Zatvoreno regulaciono kolo

UPRAVLJAČKA KONFIGURACIJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM

- ZATVORENO REGULACIONO KOLO -

Elementi:•Proces (objekat upravljanja)•Merni element•Regulator•Izvršni element

- ZATVORENO REGULACIONO KOLO - Uvod

PROMENLJIVE:

x - postavna tačka, odnosno željena vrednost regulisanog izlazay - regulisani izlazym - izmerena vrednost regulisanog izlaza

ε=x-ym - greška

p - upravljački signal m – manipulativna - regulaciona promenljival - spoljašnji poremećaj - promenljiva opterećenja

REGULATOR U ZATVORENOM REGULACIONOM KOLU

Uloga regulatora: Matematički obrađuje signal greške: i na izlazu daje upravljački signal - naređenje izvršnom elementu

)()()( ty tx = t m−ε))(()( tFtp ε=

Funkcija F definiše upravljački zakon ⇔ tip regulatora

Proporcionalni (P) regulator

(t) K = p(t) c ε

Kc – pojačanje regulatora

Proporcionalno-integralni (PI) regulator

∫ετ

+ε= dttK

tKtpi

cc )()()(

Kc – pojačanje regulatoraτi – integralno vreme

Proporcionalno-diferencijalni (PD) regulator

Kc – pojačanje regulatoraτd – diferencijalno vreme

dt

tdKtKtp dcc

)()()(

ετ+ε=

Proporcionalno-integralno-diferencijalni (PID) regulator

Kc – pojačanje regulatoraτi – integralno vremeτd – diferencijalno vreme

∫ ετ+ετ

+ε=dt

tdKdtt

KtKtp dc

i

cc

)()()()(

Dvopoložajni – ON-OFFregulator

ZRK - Regulator u zatvorenom regulacionom kolu

Prenosne funkcije regulatora

Proporcionalni (P) regulator

K = (s)

P(s) = (s)G cPc, ε

Proporcionalno-integralni (PI) regulator

τε s

1 + 1 K =

(s)

P(s) = (s)G

icPIc,

Proporcionalno-diferencijalni (PD) regulator

s) + (1 K = (s)

P(s) = (s)G dcPDc, τε

Proporcionalno-integralno-diferencijalni (PID) regulator

ττε

s + s

1 + 1 K =

(s)

P(s) = (s)G d

icPIDc,

τi→∞, PID→PDτd→0, PID→PI

ZRK - Regulator u zatvorenom regulacionom kolu

Frekventne karakteristike regulatora

P regulator

K = )(jG cPc, ω

0 = ))(Im(

= ))(Re(

ω

ω

jG

KjG

c,P

cc,P

0 = ))(

= ))(

ωϕ

ω

j

KjAR

c,P

cc,P

ZRK - Regulator u zatvorenom regulacionom kolu – frekventne karakteristike

PI regulator

ωτ

ωτ

ω j1

- 1 K = j

1 + 1 K = )(G

ic

icPIc,

ωτω

ω

i

cPIc,

cPIc,

K- = ))(jGIm(

K = ))(jGRe(

ωτωφ

ωτω

iPIc,

2i

cPIc,

1 - = )(

)(

1 + 1 K = )(AR

arctan

-1

Integralnodejstvo

Integralnodejstvo


PD regulator

j) + (1 K = )(jG dcPDc, ωτω

( )( ) ωτ=ω

=ω

dcPDc

cPDc

KjG

KjG

)(Im

)(Re

,

,

)( =

)(+1 K = )(AR

dPDc,

2dcPDc,

ωτφ

ωτω

arctan

+1

Diferencijalnodejstvo

Diferencijalnodejstvo


PID regulator

ωτωτω j +

j

1 + 1 K = )(jG d

icPIDc,

ωτωτω

ω

1 - K = ))(jG( Im

K = ))(jG( Re

idcPIDc,

cPIDc,

ωτωτωφ

ωτωτω

idPIDc,

id

2

cPIDc,

1 - = )(

1 - + 1 K = )(AR

arctan

-1 +1

K

Diferencijalnodejstvo Diferencijalno

dejstvo

Integralnodejstvo

Integralnodejstvo

DINAMIKA ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA

X - Postavna tačkaL - Opterećenje (poremećaj)Y - Izlazna (regulisana) promenljivaε - GreškaM – Regulaciona (manipulativna) promenljivaP - Upravljački signalYm- Izmerena veličine izaza

Gp - prenosna funkcija procesa u odnosu na

regulacionu promenljivu (Y/M)

Gpl - prenosna funkcija procesa u odnosu na

promenljivu opterećenja (Y/L)

Gm - prenosna funkcija mernog elementa

Gc - prenosna funkcija regulatora

Gv - prenosna funkcija izvršnog elementa

Dinamika zatvorenog regulacionog kola

Prenosne funkcije

Prenosna funkcija otvorenog kola

(s)G (s)G (s)G (s)G = G(s) mpvc

Prenosne funkcije zatvorenog kola

G(s) + 1

(s)G (s)G (s)G = (s)G (s)G (s)G (s)G + 1

(s)G (s)G (s)G = X(s)

Y(s) = (s)W

pvc

mpvc

pvcX

- U odnosu na postavnu tačku

- U odnosu na opterećenje

G(s) + 1

(s)G = (s)G (s)G (s)G (s)G + 1

(s)G = L(s)

Y(s) = (s)W

pl

mpvc

plL

Karakteristična jednačina ZRK

0 = (s)G (s)G (s)G (s)G + 1 = G(s) + 1 mpvc

Dinamika zatvorenog regulacionog kola

Vremenski odzivi ZRK sa P regulatorom

1 = (s)G 1, = (s)G ,K = (s)G ,sK

sGsG mvccp

pplp 1

)()(+τ

==

Primer 1: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu postavne tačke

0 = L(s) ,s

1 = X(s)

1+sK K + 1

1+sK K

= (s)G (s)G (s)G (s)G + 1

(s)G (s)G (s)G =

X(s)

Y(s) = (s)W

p

pc

p

pc

mpvc

pvcX

τ

τ

1 + sK =

1 + sK K + 1

K K + 1K K

= (s)We

e

pc

p

pc

pc

Xττ

ττ pe < K K + 1

=

K K + 1K K

= K

pc

pe

pc

pce

ττ

Ekvivalentno pojačanje

Ekvivalentna vremenska konstanta

)e - (1 K = (t)y e/ -te

p τ

|x(t) - y(t)| = GSSt ∞→lim

Greška stacionarnog stanja - OFFSET

K K + 1

1 = K - 1 = GSS

pce

0 1),K( 0GSS K eec →τ→→⇒∞→

Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa P regulatorom

1 = (s)G 1, = (s)G ,K = (s)G ,sK

sGsG mvccp

pplp 1

)()(+τ

==

Primer 2: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu opterećenja

K K + 1 =

K K + 1K

= K

pc

pe

pc

pe

ττ

|x(t) - y(t)| = GSSt ∞→lim

1 + sK K + 1

1 + sK

= (s)G (s)G (s)G (s)G + 1

(s)G =

L(s)

Y(s) = (s)W

p

pc

p

p

mpvc

plL

τ

τ

1 + sK =

1 + sK K + 1

K K + 1K

= (s)We

e

pc

p

pc

p

Lττ

K K + 1K

= K = GSSpc

pe

00 →τ→→⇒∞→ eec ),K( 0GSS K

)e - (1 K = (t)y e/ -te

p τ

ssL , = sX

1)(0)( =

Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa P regulatorom

Primer 3: Proces II reda, odziv na stepenastu promenu postavne tačke

1 = (s)G = (s)G ,K = (s)G ,1 + s 2 + s

K = (s)G mvccp

2p

pp ξττ

0 = L(s) ,s

1 = X(s)

1 + s 2 + s K =

1 + sK K + 1

2 + s

K K + 1

K K + 1K K

= (s)W

ee2

e2

e

pc

pp2

pc

2p

pc

pc

X

ξττ

ξττ

K K + 1 =

K K + 1 =

K K + 1K K

= K

pc

pe

pc

pe

pc

pce

ξξ

ττ

K K + 1

1 = K - 1 = GSS

pce

00,1,0 , KGSS : K eeec →ξ→τ→→∞→

Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PI regulatorom


0 = L(s) ,s

1 = X(s)

1 = (s)G = (s)G ,1 + s

K = (s)G , s

1 + 1 K = (s)G vm

p

pp

icc

τ

τ

1 + sK

s1

+ 1 K + 1

1 + sK

s1

+ 1 K =

X(s)

Y(s) = (s)W

p

p

ic

p

p

ic

X

τ

τ

τ

τ

1 + s 2 + s

s + 1 =

1 + sK K

1 + 1 + s

K K

s + 1 = (s)W

ee22

e

i

pci

2

pc

ip

iX

τξττ

τ

τττ

K K

K K + 1

2

1 = ,

K K

=

pc

pc

p

ie

pc

ipe

ττξττ

τ

ξξ

τ

ξ

ξ

τ

ξ

ξτ

τ

τξ

τξ

- 1

+ t - 1

- 1

e - 1 +

t -1

e - 1

= y(t)

e

2e

e

2e

2e

/ t-

e

2e/ t-

2ee

i

ee

ee

arctansin

sin

Za ξe<1:

1)(lim =∞→

ty t

0)()(lim =−=∞→

txty GSSt

Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PI regulatorom


K K

K K + 1

2

1 = ,

K K

=

pc

pc

p

ie

pc

ipe

ττξττ

τ0)(lim =

∞→ty

t0)()(lim =−=

∞→txty GSS

t

1 = (s)G = (s)G ,1 + s

K sG= (s)G ,

s

1 + 1 K = (s)G vm

p

pplp

icc

τ=

τ

)(

ssL , = sX

1)(0)( =

1 + sK

s

1 + 1 K + 1

1 + sK

= L(s)

Y(s) = (s)W

p

p

ic

p

p

L

τ

τ

τ

1 + s 2 + s

sK =

1 + sK K

1 + 1 + s

K K

sK =sW

ee22

e

c

i

pci

2

pc

ip

c

i

Lτξτ

τ

τ

ττ

τ

)(

Za ξe<1:

τξ

ξττ τξ t

- 1 e

- 1

K/ = y(t)

e

2e/ t -

2ee

ci ee sin

Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PD regulatorom


1 = (s)G = (s)G ,1 + s

K = (s)G s), + (1 K = (s)G mv

p

ppdcc

ττ

0 = L(s) ,s

1 = X(s)

1 + sK s) + (1 K + 1

1 + sK s) + (1 K

X(s)

Y(s) = (s)W

p

pdc

p

pdc

X

ττ

ττ

=

1 + s

sK + K = 1 + s

K K + 1

K K +

sK K + 1

K K + K K + 1

K K

= (s)We

ee

pc

dpcp

pc

dpc

pc

pc

Xτττ

τ21

K K + 1

K K + = ,

K K + 1

K K = K ,

K K + 1K K

= Kpc

dpcpe

pc

dpce

pc

pce

τττ

τ21

e K - K K y(t) e/ t-

e1e

ee

τ

τ

+= 21

K K + 1

1 GSS

pc

=

K K + 1 >

K K + 1

K K +

pc

p

pc

dpcp τττ

PD P

Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PD regulatorom


1 = (s)G = (s)G ,1 + s

K sG(s)G s), + (1 K = (s)G mv

p

pplpdcc

τ==τ )(

s L(s) ,= X(s)

10 =

K K + 1

K GSS

pc

p=

1 + sK s) + (1 K + 1

1 + sK

= L(s)

Y(s) = (s)W

p

pdc

p

p

L

ττ

τ

1 + sK =

1 + sK K + 1

K K + K K + 1

K

= (s)We

e

pc

dpcp

pc

p

Lτττ

K K + 1

K K + =

K K + 1K

= Kpc

dpcpe

pc

pe

τττ,

)e - (1 K = y(t) e/ -te

τ

τττ

ττξττ

τττ

dpc

p

i

pc

pc

epc

pciedi

pc

ipe

+ K K

K K

K K + 1

2

1 =

2

1

K K

K K + 1 = , +

K K

=

1 + s 2 + s

sK/ =

1 + sK K

K K + 1 + s +

K K

sK = (s)W

ee22

e

ci

pc

pci

2di

pc

ip

c

i

Lτξτ

τ

τ

ττττ

τ

Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PID regulatorom

1 = (s) G = (s)G ,1 + s

K = (s)G = (s)G , s + s

1 + 1 K = (s)G mv

p

pppld

icc

τ

ττ

s L(s) ,= X(s)

10 =

1 + sK s +

s1

+ 1 K + 1

1 + sK

= L(s)

Y(s) = (s)W

p

pd

ic

p

p

L

τ

ττ

τ


τξ

ξττ τξ t

-1 e

-1 K = y(t)

e

2e / t -

2eec

i ee sin

0 = y(t) = GSStlim

∞→

Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK - pregled

ZAKLJUČCI

P regulacija:1. Ne menja se red sistema2. Ubrzava se odziv; Kc ↑ brzina odziva ↑ 3. Postoji greška stacionarnog stanja, Kc ↑

GSS ↓4. Za sisteme II i višeg reda, Kc ↑, ξe i Pe ↓

(oscilatorniji sistem).

PI regulacija:1. Eliminiše grešku stacionarnog stanja

(GSS=0)2. Povećava red sistema za jedan3. Kc ↑ brzina odziva ↑, Pe ↓, ξe ↓ 4. τi ↑, Pe, ξe ↑5. Smanjuje se stabilnost ZRK

PD regulacija1.Ne menja se red sistema2.Postoji greška stacionarnog stanja (ista kao

za P), Kc ↑ GSS ↓3.τe veće nego za P regulator, τd ↑ τe ↑

(smanjuje se brzina odziva)4.Povećava stabilnost ZRK

PID regulacija1. Eliminiše grešku stacionarnog stanja

(GSS=0)2. Povećava red sistema za jedan3. Kc ↑ brzina odziva ↑, Pe ↓, ξe ↓ 4. τi ↑, Pe, ξe ↑5. τd ↑ brzina odziva ZRK ↓6. Može se podesiti stabilnost ZRK

STABILNOST ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA

Potreban i dovoljan uslov da je linearan sistem stabilan je da su svi realni koreni karakteristične jednačine negativni, a da kompleksni koreni imaju negativan realni deo.

Stabilnost sistema

Koreni karakteristične

jednačine

Karakteristična jednačina ZRK

0)(1 =sG +

0)()()()(1 =+ sGsGsGsG mpvc

Kc (τi, τd)

↑

stabilni nestabilni

Stabilnost zatvorenog regulacionog kola

Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti (Laplasov domen)

011

10 = a + sa+ ... + s a + s a nnnn

−−Karakteristična jednačina ZRK u obliku:

- Moguće samo za sisteme sa nagomilanim parametrima- a0, a1, ..., an – funkcije parametara regulatora

Test 1: Ukoliko svi koeficijenti karakterističnog polinoma (a0, a1, ..., an ) nisu istog znaka, sistem je sigurno nestabilan. (Potreban uslov da bi sistem bio stabilan.)

I II III IV

1234...

n+1

a0

a1

b1

c1

.

.

.w1

a2

a3

b2

c2

.

.

.w2

a4

a5

b3

c3

a6 a7

Test 2: Rutova šema

.... ,c

c b - b c = d

... ,b

b a - a b = c ,b

b a - a b = c

... ,a

a a - a a = b ,a

a a - a a = b

1

21211

1

31512

1

21311

1

50412

1

30211

Ukoliko su svi koeficijenti u prvoj koloni Rutove šeme istog znaka, sistem je stabilan. (Dovoljan uslov da bi sistem bio stabilan.)


Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti - primer

Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa procesom III reda i P regulatorom

1)()(,)(,)1(

8/1)(

3===

+sGsGKsG

s =sG mvccp

Karakteristična jednačina ZRK:

0 = )1+(s

1/8 K + 1 3c 0 =

8K + 1 + s3 + s 3 + s

c23⇔

Test 1: Svi koeficijenti karakterističnog polinoma su pozitivni. Potrebni uslovi za stabilnost ZRK ispunjeni za ∀ Kc

Test 2: Rutova šema

I II III

1234

13

(8-Kc/8)/3(1+Kc/8)

3(1+Kc/8)

00

00

c

cc

Kzac

KK

b

∀>

⇒

0

64 < 0 > 3

/8 - 8 =

1

1

01

03

/8 - 8

3

/8) + (11 - 33

=+

=××

c ,8K =

b

b a - a b = c

b ,K = K = a

a a - a a = b

2c

1

21311

2cc

1

30211

ZRK je: - stabilno za Kc<64- na granici stabilnosti za Kc=64- nestabilno za Kc>64

Definicija: Pojačanje regulatora za koje je ZRK na granici stabilnosti naziva se KRAJNJE POJAČANJE - Ku


Metoda geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine ZRK (Dijagram položaja korena (DPK) karakteristične jednačine ZRK)

- Laplasov domen -

Definicija: DPK je grafički prikaz, u s-ravni, svih korena karakteristične jednačine ZRK pri promeni pojačanja regulatora (Kc) od 0 do ∞. Svakom korenu odgovara jedna linija u s-ravni – grana.

Na osnovu DPK se može zaključiti:1. Za koje vrednosti Kc je ZRK slabilno (deo dijagrama levo od Im-ose), nestabilno

(deo dijagrama desno od Im-ose) i na granici stabilnosti (preseci grana sa Im-osom).

2. Za koje vrednosti Kc je kolo neoscilatorno (svi koreni realni), a za koje oscilatorno (konjugovano-kompleksni koreni).

3. Koji koreni karakteristične jednačine ZRK su za dato Kc dominantni

Karakteristična jednačina ZRK 0)()()()(1 =+ sGsGsGsG mpvc

Kc

↑

Ograničenje: Samo za sisteme sa nagomilanim parametrima

Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - DPK


mn ,)p-(s ... )p-(s )p-(s

)z-(s ... )z-(s )z-(s K =

D(s)

N(s) K = G(s)

n21

m21 ≥

Karakteristična jednačina ZRK:

0 = )p-(s ... )p-(s )p-(s

)z-(s ... )z-(s )z-(s K + 1

n21

m21 0 = )z-(s ... )z-(s )z-(s K + )p-(s ... )p-(s )p-(s m21n21⇔

Kc

↑

Osnovne karakteristike dijagrama položaja korena

- Broj grana u DPK je jednak broju polova prenosne funkcije otvorenog kola- Grane polaze iz polova (za Kc=0), a završavaju se u nulama (za Kc→∞) prenosne

funkcije otvorenog kola - Ako je n>m, postoji n-m asimptota, kojima grane teže kad Kc→∞

1. Broj grana, početak i kraj grana u DPK

Osnovne karakteristike dijagrama položaja korena - nastavak

2. Realni i konjugovano-kompleksni koreni - Za sve sisteme drugog i višeg reda, koreni karakteristične jednačine mogu biti realni i/ili

konjugovano kompleksni - Pri povećanju Kc par realnih korena može da predje u par konjugovano-kompleksnih

korena (tačka razdvajanja) ili obrnuto (tačka spajanja) - Konjugovano-kompleksni koreni uvek javljaju u paru ⇔ čitav dijagram mora da bude

simetričan u odnosu na reanu osu

3. Preseci grana sa imaginarnom osom- Rešenja karakteristične jednačine koja leže na Im-osi (realni delovi jednaki nuli)- Ovim rešenjima odgovara ZRK koje je na granici stabilnosti- Pojačanje regulatora za koje se dobija presek sa Im-osom – KRAJNJE POJAČANJE (Ku)- Odsečak grane na Im-osi odgovara frekvenciji kojom ZRK koje je na granici stabilnosti

osciluje sa konstantnom amplitudom – KRITIČNA FREKVENCIJA (ω0 ili ωu)- Grane mogu da seku Im-osu jednom, više puta ili nijednom

Napomena: Vrednosti Ku i ω0 uvek idu u paru. U principu sistem može imati jedan, više ili nijedan takav par vrednosti.

DEFINICIJA: Krajnje pojačanje je ona vrednost pojačanja regulatora za koju je ZRK sistem na granici stabilnosti. Kritična frekvencija je ona frekvencija sa kojom takvo kolo na granici stabilnosti osciluje sa konstantnom amplitudom.

Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - DPK

PRIMERI

Primer 1. ZRK sa procesom III reda i P regulatorom

1)()(,)(,)1(

8/1)(

3===

+sGsGKsG

s =sG mvccp

0 = )1+(s

1/8 K + 1 3c 0 =

8K + 1 + s3 + s 3 + s

c23⇔

p1=p2=p3=-1

Kc=64

Kc=64

Ku=64ω0=1.73

ZRK je: - Stabilno za Kc<64- Na granici stabilnosti za Kc=64- Nestabilno za Kc>64

ZRK je oscilatorno za svako Kc

3)1(

8/)(

+=

s

KsG c


Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – DPK - Primeri

Primer 2. ZRK sa procesom III reda i PI regulatorom

p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=-0.33

ZRK je: - Stabilno za Kc<43.9- Na granici stabilnosti za Kc=43.9- Nestabilno za Kc>43.9

)1+(s s

1/ + s

8K = G(s) 3

ic τ

(a) τi=3.03

(b) τi=0.8 p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=-1.25

Kc=43.9

Kc=43.9

Kc=11.3

Kc=11.3

Ku=43.9ω0=1.47

Ku=11.3ω0=0.897

ZRK je: - Stabilno za Kc<11.3- Na granici stabilnosti za Kc=11.3- Nestabilno za Kc>11.3

s=-0.31, Kc=0.87

s=-1.36, Kc=4.6


(b) τi=0.8, τd=0.4

(a) τi=3.03, τd=0.4

p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=-2.11, z2=-0.39

Stabilno za svako Kc

p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=-1.25±1.25j

Stabilno za Kc<26.9 i Kc>95.1Na granici st. za Kc=26.9 i Kc=95.1 Nestabilno za 26.9<Kc<95.1

Primer 3. ZRK sa procesom III reda i PID regulatorom 3)1(

8/1

+

ττ s

s + s

1 + 1 K = (s)G d

icc

(c) τi=0.8, τd=0.2

Ku2=95.07ω02=2.05

Kc=26.9

Kc=26.9

Kc=95.1

Kc=95.1

Ku1=26.93ω01=1.206

s=-0.29, Kc=0.84

Sistem sa uslovnom stabilnošću

p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=z2=-2

Ku=14.6ω0=0.97

Stabilno za Kc<14.61Na granici st. za Kc=14.61Nestabilno za Kc>14.61

Kc=14.6

Kc=14.6

s=-0.63, Kc=0.36


Pregled uticaja tipa i parametara regulatora na stabilnost zatvorenog regulacionog kola

Tip τi i τdKu ω0

Oblast stabilnosti

P - 64 1.73 Kc<64

PI τi=3.03 43.9 1.47 Kc<43.9

τi=0.8 11.3 0.897 Kc<11.3

PID τi=3.03, τd=0.4 - - ∀ Kc

τi=0.8, τd=0.4 26.93, 95.07 1.206, 2.05 Kc<26.96, Kc>95.07

τi=0.8, τd=0.2 14.61 0.97 Kc<14.61

ZAKLJUČCI:-Dodavanje integralne akcije smanjuje stabilnost ZRK-Stabilnost ZRK se smanjuje sa smanjenjem integralnog vremena-Dodavanje diferencijalne akcije povećava stabilnost ZRK-Stabilnost ZRK se povećava sa povećanjem diferencijalnog vremena


Nestabilan sistem u otvorenom kolu

Primer 1: Sistem I reda sa P regulatorom 1 - s

K K = G(s)p

pcτ

ZRK: - stabilno za Kc>1/Kp

- na granici za Kc=1/Kp

- nestabilno za Kc<1/Kp

Primer 2: Sistem III reda sa P regulatorom )1)(1)(1( 321 −τ+τ+τ s s s

K K = G(s)

ppp

pc

(a) ZRK - stabilno za Ku1<Kc<Ku2

- nestabilno za Kc<Ku1 i Kc>Ku2

(b) ZRK nestabilno za svako Kc


Bodeov kriterijum stabilnosti zatvorenog regulacionog kola

Bodeov misaoni eksperimentDefinicija: Zatvoreno regulaciono kolo će biti stabilno ako je vrednost amplitudne karakteristike otvorenog kola koja odgovara kritičnoj frekvenciji manja od 1, biće nestabilno ako je ova vrednost veća od 1, i biće na granici stabilnosti ukoliko je jednaka 1.

AR(ω0)<1 – ZRK stabilnoAR(ω0)=1 – ZRK na granici st.AR(ω0)>1 – ZRK nestabilno

Kritična frekvencija ω0

π−=ωφ )( 0

AR i φ – amplitudna i fazna karakteristika otvorenog kola (odgovaraju prenosnoj funkciji G(s))


GRAFIČKA INTERPRETACIJA

U Bodeovim dijagramima U Nikvistovom dijagramu

AR(ω), φ(ω), G(jω) – karakteristike otvorenog kola – odgovaraju prenosnoj funkciji otvorenog kola G(s)=Gc(s)Gv(s)Gp(s)Gm(s) )()()()()(

)()()()()(

ωφ+ωφ+ωφ+ωφ=ωφ

ωωωω=ω

mpvc

mpvc ARARARARAR

Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – Bodeov kriterijum

OSNOVNE KARAKTERISTIKE I OGRANIČENJA:1. Zaključak o stabilnosti zatvorenog kola se dobijaju na osnovu amplitudne i fazne

karakteristike otvorenog kola2. Može se primeniti i na sisteme sa rasporedjenim parametrima (sisteme sa mrtvim

vremenom)3. Može se primeniti samo za sisteme koji su stabilni u otvorenom kolu (stabilan proces)4. Mogu se primeniti samo ako su AR i φ monotono opadajuće funkcije frekvencije (ne

može se primeniti za sisteme sa uslovnom stabilnošću)

ODREDJIVANJE KRAJNJEG POJAČANJA I KRITIČNE FREKVENCIJE

π−=ωφ+ωφ+ωφ+ωφ=ωφ )()()()()( 00000 mpvc

Kritična frekvencija ω0 rešenje jednačine

Krajnje pojačanje Ku

( )1000010 )()()()(

1

)(

1

== ωωωω=

ω=

cc KmpvcK

u ARARARARARK

Kc<Ku – ZRK je stabilnoKc=Ku – ZRK na granici stabilnostiKc>Ku – ZRK nestabilno

Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – Bodeov kriterijum

0,01 0,1 1 10 100-6,28

-4,71

-3,14

-1,57

0,00

1,57

0,01 0,1 1 10 10010-3

10-2

10-1

100

101

16.32

-π

π/2

0

-2π

φ(rad)

ω

0.0612

AR

STABILNOST ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA – BODEOV KRITERIJUM

PRIMERI

Primer 1: Proces sistem I reda sa mrtvim vremenom, P regulator

1 + se K = (s)G (s)G = G(s)

s-0.1

cpc

ωωωφωφωφω

ωωω

0.1 - )(- = )( + )( = )(

+ 1

1 K = )(AR )(AR = )AR(

pc

2cpc

arctan

πωωωφ - = 0.1 - - = 000 )arctan()( min32.160 rad/ =ω⇒

cc K + 1

1 K AR 0612.0)(

20

0 =ω

=ω

Uticaj mrtvog vremena na stabilnost ZRK

D↑ ⇒ φ(ω)↓ ⇒ ω0 ↓ ⇒ AR(ω0) ↑ ⇒ Ku ↓ZAKLJUČAK: - Mrtvo vreme smanjuje stabilnost ZRKMrtvo vreme smanjuje stabilnost ZRK

- Što je D veće, ZRK je manje stabilno

35.16)(

1

10

=ω

==

AR

KcK

u⇒

Primer 2: Proces sistem III reda, P, PI, PID regulator

(1) P regulator

0,1 1 10-270

-180

-90

0

0,1 1 1010-4

10-3

10-2

10-1

100

1.73

φ(o)

ω(rad/min)

0.0156

AR

(2) PI regulator

0,1 1 10-270

-180

-90

0

0,1 1 1010-4

10-3

10-2

10-1

100

101

0.879

P

(b)

(a)

1.47

φ(o)

ω(rad/min)

(b)(a)P

0.0880.0228

AR

(3) PID regulator

)1+(s

1/8 = (s)G 3p

0,1 1 10-270

-180

-90

0

0,1 1 1010-4

10-3

10-2

10-1

100

101

2.07

(c)

0.97

P

(b)

(a)

1.206

φ(o)

ω(rad/min)

0.0105

(c)

(b)(a)P0.0684

0.037

AR(a) τi=3.03(b) τi=0.8

(a) τi=3.03, τd=0.4 (b) τi=0.8, τd=0.4 (c) τi=0.8, τd=0.2

Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – Bodeov kriterijum - Primeri

STABILNOST ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA – BODEOV KRITERIJUM - PRIMERI

Primer 2 - pregled

Tip τi i τd ω0 (presek sa φ=-π) Ku (1/AR(ω0)) Oblast stabilnosti

P - 1.73 64 Kc<64

PI τi=3.03 1.47 43.9 Kc<43.9

τi=0.8 0.897 11.3 Kc<11.3

PID τi=3.03, τd=0.4 - - ∀ Kc

τi=0.8, τd=0.4 1.206, 2.05 26.93, 95.07 Bodeov kriterijum stabilnosti neprimenljiv

τi=0.8, τd=0.2 0.97 14.61 Kc<14.61

Uticaj integralne i diferencijalne akcije na stabilnost ZRK

-Dodavanje integralne akcije ⇒ φ(ω)↓ ⇒ ω0 ↓ ⇒ AR(ω0) ↑ ⇒ Ku ↓

−τi ↓ ⇒ φ(ω)↓ ⇒ ω0 ↓ ⇒ AR(ω0) ↑ ⇒ Ku ↓- Dodavanje diferencijalne akcije ⇒ φ(ω) ↑ ⇒ ω0 ↑ ⇒ AR(ω0) ↓ ⇒ Ku ↑

- τd ↑ ⇒ φ(ω) ↑ ⇒ ω0 ↑ ⇒ AR(ω0) ↓ ⇒ Ku ↑

ZAKLJUČAK: - Dodavanje integralne akcije smanjuje stabilnost ZRK.

- Što je τi manje, kolo je manje stabilno

- Dodavanje diferencijalne akcije povećava stabilnost ZRK

- Što je τd veće, kolo je stabilnije

Zatvoreno regulaciono kolo

POKAZATELJI RELATIVNE STABILNOSTI ZRK

Nije dovoljno da je ZRK stabilno – neophodno je da postoji “rezerva stabilnosti” – stepen sigurnostiRazlozi: - Analiza stabilnosti ZRK se zasniva na približnim modelima

- Analiza stabilnosti ZRK se zasniva na linearizovanim modelima – nisu dovoljno pouzdani pri promeni radne tačke

- Fizičke i fizičko-hemijske karakteristike mnogih objekata upravljanja se menjaju u toku njihove eksploatacije (prljanje površina, deaktivacija katalizatora i sl.)

Korišćenjem logike Bodeovog kriterijuma stabilnosti, pokazatelji relativne stabilnosti se definišu preko frekventnih karakteristika otvorenog kola – kao udaljenost od kritične tačke:

odnosno:

π−=ωφ=ω )(,1)( 00AR

( ) ( ) 0)(Im,1)(Re 00 =ω−=ω jGjG

Zatvoreno regulaciono kolo – Relativna stabilnost

Pretek pojačanja (granica pojačanja, rezerva pojačanja, rezerva stabilnosti po modulu) – definiše odstojanje ZRK od granice stabilnosti mereno jedinicama amplitudne karakteristike otvorenog kola.

π−=ωφπ−=ωφω

=ω

=)(0)(0

00)(

1

)(

1

jGARm

c

u

K

Km =

nestabilnoZRK1

istabilnostgranicinaZRK1

stabilnoZRK1

⇔<

⇔=

⇔>

m

m

m

Preporuka: m=1.7 do 2

Pretek faze (granica faze, rezerva faze, rezerva stabilnosti po fazi) – definiše odstojanje ZRK od granice stabilnosti mereno jedinicama fazne karakteristike otvorenog kola.

|))(j( arg)( 1 = |)G(j|11)(1 11 ω=ω ωπωφπγ G + = | + = AR

nestabilnoZRK0

istabilnostgranicinaZRK0

stabilnoZRK0

⇔<γ

⇔=γ

⇔>γ

Preporuka: γ=30 do 45o

Važi samo za P regulator

Zatvoreno regulaciono kolo – Relativna stabilnost

ω0

ω1

1

NIKVISTOV KRITERIJUM STABILNOSTI

Košijeva teorema Z-P=N: Ako kompleksna funkcija F(s) ima Z nula i P polova unutar određene oblasti u ravni nezavisne promenljive s, obuhvaćene zatvorenom konturom C, slika zatvorene konture C u F-ravni će obići oko koordinatnog početka (tačke (0,0)) tačno N=Z-P puta. Pri tome se obilaženje u smeru kazaljke na satu uzima sa pozitivnim znakom, a obilaženje u smeru suprotnom kretanju kazaljke na satu sa negativnim znakom.


Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum

Primena Z-P=N teoreme na ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola

Oblast: desna poluravan kompleksne s-ravni

Kontura C

Funkcija)())((

)())(()(1)(

21

21

N

M

pspsps

zszszsKsGsF

−−−−−−=+=

Nule f-je F(s) ≡ koreni karakteristične j-ne ZRKPolovi f-je F(s) ≡ polovi f-je G(s) (p.f. otvorenog kola)

Z nula f-je F unutar konture CP polova f-je F unutar konture C

ZRK stabilno ⇔ svi koreni karakteristične jednačine ZRK u levoj poluravni ⇔ Z=0

Slučaj 1: Otvoreno kolo stabilno ⇔ P=0 ⇒ N=0 (ZRK je stabilno ako slika konture C u F-ravni ne obilazi oko koordinatnog početka)Slučaj 2: Otvoreno kolo nestabilno ⇔ P≠0 ⇒ N=-P (ZRK je stabilno ako slika konture C u F-ravni obilazi oko koordinatnog početka tačno – P puta)

Praktična primena: Zbog jednostavnosti se, umesto funkcije F(s)=1+G(s) i njenih nula, obično ispituje funkcija G(s) kojom je definisana prenosna funkcija otvorenog kola i posmatra broj obilazaka slike konture C oko tačke (-1,0) u G-ravni

)1)(1)(1()(

321 + s+ s+ s

K = sG

τττPrimer:


Nikvistov dijagram(hodograf vektora G(jω)

KONAČNA DEFINICIJA NIKVISTOVOG KRITERIJUMA STABILNOSTI:

1. Ukoliko sistem ne sadrži ni jedan nestabilan element u otvorenom kolu, zatvoreno regulaciono kolo će biti stabilno ako i samo ako Nikvistov dijagram otvorenog kola (hodograf vektora G(jω)) ne obilazi oko tačke (-1,0). Ako Nikvistov dijagram obilazi oko tačke (-1,0) zatvoreno regulaciono kolo je nestabilno, a ako prolazi kroz nju, zatvoreno regulaciono kolo je na granici stabilnosti.

2. Ukoliko sistem sadrži P elemenata koji su nestabilni u otvorenom kolu, zatvoreno regulaciono kolo će biti stabilno ako i samo ako hodograf vektora G(jω) obilazi oko tačke (-1,0) tačno P puta, u smeru suprotnom smeru kretanja kazaljke na satu.

ALTERNATIVNA DEFINICIJA: Zatvoreno regulaciono kolo je stabilno ako se tačka (-1,0) uvek nalazi za leve strane posmatrača koji putuje duž hodografa vektora G(jω) u smeru porasta frekvencije.


Slučaj 1: Jednostavni sistemi – stabilan proces, monotono opadajuće frekventne karakteristike otvorenog kola

Stabilno ZRK

ZRK na granici stabilnosti Nestabilno ZRK

Primena identična kao za Bodeov kriterijum stabilnosti

Kritična frekvencija:

( ) π−=ωφ⇔=ω )(0)(Im 00jG


( )101010 )(

1

)(

1

)(Re

1

=== ω=

ω=

ω=

ccc KKKu ARjGjG

K

Krajnje pojačanje:

ω0


Slučaj 2: Polovi prenosne funkcije otvorenog kola na imaginarnoj osi

Primena identična kao za Slučaj 1


1) + s( 1) + s( s

K = G(s)

21 ττPrimer:

s-ravan G-ravan

ω0


Slučaj 3: Sistemi sa uslovnom stabilnošću

Primer: 1) + s( 1) + s( 1) + s( 1) + s(

1) + s( K = G(s)

pppp

z

τττττ

4321

1

Nikvistov dijagram DPK

K = K K = K K = K ZATI STABILNOSGRANICI NAZRK

K > K K < K < K ZANESTABILNOZRK

K< K < K K < K ASTABILNO ZZRK

ucucuc

ucucu

ucuuc

321

321

321

∨∨

∨

∨

1031033

1021022

1011011

)(

1

)(

1

)(

1

)(

1

)(

1

)(

1

==

==

==

ω=

ω=

ω=

ω=

ω=

ω=

cc

cc

cc

KK

u

KK

u

KK

u

ARjGK

ARjGK

ARjGK


Slučaj 4: Nestabilan proces

1 - sK K = G(s)

p

pc

τPrimer:

πωτω

ωτω

- )( arctan = )G(j arg p

22p

pc

+ 1

K K = |)G(j|

Nisu frekventne karakteristike!

K1/ > K ASTABILNO ZZRK

K = K ZATI STABILNOSGRANICI NAZRK

K1/ < K ZANESTABILNOZRK

pc

pc

pc

P=1 – broj polova O.K. u desnoj poluravniUslov stabilnosti: N=-1!

pu K

K1=



Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom

(a) τi=3.03 min, τd=0.4 min, (b) τι=0.8 min, τd=0.4min, (c) τι=0.8 min, τd=0.2 min

1 = (s)G = (s)G ,)1 + (s

1/8 = (s)G mv3p

s+ s 3 + s 3 + s

1 + s + s 8

K = )1 + (s

1/8 s +

s

1 + 1 K = G(s)

234

i2

di

i

c3d

ic

ττττ

ττ

ωωωωωτττωτττ

τω

ωωωτωτττωττ

τω

+ 3 + 3 +

1 - )3 - + (3 + )3 - (

8K = ))(G(j Im

1 + 3 + 3 +

3) - ( + ) 3 - 3 + (1 + -

8K = ))(G(j Re

357

2idi

4dii

i

c

246

i2

idi4

di

i

c

Zamenom s=jω ⇒ G(jω)

τττ→ω∞→ω→ω

ii

i 0.375 - 0.125 =

8

3 - ))(G(j Re, - ))(G(j Im cc KK :0

Asimptota kad ω →0:


Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom - nastavak

Slučaj (a) τi =3.03 min, τd =0.4 min, za Kc=1:

ωωωωωωω

ωωωωωω

+ 3 + 3 +

0.041 - 0.201 - 0.025- = )))(G(j Im

1 + 3 + 3 + 10x1.24 + 0.284- 0.05-

= )))(G(j Re

357

24

246

-324

0.00124 ))(G(j Re , - ))(G(j Im →ω∞→ω→ω : 0

Asimptota:

ω∀<ω zajG 0))(Im(

⇓Nema preseka sa negativnim delom Re-ose

⇓ZRK stabilno za svako Kc

Kritična frekvencija: Im(G(jω)=0



Slučaj (b) τi =0.8 min, τd =0.4 min, za Kc=1:

Asimptota:

ωωωωωωω

ωωωωωω

+ 3 + 3 +

0.15625 - 0.14375 + 0.025- = ))(G(j Im

1 + 3 + 3 +

0.34375 - 0.55- 0.05- = ))(G(j Re

357

24

246

24

0.34375- ))(G(j Re , - ))(G(j Im →ω∞→ω→ω : 0

0 = 0.15625 - 0.14375 + 0.025- 0 = ))(G(j Im 20

400 ωω⇔ω

rad/min 2.07 = irad/min 02ωω 1.206 = 01

0.0105 = |))Re(G(j| = )AR( =

0.037 = |))Re(G(j

020202

01

ωωωω

AR

| = )AR( = AR 0101

95.07 = 0.0105

1 = K

26.93 = 0.037

1 = K

u

u

2

1

Uslovna stabilnost!

ZRK stabilno za Kc<26.93 ili Kc>95.07ZRK nestabilno za 26.93<Kc<95.07ZRK na granici stabilnosti za Kc=26.93 i Kc=95.07




Slučaj (c) τi =0.8 min, τd =0.2 min, za Kc=1:

Asimptota – ista kao pod (b)

ωωωωωωω

ωωωωωω

+ 3 + 3 +

0.15625 - 0.11875 + 0.05 = ))(G(j Im

1 + 3 + 3 +

0.34375 - 1.55- 0.025- = ))(G(j Re

357

24

246

24

0 = 0.15625 - 0.11875 + 0.05 0 = ))(G(j Im 20

400 ωω⇔ω


Rešenja: −

=ω94.0

32.320

rad/min 0.97 = 0ω

0.0684 = |))Re(G(j 0ωω | = )AR( = AR 00

14.61 = 0.0684

1 = K u

ZRK stabilno za < 14.61ZRK nestabilno za >14.61ZRK na granici stabilnosti za Kc=14.61

IZBOR I PROJEKTOVANJE REGULATORA ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA

1. Izbor tipa regulatora 2. Definisanje vrednosti parametara regulatora - podešavanje regulatora3. Definisanje kriterijuma za ocenu kvaliteta ponašanja sistema

Zatvoreno regulaciono kolo – Kriterijumi kvaliteta regulacije

Osnovni zahtevi koje sistem upravljanja treba da ostvari:1. Stabilnost2. Što bolje otklanjanje dejstva poremećaja3. Dobro praćenje promena postavne tačke4. Eliminisanje ili svodjenje na malu vrednost greške stacionarnog stanja (Offseta)5. Izbegavanje jako velikih promena manipulativne promenljive6. Neosetljivost sistema na promenu radnih uslova i nedovoljnu tačnost modela

KRITERIJUMI ZA OCENU KVALITETA REGULACIJE

1. Kriterijumi u vremenskom domenu-Greška stacionarnog stanja (P regulacija) -Prekoračenje (Pr=B/D)-Odnos slabljenja (O.S.=C/B)-Vreme uspona tu

-Vreme smirenja ts

1)12)((

)()(

22< ,

+s+ssQ

sP=sW e

eee

ξτξτ

ZRK je najčešće oscilatoran sistem: x(t)

GSS

U principu:Kad Kc↑: GSS↓, ξe ↓, Pr ↑, O.S. ↑, tu ↓, ts ↑(Poželjno: GSS=0, malo Pr, mali O.S., malo tu i

malo ts)

Kompromisno rešenje Kc za koje je O.S.≈1/4


2. Kriterijumi u Laplasovom domenu

Obezbedjuje da ZRK bude dovoljno stabilno

Obezbedjuje da ZRK ne bude previše oscilatorno


( ) +te KA = ty nt-p n

φξ−ω

ξ−− ωξ 2

21sin

1

11)(

ξωωξφ =

= n

ncosZa nedovoljno prigušen sistem II reda:

τ=constξ=const

3. Kriterijumi u frekventnom domenu


- Pretek pojačanja i pretek faze - Pokazatelji relativne stabilnosti m i γ

π−=ωφπ−=ωφω

=ω

=)(0)(0

00)(

1

)(

1

jGARm |))(j( arg)( 1 = |)G(j|11)(1 11 ω=ω ωπωφπγ G + = | + = AR

Preporuka: m=1.7 do 2 γ=30 do 45o

ω0

ω1

1

ω0

ω1

1

ω0

ω1

1

ω0

ω1

Izbor i projektovanje regulatora ZRK - Izbor tipa i parametara regulatora

Izbor tipa regulatora

Kvalitativni prikaz odziva ZRK na promenu opterećenja

Praktična pravila:1. P regulator za regulaciju nivoa i pritiska u rezervoarima za skladištenje fluida2. PI regulator za regulaciju protoka3. PID regulator za regulaciju temperature i sastava

Izbor parametara regulatora

Treba naći kompromisno rešenje koje će da pomiri osnovne zahteve:-ZRK treba da bude što stabilnije-ZRK treba da ima što brži odziv-ZRK treba što brže da se smiruje-Treba zadovoljiti zahteve definisane različitim kriterijuima kvaliteta regulacije


Cigler-Nikols (Ziegler-Nichols) Z-N (1942)

Metode zasnovane na krajnjem pojačanju Ku i krajnjem periodu Pu =2π/ω0

Ku i Pu se odredjuju za Gc(s)=1

Tip regulatora

Kc τi τd

P 0.5Ku - -

PI 0.45Ku Pu/1.2 -

PID 0.6Ku Pu/2 Pu/8

Poluempirijske metode za podešavanje parametara regulatora

πωφ −=)( 0

Kritična frekvencija ω0 Krajnje pojačanje Ku

10 )(

1

=

=cK

u ARK

ω


PRIMER: Odredjivanje parametara regulatora metodom Cigler-Nikolsa

1)()(,)1+(

1/8)( 3 == sGsG

s = sG vmp

min63.3rad/min,73.1,64 0 ==ω= uu P K

Tip R. Parametar Z-N

P Kc 32.00

PI Kc 29.10

τi 3.03

Kc 37.65

PID τi 1.82

τd 0.45

Tip R. Kc τi τd

P 0.5Ku - -

PI 0.45Ku Pu/1.2 -

PID 0.6Ku Pu/2 Pu/8


tip GSS Pr O.S Vreme usp. (min)

P 0.200 0.542 0.390 1.6

PI 0 0.563 0.583 1.8

PID 0 0.403 0.169 1.4

Kriterijumi kvaliteta regulacije u vremenskom domenu

Tip regulatora τ1 (min) τ2 (min) ωn (rad/min) ξ

P 0.386 - 1.390 0.148

PI 0.406 3.330 1.270 0.092

PID 0.831 1.005 1.469 0.273

)+2+s1)(+s1)(+s(

P(s)=W(s)

2nn

221 ωωξττPokazatelji u Laplasovom domenu

Tip regulatora m γ (o)

P 2.00 27.00

PI 1.51 14.50

PID ∞ 31.00

Kriterijumi u frekventnom domenu

Prednosti i nedostaci konfiguracije upravljanja sa negativnom povratnom spregom

Prednosti Nedostaci

1. Deluje na osnovu direktnog merenja izlaza kojim treba upravljati2. Ne zahteva identifikaciju ni merenje poremećaja3. Povećava brzinu odziva sistema4. Smanjuje uticaj nelinearnosti5. Nije mnogo osetljiva na greške modelovanja (mogu da se koriste približni modeli)6. Nije mnogo osetljiva na promenu parametrara procesa

1. Upravljačka akcija deluje tek nakon što se uticaj poremećaja odrazi na izlaz iz sistema2. Ne zadovoljava za regulaciju sporih procesa ili procesa sa velikim mrtvim vremenom3. Zatvoreno regulaciono kolo može da postane nestabilno

Documents

Zatvoreno regulaciono kolo