Zadaci usmenog dijela maturalnog ispita iz matematike 2008/2009 god.

I. godina

1. Funkcija apsolutne vrijednosti i njezin graf.Izračunaj površinu lika omeđenog grafovima funkcija . (R:0.5)

2. Potencija. Pravila potenciranja.

Pojednostavni izraz: . (R: )

3. Diskusija rješenja sustava dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice.Za koju vrijednost aR sustav nema rješenja ? (R: -6)

4. Udaljenost točaka u ravnini - izvod.Odredi jednadžbu pravca na kojem leže sve točke jednako udaljene od točaka A(2,-3) i B(-8,3).

Nacrtaj taj pravac. (R: y= x +5)

5. Racionalizacija nazivnika.

Pojednostavni izraz: (R: 3)

6. Postotak i promil.a) Nakon povećanja od 21%, zaposlenik je primio plaću 3025 kn. Za koliko je

povećana njegova plaća?

b) Prilikom rješavanja jednog zadatka iz matematike, 12% učenika nije riješilo zadatak, 32% učenika je djelomično riješilo zadatak, a ostatak od 14 učenika je zadatak točno riješilo. Koliko je učenika bilo u razredu?

7. Formule za površinu trokuta.a) Duljine stranica trokuta odnose se kao 9:10:17. Koliki je polumjer opisane

kružnice tom trokutu ako je umnožak najdulje i najkraće stranice 612?

b) Izračunaj površinu trokuta sa stranicama 3, 4 i 8cm.

8. Izvod pravila za kubiranje binoma.

Pojednostavni izraz: . (R: )

9. Četiri karakteristične točke trokuta.Koordinate vrhova trokuta su A(1,-2), B(6,3), C(-1,8). Odredi udaljenost težišta trokuta od stranice AB. (R: )

10. Pravac i njegov graf. Koeficijent smjera pravca. Simetrale kvadranta.Za koju vrijednost broja površina trokuta što ga omeđuju pravci y = x, y = kx, i y = 6 iznosi 3? (R: k=2 )

11. Racionalizirajte nazivnik: (R: ( -1)( -2) )

12. Potencije s negativnim eksponentom.

Izračunajte: . (R: )

13. Pojednostavnite: .

14. Razlika kubova.Reducirajte izraz: (R: x-1 )

15. Izračunajte: . (R: 1 )

16. Pojam aritmetičkog korijena.Pojednostavni: a)

b) . (R: 5)17. Skupovi brojeva.

Riješi u skupu N: . (R: x=2 )18. Intervali realnih brojeva.

Za koju vrijednost realnog parametra m je rješenje jednadžbe m(x-2)+x+1=0 veće od 1? (R: m € (-8,-1) U (2,8))

19. Romb.U romb je upisana kružnica polumjera r. Ako je zbroj dijagonala dvostruko veći od opsega romba, odredite mu stranicu. (Rezultat izraziti pomoću radijusa).

20. Ako je izračunaj . (R: 5 / 2 )

22. Riješi nejednadžbu: .

23. Pojednostavni: (R: )

24. U kvadrat je upisan drugi kvadrat čiji vrhovi leže na stranicama prvog kvadrata i dijele svaku od njih u omjeru 3 : 4. Ako je površina manjeg kvadrata 100 cm2, odredi opseg većeg. (R: 56 )

25. Segmentni oblik jednadžbe pravca.Pravac ax + (a+1)y = a + 2 određuje s koordinatnim osima trokut površine 0,5. Odredi a. Nacrtaj taj pravac. (R: -4 )

26. Riješi sustav: (R: )

27. Koordinatni sustav u ravnini - koordinate, osi, kvadranti.Dva su vrha trokuta A(3,5) i B(-2,1), a treći vrh pripada osi ordinata. Odredite koordinate vrha C ako

je površina tog trokuta 11. (R: )

28. Intervali realnih brojeva.Riješi nejednadžbu:

II. godina

29. Jednakost kompleksnih brojeva.

Riješi jednadžbu: . (R: )

29. Skup C. Potreba uvođenja skupa kompleksnih brojeva. Komplesni broj.Odredi (R: 2)

30. Potencije imaginarne jedinice.Izračunaj: (R: -1+i )

31. Standardni oblik kompleksnog broja..

Odredi (R: 2 )

32. Imaginarna jedinica.Odredite parametar bR, ako je

(R: 2 )

33. Kvadratna jednadžba - izvod.

Odredi broj realnih rješenja jednadžbe: (R: 4 )

34. Tjeme kvadratne funkcije. Dana je kvadratna funkcija kojoj je tjeme u točki T(2,15) a udaljenost njezinih nultočaka je 10. Izračunaj f(12). (R: -45 )

35. Odredi umnožak rješenja jednadžbe (R: 4 )

36. Graf kvadratne funkcije - nultočke, rast i pad, sjecište s osima, ekstrem.Za kvadratnu funkciju poznato je da vrijedi f(-2) = 3, f(0) = 1 i f (2) = -3. Izračunaj f(1).

37. Diskriminanta i graf kvadratne funkcije.Odredi realni parametar m tako da funkcija ima barem

jednu nultočku.

38. Kvadratna nejednadžba.

Odredi skup svih realnih rješenja nejednadžbe

39. Riješi sustav: . )40. Odredite kvadratnu jednadžbu s realnim koeficijentima čije je jedno rješenje

bR.

41. Riješi jednadžbu:

43. Riješi jednadžbu: . )

44. Riješi nejednadžbu: log2x>logx2. )

45. Prostorna dijagonala kvadra iznosi 8 cm i s ravninom baze zatvara kut od 300, adijagonala baze s jednim njenim bridom zatvara kut od 600.Koliki je volumen kvadra?

46. Izračunaj oplošje i volumen pravilne trostrane piramide čiji bočni bridovi s ravninom osnovice

zatvaraju kut od 450.

48. Jednakokraćan trapez kojem su krakovi i manja baza duljine a, kut =600, rotira oko manje baze. Izračunaj oplošje nastalog rotacionog tijela.

49. Baza je uspravne prizme trokut sa stranicama 8, 9 i 11 cm.Visina je prizme jednaka najvećoj visini baze. Koliki je volumen prizme?

50. Riješi nejednadžbu: . )

51. Riješi nejednadžbu: .

52. Riješi nejednadžbu:

53. Koliki je u jednadžbi ako korijeni jednadžbe zadovoljavaju relaciju .

54. Koliki je ako korijeni jednadžbe zadovoljavaju relaciju.

55. Za koju vrijednost realnog parametra a je zbroj recipročnih vrijednosti rješenja

jednadžbe jednak ?

56. U jednadžbi odredi realan parametar k tako da je produkt rješenja jednadžbe pet puta veći od njihove sume.

57. Riješite nejednadžbu: 58. Odredi a, b, c u funkciji tako da je jedna nultočka –1, a za x=2

funkcija ima minimum –9.59. Koliko znamenaka ima broj , ako je log3=0.47712?

60. Riješi sustav: .

61. Odredi zbroj rješenja jednadžbe: .

62. Izračunaj log308, ako je a=log5, b=log3.

63. Odredi produkt rješenja sustava: .

64. Riješi jednadžbu: .

65. Riješi nejednadžbu: .66. Riješi nejednadžbu: .

III. godina

67. Segmentni oblik jednadžbe pravca (izvod).

Nađi površinu trokuta što ga pravac 2x-3y+5=0 zatvara s koordinatnim osima.

68. Kut između dva pravca - izvod.

Točkom T(2,4) odredi pravac koji s pravcem 3x-2y-8=0 zatvara 450.

69. Ortogonalne kružnice.Da li su kružnice x2+y2=16 i x2+y2-10x+16=0 ortogonalne? (R:da)

70. Elipsa - definicija i izvod.Pod kojim se kutom vidi elipsa x2+2y2=6 iz središta kruga x2+y2-2x-8y+16=0?

71. Hiperbola - definicija i izvod.Odredi jednadžbu tangente i normale hiperbole x2-4y2=36 u točki M(10,y>0).

72. Parabola - definicija i izvod.Odredi duljinu one tetive parabole y2=8x koja prolazi točkom T(2,-4) i koja je paralelna s pravcem 2x-2y-3=0.

73. Kut dviju krivulja.Odredi kut između krivulja 16x2+25y2=400 i 4x2-5y2=20.

74. Asimptote hiperbole.Odredi jednadžbu hiperbole čije su asimptote y=2x i y=-2x,i prolazi točkom M(1, ).

75. Kolika je površina četverokuta čiji se vrhovi nalaze u sjecištu krivulje x2+y2+x+5y=6 i

koordinatnih osi.

76. Koliki je polumjer kružnice koja je koncentrična kružnici x2+y2-6x+14y+12=0 i dira

pravac y= x -1? (R:8)

77. Elipsa - definicija i izvod.Iz točke T(0, ) povučena je tangenta na elipsu 3x2+9y2=27 tako da tangenta dodiruje elipsu u točki s negativnom apscisom. Koji kut s pozitivnim dijelom zatvara tangenta?

78. Hiperbola - definicija i izvod.Kolika je površina trokuta određenog asimptotama hiperbole 16x2-6y2=9 i pravcem y=2.

79. Parabola - definicija i izvod.U parabolu y2=4x je upisan jednakostraničan trokut čiji je jedan vrh u ishodištu. Kolika je stranica tog trokuta?

80. Hiperbola - definicija i izvod.

Elipsa ima zajednička žarišta sa hiperbolom x2-y2=1, a velika joj je os tri puta veća od

male. Odredi veliku os elipse. (R:3)

81. Vektorski produkt.Za vektore i odredi .

82. Skalarni produkt vektora.Dokaži da vektori , i čine stranice pravokutnog trokuta.

83. Mješoviti produkt vektora.Da li su vektori komplanarni: , i . (R:da)

84. Odredi broj rješenja jednadžbe cos2x+sinx=0 koja se nalaze u intervalu . (R:2)

85. Ako je sinx+siny=0.2

cosx+cosy=-0.2 odredi cos(x-y)

86. Odredi broj realnih rješenja jednadžbe . (R:2)

87. Sinusov teorem - izvod.Odredi ostale elemente u trokutu ako je zadano a=25,b=30 i .

(R:c=11

88 Cosinusov teorem - izvod.Dokaži: ako za kutove trokuta vrijedi onda je trokut jednakokraćan.

89. Formule za površinu trokuta.

Izračunaj stranice i površinu trokuta ako je , a stranice su x-2, x, x+2.(R:3,5,7,P=

90. Trigonometrijske jednadžbe.

Riješi jednadžbu: sin x + tg x =1 + cos x.

91. Riješi sustav: sin x + sin y = 1

x - y = .

92. Riješi nejednadžbu: 2 sin x + cos 2x > 1.

93. Stranice trokuta zadovoljavaju uvjet .Koliki je kut tog trokuta? 94. Izračunaj obodni kut nad tetivom duljine 10 cm, ako je njena centralna udaljenost 14

cm. )

95. Pojednostavni izraz (R:1)

96. Odredi 3tg x + 3ctg x , ako je 2 sin x + 2 cos x = 1. (R:-8)

97. Odredi zbroj rješenja jednadžbe: log8(sin2x)= na intervalu

IV. godina.98. Aksiom matematičke indukcije.

Dokaži da je izraz 23n-7n-1 djeljiv sa 49.

99. Suma aritmetičkog niza - izvod.Duljine stranica trokuta čine aritmetički niz s diferencijom 2. Jedan kut je 1200. Koliki je opseg trokuta? (R:15)

100. Površina baze, plašt i oplošje uspravnog stošca čine aritmetički niz. Odredi omjer

duljine izvodnice i polumjera baze stošca . (R:2)

101. Suma geometrijskog niza - izvod.Brojevi a, b, c čine geometrijski niz. Koji su to brojevi ako je a+b+c=112 i c-a=48?

(R:16,32,64 i

102. Suma geometrijskog niza - izvod.Zbroj tri broja koji čine rastući geometrijski niz iznosi 126. Ako je srednji član toga niza 24, koliki je najmanji član? (R:6)

103. Suma beskonačnog konvergentnog geometrijskog reda - izvod.Zbroj beskonačnog geometrijskog reda je 15, a zbroj kvadrata njegovih članova je 45. Koji je prvi član?

104. Riješi jednadžbu 3+6+12+...+x=189 .(R:96)

105. Suma beskonačnog geometrijskog reda - izvod.

Sn=5, a2= . Kako glasi geometrijski niz?

106. Newtonova binomna formula.

Odredi x tako da treći član razvoja binoma bude jednak 240. (R:2)

107. a) odredi koeficijent od u razvoju ;

b) riješi nejednadžbu .

108. Odredi član neovisan o x u razvoju binoma: . (R:990)

109. Domena funkcije. Odredi domenu funkcije .

110. Odredi vrijednost realnog parametra a ako je [-1,3] područje definicije funkcije . (R:2)

111. Inverzna funkcija.

Nađi inverznu funkciju od . )

112. Odredi . (R:2)

113. Odredi . (R:1)

114. Odredi .

115. Kompozicija funkcija.

Odredi ako je i . )

116. Derivacija kvocijenta - izvod.

Odredi ako je . )

117. Derivacija produkta – izvod.Odredi ako je . (R:2x-cos2x)

118. Odredi ako je .

119. Rast i pad funkcije.Odredi intervale monotonosti funkcije .

120. Rast i pad funkcije.Dokaži da funkcija raste za svaki x iz područja definicije funkcije.

121. Ekstremne vrijednosti funkcije.

Odredi ekstreme funkcije .

122. Tok funkcije.

Ispitaj tok funkcije .

123. Primjena ekstrema funkcije.U zadani krug upiši pravokutnik najvećeg opsega. (R:a=r )

124. Pojam integrala. Izračunaj: . (R: )

125. Izračunaj: . (R:-ctgx-tgx+c)

126. Izračunaj: . (R: )

127. Newton – Leibnizova formula.

Izračunaj . (R: )

128. Primjena određenog integrala.Izračunaj površinu lika omeđenog parabolom y2=4x i pravcem 4x-5y+4=0. (R: 9/8)

129. Izračunaj površinu lika omeđenog krivuljama y2=x3 i y2=16x (R:106/3)

130. Nađi ekstreme funkcije . (R:M( ) ,m( ))

131. Odredi parametar a tako da pravac y=4x bude tangenta krivulje . (R:1)

132. Inverzna funkcija.Nađi inverznu funkciju od . (R: )

133. Izračunaj ako je . (R: )

134. Riješi jednadžbu ako je . (R:1)

135. Izračunaj , ako je . (R:2 )

136. Ako je , koliko je . (R: )

137. Ako je , koliko je f(x)? (R:3tg2x-2cosx)

138. Ako je , koliko je ? (R:-1)

139. Ako je , riješi jednadžbu . (R: )

140. Neka je . Koliko je ? (R:1)

141. Odredi domenu funkcije . (R:x )

142. a) Ako skupu od n elemenata dodamo 2 elementa, broj permutacija novog skupa 90 puta je veći od broja elemenata staroga skupa.Koliki je n! ? (R:8!)

b) Na koliko se načina može prikazati a3b2c3 kao produkt osam faktora? (R:560)

143. Bacamo 3 kocke. Što je vjerojatnije, da ćemo dobiti sumu 10 ili sumu 11?

144. U kutiji je 12 kuglica, izvlače se dvije odjednom.

Vjerojatnost da su obje crne je . Koliko ima crnih kuglica?

145. a) Kolika je vjerojatnost da će prilikom bacanja kocke pasti broj manji od 4?b) Koliko ima šesteroznamenkastih brojeva koji imaju iste znamenke kao i broj

343241?

146. a) Od određenog broja kandidata, trener mora izabrati dvojicu za odlazak na prvenstvo. Koliko je kandidata bilo na raspolaganju ako je trener tu dvojicu mogao izabrati na 136 načina?

b) U kutiji se nalaze 10 kuglica označene brojevima od 1 do 10. Iz kutije se odjednom izvlače tri kuglice. Kolika je vjerojatnost da je na sve tri kuglice zbroj manji od 27?

Napomena: Opća gimnazija može izostaviti zadatke broj: 146, 145,144,143,142, 81 i 83.