ZHAW_Mathe2_Ordner

UNISEMINAR

Sem

inar

Theorie

Aufgaben

Übu

ngen

Prüfung

enExtras

Einleitung

Wirtschaftsmathematik II

FS 2012

Winterthur, April 2012

Einleitung uniseminar.ch

Herzlich Willkommen bei Uniseminar

Vorwort

Ziel von Uniseminar ist es, Dich optimal auf Deine Prüfungen vorzubereiten und Deine Prü-

fungsvorbereitung an der ZHAW so e�zient wie möglich zu gestalten. Um dieses Ziel zu errei-

chen, haben wir ein dreiteiliges Konzept entwickelt, das sich nun mehrere Jahre als grosse Hilfe

für die Studenten bewährt hat. Dieses besteht zum einen aus sehr umfangreichen Lernunter-

lagen in Form eines Ordners, perfekt darauf abgestimmten Karteikarten und dazu passenden

Prüfungsvorbereitungsseminaren am Ende des Semesters. Damit werden sämtliche Inhalte aus

den Vorlesungen und Übungen in einfacher und anschaulicher Form kompakt zusammengefasst.

Gleich zu Beginn des Semesters bieten wir Dir deshalb unsere umfangreichen Lernunterlagen

in Form eines Ordners und perfekt darauf abgestimmten Karteikarten an. Diese beiden Lehr-

mittel solltest Du im Selbststudium bereits während des Semesters begleitend zur Vorlesung

verwenden.

Am Ende des Semesters empfehlen wir Dir zur gezielten Prüfungsvorbereitung unsere Seminare

zu besuchen, wo wir Dir in acht Stunden nochmals die essentiellsten Aufgaben und Konzepte

näherbringen und Dich so optimal auf Deine Prüfungen vorbereiten. Dieser dreiteilige Ansatz

ermöglicht Dir mit einer ausgewogenen Mischung verschiedener auf einander abgestimmter Me-

dien Deinen Lernerfolg nachhaltig zu verbessern.

-1-


Aufbau

Dieser Ordner soll Dir als Lernhilfe zur e�zienten Prüfungsvorbereitung der Mathematikprü-

fungen dienen und umfasst 5 Teile. Wir möchten Dir im Folgenden einen Überblick über den

Aufbau des Ordners geben.

1. Theorie: Das Theorieskript fasst in einfacher und übersichtlicher Form den gesamten

Sto� des FS 2012 zusammen und erklärt diesen anhand anschaulicher Beispiele. Am Ende

�ndest Du ein Stichwortverzeichnis, welches Dir bei allfälligen Fragen schnellstmöglichst

Zugri� auf das erforderliche Wissen verscha�t. Das Theorieskript umfasst 5 Kapitel, die

im Seminar der Reihe nach bearbeitet werden.

2. Aufgaben: Zu allen Kapiteln in unserem Theorieskript haben wir abgestimmte Übungs-

aufgaben erstellt. Wir empfehlen Dir diese Aufgaben gleich nach den erfolgten Seminar-

blöcken zu lösen, um anschliessend Fragen an unsere Dozenten stellen zu können. Diese

sind gerne während den Pausen und auch nach den o�ziellen Seminarstunden für Dich

da, um Dir bei Deinen persönlichen Problembereichen weiterzuhelfen.

3. Übungen: In den vergangenen Jahren hat es sich gezeigt, dass die Übungsserien der

ZHAW zunehmend wichtiger für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung geworden sind.

Die Mathematik Professoren haben die aktuellsten Prüfungsaufgaben vermehrt unter Be-

rücksichtigung der Serien konzipiert. Der Grund dafür liegt darin, dass die Anwesenheit

der Studenten während der Übungen sich lohnen und auszahlen soll. Aus diesem Grund

haben wir Dir sämtliche Aufgaben mit ausführlichen Lösungswegen zusammengestellt.

4. Prüfungen: Beginne früh damit bisherige Prüfungen zu lösen, denn nur so gewinnst Du

das nötige Verständnis für deren Aufbau. Du wirst erkennen, was für die Prüfung relevant

ist und kannst Dich gezielt darauf vorbereiten. Dazu haben wir Dir alle verfügbaren

Assessment-Prüfungen mit ausführlichen Lösungswegen zusammengestellt.

5. Extras: Hier �ndest du die aktuellste Formelsammlung. Schau Dir die Formelsammlung

gut an und merke Dir die wichtigsten Formeln! Gewisse Formeln werden an der Prüfung

nämlich àls bekannt vorausgesetzt' und andere werden Dir an der Prüfung àusgeteilt'.

Keine Angst, Du musst nicht viel auswendig lernen.

-5-


Vorgehensweise

Wir empfehlen Dir mit dem Ordner und den Karteikarten wie folgt schrittweise vorzugehen um

einen perfekten Lernerfolg zu erzielen:

1. Theorie: Lies als erstes ein Theoriekapitel aufmerksam durch und versuche die theoreti-

schen Inhalte zu verstehen.

2. Prüfungen: Mit Deinem aktuellen theoretischen Wissensstand kannst Du nun ideal aus-

gewählte Prüfungsaufgaben lösen. So siehst Du gleich was Dich an der Prüfung erwartet

und kannst Dich bereits jetzt perfekt darauf einstellen. Dazu haben wir Dir am Ende von

jedem Theoriekapitel einige ausgewählte Prüfungsaufgaben zusammengestellt, die sich auf

das soeben behandelte Thema beziehen.

3. Karteikarten: Schaue Dir anschliessend die passenden Karteikarten an, welche wir Dir

am Ende des Theoriekapitels empfehlen und versuche die wichtigsten Punkte zu memo-

rieren. Die Karteikarten runden Dein bereits erlerntes Wissen perfekt ab und zeigen Dir

auf, wo du allenfalls noch Schwächen hast.

4. Aufgaben: Löse nun einige oder am besten alle unsere eigens erstellten Aufgaben passend

zum soeben gelesenen Theoriekapitel komplett durch. Diese umfassen exakt den in diesem

Theoriekapitel erlernten Sto�. So siehst Du gleich, an welchen Stellen Du allenfalls ein

Theoriekapitel nochmals gründlicher durchlesen solltest.

5. Mache eine Pause und beginne danach wieder mit einem weiteren Theoriekapitel.

-6-


Kontakt

Solltest Du noch Fragen zu unseren Lernunterlagen, Seminaren oder Dienstleistungen haben,

kannst Du uns jederzeit gerne kontaktieren. Dabei stehen Dir folgende Möglichkeiten zur Ver-

fügung:

• Schreibe eine E-Mail an: [email protected]

• Füge uns bei Skype hinzu und schreibe uns dort (Kontakt: Uniseminar)

• Schreibe uns eine SMS oder eine Nachricht bei Whatsapp/Viber an 079 296 01 99

• Ruf uns einfach an unter 079 296 01 99

• Werde Mitglied unserer Facebook Gruppe und nutze die Wall oder schreibe einem der

Koordinatoren (Du erkennst Sie am Ùniseminar' im Namen)

-9-

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Notizen uniseminar.ch


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FS 2012


Inhaltsverzeichnis

1 Folgen und Reihen 1

1.1 Reelle Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Arithmetische Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Geometrische Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Summen- und Produktnotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Arithmetische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Geometrische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Einführung in die Finanzmathematik 15

2.1 Zins- und Zinseszinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Einfache Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Zinseszinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3 Gemischte Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.4 Stetige Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Nachschüssige endliche Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2 Vorschüssige endliche Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3 Ewige Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21


3 Grundlagen der Di�erentialrechnung 25

3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Herleitung di�erenzierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.1 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.2 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.3 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


4 Untersuchung von Funktionen 47

4.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Krümmungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Symmetrieverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4.1 Symmetrieverhalten von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4.2 Symmetrieverhalten von gebrochenrationalen Funktionen . . . . . . . . . 55

4.5 Verhalten für ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6 Polstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.7 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.8 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.9 Vorgehensweise bei der Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.10 Bestimmung der Funktionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.11 Extremwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


5 Wirtschaftsmathematische Anwendungen 75

5.1 Interpretation der ökonomischen Grenzkostenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2 Kostenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3 Gewinnfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


Stichwortverzeichnis 82

Theorie: Folgen und Reihen uniseminar.ch

1 Folgen und Reihen

1.1 Reelle Zahlenfolgen

Folgen und Reihen (vor allem die geometrische Reihe) spielen eine zentrale Rolle in der Finanz-

mathematik. In dem Kapitel Èinführung in die Finanzmathematik' wird auf diesen Begri�en

aufgebaut. Insbesondere bei den Klausuraufgaben zur Rentenrechnung wird ein sicherer Um-

gang mit den Formeln und Anwendungen der geometrischen Reihe verlangt.

Grob gesagt ist eine Zahlenfolge eine Liste von Zahlen. Diese Liste kann nur endlich viele oder

sogar unendlich viele Zahlen beinhalten, je nachdem spricht man von einer endlichen oder einer

unendlichen Folge. Als einführendes Beispiel betrachten wir(1, 1

2, 1

3, 1

4, . . .

).

an

n0 2 4 6 8 10 12 14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

O�ensichtlich ist der n-te Eintrag in dieser Folge 1n. Diese Folge spielt aus theoretischen Gründen

in der Mathematik häu�g eine wichtige Rolle und hat daher einen eigenen Namen, sie wird

harmonische Folge genannt.

Die Funktionen, die wir bisher in Wirtschaftsmathematik I kennen gelernt haben, haben jeder

Zahl x ∈ R eine Zahl f(x) ∈ R zugeordnet. Folgen können ebenfalls als Funktionen aufgefasst

werden, wobei wir jedoch nur x ∈ N zulassen. Nichts anderes ist geschehen, als wir festgelegt

haben, dass der n-te Eintrag der harmonischen Folge 1nsein soll. Diese Überlegungen machen

die folgende formale De�nition plausibel:

De�nition 1.1. (Zahlenfolge). Eine reelle Zahlenfolge (an)n∈N ist eine Funktion a : N → R.Die Funktionswerte werden auch Folgenglieder genannt. Falls ein N0 ∈ N existiert, so dass für

alle k ≥ N0 stets ak = 0 gilt, so spricht man von einer endlichen Folge.

Es gibt zwei mögliche Arten Folgen zu de�nieren:

1. Explizite De�nition

Eine Folge heisst explizit de�niert, wenn das allgemeine Glied an durch einen Ausdruck

der Veränderlichen n gegeben ist, d.h. man kann jedes an direkt berechnen.

-1-

Theorie: Folgen und Reihen uniseminar.ch

Beispiele:

(a) an = 3n

Wir berechnen exemplarisch die ersten 4 Folgenglieder

a1 = 3 a2 = 6 a3 = 9 a4 = 12.

(b) an = (−1)n · n2

Die ersten vier Folgenglieder sind gegeben durch

a1 = −1 a2 = 4 a3 = −9 a4 = 16.

Die Folgenglieder haben o�ensichtlich wechselnde Vorzeichen.

2. Rekursive De�nition

Manchmal ist keine explizite Formel zur Berechnung von Folgen vorgegeben, sondern nur

eine Vorschrift, wie sich ein Folgenglied aus den vorherigen berechnen lässt. In diesem

Fall spricht man von einer rekursiven De�nition. Bei einer rekursiv de�nierten Folge muss

man also, will man ein bestimmtes Folgenglied an berechnen, möglicherweise bestimmte

Vorgänger des gesuchten Folgengliedes kennen.

Beispiele:

(a) Die rekursive De�nition a1 = 1, an+1 = an + 3 führt zu

a2 = 4 a3 = 7 a4 = 10 a5 = 13.

(b) Als zweites Beispiel betrachten wir die Folge, die durch die folgende rekursive De�-

nition a1 = a2 = 1 festgelegt wird: an+2 = an + an+1.

Hierbei handelt es sich um die Fibonacci-Folge. Diese Folge �ndet man oft in der

Natur oder in der Kunst wieder. Für die ersten Folgenglieder gilt

a3 = 2 a4 = 3 a5 = 5 a6 = 8.

Rekursive De�nitionen sind nur bei Folgen üblich. Bei Funktionen mit Wertebereich

W ⊂ R werden rekursive De�nitionen zwar ab und zu benötigt. Diese werden jedoch

in Wirtschaftsmathematik II nicht behandelt.

-2-

Theorie: Grundlagen der Di�erentialrechnung uniseminar.ch

3 Grundlagen der Di�erentialrechnung

3.1 Einführung

In diesem Kapitel befassen wir uns mit den Grundlagen der Di�erentialrechnung, welche die

Grundlage für das Kapiel 4 zur Untersuchung von Funktionen bildet. Motivation für diese Un-

tersuchungen ist die Kenntnis von Funktionen: Manchmal reicht es aus, gewisse Punkte einer

Funktion zu kennen um sie hinreichend genau charakterisieren zu können. Ein Ansatz durch das

Erstellen von Wertetabellen ist jedoch meist ungeeignet, da hier `beliebige' Punkte betrachtet

werden.

Der Ansatz, welcher im Weiteren verfolgt wird ist dieser: Wir versuchen ìnteressante' Punkte

der Funktion herauszu�nden (z.B. Nullstellen, Maxima und Minima, aber auch Terrassen- und

Wendepunkte) sowie das Langzeitverhalten der Funktion zu untersuchen. Zusätzlich erarbei-

ten wir uns Instrumente, mit welchen wir Aussagen über Steigungs- und Krümmungsverhalten

von Funktionen aufstellen können, so dass wir schliesslich einen Werkzeugkasten haben, mit

dem wir Funktionen präzise untersuchen und genau skizzieren können, obwohl wir lediglich die

Funktionsvorschrift haben und nicht etwa über Wertetabellen oder einen gezeichneten Graphen

verfügen. Die Stärke dieser Methoden liegt in ihrer Allgemeinheit, da sie auf eine Vielzahl von

Klassen von Funktionen anwendbar sind.

Bevor mit diesen Untersuchungen begonnen werden kann, müssen wir jedoch zunächst die

Grundlagen legen, indem wir stetige und di�erenzierbare Funktionen de�nieren und den Um-

gang mit ihnen üben.

3.2 Stetige Funktionen

Im Folgenden werden wir ausschliesslich Funktionen f : D → R untersuchen. Der De�nitions-

bereich D von f soll dabei stets eine Teilmenge der reellen Zahlen sein. Bevor verschiedene

Klassen von Funktionen eingeführt und untersucht werden, wird zuerst der Begri� der Stetig-

keit de�niert. Die Funktionen, mit denen wir uns im Folgenden beschäftigen wollen, werden alle

auf ihrem De�nitionsbereich D stetig sein. Da die mathematischen Grundlagen für eine saubere

De�nition nicht gelegt sind, kann der Begri� hier nicht mathematisch präzise eingeführt werden.

Wir beschränken uns auf eine etwas `�apsige' De�nition, die sich aber für unsere Ansprüche als

hinreichend herausstellen wird:

Eine Funktion f : D → R heisst stetig auf D, wenn der Graph von f gezeichnet

werden kann, ohne dass der Stift abgesetzt werden muss.

Beispiele für Funktionen, die nicht stetig auf ganz R sind, sind z.B. gebrochenrationale Funk-

tionen oder Logarithmusfunktionen, welche nur für positive reelle Zahlen de�niert sind. Diese

sowie weitere Klassen von Funktionen wollen wir nun diskutieren.

-25-

Theorie: Untersuchung von Funktionen uniseminar.ch

4 Untersuchung von Funktionen

Im letzten Kapitel wurde der Werkzeugkasten bereitgestellt, mit dem nun Funktionen prä-

zise untersucht werden können. Die Methoden der Di�erentialrechnung erlauben eine genaue

Untersuchung des Steigungs- und Krümmungsverhaltens von Funktionen. Auch das Au�nden

von Extremalstellen kann (bei bekannten Ableitungen der Funktion) auf das Au�nden von

Nullstellen zurückgeführt werden.

4.1 Monotonie

Eine Funktion heisst streng monoton wachsend, wenn die Funktion f(x) bei einem grösseren

Wert von x ebenfalls einen grösseren Wert annimmt. Entsprechend heisst f(x) streng monoton

fallend, wenn f(x) für einen grösseren Wert von x einen kleineren Wert annimmt. Der Voll-

ständigkeit halber sei noch erwähnt, dass man Funktionen, die nicht mit f(x) fallen monoton

steigend nennt (und analog von einer monoton fallenden Funktion spricht, wenn die Funktion

nicht steigt). Der Unterschied zwischen Monotonie und strenger Monotonie ist also lediglich,

dass monotone Funktionen auch �ach verlaufen dürfen. Nochmals übersichtlich dargestellt:

Eine Funktion f : D→ R heisst

• streng monoton wachsend, wenn für alle x1, x2 ∈ D mit x1 < x2 stets gilt

f(x1) < f(x2).

• monoton wachsend, wenn für alle x1, x2 ∈ D mit x1 < x2 stets gilt

f(x1) ≤ f(x2).

• streng monoton fallend, wenn für alle x1, x2 ∈ D mit x1 < x2 stets gilt

f(x1) > f(x2).

• monoton fallend, wenn für alle x1, x2 ∈ D mit x1 < x2 stets gilt

f(x1) ≥ f(x2).

Beispiele:

1. Monoton wachsend:

x

f(x)

-47-


2. Monoton fallend:

x

f(x)

3. Wir betrachten die Funktion f : R→ R, x 7→ x2 und stellen fest, dass f auf [0,∞[ streng

monoton wächst und auf ]−∞, 0] streng monoton fällt.

x

f(x)

Wir werden jetzt den Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung einer Funktion und ihrem

Steigungsverhalten herausarbeiten. Es kann dabei hilfreich sein, sich die einzelnen Argumente

jeweils am Beispiel des Graphen der Funktion f(x) = x2, der oben abgetragen wurde, zu

veranschaulichen. Wenn wir uns einen Punkt auf der rechten Hälfte des Graphen anschauen, so

fällt folgendes auf: Erstens ist die Funktion in diesem Punkt streng monoton steigend. Zweitens

ist die Steigung der Tangente in diesem Punkt positiv. Die Steigung der Tangente ist aber

genau der Wert der ersten Ableitung der Funktion in diesem Punkt. Der Zusammenhang gilt

immer: Wenn die Funktion streng monoton steigend ist, so ist ihre erste Ableitung positiv.

Analog zu dieser Argumentation kann man an der linken Hälfte des Graphen beobachten, dass

in einem Punkt, in welchem die Funktion streng monoton fallend ist, die erste Ableitung einen

negativen Wert annimmt. Insgesamt gilt:

-48-


Satz 4.1.Ist f : [a, b]→ R stetig und in ]a, b[ di�erenzierbar, so gilt für alle x ∈]a, b[:

• Ist f ′(x) > 0, so ist f in [a, b] streng monoton wachsend.

• Ist f ′(x) ≥ 0, so ist f in [a, b] monoton wachsend.

• Ist f ′(x) < 0, so ist f in [a, b] streng monoton fallend.

• Ist f ′(x) ≤ 0, so ist f in [a, b] monoton fallend.

Beispiele:

1. Die Funktion f(x) = x2 hat die erste Ableitung f ′(x) = 2x. Für x > 0 ist f ′(x) > 0. Also

ist f(x) auf dem Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend. Für x < 0 ist f ′(x) < 0, also

ist f(x) auf dem Intervall ]−∞, 0[ streng monoton fallend. Damit ist nochmals analytisch

festgehalten, was wir oben am Graphen bereits beobachtet haben.

2. f(x) = ex hat die erste Ableitung f ′(x) = ex. Es ist egal, welcher Wert für x eingesetzt

wird, es ist stets ex > 0. Damit ist schon gezeigt, dass f(x) auf ganz R streng monoton

steigend ist.

3. f(x) = 1xhat die Ableitung f ′(x) = − 1

x2. Diese Ableitung ist immer negativ (ausser im

Punkt x = 0 wo sowohl f(x) als auch f ′(x) nicht de�niert sind). Die Funktion f(x) ist

somit auf ihrem gesamten De�nitionsbereich streng monoton fallend.

4.2 Krümmungsverhalten

Neben der Monotonie lohnt es sich das Krümmungsverhalten von Funktionen zu studieren. Wir

unterscheiden zwei grundlegende Krümmungsarten:

1. Konvex gekrümmt (linksgekrümmt):

Der Graph einer Funktion ist auf einem abgeschlossenen Intervall konvex gekrümmt, falls

die Verbindungsstrecke zweier Punkte stets oberhalb des Graphen liegt (oder auf dem

Graphen selbst). Wir sprechen von strikter Konvexität, falls die Verbindungsstrecke nur

oberhalb des Graphen liegt. Hier ein Beispiel für strikte Konvexität:

-49-

Theorie: Wirtschaftsmathematische Anwendungen uniseminar.ch

5 Wirtschaftsmathematische Anwendungen

In diesem Kapitel widmen wir uns nun im Speziellen den ökonomischen Funktionen und wol-

len unsere Methodik zum Au�nden von Extremalstellen auch in der Praxis anwenden. Die

Ableitung wird in der Ökonomie meist mit Grenz- oder Marginalfunktion bezeichnet. In der

folgenden Tabelle sind die wichtigsten ökonomischen Funktionen und ihre jeweilige Ableitung

zur Übersicht zusammengetragen

Funktion De�nition Bezeichnung der ersten Ableitung

Gesamtkosten K(x) = Kf +Kv(x) Grenzkostenfunktion K ′

Durchschnittskosten,

Stückkosten

k(x) = K(x)x

Grenzstückkostenfunktion k′

Durchschnittliche va-

riable Stückkosten

kv(x) = Kv(x)x

variable Grenzstückkostenfunktion k′v

Erlös E(x) = x · p(x) Grenzerlösfunktion E ′

Gesamtgewinn G(x) = E(x)−K(x) Grenzgewinnfunktion G′

Stückgewinn g(x) = G(x)x

Grenzstückgewinnfunktion g′

5.1 Interpretation der ökonomischen Grenzkostenfunktion

In den vorangegangenen Kapiteln haben wir Ableitungen als Steigung der Funktion in einem

Punkt betrachtet. Jetzt wollen wir unsere Überlegungen hierzu noch einmal von einer ande-

ren Seite angehen: Die Steigung einer Tangente entspricht der Steigung der Funktion, in dem

Punkt, in welchem sie die Tangente berührt. In einer kleinen Umgebung von diesem Punkt

können wir die Tangente als Näherung für die eigentliche Funktion verwenden. Damit tun wir

so, als gäbe es (für ein kleines ∆x) keinen Unterschied zwischen dem Di�erenzen- und dem

Di�erentialquotienten, formal:

f(x0 + ∆x)− f(x0)

∆x≈ f ′(x0).

Durch Multiplikation von ∆x erhalten wir

f(x0 + ∆x)− f(x0) ≈ f ′(x0) ·∆x.

Die linke Seite der obigen Gleichung beschreibt nichts anderes als die Änderung des Funktions-

wertes, wenn wir x0 um ∆x vergrössern. Folglich besagt die Gleichung, dass wir die Änderung

des Funktionswertes durch die Ableitung annähern können.

-75-


x0 x0 + ∆x

f(x0)

f(x0 + ∆x)

f(x0 + ∆x)− f(x0)f ′(x0)∆x

Setzen wir z.B. ∆x = 1, so beschreibt f ′(x0) näherungsweise um wie viel sich der Funktionswert

ändert, wenn der x-Wert um eine Einheit erhöht wird.

Beispiel:

1. Gegeben ist die Preis-Absatz-Funktion p(x) = 150 − 0.5x in CHF/ME. Bestimmen Sie

den Preis, den Erlös und den Grenzerlös für x = 80 ME.

Da die Gleichung für den Preis bereits gegeben ist, berechnen wir diesen umgehend als

p(80) = 150− 0.5 · 80 = 110.

Die Erlösfunktion erhalten wir durch

E(x) = x · p(x) = x · (150− 0.5x) ⇒ E(80) = 80 · 110 = 8′800.

und die Grenzerlösfunktion durch

E ′(x) = 150− x⇒ E ′(80) = 150− 80 = 70.

Den Grenzerlös kann man so interpretieren, dass eine Steigerung der Produktion um eine

Einheit zu einer Steigerung des Erlöses um näherungsweise 70 CHF führt.

-76-


5.2 Kostenfunktion

Es gibt verschiedene Modelle (lineare, neoklassische,...) für Kostenfunktionen. Wir interessieren

uns für die sog. ertragsgesetzlichen Kostenfunktionen.

De�nition 5.1 (ertragsgesetzliche Kostenfunktion). Eine Kostenfunktion K : [0,∞[→ [0,∞[

heisst ertragsgesetzliche Kostenfunktion, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. K besitzt keine lokalen Extremwerte. Folglich liegen die absoluten Extremwerte an den

Rändern des De�nitionsbereiches.

2. K besitzt einen konkav-konvexen-Wendepunkt, dieser wird die Schwelle des Ertragsgeset-

zes genannt.

3. Es gilt K(x) ≥ 0, d.h. die Fixkosten sind positiv oder allenfalls Null.

Beispiel:

Gegeben ist eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion K mit

K(x) = 0.1x3 − 2.4x2 + 30x+ 640.

a) Zunächst wollen wir die Schwelle des Ertragsgesetzes bestimmen. Dazu bilden wir die ersten

drei Ableitungen von K:

K ′(x) = 0.3x2 − 4.8x+ 30 K ′′(x) = 0.6x− 4.8 K ′′′(x) = 0.6.

Als Nullstelle der zweiten Ableitung �nden wir x = 8. Die dritte Ableitung ist überall von

Null verschieden, es handelt sich also um einen Wendepunkt. Die Schwelle des Ertragsgeset-

zes liegt also bei x = 8.

b) Nun berechnen wir das Betriebsminimum, d.h. den Output xm, bei dem die variablen Stück-

kosten minimal werden. Wir suchen also das Minimum der Funktion

kv(x) = 0.1x2 − 2.4x+ 30. Die ersten zwei Ableitungen sind gegeben durch

k′v(x) = 0.2x− 2.4 k′′v (x) = 0.2 .

Wir �nden x = 12 als die einzige Nullstelle der ersten Ableitung und da k′′v (x) immer grösser

als Null ist, handelt es sich hierbei um das gesuchte Betriebsminimum.

c) Zuletzt wollen wir noch die Produktionsmenge bestimmen, für welche die Grenzkosten mini-

mal werden. Die Grenzkosten sind die erste Ableitung von K(x). Es gilt also ein x zu �nden,

so dass K ′′(x) = 0 und K ′′′(x) > 0 ist. Dies haben wir bereits in a) getan. Wir können uns

hier also die Arbeit sparen und auf das Ergebnis aus a) verweisen: Die Grenzkosten werden

für x = 84 minimal.

-77-


5.3 Gewinnfunktion

Als Ziel eines Unternehmens wird in der Theorie meistens die Gewinnmaximierung angenom-

men. Der Gewinn G(x) ist dabei de�niert als die Di�erenz zwischen den Einnahmen (Erlösen)

und den Ausgaben (Kosten), also

G(x) = E(x)−K(x).

Wir suchen den Punkt, an welchem der Gewinn maximal wird. Dazu muss wieder G′(x) = 0

gelten:

G′(x) = E ′(x)−K ′(x) = 0.

Dies ist gleichbedeutend mit

E ′(x) = K ′(x),

d.h. wir suchen die Stelle xM , wo Grenzerlös und Grenzkosten übereinstimmen. Damit es sich

um ein Maximum handelt, muss zusätzlich

G′′(x) = E ′′(x)−K ′′(x) < 0

oder dazu äquivalent

E ′′(x) < K ′′(x)

gelten. Beispiel: Für ein Produkt sei eine Gesamtkostenfunktion K und eine Preis-Absatz-

Funktion p gegeben durch

K(x) = x3 − 2x2 + 30x+ 98 p(x) = 100− 0.5x .

a) Um Erlös- und Gewinnfunktion zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor: Die Erlösfunktion

berechnet sich als die Anzahl der verkauften Stücke x, mal dem Preis, der für jedes einzelne

Stück verlangt werden kann:

E(x) = x · p(x) = 100x− 0.5x2.

Damit erhalten wir die Gewinnfunktion

G(x) = E(x)−K(x) = −x3 + 1.5x2 + 70x− 98.

b) Als nächstes wollen wir die obere und die untere Gewinnschwelle (d.h. diejenigen x-Werte

zwischen denen ein positiver Gewinn erwirtschaftet werden kann) bestimmen. Als Nullstellen

von G �nden wir x1 = −8.3239, x2 = 1.3971 und x3 = 8.4268. Die erste Nullstelle kommt

jedoch aus ökonomischen Gründen nicht in Frage, weil eine negative Stückzahl keinen Sinn

ergibt. Somit sind x2 und x3 die Gewinnschwellen.

-78-

Aufgaben

Übu

ngen

Prüfung

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A

Aufgaben


FS 2012


Inhaltsverzeichnis

1 Folgen und Reihen 1

2 Einführung in die Finanzmathematik 5

2.1 Zins- und Zinseszinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Grundlagen der Di�erentialrechnung 10

3.1 Aufgaben zum Kapitel stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Aufgaben zum Kapitel di�erenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Untersuchung von Funktionen 13

4.1 Aufgaben zum Kapitel Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Aufgaben zum Kapitel Bestimmung der Funktionsgleichung . . . . . . . . . . . . 16

4.3 Aufgaben zum Kapitel Extremwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Wirtschaftsmathematische Anwendungen 21

5.1 Aufgaben zum Kapitel ökonomische Grenz-/Kosten-/Gewinnfunktion . . . . . . 21

Aufgaben uniseminar.ch

1 Folgen und Reihen

1. Bestimmen Sie die Werte folgender Reihen

a)∑15

m=0 2 · 3n

b)∑∞

n=035n

c)∑∞

i=0 2 · 4n

d)∑∞

k=112n

e) 2− 25+ 2

25− 2

125+ ...

Lösung:

Eine endliche geometrische Reihe hat die Form sm =∑m

k=1 ak, wobei a1, a1 ·q, . . . a1 ·qm−1

eine geometrische Folge ist, und es gilt die Formel sm = a1 · 1−qm

1−q .

Eine unendliche geometrische Reihe hat die Form s =∑∞

k=1 ak und falls in der GF |q| < 1

gilt, so erfüllt sie die Formel s = a1 · 11−q . Für |q| ≥ 1 ist sie divergent.

a)

15∑n=0

2 · 3n = 2 + 2 · 3 + . . .+ 2 · 315︸︷︷︸a1=2, q=3, n=16

= 2 · 1− 316

1− 3= 316 − 1

b)

∞∑n=0

3

5n=∞∑n=0

3 ·(15

)n= 3 + 3 · 1

5+ 3 ·

(1

5

)2

+ . . .︸︷︷︸a1=3, q= 1

5<1

= 3 · 1

1− 15

= 3 · 145

= 3 · 54

=15

4

-1-


c)

∞∑i=0

2 · 4i = 2 + 2 · 4 + 2 · 42 + . . .︸︷︷︸a1=2, q=4

ist divergent, da |4| > 1

d)

∞∑k=1

1

2k=

1

2+

1

2· 12+

1

2·(1

2

)2

+ . . .︸︷︷︸a1=

12, q= 1

2<1

=1

2· 1

1− 12

=1

2· 11

2

=1

2· 21= 1

e) Auch hier handelt es sich um eine unendliche, geometrische Reihe:

a1 = 2 und q = −15. Also gilt:

s = a1 ·1

1− q= 2 · 1

1− 15

= 2 · 145

= 2 · 54=

10

4=

5

2.

2. Berechnen Sie die gegebenen Summen.

a)∑3

k=−1(−1)k · (k + 1) · 3k

b)7∑

k=1

26−k(1 + (−1)k

)

Lösung:

a)

3∑k=−1

(−1)k · (k + 1) · 3k = (−1)−1 · (−1 + 1) · 3−1 + (−1)0 · (0 + 1) · 30 + (−1)1 · (1 + 1) · 31

+ (−1)2 · (2 + 1) · 32 + (−1)3 · (3 + 1) · 33

= (−1) · 0 · 13+ 1 · 1 · 1 + (−1) · 2 · 3 + 1 · 3 · 9 + (−1) · 4 · 27

= 0 + 1− 6 + 27− 108

= −86

-2-


b) Der Ausdruck in der Klammer ist für ungerade k gleich Null und

für gerade k gleich 2. Somit folgt

7∑k=1

26−k(1 + (−1)k

)= 25 · 0 + 24 · 2 + 23 · 0 + 22 · 2 + 21 · 0 + 20 · 2 + 2−1 · 0

= 25 + 23 + 2 = 32 + 8 + 2 = 42.

3.

a) Von einer geometrischen Folge seien a1 = 2, n = 7 und an = 1′458 bekannt. Berechnen

Sie q und sn.

b) Eine Schuhfabrik produzierte 2009 von einem Modell 10'000 Stück. Die Produktions-

menge nahm dann jedoch jährlich um 15% (bezogen auf den Vorjahrswert) ab. Wie

viele Stücke wurden zwischen 2011 - 2015 noch produziert?

Lösung:

a) Da es sich um eine geometrische Folge handelt gilt a7 = a1 · q6. Folglich gilt:

a7a1

= q6

q =

(a7a1

) 16

q =

(1458

2

) 16

= 72916 = 3.

Weiter gilt:

s7 = a11− q7

1− q= 2 · 1− 37

2− 3= 2−2186−1

= 2 · 2186 = 4372.

b) Die Produktionsmenge der Schuhfabrik sei eine Folge a1, a2, . . ., wobei a1 = 10′000

die Menge ist, welche im Jahre 2009 produziert wurde. Im 2010 (a2) wurde nun 15%

weniger (−a1 · 0.15) produziert. Es gilt also:

a2 = a1 − a1 · 0.15 = a1 · (1− 0.15) = a1 · 0.85.

Man sieht leicht, dass die Produktionsmenge im Jahr 2011 (a3) durch

a3 = a2 · 0.85 = a1 · 0.852 = 10′000 · 0.852

gegeben ist. Es handelt sich also bei der Produktionsmenge um eine geometrische Fol-

ge mit q = 0.85 und a1 = 10′000.

-3-


3 Grundlagen der Di�erentialrechnung

3.1 Aufgaben zum Kapitel stetige Funktionen

1. Bestimmen Sie a ∈ R, für das ist die Funktion stetig ist:

f(x) =

13x3 + 2

3x für x ≥ 1

ax+ 0.5 für x < 1

Lösung: Es ist

limx→1+

(1

3x3 +

2

3x

)= 1 .

Es muss also gelten

limx→1−

ax+ 0.5 = 1

⇔ a+ 0.5 = 1 /−0.5

⇔ a = 0.5 .

2. Berechnen Sie

limx→−3

x2 − 9

x+ 3.

Lösung: Es ist für x 6= −3

x2 − 9

x+ 3=

(x− 3)(x+ 3)

x+ 3

= x− 3 .

Damit ist

limx→−3

x2 − 9

x+ 3= lim

x→−3x− 3

= −6 .

-10-


3. Welche der folgenden Funktionen sind stetig auf ganz R?

f(x) = |x2| g(x) = (ln(x))3

h(x) = eln(|x|) i(x) =

2x+ 1 falls x < 3

x2 − 2 sonst

j(x) =

2 für x ≤ 9

29x+ 0.001 sonst

k(x) = ln(|x|+ 1)

Lösung:

a) Die Funktion f ist stetig auf R, da das Polynom x2 und damit auch |x2| stetig ist.

b) Die Funktion g ist nicht stetig auf ganz R, da der Logarithmus für x ≤ 0 nicht einmal

de�niert ist (auf R+ ist g jedoch stetig).

c) Die Funktion h ist nicht stetig auf R, da sie im Nullpunkt nicht de�niert ist (die

Logarithmusfunktion ist dort nicht de�niert).

d) Die Funktion i ist stetig auf R, da sowohl das Polynom 2x + 1 als auch x2 − 2 stetig

sind und an der Stelle x = 3 die Werte der beiden Teilfunktionen übereinstimmen.

e) Die Funktion j ist nicht stetig. Zwar sind die beiden Teilfunktionen stetig, jedoch

stimmt der Funktionswert von beiden Funktionen in x = 9 nicht exakt überein.

f) Die Funktion k ist auf ganz R de�niert, da |x| + 1 nur Werte grösser oder gleich 1

annehmen kann. Sowohl die Logarithmusfunktion, als auch |x| + 1 sind stetig und

damit ist auch k stetig.

4. Entscheiden Sie, ob die nachstehenden Funktionen auf ihrem De�nitionsbereich stetig

sind oder nicht (Aufgabe aus dem Theorieskript der ZHAW):

a) f(x) = log(x2 − x− 6)

b) g(x) = | exp(7x19 − 18x2 − 13)|

c) Bestimmen Sie a und b so, dass die Funktion

f(x) =

2, für x ≤ 1

ax2 + b, für 1 < x < 2

2x+ 1, sonst

auf ganz R stetig ist.

-11-


5 Wirtschaftsmathematische Anwendungen

5.1 Aufgaben zum Kapitel ökonomische Grenz-/Kosten-/Gewinnfunktion

1. Eine monopolistische Unternehmung produziert ihren Output x (in ME) mit folgenden

variablen Stückkosten

kv(x) = 0.1x+ 0.4 .

Es fallen Fixkosten in Höhe von 150 Fr. an. Die Unternehmung ist in der Lage, ihren

Output x gemäss der Preis-Absatzfunktion

p(x) = 20− 0.2x2

am Markt abzusetzen.

a) Für welchen Output sind die Grenzkosten minimal?

b) Bei welcher produzierten und abgesetzten Menge ist der Stückgewinn maximal?

Lösung:

a) Die Kostenfunktion ist gegeben durch

K(x) = Kf + x · kv(x) = 150 + 0.1x2 + 0.4x

und damit die Grenzkostenfunktion durch

K ′(x) = 0.2x+ 0.4.

K ′(x) ist eine monoton steigende lineare Funktion, das Minimum wird also am linken

Rand des ökonomischen De�nitionsbereiches angenommen, bei x = 0.

b) Wir stellen die Erlös- und die Gewinnfunktion auf

E(x) = x · p(x) = 20x− 0.2x3

G(x) = E(x)−K(x) = −0.2x3 − 0.1x2 + 19.6x− 150,

um die Stückgewinnfunktion

g(x) =G(x)

x= −0.2x2 − 0.1x+ 19.6− 150

x

zu erhalten. Diese Funktion leiten wir nun ab und �nden

g′(x) = −0.4x− 0.1 +150

x2.

-21-


Mit einem TR-Programm �nden wir x = 7.129 als Nullstelle der Grenzstückkosten-

und somit Maximum der Stückkostenfunktion.

2. Gegeben sei die Kostenfunktion K(x) = x3 − 12x2 + 60x+ 98 für x ∈ [0, 12].

a) Zeigen Sie, dass K eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion ist.

b) Bestimmen Sie das Betriebsminimum Bm, d.h. den Output xm, bei dem die variablen

Stückkosten minimal werden.

c) Bestimmen Sie das Betriebsoptimum Bo, d.h. den Output xo, bei dem die gesamten

Stückkosten minimal werden.

Lösung:

a) Wir bilden zunächst die ersten drei Ableitungen von K:

K ′(x) = 3x2 − 24x+ 60 K ′′(x) = 6x− 24 K ′′′(x) = 6.

Anwenden der Mitternachtsformel zeigt uns, dass K ′ keine reellen Nullstellen hat. K ′

hat nur echt positive Funktionswerte, folglich ist K monoton steigend (1.). K hat auch

keine lokalen Extrema (sonst wären sie Nullstellen der ersten Ableitung), die Extrema

liegen folglich an den Rändern des De�nitionsbereiches (2.). Die zweite Ableitung hat

als einzige Nullstelle x0 = 4 und da die dritte Ableitung von K stets grösser Null ist,

hatK bei x0 = 4 einen konkav-konvex Wendepunkt (3.). Die FunktionK ist ausserdem

stets grösser Null (4.).

b) Die variablen Stückkosten sind gegeben durch die Funktion

kv(x) = x2 − 12x+ 60.

Wir bilden nun die ersten zwei Ableitungen

k′v(x) = 2x− 12 k′′v (x) = 2

und �nden xm = 6 als einzige Nullstelle der ersten Ableitung. Da die zweite Ablei-

tung in allen Punkten grösser Null ist, handelt es sich hierbei um ein Minimum. Das

Betriebsminimum liegt also bei Bm = (6, 24).

c) Die gesamten Stückkosten sind gegeben durch

k(v) = x2 − 12x+ 60 +98

x.

-22-

Übu

ngen

Prüfung

enExtras

Ü

Übungen


FS 2012


Inhaltsverzeichnis

Übung 01 - Summenzeichen 1

Übung 02 - Geometrische Folgen 9

Übung 03 - Zins- und Zinseszinsrechnung 20

Übung 04 - Rentenrechnung 29

Übung 05 - Di�erenzenquotient, Di�erentialquotient 40

Übung 06 - Grundlagen Di�erentialrechnung 46

Übung 07 - Ableitungsregeln 1 53

Übung 08 - Ableitungsregeln 2 59

Übung 09 - Untersuchung von Funktionen 64

Übung 10 - Bestimmung des Funktionsterms 80

Übung 11 - Extremwertprobleme 90

Übung 12 - Wirtschaftsmathematische Anwendungen 99

Übung 01 - Summenzeichen uniseminar.ch

Übung 01 - Summenzeichen

1. Berechnen Sie:

a)2∑

i=0

xi

b)7∑

k=5

akbk

c)3∑

j=1

(10− aj)

d)3∑

i=1

(a+ 1)

e)3∑

k=1

(ak − b)

f)3∑

j=1

a · xj

Lösung:

a)

2∑i=0

xi = x0 + x1 + x2 .

b)

7∑k=5

akbk = a5b5 + a6b6 + a7b7 .

c)

3∑j=1

(10− aj) = 30− a1 − a2 − a3 .

d)

3∑i=1

(a+ 1) = 3(a+ 1) .

e)

3∑k=1

(ak − b) = a1 + a2 + a3 − 3b .

f)

3∑j=1

a · xj = a(x1 + x2 + x3) .

-1-

Übung 01 - Summenzeichen uniseminar.ch

2.

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

xi 4 7 2 0 9 2 5 12 1

yi 3 0 5 6 3 11 1 5 4

Berechnen Sie mit den entsprechenden Werten aus der Tabelle:

a)9∑

i=1

xi

b)8∑

i=3

yi

c)9∑

i=1

xiyi

d)6∑

i=2

(xi + yi)

e)7∑

i=2

(xi − yi)

f)4∑

i=1

(xi + yi)2

g)9∑

i=1

(xi − 3)

h)5∑

i=1

(3xi + 1)

i)4∑

i=1

(2xi + 3yi)

Lösung:

a)

9∑i=1

xi = 42 .

b)

8∑i=3

yi = 31 .

c)

9∑i=1

xiyi = 12 + 0 + 10 + 0 + 27 + 22 + 5 + 60 + 4

= 140 .

d)

6∑i=2

(xi + yi) = 7 + 7 + 6 + 12 + 13

= 45 .

-2-

Übung 03 - Zins- und Zinseszinsrechnung uniseminar.ch

Übung 03 - Zins- und Zinseszinsrechnung

1. Ergänzen Sie die fehlenden Werte ((EZ) = Einfache Verzinsung, (ZZ) = Zinseszins):

Anfangskapital: Zinsfuss: Laufzeit: Endkapital: Verzinsungsmodus:

K0[Fr.] p n[Jahre] Kn[Fr.]

a) 32′000.- 4.75 50′240.- EZ

b) 22′450.- 7 27′950.25 EZ

c) 5′860.- 5.25 9′287.45 ZZ

d) 8.5 6 104′750.- ZZ

e) 12′700.- 14 24′319.80 ZZ

Lösung:

a) Man verwendet die Formel für die einfache Verzinsung und stellt um:

K0 ·(1 +

p

100· n)= Kn

⇔ 32′000 · (1 + 0.0475 · n) = 50′240 /: 32′000

⇔ 1 + 0.0475n =157

100/−1

⇔ 19

400n =

57

100

/·40019

⇔ n = 12 .

b)

K0 ·(1 +

p

100· n)= Kn

⇔ 22′450 ·(1 +

p

100· 7)= 27′950.25 /: 22′450

⇔ 1 +7p

100=

249

200/−1

⇔ 7p

100=

49

200

/·1007

⇔ p = 3.5 .

-20-


c)

K0 ·(1 +

p

100

)n= Kn

⇔ 5′860 ·(1 +

5.25

100

)n

= 9′287.45 /: 5′860

⇔(1 +

5.25

100

)n

=185′749

117′200/ln( )

⇔ n · ln(1 +

5.25

100

)= ln

(185′749

117′200

) /: ln

(1 +

5.25

100

)⇔ n ≈ 9 .

d)

K0 ·(1 +

p

100

)n= Kn

⇔ K0 ·(1 +

8.5

100

)6

= 104′750

/:

(1 +

8.5

100

)6

⇔ K0 ≈ 64′206 .

e)

K0 ·(1 +

p

100

)n= Kn

⇔ 12′700 ·(1 +

p

100

)14= 24′319.80 /: 12′700

⇔(1 +

p

100

)14=

121′599

63′500

/14√

⇔ 1 +p

100= 14

√(121′599

63′500

)/−1

⇔ p

100= 14

√(121′599

63′500

)− 1 /·100

⇔ p ≈ 4.75 .

2. Einfache Verzinsung: (1 Jahr = 360 Tage, 1 Monat = 30 Tage)

a) Eine Privatperson verspricht einem Liegenschaftsbesitzer für die Einräumung eines

Wegrechts nach Ablauf von 5 Jahren und 7 Monaten einen Betrag von Fr. 10′000.- zu

zahlen. Welchem Barwert entspricht diese Zahlung bei einfacher Verzinsung von 5%?

b) Welcher Betrag an einfachen Zinsen (p = 8.5) ist bei der Rückzahlung eines für 2 Jahre,

9 Monate und 22 Tage ausgeliehenen Privatkredits von Fr. 25′000.- aufzubringen?

c) Ein Sparer zahlt auf sein neu erö�netes Bankkonto am 12. Mai Fr. 5′600.-, am 22.

August Fr. 3′550.- und am 28. November Fr. 1′800.- ein. Die Einlagen werden mit

-21-


4.5% einfach verzinst (Zinsperiodengrenze: 31.12.). Welches ist sein Guthaben am 31.

März des darau�olgenden Jahres?

Lösung:

a) Es handelt sich um einen Zeitraum von n = 5 + 712

Jahren. Dabei entsprechen die 712

den 7 Monaten. Gesucht wird nach dem Barwert, also K0. Man verwendet die Formel

für einfache Verzinsung und erhält für p = 5 und Kn = 10′000:

K0 ·(1 +

p

100· n)= Kn

⇔ K0 ·(1 +

5

100·(5 +

7

12

))= 10′000 ⇔K0 ·

307

240= 10′000

/·240307

⇔ K0 ≈ 7817.59 .

Damit entspricht der Barwert dieser Zahlung bei einfacher Verzinsung also ca. Fr.

7′817.59.

b) Wegen der Normierung erhalten wir für n

n = 2︸︷︷︸Jahre

+9

12︸︷︷︸Monate

+22

360︸︷︷︸Tage

=253

90.

Man errechnet Kn mit der Formel der einfachen Verzinsung und berechnet anschlies-

send die gesuchte Di�erenz |Kn −K0|.

Kn = K0 ·(1 +

p

100· n)

⇔ Kn = 25′000 ·(1 +

8.5

100· 25390

)⇔ Kn ≈ 30′973.61 .

Weiterhin errechnet sich dann der gesuchte Betrag mittels:

|Kn −K0| = Kn −K0

≈ 30′973.61− 25′000

≈ 5′973.61 .

c) Es gibt hier sicherlich verschiedene Ansätze, um das richtige Ergebnis zu erhalten. Hier

beschränken wir uns jedoch auf einen Weg: Die Einzelbetrachtung der Einzahlungen

zunächst bis zum Jahresende. Dazu betrachte man die drei einzelnen Zeitintervalle

von Einzahlung bis Jahresende, hier als n1, n2 und n3 bezeichnet. Einmal erklärend

sei hier auf die Herkunft der einzelnen Zahlen für n1 verwiesen, die Berechnung von

-22-

Übung 06 - Grundlagen Di�erentialrechnung uniseminar.ch

Übung 06 - Grundlagen Di�erentialrechnung

1. Berechnen Sie die 1.Ableitung f ′ der folgenden Potenzfunktionen:

a) f(x) = 3.25x8

b) f(t) = 12x3t2

c) f(x) = axn+3

d) f(x) = 1n2−4 · x

n+2

e) f(x) = k−22k2−7k+6

· x2k−3

Lösung:

a) Nach den Ableitungsregeln gilt

f ′(x) = 8 · 3.25x8−1

= 26x7 .

b)

f ′(t) = 2 · 12x3t2−1

= x3t .

c)

f ′(x) = (n+ 3) · ax(n+3)−1

= a(n+ 3)xn+2 .

d)

f ′(x) = (n+ 2)1

n2 − 4· x(n+2)−1

=n+ 2

(n− 2)(n+ 2)· xn+1

=1

n− 2· xn+1 .

e)

f ′(x) = (2k − 3) · k − 2

2k2 − 7k + 6· x(2k−3)−1

=(2k − 3)(k − 2)

(2k − 3)(k − 2)· x2k−4

= x2k−4 .

-46-


2. a) Bestimmen Sie die Funktionswerte f(x0) und die Tangentensteigungen f ′(x0) der

Funktion f(x) = −0.75x4 an den Stellen x0 = 3,√2, 0,−2 und −8.

b) An welchen Stellen hat die Kurve der Funktion f(x) = 12x4 die Steigungen 1,−1, 2,−2, 3,−3?

Lösung:

a) Es ist

f ′(x) = 4 · (−0.75) · x4−1

= −3x3 .

Durch Einsetzen ergeben sich folgende Werte:

x0 3√2 0 −2 −8

f(x0) −60.75 −3 0 −12 −3072f ′(x0) −81 −8.49 0 24 1536

b) Man bemerkt, dass die Funktion gerade ist. Das heisst die Steigungen an der Stelle

±x0 haben die Gestalt ±m, mit m = f ′(x0). Es ist

f ′(x) = 4 · 12x4−1

= 2x3 .

Man sucht nun x0 für das gilt: f ′(x0) = 1, 2, 3, die Stellen für −1,−2,−3 folgen dann

sofort. Für 1 gilt:

f ′(x0) = 1

⇔ 2x03 = 1 /: 2

⇔ x03 =

1

2

/3√

⇔ x0 =3

√1

2

≈ 0.79 .

Damit ist x0 ≈ −0.79 die gesuchte Stelle, für f ′(x0) = −1.

-47-


Für 2 gilt:

f ′(x0) = 2

⇔ 2x03 = 2 /: 2

⇔ x03 = 1

/3√

⇔ x0 = 1 .

Damit ist x0 = −1 die gesuchte Stelle, für die gilt f ′(x0) = −2.Für 3 gilt:

f ′(x0) = 3

⇔ 2x03 = 3 /: 2

⇔ x03 = 1.5

/3√

⇔ x0 =3√1.5

≈ 1.145 .

Damit folgt sofort, dass x0 ≈ −1.145 die gesuchte Stellte ist, für die f ′(x0) = −3 gilt.

3. Gegegeben ist die Kurve y = x3 + 2x− 5. Bestimmen Sie an der Stelle x = −2

a) die Gleichung der Tangente.

b) die Gleichung der Normalen.

Lösung:

a) Es sei t(x) = mx+ n die gesuchte Tangente. Es gilt

m = f ′(−2)

= 3(−2)2 + 2

= 14 .

Da die Tangente die Kurve in x = −2 berührt, läuft sie durch den Punkt P (−2|f(−2)) =P (−2| − 17). Man ermittelt nun n mittels:

14(−2) + n = f(−2)

⇔ −28 + n = −17 /+28

⇔ n = 11 .

Damit ist t(x) = 14x+ 11 die gesuchte Tangente.

-48-

Übung 08 - Ableitungsregeln 2 uniseminar.ch

Übung 08 - Ableitungsregeln 2

1. Bestimmen Sie die 1. Ableitung (Kettenregel):

a) f(x) =(14x4 − x

)3b) f(x) = (2ex + x2)

100

c) f(x) = 2c · ln (2x3 − 4)

d) f(x) = 6 · log4 (x2 − 1)

e) f(x) =√x3 + 8

f) g(r) = 12· e2(3r2−1)

g) E(s) = 3s2+13s2−1

h) a(b) = 14b4 · ln (3 + b4)

i) f(x) = ln(2x)1−ex

j) f(x) = 13√1−x

Lösung:

a) Gemäss dem System äussere mal innere Ableitung gilt:

f ′(x) = 3 ·(1

4x4 − x

)3−1

·(1

4x4 − x

)′= 3

(1

4x4 − x

)2(4 · 1

4x4−1 − x0

)= 3

(1

4x4 − x

)2 (x3 − 1

).

b)

f ′(x) = 100 ·(2ex + x2

)100−1 · (2ex + x2)′

= 100(2ex + x2

)99(2ex + 2x) .

c)

f ′(x) = 2c · 1

2x3 − 4·(2x3 − 4

)′=

c

x3 − 2·(6x2)

=6cx2

x3 − 2.

d) Es gilt nach dem Satz über die Ableitung der Logarithmusfunktion:

f ′(x) = 6 · 1

ln(4) (x2 − 1)·(x2 − 1

)′=

3

ln(2) · (x2 − 1)(2x)

=6x

ln(2) · (x2 − 1).

-59-

Übung 08 - Ableitungsregeln 2 uniseminar.ch

e)

f ′(x) =((x3 + 8

) 12

)′=

1

2

(x3 + 8

) 12−1 ·

(x3 + 8

)′=

1

2

(x3 + 8

)− 12 ·(3x2)

=3x2

2√x3 + 8

.

f)

g′(r) =1

2· e2(3r2−1) ·

(2(3r2 − 1

))′=

1

2· e2(3r2−1) · 12r

= 6re2(3r2−1) .

g)

E ′(s) =(3s2 + 1)

′ · (3s2 − 1)− (3s2 + 1) · (3s2 − 1)′

(3s2 − 1)2

=6s (3s2 − 1)− (3s2 + 1) 6s

(3s2 − 1)2

= − 12s

(3s2 − 1)2.

h)

a′(b) =

(1

4b4)′· ln(3 + b4

)+

1

4b4 ·(ln(3 + b4

))′= b3 · ln

(3 + b4

)+

1

4b4 · 1

3 + b4·(3 + b4

)′= b3 · ln

(3 + b4

)+

b7

3 + b4.

i)

f ′(x) =(ln(2x)′ (1− ex)− (ln(2x) (1− ex)′

(1− ex)2

=1x(1− ex)− (ln(2x) · (−ex))

(1− ex)2

=1x(1− ex) + ln(2x) · ex

(1− ex)2.

-60-

Übung 11 - Extremwertprobleme uniseminar.ch

Übung 11 - Extremwertprobleme

1. Die Zahl 32 soll so in zwei Summanden zerlegt werden, dass das Produkt aus der 3. Potenz

des ersten Summanden und dem 2. Summanden möglichst gross wird.

Lösung: Es seien x1 und x2 die zwei Summanden, dann gilt

x1 + x2 = 32 /−x1x2 = 32− x1 .

Nun betrachte man für das gesuchte Maximum

x13 · x2 =: fx2(x1)

x13 · (32− x1) = fx2(x1) .

Wir leiten f nach x1 ab:

f ′x2(x1) = 96x1

2 − 4x13

und f ′′x2(x1) = 192x1 − 12x1

2 .

Nun setzt man

f ′x2(x1) = 0

96x12 − 4x1

3 = 0

x12 · (96− 4x1) = 0 .

Es ergeben sich xE1,2 = 0 und xE3 = 24. Da gilt

f ′′x2(0) = 0 ,

betrachtet man nur xE3 :

f ′′x2(24) = −2304 < 0 .

Damit ist xE3 = x1 = 24 eine relative Maximalstelle und mit der ersten Bedingung ergibt

sich x2 = 8. Es ist dann

fx2(x1) = f8(24) = 243 · 8 = 110′592 .

-90-


2. Eine rechteckige Acker�äche von 6′000 m2, die an einen geraden Bach angrenzt, soll

eingezäunt werden. Welche Ausmasse muss die Fläche haben, damit der Zaun möglichst

kurz wird, wenn längs des Baches kein Zaun errichtet wird?

Lösung: Es seien a und b die Seitenlängen des �Rechtecks�. Der Einfachheit halber

verzichtet man auf die Einheiten. Es gilt für a 6= 0

a · b = 6′000 /: a

b =6′000

a.

Nun de�nieren wir die Funktion Ub, die den Umfang und damit die Länge des Zauns

beschreibt durch:

Ub(a) = 2a+ b

= 2a+6′000

a.

Man leitet Ub nach a ab und erhält

U ′b(a) = 2− 6′000

a2

und U ′′b (a) =12′000

a3.

Man setzt

U ′b(a) = 0

⇔ 2− 6′000

a2= 0

/·a2

⇔ 2a2 − 6′000 = 0 /: 2

⇔ a2 − 3′000 = 0

⇔(a−√3′000

)·(a+√3′000

)= 0 .

Es ergibt sich aE =√3′000 ≈ 54.77, der negative Wert entfällt da a > 0 gelten muss.

Da aE > 0 gilt U ′′b (aE) > 0, hat Ub an der Stelle a =√3′000 ein relatives Minimum.

Weiterhin ergibt sich

b =6′000√3′000

≈ 109.54 .

Damit sind die Ausmasse gegeben durch a ≈ 54.77 m und b ≈ 109, 54 m.

-91-


3. Ein zylindrisches Wasserreservoir einer Gemeinde hat den Grundkreisradius 5 m und

eine Höhe von 20 m. Für Notfälle soll ein oben o�enes Ersatzreservoir mit gleichem

Fassungsvermögen gebaut werden.

a) Wie sind dessen Abmessungen zu wählen, wenn 1 m2 Wand�äche Fr. 800.- und 1 m2

Boden�äche Fr. 400.- kostet und die Baukosten möglichst klein sein sollen?

b) Wie gross sind die minimalen Baukosten für das Reservoir?

Lösung:

a) Es bezeichne rE den Radius des Ersatzreservoirs und hE dessen Höhe. Der Einfachheit

verzichtet man auf die Einheiten. Das Volumen des Wasserreservoirs V der Gemeinde

errechnet sich durch:

V = π · 52 · 20 = 500π .

Das Ersatzreservoir soll das gleiche Fassungsvermögen haben und deshalb gilt für

rE > 0

π · rE2 · hE = 500π/: πrE

2

⇔ hE =500

rE2.

Weiterhin seien ME die Mantelfäche und GE die Grund�äche des Ersatzreservoirs. Es

gilt

ME = 2π · rE · hEund GE = π · rE2 .

Es sei nun KhEdie Funktion, welche die Baukosten beschreibt mit:

KhE(rE) = 800 ·ME + 400 ·GE

= 800 · 2π · rE · hE + 400 · π · rE2 .

Wegen der Beziehung hE = 500rE2 gilt

KhE(rE) = 800 · 2π · rE ·

500

rE2+ 400 · π · rE2

=800′000π

rE+ 400πrE

2 .

-92-

Prüfung

enExtras

P

Prüfungen


FS 2012


Inhaltsverzeichnis

Prüfung HS 07/08 1

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Prüfung FS 2008 9

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Prüfung HS 08/09 21

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Prüfung FS 2009 31

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Prüfung FS 2010 58

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Prüfung FS 2011 90

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Probeklausur 1 113

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115


Probeklausur 2 122

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Prüfung HS 07/08: Aufgaben uniseminar.ch

Prüfung HS 07/08

Aufgaben

1. Folgen und Reihen / Ableitung:

a) Berechnen Sie

20∑k=5

2k .

b) Von der endlichen arithmetischen Folge (a1, a2, . . . an) kennt man die Glieder a4 = 21,

a8 = 45 und an = 243. Berechnen Sie die Summe a1 + a2 + . . .+ an.

c) Bilden Sie die erste Ableitung von

h(t) = t3 · ln(t) +1

2e4t .

2. Finanzmathematik:

a) Ein Startkapital von CHF 409′600.- ist bei Zinseszinsen mit dem Zinsfuss p nach 21

Jahren auf CHF 44′408′920.98 angewachsen. Berechnen Sie den Zinsfuss p.

b) Jemand erbt einen Betrag von CHF 9′840.47. Er will dieses Kapital zu einem Jahreszins

von 7% bei einer Bank anlegen und davon jährlich nachschüssig CHF 2′400.- ausgezahlt

bekommen.

Wie lange dauert es, bis das Kapital aufgezehrt ist?

-1-

Prüfung HS 07/08: Aufgaben uniseminar.ch

3. Wirtschaftsmathematische Anwendung:

Für die Produktion von x Mengeneinheiten eines Gutes ist die Gesamtkostenfunktion

gegeben durch K(x) = 4x3 − x2 + 8x. Gesucht sind:

a) die Wendestelle der Gesamtkostenfunktion K,

b) das Minimum der Stückkosten (Menge x und minimale Stückkosten) und

c) die Gleichung der Tangente an die Gesamtkostenfunktion K bei x = 2.

4. Funktionen aus Eigenschaften:

Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = ax3 + bx2 + cx + d die Konstanten a, b, c und d

so, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

- Der Wert −2 ist der Funktionswert von f an der Stelle x = 0.

- An der Stelle x = 0 hat die Tangente an die Funktion f die Steigung 1.

- Die Stelle x = 29ist eine Wendestelle mit der Wendetangentensteigung 5

9.

-2-

Prüfung HS 07/08: Lösungen uniseminar.ch

Lösungen

1. Folgen und Reihen / Ableitung:

a) Berechnen Sie

20∑k=5

2k .

b) Von der endlichen arithmetischen Folge (a1, a2, . . . an) kennt man die Glieder a4 = 21,

a8 = 45 und an = 243. Berechnen Sie die Summe a1 + a2 + . . .+ an.

c) Bilden Sie die erste Ableitung von

h(t) = t3 · ln(t) +1

2e4t .

Lösung:

a) Es ist

20∑k=5

2k =20∑k=1

2k −4∑

k=1

2k

= 2 · 220 − 1

2− 1− 2 · 24 − 1

2− 1

= 2′097′150− 30

= 2′097′120 .

b) Zunächst ermittelt man d mittels

a4 + 4d = a8

⇔ 21 + 4d = 45 /−21

⇔ 4d = 24 /: 4

⇔ d = 6 .

Dann errechnet man das n ∈ N für das gilt an = 243 .

an = 243

⇔ a8 + (n− 8)d = 243

⇔ 45 + (n− 8) · 6 = 243 /+3

⇔ 6n = 246 /: 6

⇔ n = 41 .

-3-


Damit hat die endliche Folge 41 Folgeglieder. Weiterhin ist

a1 = a4 − 3d

⇔ a1 = 21− 18

⇔ a1 = 3 .

Dann gilt insgesamt

n∑i=1

ai =(a1 + an) · n

2

=(3 + 243) · 41

2

= 5′043 .

c) Mit der Produkt- und Kettelregel folgt

h′(t) = 3t2 · ln(t) + t3 · 1

t+

1

2e4t · 4

= 3t2 · ln(t) + t2 + 2e4t

= t2 · (3 ln(t) + 1) + 2e4t .

2. Finanzmathematik:

a) Ein Startkapital von CHF 409′600.- ist bei Zinseszinsen mit dem Zinsfuss p nach 21

Jahren auf CHF 44′408′920.98 angewachsen. Berechnen Sie den Zinsfuss p.

b) Jemand erbt einen Betrag von CHF 9′840.47. Er will dieses Kapital zu einem Jahreszins

von 7% bei einer Bank anlegen und davon jährlich nachschüssig CHF 2′400.- ausgezahlt

bekommen.

Wie lange dauert es, bis das Kapital aufgezehrt ist?

Lösung:

a) Sei q = 1 + p100

. Es ist also q ∈ R gesucht für das gilt

409′600 · q21 = 44′408′920.98 /: 409′600

⇔ q21 =44′408′920.98

409′600

/: 21√

⇔ q = 1.25 .

Damit liegt der gesuchte Zinsfuss p bei 25%.

-4-


b) Man sucht n ∈ N für das gilt

9′840.47 · 1.07n − 2′400 · 1.07n − 1

1.07− 1= 0 /·0.7

⇔ 688.8329 · 1.07n − 2′400 · (1.07n − 1) = 0 /−2′400

⇔ −1′711.1671 · 1.07n = −2′400 /: (−1′711.1671)

⇔ 1.07n =2′400

1′711.1671/ln( )

⇔ n · ln(1.07) = ln

(2′400

1′711.1671

)/: ln(1.07)

⇔ n =ln(

2′4001′711.1671

)ln(1.07)

≈ 5 .

Das Kapital ist also nach ca. 5 Jahren aufgezehrt.


Für die Produktion von x Mengeneinheiten eines Gutes ist die Gesamtkostenfunktion

gegeben durch K(x) = 4x3 − x2 + 8x. Gesucht sind:

a) die Wendestelle der Gesamtkostenfunktion K,

b) das Minimum der Stückkosten (Menge x und minimale Stückkosten) und

c) die Gleichung der Tangente an die Gesamtkostenfunktion K bei x = 2.

Lösung:

a) Die Ableitungen errechnet man mittels

K ′(x) = 12x2 − 2x+ 8 ,

K ′′(x) = 24x− 2

und K ′′′(x) = 24 .

Zur Bestimmung der Wendestelle setzt man

K ′′(x) = 0

⇔ 24x− 2 = 0 /+2

⇔ 24x = 2 /: 24

⇔ x =1

12.

Da stets gilt K ′′′(x) 6= 0, hat K an der Stelle x = 112

eine Wendestelle.

-5-


b) Die Stückkostenfunktion k ergibt sich aus

k(x) =K(x)

x

= 4x2 − x+ 8 .

Die Ableitungen lauten

k′(x) = 8x− 1

und k′′(x) = 8 .

Zur Bestimmung der Extrema setzt man

k′(x) = 0

⇔ 8x− 1 = 0 /+1

⇔ 8x = 1 /: 8

⇔ x =1

8.

Da stets k′′(x) > 0 gilt, ist x = 18ME die Menge bei der die Stückkosten minimal sind.

Diese betragen [in GE/ME]

k

(1

8

)= 7.9375 .

c) Sei t(x) = mx+ n mit m,n ∈ R die gesuchte Tangente. Da gilt

K ′(2) = 52 ,

ist m = 52. Weiterhin nutzt man die Eigenschaft aus, dass

K(2) = 44 .

Mit diesem Wissen muss gelten:

t(2) = 44

⇔ 2 · 52 + n = 44 /−104

⇔ n = −60 .

Damit lautet die gesuchte Tangente also insgesamt

t(x) = 52x− 60 .

-6-



Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = ax3 + bx2 + cx + d die Konstanten a, b, c und d

so, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

- Der Wert −2 ist der Funktionswert von f an der Stelle x = 0.

- An der Stelle x = 0 hat die Tangente an die Funktion f die Steigung 1.

- Die Stelle x = 29ist eine Wendestelle mit der Wendetangentensteigung 5

9.

Lösung: Mit der ersten Bedingung folgt aus

f(0) = −2

⇔ d = −2 .

Weiterhin lauten die Ableitungen

f ′(x) = 3ax2 + 2bx+ c ,

f ′′(x) = 6ax+ 2b

und f ′′′(x) = 6a .

Mit der zweiten Bedingung über die Steigungen folgt

f ′(0) = 1

⇔ c = 1 .

Wegen der 3. Eigenschaft erhält man

f ′′(

2

9

)= 0

⇔ 6a · 2

9+ 2b = 0

und

f ′(

2

9

)=

5

9

⇔ 12

81a+

4

9b+ 1 =

5

9/·81

⇔ 12a+ 36b+ 81 = 45 /−81

⇔ 12a+ 36b = −36 ,

-7-


also ein lineares Gleichungssystem. Man stellt die erste Gleichung um und erhält

6a · 2

9+ 2b = 0 /·3

4a+ 6b = 0 /−6b

4a = −6b /: 4

a = −1.5b .

Dies in die 2. Gleichung eingesetzt, liefert

−18b+ 36b = −36 /: 18

b = −2 .

Damit folgt a = 3. Damit ergibt sich insgesamt

f(x) = 3x3 − 2x2 + x− 2 .

-8-

Probeklausur I: Aufgaben uniseminar.ch

Probeklausur 1

Aufgaben

1. Folgen und Reihen:

a) Gegeben ist eine geometrische Folge(a, 3

2, b, 27

8, . . .

).

i.) Bestimmen Sie a und b.

ii.) Berechnen Sie die Summe der ersten 5 Glieder.

b) Gegeben sei eine Folge (ak)k∈N mit ak = k+2k. Berechnen Sie

10∏k=8

12ak +10∑k=2

2k · ak .

2. Di�erentialrechnung:

Sei g(x) = ln(ex

2+xe2x). Welchen Wert hat g′ an der Stelle x0 = 1

2?

3. Kurvendiskussion:

Gegegeben ist die Funktion f(x) = ex · (x2 − 3x+ 2). Bestimmen Sie

a) die Nullstellen,

b) die 1. und 2. Ableitung,

c) die Extremstellen

d) und die Wendepunkte (es genügt der Nachweis der notwendigen Bedingung).

-113-

Probeklausur I: Aufgaben uniseminar.ch


Sie sind Unternehmensberater und sollen einem Entrepreneur bei einer wichtigen Ent-

scheidung bezüglich einer neuen Produktionslinie helfen. Ihnen stehen folgende Informa-

tionen über diese zur Verfügung:

Kostenfunktion: K(x) = −1

3x4 − 15x3 + 400x2 + 50′625

Preisfunktion: p(x) = −1

3x3 + 400x .

a) Wie hoch sind die maximalen, durchschnittlichen, variablen Kosten?

b) Aufgrund einer Kapazitätsbeschränkung können nur 13 Erzeugnisse produziert und

verkauft werden. Würden Sie dem Unternehmer zu dieser Produktion raten?


Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f(x) = ax2 + bx+ c. Bestimmen Sie die Koe�-

zienten aus den folgenden Daten:

- f hat an der Stelle xE = −38ein relatives Extremum,

- es ist f ′(34

)= f(0),

- die 2. Ableitung ist konstant gleich 8.

-114-

Probeklausur I: Lösungen uniseminar.ch

Lösungen

1. Folgen und Reihen:

a) Gegeben ist eine geometrische Folge(a, 3

2, b, 27

8, . . .

).

i.) Bestimmen Sie a und b.

ii.) Berechnen Sie die Summe der ersten 5 Glieder.

b) Gegeben sei eine Folge (ak)k∈N mit ak = k+2k. Berechnen Sie

10∏k=8

12ak +10∑k=2

2k · ak .

Lösung:

a) Sei (bi)i∈N diese Folge. Zunächst bestimmt man q mittels

a2 · q2 = a4

⇔ 3

2q2 =

27

8

/·23

⇔ q2 =9

4

/√⇔ q = ±3

2.

Für q = 32gilt dann

a · 3

2=

3

2

/·23

a = 1

sowie

b =3

2· 3

2

=9

4.

Analog errechnet man für q = −32, dass a = −1 und b = −9

4.

b) Man betrachtet einzeln:

10∏k=8

12ak︸︷︷︸A

+10∑k=2

2k · ak︸︷︷︸B

.

-115-


Es gilt

A =10∏k=8

12ak

= 1210∏k=8

ak

= 1210∏k=8

k + 2

k

= 1210

8· 11

9· 12

10

= 1211

6

= 22 .

Weiterhin ist

B =10∑k=2

2k · ak

=10∑k=2

2kk + 2

k

=10∑k=2

2k + 4

= 210∑k=2

k + 410∑k=2

1

=

(2

10∑k=1

k

)− 2 + 9

= 210 · 11

2+ 7

= 117 .

Damit ist insgesamt

A+B = 22 + 117

= 139 .

-116-


2. Di�erentialrechnung:

Sei g(x) = ln(ex

2+xe2x). Welchen Wert hat g′ an der Stelle x0 = 1

2?

Lösung: Man bemerkt zunächst, dass gilt:

g(x) = ln(ex

2+xe2x)

= x2 + xe2x .

Damit ist

g′(x) = 2x+ e2x + 2xe2x

= 2x+ (1 + 2x) e2x .

Schliesslich ist dann

g′(

1

2

)= 1 + 2e .

3. Kurvendiskussion:

Gegegeben ist die Funktion f(x) = ex · (x2 − 3x+ 2). Bestimmen Sie

a) die Nullstellen,

b) die 1. und 2. Ableitung,

c) die Extremstellen

d) und die Wendepunkte (es genügt der Nachweis der notwendigen Bedingung).

Lösung:

a) Man setzt

f(x) = 0

⇔ ex ·(x2 − 3x+ 2

)= 0

⇔ ex · (x− 1) (x− 2) = 0 .

Da stets ex > 0 gilt, sind xN1 = 1 und xN2 = 2 die gesuchten Nullstellen.

b) Die Ableitungen lauten

f ′(x) = ex ·(x2 − 3x+ 2

)+ ex · (2x− 3)

= ex ·(x2 − x− 1

)und f ′′(x) = ex ·

(x2 − x− 1

)+ ex · (2x− 1)

= ex ·(x2 + x− 2

).

-117-


c) Zur Bestimmung der Extremstellen setzt man

f ′(x) = 0

⇔ ex ·(x2 − x− 1

)= 0 .

Da stets ex > 0 gilt, genügt die Betrachtung von

(x2 − x− 1

)= 0 .

Die Formel zur Lösung quadratischer Gleichung liefert:

xE1,2 =1

2±√

1

4+ 1

=1

2±√

5

2.

Da weiterhin gilt

f ′′

(1

2+

√5

2

)≈ 11.28 > 0

und f ′′

(1

2−√

5

2

)≈ −1.21 < 0 ,

hat f an der Stelle xE1 = 12

+√52ein relatives Minimum und an der Stelle xE2 = 1

2−√52

ein relatives Maximum.

d) Zur Bestimmung der Wendestellen setzt man zunächst

f ′′(x) = 0

⇔ ex ·(x2 + x− 2

)= 0

⇔ ex · (x− 1) (x+ 2) = 0 .

Damit sind die Wendestellen xW1 = 1 und xW2 = −2. Weiterhin gilt

f(1) = 0

und f(−2) = 12e−2 .

Damit hat f die zwei Wendepunkte W1(1|0) und W2 (−2|12e−2).

-118-

EExtras

Formeln


FS 2012


Inhaltsverzeichnis

Folgen und Reihen: 1

Zinseszins: 1

Renten: 1

Grenzwertsätze 2

Di�erentialrechnung: 2

Ableitungsregeln: 3

Ableitung wichtiger Funktionen: 3

Kurvendiskusion: 3

Wirtschaftsmathematische Anwendungen (x ME): 5

Formeln uniseminar.ch

Folgen und Reihen:

Eigenschaften Explizite Bil-

dungsvorschrift

Rekursive Bil-

dungsvorschrift

n-te Partialsum-

me

Arith-

metische

Folge

an = an−1+an+1

2,

d konstant

an = a1 + (n− 1)d an+1 = an + d sn =n∑

k=1

ak =

n2(a1 + an)

Geo-

metrische

Folge

|an| =√an−1 · an+1,

q 6= 0 konstant

an = a1 · qn−1,

a1 6= 0

an+1 = an · q sn =n∑

k=1

ak =

a1 · qn−1q−1

Für konvergente unendliche geometrische Reihe: s = limn→∞

sn = a11−q , für |q| < 1.

Zinseszins:

K0: Anfangskapital (Barwert)

n: Laufzeit in Zinsperioden (Jahre)

Kn: Endkapital nach n Jahren

p: Zinsfuss (in %)

i: Zinssatz

Endwert:

Kn = K0 · qn

Barwert:

K0 =1

qn·Kn

mit

q = 1 +p

100= 1 + i i =

p

100

Renten:

nachschüssig vorschüssig

Endwert (Aufzinsung) Rn = r · qn−1q−1

, (r =Rate) R′n = r · q · qn−1q−1

Barwert (Abdiskontierung) R0 = R0

qn= r · qn−1

qn·(q−1)R′0 = R′n

qn= r · q · qn−1

qn·(q−1)

Barwert der ewigen Rente B = rq−1

B′ = q·rq−1

-1-

Notizen

VWL 2

Frühlingssemester 2012

Winterthur, März 2012


UNISEMINAR

Documents

ZHAW_Mathe2_Ordner