5/21/2018 Zadaci Sa Trouglom
1/15
TROUGAO
Mnogougao koji ima tri stranice zove se trougao. Osnovni elementi trougla su :
- Temena A,B,C
- Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeleavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a
- Uglovi , unutranji ,, i spoljanji1
,1
,1
1
1
1AB
C
ab
c
Osnovne relacije za uglove i stranice trougla su:
1) Zbir unutranjih uglova u trouglu je 1800tj. ++ = 180
0
2) Zbir spoljanjih uglova je 3600tj. 1 + 1 + 1 =3600
3) Spoljanji i njemu susedni unutranji ugao su uporedni,tj.
+ 1 =+ 1 = + 1 =1800
4) Spoljanji ugao trougla jednak je zbiru dva nesusedna unutranja ugla, tj
1 =+ 1 = + 1 = +
5) Svaka stranica trougla manja je od zbira a vea od razlike druge dve stranice, tj
cabca
bacba
+
5/21/2018 Zadaci Sa Trouglom
2/15
etiri znaajne take trougla su:
1) Ortocentar (H)
2) Teiste (T)
3) Centar upisane krunice (S)
4) Centar opisane krunice (O)
Ortocentarse nalazi u preseku visina trougla ha,hb,hc.( Visina je najkrae rastojanje od temena do naspramn
stranice). Kod otrouglog trougla je u trouglu, kod pravouglog u temenu pravog ugla a kod tupouglog van
trougla.
AB
C
A
B
C
1
1
1
a b
chhh
H
ha hb hc = H Ortocentar
Teina du trougla je du koja spaja teme sa sredinom naspramne stranice. Teine dui seku se u jednoj ta
a to je TEITE TROUGLA. Teite deli teinu du u razmeri 2:1.
AB
C
AB
C
11
1
T
t
t
ta b
c
1:2:
1:2:
1:2:
1
1
1
=
=
=
TCCT
TBBT
TAAT
Tttt cba =
5/21/2018 Zadaci Sa Trouglom
3/15
Centar upisane kruniceje taka preseka simetrala uglova i kod svih trouglova je u oblasti trougla.
AB
C
SS
S
S
r
Ssss =
Centar opisane kruniceje taka preseka simetrala stranica. Kod otrouglog trougla je u trouglu, kod
pravouglog na sredini hipotenuze i kod tupouglog van trougla.
AB
C
s
s
s
AC
AB
BC
or
Osss BCACAB =
5/21/2018 Zadaci Sa Trouglom
4/15
Vrste trouglova:
Trouglovi se dele prema stranicama i prema uglovima.
Prema stranicama: Prema uglovima:
1)
jednakostranini 1)otrougli
2) jednakokraki 2)pravougli
3) nejednakostranini 3) tupougli
Nejednakostranini
A
B
C
ab
c
O = a + b + c
P=222
cba chbhah == ili P = ))()(( csbsass ili P= r s ili P=R
abc
4
gde je:s poluobim s =
2
cba ++,
r-poluprenik upisane krunice i
R-poluprenik opisane krunice.
5/21/2018 Zadaci Sa Trouglom
5/15
Pravougli:
C A
B
a
b
hc q
p
c
O = a + b + c
P=2
ab ili P=
2
cch odavde je:c
bahc
=
a2
+ b2
= c2 Pitagorina teorema
R =2
c; r =
2
cba +; hc = pq ; a = pc ; b = qc ; c= p+q
Jednakokraki :
A B
C
a
bb ha
a_2
hb
Ovde je a osnova i b krak ( kraci)
O = a + 2b P=22
ba bhah = Primena Pitagorine teoreme: ha2+(
2
a)2= b
2
5/21/2018 Zadaci Sa Trouglom
6/15
Jednakostranini:
A B
C
a
a
a hr
r
y
o
O = 3a i P =4
32a
Visina h =2
3a ;
6
3
3
1 ahry == ;
3
3
3
2 ahro ==
Kod ovog trougla sve etiri znaajne take se nalaze u jednoj taki.
Srednja linija trougla(m) je du koja spaja sredine dve stranice i uvek je jednaka polovini
paralelne stranice.
ab
cA B
C
m=c/2
ab
cA B
C
m=a/2
ab
cA B
C
m=b/
2
5/21/2018 Zadaci Sa Trouglom
7/15
Podudarnost
111 CBAABC (SSS)Ako su sve stranice jednog trougla jednake odgovarajuim stranicama drugog trougla.
(SUS)Ako su dve stranice i zahvaeni ugao jednog trougla jednaki dvema stranicama i zahvaenom uglu drutrougla.
(USU) Ako su stranica i na nju nalegli uglovi jednog trougla jednaki sa stranicom i na nju naleglim uglovimadrugog trougla.
(SSU)Ako su dve stranice i ugao naspram vee od njih jednog trougla jednaki dvema stranicama i uglu nasprvee od njih drugog trougla.
Slinost 111~ CBAABC
111 ,, CCBBAA === ,: 11BAAB ,: 11CBBC 11: ACCA
- Ako su dva ugla jednog trougla jednaka sa dva ugla drugog trougla.- Ako su tri stranice jednog trougla proporcionalne trima stranicama drugog trougla.- Ako su dve stranice jednog trougla proporcionalne dvema stranicama drugog trougla i uglovi izmedju tihstranica jednaki.- Ako su dve stranice jednog trougla proporcionalne sa odgovarajuim stranicama drugog trougla, uglovinaspram dveju od tih odgovarajuih stranica su uglovi iste vrste (ili otri, ili pravi, ili tupi).
ZADACI
1)
Dat je pravougli trougao. Poluprenik opisanog kruga je R=15,a poluprenik upisanog kruga je r=Odrediti osnovice.
Poto se radi o pravouglom trouglu, vae formule:
2
cR= i
2
cbar
+=
ab
ba
ba
cba
=
=+
=+
+=
42
42
1230
26
Sada emo iskoristiti Pitagorinu teoremu.
0864842
0900841764
30)42(
2
22
222
222
=+
=++
=+
=+
aa
aaa
aa
cba
18
24
2
6422,1
=
=
=
a
a
a
za 18244224 === ba za 24184218 === ba
+ 432422 aa Kvadratna po a Dakle , stranice trougla su 18,24,30
?
?
?
6
15
_______
=
=
=
=
=
c
b
a
r
R
30
152
2
=
=
=
c
c
Rc
5/21/2018 Zadaci Sa Trouglom
8/15
2) Poluprenik kruga upisanog u jednokraki trougao osnovice 12=a je 3=r . Izraunatipovrinu i obim trougla.
A B
C
Ma
bb
r
rO
D
x
Obeleavamo sa M podnoje visine iz A sa O centar upisane krunice i sa D podnoje poluprenik
stranicu b
Trouglovi BMC i CDO su slini.Okrenuemo ih da bi uoili tu slinost.
M
C
C
D O
2
a
x+rb
r
x
B
Iz slinosti trouglova sledi proporcionalnost odgovarajuih stranica,
Sada primenjujemo Pitagorinu teoremu na trougao AMC
Podelimo sa 3 i reavamo kao kvadratnu jednainu...
1052
822,1
==
=
bx
x
= 3x Nemogue8835 ==+=+= hrxh
________________
??,
3
12
==
=
=
OP
r
a
xbxb
xb
ra
xb
263
3:6:
:2
:
==
=
=
04563
49636
)2()3(6
)(2
2
22
222
22
2
=
=+++
=++
=++
xx
xxx
xx
brxa
32
10212
2
=
+=
+=
O
O
baO
48
2
812
2
=
=
=
P
P
haP
5/21/2018 Zadaci Sa Trouglom
9/15
3)Uglovi trougla se odnose kao 2:3:7. Duina najmanje stranice je a . Odrediti poluprenikR opisane krunice.
A
B C
B 1
45 45
30
a
bc
60
Povuemo visinu 1BB
Stranice 1BB i CB1 su jednake
Da sklopimo sada rezultate:
aBC=
( ) baaaCBABAC
caAB
=+=+=+=
==
132
2
2
2
2
6
2
11
Povrina trougla je:
7:3:2:: =je
2
3
7
k
k
k
=
= =
1512
180
18012
180732
=
=
=
=++
k
k
k
kkk
o
o
o
2
2
2
2
45sin45sin
1
1
11
aCB
aBB
aBBa
BB oo
=
=
==
2
63
2
2
6060
2
2
12
2
60cos60cos
1
11
1
1
11
aaAB
tgBBABBB
ABtg
a
a
AB
BBABABBB
oo
o
o
==
==
==
==
0
0
0
30
45
105
=
= =
5/21/2018 Zadaci Sa Trouglom
10/15
( ) ( )
( )
( )4 134
2132
2
4
4
4
13
2
2
213
2
2
2
2
2
1
+
+==
=
+=
+=
=
a
aa
a
P
abcR
R
abcP
aaa
BBACP
2
3
a
aR= skratimo
R a=
4)Duina luka izmedju dva susedna temena jednakostraninog trougla upisanog u krug
poluprenika rje3
4=l . Odrediti povrinu trougla.
Poto se obim ovog kruga sastoji iz tri ovakva luka:
Poluprenik opisane krunice je:
3
6
23
3
=
=
a
a
(racionaliemo)
323
36
3
3
3
6
==
=
a
a
( )
2
2
3
4
2 3 3 4 3 33 3
4 4
aP
P
=
= = =
2
424
3
43
=
==
=
r
rO
O
3
3ar=
5/21/2018 Zadaci Sa Trouglom
11/15
5) Povrina otrouglog trougla ije dve stranice su 5=a i 3=b je 6=P . Odredi obimtrougla.
I NAIN
Jedan od obrazaca za povrinu je:
Poto je:
Sad emo iskoristiti kosinusnu teoremu:
Moramo ovde menjati obe vrednosti za cos
ili
Poto je trougao otrougli uzeemo 132=c jer bi u suprotnom sa stranicama 3,4,5 bio pravougl
8 2 13O= +
?
63
5
_______
=
==
=
O
Pb
a
sin2
5 36 sin
2
12 4sin
15 5
a bP
=
=
= =
2 2
2 2
2
sin cos 1
cos 1 sin
16cos 125
9cos
25
3 3cos cos
5 5
+ =
=
=
=
= =
2 2 2
2 2 2
2
2
2 cos
35 3 2 5 35
25 9 18
16
4
c a b ab
c
c
c
c
= +
= +
= +
=
=
132
52
18352
222
=
=++=
c
c
c
5/21/2018 Zadaci Sa Trouglom
12/15
II NAIN
Jedan od obrazaca za povrinu trougla je
)2)(2)(8)(8(1636
28
22
22
2836
2
83
2
85
2
8
2
86
))()((
++=
++=
+
+
++
=
=
cccc
cccc
ccccc
csbsassP
= )4)(64(576 22 cc Smena tc =2
ttt
tt
425664576
)4)(64(576
2 +=
=
=+ 0832682 tt Kvadratna po t
1652
2
3668
2
1
2,1
==
=
tt
t
Dakle: ili
A ovo su ista reenja kao kod prvog naina...
6
3
5
=
=
=
P
b
a
132
52
522
=
=
=
c
c
c
4
162
=
=
c
c
5/21/2018 Zadaci Sa Trouglom
13/15
6)Obim pravouglog trougla je 36=O , a poluprenik upisanog kruga je 3=r . Odrediti obimopisanog kruga.
Pazi: BCACABCBACBA 222)( 2222 +++++=++
2
2
2 12 12 36......../ : 2
6 6 18
(21 ) 6 6(21 ) 18 0
21 6 126 6 18 0
21 108 0
ab a b
ab a b
a a a a
a a a a
a a
=
=
+ = + + =
+ =
=+ 0108212 aa Kvadratna po a
129
912
2
321
2
1
2,1
==
==
=
ba
ba
a
1569126 =+=+= bac
Poto je: 1522 == RRc
Obim opisanog kruga je: 152 == RO
?
3
36
_________
=
=
=
krO
r
O
36
O a b c
a b c
= + +
+ + = 2
32
6 odavde izrazimo c
6
a b cr
a b c
a b c
c a b
+ =
+ =
+ =
= +
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
( 6)
36 2 12 12
a b c
a b a b
a b a b ab a b
+ =
+ = +
+ = + + +
ab
ba
ba
cba
cba
=
=+
=+
=+
=++
21
21
4222
6
36
5/21/2018 Zadaci Sa Trouglom
14/15
5/21/2018 Zadaci Sa Trouglom
15/15