ZADACI_ Ekstrapolacija Trendova u Proizvodnji

Menadžment proizvodnjom ___________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________ 327

9. Ekstrapolacija trendova u proizvodnji

Danas su poznate brojne metode predviđanja koje se baziraju na statistici i statističkoj analizi i sa uspehom se primenjuju pretežno za kratkoročno ali mogu i za dugoročno prognoziranje. Predviđanje metodama koje se baziraju na statistici i statističkoj analizi zasniva se na statističkoj seriji podataka. Pošto se predviđanje u poslovnoj sferi nužno bavi kretanjem varijabli tokom vremena to praktično znači da metodi koji se koriste pripadaju kategoriji analize serija podataka.

Statističke metode se primenjuju u slučajevima kada su podaci dovoljni da bi se prikazale opšte tendencije u razvoju posmatrane pojave ili izvršila analiza uzajamnih odnosa između varijabli.

U suštini metoda ekstrapolacije je postulat prema kojem budućnost predstavlja prirodan i logičan nastavak prošlosti i sadašnjosti.

U ovom poglavlju je naglasak je na primeni, odnosno korišćenu matematičkog aparata za ekstrapolaciju trenda, a ne na njegovoj matematičkoj interpretaciji. Studente koje žele da više upoznaju matematičke osnove regresione i korelacione analize upućujemo na knjigu Elementi teorije verovatnoće i matematičke statistike autora prof. S. Vukadinovića [79], knjigu [87], grupe autora Metodi statističke analize kao i knjige [63], [5] na koje ćemo se pozivati u daljim razmatranjima.

Regresija i korelacija

Poznato je da u prirodnim naukama susrećemo funkcionalnu zavisnost onda kada postoji neki zakon. Funkcionalna veza je takva veza da gde svakoj vrednosti jedne pojave odgovara tačno određena vrednost druge pojave. Uzmimo za primer sistem raspodele ličnih dohodaka prema ostvarenom efektu u odgovarajućim jedinicama (1 urađen komad

____________________________________________________________________ Menadžment proizvodnjom

_____________________________________________________________________________________________________ 328

se plaća radniku 0,5 n.j.), bez obzira na utrošeno vreme i ostale oblike rada. Ako radnik za određeni period uradi x komada onda će njegova zarada obeležimo je sa y, iznositi y=0,5x n.j. Ovde je reč o funkcionalnoj ili determinističkoj zavisnosti.

Za razliku od funkcionalnih zavisnosti postoje stohastičke zavisnosti kod kojih su veze između posmatranih pojava labavije i podložne odstupanjima. Reč stohastika je grčkog korena i znači učenje o onome što je verovatno, veština pogađanja. Posmatranje stohastičke zavisnosti daje nam mogućnost da istražujemo u okruženju one zavisnosti koje nisu čvrsto vezane funkcionalnim zavisnostima npr. društveno-ekonomske pojave. Stohastička zavisnost jedne pojave od druge može da se statistički otkrije tek kada se posmatra veliki broj slučajeva. Npr. da se sa uvođenjem sistema stručnog usavršavanja radnika povećava kvalitet proizvoda, moguće je konstatovati kada se posmatra određen deo populacije, jer u pojedinačnim slučajevima ova zavisnost ne mora da se ispolji.

U cilju istraživanja stohastičkih zavisnosti koriste se u statistici metodi regresione i korelacine analize.

Regresiona analiza se bavi istraživanjem stohastičkih zavisnosti između posmatranih pojava. Najčešće se vrši istraživanje zavisnosti između dve pojave i tada se govori o dvodimenzionalnoj regesionoj analizi, ali ukoliko se istražuje zavisnost jedne pojave od više drugih pojava reč je o višedimenzionalnoj analizi.

U zavisnosti od oblika matematičke funkcije kojom su izraženi regresioni modeli mogu biti linearni ili krivolinijski.

Korelacija

Korelacija je reč latinskog porekla i znači uzajamni odnos, međuzavisnost. Korelacija može biti direktna (kada pojave koje se posmatraju imaju istu tendenciju tj. da obe rastu ili da obe opadaju) i inverzna, odnosno negativna (kada jedna raste a druga opada i obratno). Ako se ispituje zavisnost između dve pojave reč je o prostoj korelaciji, a ukoliko se ispituje međuzavisnost više pojava primenjuje se višestruka korelacija.

Korelaciona analiza proučava stohastičku zavisnost i utvrđuje stepen te zavisnosti među više promenljivih (pojava). U tom smislu korelaciona analiza treba da ustanovi da li postoji kvantitativana uslovljenost između varijacija pojava koje se posmatraju i ukoliko postoji u kom stepenu postoji.


____________________________________________________________________________________________________ 329

U statistisci se koristi numerički izraz - koeficijent korelacije kojim se kvantitativno izražava međuzavisnost u promenama između dveju ili više posmatranih pojava

Određivanje koeficijenta korelacije

Ukoliko je posmatrano obeležje dvodimenzionalna slučajna promenljiva (X,Y) i ako su posmatrane varijacije (x1, y1),....., (xn, yn), tada se na osnovu ovog uzorka može naći koeficijent korelacije [88] kao broj:

r nx y x y

S S

i i ni

n

n

x y

=− ⋅

=∑1

12 2

(1)

gde je: Sx - standardno odstupanje za X Sy - standardno odstupanje za Y

Standardno odstupanje (disperziju) na kvadrat računamo: S

nf x xx i

i

n

i2

1

2 21= −

=∑ ,

Koeficijent linearne korelacije može da uzima vrednosti između -1 i +1, veličina r po apsolutnoj vrednosti ne može biti veća od 1, tj.: −1≤ r ≤ +1. Ukoliko je r = 1 onda u takvom slučaju postoji linearna funkcionalna zavisnost. To praktično znači da sve tačke leže na pravoj i da svakom xi odgovara samo jedna vrednost yij. Ovo bi samo teoretski bilo interesantno jer u praksi veličina r se nalazi u intervalu: -1< r <1. Ukoliko je r bliže 1 to je korelacija jača, a što je bliži nuli to je korelacija slabija. Obično se uzima [88] da je za:

r ≤ 0,3 linearna veza neznatna 0,3 < r ≤ 0,5 linearna veza postoji, ali je slaba 0,5 < r ≤ 0,7 linearna veza je značajna 0,7 < r ≤ 0,9 linearna veza je jaka r > 0,9 linearna veza je vrlo jaka.


_____________________________________________________________________________________________________ 330

Zadatak 9.1.

Za date vrednosti obeležja X,Y u tabeli (Tabela 9.1) odrediti koeficijent linearne korelacije Tabela 9.1

X 1 2 4 5 6 7 10 12 Y 2 2 3 6 7 8 11 10

R e š e n j e : Nađimo najpre aritmetičke sredine

xxi

i= =+ + + + + + +

==∑

1

8

81 2 4 5 6 7 10 12

85 875,

yyi

i= =+ + + + + + +

==∑

1

8

82 2 3 6 7 8 11 10

86 125,

1 181

8

nx yi i

i=∑ = (1⋅2+2⋅2+4⋅3+5⋅6+6⋅7+10⋅11+12⋅10) = 47

Izračunajmo takođe standardno odstupanja (disperziju) na kvadrat:

S x2 1

8= (1+4+16+25+36+49+100+144) - 5,8752 = 12,359

S y2 1

8= (4+4+9+36+49+64+121+100) - 6,1252 = 10,859

Koeficijent linearne korelacije:

r nx y x y

S S

i i ni

n

x y

=− ⋅

=− ⋅

⋅≈=

∑147 5 875 6 125

12 359 10 8590 951

8

2 2

, ,, ,

,

Izračunata vrednost koeficijenta korelacije pokazuje da postoji vrlo jaka linearna veza između posmatranih promenljivih.

Koeficijent linearne korelacije može se računati korišćenjem različitih formula na osnovu kojih se dolazi do istog krajnjeg rezultata. Korišćenjem relacije (2) i (3) za prethodni primer dobija se ista vrednost koeficijenta korelacije r = 0,95.


____________________________________________________________________________________________________ 331

( )( )

( ) ( )r

x x y y

x x y y

i ii

n

ii

n

ii

n=

− −

−∑ −

=

= =

∑

∑1

2

1

2

1

(2)

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

−−

−=

])(][)([

))((2222

iiii

iiii

yynxxn

yxyxnr (3)

Projekcija trenda

Pod pojmom trend (eng. trend - opšta tendencija pravca kretanja) podrazumeva se razvojna tendencija (tok) neke pojave u određenom vremenskom periodu. Trend neke posmatrane pojave se nalazi prilagođavanjem prave ili krive linije seriji originalnih podataka. Pri iznalaženju trenda najpre treba izvršiti izbor matematičke funkcije (linearne ili krivolinijske) koja se na najbolji način može prilagoditi podacima vremenske serije i onda na osnovu te jednačine krive moguće je projektovati (ekstrapolirati) buduća kretanja pojave.

Najčešće se koriste sledeće aproksimativne krive - krive trenda: • linearni trend y=a + bx • parabolični trend (kvadratna parabola) y = a +bx +cx2 • eksponencijalni trend y = abx • modifikovani eksponencijalni trend y = K + abx • logistička kriva tipa y= 1/(K +abx) itd.

Tip izabrane krive treba da odgovara poznatim karakteristikama serije. Konkretno koji će oblik funkcije (pravolinijski ili krivolinijski) odgovarati trendu neke serije zavisi od načina i tendencije kretanja podataka posmatrane pojave. Počećemo od najjednostavnijeg slučaja - određivanja linearnog trenda.

Određivanje linearnog trenda

Ukoliko za neku populaciju imamo vrednosti uzorka (x1,y2),..,(xn,yn) i ako hoćemo da odredimo regresionu pravu:

y ax b= + ,


_____________________________________________________________________________________________________ 332

tada metodom najmanjih kvadrata mogu se odrediti koeficijenti regresije a i b (što je detaljnije dato u korišćenoj literaturi [88] te se na ovoj metodi nećemo zadržavati) na osnovu relacija:

( )( )

( )b

x x y y

x xa y bx

i ii

n

ii

n=

− −

−= −=

=

∑

∑1

2

1

,

(4)

Obračun linearnog trenda prikazaćemo na najjednostavnijem slučaju obračuna za vremensku seriju sa neparnim brojem podataka.

Zadatak 9.2.

Na osnovu podataka o proizvodnji jednog artikla u poslednjih devet godina datih u tabeli (Tabela 9.2) odrediti linearni trend i na osnovu njega izvršiti predviđanje proizvodnje u budućem periodu za naredne dve godine.

Tabela 9.2 Godina 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Proizvodnja (103 kom/god) 7,6 11,8 13,5 13 14,5 17 16,4 19,5 18,6

Linearna zavisnost oblika ima oblik y a bx= + (5)

značenje pojedinih oznaka je sledeće: a, b - koeficijenti regresije x - nezavisno promenljiva, u ovom slučaju označava vreme - odnosnu godinu, y - zavisno promenljiva, u ovom slučaju označava fizički obim proizvodnje.

Treba odrediti koeficijente regresione prave tako da se linija trenda na najbolji način prilagodi seriji podataka o realizovanoj proizvodnji u proteklom periodu. Koeficijenti a i b određuju se prema metodi najmanjih kvadrata, iz sistema normalnih jednačina (6):

y na b x

x y a x b x

ii

n

ii

n

i ii

n

ii

n

ii

n= =

= = =

∑ ∑

∑ ∑ ∑

= +

= +

1 1

1 1

2

1

(6)


____________________________________________________________________________________________________ 333

Postupak za izračunavanje koeficijenata a i b može skratiti [87] ako središnu godinu neparnog vremenskog niza označimo sa nulom (što je prikazano u Tabeli 9.3), a prethodne sukcesivno sa -1,-2,...-i...,− −

n 12

, a naredne sa +1,+2,..i..,+ n −

12

pa se dobija

da je xii

n

=∑ =

10. Tako se sistem normalnih jednačina svodi na skraćeni oblik:

y na

x y b x

ii

n

i ii

n

ii

n=

= =

∑

∑ ∑

=

=

1

1

2

1

(7)

odavde lako izračunavaju vrednosti koeficijenata regresije na osnovu relacija:

ay

nb

x y

x

ii

n

i ii

n

ii

n= == =

=

∑ ∑

∑1 1

2

1

,

(8)

Pri određivanju linearnog trenda po skraćenoj metodi kada je serija sa parnim brojem podataka (godina) potrebno je dve središne godine označiti sa -0.5 i +0.5, godine koje prethode sa -1.5, -2.5, ...,-0.5n, a koje slede sa +1.5,+2.5, ...,+0.5n. Postoje i drugi načini ali je ovo najjednostavniji da se dobije xi

i

n

=∑ =

10 i time omogući primena skraćenog

metoda najmanjih kvadrata.

Tabela 9.3. Godina Proizvodnja

yi (103) xi xiyi xi2 Linearni trend yt (103)

1998 7,6 -4 -30,4 16 9,53 1999 11,8 -3 -34,4 9 10,81 2000 13,5 -2 -2,7 4 12,09 2001 13 -1 -13 1 13,37 2002 14,5 0 0 0 14,66 2003 17 1 17 1 15,94 2004 16,4 2 32,8 4 17,22 2005 19,5 3 58,5 9 18,50 2006 18,6 4 74,4 16 19,78

Ukupno 131,9 0 76,9 60


_____________________________________________________________________________________________________ 334

Linearni trend oblika y a bx= + u ovom primeru (sa neparnim brojem godina) može se jednostavno odrediti tako što odgovarajuće vrednosti iz Tabele 9.3 unesemo u izraze za određivanje koeficijenata regresione prave:

ay

n

ii

n

= = ==∑

1 131 99

14 656,

,

bx y

x

i ii

n

ii

n= = ==

=

∑

∑1

2

1

76 960

1 28,

,

te će linearni trend biti određen relacijom:

yt = 14,656 + 1,28 x Vrednosti linearnog trenda se izračunavaju za svaku godinu posmatranog i unose u tabelu 9.3.

npr. za 1998. god. (x=-4) yt = 14,656 + 1,28⋅(-4) = 9,53⋅103n.j., za 1999. god. (x=-3) yt = 14,656 + 1,28⋅(-3) = 10,81⋅103n.j.

Kretanja potrošnje u naredne dve godine moguće je na osnovu linearnog trenda predvideti:

za 2007. god. (x=5) yt = 14,656 + 1,28⋅(5) = 21,06⋅103n.j. za 2008. god. (x=6) yt = 14,656 + 1,28 ⋅(6) = 22,34⋅103n.j.

Grafički prikaz kretanja stvarnih vrednosti fizičkog obima proizvodnje kao i izračunate vrednosti trenda na osnovu linearne zavisnosti i projekcije trenda u narednim godinama dat je na slici 9.1.


____________________________________________________________________________________________________ 335

0

5

10

15

20

25

1990 1991 1992 1993 1994 1995

.

...

.

..

. .

Proi

zvod

nja

godina1996 1997 1998 1999

Stvarnevrednosti

Linearni trendy =14,656+1,28x

2000 2001

kom

god

[]

( 10 )x3

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Linearni trend: y=14,656+1,28xl

Slika 9.1 - Linearni trend proizvodnje

Linija trenda se grafički posmatrano približila podacima serije a stepen kvantitativne zavisnosti pokazuje koeficijent korelacije

( )( )( )[ ] ( )[ ]

rn x y x y

n x x n y y

i i i i

i i i i

=−

− −

∑ ∑∑∑∑ ∑∑2 2 2 2

Unoseći u ovaj izraz odgovarajuće podatke iz Tabele 9.3 izračunata je vrednost koeficijent linearne korelacije (r=0,94) koja ukazuje da je linearna veza vrlo jaka.

Određivanje paraboličnog trenda

Jedana od najčešće u praksi korišćenih krivolinijskih zavisnosti pri projekciji trenda je parabolična zavisnost i to pre svega kvadratana parabola. Za paraboličnu zavisnost određenu relacijom:

y = a +bx +cx2 (9)

koeficijenti regresije a, b, c određuju se [79], prema metodi najmanjih kvadrata, iz sistema normalnih jednačina:


_____________________________________________________________________________________________________ 336

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

====

====

===

++=

++=

++=

n

1i

4i

n

1i

3i

n

1i

2i

n

1ii

2i

n

1i

3i

n

1i

2i

n

1ii

n

1iii

n

1i

2i

n

1ii

n

1ii

xcxbxayx

xcxbxayx

xcxbnay

(10)

Zadatak 9.3.

Na osnovu podataka o potrošnja jednog proizvoda u periodu 1996. do 2006. godine datih u Tabeli 9.4 odrediti parabolični trend i na osnovu njega odrediti vrednosti za naredne dve godine. Tabela 9.4

Godina 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Potrošnja

(tona) 18 28 45 57 64 62 70 75 86 88 84

Rešenje:

Za određivanje paraboličnog trenda [79] treba najpre formirati Tabelu 9.5. Parabolični trend potrošnje odrediće se unoseći vrednosti iz Tabele 9.5, u sistem normalnih jednačina (10) koji se skraćenim postupkom svodi na:

11a + 110c = 677110b = 735110a + 1958c = 6247

Iz ovih jednačina određuju se regresioni koeficijenti: a= 67.64 , b=6.68 i c=-0.61

te je parabolični trend određen jednačinom: yt = 67,64 +6,68x - 0,61x2

Trend vrednosti po paraboličnoj zavisnosti izračunava se za svaku godinu i unose u kolonu (10) u tabeli 9.5:

npr. uzimajući da je za 1996. godinu x=-5, dobija se yt = 67,64 + 6,68⋅(-5) - 0,61⋅(-5)2 = 18,99.


____________________________________________________________________________________________________ 337

Ekstrapolacijom trenda može se izvršiti predviđanje vrednosti potrošnje za naredne dve godine:

za 2007. godinu x =6: yt = 67,64 + 6,68⋅(6) - 0,61⋅(6)2 = 85,76 za 2008. godinu x=7: yt = 67,64 + 6,68⋅(7) - 0,61⋅(7)2 = 84,51

Na ovom primeru izvršeno je uporedno određivanje i linearnog trenda za konkretne uslove potrošnje u posmatranom periodu. Postupak izračunavanja regresionih koeficijenata objašnjen je u prethodnoj tački:

545,61116771 ===

∑=

n

ya

n

ii

68,6110735

1

2

1 ===

∑

∑

=

=n

ii

n

iii

x

yxb

Izračunate vrednost linearnog trenda na osnovu relacije:

ylt= 61,545 +6,68x

unete se u Tabeli 9.5 u kolonu (9) a grafički prikazane na slici 9.2. Poređenjem kvantitavnih podataka trend vrednosti dobijenih po paraboličnoj i linearnoj zavisnosti i njihove grafičke prezentacije na slici 9.2 uočava se da parabolična zavisnost bolje prilagodila posmatranoj seriji.

Tabela 9.5.

God. yi xi xi2 xi3 xi4 xi yi xi2 yi Linearni trend

Parabolični trend

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 1996 18 -5 25 -125 625 -90 450 28,14 18,99 1997 28 -4 16 -64 256 -112 448 34,82 31,16 1998 45 -3 9 -27 81 -135 405 41,50 42,10 1999 57 -2 4 -8 16 -114 228 48,18 51,84 2000 64 -1 1 -1 1 -64 64 54,86 60,35 2001 62 0 0 0 0 0 0 61,54 67,64 2002 70 1 1 1 1 70 70 68,22 73,70 2003 75 2 4 8 16 150 300 74,1 78,57 2004 86 3 9 27 81 258 774 81,5 82,20 2005 88 4 16 64 256 352 1408 88,27 84,61 2006 84 5 25 125 625 420 2100 94,95 85,81 ∑ 677 0 110 0 1958 735 6247


_____________________________________________________________________________________________________ 338

Da bi ustanovili stepen kvantitativne zavisnosti pri određivanju paraboličnog trenda određuje se indeks krivolinijske korelacije.

0

20

40

60

80

100

.

....

..

.

.

.

.

Potr

o{nj

at[]

godina

Paraboli~ni trendy=67,64+6,68x-0,61x

Stvarnevrednosti

Linearni trendy=61,545+6,68x

10

30

50

70

90

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000199819971996 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Paraboli i trend: y=67,64+6,68x-0,61x~n t

2

Linearni trend: y=61,545+6,68xl

Slika 9.2. - Parabolični trend potrošnje

Izračunavanje krive regresije i pripadajućih indeksa korelacije je utoliko komplikovanije ukoliko je stepen krive viši. Indeks korelacije analogan je koeficijentu korelacije. Koeficijent korelacije se izračunava s obzirom na linearnu korelaciju a indeks korelacije se dobija kod krivolinijske korelacije. Indeks krivolinijske korelacije (detaljnija objašnjenja data su u preporučenoj korišćenoj literaturi [79]) ima oblik:

98,04888

76,1461)(

)(1

1

2

1

2

≈−=−

−−=

∑

∑

=

=n

ii

n

irii

xy

yy

yyR

Za parabolični trend u razmatranom primeru je izračunata vrednost indeksa korelacije Rxy=0,98, pokazuje visoku korelacionu krivolinijsku vezu između promenljivih.

Kao kriterijum za izbor funkcije (linearne ili parabolične) koja se bolje prilagođava stvarnim vrednostima serije podataka pojave koja se posmatra može da posluži


____________________________________________________________________________________________________ 339

standardna greška funkcije trenda (detaljnije objašnjeno u korišćenoj literaturi [87] na šta se zainteresovani upućuju) a koja se računa po formuli:

( )S

y yn ky

t

t=

−−

∑ 2

(11)

gde je: k broj ocenjenih parametara u funkciji trenda (npr. za linearni trend k=2)

Ako se na osnovu kriterijuma veličine standarne greške bira pogodnija funkcija za predviđanja trenda, onda u ovom primeru je to parabolični trend jer je za njega veličina standardne greške manja. Za linearni trend:

( )S

y yn ky

tl

t=

−−

=+ + + +

−=

∑ 2102 82 46 51 12 25 119 90

11 27 2

, , , . ....... , .,

Za parabolični trend:

( )S

y yn kyt

tp

par=

−

−=

+ + + +−

=∑

2

0 98 9 98 8 41 3 2811 3

4 28, , , ......... ,

,

Određivanje eksponencijalnog trenda

Eksponencijalna kriva ima karakteristike koje korespondiraju sa poznatim ili očekivanim karakteristikama serije pojedinih pojava razmatranih u praksi. Pogotovu ako se radi o kretanju vrednosti potrošnje nekog artikla, vrednosti uvoza ili prodaje nekog atraktivnog proizvoda itd. "Ako pojava za koju se traži trend u posmatranom razdoblju u istom tempu raste ili opada , odnosno stalno raste ili opada za približno isti procentualni iznos, vrlo dobro se može prilagoditi eksponencijalni trend y = abx "1/ Koristeći se konceptom datim u navedenoj referenci prikazaćemo na jednom primeru proračun eksponencijalnog trenda.

1/ Vukadinović S., Elementi teorije verovatnoće i matematičke statistike, Privredni pregled, Beograd, 1981, str.425.


_____________________________________________________________________________________________________ 340

Zadatak 9.4. Kretanje vrednosti potrošnje u proteklih sedam godina dato je u Tabeli 9.6

Tabela 9.6 Godina 2001 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Potrošnja (103 n.j.) 20 23 32 46 54 75 102

Na osnovu eksponencijane zavisnosti odrediti trend vrednosti potrošnje u naredne dve godine.

Rešenje:

Da bi odredili potrošnju (u 000 n.j.) u narednom periodu prvo formiramo tabelu 9.7. i izvršimo potrebna izračunavanja [79]. Tabela 9.7

God. Potrošnj

a yi

xi xi2 Yi= log yi xi log yi Vrednost

logaritamskog trenda

Yt

Vrednost eksponencijal

nog trenda yt

2000 20 -3 9 1,30102 -3,90306 1,27 18,82 2001 23 -2 4 1,36172 -2,72344 1.39 24,82 2002 32 -1 1 1,50514 -1,50514 1,52 32,73 2003 46 0 0 1,66275 0 1,64 43,17 2004 54 1 1 1,73239 1,73239 1,756 56,5 2005 75 2 4 1,87506 3,75012 1,87 75,11 2006 102 3 9 2,0086 6,02580 1,996 99,07 ∑ 352 0 28 11,44668 3,37667

Logaritmovanjem eksponencijalne funkcije y = abx dobija se: log y = log a + x log b - linearna eksponencijalna funkcija.

Ova transformacija omogućava jednostavnije rešenje problema. Ako uvedemo smene: Y=log y ; A= log a, onda eksponencijalni trend dobija linearni oblik Y= A +Bx. Na osnovu skraćene metode najmanjih kvadrata iz sistema normalnih jednačina dobijamo:

log a= A = log ,

,y

n

ii

n

=∑

= =1 11 446687

1 63524


____________________________________________________________________________________________________ 341

log b = B = x y

x

i ii

n

ii

n

log ,,=

=

∑

∑= =1

2

3 3766728

0 12059 ;

pa će linearni logaritamski trend potrošnje biti: log yt= 1,63524 + 0,12059 x

a izračunate vrednosti date su u tabeli 9.7

Parametri eksponencijanog trenda a i b se izračunavaju antilogaritmovanjem vrednosti loga i logb:

a = 43,17 b = 1,319

pa jednačina eksponencijalnog trenda glasi: yt = 43,17⋅(1,319)x

Izračunate vrednosti eksponencijalnog trenda date su u tabeli 9.7 a grafički prikazane na slici 9.3.

U narednom periodu mogu se očekivati sledeće vrednosti na bazi ekstrapolacije eksponencijalnog trenda:

Za 2007. god.: x=5, vrednost trenda iznosiće yt= 43,17⋅(1,319)5=130,66 103

Za 2008. god.: x=6, vrednost trenda iznosiće yt= 43,17⋅(1,319)6=172,35 103

U ovom primeru ekstrapolacije eksponencijalnog trenda nema smisla raditi za veći broj godina, zbog nemogućnosti populacije da primi tako velike rezultate (tzv. eksponencijalna stopa rasta u posmatranom periodu iznosi više od 31% godišnje).


_____________________________________________________________________________________________________ 342

0

20

40

60

80

100

120

.

.

.

. .

.

.

Potr

o{nj

a

godina

Stvarne vrednosti

Eksponencijalni trend y=43,17 (1,319).

10

30

50

70

90

110

130

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

x

( 10 )x3

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Slika 9.3 - Eksponencijalni trend potrošnje

Prikaz kompjuterske podrške za određivanje trenda

Da bi u menadžerskoj praksi pri čestom određivanju trendova različitih pojava izbegli brojna izračunavanja, sporost i greške koje se pri tom mogu pojaviti svakako se moramo okrenuti korišćenju gotovih računarskih programa. Na tržištu softvera postoje različiti programi koji predstavljaju moćan alat za efikasno određivanje koeficijenta korelacije i projekciju trendova.

U tom smislu primeri urađeni klasičnim "ručnim" postupkom takođe su urađeni i korišćenjem popularnog programa za tabelarne proračune Excel proizvođača kompanije Microsoft. Program Excel je upotrebljen imajući u vidu njegovu raspoloživost na brojnim personalnim računarima, jer danas predstavlja jedan od najviše korišćenih programa uopšte.


____________________________________________________________________________________________________ 343

Primer izračunavanja koeficijenta linearne korelacije primenom MS Excel-a za podatke date u zadatku 9.1 prikazan je na slici 9.4, pri čemu se dolazi do istog krajnjeg rezultata kao i klasičnim, ručnim postupkom.

Slika 9.8.- Izračunavanje koeficijenta linearne korelacije

Postupak određivanja trendova primenom programa MS Excel podrazumeva da se najpre kreira odgovarajući grafikon nad polaznim podacima, kao što je prikazano na slici 9.5.

Slika 9.5. – Kreiranje grafikona nad polaznim podacima


_____________________________________________________________________________________________________ 344

Nakon kreiranja grafikona potrebno je izabrati Macro naredbu AddTrendline iz menija (slika 9.6), nakon čeka se otvara prozor AddTrendline (slika 9.7).

Slika 9.6. – Izbor komande za kreiranje linije trenda

U okviru prozora AddTrendline potrebno je izabrati odgovarajući tip linije trenda, u ovom slučaju izabran je linearni trend (slika 9.7.)

Slika 9.7. – Izbor tipa linije trenda

Izborom odgovarajućeg tipa linije trenda, na istom grafikonu koji predstavlja podatke o ostvarenoj proizvodnji, dobija se odgovarajući prikaz linije lineranog trenda (slika9.8).


____________________________________________________________________________________________________ 345

Program pruža mogućnost i prikazivanja jednačine linije trenda, kao i projekcije trenda u narednim godinama (slika 9.8.)

Linearni trend

y = 1,2817x - 2551,2R2 = 0,8993

0

5

10

15

20

25

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Godine

Pro

izvo

dnja

Proizvodnja (10 3̂) Linear (Proizvodnja (10 3̂))

Slika 9.8. – Linearni trend

Za određivanje paraboličnog i eksponencijalnog trenda u MS Excelu koristi se takođe navedeni postupak, što je ilustrovano slikom 9.9, za parabolični trend i slikom 9.10. za eksponencijalni trend.

Parabolični trend

y = -0,6096x2 + 2446,1x - 2E+06

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

Godine

Potr

ošnj

a

Potrošnja yi Linear (Potrošnja yi)Power (Potrošnja yi) Poly. (Potrošnja yi)

Slika 9.9. – Parabolični trend


_____________________________________________________________________________________________________ 346

Eksponencijalni trend

y = 1E-240e0,2777x

R2 = 0,9919

0

20

40

60

80

100

120

140

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Godine

Potro

šnja

Potrošnja yi Expon. (Potrošnja yi)

Slika 9.10. – Eksponencijalni trend

Upoređivanjem rezultata dobijenih klasičnim "ručnim" izračunavanjima i rezultata dobijenih korišćenjem programa Excel može se konstatovati potpuna saglasnost rezultata i naravno prednost korišćenja računarskih programa za praktična izračunavanja i ekstrapolaciju trenda.

Ekstrapolacija trendova pokazala se kao dobar metod u svim onim slučajevima kada nije došlo do bitnih promena u uslovima privređivanja. Ovo je svakako bitan metod za predviđanje kretanja tražnje, prodaje itd. u prilično stabilnim situacijama. Međutim, treba istaći praktično upozorenje da se izbegava mehanička ekstrapolacija, jer predviđanje je samo po sebi kreativana aktivnost s obzirom da uslovi na kojima se zasniva poslovanje mogu da se promene. Ne može se očekivati da ovaj metod, bez obzira na soficistiranu tehniku, da precizne prognoze šta će se "eventualno desiti" u budućem kretanju posmatrane pojave u slučaju nestabilnih situacija i delovanja faktora koji se ne događaju po regularnoj zakonitosti (štrajkovi, ratovi, prirodne nepogode kao što su zemljotresi, poplave i drugi poremećaji).

Documents

ZADACI_ Ekstrapolacija Trendova u Proizvodnji