ANKARA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

SINIR KOŞULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE

BULUNAN NON-SELFADJOİNT FARK OPERATÖRLERİNİN

SPEKTRAL ANALİZİ

Turhan KÖPRÜBAŞI

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2010

Her hakkı saklıdır

ÖZET

Doktora Tezi

SINIR KOSULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNANNON-SELFADJO·INT FARK OPERATÖRLER·IN·IN SPEKTRAL ANAL·IZ·I

Turhan KÖPRÜBASI

Ankara ÜniversitesiFen Bilimleri EnstitüsüMatematik Anabilim Dal¬

Dan¬sman: Prof.Dr. Elgiz BAYRAM

Bu doktora çal¬smas¬nda; n 2 N için an; bn kompleks diziler ve i = 0; 1 için i;�i 2 C olmak üzere ikinci mertebeden fark denklemi için

an�1yn�1 + bnyn + anyn+1 = �yn ; n 2 N( 0 + 1�)y1 + (�0 + �1�)y0 = 0

s¬n¬r de¼ger problemi göz önüne al¬nm¬st¬r. Ayr¬ca n 2 N için y(1)n

y(2)n

!vektör de¼gerli

diziler, an 6= 0; bn 6= 0 olmak üzere (an), (bn), (pn), (qn) kompleks de¼gerli diziler vei = 0; 1 için i; �i 2 C olmak üzere birinci mertebeden fark denklemleri sistemi için(

an+1y(2)n+1 + bny

(2)n + pny

(1)n = �y

(1)n

an�1y(1)n�1 + bny

(1)n + qny

(2)n = �y

(2)n ; n 2 N;

( 0 + 1�)y(2)1 + (�0 + �1�)y

(1)0 = 0

s¬n¬r de¼ger problemi incelenmistir.Bu tez dört bölümden olusmaktad¬r.Birinci bölüm giris k¬sm¬na ayr¬lm¬st¬r.·Ikinci bölümde, spektral analizin temel tan¬m ve teoremleri hat¬rlat¬lm¬st¬r.Orjinal sonuçlar üçüncü ve dördüncü bölümde yer almaktad¬r.Bu bölümlerde, analitik fonksiyonlar¬n birebirlik teoremleri kullan¬larak yukar¬-

daki s¬n¬r de¼ger problemlerinin Jost çözümleri, Jost fonksiyonlar¬, özde¼gerleri vespektral tekillikleri incelenmistir.

May¬s 2010 , 46 sayfaAnahtar Kelimeler: Fark operatörleri, Spektral analiz, Jost çözümü, Jost fonksi-yonu, Özde¼ger, Spektral tekillik, Resolvent operatör

i

ABSTRACT

Ph.D. Thesis

SPECTRAL ANALYSIS OF NON-SELFADJOINT DIFFERENCE OPERATORSWITH SPECTRAL PARAMETER IN BOUNDARY CONDITIONS

Turhan KÖPRÜBASI

Ankara UniversityGraduate School of Natural and Applied Sciences

Department of Mathematics

Supervisor: Prof.Dr. Elgiz BAYRAM

In this study, the boundary value problem for the di¤erence equation of second order

an�1yn�1 + bnyn + anyn+1 = �yn; n 2 N = f1; 2; : : :g( 0 + 1�)y1 + (�0 + �1�)y0 = 0; 0�1 � 1�0 6= 0 ; 1 6= a�10 �0

where(an) ; (bn) ; n 2 N are complex sequences and i; �i 2 C, i = 0; 1 is considered.Moreover the boundary value problem for the system of di¤erence equations of �rstorder (

an+1y(2)n+1 + bny

(2)n + pny

(1)n = �y

(1)n

an�1y(1)n�1 + bny

(1)n + qny

(2)n = �y

(2)n ; n 2 N;

( 0 + 1�)y(2)1 + (�0 + �1�)y

(1)0 = 0; 0�1 � 1�0 6= 0; 1 6= a�10 �0

where

y(1)n

y(2)n

!; n 2 N are vector sequences, an 6= 0; bn 6= 0 for all n, i; �i 2 C;

i = 0; 1 is researched.This thesis consist of four chapters.The �rst chapter has been devoted to the introduction.In the second chapter, some basic de�nitions and main theorems of spectral

analysis have been recalled.Original results are contained in third and fourth chapters.In this chapters, using the uniqueness theorems of analytic functions, Jost

solutions, Jost functions, eigenvalues and spectral singularities of boundary valueproblems at above are investigated.

May 2010 , 46 pagesKey Words: Di¤erence operators, Spectral analysis, Jost solution, Jost function,Eigenvalue, Spectral singularity, Resolvent operator

ii

TESEKKÜR

Doktora çal¬smam¬ yapt¬¼g¬m süre boyunca, bana arast¬rma olana¼g¬ sa¼glayan ve

büyük fedakarl¬k göstererek çal¬smam¬n her safhas¬nda yak¬n ilgi ve önerileri ile beni

yönlendiren dan¬sman hocam Say¬n Prof. Dr. Elgiz BAYRAM (Ankara Üniver-

sitesi Fen Fakültesi)�a, çal¬smalar¬mda yard¬m ve katk¬lar¬n¬esirgemeyen çok de¼gerli

arkadaslar¬m Aras. Gör. Murat OLGUN, Aras. Gör. Yelda KÜÇÜKEVC·IL·IO¼GLU

ve Dr. Nihal YOKUS�a ve beni her konuda destekleyip her zaman yan¬mda olan

aileme sonsuz tesekkürlerimi sunar¬m.

Turhan KÖPRÜBASIAnkara, May¬s 2010

iii

 

İÇİNDEKİLER

ÖZET ........................................................................................................................... i

ABSTRACT ................................................................................................................ ii

TEŞEKKÜR ............................................................................................................... iii

SİMGELER DİZİNİ .................................................................................................. v

1. GİRİŞ ..................................................................................................................... 1

2. TEMEL KAVRAMLAR ....................................................................................... 4

3. SINIR KOŞULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN İKİNCİ

MERTEBEDEN NON-SELFADJOİNT FARK OPERATÖRÜNÜN SPEK–

TRAL ANALİZİ .................................................................................................... 6 3.1 (3.1), (3.2) Sınır Değer Probleminin Jost Çözümü ve Jost Fonksiyonu .......... 6 3.2 L Operatörünün Özdeğerleri ve Spektral Tekillikleri .................................... 13

4. SINIR KOŞULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN BİRİNCİ

MERTEBEDEN NON-SELFADJOİNT FARK DENKLEMLERİ SİSTEMİ-

NİN SPEKTRAL ANALİZİ .................................................................................. 26 4.1 (4.1), (4.2) Sınır Değer Probleminin Jost Çözümü ve Jost Fonksiyonu .......... 26 4.2 (4.1), (4.2) Sınır Değer Probleminin Özdeğerleri ve Spektral Tekillikleri ..... 29

KAYNAKLAR

ÖZGEÇMİŞ ................................................................................................................ 46

 

  

S·IMGELER D·IZ·IN·I

R Reel say¬lar kümesi

R+ fx 2 R : x > 0g

N Do¼gal say¬lar kümesi

C Kompleks say¬lar kümesi

C+ fz 2 C : Im z > 0g

C+ fz 2 C : Im z � 0g

L2(R+)�y : y : R+ ! C,

1R0

jy(x)j2 dx <1�

l2(N)�y = (y0; y1; y2; : : :) : i = 0; 1; 2; : : : için yi 2 C ve

1Pn=0

jynj2 <1�

l2(N;C2)

8<:y =0@y(1)ny(2)n

1A : i = 0; 1; 2; : : : ; j = 1; 2 için y(j)i 2 C ve1Pn=0

���y(j)n ���2 <19=;

�d(L) L operatörünün diskret (nokta) spektrumu

�ss(L) L operatörünün spektral tekilliklerinin kümesi

D(L) L operatörünün tan¬m kümesi

R�(L) L operatörünün resolvent operatörü

�(G) G kümesinin Lebesgue ölçüsü

[jxj] x reel say¬s¬n¬n tam de¼geri

v

1. G·IR·IS

Bir diferensiyel operatörün özde¼gerlerinin, özfonksiyonlar¬n¬n ve spektral tekillik-

lerinin bulunmas¬ problemi, fonksiyonel analiz ve matematiksel �zik gibi bir çok

alanda ortaya ç¬kmaktad¬r. Bu nedenle Sturm-Liouville, Klein-Gordon, Dirac ve

Schrödinger diferensiyel denklemleri gibi baz¬ denklemler yard¬m¬yla elde edilen

diferensiyel operatörlerin spektral analizi günümüze kadar bir çok matematikçinin

arast¬rma konusu olmustur.

Hilbert uzaylar¬nda tan¬ml¬lineer, s¬n¬rl¬, selfadjoint operatörlerin spektral özellikleri

ile ilgili günümüze kadar bir çok çal¬sma yap¬lm¬st¬r. Bununla birlikte baz¬�ziksel

problemlerin incelenmesi s¬ras¬nda kars¬las¬lan diferensiyel operatörlerin bir ço¼gu ise

s¬n¬rs¬z ve non-selfadjoint olarak ortaya ç¬kmaktad¬r.

Non-selfadjoint diferensiyel denklemler yard¬m¬yla tan¬mlanan operatörlerin spek-

tral analizi ilk kez Naimark (1960) taraf¬ndan incelenmistir. Bu çal¬smada, q kom-

pleks de¼gerli bir fonksiyon, h 2 C ve � bir spektral parametre olmak üzere L2(R+)

uzay¬nda, 8<: �y00 + q(x)y = �2y ; 0 � x <1 ;

y0(0)� hy(0) = 0

(1.1)

s¬n¬r de¼ger problemi göz önüne al¬nm¬s olup (1.1) s¬n¬r de¼ger probleminin spektrumu-

nun; sürekli spektrum, özde¼gerler ve spektral tekilliklerden olustu¼gu görülmüstür.

Bununla birlikte (1.1) s¬n¬r de¼ger probleminin spektral tekilliklerinin, resolventin

kutup noktalar¬olup sürekli spektrumun üzerinde bulundu¼gu fakat özde¼ger olmad¬¼g¬

elde edilmistir. Ayr¬ca bu çal¬smada, q potansiyel fonksiyonunun en az bir " > 0

say¬s¬için1Z0

e"x jq(x)j dx <1

sart¬n¬sa¼glamas¬durumunda söz konusu s¬n¬r de¼ger probleminin spektral tekillik-

lerinin ve özde¼gerlerinin sonlu say¬da oldu¼gu ispatlanm¬st¬r.

Son y¬llarda özellikle klasik moment problemi, mühendislik, ekonomi ve di¼ger alan-

lar¬n baz¬problemleri için yap¬lan modelleme çal¬smalar¬ndaki gelismelerle birlikte

fark operatörlerinin spektral analizinin yap¬lmas¬önem kazanm¬st¬r.

1

Bairamov ve Çelebi (1999) taraf¬ndan yap¬lan çal¬smada, (pn) ve (qn) kompleks te-

rimli diziler ve � bir spektral parametre olmak üzere l2(N;C2) uzay¬nda,8<: y(2)n+1 � y

(2)n + pny

(1)n = �y

(1)n

y(1)n�1 � y

(1)n + qny

(2)n = �y

(2)n

denklem sistemi ve y(1)0 = 0 s¬n¬r kosulu yard¬m¬ile üretilen Dirac operatörünün,

" > 0 olmak üzere

supn2N

�(jpnj+ jqnj) exp

�"pn��<1

kosulu alt¬nda sonlu say¬da sonlu katl¬ özde¼gerlere ve spektral tekilliklere sahip

oldu¼gu gösterilerek bu operatör için bir spektral aç¬l¬m verilmistir.

Krall vd.(2001) taraf¬ndan yap¬lan çal¬smada, (bn) kompleks terimli bir dizi olmak

üzere l2(N) uzay¬nda,

(ly)n = yn�1 + yn+1 + bnyn

fark ifadesi ve y0 = 0 s¬n¬r kosulu taraf¬ndan üretilen fark operatörünün Weyl-

Titchmarsh fonksiyonu incelenmis ve bu fonksiyon ile operatörün Marchenko an-

lam¬nda genellestirilmis spektral fonksiyonu aras¬nda bir iliski elde edilmistir. Ayr¬ca

Weyl-Titchmarsh fonksiyonunun Cauchy tipinde bir integral gösterimi bulunmus ve

bu gösterimden yararlan¬larak bir spektral aç¬l¬m verilmistir.

Görüldü¼gü üzere yukar¬da belirtilen çal¬smalarda göz önüne al¬nan problemlerin hep-

sinde s¬n¬r kosullar¬spektral parametreden ba¼g¬ms¬z olmustur. Son y¬llarda ise, s¬n¬r

kosullar¬nda spektral parametre olan diferensiyel operatörler üzerinde çal¬s¬lmalar

yap¬lmaya baslanm¬st¬r.

Bu çal¬smada � n¬n bir spektral parametre olmas¬kosulu alt¬nda; n 2 N = f1; 2; : : :g

için an 6= 0 olmakla birlikte an; bn kompleks diziler ve i = 0; 1 için i; �i 2 C olmak

üzere selfadjoint olmayan ikinci mertebeden fark denklemi için

an�1yn�1 + bnyn + anyn+1 = �yn; n 2 N = f1; 2; : : :g

( 0 + 1�)y1 + (�0 + �1�)y0 = 0; 0�1 � 1�0 6= 0 ; 1 6= a�10 �0

s¬n¬r de¼ger problemine kars¬l¬k gelen L operatörü ile, n 2 N = f1; 2; : : :g için

0@y(1)ny(2)n

1Avektör de¼gerli diziler, an 6= 0; bn 6= 0 olmak üzere (an), (bn), (pn), (qn) kompleks

2

de¼gerli diziler ve i = 0; 1 için i; �i 2 C olmak üzere selfadjoint olmayan birinci

mertebeden fark denklemleri sistemi için8<: an+1y(2)n+1 + bny

(2)n + pny

(1)n = �y

(1)n

an�1y(1)n�1 + bny

(1)n + qny

(2)n = �y

(2)n ; n 2 N;

( 0 + 1�)y(2)1 + (�0 + �1�)y

(1)0 = 0; 0�1 � 1�0 6= 0; 1 6= a�10 �0

s¬n¬r de¼ger problemi göz önüne al¬nm¬s olup bu problemlerin spektrumunun, özde¼ger-

lerinin ve spektral tekilliklerinin yap¬sal özellikleri incelenmistir.

3

2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde, ileride ihtiyaç duyulacak baz¬temel tan¬m ve teoremler verilecektir.

Tan¬m 2.1 X 6= f0g kompleks normlu bir uzay, T : D(T ) � X ! X lineer bir

operatör olsun. � 2 C olmak üzere R�(T ) = (T��I)�1 operatörüne T operatörünün

resolvent operatörü ya da k¬saca resolventi denir (Lusternik 1974).

Tan¬m 2.2 R�(T ) mevcut, s¬n¬rl¬ve tan¬m kümesi X uzay¬nda yo¼gun ise,

� 2 C say¬s¬na T operatörünün regüler de¼geri denir. T operatörünün regüler de¼ger-

lerinden olusan kümeye ise T operatörünün resolvent kümesi ad¬verilir (Lusternik

1974).

Tan¬m 2.3 R�(T ) mevcut olmayacak sekildeki � kompleks say¬lar¬n¬n kümesine T

operatörünün diskret spektrumu ya da nokta spektrumu ad¬verilir (Lusternik 1974).

Tan¬m 2.4 R�(T ) mevcut, s¬n¬rs¬z ve R�(T ) operatörünün tan¬m kümesi X uza-

y¬nda yo¼gun olacak sekildeki � kompleks say¬lar¬n¬n olusturdu¼gu kümeye T ope-

ratörünün sürekli spektrumu denir (Lusternik 1974).

Tan¬m 2.5 X bir kompleks vektör uzay, ve T : X ! X lineer bir operatör olsun. �

kompleks say¬s¬için Tx = �x denkleminin asikar olmayan bir x 2 X çözümü varsa

� say¬s¬na T operatörünün özde¼geri denir. Bu x çözümüne ise T operatörünün �

özde¼gerine kars¬l¬k gelen özfonksiyonu ad¬verilir (Lusternik 1974).

Tan¬m 2.6 Bir T operatörünün resolventinin çekirde¼ginin kutup noktas¬olup, sürekli

spektrumunda bulunan ve T operatörünün özde¼geri olmayan noktalara T opera-

törünün spektral tekillikleri ad¬verilir (Naimark 1960).

Teorem 2.1 Özdes olarak s¬f¬r olmayan bir analitik fonksiyonun, analitiklik böl-

gesinin içindeki s¬f¬rlar¬(e¼ger varsa) ayr¬kt¬r (Dolzhenko 1979).

Teorem 2.2 Özdes olarak s¬f¬r olmayan bir analitik fonksiyonun, analitiklik böl-

gesinin içindeki s¬f¬rlar¬n¬n limit noktalar¬(e¼ger varsa) analitiklik bölgesinin s¬n¬r¬n-

dad¬r (Dolzhenko 1979).

4

Teorem 2.3 Özdes olarak s¬f¬r olmayan bir analitik fonksiyonun, sonsuz katl¬s¬f¬r-

lar¬(e¼ger varsa) analitiklik bölgesinin s¬n¬r¬ndad¬r (Dolzhenko 1979).

Teorem 2.4 (Privalov Teoremi) Aç¬k üst düzlemde özdes olarak s¬f¬r olmayan ana-

litik bir fonksiyonun, reel eksendeki s¬f¬rlar¬n¬n Lebesgue ölçüsü s¬f¬rd¬r (Dolzhenko

1979).

Teorem 2.5 (Pavlov Teoremi) g fonksiyonu C+ da her mertebeden türeve sahip

bir fonksiyon ve ��G =

�x 2 R : g(n)(x) = 0;8n 2 N

�= 0 olsun. Ayr¬ca

��g(k)(z)�� � �k; k 2 N [ f0gesitsizli¼gi sa¼glanacak sekilde �k say¬lar¬mevcut olmakla birlikte Gs, G kümesinin

s-komsulu¼gu, t(s) = infk

�ksk

k!ve ! > 0 olmak üzere

!Z0

ln t(s)d�(Gs) = �1 (2.1)

sa¼glans¬n. Bu durumda g fonksiyonu C+ da özdes olarak s¬f¬rd¬r (Pavlov 1975).

(2.1) ifadesindeki integral, s¬f¬r noktas¬n¬içeren herhangi bir aral¬k üzerinden al¬n-

maktad¬r.

5

3. SINIR KOSULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN

·IK·INC·IMERTEBEDENNON-SELFADJO·INT FARKOPERATÖRÜNÜN

SPEKTRAL ANAL·IZ·I

n 2 N = f1; 2; : : :g olmak üzere selfadjoint olmayan ikinci mertebeden fark denklemi

için

an�1yn�1 + bnyn + anyn+1 = �yn; n 2 N = f1; 2; : : :g (3.1)

( 0 + 1�)y1 + (�0 + �1�)y0 = 0; 0�1 � 1�0 6= 0 ; 1 6=�0a0

(3.2)

s¬n¬r de¼ger problemi göz önüne al¬ns¬n. Ayr¬ca (3.1), (3.2) s¬n¬r de¼ger problemine

kars¬l¬k gelen L : `2(N)! `2(N) operatörü,

(`y)n = an�1yn�1 + bnyn + anyn+1

fark ifadesinin ve (3.2) s¬n¬r kosulunun yard¬m¬ile tan¬mlan¬r. Burada n 2 N için

an 6= 0 olmak üzere an; bn kompleks diziler ve i = 0; 1 için i; �i 2 C olup � ise bir

spektral parametredir. E¼ger

hn = an�1 + an + bn

al¬n¬rsa (3.1) fark denklemi,

5(an�yn) + hnyn = �yn; n 2 N (3.3)

seklindeki Sturm-Liouville formu ile ifade edilebilir. Burada � ileri fark operatörü

ve 5 geri fark operatörü olup

�yn = yn+1 � yn

5yn = yn � yn�1

seklinde tan¬ml¬d¬rlar.

3.1 (3.1), (3.2) S¬n¬r De¼ger Probleminin Jost Çözümü ve

Jost Fonksiyonu

" > 0 ve 12� � � 1 için

supn2N

�exp("n�) (j1� anj+ jbnj)

�<1 (3.4)

6

kosulu göz önüne al¬ns¬n. (3.4) kosulu alt¬nda � = 2 cos z ve z 2 C+ olmak üzere

(3.1) denklemi,

en(z) = �neinz

1 +

1Xm=1

Anmeimz

!; n 2 N [ f0g (3.5)

seklinde bir çözüme sahiptir. en(z) çözümüne (3.1), (3.2) s¬n¬r de¼ger probleminin

Jost çözümü denir. Burada �n ile Anm ifadeleri,

�n =

1Yk=n

ak

!�1

An;1 = �1X

k=n+1

bk

An;2 = �1X

k=n+1

�1� a2k

�+

1Xk=n+1

bk

1Xp=k+1

bp

An;m+2 =1X

k=n+1

�1� a2k

�Ak+1;m

1Xk=n+1

bkAk;m+1 + An+1;m

seklinde (an) ve (bn) ifadelerine ba¼gl¬olarak yaz¬l¬r. Bununla birlikte C > 0 bir sabit

ve���m2

��� ifadesi, m2say¬s¬n¬n tam k¬sm¬olmak üzere

jAnmj � C1X

k=n+[jm2 j](j1� akj+ jbkj) (3.6)

sa¼glan¬r. Dolay¬s¬yla e(z) = fen(z)g fonksiyonu, C+ bölgesinde analitik olup

Im z = 0 bölgesinde süreklidir.

Di¼ger yandan (3.2) s¬n¬r kosulu ve (3.5) esitli¼gi kullan¬larak f fonksiyonu,

f(z) = ( 0 + 2 1 cos z)e1(z) + (�0 + 2�1 cos z)e0(z) (3.7)

seklinde tan¬mlans¬n. Bu durumda f fonksiyonu, C+ da analitik olup C+ da sürek-

lidir ve f(z) = f(z + 2�) esitli¼gini sa¼glar. f fonksiyonuna (3.1), (3.2) s¬n¬r de¼ger

probleminin Jost fonksiyonu denir.

Simdi, (3.1) denkleminin (3.2) kosulunu sa¼glayan di¼ger bir çözümünü bulmak

için; (3.1) denkleminin, � ya göre C+ bölgesinde tam fonksiyon olan ve

K0(�) = 0; K1(�) = 1

Q0(�) = 1; Q1(�) = 0

7

kosullar¬n¬sa¼glayan lineer ba¼g¬ms¬z Kn(�) ve Qn(�) çözümleri göz önüne al¬ns¬n. Bu

durumda, (3.1) denkleminin (3.2) kosulunu sa¼glayan di¼ger bir çözümü b'n(�) olmaküzere bu çözüm, Kn(�) ve Qn(�) n¬n lineer kombinasyonu olarak ifade edilebilir.

Yani b'n(�) = c(�)Kn(�) + d(�)Qn(�)

olup (3.2) kosulundan

0 = ( 0 + 1�)b'1(�) + (�0 + �1�)b'0(�)= ( 0 + 1�) [c(�)K1(�) + d(�)Q1(�)] + (�0 + �1�) [c(�)K0(�) + d(�)Q0(�)]

= ( 0 + 1�)c(�) + (�0 + �1�)d(�)

bulunur ki

c(�) = �0 + �1�;

d(�) = �( 0 + 1�)

için b'n(�) = (�0 + �1�)Kn(�)� ( 0 + 1�)Qn(�)

elde edilir. Buradan da,

b'0(�) = �( 0 + 1�);b'1(�) = �0 + �1� (3.8)

bulunur. O halde � = 2 cos z için

'(z) = b'(2 cos z) = fb'n(2 cos z)g ; n 2 N [ f0gseklinde tan¬mlanan ' fonksiyonu tamd¬r ve

'(z) = '(z + 2�)

durumunu gerçekler. Burada

P0 : =

�z : z 2 C; z = � + i� ; � �

2� � � 3�

2; � > 0

�;

P : = P0 [ [��

2;3�

2]

8

bölgeleri tan¬mlans¬n. Dolay¬s¬yla '(z) ve e(z) fonksiyonlar¬n¬n Wronskiyeni,

W ['(z); e(z)] = an�b'n+1(2 cos z)en(z)� en+1(z)b'n(2 cos z)�

seklindedir ve Wronskiyen n den ba¼g¬ms¬z oldu¼gundan n = 0 için

W ['(z); e(z)] = a0 [b'1(2 cos z)e0(z)� e1(z)b'0(2 cos z)]= a0f(z)

olur. Buradan her z 2 P için f(z) 6= 0 ise '(z) ve e(z) çözümleri lineer ba¼g¬ms¬zd¬r.

Simdi, (3.1), (3.2) s¬n¬r de¼ger probleminin Green fonksiyonu ve resolvent o-

peratörünü incelemek için; (3.3) denkleminden,

5(an�yn) + hnyn � �yn = gn (3.9)

denkleminin çözümünün bulunmas¬gerekir. (3.9) denkleminin homogen k¬sm¬

5(an�yn) + hnyn � �yn = 0

olup bu denklemin genel çözümü

eyn = cen + db'nseklindedir. Buna kars¬l¬k (3.9) denkleminin genel çözümü ise

yn = cnen + dnb'nbiçimindedir. Buradan, �yn ifadesinin aç¬l¬m¬nda cnen+1 ve dnb'n+1 ifadelerini ek-leyip ç¬kartarak

�yn = cn+1en+1 + dn+1b'n+1 � cnen � dnb'n= (cn+1 � cn)en+1 + (dn+1 � dn)b'n+1 + cn(en+1 � en) + dn(b'n+1 � b'n)

bulunup her n 2 N [ f0g için

(cn+1 � cn)en+1 + (dn+1 � dn)b'n+1 = 0 (3.10)

olmak üzere

�yn = cn(en+1 � en) + dn(b'n+1 � b'n)9

elde edilir. Bu ise

5(an�yn) = ancn(en+1 � en) + andn(b'n+1 � b'n)�an�1cn�1(en � en�1)� an�1dn�1(b'n � b'n�1)

olmas¬n¬gerektirir. Bu ifade (3.9) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa,

gn = ancnen+1 � ancnen + andnb'n+1 � andnb'n � an�1cn�1en + an�1cn�1en�1�an�1dn�1b'n + an�1dn�1b'n�1 + bncnen + bndnb'n + ancnen + andnb'n+an�1cnen + an�1dnb'n � �cnen � �dnb'n

= cn(anen+1 + bnen � �en) + dn(anb'n+1 + bnb'n � �b'n)�an�1cn�1en + an�1cn�1en�1 � an�1dn�1b'n + an�1dn�1b'n�1+an�1cnen + an�1dnb'n

= �cnan�1en�1 � dnan�1b'n�1 � an�1cn�1en + an�1cn�1en�1�an�1dn�1b'n + an�1dn�1b'n�1 + an�1cnen + an�1dnb'n

= �an�1�(cn � cn�1)en�1 + (dn � dn�1)b'n�1�

+an�1 [(cn � cn�1)en + (dn � dn�1)b'n]olup (3.10) esitli¼gi gere¼gince

(cn � cn�1)en + (dn � dn�1)b'n = 0oldu¼gundan dolay¬

(cn � cn�1)en�1 + (dn � dn�1)b'n�1 = � gnan�1

bulunur. Burada

(cn � cn�1)en + (dn � dn�1)b'n = 0(cn � cn�1)en�1 + (dn � dn�1)b'n�1 = � gn

an�1

9=;denklem sisteminden,

cn � cn�1 =�gnb'n

an�1(b'nen�1 � b'n�1en) (3.11)

dn � dn�1 =gnen

an�1(b'nen�1 � b'n�1en) (3.12)

10

bulunur. (3.11) den,

c1 � c0 =�g1b'1

a0(b'1e0 � b'0e1)c2 � c1 =

�g2b'2a1(b'2e1 � b'1e2)

c3 � c2 =�g3b'3

a2(b'3e2 � b'2e3)...

cn � cn�1 =�gnb'n

an�1(b'nen�1 � b'n�1en)olup bu esitlikler taraf tarafa topland¬¼g¬taktirde

cn = c0 �nXk=1

gkb'kak�1(b'kek�1 � b'k�1ek)

elde edilir. Benzer sekilde (3.12) den,

dn+1 � dn =gn+1en+1

an(b'n+1en � b'nen+1)dn+2 � dn+1 =

gn+2en+2an+1(b'n+2en+1 � b'n+1en+2)

dn+3 � dn+2 =gn+3en+3

an+2(b'n+3en+2 � b'n+2en+3)...

dm � dm�1 =gmem

am�1(b'mem�1 � b'm�1em)olup bu esitlikler taraf tarafa toplan¬rsa

�dn + dm =mX

k=n+1

gkekak�1(b'kek�1 � b'k�1ek)

bulunur. Burada1X

k=n+1

gkekak�1(b'kek�1 � b'k�1ek) <1

oldu¼gundan m!1 içinmX

k=n+1

�gkekak�1(b'kek�1 � b'k�1ek)

toplam¬n¬n limiti mevcut olup limm!1

dm = s olacak sekilde sonlu bir s say¬s¬vard¬r.

Dolay¬s¬yla

dn = s�1X

k=n+1

gkekak�1(b'kek�1 � b'k�1ek)11

elde edilir. Bulunan cn ve dn katsay¬lar¬yn çözümünde yerine yaz¬l¬rsa

yn = cnen + dnb'n= c0en �

nXk=1

gkb'kenak�1(b'kek�1 � b'k�1ek) + sb'n �

1Xk=n+1

gkekb'nak�1(b'kek�1 � b'k�1ek)

olur. Burada yn 2 `2(N) olup b'n =2 `2(N) oldu¼gundan s = 0 bulunur. Dolay¬s¬ylayn = c0en �

nXk=1

gkb'kenak�1(b'kek�1 � b'k�1ek) �

1Xk=n+1

gkekb'nak�1(b'kek�1 � b'k�1ek) (3.13)

olarak yaz¬l¬r. Ayr¬ca (3.2) s¬n¬r kosulu ve (3.8) den

0 = ( 0 + 1�)y1 + (�0 + �1�)y0

= � (b'0y1 � b'1y0)olup buradan da (3.13) kullan¬larak

0 = b'0y1 � b'1y0= b'0

c0e1 �

g1b'1e1a0(b'1e0 � b'0e1) �

1Xk=2

gkekb'1ak�1(b'kek�1 � b'k�1ek)

!

�b'1 c0e0 �

1Xk=1

gkekb'0ak�1(b'kek�1 � b'k�1ek)

!

= c0b'0e1 � g1b'0b'1e1a0(b'1e0 � b'0e1) � c0b'1e0 + g1b'0b'1e1

a0(b'1e0 � b'0e1)= c0(b'0e1 � b'1e0)

elde edilir. Burada b'0e1 � b'1e0 6= 0 oldu¼gundan c0 = 0 bulunur. Yaniyn = �

nXk=1

gkb'kenak�1(b'kek�1 � b'k�1ek) �

1Xk=n+1

gkekb'nak�1(b'kek�1 � b'k�1ek)

olur. O halde (3.1), (3.2) s¬n¬r de¼ger probleminin Green fonksiyonu

Gnk(z) =

8<: �'k(z)en(z)a0f(z)

; k � n

�'n(z)ek(z)a0f(z)

; k > n(3.14)

seklinde olup (3.1), (3.2) s¬n¬r de¼ger probleminin resolvent operatörü de,

R�(L)gn :=

1Xk=1

Gnk(z)gk ; n 2 N [ f0g (3.15)

biçimindedir.

12

3.2 L Operatörünün Özde¼gerleri ve Spektral Tekillikleri

(3.2) kosulu alt¬nda L operatörünün özde¼gerler kümesi ve spektral tekillikler kümesi

s¬ras¬yla �d(L) ve �ss(L) olarak gösterilsin. Bu durumda (3.14) ve (3.15) kullan¬larak

�d(L) = f� : � = 2 cos z; z 2 P0; f(z) = 0g ; (3.16)

�ss(L) =

�� : � = 2 cos z; z 2 [��

2;3�

2]; f(z) = 0

�n f0g (3.17)

elde edilir. E¼ger f(z) ifadesi aç¬kça yaz¬lmak istenirse;

cos z =eiz + e�iz

2

esitli¼ginden (3.5) ve (3.7) kullan¬larak

f(z) =� 0 + 1

�eiz + e�iz

�� "�1e

iz

1 +

1Xm=1

A1meimz

!#

+��0 + �1

�eiz + e�iz

�� "�0

1 +

1Xm=1

A0meimz

!#= �0�1e

�iz + 1�1 + �0�0 + ( 0�1 + �0�1) eiz + 1�1e

i2z

+1Xm=1

�0�1A0mei(m�1)z +

1Xm=1

( 1�1A1m + �0�0A0m) eimz

+1Xm=1

( 0�1A1m + �0�1A0m) ei(m+1)z +

1Xm=1

1�1A1mei(m+2)z .

bulunur. Fakat buradaki e�iz ifadesi, f(z) nin türevlerinin s¬n¬rl¬l¬¼g¬ konusunda

sorun yaratacakt¬r. Dolay¬s¬yla

F (z) := f(z)eiz (3.18)

denilirse bu sorun ortadan kalkar. Burada F fonksiyonu C+ da analitik ve C+ da

sürekli olup

F (z) = F (z + 2�)

özelli¼gini sa¼glar. Ayr¬ca f(z) ile F (z) fonksiyonlar¬n¬n P bölgesindeki s¬f¬rlar¬çak¬s¬r.

Aç¬kça

F (z) = �0�1 + ( 1�1 + �0�0) eiz + ( 0�1 + �0�1) e

2iz + 1�1e3iz

+1Xm=1

�0�1A0meimz +

1Xm=1

( 1�1A1m + �0�0A0m) ei(m+1)z

+

1Xm=1

( 0�1A1m + �0�1A0m) ei(m+2)z +

1Xm=1

1�1A1mei(m+3)z (3.19)

13

seklindedir. Dolay¬s¬yla (3.16), (3.17) ve (3.18) den,

�d(L) = f� : � = 2 cos z; z 2 P0; F (z) = 0g ;

�ss(L) =

�� : � = 2 cos z; z 2 [��

2;3�

2]; F (z) = 0

�n f0g (3.20)

olur.

Tan¬m 3.1 F fonksiyonunun P bölgesindeki s¬f¬rlar¬n¬n kat¬na, L operatörünün

özde¼gerinin veya spektral tekilli¼ginin kat¬denir.

Dolay¬s¬yla (3.20) den görülür ki, L operatörünün özde¼gerleri ve spektral

tekilliklerinin say¬sal özelliklerini arast¬rmak için, F fonksiyonunun P bölgesindeki

s¬f¬rlar¬n¬n say¬sal özelliklerini incelemek gerekir. Bu s¬f¬rlar için;

A1 : = fz : z 2 P0; F (z) = 0g ;

A2 : =

�z : z 2 [��

2;3�

2]; F (z) = 0

�;

A3 : = fA1 kümesinin limit noktalar¬n¬n kümesig ;

A4 : = fF (z) fonksiyonunun sonsuz katl¬s¬f¬rlar¬n¬n kümesig (3.21)

kümeleri tan¬mlans¬n. Dolay¬s¬yla (3.20) ve (3.21) den,

�d(L) = f� : � = 2 cos z; z 2 A1g ;

�ss(L) = f� : � = 2 cos z; z 2 A2g n f0g (3.22)

elde edilir.

Teorem 3.1 (3.4) kosulu alt¬nda;

(i) A1 kümesi s¬n¬rl¬d¬r ve say¬labilirdir.

(ii) A1 \ A3 = ? ve A1 \ A4 = ? olur.

(iii) A2 kümesi kompaktt¬r ve reel eksendeki Lebesgue ölçüsü � olmak üzere

�(A2) = 0 olur.

(iv) A3 � A2; A4 � A2 ve �(A3) = �(A4) = 0 olur.

(v) A3 � A4 olur.14

·Ispat. (i) (3.6) ve (3.19) kullan¬larak

F (z) =

8<: �0�1 +O(e�� ) ; �1 6= 0; z 2 P; � !1

( 1�1 + �0�0) eiz +O(e�2� ); �1 = 0; z 2 P; � !1

olup bu asimptotik esitlik ise F fonksiyonunun P bölgesindeki s¬f¬rlar¬n¬n s¬n¬rl¬

bir bölgede oldu¼gunu; yani A1 kümesinin s¬n¬rl¬oldu¼gunu gösterir. F fonksiyonu

P0 bölgesinde analitik olup Teorem 2.1 gere¼gince F fonksiyonunun P0 daki s¬f¬rlar¬

ayr¬kt¬r. Bu da A1 kümesinin say¬labilir oldu¼gunu gösterir.

(ii) F fonksiyonu P0 da analitik olup Teorem 2.2 ve Teorem 2.3 gere¼gince

F fonksiyonunun, P0 daki s¬f¬rlar¬n¬n limit noktalar¬ile P0 daki sonsuz katl¬s¬f¬rlar¬

P0 bölgesinin s¬n¬r¬nda; yani [��2; 3�2] aral¬¼g¬nda olur. Dolay¬s¬yla A1 \ A3 = ? ve

A1 \ A4 = ? bulunur.

(iii) Her z 2 A2 için z 2 [��2; 3�2] oldu¼gundan A2 kümesi s¬n¬rl¬d¬r. Bununla

beraber, F fonksiyonu R de sürekli olup A2 kümesinin limit noktalar¬ yine A2

kümesinin içinde olur, yani A2 kümesi kapal¬d¬r. Dolay¬s¬yla A2 kompaktt¬r. Ayr¬ca

Teorem 2.4 gere¼gince �(A2) = 0 olur.

(iv) F fonksiyonu C+ da sürekli oldu¼gundan F (z) nin P0 daki s¬f¬rlar¬n¬n

limit noktalar¬yine F (z) nin s¬f¬r¬olup [��2; 3�2] aral¬¼g¬na düser. Yani, A3 � A2

olur. Ayr¬ca Teorem 2.3 gere¼gince A4 � A2 oldu¼gu aç¬k olup dolay¬s¬yla da

�(A3) = �(A4) = 0 bulunur.

(v) Key� z0 2 A3 alal¬m. Bu durumda z0 6= zn 2 A1 olmak üzere

limn!1

zn = z0

olur. zn 2 A1 oldu¼gundan F (zn) = 0 olup ayr¬ca F fonksiyonu C+ da sürekli

oldu¼gundan

limn!1

F (zn) = F (z0)

bulunur. Dolay¬s¬yla F (z0) = 0 olur; yani z0, F (z) fonksiyonunun s¬f¬r¬d¬r. Simdi

z0 2 A4; yani z0 ifadesinin F (z) fonksiyonunun sonsuz katl¬s¬f¬r¬oldu¼gu gösterilirse

ispat biter. Tersine z0, F (z) fonksiyonunun sonlu katl¬s¬f¬r¬olsun. Bu durumda C+da analitik C+ da sürekli öyle bir h fonksiyonu vard¬r ki

F (z) = (z � z0)kh(z); h(z0) 6= 0; 1 � k <115

sa¼glan¬r. Buradan görülür ki, tüm zn ler h fonksiyonunun da s¬f¬r¬d¬r. Bu durumda

h(z) =F (z)

(z � z0)k

olup bu ise

h(zn) = 0

oldu¼gunu verir. Dolay¬s¬yla h fonksiyonu C+ da sürekli oldu¼gundan,

0 = limn!1

h(zn)

= h(z0)

bulunur ki bu bir çeliskidir. O halde z0 2 A4 olup A3 � A4 elde edilir.

(3.22) ve Teorem 3.1 kullan¬larak asa¼g¬daki teorem elde edilir.

Teorem 3.2 (3.4) kosulu alt¬nda;

(i) L operatörünün özde¼gerler kümesi s¬n¬rl¬d¬r, say¬labilirdir ve limit nokta-

lar¬[�2; 2] aral¬¼g¬ndad¬r.

(ii) �ss(L) � [�2; 2] ve �[�ss(L)] = 0 olur.

Simdi, L operatörünün özde¼gerlerinin ve spektral tekilliklerinin say¬sal özel-

liklerini incelemek için (3.4) kosulunda � = 1 ve 12� � < 1 durumlar¬göz önüne

al¬nacakt¬r. Öncelikle � = 1 olsun. Bu durumda

supn2N

[exp("n) (j1� anj+ jbnj)] <1 (3.23)

olur.

Teorem 3.3 (3.23) kosulu alt¬nda L operatörü, sonlu say¬da sonlu katl¬özde¼gerlere

ve spektral tekilliklere sahiptir.

·Ispat. C > 0 bir sabit olmak üzere n;m 2 N için (3.6) esitsizli¼gini kullanarak

k � n+h���m2

���i� 1

4(n+m)

16

durumu göz önüne al¬nd¬¼g¬nda,

jAnmj �1X

k=n+[jm2 j](j1� akj+ jbkj)

=

1Xk=n+[jm2 j]

exp(�"k) exp("k) (j1� akj+ jbkj)

� C exp[�"4(n+m)]

1Xk=n+[jm2 j]

exp("k) (j1� akj+ jbkj)

� C exp[�"4(n+m)]

elde edilir. Buradan ise n � 0 oldu¼gundan,�����1Xm=1

Anmeimz

����� �1Xm=1

jAnmj��eimz��

� C1Xm=1

exp[�"4(n+m)] exp(�m Im z)

� C1Xm=1

exph�m

�"4+ Im z

�iolup "

4+Im z > 0 yani Im z > � "

4için

1Pm=1

Anmeimz serisi, z ye göre bu bölgede düzgün

yak¬nsakt¬r. Dolay¬s¬yla (3.19) dan F fonksiyonu Im z > � "4bölgesinde analitiktir.

Yani F fonksiyonu, C+ dan Im z > � "4bölgesine analitik devama sahiptir. Bu

durumda Teorem 2.2 den F fonksiyonunun P deki s¬f¬rlar¬n¬n limit noktalar¬[��2; 3�2]

aral¬¼g¬nda olamaz. Bu nedenle de Teorem 3.1 gere¼gince A1 ve A2 kümeleri s¬n¬rl¬

olup Bolzano-Weirstrass Teoremi gere¼gince A1 ve A2 kümeleri sonlu say¬da elemana

sahiptirler. Ayr¬ca F fonksiyonu Im z > � "4bölgesinde analitik oldu¼gundan, F

fonksiyonunun P deki s¬f¬rlar¬sonlu katl¬d¬r. O halde (3.22) den, L operatörünün

sonlu say¬da sonlu katl¬özde¼gerleri ve spektral tekillikleri olmas¬sonucu elde edilir.

Görülmektedir ki (3.23) kosulu, F fonksiyonunun reel eksenden alt yar¬düz-

leme analitik devam¬n¬ sa¼glar. Dolay¬s¬yla bu analitik devam sonucunda L ope-

ratörünün özde¼gerlerinin ve spektral tekilliklerinin sonlu olmas¬sonucu elde edilir.

Simdi " > 0 ve 12� � < 1 olmak üzere (3.23) kosulundan daha zay¬f olan

supn2N

�exp("n�) (j1� anj+ jbnj)

�<1 (3.24)

17

kosulu gözönüne al¬ns¬n. (3.24) kosulu alt¬nda F fonksiyonunun C+ bölgesinde ana-

litik ve reel eksende sonsuz türevlenebilir oldu¼gu aç¬kt¬r. Fakat (3.24) kosulu al-

t¬nda F fonksiyonu, reel eksenden alt yar¬düzleme analitik devama sahip de¼gildir.

Bu yüzden (3.24) kosulu alt¬nda L operatörünün özde¼gerlerinin ve spektral tekil-

liklerinin sonlu olmas¬, Teorem 3.3 den farkl¬bir yolla gösterilmelidir. Bunun için

ise Teorem 2.5 den faydan¬lacakt¬r. Burada, Teorem 2.5 e uygun olmas¬amac¬yla

g fonksiyonu yerine 2� periyotlu F fonksiyonu ve G kümesi yerine A4 � [��2; 3�2]

kümesi düsünülecek olup ayr¬ca bu teoremdeki �k ifadesinin de belirlenmesi gereke-

cektir. Dolay¬s¬yla F (z) fonksiyonunun türevlerinin incelenmesi gerekmektedir. O

halde (3.24) kosulu göz önüne al¬ns¬n. Buradan k 2 N [ f0g olmak üzere (3.19)

esitli¼ginden,��F (k)(z)�� � j 1�1 + �0�0j+ 2k j 0�1 + �0�1j+ 3k j 1�1j

+1Xm=1

mk j�0�1A0mj��eimz��

+1Xm=1

(m+ 1)k j 1�1A1m + �0�0A0mj��ei(m+1)z��

+1Xm=1

(m+ 2)k j 0�1A1m + �0�1A0mj��ei(m+2)z��

+1Xm=1

(m+ 3)k j 1�1A1m j��ei(m+3)z��

olup m � 1 için 2m � 2 ve 3m � 3 oldu¼gundan��F (k)(z)�� � 4k (j 1�1 + �0�0j+ j 0�1 + �0�1j+ j 1�1j)

+4k

( 1Xm=1

mk j�0�1A0mj+1Xm=1

mk j 1�1A1m + �0�0A0mj

+

1Xm=1

mk j 0�1A1m + �0�1A0mj+1Xm=1

mk j 1�1A1m j)

(3.25)

bulunur. Ayr¬ca n � 0 olmak üzere

k � n+h���m2

���i� m

4

ve buradan 12� � < 1 olmak üzere

�k� � �m�

418

olup (3.6) esitsizli¼gi kullan¬larak

jAnmj �1X

k=n+[jm2 j]exp(�"k�) exp("k�) (j1� akj+ jbkj)

� C exp[�"4(m�)] (3.26)

elde edilir. Dolay¬s¬yla (3.25) ve (3.26) dan,

��F (k)(z)�� � C4k + C4k 1Xm=1

mke�"4m�

(3.27)

bulunur. Burada

Dk = C4k

1Xm=1

mke�"4m�

olsun. Literatürde, G : [a; b]! R sürekli bir fonksiyon ise

limn!1

b� an

nXm=1

G

�a+m

b� an

�=

bZa

G(t)dt

durumunun sa¼gland¬¼g¬bilinmektedir. O zaman a = 0; b = n ve

G(t) = tke�"4t�

için

Dk = C4k limn!1

nXm=1

mke�"4m�

= C4k limn!1

nXm=1

G(m)

= C4knZ0

tke�"4t�dt

� C4k1Z0

tke�"4t�dt

olup y = "4t� dönüsümü yap¬larak,

t =

�4y

"

� 1�

;

dt =1

�

�4

"

� 1�

y1��1

19

oldu¼gundan

Dk � C4k�4

"

� k+1� 1

�

1Z0

yk+1��1e�ydy (3.28)

elde edilir. (3.28) esitsizli¼ginde, a = k+1�� 1 için a > 1 oldu¼gu aç¬kt¬r. Dolay¬s¬yla

�(a) =

1Z0

ya�1e�ydy

Gamma fonksiyonu olmak üzere �(a+ 1) = a! oldu¼gundan

Dk � C4k�4

"

� k+1� 1

��(a+ 1)

= C4k�4

"

� k+1� 1

�a!

� C4k�4

"

� k+1� 1

�aa

� C4k�4

"

� k+1� 1

�(a+ 1)a

= C4k�4

"

� k+1� 1

�

�k + 1

�

� k+1��1

= C4k�4

"

� k+1�

(k + 1)�1�1

�(k + 1)

� k+1�

olur. Burada 12� � < 1 olmak üzere 2 � 1

�için

Dk � C4k�4

"

� k+1�

21�(k+1) (k + 1)�1 (k + 1)

k+1�

� C4k�4

"

� k+1�

(k + 1)�1 22(k+1) (k + 1)k� (k + 1)

1�

= C42k+1�4

"

� k+1�

(k + 1)1��1 (k + 1)

k�

olup literatürdeki

(1 + k)1��1 < e

k�

esitsizli¼gi kullan¬larak

Dk � C42k+1�4

"

� k+1�

ek� (k + 1)

k� (3.29)

yaz¬labilir. Yine iyi bilinen �1 +

1

k

�k< e

20

esitsizli¼ginden �1 +

1

k

� k�

< e1�

olup

(k + 1)k� < k

k� e

1� (3.30)

durumu elde edilir. Ayr¬ca

kk < k!ek

oldu¼gundan

kk� < (k!)

1� e

k�

olup (3.30) dan,

(k + 1)k� < (k!)

1� e

k+1�

bulunur. O halde son esitsizlik (3.29) da göz önüne al¬n¬rsa

Dk � C42k+1�4

"

� k+1�

ek� (k!)

1� e

k+1�

= C42k+1�4

"

� k+1�

e2k+1� k! (k!)

1��1

= 4Ce1�

�4

"

� 1�

"16e

2�

�4

"

� 1�

#kk! (k!)

1��1

= Ddkk! (k!)1��1

� Ddkk!kk(1��1)

olup k � 1 için k!kk(1��1) � 1 durumu da göz önünde bulundurulursa (3.27) den,

��F (k)(z)�� � C4k +Ddkk!kk(1��1)

� C4kk!kk(1��1) +Ddkk!kk(

1��1)

� Ddkk!kk(1��1) (3.31)

elde edilir. BuradaD > 0 ve d > 0 ifadeleri C; " ve � ifadelerine ba¼gl¬d¬r. Dolay¬s¬yla

Teorem 2.5 deki �k ifadesi için,

�k = Ddkk!kk(

1��1)

düsünülecektir.

21

Teorem 3.4 (3.24) sa¼gland¬¼g¬taktirde A4 = ? olur.

·Ispat. F fonksiyonu özdes olarak s¬f¬r de¼gildir. Dolay¬s¬yla Teorem 2.5 gere¼gince,

k 2 N [ f0g için

t(s) = infk

�ksk

k!

= infk

Dk!kk(1��1) (ds)k

k!

= D infk

hkk(

1��1) (ds)k

iolmak üzere Teorem 2.5 teki integralin aral¬¼g¬! > 0 için [0; !) olarak al¬n¬rsa

!Z0

ln t(s)d�(A4;s) > �1 (3.32)

bulunur. Burada t(s) fonksiyonuna paralel olarak x 2 [0;1) için

h(x) = xx(1��1)(ds)x (3.33)

fonksiyonu göz önüne al¬ns¬n. t(s) fonksiyonunun aç¬kça yaz¬labilmesi için h(x)

fonksiyonunun minimumunun bulunmas¬yeterlidir. Bunun için öncelikle h(x) fonksi-

yonunun ekstremum noktalar¬bulunmal¬d¬r. (3.33) den,

lnh(x) = x ln�dsx

1��1�

olup

h0(x)

h(x)= ln

�dsx

1��1�+x(1

�� 1)dsx 1

��2

dsx1��1

=1

�� 1 + ln

�dsx

1��1�

bulunur. Yani

h0(x) = xx(1��1)(ds)x

�1

�� 1 + ln

�dsx

1��1��

seklindedir. O halde h0(x0) = 0 için

1

�� 1 + ln

�dsx

1��1

0

�= 0

bulunup

ln�dsx

1��1

0

�=� � 1�

22

yaz¬l¬r. Buradan

e��1� (ds)�1 = x

1���0

olup h(x) fonksiyonunun ekstremum noktas¬

x0 = e�1(ds)

��1��

olarak bulunur. Ayr¬ca

h00(x) = xx(1��1)(ds)x

�1

�� 1 + ln

�dsx

1��1��2

+ xx(1��1)(ds)x

(1�� 1)dsx 1

��2

dsx1��1

= xx(1��1)(ds)x

(�1

�� 1 + ln

�dsx

1��1��2

+ (1

�� 1)x�1

)

olup 12� � < 1 için 1

�> 1 oldu¼gundan

h00(x0) = e(1� 1

�)e�1(ds)

��1���(1

�� 1)e(ds)

�1��

�> 0

elde edilir. Yani x0, h(x) fonksiyonunun minimum noktas¬d¬r. O halde

minx2[0;1)

h(x) = h(x0)

=he�1(ds)

��1��

i 1���e�1(ds)

��1��

(ds)e�1(ds)

��1��

= exp

��1� �

�e�1d

��1�� s

��1��

�(ds)�e

�1(ds)��1��(ds)e

�1(ds)��1��

= exp

��1� �

�e�1d�

�1�� s�

�1��

�bulunur. Dolay¬s¬yla

t(s) = D exp

��1� �

�e�1d�

�1�� s�

�1��

�(3.34)

olur. O halde (3.32) ve (3.34) den,

!Z0

ln

�D exp

��1� �

�e�1d�

�1�� s�

�1��

��d�(A4;s) > �1

23

olup ayr¬ca Teorem 3.1 de �(A4) = 0 oldu¼gundan

1 > �!Z0

�lnD +

��1� �

�e�1d�

�1�� s�

�1��

��d�(A4;s)

= � lnD!Z0

d�(A4;s) +

!Z0

1� ��e�1d�

�1�� s�

�1�� d�(A4;s)

= � lnD [�(A4;!)� �(A4)] +1� ��e�1d�

�1��

!Z0

s��

1�� d�(A4;s)

= ��(A4;!) lnD +1� ��e�1d�

�1��

!Z0

s��

1�� d�(A4;s)

elde edilir. Bu durum ise!Z0

s��

1�� d�(A4;s) <1 (3.35)

olmas¬n¬gerektirir. Fakat burada �1�� � 1 oldu¼gundan (3.35) kosulu ancak A4 = ?

oldu¼gunda,yani �(A4;s) = 0 oldu¼gunda sa¼glan¬r. Gerçekten; e¼ger A4 6= ? olsayd¬

�(A4;s) � 2s

ve buradan da

d�(A4;s) � 2ds

olurdu. Dolay¬s¬yla 1� �1�� < 0 esitsizli¼gi göz önünde bulundurularak

1 >

!Z0

s��

1�� d�(A4;s)

� 2

!Z0

s��

1�� ds

=2 (1� �) s1�

�1��

1� 2�

�����!

0

=2 (1� �)

(1� 2�) s�

1���1

�����!

0

olur. Fakat bu durum ise bir çeliskidir. Yani, A4 = ? elde edilir.

Teorem 3.5 (3.24) kosulu alt¬nda L operatörü, sonlu say¬da sonlu katl¬özde¼gerlere

ve spektral tekilliklere sahiptir.

24

·Ispat. (3.20) gere¼gince teoremin ispat¬için, (3.24) kosulu alt¬nda F fonksiyonunun

P bölgesinde sonlu say¬da sonlu katl¬s¬f¬rlara sahip oldu¼gu gösterilmesi yeterlidir.

Teorem 3.1 ve Teorem 3.5 gere¼gince A3 = ? olur. Dolay¬s¬yla A1 ve A2 s¬n¬rl¬

kümeleri bir limit noktas¬na sahip de¼gillerdir. Bu yüzden Bolzano-Weirstrass Teo-

remi gere¼gince A1 ve A2 kümeleri sonlu olmal¬d¬r, yani F fonksiyonu P bölgesinde

sonlu say¬da s¬f¬ra sahiptir. Ayr¬ca Teorem 3.5 gere¼gince A4 = ? oldu¼gundan F

fonsiyonunun P bölgesindeki s¬f¬rlar¬sonlu katl¬d¬r.

25

4. SINIR KOSULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN

B·IR·INC·IMERTEBEDENNON-SELFADJO·INT FARKDENKLEM-

LER·I S·ISTEM·IN·IN SPEKTRAL ANAL·IZ·I

n 2 N = f1; 2; : : :g olmak üzere selfadjoint olmayan birinci mertebeden fark denk-

lemleri sistemi için

8<: an+1y(2)n+1 + bny

(2)n + pny

(1)n = �y

(1)n

an�1y(1)n�1 + bny

(1)n + qny

(2)n = �y

(2)n ; n 2 N;

(4.1)

( 0 + 1�)y(2)1 + (�0 + �1�)y

(1)0 = 0; 0�1 � 1�0 6= 0; 1 6= a�10 �0 (4.2)

s¬n¬r de¼ger problemi göz önüne al¬ns¬n. Burada her n 2 N için

0@y(1)ny(2)n

1A vektör de¼gerli

diziler ve an 6= 0; bn 6= 0 olmak üzere (an), (bn), (pn), (qn) kompleks de¼gerli dizilerdir.

Ayr¬ca i = 0; 1 için i; �i 2 C olup � ise bir spektral parametredir.

4.1 (4.1), (4.2) S¬n¬r De¼ger Probleminin Jost Çözümü ve

Jost Fonksiyonu

" > 0 ve 12� � � 1 için

1Xn=1

exp("n�) (j1� anj+ j1 + bnj+ jpnj+ jqnj) <1 (4.3)

kosulu göz önüne al¬ns¬n. (4.3) kosulu alt¬nda � = 2 sin z2ve z 2 C+ olmak üzere

(4.1) denklem sistemi,

fn(z) =

0@f (1)n (z)f(2)n (z)

1A = �n

I2 +

1Xm=1

Anmeimz

!0@ei z2�i

1A einz; n 2 N; (4.4)

f(1)0 (z) = �110

(ei

z2

"1 +

1Xm=1

A110meimz

#� i

1Xm=1

A120meimz

)(4.5)

26

seklinde s¬n¬rl¬çözümlere sahiptir. f(z) = (fn(z)) =

0@f (1)n (z)f(2)n (z)

1A çözümüne, (4.1)

denklem sisteminin Jost çözümü denir. Burada

�n =

0@ �11n �12n

�21n �22n

1A ;I2 =

0@ 1 0

0 1

1A ;Anm =

0@ A11nm A12nm

A21nm A22nm

1Aseklinde olup n 2 N [ f0g olmak üzere i; j = 1; 2 için �ijn ve Aijnm ifadeleri,

�11n =

" 1Yk=n+1

(�1)n�kbkak�1

#�1;

�12n = 0;

�22n =

"bn

1Yk=n+1

(�1)n�k+1bkak�1

#�1;

�21n = �22n

"pn +

1Xk=n+1

(pk + qk)

#;

A12n1 = �1X

k=n+1

(pk + qk);

A11n1 =1X

k=n+1

�ak+1ak + b

2k � pkqk + (pk + qk)A12k1 � 2

�;

A22n1 = �1 + an+1an +�A12n1�2+ A11n1;

A21n1 = �1Xk=n

��qk+1 + A

12k1

� �ak+1ak + qk+1 (pk+1 + qk+1) + qk+1A

12k1

+b2k+1 + A11k+1;1 � 1

�� A12k1

�1 + A11k1

�+

1Xk=n+1

�qkA

22k1 � b2kpk

�;

A12n2 = �an+1an(qn+1 + A12n1) + A12n1A11n1 + A12n1 � A21n1;

A11n2 =1X

k=n+1

��b2k � 1

�A11k1 � ak+1ak

�(qk+1 + A

12k1)A

12k+1;1 � A22k+1;1

���pk � A12k1

� �qkA

11k1 + A

12k1 � A12k2

�� qkA21k1 + A12k1A12k2 � A22k1

;

A22n2 = �an+1an(qn+1 + A12n1)A12n+1;1 + an+1anA22n+1;1 + A12n1A12n2 � A11n1 + A11n2;27

A21n2 =1Xk=n

�A12k1A

11k2 + A

21k2 � ak+1ak

�(qk+1 + A

12k1)A

11k+1;1 � A21k+1;1

��

1Xk=n+1

��qk + A

12k�1;1

� �qkA

12k2 � A11k1 + A11k2

�+ b2kA

21k2 � pkA22k2 + A21k1

�;

ve m � 3 için

A12nm = �an+1an�(qn+1 + A

12n1)A

11n+1;m�2 + A

21n+1;m�2

�+A12n1A

11n;m�1 + A

12n;m�1 � A21n;m�1;

A11nm = �1X

k=n+1

ak+1ak��qk+1 + A

12k1

�A12k+1;m�1 � A22k+1;m�1

��

1Xk=n+1

�pk � A12k1

� �qkA

11k;m�1 + A

12k;m�1 � A12km

�+

1Xk=n+1

�b2k � 1

�A11k;m�1

�1X

k=n+1

qkA21k;m�1 +

1Xk=n+1

A12k1A12km �

1Xk=n+1

A22k;m�1;

A22nm = �an+1an�(qn+1 + A

12n1)A

11n+1;m�1 � A22n+1;m�1

�+ A12n1A

12nm + A

11nm � A11n;m�1;

A21nm = �1Xk=n

ak+1ak��qk+1 + A

12k1

�A11k+1;m�1 � A21k+1;m�1

��

1Xk=n+1

�qk � A12k�1;1

� �qkA

21km + A

11k;m�1 � A22km

��

1Xk=n+1

�b2k � 1

�A12km

+1Xk=n

A12k1A22km +

1Xk=n+1

qkA22km +

1Xk=n

A12km �1X

k=n+1

A21k;m�1

biçiminde (an), (bn), (pn) ve (qn) ifadelerine ba¼gl¬olarak yaz¬l¬r.

Aç¬kça n 2 N için,

f (1)n (z) = �11n ei(n+ 1

2)z +

1Xm=1

�11n

�A11nme

i(m+n+ 12)z � iA12nmei(m+n)z

�f (2)n (z) = �21n e

i(n+ 12)z � i�22n einz +

1Xm=1

h�21n

�A11nme

i(m+n+ 12)z � iA12nmei(m+n)z

�+�22n

�A21nme

i(m+n+ 12)z � iA22nmei(m+n)z

�i(4.6)

seklinde olup ayr¬ca C > 0 bir sabit ve���m2

��� ifadesi m2�nin tam k¬sm¬olmak üzere

i; j = 1; 2 için

��Aijnm�� � C 1Xk=n+[jm2 j]

(j1� akj+ j1 + bkj+ jpkj+ jqkj) (4.7)

28

esitsizli¼gi sa¼glan¬r. Dolay¬s¬yla fn(z) vektör de¼gerli fonksiyonu, C+ bölgesinde ana-

litik olup C+ bölgesinde süreklidir.

Di¼ger yandan; (4.2) s¬n¬r kosulu ile (4.4) ve (4.5) esitlikleri kullan¬larak F

fonksiyonu,

F (z) = ( 0 + 2 1 sinz

2)f(2)1 (z) + (�0 + 2�1 sin

z

2)f(1)0 (z) (4.8)

seklinde tan¬mlans¬n. Bu durumda F fonksiyonu, C+ bölgesinde analitik olup C+bölgesinde süreklidir ve

F (z + 4�) = F (z)

esitli¼gini sa¼glar. F fonksiyonuna (4.1), (4.2) s¬n¬r de¼ger probleminin Jost fonksiyonu

denir.

4.2 (4.1), (4.2) S¬n¬r De¼ger Probleminin Özde¼gerleri ve Spek-

tral Tekillikleri

P0 : = fz : z 2 C; z = x+ iy; 0 � x � 4�; y > 0g ;

P : = P0 [ [0; 4�]

bölgeleri tan¬mlans¬n. Bu durumda (4.1), (4.2) s¬n¬r de¼ger probleminin özde¼gerler

kümesi ve spektral tekillikler kümesi s¬ras¬yla �d ve �ss olmak üzere

�d =n� : � = 2 sin

z

2; z 2 P0; F (z) = 0

o; (4.9)

�ss =n� : � = 2 sin

z

2; z 2 [0; 4�]; F (z) = 0

o(4.10)

seklinde olur. E¼ger F (z) fonksiyonu aç¬kça yaz¬lmak istenirse;

sinz

2=ei

z2 � e�i z22i

29

esitli¼ginden (4.6) ve (4.8) kullan¬larak

F (z) =� 0 + 1

�(�i)

�ei

z2 � e�i z2

��f(2)1 (z)

+��0 + �1

�(�i)

�ei

z2 � e�i z2

��f(1)0 (z)

= i�110 �1 + ( 1�221 + �

110 �0)e

i z2 + i(� 0�221 + 1�221 � �110 �1)eiz

+� 0�

211 � 1�221

�ei

3z2 � i 1�211 e2iz

+1Xm=1

�110 �1A120me

i(m� 12)z + i

1Xm=1

���110 �0A120m + �110 �1A110m

�eimz

+

1Xm=1

� 1�

211 A

121m + 1�

221 A

221m + �

110 �0A

110m � �110 �1A120m

�ei(m+

12)z

+i

1Xm=1

�� 0�211 A121m � 0�221 A221m + 1�211 A111m + 1�221 A211m

��110 �1A110m�ei(m+1)z

+1Xm=1

( 0�211 A

111m + 0�

221 A

211m � 1�211 A121m � 1�221 A221m)ei(m+

32)z

+i1Xm=1

�� 1�211 A111m � 1�221 A211m

�ei(m+2)z (4.11)

bulunur.

Tan¬m 4.1 F fonksiyonunun P bölgesindeki s¬f¬rlar¬n¬n kat¬na, (4.1), (4.2) s¬n¬r

de¼ger probleminin özde¼gerinin veya spektral tekilli¼ginin kat¬denir.

Dolay¬s¬yla (4.9) ve (4.10) dan görülür ki, (4.1), (4.2) s¬n¬r de¼ger probleminin

özde¼gerleri ve spektral tekilliklerinin say¬sal özelliklerini arast¬rmak için, F fonksi-

yonunun P bölgesindeki s¬f¬rlar¬n¬n say¬sal özelliklerini incelemek gerekir. Bu s¬f¬rlar

için;

A1 : = fz : z 2 P0; F (z) = 0g ;

A2 : = fz : z 2 [0; 4�]; F (z) = 0g ;

A3 : = fA1 kümesinin limit noktalar¬n¬n kümesig ;

A4 : = fF (z) fonksiyonunun sonsuz katl¬s¬f¬rlar¬n¬n kümesig (4.12)

kümeleri tan¬mlans¬n. Dolay¬s¬yla (4.9), (4.10) ve (4.12) den,

�d =n� : � = 2 sin

z

2; z 2 A1

o;

�ss =n� : � = 2 sin

z

2; z 2 A2

o(4.13)

30

elde edilir.

Teorem 4.1 (4.3) kosulu alt¬nda;

(i) A1 kümesi s¬n¬rl¬d¬r ve say¬labilirdir.

(ii) A1 \ A3 = ? ve A1 \ A4 = ? olur.

(iii) A2 kümesi kompaktt¬r ve reel eksendeki Lebesgue ölçüsü � olmak üzere

�(A2) = 0 olur.

(iv) A3 � A2; A4 � A2 ve �(A3) = �(A4) = 0 olur.

(v) A3 � A4 olur.

·Ispat. (i) (4.7) ve (4.11) kullan¬larak

F (z) =

8<: i�110 �1 +O(e� �2 ) ; �1 6= 0; z 2 P; � !1

( 1�221 + �

110 �0) e

i z2 +O(e�� ); �1 = 0; z 2 P; � !1

olup bu asimptotik esitlik ise F fonksiyonunun P bölgesindeki s¬f¬rlar¬n¬n s¬n¬rl¬

bir bölgede oldu¼gunu; yani A1 kümesinin s¬n¬rl¬oldu¼gunu gösterir. F fonksiyonu

P0 bölgesinde analitik olup Teorem 2.1 gere¼gince F fonksiyonunun P0 daki s¬f¬rlar¬

ayr¬kt¬r. Bu da A1 kümesinin say¬labilir oldu¼gunu gösterir.

(ii) F fonksiyonu P0 da analitik olup Teorem 2.2 ve Teorem 2.3 gere¼gince F

fonksiyonunun, P0 daki s¬f¬rlar¬n¬n limit noktalar¬ile P0 daki sonsuz katl¬s¬f¬rlar¬P0

¬n s¬n¬r¬nda; yani [0; 4�] aral¬¼g¬nda olur. Dolay¬s¬yla A1 \ A3 = ? ve A1 \ A4 = ?

bulunur.

(iii) Her z 2 A2 için z 2 [0; 4�] oldu¼gundan A2 kümesi s¬n¬rl¬d¬r. Bununla

beraber, F fonksiyonu R de sürekli olup A2 kümesinin limit noktalar¬ yine A2

kümesinin içinde olur, yani A2 kümesi kapal¬d¬r. Dolay¬s¬yla A2 kompaktt¬r. Ayr¬ca

Teorem 2.4 gere¼gince �(A2) = 0 olur.

(iv) F fonksiyonuC+ da sürekli oldu¼gundan F (z) nin P0 daki s¬f¬rlar¬n¬n limit

noktalar¬yine F (z) nin s¬f¬r¬olup [0; 4�] aral¬¼g¬na düser. Yani, A3 � A2 olur. Ayr¬ca

Teorem 2.3 gere¼gince A4 � A2 oldu¼gu aç¬k olup dolay¬s¬yla da �(A3) = �(A4) = 0

bulunur.

(v) Key� z0 2 A3 alal¬m. Bu durumda z0 6= zn 2 A1 olmak üzere

limn!1

zn = z0

31

olur. zn 2 A1 oldu¼gundan F (zn) = 0 olup ayr¬ca F fonksiyonu C+ da sürekli

oldu¼gundan

limn!1

F (zn) = F (z0)

bulunur. Dolay¬s¬yla F (z0) = 0 olur; yani z0, F (z) fonksiyonunun s¬f¬r¬d¬r. Simdi

z0 2 A4; yani z0 ifadesinin F (z) fonksiyonunun sonsuz katl¬s¬f¬r¬oldu¼gu gösterilirse

ispat biter. Tersine z0, F (z) fonksiyonunun sonlu katl¬s¬f¬r¬olsun. Bu durumda C+da analitik C+ da sürekli öyle bir h fonksiyonu vard¬r ki

F (z) = (z � z0)kh(z); h(z0) 6= 0; 1 � k <1

sa¼glan¬r. Buradan görülür ki, tüm zn ler h fonksiyonunun da s¬f¬r¬d¬r. Bu durumda

h(z) =F (z)

(z � z0)k

olup bu ise

h(zn) = 0

oldu¼gunu verir. Dolay¬s¬yla h fonksiyonu C+ da sürekli oldu¼gundan,

0 = limn!1

h(zn)

= h(z0)

bulunur ki bu bir çeliskidir. O halde z0 2 A4 olup A3 � A4 elde edilir.

(4.13) ve Teorem 4.1 kullan¬larak asa¼g¬daki teorem elde edilir.

Teorem 4.2 (4.3) kosulu alt¬nda;

(i) (4.1), (4.2) s¬n¬r de¼ger probleminin özde¼gerler kümesi s¬n¬rl¬d¬r, say¬la-

bilirdir ve limit noktalar¬[�2; 2] aral¬¼g¬ndad¬r.

(ii) �ss � [�2; 2], �ss = �ss ve �[�ss] = 0 olur.

Simdi, (4.1), (4.2) s¬n¬r de¼ger probleminin özde¼gerlerinin ve spektral tekil-

liklerinin say¬sal özelliklerini incelemek için (4.3) kosulunda � = 1 ve 12� � < 1

durumlar¬göz önüne al¬nacakt¬r. Öncelikle � = 1 olsun. Bu durumda

1Xn=1

exp("n) (j1� anj+ j1 + bnj+ jpnj+ jqnj) <1 (4.14)

olur.

32

Teorem 4.3 (4.14) kosulu alt¬nda (4.1), (4.2) s¬n¬r de¼ger problemi, sonlu say¬da

sonlu katl¬özde¼gerlere ve spektral tekilliklere sahiptir.

·Ispat. C > 0 bir sabit olmak üzere i; j = 1; 2 ve n;m 2 N için (4.7) esitsizli¼gini

kullanarak k � n+���m2

��� � 14(n+m) durumu göz önüne al¬nd¬¼g¬nda,

��Aijnm�� �1X

k=n+[jm2 j](j1� akj+ j1 + bkj+ jpkj+ jqkj)

=

1Xk=n+[jm2 j]

exp(�"k) exp("k) (j1� akj+ j1 + bkj+ jpkj+ jqkj)

� C exp[�"4(n+m)]

1Xk=n+[jm2 j]

exp("k) (j1� akj+ j1 + bkj+ jpkj+ jqkj)

� C exp[�"4(n+m)]

elde edilir. Buradan ise n � 0 oldu¼gundan,�����1Xm=1

Aijnmeimz

����� �1Xm=1

��Aijnm�� ��eimz��� C

1Xm=1

exp[�"4(n+m)] exp(�m Im z)

� C1Xm=1

exph�m

�"4+ Im z

�iolup "

4+Im z > 0 yani Im z > � "

4için

1Pm=1

Aijnmeimz serisi, z ye göre bu bölgede düzgün

yak¬nsakt¬r. Dolay¬s¬yla (4.11) den F fonksiyonu Im z > � "4bölgesinde analitiktir.

Yani F fonksiyonu, C+ dan Im z > � "4bölgesine analitik devama sahiptir. Bu

durumda Teorem 2.2 den F fonksiyonunun P deki s¬f¬rlar¬n¬n limit noktalar¬[0; 4�]

aral¬¼g¬nda olamaz. Bu nedenle de Teorem 4.1 gere¼gince A1 ve A2 kümeleri s¬n¬rl¬

olup Bolzano-Weirstrass Teoremi gere¼gince A1 ve A2 kümeleri sonlu say¬da elemana

sahiptirler. Ayr¬ca F fonksiyonu Im z > � "4bölgesinde analitik oldu¼gundan, F

fonksiyonunun P deki s¬f¬rlar¬sonlu katl¬d¬r. O halde (3.22) den, (4.1), (4.2) s¬n¬r

de¼ger probleminin sonlu say¬da sonlu katl¬özde¼gerleri ve spektral tekillikleri olmas¬

sonucu elde edilir.

Görülmektedir ki (4.14) kosulu, F fonksiyonunun reel eksenden alt yar¬düz-

leme analitik devam¬n¬sa¼glar. Dolay¬s¬yla bu analitik devam sonucunda (4.1), (4.2)

33

s¬n¬r de¼ger probleminin özde¼gerlerinin ve spektral tekilliklerinin sonlu olmas¬sonucu

elde edilir.

Simdi " > 0 ve 12� � < 1 olmak üzere (4.14) kosulundan daha zay¬f olan

1Xn=1

exp("n�) (j1� anj+ j1 + bnj+ jpnj+ jqnj) <1 (4.15)

kosulu gözönüne al¬ns¬n. (4.15) kosulu alt¬nda F fonksiyonunun C+ bölgesinde ana-

litik ve reel eksende sonsuz türevlenebilir oldu¼gu aç¬kt¬r. Fakat (4.15) kosulu al-

t¬nda F fonksiyonu, reel eksenden alt yar¬düzleme analitik devama sahip de¼gildir.

Bu yüzden (4.15) kosulu alt¬nda (4.1), (4.2) s¬n¬r de¼ger probleminin özde¼gerlerinin

ve spektral tekilliklerinin sonlu olmas¬, Teorem 4.3 den farkl¬bir yolla gösterilme-

lidir. Bunun için ise Teorem 2.5 den faydan¬lacakt¬r. Burada, Teorem 2.5 e uygun

olmas¬ amac¬yla g fonksiyonu yerine 4� periyotlu F fonksiyonu ve G kümesi ye-

rine A4 � [0; 4�] kümesi düsünülecek olup ayr¬ca bu teoremdeki �k ifadesinin de

belirlenmesi gerekecektir. Dolay¬s¬yla F (z) fonksiyonunun türevlerinin incelenmesi

gerekmektedir. O halde (4.15) kosulu göz önüne al¬ns¬n. Buradan k 2 N[f0g olmak

üzere (4.11) esitli¼ginden,

��F (k)(z)�� ��1

2

�k �� 1�221 + �110 �0��+ ��� 0�221 + 1�221 � �110 �1��+

�3

2

�k �� 0�211 � 1�221 ��+ 2k �� 1�211 ��+

1Xm=1

�m� 1

2

�k ���110 �1A120m�� ���ei(m� 12)z���

+1Xm=1

mk����110 �0A120m + �110 �1A110m�� ��eimz��

+

1Xm=1

�m+

1

2

�k �� 1�211 A121m + 1�221 A221m + �110 �0A110m��110 �1A120m

�� ���ei(m+ 12)z���

+

1Xm=1

(m+ 1)k��� 0�211 A121m � 0�221 A221m + 1�211 A111m

+ 1�221 A

211m � �110 �1A110m

�� ��ei(m+1)z��34

+1Xm=1

�m+

3

2

�k �� 0�211 A111m + 0�221 A211m � 1�211 A121m� 1�221 A221m

�� ���ei(m+ 32)z���

+

1Xm=1

(m+ 2)k��� 1�211 A111m � 1�221 A211m �� ��ei(m+2)z��

olup m � 1 için 2m � 2 oldu¼gundan��F (k)(z)�� � 4k��� 1�221 + �110 �0��+ ��� 0�221 + 1�221 � �110 �1��+ �� 0�211 � 1�221 ��

+�� 1�211 ���+ 4k

( 1Xm=1

"���110 �1A120m��+ 1Xm=1

����110 �0A120m + �110 �1A110m��+

1Xm=1

�� 1�211 A121m + 1�221 A221m + �110 �0A110m � �110 �1A120m��+

1Xm=1

��� 0�211 A121m � 0�221 A221m + 1�211 A111m + 1�221 A211m � �110 �1A110m��+

1Xm=1

�� 0�211 A111m + 0�221 A211m � 1�211 A121m � 1�221 A221m��+

1Xm=1

��� 1�211 A111m � 1�221 A211m ��#)

(4.16)

bulunur. Ayr¬ca n � 0 olmak üzere

k � n+h���m2

���i� m

4

ve buradan 12� � < 1 olmak üzere

�k� � �m�

4

olup (4.7) esitsizli¼gi kullan¬larak

��Aijnm�� �1X

k=n+[jm2 j]exp(�"k�) exp("k�) (j1� akj+ j1 + bkj+ jpkj+ jqkj)

� C exp[�"4(m�)] (4.17)

elde edilir. Dolay¬s¬yla (4.16) ve (4.17) den,

��F (k)(z)�� � C4k + C4k 1Xm=1

mke�"4m�

(4.18)

35

bulunur. Burada

Dk = C4k

1Xm=1

mke�"4m�

olsun. Literatürde, G : [a; b]! R sürekli bir fonksiyon ise

limn!1

b� an

nXm=1

G

�a+m

b� an

�=

bZa

G(t)dt

durumunun sa¼gland¬¼g¬bilinmektedir. O zaman a = 0; b = n ve G(t) = tke�"4t� için

Dk = C4k limn!1

nXm=1

mke�"4m�

= C4k limn!1

nXm=1

G(m)

= C4knZ0

tke�"4t�dt

� C4k1Z0

tke�"4t�dt

olup y = "4t� dönüsümü yap¬larak,

t =

�4y

"

� 1�

;

dt =1

�

�4

"

� 1�

y1��1

oldu¼gundan

Dk � C4k�4

"

� k+1� 1

�

1Z0

yk+1��1e�ydy (4.19)

elde edilir. (4.19) esitsizli¼ginde, a = k+1�� 1 için a > 1 oldu¼gu aç¬kt¬r. Dolay¬s¬yla

�(a) =

1Z0

ya�1e�ydy

36

Gamma fonksiyonu olmak üzere �(a+ 1) = a! oldu¼gundan

Dk � C4k�4

"

� k+1� 1

��(a+ 1)

= C4k�4

"

� k+1� 1

�a!

� C4k�4

"

� k+1� 1

�aa

� C4k�4

"

� k+1� 1

�(a+ 1)a

= C4k�4

"

� k+1� 1

�

�k + 1

�

� k+1��1

= C4k�4

"

� k+1�

(k + 1)�1�1

�(k + 1)

� k+1�

olur. Burada 12� � < 1 olmak üzere 2 � 1

�için

Dk � C4k�4

"

� k+1�

21�(k+1) (k + 1)�1 (k + 1)

k+1�

� C4k�4

"

� k+1�

(k + 1)�1 22(k+1) (k + 1)k� (k + 1)

1�

= C42k+1�4

"

� k+1�

(k + 1)1��1 (k + 1)

k�

olup literatürdeki

(1 + k)1��1 < e

k�

esitsizli¼gi kullan¬larak

Dk � C42k+1�4

"

� k+1�

ek� (k + 1)

k� (4.20)

yaz¬labilir. Yine literatürdeki �1 +

1

k

�k< e

esitsizli¼ginden �1 +

1

k

� k�

< e1�

olup

(k + 1)k� < k

k� e

1� (4.21)

37

durumu elde edilir. Ayr¬ca

kk < k!ek

oldu¼gundan

kk� < (k!)

1� e

k�

olup (4.21) den,

(k + 1)k� < (k!)

1� e

k+1�

bulunur. O halde son esitsizlik (4.20) de göz önüne al¬n¬rsa

Dk � C42k+1�4

"

� k+1�

ek� (k!)

1� e

k+1�

= C42k+1�4

"

� k+1�

e2k+1� k! (k!)

1��1

= 4Ce1�

�4

"

� 1�

"16e

2�

�4

"

� 1�

#kk! (k!)

1��1

= Ddkk! (k!)1��1

� Ddkk!kk(1��1)

olup k � 1 için k!kk(1��1) � 1 durumu da göz önünde bulundurulursa (4.18) den,

��F (k)(z)�� � C4k +Ddkk!kk(1��1)

� C4kk!kk(1��1) +Ddkk!kk(

1��1)

� Ddkk!kk(1��1) (4.22)

elde edilir. BuradaD > 0 ve d > 0 ifadeleri C; " ve � ifadelerine ba¼gl¬d¬r. Dolay¬s¬yla

Teorem 2.5 teki �k ifadesi için,

�k = Ddkk!kk(

1��1)

düsünülecektir.

Teorem 4.4 (4.15) sa¼gland¬¼g¬taktirde A4 = ? olur.

·Ispat. F fonksiyonu özdes olarak s¬f¬r de¼gildir. Dolay¬s¬yla Teorem 2.5 gere¼gince,

38

k 2 N [ f0g için

t(s) = infk

�ksk

k!

= infk

Dk!kk(1��1) (ds)k

k!

= D infk

hkk(

1��1) (ds)k

iolmak üzere Teorem 2.5 teki integralin aral¬¼g¬! > 0 için [0; !) olarak al¬n¬rsa

!Z0

ln t(s)d�(A4;s) > �1 (4.23)

bulunur. Burada t(s) fonksiyonuna paralel olarak x 2 [0;1) için

h(x) = xx(1��1)(ds)x (4.24)

fonksiyonu göz önüne al¬ns¬n. t(s) fonksiyonunun aç¬kça yaz¬labilmesi için h(x)

fonksiyonunun minimumunun bulunmas¬yeterlidir. Bunun için öncelikle h(x) fonksi-

yonunun ekstremum noktalar¬bulunmal¬d¬r. (4.24) ten,

lnh(x) = x ln�dsx

1��1�

olup

h0(x)

h(x)= ln

�dsx

1��1�+x(1

�� 1)dsx 1

��2

dsx1��1

=1

�� 1 + ln

�dsx

1��1�

bulunur. Yani

h0(x) = xx(1��1)(ds)x

�1

�� 1 + ln

�dsx

1��1��

seklindedir. O halde h0(x0) = 0 için

1

�� 1 + ln

�dsx

1��1

0

�= 0

bulunup

ln�dsx

1��1

0

�=� � 1�

yaz¬l¬r. Buradan

e��1� (ds)�1 = x

1���0

39

olup h(x) fonksiyonunun ekstremum noktas¬

x0 = e�1(ds)

��1��

olarak bulunur. Ayr¬ca

h00(x) = xx(1��1)(ds)x

�1

�� 1 + ln

�dsx

1��1��2

+ xx(1��1)(ds)x

(1�� 1)dsx 1

��2

dsx1��1

= xx(1��1)(ds)x

(�1

�� 1 + ln

�dsx

1��1��2

+ (1

�� 1)x�1

)

olup 12� � < 1 için 1

�> 1 oldu¼gundan

h00(x0) = e(1� 1

�)e�1(ds)

��1���(1

�� 1)e(ds)

�1��

�> 0

elde edilir. Yani x0, h(x) fonksiyonunun minimum noktas¬d¬r. O halde

minx2[0;1)

h(x) = h(x0)

=he�1(ds)

��1��

i 1���e�1(ds)

��1��

(ds)e�1(ds)

��1��

= exp

��1� �

�e�1d

��1�� s

��1��

�(ds)�e

�1(ds)��1��(ds)e

�1(ds)��1��

= exp

��1� �

�e�1d�

�1�� s�

�1��

�

bulunur. Dolay¬s¬yla

t(s) = D exp

��1� �

�e�1d�

�1�� s�

�1��

�(4.25)

olur. O halde (4.23) ve (4.25) ten,

!Z0

ln

�D exp

��1� �

�e�1d�

�1�� s�

�1��

��d�(A4;s) > �1

40

olup ayr¬ca Teorem 4.1 de �(A4) = 0 oldu¼gundan

1 > �!Z0

�lnD +

��1� �

�e�1d�

�1�� s�

�1��

��d�(A4;s)

= � lnD!Z0

d�(A4;s) +

!Z0

1� ��e�1d�

�1�� s�

�1�� d�(A4;s)

= � lnD [�(A4;!)� �(A4)] +1� ��e�1d�

�1��

!Z0

s��

1�� d�(A4;s)

= ��(A4;!) lnD +1� ��e�1d�

�1��

!Z0

s��

1�� d�(A4;s)

elde edilir. Bu durum ise!Z0

s��

1�� d�(A4;s) <1 (4.26)

olmas¬n¬gerektirir. Fakat burada �1�� � 1 oldu¼gundan (4.26) kosulu ancak A4 = ?

oldu¼gunda,yani �(A4;s) = 0 oldu¼gunda sa¼glan¬r. Gerçekten; e¼ger A4 6= ? olsayd¬

�(A4;s) � 2s

ve buradan da

d�(A4;s) � 2ds

olurdu. Dolay¬s¬yla 1� �1�� < 0 esitsizli¼gi göz önünde bulundurularak

1 >

!Z0

s��

1�� d�(A4;s)

� 2

!Z0

s��

1�� ds

=2 (1� �) s1�

�1��

1� 2�

�����!

0

=2 (1� �)

(1� 2�) s�

1���1

�����!

0

olur. Fakat bu durum ise bir çeliskidir. Yani, A4 = ? dir.

Teorem 4.5 (4.15) kosulu alt¬nda (4.1), (4.2) s¬n¬r de¼ger problemi, sonlu say¬da

sonlu katl¬özde¼gerlere ve spektral tekilliklere sahiptir.

41

·Ispat. (4.9) ve (4.10) gere¼gince teoremin ispat¬için, (4.15) kosulu alt¬nda F fonksi-

yonunun P bölgesinde sonlu say¬da sonlu katl¬ s¬f¬rlara sahip oldu¼gu gösterilmesi

yeterlidir. Teorem 4.1 ve Teorem 4.5 gere¼gince A3 = ? olur. Dolay¬s¬yla A1 ve A2

s¬n¬rl¬kümeleri bir limit noktas¬na sahip de¼gillerdir. Bu yüzden Bolzano-Weirstrass

Teoremi gere¼ginceA1 veA2 kümeleri sonlu olmal¬d¬r, yani F fonksiyonu P bölgesinde

sonlu say¬da s¬f¬ra sahiptir. Ayr¬ca Teorem 4.5 gere¼gince A4 = ? oldu¼gundan F

fonksiyonunun P bölgesindeki s¬f¬rlar¬sonlu katl¬d¬r.

42

KAYNAKLAR

Ad¬var, M. and Bairamov, E. 2001. Spectral properties of non-selfadjoint di¤erence

operators. J. Math. Anal. Appl. 261; 461-478.

Ad¬var, M. and Bairamov, E. 2003. Di¤erence equations of second order with

spectral singularities. J. Math. Anal. Appl. 277; 714-721.

Ad¬var, M. and Bohner, M. 2006a. Spectral analysis of q-di¤erence equations with

spectral singularities. Math. Comput. Modelling 43 (7-9); 695-703.

Ad¬var, M. and Bohner, M. 2006b. Spectrum and principal vectors of second order

q-di¤erence equations. Indian J. Math. 48 (1); 17-33.

Agarwal, R.P. and Wong, P.J.Y. 1997. Advanced Topics in Di¤erence Equations.

Kluwer, Dordrecht.

Agarwal, R.P. 2000. Di¤erence equation and inequalities. Theory, Methods and

Applications. Marcel Dekkar Inc., New York, Basel.

Agarwal, R.P., Perera, K. and O�Regan, D. 2004. Multiple positive solutions of sin-

gular and nonsingular discrete problems via variational methods. Nonlinear

Analysis 58; 69-73.

Agarwal, R.P., Perera, K. and O�Regan, D. 2005. Multiple positive solutions of

singular discrete p-Laplasian problems via variational methods. Advances in

Di¤erence Equations, 2005:2; 93-99.

Akbulut, A., Ad¬var, M. and Bairamov, E. 2005. On the spectrum of the di¤erence

equations of second order. Publ. Math. Debrecen 67/3-4; 253-263.

Akhiezer, N.I. 1965. The Classical Moment Problem and Some Related Questions

in Analysis, New York.

43

Bairamov, E. and Celebi, A.O. 1999. Spectrum and spectral expansion for the

non-selfadjoint discrete Dirac operators. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 50;

371-384.

Bairamov, E., Cakar, O. and Krall, A.M. 2001. Non-selfadjoint di¤erence operators

and Jacobi matrices with spectral singularities. Math. Nachr. 229; 5-14.

Bairamov, E. and Coskun, C. 2004. Jost solutions and the spectrum of the system

of di¤erence equations. Appl. Math. Lett. 17; 1039-1045.

Bairamov, E. and Coskun, C. 2005. The structure of the spectrum of a system of

di¤erence equations. Appl. Math. Lett. 18; 387-394.

Balc¬, M. 1999. Matematik Analiz 1. Balc¬Yay¬nlar¬, Ankara.

Berezanski, Y.M. 1985. Integration of nonlinear di¤erence equations by the inverse

spectral problem method. Soviet Math. Dokl. 31; 264-267.

Dolzhenko, E.P. 1979. Boundary value uniqueness theorems for analytic functions.

Math. Notes 26 (6); 437-442.

Guseinov, G.S. 1976a. The determination of an in�nite Jacobi Matrix from the

scattering date. Sov. Math. Dokl. 17; 596-600.

Guseinov, G.S. 1976b. The inverse problem of scattering theory for a second order

di¤erence equation on the whole axis. Sov. Math. Dokl. 17; 1684-1688.

Kelley, W.G. and Peterson, A.C. 2001. Di¤erence Equations. An Introduction with

Applications. Harcourt Academic Press.

Krall, A.M., Bairamov, E. and Cakar, O. 2001. Spectral analysis of non-selfadjoint

discrete Schrödinger operator with spectral singularities. Math. Nachr. 231;

89-104.

Levitan, B.M. and Sargsjan, I.S. 1975. Introduction to Spectral Theory. Transla-

tions of Mathematical Monographs, 39.

44

Lusternik, L.A. and Sobolev, V.J. 1974. Elements of functional analysis. Transla-

tion of elementy funktsional�nogo analiza.

Lyance, V.E. 1967. A di¤erential operator with spectral singularities. I, II, AMS

Transl. 2 (60); 185-225, 227-283.

Naimark, M.A. 1960. Investigation of the spectrum and the expansion in eigenfunc-

tions of a non-selfadjoint operator of second order on a semi-axis. AMS Transl.

2 (16); 103-193.

Naimark, M.A. 1968. Linear Di¤erential Operators. II, Ungar, New York.

Pavlov, B.S. 1975. On seperation conditions for spectral components of a dissipative

operator. Math. USSR Izvestiya. 9; 113-137.

Toda, M. 1981. Theory of Nonlinear Lattices. Springer-Verlag, Berlin.

45

46  

ÖZGEÇMİŞ

Adı Soyadı : Turhan KÖPRÜBAŞI

Doğum Yeri : Üsküdar

Doğum Tarihi: 02/05/1983

Medeni Hali : Bekar

Yabancı Dili : İngilizce

Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl):

Lise : Mehmet Emin Resulzade Anadolu Lisesi (2000)

Lisans : Hacettepe Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü (2004)

Yüksek Lisans: Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim

Dalı (2006)

Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl:

Halkbank-Mali Tahlil Asistanı (2009)

Ankara Üniversitesi Kalecik Meslek Yüksek Okulu-Okutman (2009)

Yayınları:

Bairamov, E. and Koprubasi, T. 2010. Eigenparameter dependent discrete Dirac equations

with spectral singularities. Appl. Math. and Comp. 215; 4216-4220.

Bairamov, E., Aygar Y., Koprubasi T. Spectrum of the eigenparameter dependent discrete

Sturm-Liouville equations. J. Comp. and Appl. Math. (Yayın Aşamasında)