια σε σφαιρικές συντεταγµένες.

Έστω ότι ζητείται η αριθµητική επίλυση της εξίσωσης Laplace

2 2

2 2 2 2

1 1 0u u u u ,r r r r zθ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂ ∂

2

,

(4.6.1)

στο πεδίο ορισµού : ℜ 0 r R< < 0 ,θ π< < 0 z L< < , µε οριακές

συνθήκες τύπου Dirichlet ( ) ( ) 0, ,0 , ,u r u r L uθ θ= = , ( ) 1, ,u R z uθ = και

( ) ( ) 2,0, , ,u R z u R z uπ= = . Το πεδίο ορισµού του προβλήµατος και το

αντίστοιχο υπολογιστικό πλέγµα απεικονίζονται στο Σχήµα 4.5. Το πλέγµα

είναι τρισδιάστατο και ο κάθε κόµβος ( ), ,i j k του πλέγµατος

προσδιορίζεται από τη τριάδα σηµείων ( ), ,i j kr zθ , για ,

και . Συνολικά έχουµε

0,1, ,i I= …

0,1, ,j J= … 0,1, ,k = … K ( ) ( ) ( )1 1I J K 1+ × + × +

κόµβους. Αντίστοιχα οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους κόµβους

του πλέγµατος ορίζονται από τις σχέσεις

( ) ( ) , ,, , , , i j ku r z u i r j k z uθ θ= ∆ ∆ ∆ = . (4.6.2)

22

u0

u2

u1

u0

. i,j+1,k

. i+1,j+1,k . i,j,k+1

. i+1,j,k+1 . i+1,j+1,k+1

. i,j+1,k+1

. i+1,j,k

. i,j,k

Σχήµα 4.5: Πεδίο ορισµού και υπολογιστικό πλέγµα

Η εξίσωση (4.6.1) διακριτοποιείται στον τυχαίο κόµβο του πλέγµατος

( ), ,i j k :

2 2

2 2 2 2

1 1 0i , j ,ki ii , j ,k i , j ,k i , j ,k

u u u u ,r r r r zθ∂ ∂ ∂ ∂

+ + +∂ ∂ ∂ ∂

2

=

r= ∆

(4.6.3)

Εφαρµόζοντας κεντρώες σχέσεις πεπερασµένων διαφορών και

παρατηρώντας ότι r i προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών i

( )

1, , , , 1, , 1, , 1, ,2

, 1, , , , 1, , , 1 , , , , 12 2 2

2 12

2 21 0

i j k i j k i j k i j k i j k

i j k i j k i j k i j k i j k i j k

u u u u ur i r r

u u u u u uzi r θ

− + + −

− + − +

− + −+ +

∆ ∆ ∆− + − +

+ +∆ ∆∆

= (4.6.4)

για , και 1,2,..., 1i I= − 1,2,..., 1j J= − 1,2,..., 1k K= − . Παρατηρούµε ότι

σε κάθε εξίσωση πεπερασµένων διαφορών έχουµε επτά µη µηδενικούς

όρους. Το αλγεβρικό σύστηµα (4.6.4) επιλύεται µε µία επαναληπτική

µέθοδο και προκύπτουν οι άγνωστες ποσότητες στους εσωτερικούς

κόµβους.

, ,i j ku

Η εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών σε κυλινδρικές

συντεταγµένες απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή όταν κρίνεται αναγκαία η

διατύπωση εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών για τους κόµβους

που βρίσκονται στον άξονα 0r = . Σηµειώνεται ότι ο Λαπλασιανός

23

τελεστής δεν ορίζεται για 0r = . Θα εξετάσουµε το θέµα αυτό στην ειδική

περίπτωση της αξονοσυµµετρικής συµµετρίας. Έστω ότι ζητείται η

αριθµητική επίλυση της εξίσωσης Laplace

2 2

2

1 0u u u ,r r r z∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂ 2

< < 0 z L

(4.6.5)

στο πεδίο ορισµού : ℜ 0 r R, , µε οριακές συνθήκες τύπου

Dirichlet ( ) ( ),0 , 0u r u r L= = , ( ) 0,u R z u= στην εξωτερική επιφάνεια του

κυλίνδρου και τη συνθήκη συµµετρίας 0

0r

ur =

∂=

∂ στο άξονα

συµµετρίας. Το πεδίο ορισµού και το αντίστοιχο πλέγµα απεικονίζονται στο

Σχήµα 4.6.

< <

z=L

uo

0 r=R r=0

0

ur=0

z=0

r=R r=0

z=L

z=0

Σχήµα 4.6: Αξονοσυµµετρικό υπολογιστικό πλέγµα

Θεωρώντας η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών προκύπτει

εύκολα τροποποιώντας κατάλληλα την (4.6.4) και γράφεται στη µορφή

r∆ = ∆z

1, 1, , , 1 , 11 11 1 42 2i k i k i k i k i ku u u u ui i− + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0− =

−

. (4.6.6)

Η εξίσωση (4.6.6) ισχύει για τους εσωτερικούς κόµβους του πλέγµατος

και . Τονίζεται ότι όπως η (4.6.5) δεν

ισχύει στον άξονα του κυλίνδρου, αφού για

1,2,..., 1i I= − 1,2,..., 1k K=

0r = ο δεύτερος όρος

24

της απειρίζεται, αντίστοιχα και η (4.6.6) δεν ισχύει για . Το

σύστηµα (4.6.6) δεν αποτελεί ένα κλειστό αλγεβρικό σύστηµα, αφού ο

αριθµός των αγνώστων είναι µεγαλύτερος του αριθµού των εξισώσεων. Το

πρόβληµα αυτό παρακάµπτεται εφαρµόζοντας τη συµµετρική οριακή

συνθήκη στο

0i =

0r = . ∆ηλαδή

1, 0, 1, 0,0

0k k kr

u u u u ur =

∂= − = ⇒ =

∂ k , 1,2,..., 1k K= − . (4.6.7)

Με τις εξισώσεις (4.6.7) κλείνει το αλγεβρικό σύστηµα (4.6.6) και ο

υπολογισµός των αγνώστων είναι εφικτός. Όµως η (4.6.7) είναι 1ης

τάξης και αλλοιώνει την ακρίβεια του αριθµητικού σχήµατος (4.6.6) που

είναι 2ης τάξης. Η ανακολουθία αυτή διορθώνεται ως εξής. Παρατηρούµε

ότι καθώς το και ο αριθµητής του δεύτερου όρου της (4.6.5) επίσης

τείνει στο µηδέν. Εφαρµόζοντας τον κανόνα του Ηospital παρατηρούµε ότι

0r →

2

20limr

uur

r r→

∂∂∂ =∂

. (4.6.8)

Αντικαθιστώντας το αποτέλεσµα αυτό στην εξίσωση (4.6.5) προκύπτει στο

η αναλυτική εξίσωση 0r =

2 rr zzu u+ = 0

z

. (4.6.9)

Εφαρµόζοντας στην (4.6.9) κεντρώες πεπερασµένες διαφορές βρίσκουµε

για την εξίσωση πεπερασµένων διαφορών r∆ = ∆

( ) ( )1, 0, 1, 0, 1 0, 0, 12 2 2 0+k k k k k ku u u u u u− −− + + − + = 1,2,..., 1k K, . (4.6.10) = −

Στη συνέχεια προσεγγίζοντας τη συµµετρική οριακή συνθήκη στο

µε κεντρώες πεπερασµένες διαφορές έχουµε ότι

0ru =

0r =

1, 1, 1, 1,0

0k k kr

u u u u ur − −

=

∂= − = ⇒ =

∂ k , 1,2,..., 1k K= − , (4.6.11)

και αντικαθιστώντας τέλος την (4.6.11) στην (4.6.10) προκύπτει η εξίσωση

πεπερασµένων διαφορών

( ) ( )1, 0, 1, 1 1, 1, 14 2 0k k k k ku u u u u− +− + − + = 1,2,..., 1k K, (4.6.12) = −

Στις (4.6.10) και (4.6.11) οι ποσότητες αναφέρονται στους εικονικούς

κόµβους

1,ku−

( )1,k− , . Για περισσότερες λεπτοµέρειες ο 1,2,..., 1k K= −

25

αναγνώστης µπορεί να ανατρέξει στην Παράγραφο 2.5. Οι εξισώσεις

(4.6.10) είναι 2ης τάξης και είναι συµβατές ως προς την ακρίβεια και

ως προς την δοµή µε τις εξισώσεις (4.6.6) των υπολοίπων εσωτερικών

κόµβων. Το προς επίλυση αλγεβρικό σύστηµα απαρτίζεται από τις εξισώσεις

(4.6.6) και (4.6.12).

Η επίλυση ελλειπτικών εξισώσεων σε σφαιρικές συντεταγµένες ακολουθεί

τους ίδιους ακριβώς κανόνες όπως στις κυλινδρικές συντεταγµένες.

26

Κεφάλαιο 5

Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων µε

πεπερασµένες διαφορές

5.1 Εξίσωση θερµότητας ή διάχυσης

Η πλέον αντιπροσωπευτική εξίσωση µεταξύ των παραβολικών εξισώσεων

είναι η εξίσωση θερµότητας ή διάχυσης

u u uD D Dt x x y y z z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

u⎟ (5.1.1)

όπου ( ), , ,u u t x y z= είναι η άγνωστη εξαρτηµένη µεταβλητή, είναι η

ανεξάρτητη µεταβλητή του χρόνου,

t

x , και y z είναι οι τρεις ανεξάρτητες

µεταβλητές στο χώρο και ( ), ,D D x y z= είναι ο συντελεστής θερµικής

διάχυσης ή απλώς διάχυσης. Όταν ο συντελεστής διάχυσης είναι

συνάρτηση της εξαρτηµένης µεταβλητής ( ), , ,u t x y z τότε η (5.1.1) είναι

µη γραµµική. Αντίθετα, όταν ο συντελεστής διάχυσης είναι σταθερός τότε η

(5.1.1) είναι γραµµική και γράφεται στη µορφή

2u D ut

∂= ∇

∂ (5.1.2)

όπου είναι ο Λαπλασιανός τελεστής. Παραβολικές εξισώσεις όπως οι

(5.1.1) και (5.1.2) προσοµοιώνουν µεταβατικά (µη µόνιµα) φυσικά

φαινόµενα και οι λύσεις τους περιγράφουν τη διαδικασία µετάβασης από

µία αρχική κατάσταση για

2∇

0t = , µέσω των µηχανισµών διάχυσης, σε µία

κατάσταση ισορροπίας για . Το πεδίο ορισµού των παραβολικών

εξισώσεων είναι ανοικτό σε µία διάσταση. Συνήθως, η διάσταση αυτή

είναι η διάσταση του χρόνου αν και αρκετές φορές µπορεί να είναι µία από

τις τρεις διαστάσεις στο χώρο, όπως στη περίπτωση των προβληµάτων

οριακής στοιβάδας. Τα παραβολικά προβλήµατα ορίζονται (ή

τοποθετούνται) σωστά όταν εκτός από την διαφορική εξίσωση

t →∞

1

προσδιορίζονται µία αρχική συνθήκη που περιγράφει την κατάσταση του

συστήµατος την αρχική χρονική στιγµή και ικανός αριθµός οριακών

συνθηκών ανάλογα µε τη διάσταση του προβλήµατος στο χώρο.

Συγκεκριµένα, στην εξίσωση θερµότητας σε µία, δύο και τρεις χωρικές

διαστάσεις πρέπει να προσδιορίζονται δύο, τέσσερις και έξι οριακές

συνθήκες αντίστοιχα. Επειδή οι παραβολικές εξισώσεις συνοδεύονται από

αρχικές και οριακές συνθήκες, τα αντίστοιχα παραβολικά προβλήµατα

είναι γνωστά σαν προβλήµατα αρχικών και οριακών τιµών.

Υπενθυµίζεται ότι τα ελλειπτικά προβλήµατα είναι προβλήµατα οριακών

τιµών.

Στο παρόν κεφάλαιο επιλύουµε µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών

γραµµικές παραβολικές εξισώσεις όπως η (5.1.2). Η διατύπωση της

µεθόδου ακολουθεί τα τρία βασικά βήµατα όπως τα παρουσιάσαµε στο 4ο

Κεφάλαιο. Όµως, η λεπτοµερής διαδικασία εφαρµογής της µεθόδου είναι

περισσότερο σύνθετη από ότι στην περίπτωση των ελλειπτικών εξισώσεων

και απαιτεί παραπάνω προσοχή. Αυτό οφείλεται, όπως θα µπορούσε

κάποιος να φανταστεί, στον όρο της παραγώγου 1ης τάξης ως προς το

χρόνο, που θα πρέπει να προσεγγισθεί µε κατάλληλες εκφράσεις

πεπερασµένων διαφορών. Γενικά, η µαθηµατική διατύπωση

αριθµητικών σχηµάτων επίλυσης διαφορικών εξισώσεων δεν είναι

δυνατόν να αγνοεί το φυσικό φαινόµενο που περιγράφει η

διαφορική εξίσωση. Η παραβίαση αυτής της αρχής µπορεί να οδηγήσει

σε τελείως λανθασµένα αριθµητικά αποτελέσµατα. Στη προσπάθεια λοιπόν

πιστής προσοµοίωσης της χρονικής εξάρτισης του φαινοµένου µε λογικό

υπολογιστικό κόστος, η προσέγγιση της χρονικής παραγώγου αποκτά

ιδιαίτερο ενδιαφέρον και επιτυγχάνεται, όπως θα δούµε, µε διάφορα

εναλλακτικά σενάρια. Αντίθετα, η προσέγγιση των παραγώγων 2ης τάξης

ως προς το χώρο γίνεται µε βάση τις κεντρώες εκφράσεις πεπερασµένων

διαφορών αξιοποιώντας την εµπειρία από τις ελλειπτικές εξισώσεις.

Στο σηµείο αυτό είναι χρήσιµο να αναφερθούµε εν συντοµία στην

αδιαστατοποίηση των διαφορικών εξισώσεων και γενικότερα του

προβλήµατος. Έστω ότι ζητείται η λύση της µονοδιάστατης εξίσωσης

θερµότητας

2

2

2

u uDt x∂ ∂

=∂ ∂

, , 0t > 0 x L< < (5.1.3)

µε αρχική συνθήκη

( ) 00,u x u= (5.1.4)

και οριακές συνθήκες

( )( )

1

2

,0

,

u t u

u t L u

=

= . (5.1.5) 0t >

Τις περισσότερες φορές πριν υλοποιήσουµε την αναλυτική ή αριθµητική

επίλυση του προβλήµατος αδιαστατοποιούµε το πρόβληµα. Αυτό σηµαίνει

ότι διατυπώνουµε το ισοδύναµο πρόβληµα, όπου όλες οι

µεταβλητές ανεξάρτητες και εξαρτηµένες είναι σε αδιάστατη

µορφή. Στο συγκεκριµένο πρόβληµα ορίζουµε τις νέες αδιάστατες

µεταβλητές

0

1 0

u uuu u−

=−

, 2

DttL

= και xxL

= (5.1.6)

και το αρχικό πρόβληµα γράφεται στην αδιάστατη µορφή:

2

2

u ut x

∂ ∂=

∂ ∂, , 0t > 0 1x< < (5.1.7)

( )0, 0u x = (5.1.8)

( )

( ) 2 0

1 0

,0 1

,1

u tu uu tu u

=

−=

−

(5.1.9) 0t >

Μετά την επίλυση του αδιάστατου προβλήµατος η προκύπτουσα αδιάστατη

λύση µπορεί να διαστατοποιηθεί µε την βοήθεια των εκφράσεων (5.1.6)

και να αποτελέσει την λύση ενός συγκεκριµένου διαστατικού προβλήµατος.

Είναι προφανές ότι η διαδικασία της αδιαστατοποίησης που παρουσιάζεται

εδώ εν συντοµία, δεν περιορίζεται στα παραβολικά προβλήµατα και

εξισώσεις αλλά περιλαµβάνει τα ελλειπτικά και υπερβολικά προβλήµατα και

γενικότερα όλες τις κατηγορίες προβληµάτων που περιγράφονται από

µαθηµατικές εκφράσεις. Πρόκειται για πολύ σηµαντική µαθηµατική

διαδικασία που απαιτεί άριστη αντίληψη του φυσικού φαινοµένου

σε συνδυασµό µε εφευρετικότητα και φαντασία, ώστε οι

3

προκύπτουσες αδιάστατες εξισώσεις αφενός να είναι απλούστερες

των αρχικών και αφετέρου µέσα από την αδιαστατοποίηση να

αναδεικνύονται οι σηµαντικές αδιάστατες παράµετροι του

προβλήµατος και του φυσικού φαινοµένου.

Η αδιάστατη εξίσωση (5.1.7) µε τις συνθήκες (5.1.8) και (5.1.9) θα

αποτελέσουν το πρότυπο πρόβληµα µε βάση το οποίο θα παρουσιάσουµε

και θα αναπτύξουµε στις αµέσως επόµενες παραγράφους τα βασικά

σχήµατα πεπερασµένων διαφορών σε παραβολικές εξισώσεις. Στη συνέχεια

οι προτεινόµενες µεθοδολογίες θα γενικευθούν σε πολυδιάστατα

παραβολικά προβλήµατα. Ιδιαίτερη προσοχή θα δοθεί στις έννοιες της

ευστάθειας, της συνοχής και της σύγκλισης των αριθµητικών σχηµάτων.

Επίσης θα σχολιασθούν οι τυχόν αντιστοιχίες ανάµεσα στα αριθµητικά

σχήµατα πεπερασµένων διαφορών για παραβολικά και ελλειπτικά

προβλήµατα. Σηµειώνεται τέλος, ότι ακολουθώντας µε συνέπεια τους

κανόνες και τις διαδικασίες που θα θεσπίσαµε στην επίλυση της εξίσωσης

θερµότητας ή διάχυσης, µπορούµε να επιλύσουµε µε τη µέθοδο των

πεπερασµένων διαφορών έναν µεγάλο αριθµό γραµµικών και µη

γραµµικών παραβολικών εξισώσεων. Βέβαια στην περίπτωση των µη

γραµµικών εξισώσεων οι µη γραµµικοί όροι απαιτούν εξειδικευµένη

επεξεργασία που θα αναπτυχθεί σε άλλα υπολογιστικά µαθήµατα του

προγράµµατος σπουδών.

5.2 ∆ιακριτοποίηση του πεδίου ορισµού

Έστω ότι ζητείται η επίλυση του προβλήµατος που περιγράφεται από την

εξίσωση (5.1.7) και τις συνθήκες (5.1.8) και (5.1.9) στο συνεχές πεδίο

ορισµού , :ℜ 0t > 0 1x< < (βλέπε Σχήµα 5.1). Παρατηρούµε ότι το πεδίο

ορισµού είναι κλειστό στην διάσταση x και ανοικτό από την µία πλευρά

στην διάσταση t .

Η διακριτοποίηση στην χωρική διάσταση x γίνεται σύµφωνα µε τα

γνωστά, δηλαδή διαιρούµε την απόσταση 0 1x< < σε I ίσα τµήµατα,

4

µήκους 1xI

∆ = . Τα σηµεία που ορίζουν την αρχή και το τέλος κάθε

διαστήµατος προσδιορίζονται από τις σχέσεις

0ix x i= + ∆x I, (5.2.1) 0,1, , .i = …

Η διακριτοποίηση στη διάσταση του χρόνου επιτυγχάνεται

επιλέγοντας το χρονικό βήµα

tt∆ και τον συνολικό αριθµό χρονικών

βηµάτων . Εποµένως, στον άξονα του χρόνου ξεκινώντας από τον

αρχικό χρόνο ορίζονται οι χρόνοι

N

0t

0nt t n= + ∆t N, (5.2.2) 0,1, , .n = …

Από τα σηµεία και nt ix φέρνουµε παραλλήλους προς τους άξονες x και

αντίστοιχα, µε αποτέλεσµα το συνεχές πεδίο ορισµού να αντικατασταθεί

από το υπολογιστικό πλέγµα που απαρτίζεται από

t

I N× ίσα ορθογώνια, οι

κορυφές των οποίων είναι οι κόµβοι του πλέγµατος (βλέπε Σχήµα 5.1). Ο

κάθε κόµβος ( ),i n του πλέγµατος προσδιορίζεται από το ζεύγος σηµείων

( ),i nx t , για και 0,1, ,i I= … 0,1, ,n N= … . Συνολικά έχουµε

( ) ( )1I N+ × +1 κόµβους.

0t =0x =

t R 0t >

Σχήµα 5.1: Συν

(δεξιά)

ot 0

nt

nt

1+ ( 1, )i n− ( , )i n ( 1,i n)+

( ,i n 1)+

tN

1x = x 1Ix = 0ox = 1ix +ix 1ix −x

εχ

ές πεδίο ορισµού (α ριστερά) και υπολογιστικό πλ

t

=

έγµα

5

Οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους κόµβους του πλέγµατος

ορίζονται από τις σχέσεις

( ) ( )0 0, , nn i iu t x u t n t x i x u= + ∆ + ∆ = , 0,1, ,i I= … , 0,1, ,n N= … . (5.2.3)

Ο δείκτης που συµβολίζει την διακριτοποίηση στο χρόνο γράφεται σαν

άνω δείκτης, ενώ ο δείκτης, ή οι δείκτες, που συµβολίζουν την

διακριτοποίηση στο χώρο γράφονται σαν κάτω δείκτες. Με τον τρόπο αυτό

ο διαχωρισµός ανάµεσα στους δείκτες που συµβολίζουν την χρονική και

χωρική διακριτοποίηση είναι άµεσα αναγνωρίσιµος. Οι άγνωστες τιµές

θα προκύψουν από την υπολογιστική επίλυση του προβλήµατος. Η

συνολική χρονική περίοδος για την οποία θα έχουµε την αριθµητική λύση

του προβλήµατος είναι . Τονίζεται ότι ενώ το συνεχές πεδίο

ορισµού είναι ανοικτό στη διάσταση του χρόνου ( ), εµείς

επιλέγουµε το διακριτοποιηµένο πεδίο ορισµού να είναι κλειστό στη

διάσταση του χρόνου (0 ). Αυτό γίνεται για πρακτικούς λόγους,

αφού οι υπολογισµοί δεν είναι δυνατόν να συνεχίζονται πέρα από έναν

πεπερασµένο αριθµό χρονικών βηµάτων. Η επιλογή του συνολικού χρόνου

βασίζεται σε πολλά κριτήρια ανάλογα µε το πρόβληµα. Όταν

επιθυµούµε να έχουµε µία πιστή και λεπτοµερή περιγραφή του µη µόνιµου

(µεταβατικού) φαινοµένου από την αρχική κατάσταση µέχρι την κατάσταση

ισορροπίας θα πρέπει ο συνολικός χρόνος να είναι ιδιαίτερα µεγάλος.

Αντίθετα, σε άλλες περιπτώσεις, όταν µας ενδιαφέρει η περιγραφή του

φαινοµένου για µικρό χρονικό διάστηµα ο συνολικός χρόνος µπορεί να

είναι µικρός. Θα πρέπει να τονισθεί ότι τις περισσότερες φορές η χρονική

εξέλιξη ενός φαινοµένου είναι ταχύτατη αρχικά και στη συνέχεια

επιβραδύνεται και τείνει ασυµπτωτικά στην κατάσταση ισορροπίας.

Τα αριθµητικά σχήµατα που διατυπώνονται λαµβάνοντας υπόψη αυτή τη

φυσική συµπεριφορά αποδεικνύεται να είναι τα πλέον επιτυχηµένα, δηλαδή

οδηγούν σε ακριβή αποτελέσµατα µε µικρό αριθµό κόµβων.

n

niu

Nt N= ∆t

N

0t ≥

nt t≤ ≤

Nt

Nt

Nt

6

5.3 Ρητό σχήµα

Έχοντας ολοκληρώσει την διακριτοποίηση του πεδίου ορισµού,

προχωρούµε µε την διατύπωση της εξίσωσης πεπερασµένων διαφορών σε

κάθε εσωτερικό κόµβο του πλέγµατος. Εξετάζουµε πρώτα το ονοµαζόµενο

ρητό σχήµα. Πρόκειται για την απλούστερη προσέγγιση αφού δεν

απαιτείται η επίλυση αλγεβρικού συστήµατος.

Προσεγγίζουµε την (5.1.7) στον τυχαίο κόµβο ( ),i n του πλέγµατος

(βλέπε Σχήµα 5.2) και γράφουµε

2

2

nn

i i

u ut x

∂ ∂=

∂ ∂, , 0,1, ,i I= … 0,1, , .n N= … (5.3.1)

Η πρώτη παράγωγος ως προς το χρόνο προσεγγίζεται µε πρόδροµη

πεπερασµένη διαφορά 1ης τάξης

[ ]1n n n

i i

i

u u u O tt t

+∂ −= +

∂ ∆∆ , (5.3.2)

ενώ η δεύτερη παράγωγος ως προς το χώρο προσεγγίζεται µε κεντρώα

πεπερασµένη διαφορά 2ης τάξης

221 1

2 2

2n n n n

i i i

i

u u u u O xx x

+ −∂ − + ⎡= + ⎣∂ ∆⎤∆ ⎦ . (5.3.3)

n

1n +

1i − i 1i +

Σχήµα 5.2: Ρητό σχήµα

7

Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (5.3.2) και (5.3.3) στην εξίσωση (5.3.1)

προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών:

121 1

2

2 ,n n n n ni i i i iu u u u u O t x

t x

++ −− − + ⎡ ⎤= + ∆ ∆⎣ ⎦∆ ∆

0,1, , i I , 0,1, , .n N= … = …

(5.3.4)

Η εξίσωση (5.3.4) ξαναγράφεται στην πιο βολική µορφή

( )11 11 2n n n n

ii i iu u u uλ λ λ+− += + − + 0,1, ,i I= … N, 0,1, ,n = … (5.3.5)

όπου 2

tx

λ ∆=∆

. Όπως φαίνεται από την εξίσωση (5.3.5) ο υπολογισµός της

ποσότητας 1n

iu +

, δηλαδή της εξαρτηµένης µεταβλητής στον κόµβο u

( ), 1i n + γίνεται απ’ ευθείας από τις τιµές της στους κόµβους u ( )1,i n+ ,

( ),i n και ( )1,i n− . Σχήµατα όπως αυτό που διατυπώνεται µε την

εξίσωση (5.3.5) ονοµάζονται ρητά, επειδή η µετακίνηση από το ένα

χρονικό βήµα στο επόµενο γίνεται άµεσα, µε απλές αλγεβρικές

εκφράσεις, χωρίς να απαιτείται η επίλυση αλγεβρικού συστήµατος.

Το αριθµητικό σφάλµα του συγκεκριµένου αριθµητικού σχήµατος είναι 1ης

τάξης στο χρόνο και 2ης τάξης στο χώρο, 2,O t x⎡ ⎤∆ ∆⎣ ⎦ .

Παράδειγµα: Έστω ότι ζητείται η επίλυση της εξίσωσης 2t xu xu∂ = ∂ , στο

πεδίο ορισµού , 0t > 0 1x< < µε αρχική συνθήκη ( )0, 0u x = και οριακές

συνθήκες ( ),0 0u t = και ( ),1 1u t = . Επιλέγουµε αυθαίρετα τις

παραµέτρους 5N = , , 0.01t∆ = 5I = µε 0.2x∆ = , που αντιστοιχούν σε

και 0.05Nt = 0.25λ = . Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιµές των

παραµέτρων στην (5.3.5) για 0,1, ,5i = … και 0,1, ,5n = … προκύπτει ο

πίνακας αποτελεσµάτων 5.1.

Βλέπουµε ότι σταδιακά η θερµότητα διαχέεται από το αριστερό προς το

δεξιό άκρο της ράβδου. Είναι προφανές ότι για άλλη επιλογή των

παραµέτρων και t∆ x∆ θα παίρναµε διαφορετικά αποτελέσµατα. Επίσης

8

στον Πίνακα 5.1 φαίνονται να αναλυτικά αποτελέσµατα καθώς και

στα οποία θα τείνουν τα αριθµητικά µετά από πολλά χρονικά βήµατα. Η

ρητή µέθοδος προγραµµατίζεται πολύ εύκολα.

t →∞

Πίνακας 5.1: Αριθµητικά αποτελέσµατα ρητού σχήµατος

Χρονικά

βήµατα

( )n

0x =

i =0

0.2x =

i =1

0.4x =

i =2

0.6x =

i =3

0.8x =

i =4

1x =

i =5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 1

2 0 0 0 0 0.25 1

3 0 0 0 0.0625 0.375 1

4 0 0 0.01563 0.125 0.4531 1

5 0 0.00391 0.03906 0.1797 0.5078 1

t →∞ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Όπως αποδεικνύεται στην παράγραφο 5.6 η παρούσα ρητή αριθµητική

µέθοδος δίδει λογικά αποτελέσµατα µόνο όταν ο λόγος 12

λ < . Άρα

για δεδοµένο x∆ το χρονικό βήµα 212

t x∆ < ∆ . Παρόµοιες περιοριστικές

συνθήκες για το χρονικό βήµα t∆ ισχύουν και σε άλλα ρητά

σχήµατα που βασίζονται σε διαφορετικές εκφράσεις πεπερασµένων

διαφορών και εφαρµόζονται στην επίλυση της εξίσωσης θερµότητας ή

άλλων πιο σύνθετων παραβολικών διαφορικών εξισώσεων. Οι

περιοριστικές αυτές συνθήκες δηµιουργούν προβλήµατα στην

αποτελεσµατική αριθµητική επίλυση των παραβολικών εξισώσεων, αφού το

χρονικό βήµα δεν µπορεί να υπερβαίνει µία συγκεκριµένη τιµή. Όµως,

όταν το χρονικό βήµα είναι µικρό το υπολογιστικό κόστος είναι µεγάλο. Το

µειονέκτηµα αυτό βελτιώνεται σηµαντικά µε την εφαρµογή των

πεπλεγµένων σχηµάτων που εξετάζονται στις επόµενες δύο παραγράφους.

t∆

9

5.4 Πεπλεγµένο σχήµα

Συνεχίζουµε µε τη διατύπωση του απλούστερου πεπλεγµένου

σχήµατος πεπερασµένων διαφορών. Προσεγγίζουµε την (5.1.7), αντί του

κόµβου ( ),i n στον τυχαίο κόµβο ( ), 1i n + του πλέγµατος (βλέπε

Σχήµα 5.3) και γράφουµε

11 2

2

nn

i i

u ut x

++∂ ∂=

∂ ∂, , 0,1, ,i I= … 0,1, , .n N= … (5.4.1)

Η πρώτη παράγωγος ως προς το χρόνο προσεγγίζεται µε ανάδροµη

πεπερασµένη διαφορά 1ης τάξης

[ ]1n n n

i i

i

u u u O tt t

+∂ −= +

∂ ∆∆ (5.4.2)

ενώ η δεύτερη παράγωγος ως προς το χώρο προσεγγίζεται µε κεντρώα

πεπερασµένη διαφορά 2ης τάξης

12 1 1 121 1

2 2

2n n n n

i i i

i

u u u u O xx x

+ + + ++ −∂ − + ⎡ ⎤= + ∆⎣ ⎦∂ ∆

. (5.4.3)

Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (5.4.2) και (5.4.3) στην εξίσωση (5.4.1)

προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών:

1 1 1 121 1

2

2 ,n n n n ni i i i iu u u u u O t x

t x

+ + + ++ −− − + ⎡ ⎤= + ∆ ∆⎣ ⎦∆ ∆

0,1, ,i I= … , 0,1, , .n N= …

(5.4.4)

n

1i − i 1i +

1n +

Σχήµα 5.3: Πεπλεγµένο σχήµα

10

Τώρα, η λύση της τη χρονική στιγµή u 1n + δε γίνεται µε ρητό τρόπο

αλλά µε τη λύση του τριδιαγώνιου συστήµατος

( )1 1 1 niu+1 11 2n n n

i i iu u uλ λ λ+ + +−− + + − = 0,1, ,, i I= … N, 0,1, ,n = … (5.4.5)

όπου και πάλι 2/t xλ = ∆ ∆ . Σε κάθε χρονικό βήµα απαιτείται η επίλυση

ενός αλγεβρικού συστήµατος, και για αυτό το λόγο το σχήµα

ονοµάζεται πεπλεγµένο. Είναι προφανές ότι το υπολογιστικό κόστος

(µνήµη και χρόνος) αυξάνονται σηµαντικά. Όµως, όπως θα δούµε στην

παράγραφο 5.6 το πεπλεγµένο σχήµα (5.4.5) δίδει λογικά αποτελέσµατα

πάντα, ανεξάρτητα από τις τιµές του λ . Άρα δεν τίθεται πάνω όριο στο

µέγεθος το χρονικού βήµατος t∆ και η χρήση µεγάλων χρονικών βηµάτων

είναι εφικτή. Το σύστηµα (5.4.5) επιλύεται σε κάθε χρονικό βήµα µε τον

αλγόριθµος Thomas. Όταν η διαφορική εξίσωση είναι δύο ή τριών

διαστάσεων στο χώρο τότε τα προκύπτοντα αλγεβρικά συστήµατα

επιλύονται, σε κάθε χρονικό βήµα, µε επαναληπτικές τεχνικές. Το σφάλµα

του πεπλεγµένου αριθµητικού σχήµατος (5.4.5) είναι αντίστοιχο µε αυτό

του ρητού σχήµατος (5.3.5), δηλαδή 1ης τάξης στο χρόνο και 2ης τάξης στο

χώρο, . 2,O t x⎡ ⎤∆ ∆⎣ ⎦

Αν και ο προγραµµατισµός των πεπλεγµένων σχηµάτων είναι πιο σύνθετος

από τον προγραµµατισµό των ρητών σχηµάτων η χρήση τους είναι ευρέως

διαδεδοµένη και ουσιαστικά αποτελεί πάγια αριθµητική τακτική.

5.5 Πεπλεγµένο σχήµα Crank-Nicolson

Όπως έχουµε αναφέρει, το σφάλµα διακριτοποίησης που οφείλεται στην

αποκοπή όρων από τη σειρά Taylor στο ρητό και στο πεπλεγµένο σχήµα

των παραγράφων 5.3 και 5.4 αντίστοιχα, είναι 2,O t x⎡ ⎤∆ ∆⎣ ⎦ . Άρα τα

σχήµατα αυτά είναι 1ης τάξης στο χρόνο και 2ης τάξης στο χώρο. Αυτό

οδηγεί σε ανακολουθία αφού συνήθως είναι επιθυµητό η ακρίβεια του

σχήµατος σε όλες τις ανεξάρτητες µεταβλητές να είναι συµβατή. Επίσης

αριθµητικά σχήµατα 1ης τάξης θα πρέπει να αποφεύγονται ως µη επαρκή.

11

Οι αδυναµίες αυτές αντιµετωπίζονται µε το πεπλεγµένο αριθµητικό

σχήµα Crank-Nicolson που εξετάζεται στη παρούσα παράγραφο.

Η (5.2.1) προσεγγίζεται, όπως φαίνεται στο Σχήµα 5.4 στο σηµείο

1,2

i n⎛ ⎞+⎜⎝ ⎠

⎟ που βρίσκεται στο µέσο της απόστασης που ορίζεται από

τους κόµβους ( ),i n και ( ), 1i n + . Εποµένως τώρα γράφουµε

112 22

2

nn

i i

u ut x

++∂ ∂=

∂ ∂, , 0,1, ,i I= … 0,1, , .n N= … (5.5.1)

Η πρώτη παράγωγος ως προς το χρόνο προσεγγίζεται µε κεντρώα

πεπερασµένη διαφορά 2ης τάξης

112 2

n n ni i

i

u u u O tt t

+ +∂ − ⎡ ⎤= + ⎣∂ ∆∆ ⎦ . (5.5.2)

n

1( , )2

i n +

1n +

i1i − 1i +

Σχήµα 5.4: Πεπλεγµένο σχήµα Crank-Nicolson

Η δεύτερη παράγωγος ως προς το χώρο πρώτα γράφεται στη µορφή

( )1 12 22

2 2 1n n

i i

u u 2

2

n

i

ux x x

θ θ+ +

∂ ∂ ∂= + −

∂ ∂ ∂, (5.5.3)

όπου ο συντελεστής βαρύτητας 0 1θ< < και στη συνέχεια οι δεύτερες

παράγωγοι προσεγγίζονται µε κεντρώες πεπερασµένες διαφορές 2ης

τάξης

12

221 1

2 2

2k k k k

i i i

i

u u u u O xx x

+ −∂ − + ⎡= + ⎣∂ ∆⎤∆ ⎦ (5.5.4)

όπου και . Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (5.5.2), (5.5.3)

και (5.5.4) στην εξίσωση (5.5.1) προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων

διαφορών:

k n= 1k n= +

( )1 1 1 1 1

2 21 1 1 12 2

2 21 ,n n n n n n n ni i i i i i i iu u u u u u u u O t x

t x xθ θ

+ + + + ++ − + −− − + − + ⎡ ⎤= + − + ⎣ ⎦∆ ∆ ∆

∆ ∆ ,

0,1, ,i I= … ,

(5.5.5)

0,1, , .n N= …

Πολλές φορές η (5.5.5) γράφεται στη πιο συνεκτική µορφή

( )1

2 1 2 2 21n n

n ni ix x

u u u u O tt

θδ θ δ+

+− , x⎡ ⎤= + − + ∆ ∆⎣ ⎦∆, (5.5.6)

όπου

2 12

2i ix i

u u uux

δ + − +=

∆1i− (5.5.7)

ο κεντρώος τελεστής δεύτερης τάξης. Είναι προφανές ότι η εξίσωση

πεπερασµένων διαφορών (5.5.5) είναι πεπλεγµένη, δηλαδή επιλύεται σαν

σύστηµα εξισώσεων. Οι εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών του ρητού και

του απλού πεπλεγµένου σχήµατος περιέχουν τέσσερεις κόµβους του

πλέγµατος, ενώ η (5.5.5) περιέχει έξι κόµβους.

Στην ειδική περίπτωση, όπου ο συντελεστής βαρύτητας 12

θ = η εξίσωση

πεπερασµένων διαφορών (5.5.5) γράφεται στη µορφή

( ) ( )1 1 11 1 12 1 2 1n n n n n

i i i i iu u u u u 1niuλ λ λ λ λ λ+ + +

− + −− + + − = + − + + (5.5.8)

µε 2/t xλ = ∆ ∆ . Το αριθµητικό σχήµα (5.5.8) ονοµάζεται σχήµα

Crank-Nicolson. Όπως και στη περίπτωση του απλού πεπλεγµένου

σχήµατος απαιτείται η επίλυση ενός τριδιαγώνιου αλγεβρικού συστήµατος

σε κάθε χρονικό βήµα, όµως τώρα το αριθµητικό σχήµα είναι 2ης τάξης

στο χώρο και στο χρόνο, 2 2,O t x⎡ ⎤∆ ∆⎣ ⎦ . Επίσης όπως θα δούµε η

µέθοδος Crank Nicolson δίδει πάντα λογικά αποτελέσµατα ανεξάρτητα από

τις τιµές της παραµέτρου λ .

13

Τέλος παρατηρούµε ότι θέτοντας στην (5.5.5) 0θ = προκύπτει η ρητή

εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (5.3.4), ενώ ότι θέτοντας 1θ =

προκύπτει η απλή πεπλεγµένη εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (5.4.4).

Αντίθετα η (5.5.5) ισχύει για 0 1θ< < και ανάλογα µε τη τιµή της

παραµέτρου θ συνδυάζει αριθµητικά χαρακτηριστικά των ρητών και

πεπλεγµένων σχηµάτων. Τα αριθµητικά σχήµατα (5.5.5) µε 0 1/ 2θ< <

έχουν πιο έντονα τα χαρακτηριστικά των ρητών σχηµάτων, ενώ τα

αντίστοιχα µε 1/ 2 1θ< < έχουν πιο έντονα τα χαρακτηριστικά των

πεπλεγµένων σχηµάτων.

5.6 Ευστάθεια

Η έννοια της ευστάθειας µας έχει απασχολήσει εκτενώς στο µάθηµα της

Αριθµητικής Ανάλυσης και στην αριθµητική επίλυση συνήθων διαφορικών

εξισώσεων (βλέπε Κεφάλαιο 1). Συνήθως λέµε ότι µία υπολογιστική

διαδικασία είναι ευσταθής όταν το µέγεθος µιας διαταραχής που εισάγεται

από τις αρχικές ή/και τις οριακές συνθήκες ή εµφανίζεται λόγω

υπολογιστικού σφάλµατος (σφάλµατα Η/Υ, αποκοπή, στρογγυλοποίηση,

αριθµητικές πράξεις, κ.τ.λ.) παραµένει πεπερασµένο και δεν µεγεθύνεται

πέρα από ένα µέγιστο επιτρεπτό όριο. ∆ηλαδή µία µικρή (εκούσια ή

συνήθως ακούσια) µεταβολή στα δεδοµένα έχει σαν αποτέλεσµα µία εξίσου

µικρή µεταβολή στα αποτελέσµατα. Θεωρώντας ότι το υπολογιστικό σχήµα

περιγράφεται από τη συναρτησιακή σχέση ( ),F x y 0= , όπου x τα

δεδοµένα και τα αποτελέσµατα, η ευστάθεια ενός υπολογιστικού

σχήµατος ποσοτικοποιείται µε τον υπολογισµό του δείκτη (ή αριθµού)

κατάστασης

y

14

( ) x

yy

K y maxx

x

δ

δ

δ= , (5.6.1)

όπου xδ και yδ συµβολίζουν τις µεταβολές στα δεδοµένα και τα

αποτελέσµατα αντίστοιχα. Όπως φαίνεται από την (5.6.1) το σχήµα είναι

ευσταθές όταν ο δείκτης κατάστασης ( ) 1K y < , αφού στη περίπτωση αυτή

µικρές µεταβολές στο xδ συνεπάγεται ακόµα µικρότερες µεταβολές στα

αποτελέσµατα yδ .

Η έννοια της ευστάθειας είναι ζωτικής σηµασίας στην αριθµητική επίλυση

διαφορικών εξισώσεων µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών. Στην

περίπτωση των ελλειπτικών εξισώσεων που περιγράφουν µόνιµα

φαινόµενα η ευστάθεια σχετίζεται µε την αριθµητική επίλυση του

αλγεβρικού συστήµατος. Στη περίπτωση των παραβολικών εξισώσεων που

περιγράφουν µη µόνιµα (µεταβατικά) φαινόµενα η ευστάθεια σχετίζεται µε

την χρονική εξέλιξη και συµπεριφορά της αριθµητικής λύσης. Είναι

προφανές ότι αυτό που επιζητούµε είναι αριθµητικά σχήµατα που

παραµένουν ευσταθή στο χρόνο, δηλαδή αριθµητικά σχήµατα που

οδηγούν σε λογικά αποτελέσµατα καθώς η αριθµητική λύση

εξελίσσεται στο χρόνο παρά την παρουσία και συνεχή συσσώρευση

υπολογιστικών προσεγγίσεων, σφαλµάτων και ατελειών. Αυτό

συνεπάγεται ότι το σφάλµα niε που ορίζεται σαν η διαφορά ανάµεσα στην

αριθµητική και στην ακριβή λύση των εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών

και niu n

iu αντίστοιχα παραµένει, για δεδοµένο t∆ , περιορισµένο καθώς

. Η πρόταση αυτή µαθηµατικά γράφεται ως εξής: n→∞

lim nin

Mε→∞

≤ για δεδοµένο t∆ µε M ανεξάρτητο του (5.6.2) n

Τονίζεται ότι η ευστάθεια ενός αριθµητικού σχήµατος δεν πρέπει να

εµπλέκεται και να ταυτίζεται µε την ακρίβεια του αριθµητικού

σχήµατος. Η ακρίβεια εξαρτάται αποκλειστικά από τα σφάλµατα αποκοπής

στις εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών που προσεγγίζουν τις

παραγώγους της διαφορικής εξίσωσης. Ένα αριθµητικό σχήµα

15

πεπερασµένων διαφορών µπορεί να είναι ευσταθές αλλά να µην έχει καλή

ακρίβεια, όπως επίσης να έχει καλή ακρίβεια αλλά να είναι οριακά ευσταθές

ή ασταθές, χωρίς βέβαια να αποκλείονται περιπτώσεις όπου το αριθµητικό

σχήµα είναι και ευσταθές και έχει ικανοποιητική ακρίβεια. Το συγκεκριµένο

ζήτηµα θα µας απασχολήσει στη συνέχεια και θα γίνει περισσότερο

κατανοητό.

Η ευστάθεια αριθµητικών σχηµάτων πεπερασµένων διαφορών µελετάται µε

διάφορες µαθηµατικές ή φαινοµενολογικές τεχνικές µεταξύ των οποίων η

πλέον διαδεδοµένη είναι η ανάλυση ευστάθειας Von-Neumann ή όπως

επίσης ονοµάζεται ανάλυση ευστάθειας Fourier.

Υποθέτουµε περιοδικές οριακές συνθήκες και τότε η αριθµητική λύση

γράφεται σαν διακριτό ανάπτυγµα Fourier στο χώρο για κάθε χρονικό

βήµα:

m

Ik i xn n

i mm I

u eα ∆

=−

= Ψ∑ , , 0,1, ,i I= … 0,1, , .n N= … (5.6.3)

Ο κάθε όρος του αθροίσµατος (5.6.3) αντιστοιχεί σε µία αρµονική. Οι

ποσότητες και nmΨ mk m

N xπ

=∆

είναι το εύρος και ο κυµαταριθµός της

αρµονικής , m 1α = − και /x L I∆ = , όπου 0 x L≤ ≤ . Οι αρµονικές της

σειράς Fourier (5.6.3) είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους και εποµένως είναι

αρκετό να εξετάσουµε την συµπεριφορά µίας τυχαίας αρµονικής.

Θεωρούµε ότι η αριθµητική λύση στον κόµβο ( ),i n είναι της µορφής

που εκφράζει µία οποιαδήποτε από τις αρµονικές. Ο δείκτης

που συµβολίζει την τυχαία αρµονική δεν συµπεριλαµβάνεται για λόγους

απλούστευσης των συµβολισµών. Στη συνέχεια αντικαθιστώντας στις

εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών εκφράσεις όπως

n ki xeα ∆Ψ m

n n kiiu eα ∆Ψ∼ x N, , 0,1, ,i I= … 0,1, , .n = … (5.6.4)

είναι δυνατόν να διατυπώσουµε κριτήρια για το αν ή όχι η ποσότητα

παραµένει πεπερασµένη καθώς αυξάνει ο χρόνος

nΨt n t= ∆ . Είναι προφανές

ότι το κριτήριο ευστάθειας (5.6.2) θα ισχύει και ότι η ποσότητα θα nΨ

16

παραµένει πεπερασµένη, εάν σε κάθε χρονικό βήµα ικανοποιείται η

ανισότητα

1

1n

n

+Ψ<

Ψ. (5.6.5)

Ο λόγος 1n

nξ+Ψ

=Ψ

µπορεί να είναι πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός και το

µέτρο του, 1n

nξ+Ψ

=Ψ

, ονοµάζεται συντελεστής ενίσχυσης και

αντιπροσωπεύει τον τρόπο που οι αρχικές διαταραχές και τα υπολογιστικά

σφάλµατα διαδίδονται από το ένα χρονικό βήµα στο επόµενο. Η σηµασία

του είναι αντίστοιχη µε αυτή του δείκτη κατάστασης (5.6.1). Όταν το

µέτρο του συντελεστή ενίσχυσης είναι µικρότερο της µονάδας οι

διαταραχές και τα σφάλµατα αποσβένουν ενώ όταν είναι µεγαλύτερο της

µονάδας τότε µεγεθύνονται απεριόριστα καθώς αυξάνει ο αριθµός των

χρονικών βηµάτων. Ο συντελεστής ενίσχυσης είναι συνάρτηση του

χρονικού βήµατος , του χωρικού βήµατος t∆ x∆ και του

κυµαταριθµού (ή συχνότητας) . k

Ας εφαρµόσουµε την ανάλυση ευστάθειας Von-Neumann στο ρητό

αριθµητικό σχήµα της παραγράφου 5.3. Η σχέση (5.6.4) αντικαθίσταται

στην εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (5.3.4) και προκύπτει η εξίσωση

( ) ( )1

12 2

n n nk i x k i xki x ki xe e e e

t xαα α

++ ∆ − ∆∆ ∆Ψ −Ψ Ψ ⎡= − +⎣∆ ∆

1α ⎤⎦ . (5.6.6)

Μετά από απλή αλγεβρική επεξεργασία χρησιµοποιώντας τις σχέσεις

( ) ( )cos sink xe k xα α± ∆ = ∆ ± ∆k x (5.6.7)

οδηγούµεθα στο αποτέλεσµα

121 4 sin

2

n

n

k xξ λ+Ψ ∆

= = −Ψ

, (5.6.8)

όπου 2/t xλ = ∆ ∆ . Εποµένως, µε βάση αυτά που αναφέραµε παραπάνω η

λύση είναι ευσταθής εάν

21 4 sin 12

k xξ λ ∆= − < . (5.6.9)

17

Γενικά όλοι οι κυµαταριθµοί (ή συχνότητες) είναι παρόντες. Ακόµη και

όταν δεν ευρίσκονται στις αρχικές και οριακές συνθήκες εισέρχονται στους

υπολογισµούς από τα σφάλµατα στις αριθµητικές πράξεις. Για το λόγο αυτό

το κριτήριο ευστάθειας (5.6.9) θα πρέπει να ισχύει για όλα τα . Εύκολα

προκύπτει ότι η ανισότητα (5.6.9) θα ισχύει µόνο εάν

k

k

2

12

tx

λ ∆= <∆

. (5.6.10)

Η συνθήκη (5.6.10) είναι η απαραίτητη και ικανή συνθήκη για την

ευστάθεια του ρητού αριθµητικού σχήµατος (5.3.4). Το αποτέλεσµα

αυτό δεν πρέπει να µας εκπλήσσει αφού για 1/ 2λ > ο συντελεστής του

όρου στην (5.3.5) παίρνει αρνητικές τιµές µε αποτέλεσµα η συνεισφορά

του όρου αυτού στην ποσότητα

niu

1niu + να είναι στην αντίθετη από την

αναµενόµενη κατεύθυνση. Η θετικότητα των συντελεστών σχετίζεται µε

τις φαινοµενολογικές µεθοδολογίες ευστάθειας και θα µας απασχολήσει στο

επόµενο κεφάλαιο της εισαγωγής στη µέθοδο των πεπερασµένων όγκων.

Συνεχίζουµε εφαρµόζοντας την µεθοδολογία Von-Neumann ή ανάλυση

Fourier στο πεπλεγµένο σχήµα πεπερασµένων διαφορών της παραγράφου

5.4. Η σχέση (5.6.4) αντικαθίσταται στην εξίσωση πεπερασµένων

διαφορών (5.4.5) και προκύπτει η εξίσωση

( ) ( )1 1

12 2

n n nk i x k i xki x ki xe e e e

t xαα α

+ ++ ∆ − ∆∆ ∆Ψ −Ψ Ψ ⎡= − +⎣∆ ∆

1α ⎤⎦ . (5.6.11)

Ακολουθώντας την αντίστοιχη µαθηµατική επεξεργασία βρίσκουµε ότι

1

2

1 11 4 sin

2

n

n k xξλ

+Ψ= =

∆Ψ +< . (5.6.12)

Είναι προφανές ότι στο απλό πεπλεγµένο σχήµα (5.4.5) ο

συντελεστής ενίσχυσης είναι πάντα µικρότερος της µονάδας

ανεξάρτητα από την τιµή της παραµέτρου λ . Το αποτέλεσµα αυτό,

είναι χαρακτηριστικό των πεπλεγµένων σχηµάτων. Τα πεπλεγµένα

λοιπόν σχήµατα είναι ευσταθή ανεξάρτητα από την επιλογή του

χρονικού βήµατος και του χωρικού βήµατος t∆ x∆ .

18

Με βάση τα παραπάνω είναι προφανές ότι η ανάλυση ευστάθειας

δεν πρέπει να συσχετίζεται µε την ακρίβεια του αριθµητικού

σχήµατος.

Έχοντας παρουσιάσει την µελέτη ευστάθειας του ρητού και του

πεπλεγµένου σχήµατος αφήνουµε σαν άσκηση στον αναγνώστη την µελέτη

ευστάθειας του σχήµατος Crank Nicolson. Επίσης για λόγους εξοικείωσης

προτείνεται να γίνει η ανάλυση ευστάθειας στα σχήµατα πεπερασµένων

διαφορών

1 11

2

22

n n n ni i i i iu u u u u

t x

+ −−− − +

=∆ ∆

1n+ (5.6.13)

και

1 1 1 11

22

n n n n ni i i i i iu u u u u u

t x

+ − − +−− − − +

=∆ ∆

1n+ . (5.6.14)

Τα σχήµατα (5.6.13) και (5.6.14) είναι ρητά σχήµατα τριών χρονικών

βηµάτων, ακρίβειας και προσεγγίζουν την εξίσωση

θερµότητας (5.1.7). Αποδεικνύεται ότι το σχήµα (5.6.13) είναι πάντα

ασταθές, ενώ το σχήµα (5.6.14) είναι πάντα ευσταθές.

2 2,O t x⎡ ⎤∆ ∆⎣ ⎦

5.7 Συνοχή

Η έννοια της συνοχής του αριθµητικού σχήµατος αναφέρεται στο κατά

πόσο η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών προσεγγίζει την υπό µελέτη

διαφορική εξίσωση και όχι κάποια άλλη εξίσωση. Ένα αριθµητικό σχήµα

έχει συνοχή όταν η διαφορική εξίσωση που προσεγγίζεται από την

εξίσωση πεπερασµένων διαφορών ανάγεται στη διαφορική εξίσωση

που επιλύεται καθώς η διακριτοποίηση πυκνώνει και x∆ και

τείνουν στο µηδέν (

t∆0x∆ → , 0t∆ → ).

19

Σαν παράδειγµα ας εξετάσουµε την συνοχή του ρητού αριθµητικού

σχήµατος (5.3.4) που προσεγγίζει την διαφορική εξίσωση (5.1.7).

Αναπτύσσουµε σε σειρά Taylor τους όρους

21

2!n ni i t tt

tu u tu u O t+ ∆ 3⎡ ⎤= + ∆ + + ∆⎣ ⎦ , (5.7.1)

και

2 3 45

1 2! 3! 4!n ni i x xx xxx xxxx

x x xu u xu u u u O x±

∆ ∆ ∆ ⎡ ⎤= ± ∆ + ± + ± ∆⎣ ⎦ . (5.7.2)

Στη συνέχεια αντικαθιστούµε τα αναπτύγµατα (5.7.1) και (5.7.2) στην

εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (5.3.4) και βρίσκουµε

2 2 43 6

2

1 22! 2! 4!t tt xx xxxxt x xtu u O t u u O x

t x⎛ ⎞ ⎛∆ ∆ ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤∆ + + ∆ = + + ∆⎜ ⎟ ⎜⎣ ⎦ ⎣ ⎦∆ ∆⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠ (5.7.3)

ή

22

2! 12t tt xx xxxxt xu u O t u u O x∆ ∆⎡ ⎤ ⎡+ + ∆ = + + ∆⎣ ⎦ ⎣

4 ⎤⎦

]

. (5.7.4)

Παίρνοντας τη παράγωγο της (5.7.4) ως προς το χρόνο βρίσκουµε ότι

[tt xxxxu u O t= + ∆ (5.7.5)

και αντικαθιστώντας την (5.7.5) στην (5.7.4) βρίσκουµε την διαφορική

εξίσωση

221

2 6t xx xxxxxu u t u O t O x

⎛ ⎞∆ 4⎡ ⎤ ⎡= + − ∆ + ∆ + ∆⎜ ⎟ ⎤⎣ ⎦ ⎣⎝ ⎠

⎦ . (5.7.6)

Εποµένως, το ρητό αριθµητικό σχήµα (5.3.4) προσεγγίζει την

διαφορική εξίσωση (5.7.6) και όχι την εξίσωση θερµότητας (5.1.7).

Όµως, το σχήµα έχει συνοχή αφού, όπως είναι προφανές, η (5.7.6)

ανάγεται στην (5.1.7) καθώς 0x∆ → και 0t∆ → . Η µελέτη της

συνοχής του ρητού αριθµητικού σχήµατος µας δίδει και µία επιπλέον

πληροφορία που αφορά την ακρίβεια των αποτελεσµάτων σε σχέση µε την

επιλογή του υπολογιστικού πλέγµατος. Αποδεικνύεται από την (5.7.6) ότι

εάν 2

16

tx

λ ∆= =∆

τότε ο συντελεστής της τετάρτης παραγώγου µηδενίζεται

και η ακρίβεια του αριθµητικού σχήµατος από 2,O t x⎡ ⎤∆ ∆⎣ ⎦ αναβαθµίζεται

20

σε . Η αναβάθµιση αυτή είναι ιδιαίτερα σηµαντική

λαµβάνοντας υπόψη ότι το υπολογιστικό κόστος παραµένει το ίδιο. Επίσης

βλέπουµε ότι βελτιώνεται και η συνοχή του σχήµατος αφού η (5.7.6)

πλησιάζει ακόµα περισσότερο στην (5.1.7). Η (5.7.6) ονοµάζεται

τροποποιηµένη διαφορική εξίσωση αφού για µικρά αλλά πεπερασµένα

2 4,O t x⎡∆ ∆⎣ ⎤⎦

x∆ και το αριθµητικό σχήµα (5.3.4) επιλύει την διαφορική εξίσωση

(5.7.6) και όχι την υπό µελέτη διαφορική εξίσωση (5.1.7).

t∆

Παρατηρούµε ότι, η ευστάθεια και η συνοχή ενός αριθµητικού

σχήµατος εξετάζονται µε κατάλληλη µαθηµατική επεξεργασία µόνο

της εξίσωσης πεπερασµένων διαφορών. Όµως σε κάθε περίπτωση

διαφέρουν και η επεξεργασία και ο στόχος. Στην ευστάθεια

εξετάζεται ο µηχανισµός διάδοσης των σφαλµάτων, ενώ στην

συνοχή εξετάζεται η συνάφεια της εξίσωσης πεπερασµένων

διαφορών µε την διαφορική εξίσωση.

Τις περισσότερες φορές η συνοχή ενός αριθµητικού σχήµατος θεωρείται

δεδοµένη αλλά αυτό δεν είναι σωστό. Η συνοχή ενός αριθµητικού

σχήµατος θα πρέπει να εξετάζεται συστηµατικά και µε λεπτοµέρεια. Το

παρακάτω παράδειγµα αποδεικνύει ότι πρέπει να είµαστε ιδιαίτερα

προσεκτικοί.

Ας εξετάσουµε την συνοχή του αριθµητικού σχήµατος (5.6.14) που έχει

ελκυστικά χαρακτηριστικά αφού είναι ρητό, 2ης τάξης και πάντα ευσταθές.

Αναπτύσσουµε σε σειρά Taylor τους όρους

2 31 4

2! 3!n ni i t tt ttt

t tu u tu u u O t± ∆ ∆ ⎡ ⎤= ± ∆ + ± + ∆⎣ ⎦ , (5.7.7)

και

2 34

1 2! 3!n ni i x xx xxx

x xu u xu u u O x±

∆ ∆ ⎡ ⎤= ± ∆ + ± + ∆⎣ ⎦ (5.7.8)

και αντικαθιστούµε τα αναπτύγµατα (5.7.7) και (5.7.8) στη εξίσωση

πεπερασµένων διαφορών (5.6.14). Μετά από κατάλληλη επεξεργασία

βρίσκουµε την τροποποιηµένη διαφορική εξίσωση

21

2 42 2

2t xx ttt tu u u O x O t Ox x

⎡ ⎤∆ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + ∆ + ∆ +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∆ ∆⎝ ⎠ ⎣ ⎦. (5.7.9)

Παρατηρώντας προσεκτικά την (5.7.9) φαίνεται ότι η συνοχή του

σχήµατος (5.6.14) εξαρτάται από τον τρόπο που οι όροι x∆ και

τείνουν στο µηδέν. Εάν, καθώς

t∆

0x∆ → και 0t∆ → , ο λόγος 2

tx∆∆

παραµένει σταθερός τότε η τροποποιηµένη διαφορική εξίσωση ανάγεται

στην µερική διαφορική εξίσωση (5.1.7) και το αριθµητικό σχήµα έχει

συνοχή. Εάν όµως, καθώς 0x∆ → και 0t∆ → , ο λόγος tx∆∆

παραµένει

σταθερός τότε η τροποποιηµένη διαφορική εξίσωση ανάγεται στην εξίσωση

2t ttu c u u+ = xx

xx

(5.7.10)

που όχι µόνο έχει διαφορετική µορφή από την tu u= αλλά και χαρακτήρα

αφού πρόκειται για υπερβολική εξίσωση, σε αντίθεση µε την εξίσωση

θερµότητας που είναι παραβολική. Άρα στην περίπτωση αυτή το σχήµα

(5.6.14) δεν έχει συνοχή. Τα αριθµητικά αποτελέσµατα αν και είναι

ακρίβειας 2ης τάξης και ευσταθή, είναι τελείως λανθασµένα και

παραπλανητικά αφού αποτελούν λύση µίας άλλης διαφορικής εξίσωσης.

5.8 Σύγκλιση

Μετά την ευστάθεια και την συνοχή θα µας απασχολήσει η έννοια της

σύγκλισης ενός αριθµητικού σχήµατος πεπερασµένων διαφορών. Λέµε ότι

µία µέθοδος πεπερασµένων διαφορών συγκλίνει όταν η ακριβής

λύση niu της εξίσωσης πεπερασµένων διαφορών τείνει στην

συνεχή λύση ( )ˆ ,n iu t x της µερικής διαφορικής εξίσωσης, καθώς οι

αποστάσεις ανάµεσα στους κόµβους του πλέγµατος τείνουν στο

µηδέν. Η λύση niu είναι διαφορετική από την αριθµητική λύση και

αναφέρεται στη λύση που θα είχαµε χωρίς υπολογιστικά σφάλµατα. Εάν

ορίσουµε το σφάλµα

niu

22

( )ˆ ,n ni i n iw u u t x= − , , 0,1, ,i I= … 0,1, ,n N= … (5.8.1)

τότε µε βάση τον παραπάνω ορισµό το αριθµητικό σχήµα συγκλίνει εάν το

σφάλµα , καθώς 0niw → 0x∆ → και 0t∆ → . ∆ηλαδή, η ακριβής

αριθµητική λύση ανάγεται στην συνεχή λύση καθώς το

διακριτοποιηµένο πρόβληµα ανάγεται στο συνεχές πρόβληµα.

Σηµειώνεται, για αποφυγή σύγχυσης, ότι το σφάλµα που προσδιορίζει

εάν συγκλίνει ή όχι ένα αριθµητικό σχήµα ορίζεται διαφορετικά από το

σφάλµα

niw

niε που χρησιµοποιούµε στον ορισµό της ευστάθειας του σχήµατος

(βλέπε παράγραφο 5.6). Επίσης τονίζεται ότι η ευστάθεια και η συνοχή

ενός αριθµητικού σχήµατος εξετάζεται σε επίπεδο εξισώσεων, ενώ η

σύγκλιση σε επίπεδο αποτελεσµάτων.

Τέλος, σύµφωνα µε το πολύ σηµαντικό θεώρηµα του Lax, όταν ένα

αριθµητικό σχήµα έχει συνοχή και είναι ευσταθές τότε οπωσδήποτε

συγκλίνει. Άρα εξετάζοντας την ευστάθεια και την συνοχή ενός

αριθµητικού σχήµατος γνωρίζουµε εάν το σχήµα συγκλίνει ή αποκλίνει.

Συνήθως αποφεύγουµε την απευθείας µελέτη της σύγκλισης ενός

αριθµητικού σχήµατος και αρκούµεθα στη ενδελεχή µελέτη της ευστάθειας

και της συνοχής του σχήµατος. Στην πράξη εφαρµόζουµε σχήµατα

πεπερασµένων διαφορών που είναι ευσταθή, έχουν συνοχή και

εποµένως συγκλίνουν.

5.9 Εξίσωση θερµότητας ή διάχυσης σε δύο διαστάσεις

Οι τρεις βασικές µεθοδολογίες πεπερασµένων διαφορών των παραγράφων

5.3, 5.4 και 5.5 που αναπτύχθηκαν για την αριθµητική επίλυση της

µονοδιάστατης εξίσωσης θερµότητας (5.1.7) επεκτείνονται µε απλό τρόπο

σε περισσότερες χωρικές διαστάσεις. Όπως έχουµε επισηµάνει η

ιδιαιτερότητα των παραβολικών εξισώσεων ως προς τις ελλειπτικές έγκειται

στην συστηµατική αριθµητική επεξεργασία του όρου της παραγώγου ως

προς το χρόνο. Όταν εξετάζονται παραβολικές εξισώσεις σε δύο ή τρεις

23

χωρικές διαστάσεις ο όρος της παραγώγου ως προς το χρόνο παραµένει

αναλλοίωτος και απλώς τροποποιείται ο Λαπλασιανός τελεστής. Η

αριθµητική προσοµοίωση του Λαπλασιανού τελεστή σε δύο ή τρεις

διαστάσεις αλλά και σε διάφορα συστήµατα συντεταγµένων δεν

παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες και σε κάθε περίπτωση αντιµετωπίζεται µε

µεθόδους και πρακτικές που έχουµε ήδη παρουσιάσει στο Κεφάλαιο 4 που

αναφέρεται σε ελλειπτικές εξισώσεις.

Σαν παράδειγµα αναπτύσσεται η αριθµητική επίλυση της εξίσωσης

θερµότητας σε δύο διαστάσεις και καρτεσιανή γεωµετρία:

2 2

2

u ut x y

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ 2

u 1, , 0t > 0 ,x y< < (5.9.1)

Επεκτείνοντας την µεθοδολογία διακριτοποίησης της παραγράφου 5.2

ορίζουµε τα σηµεία

0ix x i= + ∆x I

y J

t N

, (5.9.2) 0,1, ,i = …

0jy x j= + ∆ , (5.9.2) 0,1, ,j = …

και

0nt t n= + ∆ , (5.9.3) 0,1, ,n = …

κατά µήκος των αξόνων x , και . Ο κάθε κόµβος του

τρισδιάστατου πλέγµατος προσδιορίζεται από τη τριάδα σηµείων (y t ( , ,i j n)

), ,i j nx y t ,

για , και 0,1, ,i I= … 0,1, ,j J= … 0,1, ,n N= … . Συνολικά έχουµε

κόµβους. Οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής

στους κόµβους του πλέγµατος ορίζονται από τις σχέσεις

( ) ( ) (1 1I J N+ × + × + )1

( ) ( )0 0 0, , , , nn i j i ju t x y u t n t x i x y j y u= + ∆ + ∆ + ∆ = , ,

0,1, ,i I= … , 0,1, ,j J= … , 0,1, ,n N= … . (5.9.4)

Οι άγνωστες τιµές θα προκύψουν από την υπολογιστική επίλυση του

προβλήµατος. Η συνολική χρονική περίοδος για την οποία θα έχουµε την

αριθµητική λύση του προβλήµατος είναι

,ni ju

Nt N t= ∆ .

24

Για να εφαρµόσουµε το ρητό αριθµητικό σχήµα της παραγράφου 5.3, η

(5.9.1) προσεγγίζεται στον κόµβο ( ), ,i j n . Η πρώτη παράγωγος ως προς

το χρόνο προσεγγίζεται µε πρόδροµη πεπερασµένη διαφορά 1ης τάξης, ενώ

οι δύο δεύτερες παράγωγοι ως προς x και προσεγγίζονται µε κεντρώες

πεπερασµένες διαφορές 2

yης τάξης. Εποµένως, η εξίσωση πεπερασµένων

διαφορών είναι

1, , 1, , 1, , 1 , , 1 2 2

2 2

2 2, ,

n n n n n n n ni j i j i j i j i j i j i j i ju u u u u u u u

O t x yt x y

++ − + −− − + − +

⎡ ⎤= + + ∆ ∆ ∆⎣ ⎦∆ ∆ ∆

0,1, ,i I= … , 0,1, ,j J= … , 0,1, ,n N= … . (5.9.5)

Υποθέτοντας ότι x y h∆ = ∆ = η εξίσωση (5.9.5) γράφεται στη ρητή µορφή

( )1, 1, 1, , 1 , 1 1 4n n n n n

i j i j i j i j i j iu u u u uλ λ λ λ λ+− + + −= + + + + − nu

0,1, ,i I= … , 0,1, ,j J= … , 0,1, ,n N= … . (5.9.6)

όπου 2/t hλ = ∆ . Με ρητό λοιπόν τρόπο, χωρίς δηλαδή να απαιτείται η

επίλυση αλγεβρικών συστηµάτων, ξεκινώντας από τη γνωστή αρχική

συνθήκη υπολογίζονται οι τιµές της άγνωστης µεταβλητής στους κόµβους

του πλέγµατος για κάθε χρονικό βήµα µε βάση τις εξισώσεις (5.9.5) ή

(5.9.6) και τις γνωστές οριακές συνθήκες.

Για να εφαρµόσουµε το πεπλεγµένο αριθµητικό σχήµα της παραγράφου

5.4, η (5.9.1) προσεγγίζεται στον κόµβο ( ), , 1i j n + . Η πρώτη παράγωγος

ως προς το χρόνο προσεγγίζεται µε πρόδροµη πεπερασµένη διαφορά 1ης

τάξης, ενώ οι δύο δεύτερες παράγωγοι ως προς x και προσεγγίζονται

µε κεντρώες πεπερασµένες διαφορές 2

yης τάξης. Εποµένως, η εξίσωση

πεπερασµένων διαφορών είναι

1 1 1 1 1 1 1, , 1, , 1, , 1 , , 1 2 2

2 2

2 2, ,

n n n n n n n ni j i j i j i j i j i j i j i ju u u u u u u u

O t x yt x y

+ + + + + + ++ − + −− − + − +

⎡ ⎤= + + ∆ ∆ ∆⎣ ⎦∆ ∆ ∆

0,1, ,i I= … , 0,1, ,j J= … , 0,1, ,n N= … . (5.9.7)

Υποθέτοντας ότι x y h∆ = ∆ = η εξίσωση (5.9.7) γράφεται στη µορφή

( )1 1 1 1 11, 1, , 1 , 1 , ,1 4n n n n n

i j i j i j i j i j i ju u u u uλ λ λ λ λ+ + + + +− + + −− − − − + + = nu ,

0,1, ,i I= … , 0,1, ,j J= … , 0,1, ,n N= … . (5.9.8)

25

όπου και πάλι 2/t hλ = ∆ . Είναι προφανές ότι η επίλυση των εξισώσεων

πεπερασµένων διαφορών (5.9.7) και (5.9.8) προϋποθέτει την επίλυση ενός

αλγεβρικού συστήµατος σε κάθε χρονικό βήµα. Ο πίνακας συντελεστών

του συστήµατος έχει πέντε µη µηδενικά στοιχεία ανά γραµµή. Εποµένως

όπως και στις ελλειπτικές εξισώσεις πρόκειται για αραιούς πίνακες και

συνήθως η επίλυση των συστηµάτων γίνεται µε επαναληπτικές τεχνικές για

τους λόγους που έχουµε αναπτύξει εκτενώς στη παράγραφο 4.3.

Τέλος για να εφαρµόσουµε το πεπλεγµένο σχήµα Crank-Nicolson της

παραγράφου 5.5 η (5.9.1) προσεγγίζεται στον κόµβο ( ), , 1/ 2i j n + .

Εφαρµόζοντας κεντρώες εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών στο χρόνο

και στο χώρο προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών

( )1 1 1 1

, , 1, , 1, 1, , 1,2 2

2 21

n n n n n n n ni j i j i j i j i j i j i j i j

x x

u u u u u u u ut x x

θ θ+ + + +

+ − +− − + − += + −

∆ ∆ ∆

1+− +

( )1 1 1 1

, 1 , , 1 , 1 , , 1 2 2 22 2

2 21 ,

n n n n n ni j i j i j i j i j i j

y y

u u u u u uO t x y

y yθ θ

+ + + ++ − + −− + − +

,⎡ ⎤+ + − + ∆ ∆ ∆⎣ ⎦∆ ∆.

0,1, ,i I= … , 0,1, ,j J= … , 0,1, ,n N= … . (5.9.8)

ή στην πιο συνεκτική µορφή

( ) ( )1

, , 2 1 2 2 1 21n ni j i j n n n n

x x x x y y x y

u uu u u

tθ δ θ δ θ δ θ δ

++ +−

= + − + + −∆

1 u

1

, (5.9.10)

όπου 0 ,x yθ θ< < και 2xδ , 2

yδ οι κεντρώοι τελεστές δεύτερης τάξης. Στην

ειδική περίπτωση όπου x y h∆ = ∆ = και 1/ 2x yθ θ= = προκύπτει το σχήµα

Crank-Nicolson

( )1 1 1 11, 1, , 1 , 1 ,2 1 2n n n n n

i j i j i j i j i ju u u u uλ λ λ λ λ+ + + + +− + − +− − − − + + 1 =

( )1, 1, , 1 , 1 ,2 1 2n n n ni j i j i j i j i ju u u uλ λ λ λ λ− + − += + + + + − nu , (5.9.11)

όπου 2/t hλ = ∆ .

Το αριθµητικό σφάλµα, όπως και όλα τα άλλα αριθµητικά χαρακτηριστικά,

των δισδιάστατων αριθµητικών σχηµάτων (5.9.6), (5.9.8) και (5.9.11)

είναι ακριβώς τα ίδια µε τα αντίστοιχα των µονοδιάστατων σχηµάτων. Η

εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών σε τρισδιάστατα

26

προβλήµατα αλλά και σε άλλα συστήµατα συντεταγµένων πλην του

καρτεσιανού µπορεί να γίνει εύκολα ακολουθώντας τους βασικούς κανόνες

και τεχνικές που έχουµε παρουσιάσει στα Κεφάλαια 4 και 5.

5.10 Ανάλυση ευστάθειας σε δύο διαστάσεις

Η ανάλυση ευστάθειας Von-Neumann σε προβλήµατα µε δύο χωρικές

διαστάσεις βασίζεται στη διακριτή σειρά Fourier που εφαρµόζεται χωριστά

σε κάθε διάσταση χρησιµοποιώντας το διάνυσµα του κυµαταριθµού

( ) ( ), ,x y xk k k yθ θ= =k . Θεωρώντας και πάλι περιοδικές οριακές συνθήκες

η αριθµητική λύση προσεγγίζεται µε το διπλό ανάπτυγµα Fourier

, ,

lmyx

J Ik j yk i xn n

i j m ll J m I

u e αα ∆∆

=− =−

= Ψ∑ ∑ e ,

, 0,1, ,i I= … 0,1, ,j J= … , 0,1, , ,n N= … (5.10.1)

όπου το εύρος τιµών των mxk και ορίζεται χωριστά σε κάθε διάσταση,

όπως στη περίπτωση της µονοδιάστατης γεωµετρίας. Αντικαθιστούµε, στην

εξίσωση πεπερασµένων διαφορών, µία αρµονική και µετά από τυπική

µαθηµατική επεξεργασία προκύπτει µία έκφραση ή εξίσωση για τον

συντελεστή ενίσχυσης.

lyk

Στη συνέχεια εφαρµόζουµε την δισδιάστατη µεθοδολογία Von-Neumann

στην ρητή εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (5.9.5). Αντικαθιστούµε στην

(5.9.5) την έκφραση

,yx k j yk i xn n

i ju e eαα ∆∆Ψ∼ , , 0,1, ,i I= … 0,1, ,j J= … , 0,1, , ,n N= … (5.10.2)

και διαιρώντας την προκύπτουσα εξίσωση µε yx k j yk i xe eαα ∆∆ βρίσκουµε

( ) ( )1

2 22 2yx x

n n n nk y k yk x k xe e e e

t x yαα α

+∆ −∆ − ∆Ψ −Ψ Ψ Ψ

= − + + − +∆ ∆ ∆

yα ∆. (5.10.3)

Συνδυάζοντας τέλος κατάλληλα τους όρους εντός των παρενθέσεων

προκύπτει ο συντελεστής ενίσχυσης

121 4 sin 4 sin

2 2

nyx

x yn

k yk xξ λ λ+

2 ∆Ψ ∆= = − −

Ψ, (5.10.4)

27

όπου και . Εποµένως το ρητό σχήµα (5.9.5)

είναι ευσταθές µόνο όταν

2/x t xλ = ∆ ∆ 2/y t yλ = ∆ ∆

12 21 4 sin 4 sin 1

2 2

nyx

x yn

k yk xξ λ λ+ ∆Ψ ∆

= = − −Ψ

< , (5.10.5)

που οδηγεί στο κριτήριο ευστάθειας

12x yλ λ+ < ⇒ 2 2

1 12

tx y

⎛ ⎞ 1∆ + <⎜ ∆ ∆⎝ ⎠

⎟ . (5.10.6)

Σηµειώνεται ότι εάν x y h∆ = ∆ = τότε το κριτήριο ευστάθειας είναι

2

14

th∆

< . (5.10.7)

Εάν συγκρίνουµε το κριτήριο ευστάθειας (5.10.7) µε το αντίστοιχο κριτήριο

(5.6.10) παρατηρούµε ότι το χρονικό βήµα στην ρητή αριθµητική λύση της

δισδιάστατης εξίσωσης θερµότητας θα πρέπει να µειωθεί στο ήµισυ σε

σχέση µε το χρονικό βήµα στην αντίστοιχη µονοδιάστατη αριθµητική λύση.

Εφαρµόζοντας ανάλυση ευστάθειας von Neumann στην εξίσωση

πεπερασµένων διαφορών (5.9.7) αποδεικνύεται, όπως είναι αναµενόµενο,

ότι το πεπλεγµένο σχήµα είναι πάντα ευσταθές.

5.11 Εφαρµογή της µεθόδου ADI σε παραβολικές εξισώσεις

Η µέθοδος ADI έχει παρουσιασθεί εκτενώς στη παράγραφο 4.4. Πρόκειται

για µία επαναληπτική µέθοδο επίλυσης αλγεβρικών συστηµάτων όπου σε

κάθε επανάληψη επιλύονται δύο τριδιαγώνια συστήµατα. Η µέθοδος ADI

συγκλίνει σε σχετικά µικρό αριθµό επαναλήψεων ενώ το υπολογιστικό

κόστος ανά επανάληψη είναι µικρό.

Όπως έχουµε επισηµάνει η αριθµητική επίλυση παραβολικών εξισώσεων µε

πεπλεγµένα σχήµατα πεπερασµένων διαφορών συνοδεύεται απαραίτητα

από την επίλυση αλγεβρικών συστηµάτων σε κάθε χρονικό βήµα.

Λαµβάνοντας υπόψη τα σηµαντικά πλεονεκτήµατα της µεθόδου ADI σε

σχέση µε άλλα συµβατικά επαναληπτικά σχήµατα έχει γίνει συστηµατική

28

προσπάθεια για την εµπλοκή της µεθόδου ADI στην επίλυση

πολυδιάστατων παραβολικών προβληµάτων.

Έστω ότι για την επίλυση της εξίσωσης θερµότητας σε δύο διαστάσεις

εφαρµόζεται το πεπλεγµένο σχήµα (5.9.7). Η βασική αρχή έγκειται στην

διάσπαση της (5.9.7) σε δύο εξισώσεις που επιλύονται σε διαδοχικά

χρονικά βήµατα διάρκειας έκαστο. Από τις δύο εξισώσεις η πρώτη

είναι πεπλεγµένη στη διεύθυνση

/ 2t∆x , ενώ η δεύτερη στη κατεύθυνση . Η

λύση στο ενδιάµεσο χρονικό βήµα συµβολίζεται µε . Πρώτα επιλύεται

η εξίσωση

y1/ 2

,ni ju +

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 1 1, , 1, , 1, , 1 , ,

2

2 2/ 2

n n n n n n n ni j i j i j i j i j i j i j i ju u u u u u u u

t x y

+ + + + + +1

2

++ − +− − + − +

= +∆ ∆ ∆

− (5.11.1)

και στη συνέχεια η εξίσωση

1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 1 1, , 1, , 1, , 1 , ,

2

2 2/ 2

n n n n n n n ni j i j i j i j i j i j i j i ju u u u u u u u

t x y

+ + + + + + + +1

2+ − +− − + −

= +∆ ∆ ∆

−+

N

, (5.11.2)

για , και 0,1, ,i I= … 0,1, ,j J= … 0,1, ,n = … . Η επίλυση των εξισώσεων

(5.11.1) και (5.11.2) ανά χρονικό βήµα γίνεται µε τον αλγόριθµο Thomas.

Όταν x y h∆ = ∆ = ο αλγόριθµος ADI γράφεται στη µορφή

1/ 2 1/ 2 1/ 21, , 1, , 1 , , 1

1 12 1 2 1n n n n ni j i j i j i j i j i ju u u u u

λ λ+ + +− + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

nu + (5.11.3)

1 1 1 1/ 2 1/ 2, 1 , , 1 1, , 1,

1 12 1 2 1n n n n ni j i j i j i j i j i ju u u u u

λ λ+ + + + +− + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1/ 2nu ++

⎤⎦

(5.11.4)

Αποδεικνύεται ότι το αριθµητικό σχήµα ADI είναι 2ης τάξης στο χώρο και

στο χρόνο, . Εναλλακτικά, ο αλγόριθµος ADI µπορεί να

διατυπωθεί έχοντας σαν βάση τη µέθοδο Crank Nicolson.

2 2 2, ,O t x y⎡∆ ∆ ∆⎣

Εφαρµόζοντας ανάλυση ευστάθειας von Neumann στις εξισώσεις (5.11.1)

και (5.11.2) και απαλείφοντας την ενδιάµεση ποσότητα 1/ 2n+Ψ προκύπτει

ότι στο τέλος ενός χρονικού βήµατος t∆ ο συντελεστής ενίσχυσης δίδεται

από την σχέση

29

221 22

2 22 2

1 2 sin1 2 sin 221 2 sin 1 2 sin2 2

yxn

nx y

k ytt k xyx

t k y k ytx y

ξ+

∆⎡ ⎤∆∆ ∆⎡ ⎤ −− ⎢ ⎥⎢ ⎥Ψ ∆∆ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥∆ ∆ ∆∆Ψ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥∆⎣ ⎦ ∆⎣ ⎦

(5.11.5)

Είναι προφανές, από την (5.11.5), ότι ο αλγόριθµος ADI είναι πάντα

ευσταθής ανεξάρτητα από την επιλογή του χρονικού βήµατος και των

αποστάσεων

t∆x∆ και . y∆

Συνολικά, πρόκειται για µία αριθµητική µεθοδολογία που είναι 2ης τάξης,

ευσταθής µε µικρό υπολογιστικό κόστος και για τους λόγους αυτούς

χρησιµοποιείται συστηµατικά στην επίλυση πολυδιάστατων παραβολικών

προβληµάτων. Με µικρές τροποποιήσεις Η µέθοδος ADI επεκτείνεται και

χρησιµοποιείται ευρέως στην επίλυση τρισδιάστατων παραβολικών

προβληµάτων.

5.12 Αντιστοιχία παραβολικών και ελλειπτικών σχηµάτων

Στο σηµείο αυτό έχοντας ολοκληρώσει την αριθµητική επίλυση ελλειπτικών

και παραβολικών εξισώσεων µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών

είναι ενδιαφέρον και χρήσιµο να σχολιάσουµε τυχόν αντιστοιχίες ανάµεσα

σε ελλειπτικά και παραβολικά αριθµητικά σχήµατα. Η σύγκριση θα

περιοριστεί στις εξισώσεις Laplace και θερµότητας σε µία και δύο

διαστάσεις που η αριθµητική τους επίλυση έχει µελετηθεί σε βάθος. Για

λόγους πληρότητας της παραγράφου οι εξισώσεις αυτές δίδονται στον

Πίνακα 5.2.

Πίνακας 5.2: Εξισώσεις Laplace και θερµότητας σε µία και δύο διαστάσεις

Εξίσωση 1∆ 2∆

Laplace 0xxu = (5.12.1) 0xx yyu u+ = (5.12.2)

Θερµότητας tu uxx= (5.12.3) t xxu u uyy= + (5.12.4)

30

Καταρχήν σηµειώνεται ότι οι λύσεις των ελλειπτικών προβληµάτων που

περιγράφονται από τις (5.12.1) και (5.12.2) είναι αντίστοιχες µε τις λύσεις

των παραβολικών προβληµάτων που περιγράφεται από τις (5.12.3) και

(5.12.4) για . Στην πραγµατικότητα, εάν οι εξισώσεις συνοδεύονται

από τις ίδιες οριακές συνθήκες τότε οι λύσεις των ελλειπτικών εξισώσεων,

όχι µόνο αντιστοιχούν αλλά ταυτίζονται µε τις ασυµπτωτικές χρονικά

λύσεις των αντίστοιχων παραβολικών εξισώσεων. Υπενθυµίζουµε ότι η

αριθµητική επίλυση των ελλειπτικών εξισώσεων επιτυγχάνεται µε την

επίλυση των εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών µέσω µίας

επαναληπτικής διαδικασίας που ολοκληρώνεται µετά από συγκεκριµένο

αριθµό επαναλήψεων ανάλογα µε το κριτήριο τερµατισµού. Η αριθµητική

επίλυση των παραβολικών εξισώσεων επιτυγχάνεται µε την επίλυση των

εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών σε κάθε χρονικό βήµα και

ολοκληρώνεται µετά από συγκεκριµένο αριθµό χρονικό βηµάτων.

Λαµβάνοντας υπόψη από τη µία πλευρά τα φυσικά φαινόµενα που

περιγράφουν οι ελλειπτικές και οι παραβολικές εξισώσεις και από την άλλη

πλευρά τα αριθµητικά χαρακτηριστικά των ελλειπτικών και των

παραβολικών σχηµάτων πεπερασµένων διαφορών βλέπουµε ότι υπάρχει

µία αντιστοιχία ή και ισοδυναµία θα µπορούσε να λεχθεί, ανάµεσα

στο στοιχείο της επανάληψης του ελλειπτικού σχήµατος και στο

στοιχείο του χρονικού βήµατος του παραβολικού σχήµατος. Η

αντιστοιχία αυτή δεν είναι µόνο ποιοτική αλλά και ποσοτική όπως θα δούµε

στη συνέχεια.

t →∞

Η αριθµητική επίλυση των εξισώσεων (5.12.1) και (5.12.2) επιτυγχάνεται

µε τον υπολογισµό των µόνιµων εξαρτηµένων µεταβλητών και ( )u x

( ),u x y στους κόµβους του πλέγµατος µέσω των επαναληπτικών

αλγορίθµων

( ) ( ) ( )( )1, 1,

12

n ni j i j i ju u u+

− += + 1,n

(5.12.5)

και

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1, 1, 1, , 1

14

n n n ni j i j i j i j i ju u u u u+

− + − += + + + , 1n

(5.12.6)

31

αντίστοιχα, όπου οι δείκτες στις παρενθέσεις συµβολίζουν τον αριθµό

επανάληψης. Η αριθµητική επίλυση των εξισώσεων (5.12.3) και (5.12.4)

επιτυγχάνεται µε τον υπολογισµό των µη µόνιµων εξαρτηµένων

µεταβλητών και ( ,u t x) ( ), ,u t x y στους κόµβους του πλέγµατος µέσω των

χρονικά εξελισσοµένων ρητών αλγορίθµων

11 1

1 2n n ni i iu u u uλ

λ+

− +⎡ ⎤⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ni ⎥ (5.12.7)

και

1, 1, 1, , 1 , 1

1 4n n n n ni j i j i j i j i j iu u u u u uλ

λ+

− + + −⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

n (5.12.8)

αντίστοιχα, όπου τώρα οι άνω δείκτες συµβολίζουν τον αριθµό του

χρονικού βήµατος. Στη συνέχεια συγκρίνουµε τις µονοδιάστατες εξισώσεις

(5.12.5) και (5.12.7) και τις δισδιάστατες εξισώσεις (5.12.6) και (5.12.87).

Επιπλέον της ποιοτικής οµοιότητας που είναι προφανής υπάρχει και

ποσοτική ταύτιση. Συγκεκριµένα, θέτοντας 1/ 2λ = στην (5.12.7), αυτή

ταυτίζεται µε την (5.12.5) και επίσης θέτοντας 1/ 4λ = στην (5.12.8),

αυτή ταυτίζεται µε την (5.12.6). Το γεγονός ότι στις εξισώσεις (5.12.5) και

(5.12.6) ο δείκτης δηλώνει αριθµό επανάληψης, ενώ στις (5.12.7) και

(5.12.8) δηλώνει αριθµό χρονικού βήµατος δεν συνεπάγεται καµία

διαφορά στους υπολογισµούς και τα αριθµητικά αποτελέσµατα σε κάθε

επανάληψη θα ταυτίζονται µε τα αριθµητικά αποτελέσµατα σε κάθε χρονικό

βήµα. Βέβαια, είναι αναγκαίο να υπενθυµίσουµε ότι τα ρητά αριθµητικά

σχήµατα (5.12.7) και (5.12.8) είναι ευσταθή µόνο για

n

1/ 2λ < και 1/ 4λ <

αντίστοιχα. Αυτό εξηγείται σχετικά εύκολα επισηµαίνοντας ότι τα

επαναληπτικά σχήµατα (5.12.5) και (5.12.6) είναι οριακά ευσταθή κάτι που

θα µπορούσε κάποιος να ισχυρισθεί και για τα σχήµατα (5.12.7) και

(5.12.8) µε 1/ 2λ = και 1/ 4λ = αντίστοιχα.

Η αντιστοιχία ανάµεσα σε παραβολικά και ελλειπτικά σχήµατα ισχύει και

στην περίπτωση των πεπλεγµένων παραβολικών σχηµάτων. Χωρίς να

θεωρούµε σκόπιµο να επεκταθούµε περισσότερο κρίνουµε αναγκαίο απλώς

να επισηµάνουµε την οµοιότητα των αλγορίθµων (5.11.3-5.11.4) και

(4.4.5-4.4.6), όπου εφαρµόζεται η µέθοδος ADI στην επίλυση των

32

εξισώσεων θερµότητας και Laplace αντίστοιχα σε δύο διαστάσεις. Είναι

προφανές ότι η ανάλυση που παρουσιάσαµε σε µία και δύο διαστάσεις

ισχύει και στην περίπτωση των τριών διαστάσεων.

Συµπερασµατικά, αναφέρεται ότι η ποιοτική ισοδυναµία και µερικές φορές

η ποσοτική ταύτιση παραβολικών και ελλειπτικών σχηµάτων είναι γενική,

ισχύει, εκτός των πεπερασµένων διαφορών και σε άλλες υπολογιστικές

µεθόδους και αποτελεί χρήσιµο εργαλείο στην αριθµητική επίλυση

διαφορικών εξισώσεων.

33

Κεφάλαιο 6

Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων –

επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών

εξισώσεων

6.1 Εισαγωγή

Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη

υπολογιστική µέθοδος επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων. Η µέθοδος

εφαρµόζεται εύκολα χωρίζοντας αρχικά το πεδίο ορισµού σε

πεπερασµένους όγκους αναφοράς, έτσι ώστε κάθε κόµβος του

πλέγµατος να περιβάλλεται από έναν όγκο αναφοράς. Στη συνέχεια η µερική

διαφορική εξίσωση ολοκληρώνεται στον όγκο αναφοράς. Τα

ολοκληρώµατα υπολογίζονται αναλυτικά υποθέτοντας ότι οι τιµές της

άγνωστης εξαρτηµένης µεταβλητής είναι σταθερές ή ότι µεταβάλλονται

γραµµικά σε κάθε όγκο αναφοράς. Οι αλγεβρικές εξισώσεις που προκύπτουν

ονοµάζονται εξισώσεις πεπερασµένων όγκων και το σύστηµα επιλύεται

χρησιµοποιώντας τις άµεσες ή τις επαναληπτικές τεχνικές επίλυσης

συστηµάτων.

Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων γίνεται εύκολα κατανοητή αφού η

µεθοδολογία και γενικότερα ο τρόπος διατύπωσης της µεθόδου συνδέεται

άµεσα µε τη φυσική του προβλήµατος. Είναι λογικό να θεωρούµε ότι οι

εξισώσεις πεπερασµένων όγκων ικανοποιούν τις ίδιες φυσικές αρχές

και νόµους, (διατήρηση µάζας, ορµής, ενέργειας), µε αυτές που

ικανοποιούν οι µερικές διαφορικές εξισώσεις από τις οποίες έχουν

προκύψει. Μία βασική διαφορά ανάµεσα στις µεθόδους των πεπερασµένων

διαφορών και όγκων είναι ότι στις πεπερασµένες διαφορές η λύση βασίζεται

µόνο στις τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους κόµβους του πλέγµατος

ενώ στους πεπερασµένους όγκους η λύση βασίζεται όχι µόνο στις τιµές της

εξαρτηµένης µεταβλητής στους κόµβους αλλά και σε υποθετικές κατανοµές

1

ανάµεσα στους κόµβους. Τέλος σηµειώνεται ότι οι δύο υπολογιστικές

µέθοδοι οδηγούν σε αντίστοιχες εξισώσεις διαφορών εφόσον η µέθοδος των

πεπερασµένων διαφορών διατυπωθεί µε συστηµατικό τρόπο, έτσι ώστε να

εξασφαλίζεται η ευστάθεια και η συνοχή του αριθµητικού σχήµατος.

6.2 Ολοκλήρωση σε όγκο αναφοράς

Έστω η µόνιµη µονοδιάστατη εξίσωση θερµότητας µε πηγή

0d dTk Sdx dx

⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

,

(6.2.1)

όπου ( )k k x= ο συντελεστής θερµικής αγωγής, ( )T x η κατανοµή

θερµοκρασίας και ο ρυθµός παραγωγής θερµότητας ανά µονάδα όγκου. Η

διατύπωση της µεθόδου ξεκινά ορίζοντας το υπολογιστικό χωρίο επίλυσης

του προβλήµατος. Το συνεχές πεδίο ορισµού διακριτοποιείται και εστιάζουµε

την προσοχή µας σε ένα τυχαίο κόµβο του πλέγµατος, έστω στον κόµβο P

και στους γειτονικούς κόµβους W και E όπως φαίνεται στο Σχήµα 6.1.

S

w e P ∆x

δxw δxe

E W

Σχήµα 6.1 ∆ιακριτοποίηση σε µια διάσταση

Στη συνέχεια ορίζουµε τον όγκο ελέγχου γύρω από τον κόµβο P µε τις

διακεκοµµένες γραµµές και τα σηµεία w και e βρίσκονται στο αριστερό και

δεξί αντίστοιχα µέτωπο του όγκου ελέγχου. Στο Σχήµα 6.1 φαίνεται ότι τα

σηµεία w και e ορίζονται στο µέσο των διαστηµάτων WP και PE, χωρίς όµως

αυτή η επιλογή να είναι υποχρεωτική. Σε σχέση µε τη µέθοδο των

πεπερασµένων διαφορών οι κόµβοι W, P και E είναι αντίστοιχοι των κόµβων

2

1i − , και , ενώ οι κόµβοι w και e αντιστοιχούν στους κόµβους .

Θεωρώντας µοναδιαία πάχη στις κατευθύνσεις και

i 1i + 1/ 2i ±y z , αφού το πρόβληµα

είναι µονοδιάστατο ο όγκος του όγκου ελέγχου είναι 1 1x∆ × × . Η εξίσωση

(6.1) ολοκληρώνεται στον όγκο ελέγχου και προκύπτει

0 0e e e

e ww w w

d dT dT dTk dx Sdx k k Sdxdx dx dx dx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⇒ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (6.2.2)

Στο σηµείο αυτό για να προχωρήσουµε απαιτείται να γίνει µια υπόθεση για

την θερµοκρασιακή κατανοµή γύρω από τα σηµεία e και w. Οι δύο

απλούστερες υποθέσεις είναι να θεωρήσουµε ότι η θερµοκρασία ( )T x είναι

σταθερή ή ότι µεταβάλλεται γραµµικά ανάµεσα στα σηµεία W, P και Ε.

Επιλέγοντας τη δεύτερη υπόθεση η εξίσωση (6.2) ανάγεται στην αλγεβρική

πλέον εξίσωση

( ) ( ) 0e wE P P E

e w

k kT T T T S xx xδ δ

− − − + ∆ = , (6.2.3)

όπου το S είναι η µέση τιµή του S στον όγκο ελέγχου. Για υπολογιστικούς

λόγους συνηθίζεται η εξίσωση (6.3) να γράφεται στη µορφή

P P E E W Wa T a T a T b= + + , (6.2.4)

όπου

eE

e

kaxδ

= , (6.2.5α)

wW

w

kaxδ

= , (6.2.5β)

P Ea a a= + W (6.2.5γ)

και

b S x= ∆ , (6.2.5δ)

ή στην πιο βολική µορφή

P P nb nba T a T b=∑ + , (6.2.6)

όπου ο δείκτης σηµαίνει κάποιο γειτονικό κόµβο και το άθροισµα ισχύει

για όλους τους γειτονικούς κόµβους. Οι συντελεστές της εξίσωσης

(6.2.6) πρέπει να είναι θετικοί και επίσης

nb

p nba =∑a . (6.2.7)

3

Υπάρχουν πολλές περιπτώσεις που οι κανόνες αυτοί δεν τηρούνται και αυτό

έχει συνήθως σαν συνέπεια ασταθή αριθµητικά αποτελέσµατα που δεν

συµφωνούν µε τη φυσική του προβλήµατος.

6.3 Οριακές συνθήκες µικτού τύπου

Οι οριακές συνθήκες που συνοδεύουν τις µερικές διαφορικές εξισώσεις, όπως

έχουµε συχνά αναφέρει, είναι τύπου Dirichlet ή τύπου Neumann, ή µικτού

τύπου. Όταν είναι τύπου Dirichlet, οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής

στους οριακούς κόµβους του υπολογιστικού πλέγµατος είναι γνωστές.

Αντίθετα στις άλλες δύο περιπτώσεις είναι απαραίτητο να διατυπωθούν

εξισώσεις πεπερασµένων όγκων για τους συνοριακούς κόµβους που θα

λυθούν µαζί µε τις υπόλοιπες εξισώσεις των εσωτερικών κόµβων.

Η µεθοδολογία παρουσιάζεται µε ένα παράδειγµα όπου εξετάζεται η µόνιµη

µονοδιάστατη εξίσωση θερµότητας (6.2.1) µε συνοριακή συνθήκη µικτού

τύπου στο όριο 0x = :

( )BB

dTk h Tdx ∞− = −T , (6.3.1)

όπου και T∞ BT οι θερµοκρασίες του περιβάλλοντος και του συνοριακού

σηµείου Β ( 0x = ) αντίστοιχα. Η διακριτοποίηση στον οριακό όγκο

αναφοράς, στο σηµείο Β φαίνεται στο Σχήµα 3.2.

E e B

δxi

i Ι ∆x

Σχήµα 3.2. ∆ιακριτοποίηση οριακού κόµβου σε µια διάσταση

4

Παρατηρούµε ότι τώρα ο συνοριακός κόµβος Β δεν περιβάλλεται από τον

αντίστοιχο όγκο ελέγχου. Η εξίσωση (6.2.1) ολοκληρώνεται στον συνοριακό

όγκο ελέγχου και προκύπτει ότι

0 0i i i

i BB B B

d dT dT dTk dx Sdx k k Sdxdx dx dx dx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⇒ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (6.3.2)

θεωρούµε ότι η θερµοκρασία ( )T x µεταβάλλεται γραµµικά ανάµεσα στα

σηµεία Β και P και επίσης αντικαθιστούµε τον δεύτερο όρο της (6.3.2) από

την οριακή συνθήκη (6.3.1). Με βάση τα παραπάνω έχουµε ότι

( ) ( ) 0iI B B

i

k T T h T T S xxδ ∞− + − + ∆ = . (6.3.3)

Η εξίσωση (6.3.3) γράφεται στη µορφή

B B I Ia T a T b= + , (6.3.4)

όπου

iI

i

kaxδ

= , (6.3.5α)

B Ia a= + h (6.3.5β)

και

b S x hT∞= ∆ + . (6.3.5γ)

Λύνοντας την εξίσωση (6.3.3) µαζί µε τις εξισώσεις πεπερασµένων όγκων

για τους εσωτερικούς κόµβους (6.2.4) οδηγούµαστε στον υπολογισµό των

θερµοκρασιών.

6. 4 Χρονικά µεταβαλλόµενα προβλήµατα

Έστω ότι ζητείται η αριθµητική επίλυση της χρονικά µεταβαλλόµενης

εξίσωσης θερµότητας

T Tc kt x x

ρ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎟ , (6.4.1)

όπου η πυκνότητα ρ και η ειδική θερµότητα δεν µεταβάλλονται ως προς

το χρόνο. Ακολουθώντας την ίδια µεθοδολογία η εξίσωση (6.4.1)

ολοκληρώνεται στον όγκο αναφοράς. Παράλληλα η χρονική επίλυση του

c

5

προβλήµατος επιτυγχάνεται ολοκληρώνοντας την εξίσωση (6.4.1) στο

χρονικό διάστηµα ανάµεσα σε και t t t+ ∆ . Εφαρµόζοντας τα παραπάνω

βρίσκουµε

ρ e t t t t e

w t t w

T Tc dt dx k dt x x

+∆ +∆∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ x dt , (6.4.2)

όπου η σειρά ολοκλήρωσης εξαρτάται από το χαρακτήρα του κάθε όρου.

Θεωρούµε ότι στον όγκο ελέγχου η εξαρτηµένη µεταβλητή ( ),T t x

παραµένει σταθερή στη διάρκεια του χρονικού βήµατος, ενώ µεταβάλλεται

γραµµικά στο διάστηµα x∆ . Με βάση τις υποθέσεις αυτές προκύπτει ότι

( ) ( ) ( )1ρ t t

n n e wP P E P P W

e wt

k kc x T T T T T T dtx xδ δ

+∆+ ⎡ ⎤

∆ − = − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ , (6.4.3)

όπου η χωρική διακριτοποίηση είναι αντίστοιχη αυτής της Παραγράφου 6.2

και του Σχήµατος 6.1. Για να συνεχίσουµε απαιτείται µια νέα υπόθεση για τη

χρονική µεταβολή της εξαρτηµένης µεταβλητής ( ),T t x στα σηµεία Ε, P και

W στη διάρκεια του χρονικού βήµατος t∆ . Μερικές από τις υπάρχουσες

δυνατότητες παρουσιάζονται στη γενική έκφραση

( )1 1 t t

nP P P

t

T dt T T tθ θ+∆

+⎡= + −⎣∫ n ⎤∆⎦ , (6.4.4)

όπου η παράµετρος θ είναι ο συντελεστής σηµαντικότητας ή βαρύτητας

ανάµεσα στις χρονικές στιγµές t και t t+ ∆ . Αντικαθιστώντας την εξίσωση

(6.4.4) στην εξίσωση (6.4.3) προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων όγκων

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1 1

1

n n n n n ne wP P E P P W

e w

n n n ne wE P P W

e w

x k kc T T T T T Tt x x

k kT T T Tx x

ρ θδ δ

θδ δ

+ + + +⎡ ⎤∆− = − − −⎢ ⎥∆ ⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − − − −⎢ ⎥

⎣ ⎦

1+

(6.4.5)

Το παραπάνω αποτέλεσµα µπορεί να γραφεί στην πιο συνεκτική µορφή

( ) ( )( ) ( )

* 1 1 11 1

1 1

n n n nP P E E E W W W

nP E W P

a T a T T a T T

a a a T

θ θ θ θ

θ θ

+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ − − − −⎡ ⎤⎣ ⎦

n +, (6.4.6)

όπου

6

eE

e

kaxδ

= , (6.4.7α)

wW

w

kaxδ

= , (6.4.7β)

Pc xa

tρ ∆

=∆

(6.4.7γ)

και

*P P Ea a a awθ θ= + + . (6.4.7δ)

Όταν 0θ = και 1θ = το σχήµα είναι ρητό και πεπλεγµένο αντίστοιχα, ενώ

όταν 1/ 2θ = το σχήµα είναι πεπλεγµένο τύπου Crank-Nicolson. Επίσης όλα

τα σχήµατα που προκύπτουν για 0θ ≠ είναι πεπλεγµένα και απαιτείται η

επίλυση ενός συστήµατος εξισώσεων σε κάθε χρονική στιγµή. Αντίθετα, όταν

το σχήµα είναι ρητό ( 0θ = ) οι θερµοκρασίες σε κάθε χρονική στιγµή

υπολογίζονται άµεσα. Στην περίπτωση αυτή πρέπει να είµαστε ιδιαίτερα

προσεκτικοί ώστε να ικανοποιείται ο ορισµός ότι όλοι οι συντελεστές της

εξίσωσης (6.4.6) πρέπει να είναι θετικοί. Στην ειδική περίπτωση που η

θερµική αγωγιµότητα παραµένει σταθερή ( w ek k k= = ) και e wx x xδ δ∆ = = ,

ο περιορισµός των θετικών συντελεστών ικανοποιείται µόνο όταν

2

12

t cx k

ρ∆≤

∆.

(6.4.8)

Όταν το κριτήριο (6.4.8) παραβιάζεται τότε προκύπτουν αφύσικα

αποτελέσµατα αφού µια υψηλότερη θερµοκρασία τη χρονική στιγµή θα

οδηγήσει σε χαµηλότερη θερµοκρασία την επόµενη χρονική στιγµή

PT n

PT 1n + .

Η επίλυση της αντίστοιχης εξίσωσης µε ρητό σχήµα περασµένων διαφορών

είναι ευσταθής µόνο όταν ικανοποιείται το ίδιο ακριβώς κριτήριο ευστάθειας.

Επίσης επεκτείνοντας τη σύγκριση των δύο µεθοδολογιών στις περιπτώσεις

του πεπλεγµένου σχήµατος και του σχήµατος Crank-Nicolson προκύπτουν

αντίστοιχα αποτελέσµατα ισοδυναµίας, αν και η περίπτωση του σχήµατος

Crank-Nicolson χρίζει ιδιαίτερης προσοχής. Με βάση τα παραπάνω σχόλια

µπορούµε να παραλληλίσουµε την απαίτηση για θετικούς συντελεστές

7

στη µέθοδο των πεπερασµένων όγκων µε το κριτήριο ευστάθειας στη

µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών.

6.5 Ολοκλήρωση σε δισδιάστατο και τρισδιάστατο όγκο

αναφοράς

Έστω ότι ζητείται η αριθµητική επίλυση της µόνιµης εξίσωσης θερµότητας σε

δυο διαστάσεις

0T Tk kx x y y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠= . (6.5.1)

Τµήµα του υπολογιστικού πλέγµατος µε έναν όγκο ελέγχου γύρω από το

σηµείο P φαίνεται στο Σχήµα 3.3

δxs

δxn

δxw δxe

P w

s

W

S

E

∆y

e

n ∆x

N

Σχήµα 3.3: ∆ιακριτοποίηση σε δυο διαστάσεις

Τα γειτονικά σηµεία του P είναι τα σηµεία W και Ε στη διεύθυνση x και τα

σηµεία S και Ν στη διεύθυνση . Το πάχος του όγκου ελέγχου στη

διεύθυνση

y

z είναι µονάδα. Εποµένως, ο όγκος είναι 1x y∆ ×∆ × . Τα σηµεία

w, e, s και n βρίσκονται στα µέτωπα του όγκου ελέγχου. Είναι προφανές, ότι

επιχειρώντας µία σύγκριση ανάµεσα στα υπολογιστικά πλέγµατα των

µεθόδων πεπερασµένων διαφορών και όγκων βλέπουµε ότι τα πλέγµατα

8

είναι ισοδύναµα. Συγκεκριµένα τα σηµεία P, W, Ε, S και Ν είναι αντίστοιχα

των σηµείων ( ),i j , ( )1,i j± και ( ), 1i j ± , ενώ τα σηµεία w, e, s και n είναι

αντίστοιχα των σηµείων ( )1/ 2,i j± και ( ), 1/ 2i j ± . Η εξίσωση (6.5.1)

ολοκληρώνεται στον όγκο αναφοράς και έχουµε ότι

0n e e n

s w w s

T Tk dxdy k dydxx x y y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ = (6.5.2)

ή

0n e

e ws w n s

T T T Tk k dy k k dxx x y y

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ =⎥ . (6.5.3)

Στη συνέχεια θεωρώντας ότι οι θερµορροές παραµένουν σταθερές κατά

µήκος των τεσσάρων µετώπων του όγκου ελέγχου η εξίσωση (6.5.3)

γράφεται στη µορφή

0e w n s

T T T Tk k y k k xx x y y

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ∆ + − ∆⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦=⎥ (6.5.4)

Τέλος, υποθέτουµε γραµµική µεταβολή της θερµοκρασίας στα µέτωπα e, w,

n και s και προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων όγκων

( ) ( ) ( ) ( ) 0e w n sE P P W N P P S

e w n s

k y k y k x k xT T T T T T T Tx x y yδ δ δ δ∆ ∆ ∆ ∆

− − − + − − − =

(6.5.5)

Η εξίσωση (6.5.5) γράφεται στην πιο συνεκτική µορφή

P P E E W W N N S Sa T a T a T a T a T= + + + (6.5.6)

όπου

eE

e

k yaxδ∆

= , (6.5.7α)

wW

w

k yaxδ∆

= , (6.5.7β)

nN

n

k xayδ∆

= , (6.5.7γ)

sS

s

k xayδ∆

= (6.5.7δ)

και

9

P E W Na a a a a= + + + S . (6.5.8)

Η παραπάνω ανάλυση επεκτείνεται εύκολα σε τρισδιάστατα προβλήµατα µε ή

χωρίς χρονική µεταβολή και όρο πηγής.

6.6 Πολικές συντεταγµένες

Μέχρι τώρα χρησιµοποιήσαµε µόνο καρτεσιανές συντεταγµένες. Είναι

προφανές ότι η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων εφαρµόζεται και σε άλλα

συστήµατα συντεταγµένων. Στην παρούσα παράγραφο εξετάζεται η

περίπτωση των πολικών συντεταγµένων, όπου η µη οµογενής χρονικά

µεταβαλλόµενη εξίσωση θερµότητας είναι

1 1T T k Tc rkt r r r r r

ρθ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠S+ . (6.6.1)

Το πλέγµα και ο όγκος ελέγχου σε πολικές συντεταγµένες και r θ φαίνονται

στο Σχήµα 3.4.

δrn

δrs

δθw δθe

w

W

S

s∆θ

e∆r E

P

n

N

Σχήµα 3.4 : ∆ιακριτοποίηση σε πολικές συντεταγµένες

Η εξίσωση πεπερασµένων όγκων προκύπτει αφού πολλαπλασιάσουµε την

εξίσωση (6.6.1) µε και στη συνέχεια ολοκληρώσουµε ως προς και r r θ

10

στον όγκο ελέγχου PV r rθ∆ = ∆ ∆ . Ακολουθώντας την ίδια µαθηµατική

επεξεργασία όπως και στην περίπτωση των καρτεσιανών συντεταγµένων

βρίσκουµε

* 1 1 1 1 1n n n n n nP P P P E E W W N N S Sa T a T a T a T a T a T b+ + + += + + + + ++ (6.6.2)

όπου

e rE

e e

karδθ∆

= , (6.6.3α)

w rW

w w

kar δθ∆

= , (6.6.3β)

n nN

n

k rarθ

δ∆

= , (6.6.3γ)

s sS

s

k rarθ

δ∆

= , (6.6.3δ)

Pc Va

tρ ∆

=∆

,

(6.6.3ε)

b S V= ∆ (6.6.3στ)

και

*P P E W Na a a a a a= + + + + S . (6.6.3ζ)

Οι εκφράσεις (6.6.3) έχουν προκύψει θεωρώντας το πεπλεγµένο σχήµα

(συντελεστής βαρύτητας 1θ = ) και ( )0.5 n sV r r θ∆ = + ∆ .

Το παραπάνω παράδειγµα οδηγεί στο συµπέρασµα ότι οι διαφορές που

προκύπτουν στη µαθηµατική επεξεργασία των εξισώσεων οφείλονται

αποκλειστικά στη γεωµετρία του προβλήµατος, ενώ η µεθοδολογία

διατύπωσης της µεθόδου των πεπερασµένων όγκων παραµένει η ίδια και δεν

εξαρτάται από το σύστηµα συντεταγµένων. Η παραπάνω ανάλυση

επεκτείνεται εύκολα σε κυλινδρικές συντεταγµένες.

11

Κεφάλαιο 7

Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με

πεπερασμένες διαφορές

7.1 Εξισώσεις κύματος 1ης και 2ης τάξης

Οι κλασσικές αντιπροσωπευτικές εξισώσεις της κατηγορίας των

υπερβολικών εξισώσεων είναι οι εξισώσεις κύματος 1ης τάξης

0t xu cu+ = (7.1.1)

και 2ης τάξης

2 0,tt xxu c u− = (7.1.2)

όπου ( ),u u t x= είναι η άγνωστη εξαρτημένη μεταβλητή, και t x είναι οι

ανεξάρτητες μεταβλητές στο χρόνο και χώρο αντίστοιχα και μία

σταθερά. Εξισώσεις υπερβολικού τύπου, όπως οι (7.1.1) και (7.1.2),

περιγράφουν μεγάλο αριθμό φυσικών φαινομένων και συστημάτων, όπως

μη συνεκτική ροή, ακουστική, ηλεκτρομαγνητικά κύματα, πλαστικότητα και

άλλα. Οι (7.1.1) και (7.1.2) περιγράφουν την διάδοση (μεταφορά) μιας

φυσικής οντότητας, όπως για παράδειγμα ένα ακουστικό σήμα, μία

διαταραχή κ.τ.λ. που εκφράζεται από την εξαρτημένη μεταβλητή από μία

αρχική σε μία μεταγενέστερη θέση στο χρόνο και το χώρο. Είναι

απαραίτητο λοιπόν εξισώσεις όπως οι (7.1.1) και (7.1.2) να

συνοδεύονται από συνθήκες που προσδιορίζουν την αρχική

κατάσταση του φαινομένου. Συγκεκριμένα, η (7.1.1) πρέπει να

συνοδεύεται από μία αρχική συνθήκη που θα ορίζει την εξαρτημένη

μεταβλητή σε κάποια χρονική στιγμή , έστω , ενώ η (7.1.2) πρέπει να

συνοδεύεται από δύο αρχικές συνθήκες όπου σε κάποια χρονική

στιγμή , έστω , επιπλέον της εξαρτημένης μεταβλητής πρέπει να

ορίζεται και η παράγωγός της ως προς το χρόνο. Επομένως, οι αρχικές

συνθήκες μαζί με την διαφορική εξίσωση καθορίζουν την εξέλιξη της

φυσικής οντότητας χωρίς να απαιτείται ο ορισμός συμπληρωματικών

0c >

t 0t

t 0t

128

συνθηκών σε μεταγενέστερη χρονική στιγμή καθώς το . Στις

υπερβολικές εξισώσεις το πεδίο ορισμού είναι ανοικτό στη

διάσταση του χρόνου, . Ως προς τη διάσταση του χώρου ανάλογα

με το φαινόμενο που περιγράφεται και τη γεωμετρία του, είναι πιθανόν να

προσδιορίζονται ή όχι οριακές συνθήκες. Στη πρώτη περίπτωση

αναφερόμαστε σε υπερβολικό πρόβλημα αρχικών – οριακών τιμών

και στη δεύτερη σε υπερβολικό πρόβλημα αρχικών τιμών. Στο

κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε αποκλειστικά προβλήματα αρχικών τιμών.

t→∞

0t t>

Τα υπερβολικά προβλήματα αρχικών τιμών που βασίζονται στις εξισώσεις

κύματος 1ης και 2ης τάξης (7.1.1) και (7.1.2) αντίστοιχα είναι γνωστά και

σαν προβλήματα Cauchy και ορίζονται ως εξής:

Πρόβλημα Cauchy 1ης τάξης

0t xu cu+ = , x−∞ < < ∞ , , (7.1.3) 0t >

( ) ( )0,u x f x= , x−∞ < < ∞ . (7.1.4)

Πρόβλημα Cauchy 2ης τάξης

2 0tt xxu c u− = , x−∞ < < ∞ , , (7.1.5) 0t >

( ) ( )0,u x g x= , x−∞ < < ∞ , (7.1.6α)

( ) ( )0,tu x h x= , x−∞ < < ∞ . (7.1.6β)

Οι συναρτήσεις ( )f x , ( )g x και ( )h x θεωρούνται γνωστές.

Η διαδικασία αναλυτικής επίλυσης των δύο προβλημάτων Cauchy είναι

ευρέως γνωστή και απλή. Εφαρμόζοντας την μέθοδο των

χαρακτηριστικών η λύση του προβλήματος Cauchy 1ης τάξης είναι

( ) (,u x t f x ct= − ) . (7.1.7)

Η γραφική απεικόνιση της λύσης (7.1.7) για μία τυχαία συνάρτηση ( )f x

φαίνεται στο Σχήμα 7.1. Παρατηρούμε ότι η αρχική κατανομή ( )f x

ταξιδεύει κατά μήκος της χαρακτηριστικής x ct= αμετάβλητη στο χρόνο.

129

χήμα 7.1: Αναλυτική λύση εξίσωσης κύματος 1ης τάξης.

αναλυτική λύση του 2ου προβλήματος Cauchy είναι γνωστή σαν λύση

u

x

t

x ct=

1t t= 2t t= 0t =

( )f x

2( )f x ct−

Σ

Η

D’Alembert και δίδεται από την κλειστή έκφραση

( ) ( ) ( ) ( )1 1,2 2

x ct+

x ct

u x t g x ct g x ct h s dsc −

= + + − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ (7.1.8)

Στη περίπτωση αυτή έχουμε δύο χαρακτηριστικές κατευθύνσεις που

ορίζο τιςνται από ευθείες x ct= ± και η αρχική κατανομή ( )g x

εύρος σε σχέση με το αρχικό και έκαστη από αυτές ταξιδεύει κατά μήκος

της αντίστοιχης χαρακτηριστικής ευθείας. Ο λόγος τον οποίο

αναφερόμαστε, έστω και περιληπτικά, στη αναλ τική επίλυση των δύο

διαχωρίζεται σε δύο κατανομές που έχουν την ίδια μορφή αλλά με το μισό

για

υ

130

προβλημάτων Cauchy είναι επειδή οι κομψές αναλυτικές λύσεις (7.1.7) και

(7.1.8) χρησιμοποιούνται εκτενώς στη τεκμηρίωση και αξιολόγηση των

αριθμητικών σχημάτων υπερβολικών εξισώσεων. Συγκρίνοντας τα

αντίστοιχα αν λυτικά και αριθμητικά αποτελέσματα προκύπτουν χρήσ μα

συμπεράσματα για τις δυνατότητες και τις αδυναμίες των προτεινομένων

υπολογιστικών μεθόδων.

α ι

ημειώνεται ότι οι δύο εξισώσεις κύματος συνδέονται άμεσα μεταξύ τους Σ

και μάλιστα η εξίσωση 2ης τάξης προκύπτει από την εξίσωση 1ης τάξης μετά

από την παρακάτω μαθηματική επεξεργασία:

( ) ( ) ( ) 2t x tt x t x ttu cu u cu c u c cu u c u

t x x xx∂

= − → = − = − = − − → =∂ ∂ ∂

(7.1.9)

Βεβαίως, η (7.1.2) μπορεί να διατυπωθεί και αυτοδύναμα αξιοποιώντας

τις επόμενες παραγράφους του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε συστηματικά

α

Τ α

.2 Πρόδρομη στο χρόνο - ανάδρομη στο χώρο

φαρμόζοντας πρόδρομη και ανάδρομη παραγώγιση 1ης τάξης στο χρόνο

∂ ∂

φαινομενολογικούς κανόνες.

Σ

με την διατύπωση ρητών και πεπλεγμένων σχημάτων πεπερασμένων

διαφορών για την εξίσωση κύματος 1ης τάξης εξετάζοντας με

λεπτομέρεια την ευστάθεια, την συνοχή και την κρίβειά τους, σε σχέση

με τα αναλυτικά αποτελέσματα. Επίσης θα ορίσουμε τις πολύ βασικές και

σημαντικές έννοιες της αριθμητικής απόσβεσης, διασποράς και

διάχυσης. έλος θ αναφερθούμε συνοπτικά στην αριθμητική επίλυση

της (7.1.2).

7

Ε

και στο χώρο αντίστοιχα της (7.1.1) προκύπτει η ρητή εξίσωση

πεπερασμένων διαφορών

11

n n n ni i i iu u u u+

−− − 0ct x

+ =Δ Δ

, . (7.2.1)

ή

0c >

131

(11

n n n ni i i iu u u uν+

−= − − ) , (7.2.2)

όπου

c tx

ν Δ=Δ

(7.2.3)

είναι ο αδιάστατος αριθμός CFL. Τα γράμματα C, F και L αντιστοιχούν

στα αρχικά γράμματα των επιστημόνων Courant, Fredrich και Lewis που

πρώτοι όρισαν τον αριθμό αυτό και τον χρησιμοποίησαν στην υπολογιστική

επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων. Ο αριθμός CFL όπως θα δούμε

είναι μείζονος σημασίας στην αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων.

Προφανώς, πρόκειται για ρητό σχήμα 1ης τάξης, [ ],O t xΔ Δ . Είναι το

απλούστερο αριθμητικό σχήμα επίλυσης της (7.1.1) και στο εξής θα

ονομάζεται σχήμα ανάντη παραγώγισης.

Σημειώνεται ότι, για 1ν = , η (7.2.2) ανάγεται στη εξίσωση

, που ταυτίζεται με την αναλυτική λύση και επομένως τα

αριθμητικά αποτελέσματα που προκύπτουν θα πρέπει να είναι

εξαιρετικής ακρίβειας. Δυστυχώς, όπως θα δούμε στη συνέχεια το

σχήμα (7.2.2) με

1niu u+ = n

i

1ν = είναι ασταθές.

Θα μελετήσουμε την ευστάθεια του αριθμητικού σχήματος εφαρμόζοντας

ανάλυση Von-Neumann. Αντικαθιστώντας στην (7.2.2) την υπόθεση

n n kiiu eα Δ= Ψ x N, , 0,1, ,i I= … 0,1, , ,n = … (7.2.4)

όπου 1α = − , προκύπτει η εξίσωση

( )1 1n n n ke αν+Ψ = Ψ − Ψ − x− Δ (7.2.5)

και μετά από τυπική μαθηματική επεξεργασία βρίσκουμε το λόγο

( ) ( )1

1 cos sinn

n ν ν β α ν β+Ψ

= = − + + −Ψ

k x, β = Δ . (7.2.6) ξ

Παρατηρούμε ότι ο λόγος 1n

nξ+Ψ

=Ψ

είναι μιγαδικός αριθμός και μπορεί

επίσης να γραφεί στη μορφή

eαϕξ ξ= , (7.2.7)

132

όπου

( ) ( )1

21 cos sinn

n2ξ ν ν β ν β

+Ψ= = − + + −

Ψ (7.2.8)

και

( )( )

Im sinarctan arctanRe 1 cos

ξ ν βϕξ ν ν β

⎛ ⎞−= = ⎜ − +⎝ ⎠

⎟ (7.2.9)

είναι το μέτρο και η γωνία φάσης του μιγαδικού αριθμού ξ . Γνωρίζουμε

ότι το σχήμα ανάντη παραγώγισης (7.2.2) είναι ευσταθές μόνο εάν ο

συντελεστής ενίσχυσης που εκφράζεται από το μέτρο του μιγαδικού

αριθμού ξ είναι μικρότερος της μονάδας. Επομένως θα πρέπει

( ) ( )1

21 cos sinn

nξ ν ν β ν+Ψ

= = − + + −Ψ

2 1β < . (7.2.10)

Στο Σχήμα 7.1 φαίνονται οι τιμές του συντελεστή ενίσχυσης για διάφορες

τιμές του αριθμού CFL και όλο το εύρος της γωνίας β . Είναι προφανές

ότι 1ξ < μόνο όταν 1ν < .

1.3v =

1v =

0.8v =

β

Σχήμα 7.2: Συντελεστής ενίσχυσης σχήματος ανάντη παραγώγισης.

ξ

1.33

1

0.82

1 0.6 1 1.6

133

Περνούμε τώρα στη μελέτη συνοχής του σχήματος ανάντη

παραγώγισης όπως αυτό εκφράζεται από την εξίσωση πεπερασμένων

διαφορών (7.2.2). Αντικαθιστούμε στην (7.2.2) τα αναπτύγματα Taylor

2 31 4

2! 3!n n nn n

i i t tt ttti i i

t tu u t u u u O t+ Δ Δ ⎡ ⎤= + Δ + + + Δ⎣ ⎦ (7.2.11)

και

2 34

1 2! 3!n n nn n

i i x xx xxxi i i

x xu u xu u u O x−Δ Δ ⎡ ⎤= − Δ + − + Δ⎣ ⎦ (7.2.12)

και οδηγούμεθα στην εξίσωση

2 24 4,

2 2 2 6t x tt xx ttt xxxt c x t xu cu u u u c u O t xΔ Δ Δ Δ ⎡ ⎤+ = − + − − + Δ Δ⎣ ⎦ . (7.2.13)

Παρατηρούμε λοιπόν ότι το ρητό αριθμητικό σχήμα (7.2.2)

προσεγγίζει την διαφορική εξίσωση (7.2.13) και όχι την εξίσωση

κύματος 1ης τάξης (7.1.1). Βέβαια το σχήμα έχει συνοχή αφού για

και 0tΔ → 0xΔ → το δεξιό τμήμα της (7.2.13) μηδενίζεται και τότε η

διαφορική εξίσωση (7.2.13) ανάγεται στην (7.1.1). Πρόσθετα χρήσιμα

συμπεράσματα για την συνοχή και γενικότερα για τη συμπεριφορά ενός

αριθμητικού σχήματος, όπως έχουμε σημειώσει και νωρίτερα στο 5ο

Κεφάλαιο, μπορούν να προκύψουν αντικαθιστώντας, στην (7.2.13), τις

χρονικές με χωρικές παραγώγους. Παραγωγίζουμε διαδοχικά την (7.2.13)

ως προς τον χρόνο και ως προς το χώρο:

2 24 4,

2 2 2 6tt xt ttt xxt tttt xxxtt c x t xu cu u u u c u O t xΔ Δ Δ Δ ⎡ ⎤+ = − + − − + Δ Δ⎣ ⎦ (7.2.14)

2 24 4,

2 2 2 6tx xx ttx xxx tttx xxxxt c x t xu cu u u u c u O t xΔ Δ Δ Δ ⎡ ⎤+ = − + − − + Δ Δ⎣ ⎦ (7.2.15)

Αφού πολλαπλασιάσουμε την δεύτερη με c− προσθέτουμε τις δύο εξισώσεις

και βρίσκουμε

[ ] [ ]2

2 12 2 2 2tt xx ttt ttx xxt xxx

c c cu c u t u u O t x u u O x⎛ ⎞⎛ ⎞= + Δ − + + Δ + Δ − + Δ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

(7.2.16)

Με αντίστοιχη διαδικασία βρίσκουμε ότι

[ ]3 ,ttt xxxu c u O t= − + Δ Δx (7.2.17)

134

[ ]2 ,ttx xxxu c u O t= − + Δ Δx (7.2.18)

και

[ ],xxt xxxu cu O t= − + Δ Δx . (7.2.19)

Οι μερικές παράγωγοι (7.2.18) και (7.2.19) αντικαθίστανται στην (7.2.16)

και η προκύπτουσα εξίσωση μαζί με την (7.2.17) για την δεύτερη και τρίτη

παράγωγο ως προς τον χρόνο αντικαθίστανται στην (7.2.13) που τώρα

γράφεται στην μορφή

( ) ( )2

2 3 21 2 3 1 , ,2 6t x xx xxxc x xu cu v u c v v u O x x t x t tΔ Δ 2 3,⎡ ⎤+ = − − − + + Δ Δ Δ Δ Δ Δ⎣ ⎦ .

(7.2.20)

Η (7.2.20) είναι η τροποποιημένη εξίσωση πεπερασμένων διαφορών

και είναι η εξίσωση που επιλύει υπολογιστικά, αντί της (7.1.1) το

αριθμητικό σχήμα (7.2.2). Αρχικά παρατηρούμε ότι για 1ν = και ο πρώτος

και ο δεύτερος όρος στο δεξιό τμήμα της (7.2.20) μηδενίζονται και η

διαφορική εξίσωση (7.2.20) σχεδόν ταυτίζεται με την εξίσωση κύματος. Το

αποτέλεσμα αυτό σχετίζεται άμεσα με την παρατήρηση που έγινε νωρίτερα

ότι για 1ν = , ταυτίζονται, εντός του ορίου των σφαλμάτων του

υπολογιστή, η αριθμητική και η αναλυτική λύση. Άρα για 1ν = έχουμε

την βέλτιστη δυνατή συνοχή. Όμως, όπως αποδείξαμε, για 1ν = το

σχήμα είναι ασταθές. Επομένως θα πρέπει να διακριτοποιήσουμε σε

ένα υπολογιστικό πλέγμα με 1ν < , θυσιάζοντας τμήμα της συνοχής

του σχήματος και εξασφαλίζοντας παράλληλα την ευστάθειά του.

Είναι πλέον προφανές ότι οι δύο πρώτοι όροι στο δεξιό τμήμα της (7.2.20),

δεν μηδενίζονται και θα είναι πάντα παρόντες κατά την εφαρμογή του

σχήματος ανάντη παραγώγισης. Ο πρώτος όρος που περιλαμβάνει τη

δεύτερη παράγωγο του u ως προς x , έχει την τάση να αποσβένει το εύρος

των τιμών των αριθμητικών αποτελεσμάτων. Δηλαδή, ενώ δεν υπάρχει

φυσικός μηχανισμός απόσβεσης στο μαθηματικό μοντέλο (2η παράγωγος

ως προς x στην διαφορική εξίσωση), το εύρος της διαταραχής στα

αριθμητικά αποτελέσματα μειώνεται σταδιακά. Το σφάλμα αυτό ονομάζεται

σφάλμα εικονικής ή αριθμητικής απόσβεσης. Ο δεύτερος όρος που

περιλαμβάνει την τρίτη παραγωγό ως προς u x , έχει την τάση να

135

διασπείρει τις τιμές των αριθμητικών αποτελεσμάτων. Δηλαδή, ενώ δεν

υπάρχει φυσικός μηχανισμός διασποράς στο μαθηματικό μοντέλο (3η

παράγωγος ως προς x στην διαφορική εξίσωση), τα αριθμητικά

αποτελέσματα διασπείρονται δημιουργώντας πτυχώσεις κυρίως στις

παρυφές της διαταραχής. Το σφάλμα αυτό ονομάζεται σφάλμα εικονικής

ή αριθμητικής διασποράς. Γενικά τα σφάλματα απόσβεσης οφείλεται σε

άρτιες παραγώγους, ενώ τα σφάλματα διασποράς σε περιττές παραγώγους

του ως προς u x . Το συνολικό σφάλμα στα αριθμητικά αποτελέσματα

αποτελείται από το σφάλμα απόσβεσης και το σφάλμα διασποράς και

ονομάζεται σφάλμα εικονικής ή αριθμητικής διάχυσης.

Με βάση την ανάλυση ευστάθειας και συνοχής προκύπτει το συμπέρασμα

ότι για τιμές του αριθμού CFL πολύ μικρότερες της μονάδας η ευστάθεια

είναι ικανοποιητική, ενώ η συνοχή αρκετά χαλαρή. Αντίθετα για τιμές του

αριθμού CFL πολύ κοντά στην μονάδα η ευστάθεια είναι οριακή, ενώ η

συνοχή ικανοποιητική. Το συμπέρασμα αυτό είναι γενικό και τις

περισσότερες φορές καλύτερη ευστάθεια συνεπάγεται υποδεέστερη

συνοχή και το αντίστροφο.

Τα σφάλματα εικονικής ή αριθμητικής διάχυσης είναι παρόντα στις

περισσότερες υπολογιστικές μεθόδους επίλυσης διαφορικών εξισώσεων.

Εδώ και πολλά χρόνια γίνεται μία συστηματική και διαρκής προσπάθεια

διατύπωσης αριθμητικών μεθόδων που να είναι ευσταθείς και να έχουν

συνοχή. Τα αποτελέσματα είναι επιτυχή σε μεγάλο βαθμό και επιτρέπουν

την προσομοίωση και ακριβή επίλυση σύνθετων φυσικών συστημάτων.

Όμως, οι συνεχώς αυξανόμενες ανάγκες και απαιτήσεις καθιστούν

απαραίτητη την διατύπωση νέων βελτιωμένων και αναβαθμισμένων

μεθόδων με αποτέλεσμα το συγκεκριμένο ερευνητικό πεδίο να παραμένει

ανοικτό και να απασχολεί εκατοντάδες ερευνητές που στη πλειοψηφία τους

είναι μηχανικοί, φυσικοί, μαθηματικοί και προγραμματιστές.

136

7.3 Σύγκριση αναλυτικής και αριθμητικής λύσης

Ο κύριος λόγος αριθμητικής επίλυσης πρότυπων εξισώσεων είναι η

δυνατότητα της συστηματικής και λεπτομερούς σύγκρισης της αριθμητικής

λύσης με την αντίστοιχη αναλυτική που λόγω της απλής μορφής της

εξίσωσης είναι διαθέσιμη. Στη παράγραφο αυτή θα εξετάσουμε ένα

πρόβλημα αρχικών τιμών με σκοπό να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα

του αριθμητικού σχήματος ανάντη παραγώγισης με τα αντίστοιχα

αναλυτικά. Αυτό επιτυγχάνεται υπολογίζοντας το μέτρο και τη γωνία

φάσης του αριθμητικού σχήματος και της αναλυτικής λύσης. Οι δυο αυτές

ποσότητες είναι πολύ σημαντικές και όταν συγκρίνονται με τις αντίστοιχες

αναλυτικές οδηγούν σε χρήσιμα συμπεράσματα σχετικά με την ακρίβεια και

την αξιοπιστία του αριθμητικού σχήματος.

Η γενική λύση της γραμμικής εξίσωσης (7.1.1) μπορεί να γραφεί στη

μορφή

( ) ( ) ( ), mt kxu t x t X x e eα= Ψ = , 1α = − . (7.3.1)

Αντικαθιστώντας την (7.3.1) στην (7.1.1) προκύπτει ότι m kcα= − και

επομένως έχουμε την αναλυτική λύση

( ) ( ), k x ctu t x eα −= , 1α = − . (7.3.2)

Εκμεταλλευόμενοι την λύση (7.3.2) διατυπώνουμε την εξής αναλυτική

έκφραση για τον λόγο

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

,,

kc tt t t t X x u t t xe

t t X x u t xαξ − Δ

Α

Ψ + Δ Ψ + Δ + Δ= = = =

Ψ Ψ, (7.3.3)

ή

eαϕξ ξ ΑΑ Α= , (7.3.4)

όπου το μέτρο και η γωνία φάσης του αναλυτικού ξ δίδονται από τις

εκφράσεις

1ξΑ = (7.3.5)

και

c tkc t k xx

ϕ βνΑΔ

= − Δ = − Δ = −Δ

(7.3.6)

137

αντίστοιχα με k xβ = Δ και c tν = Δ . Έστω ότι επιλύουμε την (7.1.1) με το

σχήμα της πρόδρομης και ανάδρομης παραγώγου στο χρόνο και το χώρο

αντίστοιχα. Παρατηρούμε ότι τις αναλυτικές ποσότητες (7.3.4), (7.3.5) και

(7.3.6) είναι διαφορετικές από τις αντίστοιχες αριθμητικές (7.2.7), (7.2.8)

και (7.2.9). Στη περίπτωση αυτή ο λόγος του αριθμητικού προς τον

αναλυτικό ξ είναι

(ee

e

αϕ)α ϕ ϕ

αϕ

ξ ξξξ ξ ξ

Α

Α

−

Α Α Α

= = (7.3.7)

και αποτελεί ποσοτική εκτίμηση του αριθμητικού σφάλματος μετά από ένα

χρονικό βήμα. Επομένως, μετά από ένα χρονικό βήμα το αριθμητικό εύρος

της διαταραχής σε σχέση με το αναλυτικό θα έχει μειωθεί (ή αυξηθεί) κατά

/ξ ξΑ , ενώ η διαφορά ανάμεσα στην αριθμητική και αναλυτική γωνία

φάσης θα είναι ϕ ϕΑ− . Είναι προφανές ότι οι αντίστοιχες αποκλίσεις μετά

από χρονικά βήματα θα είναι N ( )N/ξ ξΑ και ( )N ϕ ϕΑ− .

Συνεχίζουμε με την μελέτη ενός συγκεκριμένου παραδείγματος που

περιλαμβάνει την επίλυση της (7.1.1) στο πεδίο ορισμού : , ℜ 0t >0 1x≤ ≤ με και αρχική συνθήκη 0.8c =

( ) ( )0, sin 2u x xπ= . (7.3.9)

Στη περίπτωση αυτή ο κυματαριθμός 2k π= . Εργαζόμενοι σε ένα

υπολογιστικό πλέγμα, έστω με 0.01tΔ = και 0.01xΔ = , προκύπτει 0.8ν =

και 0.02β π= . Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές των παραμέτρων στις

αναλυτικές εκφράσεις (7.3.5) και (7.3.6) βρίσκουμε τις τιμές

1ξΑ = (7.3.10)

και

( )( )0.02 0.8 0.0502655kc tϕ βν πΑ = − Δ = − = − = − . (7.3.11)

Αντίστοιχα για το σχήμα πεπερασμένων διαφορών της παραγράφου 7.2,

βρίσκουμε από τις εκφράσεις (7.2.8) και (7.2.9)

( ) ( )2 21 cos sin 0.999684ξ ν ν β ν β= − + + − = (7.3.12)

και

138

( )( )

Im sinarctan arctan 0.0502695Re 1 cos

ξ ν βϕξ ν ν β

⎛ ⎞−= = = −⎜ ⎟− +⎝ ⎠

(7.3.13)

αντίστοιχα. Με βάση τα παραπάνω η αναλυτική και η αριθμητική λύση

μετά από ένα χρονικό βήμα είναι

( ) [ ] ( ) ( )0 01 2 2 0 8 0 01 2 0 008u . ,x sin x sin x . . sin x .π ϕ π πΑ Α= − = − × = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (7.3.14)

και

( ) ( ) ( )0 01 2 0 8 0 01u . ,x sin x . .ξ π ϕ ϕΑ= − × + −⎡ ⎤⎣ ⎦ =

( )0 999684 2 0 008 0 000004. sin x . .π= − −⎡ ⎤⎣ ⎦ (7.3.15)

αντίστοιχα. Οι όποιες διαφορές ανάμεσα στις δύο λύσεις αυξάνουν σταθερά

καθώς προχωρούμε σε μεταγενέστερες χρονικές στιγμές και αυξάνει ο

αριθμός των χρονικών βημάτων. Την χρονική στιγμή t N t= ×Δ , δηλαδή

μετά από χρονικά βήματα οι δύο λύσεις θα έχουν εξελιχθεί ως εξής: N

( ) [ ] ( )0 01 2 2 0 8 0 01u N . ,x sin x N sin x N . .π ϕ πΑ Α× = − × = − × × =⎡ ⎤⎣ ⎦

( )2 0 0sin x N .π= − ×⎡⎣ 08 ⎤⎦ (7.3.16)

( ) ( ) ( ) (0 01 2 0 8 0 01N

u N . ,x sin x N . . Nξ π ϕ ϕΑ× = − × × + × −⎡ ⎤⎣ ⎦) =

( ) ( )0 999684 2 0 008 0 000004N. sin x N . N .π= − × − ×⎡ ⎤⎣ ⎦ (7.3.17)

Προτείνεται στον ενδιαφερόμενο αναγνώστη να προχωρήσει σε λεπτομερή

ποσοτικό υπολογισμό των δύο λύσεων για και στη συνέχεια να

επαναλάβει τους υπολογισμούς με διαφορετικά

0t >xΔ , και και για

διαφορετικούς κυματαριθμούς με στόχο να αποκτήσει μία πρώτη

εκτίμηση των σφαλμάτων της αριθμητικής λύσης σε όλο το εύρος των

εμπλεκομένων παραμέτρων.

yΔ

k

Σημειώνεται ότι οι ποσότητες ξ και ϕ συνδέονται με την

αριθμητική απόσβεση και διασπορά του αριθμητικού σχήματος

αντίστοιχα. Δεν θεωρείται σκόπιμο να παρουσιασθεί η μαθηματική

απόδειξη της παραπάνω πρότασης αλλά με βάση τα παραπάνω ο

συσχετισμός θα πρέπει να είναι γίνεται νοητικά αντιληπτός. Εκφράσεις

όπως η (7.3.17) είναι πολύ σημαντικές διότι επιτρέπουν σύγκριση

139

θεωρητικών αριθμητικών αποτελεσμάτων από τη μία πλευρά με τα

αντίστοιχα αναλυτικά και από την άλλη πλευρά με τα καθαρά αριθμητικά (ή

πειραματικά) αποτελέσματα του υπολογιστή. Μεταξύ άλλων επιτυγχάνεται

η ποσοτική αξιολόγηση και επιβεβαίωση ή απόρριψη θεωρητικών

αριθμητικών αποτελεσμάτων που έχουν σχέση με την ευστάθεια, την

συνοχή και τη σύγκλιση του αριθμητικού σχήματος.

Είναι προφανές ότι η ανάλυση και η μεθοδολογία της παραγράφου αυτής

δύναται με τις κατάλληλες τροποποιήσεις να εφαρμοσθεί και σε άλλα

αριθμητικά σχήματα πεπερασμένων διαφορών, μερικά εκ των οποίων

περιγράφονται στις επόμενες παραγράφους.

7.4 Ρητά σχήματα Lax-Wendroff και McCormack

Στη παράγραφο αυτή θα αναφερθούμε εν συντομία σε δύο ρητά

αριθμητικά σχήματα που προσεγγίζουν την εξίσωση κύματος,

διατυπώνοντας τις αντίστοιχες εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών και

σχολιάζοντας σε κάθε περίπτωση την ακρίβεια, την ευστάθεια και την

συνοχή τους.

Το ρητό αριθμητικό σχήμα Lax-Wendroff διατυπώνεται γράφοντας το

ανάπτυγμα

21

2!n nn n

i i t tti i

tu u t u u O t+ Δ 3⎡ ⎤= + Δ + + Δ⎣ ⎦ (7.4.1)

και αντικαθιστώντας την πρώτη και δεύτερη παράγωγο ως προς το χρόνο

από τις σχέσεις και . Στην προκύπτουσα εξίσωση t xu cu= − 2tt xxu c u=

1 2 212

n nn ni i x xxi iu u c tu c t u O t+ 3⎡ ⎤= − Δ + Δ + Δ⎣ ⎦ (7.4.2)

οι χωρικές παράγωγοι προσεγγίζονται με κεντρώες παραγώγους και

προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών του σχήματος Lax-

Wendroff

1 2 21 1 12

1 22 2

n n n n nn n i i i i ii i

u u u u uu u c t c t 1

x x+ + − +− −= − Δ + Δ

Δ Δ−+

. (7.4.3)

140

Το σχήμα είναι ρητό, 2ης τάξης 2 2,O x t⎡ ⎤Δ Δ⎣ ⎦ και ευσταθές μόνο για

1ν < . Εφαρμόζοντας τις μεθοδολογίες ευστάθειας και συνοχής

προκύπτουν ο λόγος

( ) (1

21 1 cos sinn

n )ξ ν β α ν+Ψ ⎡ ⎤= = − − + −⎣ ⎦Ψ

β (7.4.4)

και η τροποποιημένη εξίσωση

( ) ( )2 3

21 16 8t x xxx xxxxc x xu cu v u c v uνΔ Δ

+ = − − − − 2 . (7.4.5)

Σημειώνεται ότι το σχήμα Lax-Wendroff δεν έχει αριθμητική

απόσβεση αλλά μόνο αριθμητική διασπορά.

Το ρητό αριθμητικό σχήμα Mac Cormack χρησιμοποιείται ευρέως στην επίλυση

της εξίσωσης κύματος. Η μέθοδος είναι ρητή αλλά σε κάθε χρονικό βήμα

λύνονται δυο ρητές εκφράσεις που αντιστοιχούν στα επιμέρους βήματα

πρόβλεψης και διόρθωσης. Το αριθμητικό σχήμα Mac Cormack

περιγράφεται από τις εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών

(1/ 21

n n ni i i

tu u c u ux

++

Δ= − −

Δ)ni (7.4.6α)

και

(1 1/ 2 1/ 21

12

n n n n ni i i i i

tu u u c u ux

+ + +−

Δ⎡ ⎤= + − −⎢ Δ⎣ ⎦)1/ 2+⎥ . (7.4.6b)

Τονίζεται ότι εάν εφαρμοσθεί μόνο το βήμα της πρόβλεψης το

αριθμητικό σχήμα είναι πάντα ασταθές. Ο όρος είναι η

ενδιάμεση τιμή της που προκύπτει από την εξίσωση πρόβλεψης, ενώ η

τελική τιμή στο βήμα

1/ 2niu+

u1n

iu+ 1n + προκύπτει από την εξίσωση διόρθωσης. Η

μέθοδος Mac-Cormack έχει αντίστοιχα χαρακτηριστικά με τη

μέθοδο Lax-Wendroff, δηλαδή είναι 2ης τάξης 2 2,O x t⎡ ⎤Δ Δ⎣ ⎦ , ευσταθής

μόνο για 1ν < και εφαρμόζεται επίσης στην επίλυση μη γραμμικών

υπερβολικών εξισώσεων.

Όπως φαίνεται από τις εξισώσεις (7.4.6) η χωρική παράγωγος

προσεγγίζεται με πρόδρομη πεπερασμένη διαφορά στην εξίσωση

141

πρόβλεψης και ανάδρομη πεπερασμένη διαφορά στην εξίσωση στην

εξίσωση διόρθωσης. Εφαρμόζοντας πρόδρομες πεπερασμένες διαφορές και

στις δύο εξισώσεις προκύπτει το αριθμητικό σχήμα

(1/ 21

n n ni i i

tu u c u ux

++

Δ= − −

Δ)ni (7.4.7α)

και

( ) ( )1 1/ 2 1/ 2 1/ 21 1

1 22

n n n n n n n ni i i i i i i i

t tu u u c u u c u u ux x

+ + + +− −

Δ Δ⎡ ⎤= + − − − − +⎢ ⎥Δ Δ⎣ ⎦2− , (7.4.7b)

που αποτελεί μια εναλλακτική μορφή της μεθόδου Mac Cormack. Το σχήμα

(7.4.7) δεν έχει σφάλμα αριθμητικής απόσβεσης και εάν συνδυαστεί

κατάλληλα με το σχήμα Lax-Wendroff επιτυγχάνεται σημαντική μείωση και

στο σφάλμα διασποράς.

7.5 Πεπλεγμένα σχήματα Euler και Tραπεζίου

Όλοι οι αλγόριθμοι που εξετάστηκαν μέχρι τώρα, για την επίλυση της

εξίσωσης κύματος, είναι ρητοί. Στη παράγραφο αυτοί εξετάζονται τα

πεπλεγμένα σχήματα Euler και τραπεζίου, που σαν πεπλεγμένα είναι

πάντα ευσταθή ανεξάρτητα από το μέγεθος του αριθμού CFL. Αυτό

σημαίνει ότι τα αριθμητικά αποτελέσματα παραμένουν ευσταθή, ενώ το

χρονικό βήμα μπορεί να είναι αυθαίρετα μεγάλο. tΔ

Το πεπλεγμένο σχήμα Euler προκύπτει με πρόδρομη παραγώγιση στο

χρόνο και κεντρώα παραγώγιση στο χώρο. Η εξίσωση πεπερασμένων

διαφορών δίδεται από την αλγεβρική εξίσωση

(1

1 11 1 0

2

n nn ni ii i

u u c u ut x

++ +− −

−+ −

Δ Δ) =

⎤⎦

. (7.5.1)

Το σχήμα είναι 1ης τάξης στο χρόνο και 2ης τάξης στο χώρο

. Αποδεικνύεται με ανάλυση Fourier ότι είναι πάντα ευσταθές

για οποιοδήποτε χρονικό βήμα

2,O t x⎡Δ Δ⎣

tΔ . Βέβαια, το σχήμα είναι πεπλεγμένο και

επομένως σε κάθε χρονικό βήμα λύνεται ένα τριδιαγώνιο σύστημα

αλγεβρικών εξισώσεων της μορφής

142

1 1 112 2n n ni i i

v vu u u u+ + ++ −+ − =1

ni . (7.5.2)

Όπως γνωρίζουμε, η μέθοδος που χρησιμοποιείται στην επίλυση

τριδιαγώνιων συστημάτων είναι ο αλγόριθμος Thomas. Τα πεπλεγμένα

σχήματα απαιτούν περισσότερο υπολογιστικό χρόνο αλλά παράλληλα

επιτρέπουν μεγάλα χρονικά βήματα. Πολλές φορές όμως οι λύσεις που

βασίζονται σε μεγάλα χρονικά βήματα είναι τελείως ανακριβείς αφού

συνοδεύονται από μεγάλο σφάλμα αποκοπής.

Η τροποποιημένη εξίσωση στη πεπλεγμένη μέθοδο Euler είναι

2 2 31 1 12 6 3t x xx xxxu cu c tu c x c t u⎡ ⎤+ = Δ − Δ + Δ⎢⎣ ⎦

2⎥ . (7.5.3)

Παρατηρούμε ότι το δεξιό τμήμα της τροποποιημένης εξίσωσης δεν

μηδενίζεται για οποιαδήποτε επιλογή του αριθμού CFL. Το πεπλεγμένο

σχήμα Euler είναι πάντα ευσταθές αλλά η συνοχή δεν είναι ικανοποιητική.

Το σχήμα έχει μεγάλη αριθμητική διάχυση (απόσβεση και διασπορά).

Αυτό δεν πρέπει να μας ξαφνιάζει, αφού όπως έχουμε αναφέρει σχήματα

που έχουν απόλυτη ευστάθεια υποφέρουν από έλλειψη συνοχής. Εύκολα

προκύπτει ο λόγος

2 2

1 sin1 sin

iv βv β

ξ −=

+. (7.5.4)

Σε αντίθεση με αυτά που μόλις αναφέραμε η μέθοδος του τραπεζίου

είναι μία πεπλεγμένη μέθοδος 2ης τάξης στο χρόνο και στο χώρο

, που έχει μηδενική αριθμητική απόσβεση. Πράγματι η

τροποποιημένη εξίσωση περιλαμβάνει μόνο περιττές παραγώγους με

αποτέλεσμα η μέθοδος να έχει μόνο αριθμητικό σφάλμα διασποράς. Το

χαρακτηριστικό αυτό δεν είναι συνηθισμένο σε πεπλεγμένα σχήματα.

2 2,O t x⎡Δ Δ⎣ ⎤⎦

Αφαιρώντας τα αναπτύγματα Taylor

2 31 ...

2 6n n nn n

i i t tt ttti i i

t tu u tu u u+ Δ Δ= + Δ + + + (7.5.5)

και

143

2 31 11 ...

2 6n n nn n

i i t tt ttti i i

t tu u t u u u+ + ++ Δ Δ= + Δ + + +1

(7.5.6)

και εφαρμόζοντας στην προκύπτουσα εξίσωση το ανάπτυγμα

1 ...n n ntt tt ttti i iu u t u+ = + Δ + (7.5.7)

προκύπτει η εξίσωση

(11 02

n nn ni i t ti i

tu u u u t++ Δ ⎡ ⎤= + + + Δ⎣ ⎦ )3

x

. (7.5.8)

Η μεθοδολογία διατύπωσης της εξίσωσης (7.5.8) θυμίζει τη μέθοδο Crank-

Nicolson και ονομάζεται τραπεζοειδής πεπερασμένη διαφορά. Στη

συνέχεια οι μερικές παράγωγοι ως προς το χρόνο αντικαθίστανται με βάση

τη σχέση και έχουμε την εξίσωση tu cu= −

(11 02

n nn ni i x xi i

c tu u u u t++ Δ ⎡ ⎤= − + + Δ⎣ ⎦ )3 . (7.5.9)

Τελικά εφαρμόζοντας κεντρώες πεπερασμένες διαφορές στις χωρικές

παραγώγους προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών

(1 1 11 1 14

n n n n n ni i i i i i

vu u u u u u+ + ++ + − −= − + − − )1 . (7.5.10)

Το σχήμα είναι πεπλεγμένο και σε κάθε χρονικό βήμα επιλύεται ένα

τριγωνικό σύστημα εξισώσεων. Η τροποποιημένη εξίσωση έχει τη μορφή

3 2 2 4 3 2 2 4 4

12 6 120 24 80t x xxx xxxxxc t c x c x c t x c tu cu u u⎡ ⎤ ⎡Δ Δ Δ Δ Δ Δ

+ = − + − + +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎦

. (7.5.11)

Το σχήμα δεν έχει αριθμητική απόσβεση αλλά έχει αριθμητική

διασπορά. Όταν η μέθοδος εφαρμόζεται σε μη γραμμικές εξισώσεις,

μερικές φορές κρίνεται απαραίτητο να προστεθεί όρος ομαλοποίησης

(αριθμητική απόσβεση) ώστε να εξασθενεί η έντονη διασπορά των

αποτελεσμάτων.

144

7.6 Αριθμητική επίλυση εξίσωσης κύματος 2ης τάξης

Έχοντας παρουσιάσει διάφορες τεχνικές αριθμητικής επίλυσης της

εξίσωσης κύματος 1ης τάξης, συνεχίζουμε με την αριθμητική επίλυση της

εξίσωσης κύματος 2ης τάξης (7.1.5) που υπόκειται στις οριακές συνθήκες

(7.1.6). Πολλά από τις αριθμητικές τεχνικές που παρουσιάσαμε στις

προηγούμενες παραγράφους μπορούν μετά από κατάλληλες τροποποιήσεις

και σεβόμενοι τις βασικές αρχές των υπερβολικών αριθμητικών σχημάτων

να εφαρμοσθούν και στις δευτεροβάθμιες υπερβολικές εξισώσεις. Ένα από

τα αριθμητικά σχήματα πεπερασμένων διαφορών που δεν αναπτύχθηκε

νωρίτερα αν και έχει αρκετά ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά είναι η μέθοδος

Leap Frog, όπου οι παράγωγοι ως προς το χρόνο και το χώρο

προσεγγίζονται με κεντρώες εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών.

Υιοθετώντας την συγκεκριμένη μέθοδο στην εξίσωση κύματος 2ης τάξης

παίρνουμε την εξίσωση πεπερασμένων διαφορών

1 12 1

2 2

2 2 0n n n n n ni i i i i iu u u u u uc

t x

+ −+ −− + − + 1− =

Δ Δ (7.6.1)

ή

( )1 1 21 12 2n n n n n n

i i i i i iu u u u u uν+ −+ −= − − − + = 0 , (7.6.2)

όπου /c t xν = Δ Δ είναι ο αριθμός CFL. Το σχήμα είναι ρητό, είναι

δεύτερης τάξης, και αποδεικνύεται ότι, όπως όλα τα ρητά

υπερβολικά σχήματα, είναι ευσταθές μόνο για

2 2,O t x⎡Δ Δ⎣ ⎤⎦

1ν < .

Όπως βλέπουμε στο σχήμα (7.6.2) εμφανίζονται οι τιμές της εξαρτημένης

μεταβλητής σε τρία και όχι όπως συνήθως σε δύο χρονικά βήματα

(βλέπε Σχήμα 7.3). Αυτό οφείλεται στην προσέγγιση του όρου της

δεύτερης παραγώγου ως προς το χρόνο που απαιτεί τις τιμές της

μεταβλητής σε τρία τουλάχιστον επίπεδα. Η ιδιαιτερότητα αυτή εμφανίζεται

και σε άλλα σχήματα πεπερασμένων διαφορών που προσεγγίζουν

δευτεροβάθμιες υπερβολικές εξισώσεις.

145

1i − i 1i +

1n +

n

1n −

Σχήμα 7.3: Διακριτοποίηση μεθόδου Leap Frog στην εξίσωση κύματος 2ης

τάξης.

Είναι προφανές ότι εάν η αρχική χρονική στιγμή ορίζεται στο , η

εξίσωση πεπερασμένων διαφορών (7.6.2) ισχύει για . Οι ποσότητες

στο είναι γνωστές από την πρώτη αρχική συνθήκη (7.1.6α),

ενώ ο υπολογισμός των αγνώστων ποσοτήτων στο πρώτο χρονικό βήμα

γίνεται με τη βοήθεια της δεύτερης αρχικής συνθήκης (7.1.6β).

Εφαρμόζοντας κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών, ώστε να μην

αλλοιωθεί η τετραγωνική ακρίβεια του σχήματος έχουμε

0n =2n ≥

0iu 0n =

1iu

1n =

( ) ( )1 1

0 0 1 10, 22

n nn n i i

t ii i

u uu x h x h u u tt

= =−= = −−= → = → = −

Δ i i ihΔ , (7.6.3)

Οι κόμβοι είναι φανταστικοί. Στη συνέχεια αξιοποιώντας την (7.6.2)

την χρονική στιγμή βρίσκουμε ότι

1iu−

0n =

( )1 0 1 2 0 0 01 12 2i i i i i iu u u u u uν−+ −= − − − + = 0 . (7.6.4)

Τέλος αντικαθιστώντας στην (7.6.4) τους φανταστικούς κόμβους από

την (7.6.3) εκτιμούμε τις ποσότητες

1iu−

( )1 0 2 0 0 01 1

1 22i i i i i iu u u u u thν + −= − − + + Δ = 0 . (7.6.5)

Αφού υπολογίσουμε τα από την (7.6.5) εφαρμόζουμε στα επόμενα

χρονικά βήματα, για , την (7.6.2). Εναλλακτικά μπορούμε να

χρησιμοποιήσουμε μόνο την αρχική συνθήκη (7.1.6β), χωρίς την

εμπλοκή της εξίσωσης πεπερασμένων διαφορών. Προσεγγίσουμε την

1iu

2n ≥

146

χρονική παράγωγο της αρχικής συνθήκης με πρόδρομη έκφραση

πεπερασμένων διαφορών και γράφουμε

( ) ( )1 0

0 0 1 00,n n

n n i it ii i

u uu x h x h u u tt

= == = −= → = → = +

Δ i i ihΔ . (7.6.6)

Για χρησιμοποιούμε και πάλι την (7.6.2) αλλά τώρα στο χρονικό

μήμα τα υπολογίζονται από την (7.6.6) αντί της (7.6.5). Η

εναλλακτική προσέγγιση (7.6.6) είναι πρώτης τάξης. Οι δύο αυτές

μεθοδολογίες έχουν κοινά χαρακτηριστικά με την αριθμητική προσομοίωση

των οριακών συνθηκών Newmann σε ελλειπτικές και παραβολικές

εξισώσεις. Η ευστάθεια και η συνοχή του σχήματος (7.6.2) εξετάζονται

ακολουθώντας τις βασικές μεθοδολογίες που αναπτύχθηκαν λεπτομερώς σε

προηγούμενες παραγράφους.

2n ≥

2n = 1iu

Όπως αναφέραμε στην εισαγωγή του κεφαλαίου οι δύο εξισώσεις κύματος

συνδέονται άμεσα μεταξύ τους. Αποδεικνύεται εύκολα (βλέπε (7.1.9)) ότι

το πρόβλημα Cauchy 2ης τάξης (7.1.5) και (7.1.6) είναι ισοδύναμο

με τα εξής δύο προβλήματα Cauchy 1ης τάξης:

1ο Πρόβλημα

0t xu cυ− = , x−∞ < < ∞ , , (7.6.7α) 0t >

( ) ( )0,u x g x= , x−∞ < < ∞ . (7.6.7β)

2ο Πρόβλημα

0t xcuυ − = , x−∞ < < ∞ , , (7.6.8α) 0t >

( ) ( ) ( )0

,1 10,t

u t sx ds h s ds

c t cυ

=∂

= =∂∫ ∫ , x−∞ < < ∞ . (7.6.8β)

Επομένως η επίλυση του αρχικού δευτεροβάθμιου προβλήματος

επιτυγχάνεται με την επίλυση των δύο πρωτοβάθμιων προβλημάτων

(7.6.7) και (7.6.8).

147