zbirka2it_trigonA4

REŠAVANJE PRAVOUGLOG TROUGLA 1

TRIGONOMETRIJA

REŠAVANJE PRAVOUGLOG TROUGLA

1. Izračunaj obim i površinu pravouglog trougla ako je hipotenuza c = 10 cm a 53sin =α , gde je α oštar

ugao tog pravouglog trougla.

2. Izračunaj uglove i stranice pravouglog trougla ako je visina koja odgovara hipotenuzi 23

=ch a sinus

oštrog ugla α tog trugla 43sin =α .

3. Izračunaj dužinu stranice pravouglog osmougla ako je poluprečnik kružnice opisane oko njega R = 4. 4. Izračunaj poluprečnik kružnice opisane oko pravilnog osmougla ako mu je stranica a = 2.

5. U pravouglom ∆ABC je 31sin =α a težišna duž koja odgovra hipotenuzi tc = 4. Izračunaj vrednosti ostalih

trigonometrijskih funkcija oštrih uglova tog pravouglog trougla. 6. Visina jednakokrakog trougl koja odgovara osnovici je h = 2 a tangens unutrašnjeg ugla na osnovici

34tg =α . Izračunaj obim i površinu tog trougla.

7. Dat je pravougli ∆ABC sa katetama a i b, hipotenuzom c i oštrim uglovima α i β . Da li je a > 3 ako je: a) 12 −=b , o30=α b) 12 +=c , o60=β c) o45=α , 3=c d) o45=α , 33=c

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE PROIZVOLJNOG UGLA NA TRIGONOMETRIJSKOM KRUGU I RADIJANSKA MERA UGLA

8. Na trigonometrijskom krugu obeleži uglove od 0º , ± 45º , ± 90º , ± 180º , ± 270º , ± 360º , ± 450º , ± 480º

. 9 Na trigonometrijskom krugu obeleži trigonometrijske funkcije (sinα, cosα, tgα, ctgα) uglova:

a) o60=α b) o120=α c) o240=α d) o300=α e) o30−=α f) o120−=α

10. Uz pomoć trigonometrijskog kruga ispitaj tačnost jednakosti:

a) cos60º i cos(–60º) b) sin60º i sin(60º) c) cos30º i cos60º d) sin45º i cos135º e) tg45º i ctg(–45º) f) sin(–90º) i sin90º

11. Izrazi u radijanima uglove:

a) ooooo 135,60,30,90,45 ===== ηδγβα b) oooo 90,0,150,30 −==−=−= δγβα

MATEMATIKA 2 2

12. Izrazi u stepenima uglove:

12,

23,

8,

43 πδπγπβπα −=−===

13. Uporedi uglove α i β ako je:

a) 4

,'1520o πβα == b) 4

,'2172 πβα == c) 2

,180o πβα −== d) 3

,60o πβα ==

14. Uz pomoć trigonometrijskog kruga ispitaj tačnost jednakosti:

a) 4

sin4

sin ππ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− b) ππ cos)cos( =−

c) 3

tg3

tg ππ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− d)

6ctg

6ctg ππ

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

OSNOVNE OSOBINE TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE 15. Na trigonometrijskom krugu proveri tačnost jednakosti:

αα sin)sin( −=− αα cos)cos( −=−

αα tg)(tg −=− αα ctg)(ctg −=−

pa na osnovu toga izračunaj:

a) cos(–60º) – sin(–30º) b) )30(ctg2sin45

60tg)45cos(2oo

oo

−−−− c)

)60(ctg1ctg45)30(tg3

o

oo

−+−−

16. Odredi znak proizvoda A·B ako je:

a) A = cos120º , 4

sin π=B b) A = sin 217º , πcos=B c) 3

tg π=A , B = ctg60º

d) A = 2 ·sin15º , B = 1 – sin(–30º) e) A = 3 + tg70º , 14

3cos −=πB

17. Odredi znak izraza:

a) 2 + sinx b) 2 – 2

sin x c) cosx – 23

d) πcos2cos ⋅−x e) 4

tg2

sin π+

x

18. Izračunaj:

a) cos420º + cos750º b) sin3660º – cos(–300º) c) ctg210º – tg(–420º) d) tg(–330º) + tg240º

19. Uprosti izraz:

OSNOVNE OSOBINE TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE 3

a)

417cos

32sin

4cos

49sin

ππ

ππ

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

b)

310sin

25ctg

47tg

π

ππ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

20. Dokaži:

a) cos(–x)·cosx – sin(–x)·sinx = 1 b) 01ctg)(tg

)(ctgtg=−

⋅−−⋅

xxxx

21. Odredi minimalnu i maksimalnu vrednost izraza i za koje αse ona postiže:

a) 1 + cosx b) 1 – cosx c) 3sin23 x+ d)

xxx

tgcossin 22 +

22. Mogu li sinus i kosinus istog ugla biti:

a) 0,8 i 0,6 b) 1 – 3 i 1 + 3 c) 135 i

1312 d)

222 − i

222 +

23. Izračunaj vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija oštrog ugla α ako je:

a) 31sin =α b)

23cos =α c)

724tg =α d) ctg α = 12 −

24. Izračunaj vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ugla α ako je ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈ ππα ,

2 i:

a) 257sin =α b)

54cos −=α c)

14051tg −=α d) ctg α = –1

25. Izračunaj vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ugla α za koju je :

a) 1312sin −=α , 0cos <α b) 32

21cos +=α , 0sin <α

26. Proveri tačnost jednakosti αβαβα tg

sincoscossin

=++ ako je o90=+ βα .

27. Odredi vrednost izraza αα

ααsin3cos5

sincos−+ ako je α oštar ugao i : a)

257sin =α b) tg α = 3

28. Proveri jednakost:

a) sin4α + cos2α + sin2α·cos2α = 1 b) sin2α = cos2α – cos4α + sin4α

c) αα

αα

sincos1

cos1sin +

=−

d) x

xx

xcos

sin1sin1

cos +=

− e) tg2α – sin2α = tg2α·sin2α

29. Ako je tgα + ctgα = m izračunaj tg2α + ctg2α . 30. Ako je α oštar ugao, izračunaj tgα i ctgα ako je:

a) 2cossin =+ αα b) 41cossin =⋅ αα

MATEMATIKA 2 4

31. Ako je sinα + cosα = m izračunaj: a) sin4α + cos4α b) sin6α + cos6α

32. Ako je α oštar ugao onda važi:

a) )90sin(sin

11tg

)90sin()90(tg1

sino

o

o αααα

αα

−−=

−−

+−−

b) ααα

αα

αcos)90cos(

1)90(ctg1

)360cos()90(tg1

sinoo

o

o +−=

−++

+−+

Proveriti. 33. Izračunaj vrednost izraza:

a) xxxx

33

33

cos2sincossin2

−+ ako je tgx = 2

b) xx

xx

cos21sin

cossin

−

+ ako je ctgx = –3

c) xx 22 cossin

1−

ako je ctgx = 2

d) xx 22 cossin

1−

ako je tgx = 2

e) x

xx2

22

sin21cos2sin

+++ ako je tgx =

121−

34. Uprosti izraz:

a) x

xxxx

x2

2

tg1cossin

cossinsin

−+

+−

b) xxxx

cossin1cossin 33

−+

c) cosxsinxcossin

cossincossin 33

22

44

++

−−− xx

xxxx d)

xxx

xxx

22 coscossin

1tgcossin −

⋅−

+ e) 1]ctgtg[cossinsincos −−⋅

⋅− xx

xxxx

35. Dokaži sledeće identitete:

a) xx

xx

coxsin

2cos1

sinsin

1=

++

+ b) cos4x – cos2x = sin4x – sin2x

c) xx

x ctgtg-1

1ctg=

− d) xx

xx

tg1tg1

1ctg1ctg

+−

=+−

SVODJENJE NA PRVI KVADRANT 36. Izrazi preko trigonometrijske funkcije oštrog ugla α:

a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −απ

23sin b) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +απ

27cos c) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

29παtg

d) )3sin( απ + e) )9cos( πα −

SVODJENJE NA PRVI KVADRANT 5

37. Uprosti izraz:

a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⋅−

απαππααπ

2tg

23cos

)(tg)sin( b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+

απαπ

απαπ

23tg)2cos(

211sin)7cos(

a zatim izračunaj njegovu vrednost za: 1º α = 30º 2º α = 45º 3º α =60º

38. Izračunaj vrednosti funkcije ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

3sin)( πxxf za }

25,2,2,

2,

2{ πππππ

−−∈x

39. Ako je sinα = m i α oštar ugao izračunaj vrednosti trigonometrijskih funkcija uglova:

a) απ−

2 b) απ + c)

23πα +

40. Proveri tačnost jednakosti:

a) )(tg

1)cos(

1

2sin

)5cos()3(tgαααπ

απαπ−

−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−+

b) αααπ

απ

απαπ ctgtg

2tg1sin

2sin

)(tg1)3(tg

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−−+

41. Proveri tačnost jednakosti:

a) ααπααπαπ 22244 sin2

tg)(sin)(cos)(sin =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−++−−

b) 12

3ctg

25cos

1)(tg

1)sin(

1

4

4

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

απ

απαπα

c) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−=−+− απαπαα

2cos

2sin31)(cos)(sin 2266

d) )4(sin

1)(tg

23ctg1

22

2

απα

απ

+−=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

MATEMATIKA 2 6

TRANSFORMACIJE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 42. Primenom trigonometrijskih formula proveriti jednakosti:

a) ααπ sin2

cos −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + b) ααπ cos

2sin =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

c) ααπ sin2

5cos =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − d) απα cos

2sin =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

43. Izračunaj tačnu vrednost trigonometrijskih funkcija ugla:

a) 15º b) 75º c) 105º d) 135º 44. Ispitaj tačnost jednakosti:

a) sin30º = sin15º + sin15º b) cos60º = cos90º – cos30º c) tg45º = tg30º + tg15º d) ctg90º = 2·ctg45º


a) sin50º · cos10º + sin10º · cos50º = 23 b) cos89º · cos1º – sin89º · sin1º = 0

46. Izračunaj:

a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + απαπ

3sin

3sin b) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + απαπ

3cos

3cos

ako je 54sin =α , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∈ ππα ,

2.

47. Izračunaj )sin( βα + i )cos( βα + ako je:

a) 53sin =α , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∈

2,0 πα b)

54sin −=α , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∈ ππα 2,

23

1312cos −=β , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∈

23, ππβ

21cos =β , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∈

2,0 πβ

48. Izračunaj )sin( βα − i )cos( βα − ako je:

a) 53cos −=α , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∈ ππα ,

2 b) 22

21sin −=α

53sin −=β , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∈

23, ππβ

22cos =β , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∈

2,0, πβα

49. Izračunaj:

a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

4sin πα b) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

4cos πα c) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

4sin πα d) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

4sin πα

ako je 31tg =α , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∈

23, ππα .

TRIGONOMETRIJSKE JEDNAČINE 7

50. Izračunaj: a) ( )βα +sin b) ( )βα +cos

ako je 21tg =α ,

3πβα =− , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∈

2,0 πα .

51. Izračunaj:

a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +απ

4tg ako je

135sin =α , παπ

<<2

b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −απ

6tg ako je

53cos =α , παπ 2

23

<< .

52. Izračunaj:

a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +απ

3ctg ako je tgα = 2 b) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −απ

6ctg ako je tgα = –3

53. Izračunaj:

a) oooo

oooo

5sin50cos5cos50sin85cos40sin5cos40cos

⋅−⋅⋅−⋅ b)

170cos20cos240sin50sin

o2o2

o2o2

++++

54. Dokaži identitete:

a) xyxy

yxyx

tgctgtgctg

)cos()cos(

−+

=+−

b) xxyx

yxyx 22 cos2sin2coscos

)cos()cos(+=

⋅−++

c) xyx

yxyxctg

2coscos

)sin()sin(=

⋅−++

55. Dokaži formule:

a) sin2α = 2sinα·cosα b) cos2α = cos2α – sin2α

c) ααα 2

2

tg-1tg2tg = d)

ααα

ctg21ctg2ctg

2 −=

56. Proveri:

a) sin15º · cos15º = 41 b) (cos20º + sin20º)2 = 1 + sin40º c) oo

oo

o

5sin5cos5sin5cos

10cos+=

−

57. Ako je 2524sin =x , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∈ ππ ,

2x izračunaj:

a) sin2x b) cos2x c) tg2x d) ctg2x 58. Dokaži formule:

a) 2

2cos1cos xx += b)

22cos1sin xx −

=

MATEMATIKA 2 8

c) xxx

2cos12cos1tg

+−

= , π2

1k2 +≠x , k∈Z

d) xxx

2cos12cos1ctg

−+

= , x ≠ kπ , k∈Z

59. Izrazi preko sinx i cosx :

a) sin3x b) cos3x

60. Ako je tgx = a , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ππ ,

2x izračunaj:

a) sin2x b) cos2x c) da li može da bude 3=a

d) odredi znak izraza 3

12sin −α .

61. Na osnovu zadatka 58 dokaži formule:

a) 2cos1

2sin αα −

= b) 2cos1

2cos αα +

=

c) ααα

2cos12cos1

2tg

+−

= , πα )1k2( +≠ , k∈Z

d) ααα

2cos12cos1

2ctg

−+

= , α ≠ 2kπ , k∈Z

62. Izračunaj vrednosti trigonometrijskih funkcija ugla 2α ako je }

8,

4,0,

6{ πππα −∈ .

63. Dokaži:

a) x

xxsin

cos12

tg −= b)

xxx

cos1sin

2tg

+=

64. Proveri jednakosti:

a) xxx

cos1sin1

24tg 2

+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π b) ctg2x = 2ctgx · ctg2x + 1

65. Dokaži jednakosti:

a) )]sin()[sin(21cossin βαβαβα −++=⋅

b) )]cos()[cos(21coscos βαβαβα −++=⋅

c) )]cos()[cos(21sinsin βαβαβα −−+−=⋅

66. Proizvod izrazi preko zbira ili razlike:

a) 2sin5x · sin2x b) cos3x · sin2x c) sin(–3x) · cos4x d) cos(–5x) · cos(–3x)


67. Dokaži jednakosti:

a) 2

cos2

sin2sinsin βαβαβα −⋅

+=+

b) 2

sin2

cos2sinsin βαβαβα −⋅

+=−

c) 2

cos2

cos2coscos βαβαβα −⋅

+=+

d) 2

sin2

sin2coscos βαβαβα −⋅

+−=−

68. Izrazi u obliku proizvoda:

a) sin6x + sin4x b) sin3x – sin5x c) cos5x – cos3x d) cos2x + cos4x

69. Izrazi u obliku proizvoda:

a) sinx + cosx b) sinx – cosx c) sinx – cos2x d) cosx – sin3x


a) xxxxx ctg

5cos3cos5sin3sin

=−+ b) t

tttt tg

6sin4sin6cos4cos

=+−

c) xxxxx 2tg

3coscos3sinsin

=++


a) 2

tgcoscossinsin βα

βαβα +

=++ b)

2ctg

coscossinsin βα

βαβα +

−=−−

GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 72. Odredi nule funkcije:

a) xxf 2sin)( = b) xxf21cos)( = c) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

4sin)( πxxf

d) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= xxf

3cos)( π e) xxf 3tg)( = f) xxf ctg1)( +=

g) xxf tg3)( += h) xxf cos21)( += 73. Odredi period funkcije:

a) )32sin(1)( ++= xxf b) )14sin(2

3cos2)( −+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= xxxf π

c) xxxf cossin)( ⋅= d) xxxf 2sin4sin)( ⋅= 74. Odredi ekstremne vrednosti funkcije i uglove x za koje se postižu:

a) xxf sin2)( += b) )12cos(3)( += xxf c) )13(tg)( −= xxf

d) 2

cos)( xxf = e) xxf 2sin2)( ⋅−=

MATEMATIKA 2 10

75. Odredi znak funkcije:

a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += xxf

2sin)( π b) xxf 2cos3)( = c) xxf cos

21)( −=

76. Odredi: 1º oblast definisanosti (domen), 2º nule, 3º period, 4º ekstremne vrednosti, 5º znak, 6º intervale

rasta i opadanja, 7º skup vrednost (kodomen) funkcije, i skiciraj njen grafik.

a) xxf 2sin)( = b) xxf21cos)( = c) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2sin)( πxxf

d) xxf ctg21)( = e) xxf sin1)( += f) xxf 2cos

21)( −=

TRIGONOMETRIJSKE JEDNAČINE 77. Reši jednačine:

a) 03cos2 =−x b) 2sinx + 1 = 0 c) 012

cos =−x

d) 14

2sin2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

πx e) 022

cos =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − xπ f) 2

32sin −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + xπ

78. Reši jednačine:

a) 02sinsin =+ xx b) 22

coscos =−xx

c) 2cossin =+ xx d) 1sin)cos( =−− xxπ 79. Reši jednačine:

a) 03cos4 2 =−x b) 1sin2 2 =− x c) 0coscos2 =− xx 80. Reši jednačine:

a) ( ) ( ) 02sin21cos2 =+⋅+ xx b) 0)12(cos)1(sin =−⋅− xx

c) 021costg =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +xx d) 0cos2sin =+ xx e) 0sinsin2 3 =− xx


a) 1sincos =− αα b) 1sincos =+ αα c) 23sin3cos −=+ αα

82. Uvodjenjem odgovarajuće smene, datu jednačinu svedi na kvadratnu pa onda reši:

a) 01sinsin2 2 =−+ xx b) 06coscos2 =−+ xx c) 02sin5sin12 2 =−− xx d) 02tg3tg 2 =−+ xx


a) 1cos2cos 2 =+ xx b) xx 2cos2sin4 −= c) 03cos3sin 2 =++ xx



a) xx tg2tg = b) 1tg2cos =− xx c) 1cos2

sin =+ xx

d) 03sin5sin =+ xx e) xxx 2sin3sinsin =+

TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNAČINE Reši nejednačine za ]2,0[ π∈x :

85. a) 021≥−x b) 0

21<−x c) 03cos2 >+x d) tgx – 1 ≤ 0

86. a) 4sin2x – 1 < 0 b) 2cos2x – 1 ≥ 0 c) 22sin >x d) sin2x > cosx

87. a) 22

2sin >⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

πx b) 212

3cos −≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − xπ

c) tg2x < 1 d) 2 + cosx < 0

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA 88. Izračunaj treću stranicu trougla ako su poznate dve stranice i njima zahvaćen ugao:

a) b = 5 cm , c = 7 cm , α = 60º b) a = 4 cm , b = 2 cm , γ = 120º

89. Odredi stranicu b trougla ΔABC ako je 32=a , c = 6 i 127πβ = .

90. Izračunaj dužinu dijagonale paralelograma ako susedne stranice dužina 10 i 6 grade ugao:

a) 45º b) 135º 91. Ugao izmedju dijagonala pravougaonika je:

a) 60º b) 30º a kraća stranica 5 cm. Izračunaj dužinu dijagonale, obim i površinu pravougaonika.

92. Izračunaj dužinu stranice

a) jednakostraničnog trougla b) pravilnog dvanaestougla ako je poluprečnik kružnice opisane oko njega 32=R cm .

93. Pokazati da u trouglu čije su stranice 3 cm, 5 cm i 7 cm ugao naspram najduže iznosi 120º. 94. Izračunaj uglove i dijagonale jednakokrakog trapeza ako su mu osnovice 8 cm, 6 cm a krak 4 cm. 95 Izračunaj ugao β trougla ΔABC ako su njegove stranice 22=a , 32=b i ( )132 −=c .

MATEMATIKA 2 12

96. Odredi nepoznate stranice i uglove trougla ako je:

a) a = 5 a na njoj nalegli uglovi β = 60º i γ = 45º b) 23=a α = 60º i γ = 45º c) a = 2 α = 60º i γ = 105º d) 22=b 32=a i α = 120º

97. Odredi ostale elemente trougla ako je (R je poluprečnik opisane kružnice):

a) α = 45º , β = 60º , 62=R b) a = b = 4 , 22=R .

98. Izračunaj površinu trougla ΔABC ako je:

a) a = 8 , b = 5 , γ = 30º b) b = 5 , c = 8 , α = 120º 99. Izračunaj površinu jednakokrakog trougla kome su kraci a = b = 4 cm a ugao koji oni grade γ = 45º.

100. Izračunaj površinu paralelograma kome su susedne stranice 7 cm i 6 cm a ugao koji grade 6

5π .

101. Izračunaj površinu pravilnog:

a) dvanaestougla b) osmougla kome je poluprečnik opisane kružnice R = 10.

Documents

zbirka2it_trigonA4