Kuglica je izvuena iz urne u kojoj se nalaze 4 bele, 3 crvene i 4 plave kuglice

Teorija informacija i komunikacija zbirka zadataka

1. Sluajni procesi

esto se sreu veliine koje se tokom vremena menjaju na sluajan nain. Sluajnim (stohastikim) procesom se naziva familija sluajnih promenljivih zadatih na prostoru verovatnoa ((, F, p) koje zavise od realnog parametra t(T. Sluajan proces, u oznaci je funkcija nad prostorom R(( sa vrednostima u R (t vreme; trajektorija sluajnog procesa ).

Ako je T prebrojiv skup, obino celih brojeva, u pitanju je sluajni niz. Ako je T realan interval, , ili deo realne prave, u pitanju je sluajni proces sa neprekidnim vremenom.

Markovljevi sluajni procesi posebna vrsta sluajnih procesa. Neka su: ishodi nekog opita, ishod Aj koji se realizuje u n-tom po redu ponovljenom opitu n =1,2,... Niz opita ini Markovljev lanac ako za proizvoljne r, n, ki ( N, n ( k1( k2 ( ... ( kr i proizvoljne dogaaje iz skupa svih moguih ishoda vai:

Tumaenje: samo "bliska prolost" ima uticaja na realizovanje dogaaja u narednom ponavljanju opita. Verovatnoa

zove se verovatnoa prelaza sistema iz stanja xi u trenutku n u stanje xj u trenutku m. Ako kao funkcija od m i n zavisi samo od razlike m n, onda je to homogen Markovljev lanac. Postavlja se pitanje da li je mogue za homogene Markovljeve lance, na osnovu poznavanja verovatnoa prelaza u jednom koraku, pij, i,j=1,2,... odrediti verovatnoe prelaza pij(n), n = 2,3,... u n koraka. Odgovor je u jednainama epmen-Kolmogorova:

Ove jednaine se mogu kondenzovano zapisati u matrinoj formi:

gde je:

Pn matrica verovatnoa prelaza iz stanja xi u stanje xj u n koraka, iji su elementi brojevi iz intervala . Zbir elemenata ma koje vrste u Pn je 1. Pn se dobija stepenovanjem iz P.Ergodina teorema vezana za Markovljeve lance sa konano mnogo stanja, a govori o ponaanju verovatnoa prelaza pij(n) kada se broj koraka n neogranieno poveava:

ako je za neko n=n0 svaki elemenat matrice strogo pozitivan tada za svako j=1,2,..., s vai:

finalne verovatnoe, ne zavise od . (verovatnoa prelaza u velikom broju koraka ne zavisi od poetnog stanja) Brojevi se dobijaju iz uslova:

i sistema homogenih jednaina:

Zadaci

1.1. Matrica prelaza u lancu Markova je . Odrediti p33(3).

Reenje:

p33(3) =0.53

1.2. Verovatnoa prelaza u Markovljevom lancu je zadata matricom. Nai verovatnou prelaza iz prvog u tree stanje za 2 koraka.Reenje:

p13(2) =

1.3. Ako je matrica verovatnoa prelaza , odrediti p12(3).

Reenje:

p12(3) =0.375

1.4. Da li lanac sa matricom verovatnoa prelaza zadovoljava teoremu ergodinosti?

Reenje:

,

Objanjenje:

Oigledno je da se ne moe odrediti n0 za koje bi svi elementi matrice Pn0 bili strogo pozitivni, pa otuda uslov ergodinosti nije ispunjen.

1.5. Tri deaka A,B,C bacaju loptu jedan drugom. Deak A uvek baca loptu deaku B, deak B uvek baca loptu deaku C, a deak C sa podjednakom verovatnoom baca loptu i deaku A i deaku B. Neka je xn stanje da n-ti deak ima loptu (n=1,2,3). Nai verovatnou sa kojima e posle 3 bacanja svaki deak imati loptu.

Reenje:

EMBED Equation.3

p31(3) =, p32(3) =, p33(3) =

2. Statistika metoda

sluajni uzorak; gde su sluajni ishodi kod kojih posmatramo obeleje X, i tako se dobija n-dimenzionalna sluajna veliina .

registrovana vrednost uzorka, tj. realizovana vrednost .

Sluajni uzorak je prost uzorak ako su sve sluajne promenljive meusobno nezavisne i sve imaju istu funkciju raspodele F(X). Na osnovu uzorka definie se empirijska funkcija raspodele kao:

,

tj.

Centralna teorema matematike statistike (teorema Glivenka-Kantelija):

,

gde je F(X) teorijska funkcija raspodele obeleja X.

Zadaci2.1. Neka je (X1, X2, X3) prost uzorak obima 3 iz populacije ije je obeleje X: N(5,3). Kolika je verovatnoa da najvei element uzorka bude vei od 7?Reenje:

2.2. Poznato je da je gustina obeleja populacije: . Odrediti verovatnou da tano tri elementa sluajnog uzorka obima 5 uzetog iz te populacije budu pozitivna.Reenje:

Takvih uzoraka ima 10, jer je , pa je traena verovatnoa:

2.3. Iz populacije ije obeleje ima gustinu uzet je prost uzorak (X1, X2, X3). Odrediti funkciju raspodele i gustinu maksimalnog elementa u uzorku.Reenje:

2.4. Nacrtati poligon relativne uestalosti i grafik empirijske funkcije raspodele na osnovu podataka:

Reenje:

2.5.Visine 40 uenika u centimetrima iznose:

138164150132144125149157

146158140147136148152144

168126138176163119154166

146173142147135153140135

161145135142150156145128

a) formirati raspodelu frekvencija grupisanjem podataka u klase irine 5, tako da sredine klasa budu 120, 125, 130,...

b) nacrtati histogram raspodele frekvenicja

c) nacrtati grafik empirijske funkcije raspodele

Reenje:

a)

Klasefixi

118-1221120

123-1272125

128-1322130

133-1374135

138-1426140

143-1478145

148-1525150

153-1574155

158-1622160

163-1673165

168-1721170

173-1772175

3. takaste ocene parametara

Ako je poznato da obeleje X ima odreeni tip raspodele (binomna, normalna), postavlja se kao problem ocena parametara koji se pojavljuju u funkciji raspodele F. (Npr. ako je X: N(m,() problem je oceniti parametre m i ()

( nepoznati parametar funkcije raspodele F(x, () obeleja X(n=U(X1,X2,...,Xn) odabrana statistika pomou koje ocenjujemo parametar (Ovakva ocena je takasta ocena parametara. Za takaste ocene parametara se postavljaju zahtevi:

nepristrasnost ocene da je ocena centrirana: E(U)=( korektnost ocene da je ocena U asimptotski centrirana: E(U)((, kada n(( konzistentnost ocene kada n((, najmanja mogua disperzija ocene u odnosu na dati raspored

Za dobijanje takastih ocena parametra ( koristi se:

Metod maksimalne verodostojnosti Neka je

familija dopustivih raspodela obeleja X. Funkciju verodostojnosti L definiemo kao:

Ocena parametra ( koja se dobija metodom maksimalne verodostojnosti je ona vrednost ( za koju funkcija L(() ima maksimum.

Traenje maksimuma za L moe se obavljati:

izjednaavanjem izvoda funkcije po ( sa nulom

prvo logaritmovanjem pa onda diferenciranjem i izjednaavanjem sa nulomZadaci3.1. Neka se dogaaj A pojavljuje pri realizaciji eksperimenta sa verovatnoom p koja je nepoznata. Ako se u 100 nezavisnih ponavljanja dogaaj A ostvario 68 puta oceniti verovatnou p.

Reenje:

3.2. Za obeleje X sa raspodelom dobijen je uzorak (0, 1, 0, 2, 3, 0). Metodom maksimalne verodostojnosti nai ocenu nepoznatog parametra (.Reenje:

3.3. Strelac pogaa cilj sa nepoznatom verovatnoom p. Da bi se odredilo p, strelac dobija 20 metaka koje ispaljuje u cilj i pritom se regustruje broj postignutih pogodaka. Izvedeno je 5 serija gaanja i dobijeni su sledei podaci (14, 10, 12, 9, 15). Metodom maksimalne verodostojnosti oceniti nepoznatu verovatnou p na osnovu ovakvog uzorka.

Reenje:

4. intervalne ocene parametara

Ocena nepoznatog parametra ( u raspodeli obeleja populacije se moe vriti i tako to se na osnovu sluajnog uzorka odreuje interval u kome se nalazi taj parametar:

, gde je 1 ( koeficijent pouzdanosti.

Interval poverenja za nepoznato matematiko oekivanje m (X:N(m,()):

je irina intervala, a je uzoraka sredina.

Za dati nivo poverenja 1 (, t se odreuje iz tablice:

1 (0.80.90.950.960.980.99

t1.281.6451.962.052.332.58

Interval poverenja za nepoznato m i (Da bi se dobila ocena za nepoznato m koristi se veliina (gde je uzoraka standardna devijacija), koja ima Studentovu raspodelu sa n 1 stepenom slobode. Na osnovu tablica ove raspodele (za dati nivo poverenja i dati broj stepena slobode) interval poverenja je:

Za odreivanje intervalne ocene za nepoznatu varijansu (2 populacije, koriste se tablice (2 (hi-kvadrat) raspodele, sa n 1 stepenom slobode i dati nivo poverenja 1 (, odreuju se i tako da je:

;

,

,

Zadaci4.1. Prilikom 7 kvarova jedne maine izmereni su sledei brojevi neprekidnog rada maine: 53, 48, 50, 54, 51, 50, 51. Pretpostavljajui da broj asova rada do kvara ima normalnu raspodelu nai 99% interval poverenja za srednji broj asova neprekidnog rada maine.

Reenje:

4.2. Istraivanjem mesenih primanja studenata (u desetinama dinara) dobijeno je: p15-2525-3535-4545-5555-6565-7575-8585-9595-105

f35111597932

Uz pretpostavku da je visina primanja X: N(m,20), odrediti 98% interval poverenja za srednju vrednost primanja studenata.

Reenje:

Klasefixifixi(xn-xi)2fi(xn-xi)2

15-24319.558.51336.634009.90

25-34529.5147.5705.433527.17

35-441139.5434.5274.233016.57

45-541549.5742.543.03645.50

55-64959.5535.511.83106.50

65-74769.5486.5180.631264.44

75-84979.5715.5549.434944.90

85-94389.5268.51118.233354.70

95-104299.51991887.033774.07

64358824643.8

4.3. Iz normalno rasporeenog obeleja populacije je izvuen uzorak obima 17 za koji je izraunato i . Za 1 ( = 0.95, n 1 = 16 stepeni slobode odrediti interval poverenja za nepoznato matematiko oekivanje.

Reenje:

4.4. Izvedeno je 4 nezavisnih merenja dubine okeana na odreenom reonu i dobijeni su sledei rezultati (u km): 4.33, 4.58, 4.47, 4.5. Odrediti interval pouzdanosti s koeficijentom pouzdanosti 0.99 za srednju dubinu okeana u tom reonu.

Reenje:

4.5. U jednom eksperimentu lekara ispitivana je duina sna pacijenata, koji su leeni od odreene bolesti. Na sluajan nain je izabrano 4 pacijenta i izmereno vreme (u minutama) spavanja ovih pacijenata: 435, 458, 450, 480. Ako se prihvati da vreme spavanja ima normalnu raspodelu, oceniti srednje vreme spavanja pacijenata 99% intervalom pouzdanosti.Reenje:

4.6. Visine 13 stabala kukuruza u centimetrima iznose: 180, 115, 221, 180, 256, 190, 185, 210, 160, 210, 206, 180, 192. Nai 95% interval poverenja za srednju vrednost generalne populacije ako je .5. Testiranje statistikih hipoteza

Statistika hipoteza (H: (( A) je bilo koja pretpostavka o tome da obeleje X ima raspodelu koja pripada nekom podskupu A skupa dopustivih raspodela (F(x, ()). Nasuprot njoj je tzv. alternativna hipoteza H: (( AC.

Hipoteza se pored oblika raspodele obeleja moe odnositi i na:

vrednost nekog parametra kod raspodele

jednakosti parametara dve ili vie raspodela

nezavisnost uzoraka

jednakosti raspodela dva razliita obeleja

Hipoteza moe biti prosta, ako je A jednolan skup, ili sloena, ako se sastoji od vie prostih hipoteza.

Za verifikaciju hipoteza koristi se statistiki test:

za odreenu hipotezu H uoimo skup C(Rn kritina oblast za H (kritina oblast testa)

ako realizovani uzorak pripada oblasti C, hipotezu H odbacujemo

ako ne pripada oblasti C hipotezu ne odbacujemo, tumaimo: "rezultati testiranja ne protivuree hipotezi H".

U postupku verifikacije hipoteze mogu se javiti dve osnovne vrste greaka:

greka prve vrste opovrgnuta tana hipoteza

greka druge vrste prihvaena netana hipoteza

Verovatnoa pojave greke prve vrste se oznaava sa ( i zove nivo znaajnosti, najee 0.05 ili 0.01.

Parametarski testovi

Za proveru hipoteza koje se odnose na vrednosti parametara u raspodeli koriste se parametarski testovi, npr:

Testiranje hipoteze H0(m=m0) protiv hipoteze H1(m(m0) kada je disperzija ( poznata (obeleje populacije X:N(m, ())

Ako je (*(( hipoteza H se odbacuje, u suprotnom uzorak ne protivurei hipotezi.

Testiranje hipoteze H0(m=m0) protiv hipoteze H1(m(m0) kada disperzija nije poznata

Raunamo odgovarajuu vrednost iz uzorka:

koju poredimo sa iz tablica Studentove raspodele. Ako je: hipotezu H odbacujemo, u protivnom konstatuje se da rezultat iz uzorka ne protivurei toj hipotezi.

Neparametarski testovi

Statistiki testovi vezani za oblik funkcije raspodele obeleja populacije se zovu neparametarski testovi. Najpoznatiji meu njima je Pirsonov (2 test. Potrebno je:

skup svih moguih vrednosti obeleja X (realna osa u optem sluaju) podeliti na r disjunktnih podskupova (intervala), S1, S2, ... , Sr (r(2)

odrediti verovatnoe pk i verovatnoe da vrednosti obeleja X budu u intervalu Sk, k=1,2,...,r sa mk oznaimo broj xj iz uzorka koji su u Sk, pa je obim uzorka

Za dati nivo znaajnosti kritina oblast je skup taaka za koje je

Hipoteza se odbacuje ako je . Da bi se primenio ovaj test obim uzorka mora da je bar n(50, zatim skupove Sk odrediti tako da je r to vee, ali i da je mk (5, k=1,2,...,r.

Zadaci5.1. Aritmetika sredina veka trajanja 100 sijalica uzetih iz produkcije je 1570 asova, sa standardnim odstupanjem od 120 asova. Ako je m srednja, oekivana duina trajanja sijalica iz te fabrike testirati hipotezu H: m=1600 asova, uz nivo znaajnosti (=0.05.

Reenje:

EMBED Equation.3

Hipoteza H se odbacuje!

5.2. Iz produkcije je izvuen uzorak od 90 proizvoda i izmeren je dijametar svakog od njih. Nakon izraunavanja je dobijeno i . Moe li se na osnovu toga zakljuiti da proizvodnja daje proizvode nominalnog dijametra od 12mm uz pretpostavku da se radi o normalnoj raspodeli sa standardnom devijacijom i ako je zadat nivo znaajnosti od 5%?

Reenje:

Hipoteza se odbacuje!5.3.Automat izrauje izvesne proizvode ija je propisana teina 250g. Poznato je da je raspodela verovatnoa teina tih proizvoda normalna sa parametrima N (m, 5). Radi kontrole, na sluajan nain je odabrano 16 proizvoda i dobijena prosena teina 244g. Moe li se tvrditi da automat daje proizvode propisane teine? Sa rizikom 5% testirati odgovarajuu hipotezu.

5.4. Iz normalno rasporeenog obeleja populacije je uzet uzorak obima n = 20 za koji je dobijeno i . Uz nivo znaajnosti 5% proveriti hipotezu H : m = 15.

Reenje:

Hipoteza se prihvata!

Napomena:Vrednost t'19,0.05 pronai u dodatku C u tablici III!5.5. Iz normalno rasporeenog obeleja populacije je uzet uzorak obima n = 10 za koji je dobijeno i . Uz nivo znaajnosti 1% proveriti hipotezu H : m = 0.

Reenje:

Hipoteza se odbacuje!

5.6. Na osnovu uzorka obima 100 dobijeno je da je srednje vreme rada jedne vrste tranzistora jednako , sa standardnim odstupanjem od . Sa rizikom od 95 % testirati hipotezu .

6. entropija i informacija

Ako sluajni dogaaji A1, A2, ... , An oznaavaju razliita stanja nekog fizikog sistema X, gde je funkcionisanje sistema prelazak iz jednog u drugo stanje, tada svakom stanju moemo pridruiti brojevnu vrednost i X smatrati sluajnom promenljivom (gde su pi verovatnoe zauzimanja stanja Ai):

Entropija je mera neodreenosti (haosa, neizvesnosti) sistema u pogledu prelaska u jedno od moguih stanja.

Posmatraemo komunikacione sisteme (izvor, koder, kanal, dekoder, primalac, smetnje) u kojima signali i umovi takoe imaju statistiki karakter, tj. pojavljuju se sa odreenim raspodelama verovatnoe. Od ove raspodele zavisi i srednja informacija po signalu (mera informacije). Obrazac za entropiju (neizvesnost u pogledu izbora jedne od moguih vrednosti kojima su pridruene verovatnoe pi) je po Shannon-u:

U sluaju kada su verovatnoe pi iste, obrazac ima oblik:

Jedinica za entropiju je bit.

Zadaci6.1. Odrediti neodreenost pri izboru jedne od 32 karte u pilu.

Reenje:

6.2. Odrediti entropiju fizikog sistema koji se sastoji od dva aviona: lovca i bombardera, koji uestvuju u vazdunom boju. Kao rezultat boja je jedno od stanja sistema:

a. oba su nepogoena,

b. lovac pogoen, bombarder ne,

c. bombarder pogoen, lovac ne,

d. oba su pogoena.

Reenje:

Verovatnoa da lovac bude pogoen je 0.4, a bombarder 0.5.

a: 0.6*0.5=0.3, b: 0.4*0.5=0.2 c: 0.5*0.6=0.3 d: 0.4*0.5=0.2

X:

Napomena: vrednosti za logaritam osnove 2 potraite u knjizi "Uvod u teoriju informacija i komunikacija" na strani 117 ili stranici 105 (novo izdanje) !!!

6.3. Nai maksimalno moguu entropiju poruke kaja se sastoji od 5 slova pri emu je azbuka od 32 slova.Reenje:

7. entropija sloenih sistema

Moemo posmatrati i sloene sisteme (X,Y), gde su sva mogua stanja, realizacije dvodimenzionalne sluajne promenljive.

Vezano za komunikacione sisteme, imamo veliine:

H(X) i H(Y) neizvesnosti u vezi sa ulazom kanala X i izlazom kanala Y,

H(X,Y) neizvesnost u pogledu pojave ureenog para (X,Y),

Uslovnu entropiju:

srednja neizvesnost ulaza X kada se zna izlaz Y i analogno vai za H(Y/X),

Srednju uzajamnu informaciju X i Y:

.

Zadaci7.1. Raspodela verovatnoa sistema dogaaja je data tablicom:

X\Yy1y2y3

x10.150.050.1

x200.030.2

x30.180.170.12

Odrediti H(X), H(Y), H(X/Y) i I(X,Y).

Reenje:

X\Yy1y2y3pi.

x10.150.050.10.3

x200.030.20.23

x30.180.170.120.47

p.j0.330.250.421

EMBED Equation.3 Kada raunamo H(X/Y) onda delimo vrednosti iz tabele sa vrednostima p.j i formiramo novu tablicu (vrednosti su date u tabeli 2)!!!

Kada raunamo H(Y/X) onda delimo vrednosti iz tabele sa vrednostima pi. i formiramo novu tablicu (vrednosti su date u tabeli 3)!!!

Tabela 2 Tabela 3

y1y2y3y1y2y3

x10.450.20.24x10.50.170.33

x200.120.48x200.130.87

x30.550.680.28x30.380.360.25

Napomena: Ispred zagrade su vrednosti p.j, a u zagradi vrednosti iz Tabele 2 !!!

8. KODIRANJE

Cilj kodiranja informacija koje generie odreeni izvor informacija je u tome da se osigura to bri prenos informacija od izvora do primaoca. Poeljno je da se porukama, kodiranjem, pridrue to je mogue krai nizovi kodnih simbola, a da se istovremeno verovatnoa tanog dekodiranja (korektnog primanja poruka) bude to je mogue vea.

Uvodimo oznake:

- konana azbuka izvora informacija

- azbuka koda, b-baza koda

(a,b,f) - kod, gde je

(A,p) - diskretni izvor informacija koji emituje simbol sa verovatnoom

- kodna zamena

- prosena duina kodne zamene

Konstrukcija optimalnog koda po algoritmu Hofmana

1. azbuka A se uredi po opadajuim verovatnoama

2. odredi se broj fiktivnih slova kojima se pridrui verovatnoa 0

3. c - ostatak pri deljenju c' = b-1-c

4. zdrui se poslednjih b slova u jedno i napravi nova azbuka A15. postupak se ponavlja dok se azbuka ne redukuje na b slova

6. kodna zamena je od svih simbola iz B koji se ponavljaju uz indeks i.ZadaciPostupak Hufmann-a8.1. Za izvor (A,p) gde je i

EMBED Equation.3 odrediti kod po algoritmu Hufmann-a (b=3, ) i prosenu duinu kodnih zamena.

Reenje:

1. Prvo se pogleda da li su date sve vrednosti verovatnoa. Ako nisu, izraunaju se tako to se sve date vrednosti saberu i oduzmu od 1.

2. odredi se broj fiktivnih slova:

a=10, b=3, i ostatak je 1. Dakle c=1. Broj fiktivnih slova c'=3-1-1=13. Formira se tabela po opadajuim vrednostima verovatnoa:

A/

A1/

A2/

A3/

A4/

0.22

0.22

0.22

0.29

0.49 0

0.19

0.19

0.19

0.22

0.29 1

0.15

0.15

0.15

0.19 0

0.22 2

0.15

0.15

0.15

0.15 1

0.12

0.12

0.12 0

0.15 2

0.06

0.06

0.11 1

0.05

0.05 0

0.06 2

0.03

0.03 1

0.02 0

0.03 2

0.01 1

-- 2

NAPOMENA: - (crtica) predstavlja fiktivno slovo sa pridruenom verovatnoom 0 !!!

4. sabiraju se vrednosti koje imaju indekse (0,1 i 2) pored sebe i pronalaze svoje mesto u tabeli.

5. formira se kod, tako to se s desna na levo itaju indeksi (0,1 i 2) uz odgovarajue vrednosti verovatnoa.

n1= 4

n2= 4

n3= 3

n4= 1

n5= 3

n6= 2

n7= 2

n8= 2

n9= 2

n10= 2

6. rauna se prosena duina kodnih zamena po formuli:

Postupak Shenon-Fanoa20.2. Za izvor (A,p) gde je i

EMBED Equation.3 odrediti kod po algoritmu Shenon-Fanoa (b=3, ) i prosenu duinu kodnih zamena.Reenje:

1. Prvo se pogleda da li su date sve vrednosti verovatnoa. Ako nisu, izraunaju se tako to se sve date vrednosti saberu i oduzmu od 1.

2.

3. Formira se tabela po opadajuim vrednostima verovatnoa:

4. Gornjem skupu verovatnoa (dodaju se vrednosti verovatnoa dok se ne dobiju priblino iste vrednosti za obe grupe verovatnoa) dodeli se 0, a donjem 1.

5. Postupak se ponavlja dok se svakoj verovatnoi ne dodeli indeks 0 ili 1.

6. formira se kod, tako to se s leva na desno itaju indeksi (0 i 1) uz odgovarajue vrednosti verovatnoa.

n1= 5

n2= 5

n3= 4

n4= 2

n5= 4

n6= 4

n7= 3

n8= 3

n9= 3

n10= 37. rauna se prosena duina kodnih zamena po formuli:

3.14

A/

0.2200

0.1910

0.151

0.15100

0.121

0.06100

0.051

0.0310

0.02 10

0.01 1

dodatak A - Neke vane diskretne raspodele

Binomna raspodela ,

Puasonova raspodela , (((0)

Geometrijska raspodela

dodatak b - Neke vane raspodele neprekidnog tipa

Normalna (Gausova) raspodela N (m,()

Uniformna raspodela , (a(b)

Gama raspodela , (a(0, b(0)

; ;

Eksponencijalna raspodela , (a(0)

DODATAK CStatistika pomou Microsoft Excel-a

Razliita, esto veoma dugotrajna izraunavanja, kao i predstavljanja podataka i rezultata u statistici, mogu se u znaajnoj meri olakati korienjem mogunosti programa Microsoft Excel-a. Naime, meu 320 ugraenih funkcija svrstanih u 11 grupa, u ovom programu je i 77 funkcija namenjenih statistikoj obradi podataka. Ove su funkcije sistematizovane prema zadatku koji obavljaju u sledee grupe:

za sortiranje podataka (13 funkcija). Tako recimo:

COUNT-odreuje koliko se brojeva nalazi na listi argumenata, SMALL-izraunava k-tu najmanju vrednost u skupu podataka,

MIN - utvruje najmanju vrednost u listi argumenata, itd.

za sredine i odstupanja (16 funkcija). Funkcija

AVERAGE slui za odreivanje aritmetike sredine za zadate argumente,

GEOMEAN slui za izraunavanje geometrijske sredine,

MODE utvruje vrednost koja se najee javlja u seriji podataka,

STDEVP utvruje standardnu devijaciju zadate populacije,itd.

za distribucije i ocene (37 funkcija). Meu njima, recimo:

CONFIDENCE daje interval poverenja u sluaju da je poznata sredina obeleja,

TDIST izraunava Studentovu t- raspodelu,

POISSON daje raspodelu Poisson-a,

CHIDIST daje jednostranu verovatnou kod 2 raspodele, itd.

za trendove i korelacije (11 funkcija). Pomou funkcije:

CORREL izraunava se koeficijent korelacije za dve serije podataka;

FORECAST izraunava vrednosti du linearnog trenda,

LINEST utvruje parametre linearnog trenda, itd.

U meniju Help Excel-a mogu se nai ove funkcije, kao i detaljna uputstva o znaenju, nameni i nainu njihovog korienja. itaoci se, takoe, upuuju na izvore iz literature |13| i |14| .

PAGE 25

_1109360100.unknown

_1248635140.unknown

_1248647636.unknown

_1248649701.unknown

_1248723856.unknown

_1248726040.unknown

_1248726644.unknown

_1248727136.unknown

_1360566133.unknown

_1248726733.unknown

_1248727126.unknown

_1248726650.unknown

_1248726305.unknown

_1248726352.unknown

_1248726081.unknown

_1248725029.unknown

_1248725871.unknown

_1248725881.unknown

_1248725798.unknown

_1248724626.unknown

_1248724639.unknown

_1248723893.unknown

_1248651188.unknown

_1248722671.unknown

_1248723466.unknown

_1248723842.unknown

_1248723050.unknown

_1248653088.unknown

_1248722373.unknown

_1248653206.unknown

_1248652813.unknown

_1248650771.unknown

_1248650786.unknown

_1248649953.unknown

_1248648239.unknown

_1248648407.unknown

_1248648703.unknown

_1248648354.unknown

_1248648214.unknown

_1248648216.unknown

_1248647667.unknown

_1248648213.unknown

_1248637653.unknown

_1248646697.unknown

_1248647506.unknown

_1248647612.unknown

_1248646776.unknown

_1248646649.unknown

_1248646676.unknown

_1248637716.unknown

_1248637786.unknown

_1248637705.unknown

_1248635840.unknown

_1248636669.unknown

_1248637552.unknown

_1248635903.unknown

_1248635349.unknown

_1248635387.unknown

_1248635259.unknown

_1109371307.unknown

_1109372897.unknown

_1109373667.unknown

_1111339777.unknown

_1143498697.unknown

_1202114177.unknown

_1202114241.unknown

_1202114242.unknown

_1202114549.unknown

_1202114239.unknown

_1202114240.unknown

_1202114218.unknown

_1202114228.unknown

_1202114153.unknown

_1202114168.unknown

_1202114134.unknown

_1111346653.unknown

_1111346937.unknown

_1111339832.unknown

_1109372961.unknown

_1109372991.unknown

_1109373021.unknown

_1109373057.unknown

_1109373478.unknown

_1109373042.unknown

_1109373004.unknown

_1109372979.unknown

_1109372927.unknown

_1109372945.unknown

_1109372912.unknown

_1109372116.unknown

_1109372606.unknown

_1109372818.unknown

_1109372420.unknown

_1109372421.unknown

_1109372140.unknown

_1109372164.unknown

_1109371891.unknown

_1109371681.unknown

_1109371807.unknown

_1109371809.unknown

_1109371810.unknown

_1109371811.unknown

_1109371808.unknown

_1109371805.unknown

_1109371806.unknown

_1109371690.unknown

_1109371602.unknown

_1109371637.unknown

_1109371494.unknown

_1109370247.unknown

_1109370444.unknown

_1109370636.unknown

_1109370748.unknown

_1109371243.unknown

_1109370465.unknown

_1109370370.unknown

_1109370385.unknown

_1109370268.unknown

_1109362146.unknown

_1109370091.unknown

_1109370198.unknown

_1109369964.unknown

_1109361062.unknown

_1109361101.unknown

_1109360532.unknown

_987164812.unknown

_987173620.unknown

_988483047.unknown

_1019238340.unknown

_1020420919.unknown

_1109359722.unknown

_1019242953.unknown

_1019243182.unknown

_1019238659.unknown

_989115434.unknown

_1019237666.unknown

_988483070.unknown

_988468177.unknown

_988482656.unknown

_988482841.unknown

_988482630.unknown

_987174071.unknown

_987174247.unknown

_988468146.unknown

_987174132.unknown

_987173682.unknown

_987168313.unknown

_987168755.unknown

_987168900.unknown

_987173545.unknown

_987168783.unknown

_987168427.unknown

_987168455.unknown

_987168357.unknown

_987166863.unknown

_987167219.unknown

_987167338.unknown

_987167144.unknown

_987166441.unknown

_987166475.unknown

_987166832.unknown

_987165701.unknown

_986994274.unknown

_986995381.unknown

_986995598.unknown

_986996078.unknown

_987000028.unknown

_987000123.unknown

_986999871.unknown

_986995923.unknown

_986995547.unknown

_986995480.unknown

_986995497.unknown

_986995475.unknown

_986994688.unknown

_986994827.unknown

_986995271.unknown

_986994761.unknown

_986994407.unknown

_986994639.unknown

_986994327.unknown

_986903650.unknown

_986904278.unknown

_986904532.unknown

_986994144.unknown

_986904462.unknown

_986903774.unknown

_986903949.unknown

_986903687.unknown

_984313830.unknown

_986902855.unknown

_986903534.unknown

_986902807.unknown

_979062159.unknown

_984313591.unknown

_984313726.unknown

_984313422.unknown

_979062751.unknown

_977126077.unknown

_977128937.unknown

_977129375.unknown

_979060817.unknown

_979061385.unknown

_977130400.unknown

_977130740.unknown

_977130795.unknown

_977130670.unknown

_977130152.unknown

_977129148.unknown

_977129271.unknown

_977129012.unknown

_977128530.unknown

_977128572.unknown

_977128037.unknown

_977125347.unknown

_977125533.unknown

_977125558.unknown

_977125397.unknown

_977125128.unknown

_977125248.unknown

_977125100.unknown