LỜI MỞ ĐẦU

Ngày nay, đối với các quốc gia có nền kinh tế vận hành theo cơ chế thị trường thì

vai trò của thị trường chứng khoán là vô cùng quan trọng. Thị trường chứng khoán là

kênh thu hút các nguồn vốn đầu tư nhàn rỗi trung dài hạn trong nền kinh tế, là tiền đề

cho công cuộc cổ phần hóa Doanh Nghiệp Nhà Nước ở nước ta. Thị trường chứng

khoán Việt Nam đã ra đời cách đây hơn 8 năm và đang trở nên hấp dẫn đối với nhà

đầu tư trong nước cũng như nước ngoài.

Tuy nhiên, các nhà đầu tư trong nước hiện nay hầu hết là đầu tư hoặc theo cảm

tính hoặc theo số đông và dường như vẫn chưa nhận biết hết các rủi ro mà mình phải

gánh chịu khi tham gia vào thị trường này. Bởi lẽ việc xác định rủi ro cũng như tìm

ra lời giải đáp cho câu hỏi “Làm thế nào để đầu tư hiệu quả?” không phải là điều dễ

dàng.

Tại các thị trường chứng khoán đã phát triển, nhà đầu tư trước khi quyết định bỏ

tiền vào bất kỳ tài sản nào, họ cũng đều có những phân tích kỹ lưỡng về rủi ro và tỷ suất

sinh lợi. Và hệ số beta là một trong những công cụ hữu ích thường được sử dụng nhất

để đánh giá tài sản đó. Hệ số này dựa trên nền tảng các lý thuyết tài chính hiện đại như

Lý thuyết danh mục đầu tư của Harry Markowitz, Mô hình định giá tài sản vốn – CAPM

của William Sharpe và Lý thuyết kinh doanh chênh lệch giá - APT của Stephen Ross.

Một khi đã biết được hệ số beta thị trường hoặc beta đối với từng nhân tố vĩ mô của

chứng khoán, nhà đầu tư có thể dễ dàng xác định một danh mục đầu tư phù hợp với

khẩu vị rủi ro của họ. Ngoài ra, nếu việc mua bán khống được cho phép thì nhà đầu tư

còn có cơ hội hưởng chênh lệch tỷ suất sinh lợi của hai sự đầu tư có cùng rủi ro.

Chính vì thế, tôi muốn thông qua đề tài “Tìm hiểu bài toán Markowizt trong

tối ưu hóa danh mục đầu tư chứng khóa và xây dựng chương trình hỗ trợ lựa chọn danh

mục đầu tư chứng khoán” nhằm phần nào giúp các nhà đầu tư Việt Nam thấy được các

loại rủi ro trong đầu tư chứng khoán. Từ đó, họ có thể tự thiết lập một danh mục đầu tư

tối ưu tương ứng với mức độ chịu đựng rủi ro của mình.

1

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT DANH MỤC ĐẦU TƯ VÀ TỔNG

QUAN VỀ THỊ TRƯỜNG CHỨNG KHOÁN VIỆT NAM

1.1 Lý thuyết về Mô hình định giá tài sản vốn – Capital Asset Pricing Model

(CAPM) Sơ lược về quá trình ra đời

Mô hình định giá tài sản vốn - CAPM (Capital Asset Pricing Model) được

coi là nguồn gốc của tất cả lý thuyết tài chính kinh tế hiện đại. Những lý luận cơ bản

của lý thuyết CAPM lần đầu ra đời vào năm 1952 thông qua một bài tham luận “Chọn

lựa danh mục đầu tư” về phương pháp tạo ra đường biên hiệu quả cho một danh mục

đầu tư, đó là những lý luận cơ bản và được mọi người biết dưới cái tên Lý thuyết danh

mục thị trường. Sự ra đời của những lý thuyết này đã làm thay đổi hoàn toàn các đánh

giá trước đây của các nhà đầu tư về chứng khoán. Từ năm

1963 – 1964, lý thuyết tiếp tục được phát triển bởi William Sharpe sau khi ông

đã đồng ý đề nghị nghiên cứu Lý thuyết danh mục thị trường như là một luận đề của

Harry Markowitz. Bằng cách thiết lập mối quan hệ giữa danh mục đầu tư với những rủi

ro riêng của từng chứng khoán, Sharpe đã thành công trong việc đơn giản hóa những

nghiên cứu của Markowitz; do đó, bất cứ một nhà đầu tư chuyên nghiệp hay không

chuyên nào cũng đều có thể áp dụng được Lý thuyết danh mục đầu tư. Từ những

nghiên cứu này, Sharpe đã tiếp tục hoàn thiện lý luận trên và hình thành nên Lý thuyết

CAPM. Hiện nay, lý thuyết này được sử dụng rộng rãi trong cuộc sống để đo lường hiệu

quả của danh mục đầu tư, đánh giá từng loại chứng khoán, thực hiện các quyết định đầu

tư…

Năm 1990, Sharpe, Markowitz và Merton Miller đã nhận được giải Nobel kinh

tế của đồng giải Nobel khoa học do những đóng góp tích cực trong việc phát triển Lý

thuyết CAPM và cho việc phát triển nền kinh tế hiện đại.

Các giả định của mô hình CAPM

Khi giải quyết bất kỳ lý thuyết nào trong khoa học, kinh tế học, hay trong tài chính

cần thiết phải đưa ra một vài giả định, các giả định này sẽ chỉ ra thế giới được mong đợi

sẽ vận hành như thế nào. Điều này cho phép các thuyết gia tập trung vào việc phát triển

một lý thuyết mà lý thuyết đó sẽ giải thích một vài khía cạnh của thế giới đáp ứng các

thay đổi trong môi trường. Vì vậy, CAMP sẽ bao gồm các giả định sau:

(1) Các nhà đầu tư là những cá nhân không ưa thích rủi ro nhưng luôn muốn tối

đa hóa lợi ích mong đợi. Tức là, các nhà đầu tư thích lựa chọn chứng khoán có tỷ suất

2

sinh lợi cao tương ứng với rủi ro cho trước hoặc rủi ro thấp nhất với tỷ suất sinh lợi cho

trước.

(2) Nhà đầu tư luôn có cùng suy nghĩ về tỷ suất sinh lợi kỳ vọng, phương sai,

hiệp phương sai. Nghĩa là, tất cả các nhà đầu tư đều có kỳ vọng thuần nhất trong một

tập hợp các cơ hội và có cùng thông tin thị trường vào cùng thời điểm.

(3) Lợi nhuận đạt được phân phối theo phương thức phân phối chuẩn.

(4) Luôn luôn có một sự tồn tại các tài sản phi rủi ro và các nhà đầu tư có thể cho

vay hay vay một số lượng không giới hạn các tài sản trên với một tỷ lệ cố định không

đổi theo thời gian (lãi suất phi rủi ro).

(5) Luôn có một sự cố định những loại tài sản và số lượng của chúng trong một

kỳ nghiên cứu đủ lớn.

(6) Tất cả các tài sản đều có thể phân chia hoặc đo lường một cách chính xác

trong một thời điểm so sánh tốt nhất.

(7) Tỷ lệ vay trong thị trường cũng giống như tỷ lệ cho vay, nghĩa là mọi nhà

đầu tư đều có cơ hội lãi suất như nhau trong việc vay hay cho vay.

(8) Các nhân tố làm thị trường trở nên bất hoàn hảo không tồn tại như thuế, luật,

chi phí môi giới hay bất cứ một sự ngăn cấm nào.

Định nghĩa về tỷ suất sinh lợi, phương sai (hay độ lệch chuẩn) của một tài sản

và của danh mục các tài sản

Nguồn gốc của Lý thuyết CAPM bắt nguồn từ sự tổng hợp mà trong đó tất cả các

tài sản tuân theo quy luật phân phối chuẩn. Sự phân phối được miêu tả bởi hai thước đo

là TSSL mong đợi và phương sai (hay độ lệch chuẩn).

1.1.3.1 Tỷ suất sinh lợi mong đợi của một tài sản và của danh mục các tài sản

Tỷ suất sinh lợi mong đợi của tài sản i- E(Ri)- được định nghĩa là:

E ( Ri )=∑j=1

n

p j . R j (1.1)

Trong đó: R j là TSSL của tài sản i trong tình huống j.

p j là khả năng xảy ra mức tỷ suất sinh lợi R j

Ngoài ra cũng có một phương pháp khác để xác định TSSL của tài sản i thể

hiện qua công thức đơn giản sau:

Ri=Pt−P0+C F t

P0 (1.2)

Trong đó: Pt là giá chứng khoán cuối kỳ.

3

P0 là giá chứng khoán đầu kỳ.C F t là dòng tiền cổ tức trong suốt kỳ.

Tỷ suất sinh lợi mong đợi của một danh mục đầu tư E(Rp) là bình quân gia quyền

theo tỷ trọng của tỷ suất sinh lợi mong đợi mỗi tài sản trong danh mục đầu tư đó. Điều

này có nghĩa là:

E(R ¿¿ p)=∑i=1

n

w i E(R i)¿ (1.3)

Trong đó: w i là tỷ trọng đầu tư tài sản i trong danh mục.

E ( Ri ) là tỷ suất sinh lợi mong đợi của tài sản i.

1.1.3.2. Phương sai (hay độ lệch chuẩn) của tỷ suất sinh lợi đối với một khoản đầu

tư cụ thể

Phương sai (σ 2) hay độ lệch chuẩn (σ ) là một phương pháp ước lượng chênh lệch

của những mức tỷ suất sinh lời có thể có Ri so với tỷ suất sinh lời mong đợi E ( Ri ), sau

đây:

σ 2=∑i=1

n

[ Ri−E (Ri)]2 . pi (1.4)

Trong đó: pilà khả năng xảy ra tỷ suất sinh lợi Ri

Tuy nhiên, việc tính toán độ lệch chuẩn của các giá trị tỷ suất sinh lợi thực

nghiệm thì chúng ta có thể lấy tổng bình phương các khoản chênh lệch và chia cho N,

với N là số mẫu thực nghiệm:

σ=√ 1n ∑

i=1

n

¿¿¿¿ (1.5)

1.1.3.3. Phương sai (hay độ lệch chuẩn) của tỷ suất sinh lợi đối với danh mục

đầu tư

Hiệp phương sai của những tỷ suất sinh lợi

Khi phân tích DMĐT, chúng ta thường quan tâm nhiều nhất đến hiệp phương sai

của TSSL. Hiệp phương sai là một ước lượng để hai mức độ khác nhau “tiến lại gần

nhau” nhằm tạo thành một giá trị có ý nghĩa. Một giá trị hiệp phương sai dương có nghĩa

là TSSL đối với hai khoản đầu tư có khuynh hướng dịch chuyển về cùng một hướng và

ngược lại, một giá trị hiệp phương sai âm chỉ ra rằng TSSL đối với hai khoản đầu tư

có khuynh hướng dịch chuyển về hai hướng khác nhau so với mức trung bình của chúng

trong suốt một khoảng thời gian. Độ lớn của hiệp phương sai phụ thuộc vào phương sai

của những chuỗi TSSL cụ thể cũng như mối quan hệ giữa những chuỗi TSSL.

• Đối với hai tài sản A và B, hiệp phương sai của TSSL được định nghĩa là:

4

Cov AB=Gi á tr ịk ỳ v ọ ng {¿ (1.6)

Đối với những trường hợp phân phối xác suất tỷ suất sinh lợi của hai tài sản

A,B thì hiệp phương sai được xác định như sau:

Cov AB=∑i=1

n

pi {¿¿ (1.7)

Trong trường hợp tỷ suất sinh lợi của hai tài sản A và B được tính toán dựa

theo thực nghiệm thì hiệp phương sai của chúng được xác định như sau:

cov AB=1n∑i=1

n

¿¿ (1.8)

Hệ số tương quan

Hệ số tương quan là sự “chuẩn hóa” ước lượng hiệp phương sai do hiệp

phương sai bị ảnh hưởng bởi tính biến thiên của hai chuỗi TSSL riêng lẻ:

ρAB=cov AB

σ A σB (1.9)

Trong đó: ρAB là hệ số tương quan của những TSSL.σ A độ lệch chuẩn của RiA

σ B độ lệch chuẩn của RiB

Hệ số tương quan chỉ có thể thay đổi trong khoảng từ -1 đến +1. Giá trị +1 có

thể nhấn mạnh mối quan hệ tuyến tính xác định giữa RA và RB, nghĩa là TSSL đối

với hai cổ phiếu cùng thay đổi trong một kiểu tuyến tính xác định hoàn toàn. Giá trị -

1 có thể nhấn mạnh mối quan hệ phủ định hoàn toàn giữa hai chuỗi TSSL như khi

TSSL của một cổ phiếu cao hơn mức trung bình, TSSL của những cổ phiếu khác sẽ thấp

hơn mức trung bình bằng một số lượng lớn. Giá trị 0 có nghĩa là TSSL không có mối

quan hệ tuyến tính hay còn gọi là tương quan độc lập, qua thống kê chúng không có

tương quan với nhau.

Độ lệch chuẩn của một danh mục đầu tư

Như đã nêu trong phần 1.1.3.1, TSSL mong đợi của một DMĐT là giá trị

trung bình theo tỷ trọng của TSSL mong đợi của những tài sản riêng lẻ trong danh mục

đó. Do đó, có ý kiến cho rằng độ lệch chuẩn của DMĐT cũng được tính toánbằng cách

lấy trung bình tỷ trọng của độ lệch chuẩn đối với những tài sản riêng lẻ.

Đây có thể là một sai lầm, Markowitz đã tìm thấy công thức tổng quát đối với

độ lệch chuẩn của một DMĐT được thể hiện cụ thể như sau:

σ p=2√∑

i=1

n

w i2 σ i

2+∑i=1

n

∑j=1

n

wi w j cov ij (i¿ j) (1.10)

5

Trong đó: σ p là độ lệch chuẩn của DMĐT.

w i tỷ trọng đầu tư của tài sản riêng lẻ trong danh mục, tỷ trọng này được xác

định bởi tỷ lệ của giá trị trong DMĐT.

σ i2 phương sai của TSSL đối với tài sản i.

cov ij hiệp phương sai giữa TSSL đối với tài sản i và j

Với cov ij = ρij σ i σ j

Công thức này cho thấy độ lệch chuẩn của DMĐT là một phần giá trị trung bình

của những phương sai riêng lẻ (trong đó tỷ trọng là bình phương), cộng với tỷ trọng

hiệp phương sai giữa những tài sản trong danh mục. Độ lệch chuẩn (hay rủi ro) của

DMĐT bao gồm không chỉ phương sai của những tài sản riêng lẻ mà còn bao gồm

hiệp phương sai giữa những cặp tài sản riêng lẻ trong danh mục đó. Hơn nữa, trong

một DMĐT với số lượng lớn các chứng khoán, công thức này rút gọn thành tổng tỷ

trọng hiệp phương sai.

Theo công thức trên, chúng ta rút ra những nhận định sau:

• Nếu ta thêm một tài sản vào DMĐT thì sẽ xảy ra hai ảnh hưởng: thứ

nhất là phương sai TSSL của chính tài sản đó, và thứ hai là hiệp phương sai giữa

TSSL của tài sản mới với TSSL của những tài sản khác hiện có trong danh mục. Mối

liên quan giá trị của những hiệp phương sai này về căn bản lớn hơn phương sai của

một tài sản mới thêm vào và cả phương sai của những tài sản khác hiện có trong danh

mục. Điều này có nghĩa là nhân tố quan trọng được xem xét khi thêm một khoản đầu

tư vào danh mục không phải là phương sai của chính khoản đầu tư đó mà lại là hiệp

phương sai trung bình với tất cả những khoản đầu tư khác trong danh mục.

• Rủi ro của DMĐT chủ yếu phụ thuộc vào hiệp phương sai của từng cặp tài

sản có trong danh mục, mà hiệp phương sai lại chịu ảnh hưởng bởi hệ số tương quan.

Nếu hệ số tương quan của từng cặp tài sản là xác định hoàn toàn thì sẽ không có lợi gì

cho việc giảm thiểu rủi ro danh mục vì khi đó độ lệch chuẩn cũng chỉ đơn giản là trung

bình tỷ trọng của những độ lệch chuẩn đơn lẻ. Ngược lại, nếu hệ số tương quan là phủ

định hoàn toàn thì có thể giảm thiểu đáng kể rủi ro danh mục, đặc biệt đối với danh mục

chỉ gồm hai tài sản thì rủi ro được hoàn toàn triệt tiêu.

Từ việc đưa ra công thức đo lường rủi ro (độ lệch chuẩn) và TSSL của

DMĐT, Harry Markowitz đã đi đến một kết luận rất có giá trị: đa dạng hóa danh mục

có thể làm giảm thiểu, thậm chí triệt tiêu rủi ro khi đầu tư.

1.1.4. Tìm kiếm danh mục đầu tư tối ưu – Nền tảng từ Lý thuyết Thị trường

vốn

6

1.1.4.1. Đường biên hiệu quả và lợi ích của nhà đầu tư

Đường biên hiệu quả miêu tả tập hợp những DMĐT có TSSL lớn nhất cho mỗi

mức độ rủi ro, hoặc rủi ro thấp nhất cho mỗi mức TSSL. Một danh mục mục tiêu nằm

dọc theo đường biên này dựa trên hàm lợi ích và thái độ hướng đến rủi ro của nhà đầu

tư. Không có một DMĐT nào nằm trên đường biên hiệu quả có thể chiếm ưu thế hơn

bất kỳ DMĐT nào khác trên đường biên hiệu quả, danh mục có TSSL càng cao thì rủi

ro gánh chịu càng lớn.

DMĐT tối ưu là DMĐT trên đường biên hiệu quả, tại đó lợi ích đem lại cho nhà

đầu tư là cao nhất. Nó nằm tại điểm tiếp tuyến giữa đường biên hiệu quả và đường

cong với mức hữu dụng cao nhất. Mức hữu dụng cao nhất của một nhà đầu tư thận

trọng nằm tại điểm A và của một nhà đầu tư ưa thích rủi ro hơn (dĩ nhiên sẽ đạt được

TSSL mong đợi cao hơn) nằm tại điểm B trên hình 1.1.

Hình 1.1: Lựa chọn một danh mục đầu tư tối ưu trong thị trường với những tài sản

rủi ro trên đường biên hiệu quả

1.1.4.2. Sự phát triển của Lý thuyết thị trường vốn

Nhân tố chủ yếu để Lý thuyết danh mục phát triển thành Lý thuyết thị trường vốn

là ý tưởng về sự tồn tại một tài sản phi rủi ro (như là trái phiếu chính phủ), là tài sản có

phương sai bằng không(σ f=0 ) và không có tương quan đối với tất cả các tài sản rủi ro

7

khác (cov f ,i=0). Tỷ suất sinh lợi của tài sản phi rủi ro này (r f) sẽ bằng với tỷ lệ tăgn

trưởng dài hạn mong đợi của nền kinh tế với sự điều chỉnh tính thanh khoản ngắn hạn.

Kết hợp một tài sản phi rủi ro với một danh mục tài sản rủi ro

Khi kết hợp một tài sản phi rủi ro với một danh mục các tài sản rủi ro chẳng hạn

như các danh mục nằm trên đường hiệu quả Markowitz thì TSSL của danh mục mới sẽ

là:

E(R ¿¿ p)=w f rf +(1−wf ) E(R ¿¿ i)¿¿ (1.11)

Trong đó: w f tỷ trọng của tài sản phi rủi ro trong danh mục.

E(R ¿¿ i)¿ TSSL mong đợi danh mục i của các tài sản rủi ro.

Đồng thời phương sai của danh mục mới được xác định bởi công thức sau:

σ p2=w f

2σ f2+(1−w f)

2 σ i2+2 w f (1−wf ) ρfi σ f σ i (1.12)

σ p2=(1−w f )

2 σ i2 (1.13)

Do đó, độ lệch chuẩn sẽ là:

σ p=2√(1−w f )

2σ i2=(1−w f )σ i (1.14)

Như vậy, độ lệch chuẩn của danh mục kết hợp giữa một tài sản phi rủi ro với các

tài sản rủi ro là tỷ lệ tuyến tính của độ lệch chuẩn danh mục các tài sản rủi ro.

Lựa chọn danh mục tối ưu khi có sự tồn tại của tài sản phi rủi ro

Giả sử nhà đầu tư có thể đi vay và cho vay không giới hạn với lãi suất phi rủi ro

thì tập hợp hiệu quả các tài sản có rủi ro sẽ bị thay đổi. Nếu không có sự tồn tại tài sản

phi rủi ro thì các nhà đầu tư sẽ lựa chọn danh mục nằm trên đường biên hiệu quả

Markowitz. Tuy nhiên, nếu tồn tại tài sản phi rủi ro thì nhà đầu tư sẽ có một danh

mục với sự kết hợp giữa các tài sản có rủi ro và tài sản phi rủi ro trên. Lúc này, DMĐT

tối ưu sẽ là danh mục M (xin xem hình 1.2 bên dưới) mà tại đó bất cứ một nhà đầu tư

nào cho dù có thái độ đối với rủi ro ra sao cũng đều muốn nắm giữ nó. Danh mục M

chính là danh mục thị trường và đường thẳng xuất phát từ TSSL của tài sản phi rủi ro

(rf) tiếp xúc với đường biên hiệu quả Markowitz tại M được gọi là đường thị trường

vốn – CML (Capital Market Line). Bởi vì M là danh mục thị trường (bao gồm tất cả

tài sản rủi ro) nên nó là danh mục được đa dạng hóa hoàn toàn, có nghĩa là tất cả các

rủi ro riêng của mỗi tài sản trong danh mục đều được đa dạng hóa.

8

Hình 1.2: Lựa chọn một danh mục đầu tư tối ưu trong thị trường khi có sự tồn tại

của tài sản phi rủi ro

Tất cả các danh mục nằm trên đường CML là kết hợp của danh mục tài sản rủi

ro M và một tài sản phi rủi ro, và việc lựa chọn DMĐT nào phụ thuộc vào thái độ đối

với rủi ro của nhà đầu tư.

Nếu nhà đầu tư có mức ngại rủi ro cao( không ưa thích rủi ro) thì anh ta sẽ

đầu tư một phần vào tài sản phi rủi ro (cho vay với lãi suất phi rủi ro r f) và phần

còn lại đầu tư vào tài sản rùi ro M

Ngược lại, nếu nhà đầu tư có mức ngại rủi ro thấp (thích rủi ro hơn) thì anh

ta sẽ đi vay với lãi suất phi rủi ro r f và đầu tư tất cả số tiền (vốn hiện có cộng với

phần vay thêm) vào danh mục tài sản rủi ro M.

Đa dạng hóa danh mục đầu tư

Chúng ta đã biết đa dạng hóa DMĐT sẽ làm giảm độ lệch chuẩn của danh mục,

đặc biệt nếu các chứng khoán có tương quan không hoàn toàn với nhau thì hiệp

phương sai trung bình của danh mục sẽ giảm xuống đáng kể (hiệp phương sai của một

tài sản với danh mục thị trường gồm những tài sản rủi ro là một thước đo rủi ro thích

hợp đối với CML). Tuy nhiên, việc đa dạng hóa cũng không phải là nên đưa vào danh

mục càng nhiều chứng khoán càng tốt vì lúc đó sẽ nảy sinh vấn đề tự tương quan.

Ngoài ra, một điểm cần lưu ý nữa là cho dù DMĐT có được đa dạng hóa tốt đến mấy

9

thì nó chỉ có thể loại bỏ được rủi ro phi hệ thống, còn rủi ro hệ thống thì không thể

loại trừ. Do đó, chỉ có phương sai hệ thống ( σ 2) là đáng quan tâm vì nó không thể đa

dạng hóa được.

1.1.4.3. Mô hình định giá tài sản vốn (CAPM) - mối quan hệ giữa rủi ro và tỷ

suất sinh lợi

Đường thị trường chứng khoán – SML (Stock Market Line)

Đường thị trường chứng khoán - SML - là đường thẳng thể hiện mối quan hệ giữa

rủi ro hệ thống và TSSL của bất kỳ tài sản nào. Phương trình của SML (xin xem hình

1.3) dựa trên các ước lượng TSSL của tài sản phi rủi ro và của danh mục thị trường, từ

đó ta có thể tính toán TSSL của một tài sản khi biết rủi ro hệ thống của tài sản đó.

Bởi vì hiệp phương sai của một tài sản riêng lẻ với danh mục thị trường

(Covi,M) là thước đo rủi ro thích hợp, nên khi tài sản riêng lẻ này chính là danh mục thị

trường thì hiệp phương sai đó lại trở thành phương sai hệ thống σ M2 hay còn gọi là phương

sai của tỷ suất sinh lợi thị trường RM. Như vậy phương trình của đường rủi ro tỷ suất sinh

lợi trong hình 1.3 là:

E(R ¿¿ i)=r f +RM−Rf

σ M2 (Cov i ,M )=rf +

(Cov i , M )σ M

2 RM−R f ¿ (1.15)

10

Hình 1.3: Đường thị trường chứng khoán - SML

Chúng ta định nghĩa β i=(Covi , M )

σ M2 , phương trình (1.15) sẽ trở thành:

E(R ¿¿ i)=r f +β i RM−R f ¿ (1.16)

Beta được xem như là một thước đo rủi ro được chuẩn hóa vì nó thiết lập quan

hệ giữa hiệp phương sai của một tài sản i bất kỳ với danh mục thị trường (cov i , M ¿và

phương sai của danh mục thị trường (σ M2 )

Kết quả là, danh mục thị trường có beta bằng 1. Vì thế, nếu beta của một tài sản

lớn hơn 1 thì tài sản này có rủi ro hệ thống lớn hơn thị trường.

Căn cứ vào beta, đường SML có thể được diễn tả như ở hình 1.4:

Hình 1.4: Đường thị trường chứng khoán với rủi ro hệ thống được chuẩn hóa

Xác định tỷ suất sinh lợi mong đợi của một tài sản rủi ro

Phương trình (1.16) và hình 1.4 cho chúng ta thấy rằng TSSL mong đợi của một

tài sản rủi ro được xác định bởi r f cộng với phần bù rủi ro của tài sản đó. Phần bù rủi

ro được xác định bởi r f cộng với phần bù rủi ro của tài sản đó. Phần bù rủi ro được xác

định bằng rủi ro của hệ thống tài sản β i nhân với phần bù rủi ro thị trường RM−R f

11

Ví dụ 1.1: Với r f = 6%, RM = 12% và 5 chứng khoán có hệ số beta được liệt kê

trong bảng dưới đây, chúng ta có thể tính toán TSSL mong đợi của mỗi chứng khoán

như sau:

Ch

ứng

khoán i

Beta

(βi) TSSL mong đợi E(Ri)

So sánh

giữa

E(Ri) và

RMA 0,7 E(RA) = 6% + 0,7(12%-6%)

= 10,2%

Thấp hơn

B 1,0 E(RB) = 6% + 1,0(12%-6%)

= 12%

Bằng

C 1,15 E(RC) = 6% + 1,15(12%-6%) =

12,9%

Cao hơn

D 1,4 E(RD) = 6% + 1,4(12%-6%)

= 14,4%

Cao hơn

E -0,3 E(RE) = 6% - 0,3(12%-6%)

= 4,2%

Thấp hơn

Chúng ta nhận thấy rằng TSSL mong đợi của các chứng khoán sẽ cao hơn, bằng

hoặc thấp hơn TSSL của danh mục thị trường khi hệ số beta hệ thống của từng chứng

khoán đó lớn hơn, bằng hoặc nhỏ hơn 1 (hệ số beta của danh mục thị trường). Trường

hợp đặc biệt, nếu β i <0 thì tỷ suất sinh lợi mong đợi chứng khoán đó

sẽ nhỏ hơn r f.

Ở trạng thái cân bằng, tất cả các tài sản và tất cả các danh mục sẽ nằm trên

đường SML. Tài sản nào có TSSL ước lượng nằm phía trên đường SML được xem là bị

định giá thấp và ngược lại, nằm phía dưới đường SML thì được xem là bị định giá cao.

1.2. Lý thuyết Kinh doanh chênh lệch giá – Arbitrage Pricing Theory (APT)

1.2.1. Sơ lược về APT

Lý thuyết Kinh doanh chênh lệch giá – Arbitrage Pricing Theory (APT) do

Stephen Ross, một giáo sư chuyên về kinh tế học và tài chính đưa ra trong những năm

1970 của thế kỷ XX. Những ý tưởng của ông về việc đánh giá thế nào đối với rủi ro, kinh

doanh chênh lệch giá và các công cụ tiền tệ đa dạng đã làm thay đổi cách nhìn của chúng

ta đối với đầu tư. APT nói đến khái niệm về rủi ro và TSSL trong đầu tư. Trong khi mô

hình CAPM xem hệ số β (beta) như là công cụ đo lường độ rủi ro chủ yếu thì theo APT,

β chỉ là điểm khởi đầu và TSSL của các chứng khoán có liên quan đến một số

nhân tố kinh tế vĩ mô. APT được xây dựng dựa trên sự giả định rằng có một số nhân tố

chính (ví dụ: lạm phát, năng suất lao động, lòng tin của các nhà đầu tư, lãi suất, ... ) tác

động đến TSSL chứng khoán. Dù chúng ta có đa dạng hóa danh mục thế nào, chúng ta

cũng không thể nào tránh khỏi những nhân tố này. APT cho rằng các nhà đầu tư sẽ ”định

12

giá” những nhân tố này một cách thận trọng vì chúng là những rủi ro không thể bị loại trừ

bởi sự đa dạng hóa. Nghĩa là họ sẽ có nhu cầu về một khoản bù đắp liên quan đến

TSSL mong đợi cho việc nắm giữ chứng khoán trong tình trạng các rủi ro này luôn rình

rập, hay các DMĐT và tài sản có cùng độ rủi ro phải thực hiện việc mua bán ở cùng

mức giá trong dài hạn.

Ross nghiên cứu APT suốt hơn 20 năm và nó tiếp tục là đề tài tranh luận nóng

bỏng ở Viện Hàn Lâm và ở phố Wall – “Mọi người vẫn tranh cãi làm sao để đo lường

được rủi ro và nhân tố hệ thống”.

Do đó, để hiểu được APT, chúng ta cần phải nghiên cứu qua các mô hình nhân

tố. Các mô hình nhân tố không chỉ diễn tả mức độ ảnh hưởng của những thay đổi trong

các nhân tố kinh tế vĩ mô mà còn đưa ra các dự báo về TSSL mong đợi của một sự

đầu tư.

1.2.2. Các mô hình nhân tố

1.2.2.1. Mô hình một nhân tố

Mô hình đơn giản nhất là mô hình một nhân tố. Ở đây, nhân tố trong mô hình một

nhân tố được xem là nhân tố thị trường.

Công thức: ri=αi+β i F+ε i (1.17)

Trong đó: α i Tỷ suất sinh lợi mong đợi của chứng khoán i

F: nhân tố thị trườngβ i hệ số beta thị trường của chứng khoán iε i : nhân tố nội nhiễu hay còn được gọi là nhân tố riêng có của chứng khoán i ε i và

F không tương quan

1.2.2.2. Mô hình đa nhân tố

Mô hình một nhân tố miêu tả đơn giản TSSL của chứng khoán nhưng mô hình

này không thực tế bởi vì có rất nhiều nhân tố vĩ mô.

Do đó, mô hình đa nhân tố ra đời.

Công thức:ri=αi+β i ,1 F1+β i ,2 F2+…+β i , k Fk+εi

Với: α i tỷ suất sinh lợi mong đợi của chứng khoán iF j (j=1,..,k) nhân tố vĩ môβ i , j nhân tố nội nhiễu của chứng khoán i

Các hệ số F trong công thức trên đại diện cho các nhân tố vĩ mô như: tìnhtrạng nền

sản xuất, lạm phát, sự biến động trong giá cả chứng khoán, giá dầu, lãi suất, ... Tóm lại,

một nhân tố vĩ mô là một biến số kinh tế mà nó có tác động cụ thể đối với TSSL của đa

số chứng khoán chứ không phải chỉ tác động đến một vài chứng khoán riêng lẻ.

13

1.2.3. Các beta (β) nhân tố

Các hệ số β của các nhân tố là mức trung bình theo tỷ trọng của các β của những

chứng khoán trong danh mục.

Ví dụ 1.2: Cho hệ số β của chứng khoán A đối với lạm phát là 2, của chứng khoán

B là 3. Một danh mục đầu tư có tỷ trọng của chứng khoán A và B đề là 0.5 thì hệ số β

nhân tố lạm phát của danh mục sẽ là:β p=0.5∗2+0.5∗3=2.5

Cho mô hình k nhân tố (hoặc mô hình nhân tố với k nhân tố khác nhau). Mỗi

chứng khoán I có phương trình:ri=αi+β i ,1 F1+β i ,2 F2+…+β i , k Fk+εi

M ộ t danh m ụ cđầ u t ư gồ mn chứ ng khoá n ,m ỗ i chứ ng kho á n ic ó t ỷ tr ọ ng x i thì có

phương trình nhân tố sau:Rp=α p+β p , 1 F1+β p , 2 F2+…+β p ,k Fk+ε p

Trong đó:α p=x1 α1+¿x2 α 2+¿… .+x

nα

n¿ ¿

β p ,1=x1 β1,1+x2 β2,1+…+xn βn ,1

β p ,2=x1 β1,2+x2 β2,2+…+xn βn , 2

….β p ,k=x1 β1 ,k+x2 β2 ,k+…+xn βn , k

ε p=x1 ε1+x2 ε2+…+xn ε n

Ý nghĩa của từng ký hiệu:α p : Tỷ suất sinh lợi của danh mục đầu tưβ p , j (j=1,…,k): β của danh mục đầu tư đối với nhân tố thứ jε p : nhân tố nội nhiễu của danh mục đầu tư

1.2.4. Dùng những mô hình nhân tố để tính phương sai( Var)

và hiệp phương sai(Cov)

1.2.4.1. Tính Cov trong mô hình một nhân tố

Ví dụ 1.3: Có 2 chứng khoán A và B:r A=0.1+2 F+ε A

r B=0.15+3 F+ε B

ε A, ε B không tương quan với nhau và với F

Cho Var(F)=0,0001. Tính Cov của tỷ suất sinh lợi 2 chứng khoán này

Giải:

σ AB=Cov (0,1+2 F+ε A ;0,15+3 F+ε B )=Cov (2 F+ε A ;3 F+ε B ) (do các hằng số 0,1 và

0,15 không ảnh hưởng đến Cov)

14

¿Cov (2 F ;3 F )+Cov (2 F ;ε B )+Cov ( ε A ;3F )+Cov (ε A ; εB )=Cov (2 F ;3 F )+0+0+0

¿6 Var ( F )

¿6∗0,0001

¿0,0006

1.2.4.2. Tính Cov trong mô hình đa nhân tố

T ổ ng quát: Giả sử có k nhân tố không tương quan nhau và TSSL của chứng

khoán i và chứng khoán j được mô tả bởi các mô hình nhân tố sau:ri=αi+β i ,1 F1+β i ,2 F2+…+β i , k Fk+εi

r j=α j+β j , 1 F1+ β j ,2 F2+…+β j ,k Fk+ε j

Ta có:

σ AB=β i ,1 β j ,1Var ( F1 )+β i ,2 β j ,2Var ( F2 )+…+β i , k β j , k Var (Fk )

Hay

σ AB=∑m=1

k

∑n=1

k

β i ,m β j , mCov ( Fm ; Fn ) (1.19)

1.2.4.3. Dùng những mô hình nhân tố để tính Var

Giống như mô hình thị trường, các mô hình nhân tố cung cấp một phương pháp

phân tích Var của chứng khoán thành 2 thành phần: không thể đa dạng hóa và có thể

đa dạng hóa.

� Đối với mô hình một nhân tố:ri=αi+β i F+ε i

Var (r¿¿i)=β i2Var ( F )+Var (εi)¿

Đối với mô hình đa nhân tố:trong đó k nhân tố không tương quan, chứng khoán

I có phương trình:ri=αi+β i ,1 F1+β i ,2 F2+…+β i , k Fk+εi

Thì Var (ri) có thể phân tích thành tổng của (k+1) thành phần:

Var (r¿¿i)=β i 12Var ( F1 )+β i 2

2Var ( F2 )+…+β ik2Var ( Fk)+Var (εi)¿

Công thức:

Var (r¿¿i)=∑m=1

k

βℑ2Var ( Fm )+¿Var (εi)¿¿ (1.20)

1.2.5. Mô hình nhân tố và danh mục đầu tư mô phỏng

Sau khi tìm hiểu một vài ứng dụng của các mô hình nhân tố (ví dụ ước lượng

Cov, phân tích Var), bây giờ chúng ta sẽ tiếp cận với ứng dụng quan trọng nhất

của

các mô hình này: Thiết lập một DMĐT có β nhân tố mô phỏng theo độ rủi ro của

một chứng khoán hay một DMDT

15

Một DMĐT mô phỏng được xây dựng bằng cách: xác định β nhân tố của sự đầu tư

người ta muốn mô phỏng.

Trình tự thực hiện việc thiết lập một DMĐT mô phỏng:

Xác định số lượng nhân tố liên quan

Xác định các nhân tố và tính các β nhân tố

Kế đến, thiết lập một phương trình cho mỗi β nhân tố. Bên trái phương

trình là β nhân tố của danh mục đầu tư, bên phải β nhân tố mục tiêu

Sau đó giải phương trình

Ví dụ 1.4: Cho mô hình k nhân tố. Ta sẽ lập một danh mục đầu tư mô phỏng có

các β mục tiêu lần lượt là β1, β2,…,βk

Giả sử danh mục đầu tư mô phỏng có n chứng khoán, mỗi chứng khoán có phương

trình:ri=αi+β i ,1 F1+β i ,2 F2+…+β i , k Fk+εi

Gọi x i là tỷ trọng của chứng khoán I trong danh mục đầu tư (i=1,..,n).

Ta có:β1=x1 β1,1+x2 β2,1+…+xn βn ,1

β2=x1 β1,2+x2 β2,2+…+xn βn ,2

… (1.21)βk=x1 β1 , k+x2 β2, k+…+xn βn ,k

x1+ x2+…+ xn=1

Giải hệ phương trình (1.21) trên để tìm các giá trị x1,x2,…,xn chúng ta có thể thiết

lập danh mục đầu tư mô phỏng

Lưu ý: Trong mô hình k nhân tố, để thiết lập được các dnah mục đầu tư với cấu

trúc β mục tiêu xác định, người ta cần có (k+1) chứng khoán.

1.2.6. Danh mục nhân tố thuần nhất

Danh mục nhân tố thuần nhất là những danh mục có hệ số nhạy cảm đối với một

trong các nhân tố là 1, đối với các nhân tố khác còn lại, danh mục đó có hệ số β đều bằng

0. Các danh mục như vậy (không có rủi ro riêng) cung cấp cho chúng ta một cách hiểu sơ

bộ về ý nghĩa của các mô hình nhân tố. Một số nhà quản trị danh mục sử dụng chúng

trong việc quyết định DMĐT tối ưu.

Ví dụ 1.5: Cho mô hình k nhân tố (F1, F2,…,F k). Gọi p1 là danh mục đầu tư thuần

nhất thứ i(i=1,..,k). Khi đó, danh mục đầu tư thuần nhất có β p 1=1 còn lại β p 2=β p 2=…=β pk

=0

Tương tụ như vậy cho các danh mục đầu tư thuần nhất khác

1.2.6.1. Xây dựng danh mục đầu tư nhân tố thuần nhất

16

Trong mô hình k nhân tố, ứng với mỗi nhân tố, ta sẽ tạo được một danh mục nhân

tố thuần nhất từ (k + 1) sự đầu tư (các sự đầu tư này đều không có rủi ro riêng).

Ví dụ 1.6: Có 3 loại chứng khoán C, G, S với các phương trình:

C ,08 F1 F2

G ,1 F1 F2

S ,1 F1 F2Yêu cầu: Thiết lập 2 danh mục nhân tố thuần nhất đối với các nhân tố F1, F2 từ 3

loại chứng khoán trên (tức là tìm tỷ trọng của từng loại chứng khoán trong từng danh

mục nhân tố thuần nhất).

Giải:

Để thiết lập danh mục nhân tố chỉ chịu ảnh hưởng bởi F1, ta cần tìm các tỷ

trọng xC, xG, xS thỏa:

2xC + 3xG + 3xS = 1

Để hệ số nhạy cảm của danh mục này đối với F2 là 0, các tỷ trọng phải thỏa:

3xC + 2xG + 5xS = 0

Đồng thời: xC + xG + xS = 1

Ta có hệ phương trình:

xC xG xS

xC xG xS

C G SKết quả là: xC = 2; xG = 1/3; xS = -4/3.

Để thiết lập danh mục nhân tố thứ hai, tương tự, giải hệ phương trình:

xC xG xS

xC xG xS

C G SKết quả là: xC = 3; xG = -2/3; xS = -4/3.

1.2.6.2. Phần bù đắp rủi ro của các danh mục nhân tố thuần nhất

Gọi λ i (i=1,..,k) là phần bù đắp rủi ro của danh mục nhân tố thứ i trong mô hình k

nhân tố. Nói khác đi, tỷ suất sinh lợi mong đợi của danh mục nhân tố thứ i là r f+λ i với r f

là tỷ suất sinh lợi từ tài sản phi rủi ro.

Ví dụ 1.7: Hãy thiết lập các phương trình nhân tố cho các danh mục nhân tố ở ví

dụ 1.6 và xác định phần bù đắp rủi ro, biết rằng TSSL từ tài sản phi rủi ro là

5%.

17

Giải:

TSSL mong đợi của danh mục nhân tố thứ nhất là trung bình theo tỷ trọng của các

TSSL chứng khoán riêng lẻ, tức là:

α p 1=2∗(0.08 )+ 13∗(0.1 )−4

3∗(0.1 )=0.06

Phương trình nhân tố của danh mục nhân tố thứ nhất:Rp1=0.06+F1+0 F2

Đối với danh mục nhân tố thứ hai ta có:

α p 2=3∗(0.08 )+ 23∗(0.1 )− 4

3∗(0.1 )=0.04

Phương trình nhân tố của danh mục nhân tố thứ hai:Rp2=0.04+0 F1+F2

Phần bù đắp rủi ro tương ứng là:

Danh mục 1: λ1=α p 1−r f =0.06−0.05=0.01

Danh mục 2: λ2=α p 2−r f =0.04−0.05=−0.01

Nói chung các danh mục nhân tố thuần nhất có tỷ suất sinh lợi mong đợi khác với

tỷ suất sinh lợi của tài sản phi rủi ro. Một số có phần bù rủi ro dương, một số nhân tố

khác thì có phần bù rủi ro không dương.

Việc một danh mục nhân tố có phần bù rủi ro lớn hơn, bằng hoặc nhỏ hơn 0 là tùy

thuộc vào thị hiếu của nhà đầu tư và độ ảnh hưởng của nhân tố đối với thị trường tài

chính.

1.2.7. Việc mô phỏng và kinh doanh chênh lệch giá

Một số đủ lớn các chứng khoán sẽ làm cho các danh mục đầu tư hầu như không có

rủi ro riêng. Ta có thể thiết lập các danh mục đầu tư mô phỏng các sự đầu tư mà không có

rủi ro bằng cách xấy dựng từ các danh mục đầu tư nhân tố thuấn nhất với cùng các hệ số

β của sự đầu tư nào mà ta muốn mô phỏng. Phương trình nhân tố của danh mục đầu tư

mô phỏng và của sự đầu tư được mô phỏng sẽ giống ngoại trừ các α . Theo giả định này

thì không có các ε trong các phương trình nhân tố này. Do đó, tỷ suất sinh lợi có thể có

của danh mục đầu tư được mô phỏng chỉ chênh lệch nhau một hằng số, đó là chênh lệch

của các tỷ suất sinh lợi mong đợi.

Nếu các hệ số β của danh mục đầu tư mô phỏng và của sự đầu tư được mô phỏng

giống nhau thì sẽ chệnh lệch giá. Ví dụ nếu danh mục đầu tư mô phỏng có TSSL mong

đợi cao hơn thì các nhà đầu tư sẽ có thể mua DMĐT đó và bán khống sự đầu tư được mô

phỏng và nhận được khoản tiền mặt phi rủi ro trong tương lai mà không phải bỏ tiền ra ở

hiện tại.

18

1.2.7.1. Sử dụng các danh mục nhân tố thuần nhất để mô phỏng tỷ

suất sinh lợi của một chứng khoán

Ví dụ 1.8 minh họa việc sử dụng các DMĐT nhân tố và tài sản phi rủi ro như thế

nào để mô phỏng các TSSL của một chứng khoán khác.

Ví dụ 1.8: Cho một mô hình hai nhân tố, hãy tìm cách kết hợp một chứng khoán

phi rủi ro có TSSL mong đợi là 5% với hai DMĐT nhân tố thuần nhất từ ví dụ 1.7 để mô

phỏng một chứng khoán có phương trình nhân tố:

r = 0,08 + 2F1 - 0,6F2

Sau đó, tìm TSSL mong đợi của DMĐT mô phỏng và xác định xem có sự chênh

lệch hay không? Biết rằng hai phương trình nhân tố của hai DMĐT thuần nhất là:

p1

0

,06 1 F2

p2

0

,04 F1 2

Giải:

Để mô phỏng hai hệ sô beta của chứng khoán, ta lấy tỷ trọng của nhân tố thứ nhất

là 2 và tỷ trọng của nhân tố thứ hai laf -0,6. Bởi vì các tỷ trọng cộng lại là 1,4 nên để cho

hợp lý thì tỷ trọng của tài sản phi rủi ro là -0,4. Tỷ suất sinh lợi mong đợi của danh mục

đầu tư này là: -0,4*0,05+2*0,06-0,6*0,04=0,076

Ở đây xuất hiện một cơ hội chênh lệch, bởi vì TSSL mong đợi này là 7,6% khác so

với TSSL mong đợi 8% của chứng khoán được mô phỏng. Và phần chênh lệch sẽ là

0,4%.

1.2.7.2. Tỷ suất sinh lợi mong đợi của danh mục đầu tư mô phỏng

Trong ví dụ 1.8, DMĐT mô phỏng là một mức trung bình theo tỷ trọng của hai

DMĐT nhân tố và tài sản phi rủi ro. Danh mục nhân tố thứ nhất chỉ được dùng để thiết

lập β1. Danh mục nhân tố thứ hai chỉ được dùng để thiết lập β2. Tài sản phi rủi ro chỉ

được dùng để các tỷ trọng của danh mục đầu tư mô phỏng cộng lại bằng 1. Do đó, tỷ suất

sinh lợi mong đợi của danh mục đầu tư mô phỏng là:

TSSL mong đợi=(1−β1−β2 ) r f +β1 (r f +λ1)+ β2(r f +λ2) (1.22)

Với β i là hệ số β của sự đầu tư được mô phỏng trên nhân tố j (cũng là tỷ trọng trên

danh mục nhân tố thuần nhất j).

λ j là phần bù rủi ro của danh mục đầu tư nhân tố j

Biểu thức trên của TSSL mong đợi còn có thể được viết ở dạng tương đương:

TSSL mong đợi = rf + β1λ1 + β2λ2 (1.23)

Khái quát lên cho một sự đầu tư không có rủi ro riêng (rủi ro phi hệ thống) và

được biểu diễn bằng một mô hình k nhân tố với hệ số beta nhân tố β j trên nhân tố thứ j.

19

Một danh mục đầu tưmô phỏng sự đầu tư này sẽ có các tỷ trọng β1 trên danh mục nhân tố

thứ nhất, β2 trên danh mục nhân tố thứ hai,…, βk trên danh mục nhân tố thứ k và 1−∑j=1

k

β j

trên tài sản phi rủi ro. Tỷ suất sinh lợi mong đợi của danh mục đầu tư mô phỏng này là:

TSSL mong đợi = rf + β1λ1 + β2λ2 + … + βkλk

1.2.8. Phân tích các danh mục đầu tư nhân tố thuần nhất dựa trên những tỷ trọng

của các chứng khoán ban đầu

Bản thân các DMĐT nhân tố là những sự kết hợp các chứng khoán riêng lẻ, như là

cổ phiếu và trái phiếu. Trong ví dụ 1.8, DMĐT mô phỏng có các tỷ trọng: của chứng

khoán phi rủi ro là -0,4; của DMĐT nhân tố thứ nhất là 2; của DMĐT nhân tố thứ hai là -

0,6; các tỷ trọng này có thể được phân tích ra. Nhớ lại ví dụ 1.7, DMĐT nhân tố thứ nhất

có các tỷ trọng tương ứng với 3 loại chứng khoán là (2;

1/3; -4/3), trong khi DMĐT nhân tố thứ hai có các tỷ trọng tương ứng với 3 loại

chứng khoán là (3; -2/3; -4/3). Do đó, tỷ trọng 2 của DMĐT nhân tố thứ nhất thực sự là

tỷ trọng 4 của chứng khoán C, tỷ trọng 2/3 của chứng khoán G và tỷ trọng -8/3 của chứng

khoán S. Tỷ trọng -0,6 của DMĐT nhân tố thứ hai thực sự là tỷ trọng -

1,8 của chứng khoán C, tỷ trọng 0,4 của chứng khoán G và tỷ trọng 0,8 của chứng

khoán S. Tương tự đối với tài sản phi rủi ro có tỷ trọng là -0,4 thì tỷ trọng lần lượt của

các chứng khoán C, G và S lần lượt là 2,2; 16/15 và -28/15. Vì thế, không có sự khác biệt

khi người ta xem danh mục mô phỏng như là được thiết lập bằng các

chứng khoán C, G và S hoặc là bằng các danh mục nhân tố thuần nhất.

1.2.9. Lý thuyết kinh doanh chênh lệch giá – APT

Bởi vì rủi ro riêng tương đối không quan trọng đối với các nhà đầu tư, nên ta

phân tích rủi ro của các chứng khoán bằng cách chỉ tập trung vào các hệ số β nhân

tố của các DMĐT được đa dạng hóa tốt. Do đó, nếu bỏ qua các rủi ro riêng thì sự

phân tích mối quan hệ giữa rủi ro và TSSL của chúng ta sẽ không bị ảnh hưởng.

Nếu hai sự đầu tư hoàn toàn mô phỏng nhau và có các TSSL mong đợi khác nhau

thì một nhà đầu tư có thể đạt được lợi nhuận phi rủi ro bằng việc mua sự đầu tư với TSSL

mong đợi cao hơn và bán khống sự đầu tư có TSSL mong đợi thấp hơn. Khi TSSL của

các chứng khoán không thỏa phương trình liên hệ giữa các TSSL mong đợi của chứng

khoán với các β nhân tố của chúng thì những cơ hội chênh lệch sẽ tồn tại.

Mối quan hệ TSSL mong đợi – rủi ro này được biết đến như là “Lý thuyết kinh

doanh chênh lệch giá – APT”.

1.2.9.1. Các giả định của Lý thuyết kinh doanh chênh lệch giá

Căn nguyên của APT yêu cầu chỉ 3 giả định:

(1). Các TSSL có thể được mô tả bằng một mô hình nhân tố.

20

(2). Không có các cơ hội chênh lệch.

(3). Có một số lượng lớn các chứng khoán, vì thế có thể thiết lập các DMĐT mà

đa dạng hóa rủi ro riêng của từng loại chứng khoán riêng lẻ. Giả định này cho phép

chúng ta xác nhận rằng rủi ro riêng không tồn tại.

Để việc phân tích tương đối đơn giản, xem như các sự đầu tư không có rủi ro riêng

1.2.9.2.Lý thuyết kinh doanh chênh lệch giá cùng với không có rủi ro riêng

Xem như sự đầu tư i với các TSSL được hình thành bởi mô hình k nhân tố được

mô tả bởi:

ri=αi+β i ,1 F1+β i ,2 F2+…+β i , k Fk (1.25)

Lưu ý rằng phương trình (1.25) không có ε i; vì thế không có rủi ro riêng. Như đã

nói, một pphương pháp để mô phỏng thu nhập của sự đầu tư này là thiết lập một danh

mục đầu tư với tỷ trọng của chứng khoán phi rủi ro là 1−∑j=1

k

βij; của danh mục đầu tư

nhân tố thứ nhất là β i 1, của danh mục đầu tư nhân tố thứ hai là β i 2,…,cuói cùng của danh

mục đầu tư nhân tố thứ k là β ik. Các danh mục đầu tư nhân tố này có thể được thiết lập

hoặc là từ một số lượng tương đối nhỏ các chứng khoán không có rủi ro riêng hoặc là từ

một số lượng lớn các chứng khoán mà rủi ro riêng đã được đa dạng hóa.

TSSL mong đợi của DMĐT mô phỏng sự đầu tư i là:

TSSL mong đợi = rf + β1λ1 + β2λ2 + … + βkλk

Một cơ hội chênh lệch tồn tại – trừ phi sự đầu tư ban đầu và DMĐT mô

phỏng nó có cùng TSSL mong đợi – vì có một khoản dài hạn trong sự đầu tư và

một khoản ngắn hạn đánh đổi trong DMĐT mô phỏng mà không có rủi ro và không có

chi phí.

Ví dụ 1.9: Nếu cổ phiếu thường của công ty FPT là một sự đầu tư i thì việc mua

100.000.000đ cổ phiếu FPT và bán khống 100.000.000đ DMĐT mô phỏng FPT sẽ

không đòi hỏi phải có tiền mặt đưa trước

Hơn nữa, bởi vì các hệ số β của các khoản ngắn hạn và dài hạn hoàn toàn bằng

nhau, nên bất kỳ các sự dịch chuyển nào trong giá trị của cổ phiếu FPT bởi các nhân tố sẽ

được bù đắp hoàn toàn bằng các sự dịch chuyển đối nghịch trong giá trị

của các khoản ngắn hạn trong DMĐT mô phỏng.

Do đó, nếu TSSL mong đợi của cổ phiếu FPT vượt quá TSSL mong đợi của

DMĐT mô phỏng cổ phiếu FPT thì một nhà đầu tư sẽ có được một lượng tiền thực phi

rủi ro vào cuối kỳ.

Ví dụ 1.10: Nếu TSSL mong đợi của cổ phiếu FPT vượt quá DMĐT mô phỏng là

2% thì nhà đầu tư sẽ nhận được: 100.000.000đ * 2% = 2.000.000đ

21

Bởi vì số tiền này không đòi hỏi bất kỳ khoản tiền đưa trước nào và nó không có

rủi ro, nên việc mua cổ phiếu FPT và việc bán khống DMĐT mô phỏng nó cho thấy một

cơ hội chênh lệch. Tương tự, nếu TSSL mong đợi của cổ phiếu FPT thấp hơn TSSL

mong đợi của DMĐT mô phỏng, một khoản ngắn hạn trong cổ phiếu FPT và một khoản

dài hạn tương đương trong DMĐT mô phỏng nó sẽ cung cấp một cơ hội chênh lệch. Để

ngăn chặn sự chênh lệch, TSSL mong đợi của cổ phiếu FPT và DMĐT mô phỏng nó phải

bằng nhau.

Một cơ hội chênh lệch giá chứng khoán tồn tại cho tất cả các sự đầu tư không có

rủi ro riêng, trừ phi:ri=rf +β i ,1 F1+β i ,2 F2+…+ βi , k Fk (1.27)

Phương trình của Lý thuyết kinh doanh chênh lệch giá, phương trình (1.27),

là mối liên quan giữa rủi ro và TSSL mong đợi mà không có các cơ hội chênh

lệch. Vế trái của phương trình là TSSL mong đợi của một sự đầu tư. Vế phải là TSSL

mong đợi của một DMĐT mô phỏng với cùng các β nhân tố của sự đầu tư.

Phương

trình (1.27) vì thế mô tả một mối quan hệ mà không có sự chênh lệch giá chứng

khoán: dấu ”=” chỉ nêu lên rằng TSSL mong đợi của sự đầu tư sẽ giống như của

DMĐT mô phỏng nó.

1.2.9.3. Phương pháp để xác định sự tồn tại của sự chênh lệch giá chứng

khoán

Một phương pháp để xác định sự tồn tại của sự chênh lệch giá chứng khoán

là trực tiếp kiểm tra một nhóm duy nhất các λ hình thành nên TSSL mong đợi của

các chứng khoán. Trong trường hợp này, ta dùng một nhóm các chứng khoán (số

chứng khoán trong nhóm bằng số nhân tố cộng thêm 1) để tìm ra các λ. Sau đó,

dùng một nhóm các chứng khoán khác để tìm ra các λ. Nếu với các nhóm chứng khoán

khác nhau đều có các λ giống nhau thì không có sự chênh lệch giá chứng khoán, còn nếu

chúng khác nhau thì có sự chênh lệch. Ví dụ 1.11 minh họa kỹ thuật này.

Ví dụ 1.11: Việc xác định các phần bù rủi ro nhân tố là duy nhất.

rA = 0,06 - 0,03F1 + 0,095F2

22

B =

0,0

8 +

0,

02F1

+

0,01F2

C =

0,1

5 +

0,

04F1

+

0,04F2Hãy xác định xem cơ hội chênh lệch có hay không bằng việc so sánh cặp λ tìm

được khi sử dụng chứng khoán A, B và tài sản rủi ro với cặp λ tìm được khi sử dụng

chứng khoán B, C và tài sản phi rủi ro.

Giải: Phương trình TSSL mong đợi – rủi ro APT phát biểu:ri=rf +β i ,1 λ1+β i ,2 λ2

Sử dụng tài sản phi rủi ro và chứng khoán A và B để tìm λ1, λ2 theo cặp phương

trình sau:0,06=0,05−0,03 λ1+0,095 λ2

0,08=0,05+0,02 λ1+0,01 λ2

Kết quả: λ1=1,25 ; λ2=0,5

Sử dụng tài sản phi rủi ro và chứng khoán B và C để tìm λ1, λ2 theo cặp phương

trình sau:0,08=0,05+0,02 λ1+0,01 λ2

0,15=0,05+0,04 λ1+0,04 λ2

Kết quả: λ1=0,5 ; λ2=2

Bởi vì cặp λ thứ hai khác so với cặp λ đầu tiên nên phương trình APT không chứa

đựng cặp λthứ hai và có sự chênh lệch.

Nếu chứng khoán C trong ví dụ nêu trên có tỷ suất sinh lợi mong đợi là 0,12 thì

cặp λ thứ hai sẽ bằng cặp λ dầu tiên và lúc này thì không có sự chệnh lệch.

1.2.9.4. Kết hợp APT với trực giác CAPM để hiểu được bao nhiêu độ sai lệch

được cho phép.

Đưa ra rủi ro riêng, các mô hình nhân tố của APT, kết hợp với trực giá CAPM về

sự cân bằng thị trường từ CAPM, hình thành một mô hình trong đó phương trình APT

chứa đựng hầu như hoàn toàn tất cả các chứng khoán. CAPM cho chúng ta thấy rằng các

thành phần của một rủi ro chứng khoán mà độc lập với thị trường sẽ không ảnh hưởng

đến các TSSL mong đợi của nó. Bởi vì các DMĐT thị trường chứa đựng một số lượng

lớn các chứng khoán nên TSSL của nó chỉ có một ít rủi ro riêng. Do đó, thành phần của

một rủi ro chứng khoán riêng hầu như không có hiệu quả trên hiệp phương sai của nó với

thị trường và vì thế sẽ không ảnh hưởng đến các tỷ lệ TSSL mong đợi.

Tức là, phương trình APT sẽ chứa đựng hầu hết thậm chí hoàn toàn những sự đầu

tư với rất nhiều rủi ro riêng.

23

2.1. Tổng quan về thị trường chứng khoán Việt Nam

2.1.1. Quá trình ra đời

Để thực hiện đường lối công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước đòi hỏi phải có

nguồn vốn lớn cho đầu tư phát triển kinh tế. Vì vậy, việc xây dựng TTCK ở Việt Nam đã

trở thành nhu cầu bức xúc và cấp thiết nhằm huy động các nguồn vốn trung, dài hạn ở

trong và ngoài nước thông qua chứng khoán nợ và chứng khoán vốn. Thêm vào đó, việc

cổ phần hóa các doanh nghiệp nhà nước với sự hình thành và phát triển của TTCK sẽ tạo

môi trường ngày càng công khai và lành mạnh hơn.

Ngày 10/07/1998 Thủ tướng Chính phủ đã ký ban hành Nghị định

48/1998/NĐ-CP về Chứng khoán và Thị trường chứng khoán cùng với Quyết định

số 127/1998/QÐ-TTg thành lập hai (02) Trung tâm Giao dịch Chứng khoán

(TTGDCK) tại Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh (TPHCM).

Ngày 20/07/2000, TTGDCK TPHCM đã chính thức khai trương đi vào

vận hành, và thực hiện phiên giao dịch đầu tiên vào ngày 28/07/2000 với

2 cổ phiếu niêm yết (REE và SAM).

Đến ngày 08/03/2005, TTGDCK Hà Nội chính thức hoạt động, và đưa 6

cổ phiếu niêm yết (CID, GHA, HSC, KHP, VSH, VTL) giao dịch tại Sàn

chứng khoán thứ cấp vào ngày 14/07/2005.

Sau 7 năm với sự tăng trưởng của thị trường và hội nhập với TTCK thế giới,

TTGDCK TPHCM đã chính thức được Chính phủ ký Quyết định số 599/QĐ-TTg ngày

11/05/2007 chuyển đổi thành Sở giao dịch Chứng khoán (SGDCK) TPHCM. Ngày

08/08/2007, SGDCK TPHCM đã chính thức được khai trương.

2.1.2. Các giai đoạn phát triển của thị trường chứng khoán Việt Nam

Tính đến hết ngày 29/04/2008, TTCKVN đã trải qua gần 8 năm hoạt động với

1.776 phiên giao dịch tại TTGDCK TPHCM, thu hút được 151 cổ phiếu và 3 chứng chỉ

quỹ niêm yết; đồng thời, TTGDCK Hà Nội cũng đã có 609 phiên giao dịch với 135 cổ

phiếu. TTCK tập trung của Việt Nam đã đóng góp đáng kể cho nền kinh tế nước ta; song

khi nhìn lại quá trình hoạt động của thị trường này thì rõ ràng nó chưa thể hiện hết vai trò

là một kênh huy động nguồn vốn trung - dài hạn như chúng ta mong đợi và có thể được

chia thành các giai đoạn sau:

Giai đoạn 1: Từ khi TTGDCK TPHCM chính thức đi vào hoạt động 20/07/2000

đến ngày 25/06/2001 hàng hóa trên thị trường đã tang từ 2 llên 5 cổ phiếu niêm yết được

giao dịch.Đây là giai đoạn mà giá cổ phiếu tăng liên tục, đặc biệt là từ đầu năm 2001 và

đạt mức cao nhất vào ngày 25/06/2001 khi chỉ số VN-Index được 571,04 điểm. Khi đó,

các nhà đầu tư nhỏ lẻ của Việt Nam còn khá mơ hồ về TTCK vì nó quá mới so với họ,

24

phần lớn họ tham gia thị trường chỉ vì sự tò mò hay tính hiếu kỳ. Tuy nhiên, cuối giai

đoạn này cũng là đỉnh cho một cuộc “tuột dốc” khá lâu ngay sau đó.

Giai đoạn 2: Từ ngày 27/06/2001 đến ngày 24/10/2003, thị trường giảm sút nhanh

và mạnh, nhất là khoảng giữa năm 2001 đến cuối năm 2001. Mặc dù thị trường có những

phiên tăng điểm trở lại, nhưng cũng không thể cứu vãn được dù thị trường có những

phiên tăng điểm trở lại, nhưng cũng không thể cứu vãn được trong tình trạng trì trệ và

liên tục giảm, chỉ số VN-Index chủ yếu xoay quanh mức 180-200 và chạm đáy trong lịch

sử TTCKVN vào ngày 24/10/2003 với điểm số là 130,90. Thời điểm đó được xem như là

“ngày thứ sáu đen tối” và được các chuyên gia chứng khoán nhận định rằng phải mất từ 2

đến 3 năm nữa mới phục hồi được.

Giai đoạn 3: Từ ngày 27/10/2003 đến cuối năm 2005, giá cổ phiếu tăng mạnh với

tổng khối lượng giao dịch lớn. Đặc biệt là từ đầu năm 2004, thị trường khởi sắc với

những tín hiệu đáng mừng. Chỉ số VN-Index vào ngày 17/03/2004 đã là 260,71

điểm, gấp đôi số điểm lúc chạm “đáy” và tiếp tục tăng đều cho đến cuối năm 2005. Khi

đó, TTGDCK TPHCM đã có 32 cổ phiếu và 1 chứng chỉ quỹ đang được giao dịch; đồng

thời, TTGDCK Hà Nội cũng đi vào hoạt động được hơn 5 tháng.

Giai đoạn 4: Từ đầu năm 2006 đến cuối năm 2007, giai đoạn này

được mệnh danh là “giai đoạn bùng nổ chứng khoán” trên thị trường Việt Nam với

nhiều diễn biến mà thậm chí các chuyên gia lâu năm cũng không thể dự đoán và giải

thích được. VN-Index chỉ khoảng 300 điểm vào đầu năm 2006 đã tăng vùn vụt lên đến

gần gấp 4 lần (1.170,67 điểm) vào ngày 12/03/2007. Ngay sau đó, thị trường bắt đầu đảo

chiều khi công chúng đầu tư nhận được nhiều lời cảnh báo rằng “TTCKVN đã phát triển

quá nóng”. Tính đến cuối năm 2007, cả hai sàn giao dịch chứng khoán đạt tổng giá trị

vốn hóa là 491 nghìn tỷ, chiếm 43% GDP, có tất cả

253 doanh nghiệp niêm yết và chứng chỉ quỹ đầu tư, hơn 22 công ty quản lý quỹ,

70

quỹ đầu tư trong và ngoài nước, cùng sự tham gia của hơn 70 công ty chứng

khoán.

Giai đoạn 5: Từ đầu năm 2008 đến nay (tính đến hết ngày 29/04/2008), có

nhận định cho rằng thị trường không còn thuật ngữ ngưỡng hỗ trợ hay kháng cự, mà chỉ

có một khái niệm: “rơi tự do”. Đồng loạt các lệnh đều đặt bán ở giá sàn, nhưng lệnh khớp

được là một thành công. Tâm lý nhiều nhà đầu tư rơi vào khủng hoảng, chán nản. Sau

chủ trương thắt chặt tiền tệ để chống lạm phát của Ngân hàng Nhà nước, thị trường ngân

hàng xuất hiện mức “siêu lãi suất” làm cho các nhà đầu tư chuyển vốn của họ từ kinh

doanh chứng khoán sang gửi tiết kiệm. Đồng thời, các ngân hàng ngưng cho vay đầu tư

chứng khoán và thực hiện bán tháo các cổ phiếu để thu hồi nợ. Đây là hai tác động đáng

25

chú ý nhất làm TTCK sụt giảm nhanh chóng, thậm chí giá cổ phiếu và chứng chỉ quỹ còn

thấp hơn giá trị thực rất nhiều. Để hỗ trợ thị trường, Chính phủ khẳng định chủ trương

chấp thuận cho Tổng công ty Đầu tư Kinh doanh vốn Nhà nước (SCIC) mua vào một

danh mục các chứng khoán. Việc SCIC mua vào không phải là “cứu” chứng khoán mà

đơn giản chỉ là Chính phủ muốn sử dụng một công cụ để điều tiết thị trường theo hướng

lành mạnh hóa.

2.2. Những rủi ro trên thị trường chứng khoán Việt Nam

Bất kỳ nhà đầu tư nào khi tham gia đầu tư chứng khoán cũng mong muốn đạt

được hai mục tiêu: tối đa hóa tỷ suất sinh lợi và tối thiểu hóa rủi ro. Tuy nhiên, làm

thế nào để dung hòa được mâu thuẫn thống nhất giữa TSSL và rủi ro? Vấn đề cốt lõi là

ta phải nhận dạng được các loại rủi ro để có thể phòng tránh một cách hiệu quả, từ đó

đưa ra những quyết định đúng đắn trong chiến lược đầu tư của mình. TTCKVN sau gần

8 năm hoạt động đã bộc lộ khá rõ những rủi ro cơ bản của một thị trường điển hình, bao

gồm:

2.2.1. Rủi ro hệ thống

Loại rủi ro này chủ yếu có nguồn gốc từ sự thay đổi các nhân tố vĩ mô như

chiến tranh, lạm phát, sự kiện kinh tế - chính trị ... và tác động của nó ảnh hưởng đến

toàn bộ thị trường. Rủi ro hệ thống có ý nghĩa quan trọng vì nó không thể đa dạng hóa

được cho dù nhà đầu tư có nắm giữ một danh mục tối ưu.

Rủi ro hệ thống bao gồm ba loại chính: rủi ro thị trường, rủi ro lãi suất và rủi ro

sức mua.

2.2.1.1. Rủi ro thị trường

Rủi ro thị trường là rủi ro phụ thuộc chủ yếu vào cách nhìn nhận của các nhà đầu

tư về các loại cổ phiếu nói chung hay về một nhóm các cổ phiếu nói riêng, nó xuất

hiện do có những phản ứng của các nhà đầu tư đối với những sự kiện hữu hình hay vô

hình. Chẳng hạn, khi các nhà đầu tư dự báo rằng lợi nhuận của các công ty sẽ sụt giảm

có thể là nguyên nhân làm cho phần lớn các loại cổ phiếu bị giảm giá. Các nhà đầu tư

thường phản ứng dựa trên cơ sở các sự kiện thực, hữu hình như các sự kiện kinh tế,

chính trị, xã hội còn các sự kiện vô hình là các sự kiện nảy sinh do yếu tố tâm lý của

thị trường. Rủi ro thị trường thường xuất phát từ những sự kiện hữu hình, nhưng do

tâm lý không vững vàng của các nhà đầu tư nên họ hay có phản ứng vượt quá các sự

kiện đó. Những sự sút giảm đầu tiên trên thị trường là nguyên nhân gây sợ hãi đối với

các nhà đầu tư và họ sẽ cố gắng rút vốn, từ đó kéo theo những phản ứng dây chuyền

làm tăng vọt số lượng bán, giá cả chứng khoán sẽ rơi xuống thấp so với giá trị cơ sở.

Điều này đã được minh chứng trong giai đoạn từ giữa năm 2001 đến cuối năm 2003 và

giai đoạn từ đầu năm 2008 đến nay ở nước ta. Do tâm lý bất ổn của nhà đầu tư mà hàng

26

loạt cổ phiếu đã được đặt bán sàn với khối lượng lớn. Khởi nguyên cũng bởi sự kỳ vọng

tăng trưởng giá thái quá của các nhà đầu tư ở các giai đoạn trước đó, khiến cho tình hình

cung cầu chứng khoán luôn mất cân bằng.

2.2.1.2. Rủi ro lãi suất

Rủi ro lãi suất nói đến sự không ổn định trong giá trị thị trường và số tiền thu nhập

trong tương lai, nguyên nhân là dao động trong mức lãi suất chung. Lãi suất tăng cao

sẽ ảnh hưởng tiêu cực đến TTCKVN:

Thứ nhất, lãi suất huy động cao đã khuyến khích nhà đầu tư quay trởlại với

hình thức đầu tư quen thuộc là gởi tiết kiệm thay vì đầu tư vào TTCK đầy rủi ro.

Thứ hai, để bù đắp các chi phí do lãi suất huy động tăng, các ngânhàng

buộc phải tăng lãi suất cho vay. Tuy nhiên, hầu hết các doanh nghiệp ở nước ta

hiện nay đang trong giai đoạn phát triển, nên cácnguồn tài trợ thông qua TTCK

còn rất hạn chế mà chủ yếu dựa vào nguồn vốn vay ngân hàng. Lãi suất cho vay

tăng sẽ làm tăng chi phí sử dụng vốn cũng như làm tăng rủi ro của doanh nghiệp.

Trong khi TTCKVN vẫn đang trong tình trạng ảm đạm thì việc “rút tiền” ra khỏi

lưu thông để chống lạm phát của Ngân hàng Nhà Nước sau Tết Nguyên Đán Mậu Tý

2008 đã làm cho viễn cảnh TTCKVN càng tối tăm hơn. Các Ngân hàng Thương Mại

phải đồng loạt tăng cao lãi suất huy động VND đã đẩy lãi suất vay tăng lên “chóng

mặt”. Thế nhưng, mặc dù các doanh nghiệp có chấp nhận mức lãi suất cao như thế thì

cũng không được cho vay, rồi họ không có vốn để tiếp tục kinh doanh mà huy động

qua TTCK cũng không được. Kết quả là, hàng loạt doanh nghiệp phá sản và thua lỗ,

làm cho kinh tế thêm đình trệ

Ảnh hưởng của những tác động trên là giá chứng khoán liên tục giảm và gây thiệt

hại cho người nắm giữ nó. Như vậy, lãi suất biến động ảnh hưởng đến giá chứng

khoán và đây là yếu tố mà các nhà đầu tư phải xem xét khi thực hiện đầu tư

2.2.1.3. Rủi ro sức mua

Rủi ro thị trường và rủi ro lãi suất có thể được định nghĩa là những biến cố về

số tiền thu được hiện nay của nhà đầu tư. Rủi ro sức mua là biến cố của sức mua của

đồng tiền thu được. Rủi ro sức mua là tác động của lạm phát đối với khoản đầu tư, biến

động giá càng cao thì rủi ro sức mua càng tăng nếu nhà đầu tư không tính toán lạm

phát vào TSSL mong đợi.

Chỉ số lạm phát trong năm 2007 và đầu năm 2008 tăng cao làm cho Chính phủ

và toàn xã hội phải bận tâm và tìm cách giải quyết. Nhà đầu tư ngoài việc lo sợ cho sức

mua của đồng lãi thu được từ đầu tư chứng khoán giảm xuống, họ còn phải đối đầu với

27

rủi ro các chỉ số của TTCK sụt giảm nhanh mà không có điểm dừng. Vì vậy, rủi ro do

tác động của lạm phát cũng là rủi ro không thể đa dạng hóa.

2.2.2. Rủi ro phi hệ thống

Rủi ro phân tán được, tức rủi ro phi hệ thống là một phần rủi ro đầu tư mà nhà

đầu tư có thể loại bỏ được nếu nắm giữ một số loại chứng khoán đủ lớn. Loạirủi ro

này là kết quả của những biến cố ngẫu nhiên hoặc không kiểm soát được chỉ ảnh hưởng

đến một công ty hoặc một ngành công nghiệp nào đó. Các yếu tố này có thể là những

biến động về lực lượng lao động, năng lực quản trị, kiện tụng hay chính sách điều tiết

của chính phủ … Vì hầu hết các nhà đầu tư có hiểu biết tối thiểu đều có thể loại bỏ rủi ro

có thể phân tán được bằng cách nắm giữ một DMĐT đủ lớn từ vài chục đến vài trăm

chứng khoán. Tuy nhiên, các nghiên cứu đã chỉ ra rằng, nếu lựa chọn chứng khoán

một cách cẩn thận thì chỉ cần khoảng 15 chứng khoán là có thể làm nên một DMĐT loại

bỏ được hầu hết rủi ro có thể phân tán được. Rủi ro phi hệ thống được chia làm hai loại

chính là rủi ro kinh doanh và rủi ro tài chính.

2.2.2.1. Rủi ro kinh doanh

Rủi ro kinh doanh xuất phát từ tình trạng hoạt động của công ty, khi có những

thay đổi trong tình trạng này công ty có thể sẽ bị sút giảm lợi nhuận và cổ tức. Nói

cách khác, nếu lợi nhuận dự kiến tăng 10% hàng năm trong những năm tiếp theo, rủi

ro kinh doanh sẽ cao hơn nếu như lợi nhuận tăng tới 14% hay giảm xuống 6% so với

lợi nhuận nằm trong khoảng 9-11%. Rủi ro kinh doanh có thể được chia làm hai loại cơ

bản: bên ngoài và nội tại.

2.2.2.2. Rủi ro tài chính

Rủi ro tài chính liên quan đến việc công ty tài trợ vốn cho hoạt động của

mình. Người ta thường tính toán rủi ro tài chính bằng việc xem xét cấu trúc vốn của một

công ty. Sự xuất hiện của các khoản nợ trong cấu trúc vốn sẽ tạo ra cho công ty những

nghĩa vụ trả lãi mà phải được thanh toán cho chủ nợ trước khi trả cổ tức cho cổ đông

nên nó có tác động lớn đến thu nhập của họ. Rủi ro tài chính là rủi ro có thể tránh được

trong phạm vi mà các nhà quản lý có toàn quyền quyết định vay hay không vay. Một

công ty không vay nợ chút nào sẽ không có rủi ro tài chính.

Bằng việc đi vay, công ty đã thay đổi dòng thu nhập đối với cổ phiếu thường. Cụ

thể là, việc sử dụng tỷ lệ vay nợ gây những hệ quả quan trọng đối với những người

nắm giữ cổ phiếu thường, đó là làm tăng mức biến động trong TSSL của họ, ảnh hưởng

đến dự kiến của họ về TSSL, và làm tăng rủi ro của họ.

2.3. Việc sử dụng hệ số Beta (β) trong phân tích rủi ro đầu tư chứng khoán ở các

nước trên thế giới.

28

Ở các thị trường phát triển, beta được dùng để đánh giá một mức phí rủi ro

chuẩn cho các nhà đầu tư. Nếu mức phí thực tế của một cổ phiếu cao hơn mức phí

chuẩn của chính cổ phiếu đó, thì đây là một cơ hội tốt để mua vào. Vì lúc này, cổ

phiếu đang bị định giá thấp hơn giá trị thật của nó. Và dĩ nhiên, khi thị trường nhận ra

sự hớ hênh của mình trong việc định giá cổ phiếu, thì khi đó giá của cổ phiếu sẽ được

điều chỉnh tăng lên để mức phí rủi ro trở về mức chuẩn. Và ngược lại, khi mức phí rủi ro

thấp hơn mức chuẩn, thì lại là một cơ hội bán ra trước khi mức giá rơi xuống trở lại.

Beta được xác định với đầu vào là các tỷ suất lợi nhuận, mà tỷ suất này được tính

toán dựa trên các mức giá của cổ phiếu theo thời gian. Xét về mặt toán học, beta chỉ

là một công cụ đo lường khả năng biến động giá của các cổ phiếu so với sự biến động

của chỉ số thị trường, nhưng nó là một đại diện cho rủi ro của doanh nghiệp. Theo

Giả thuyết thị trường hiệu quả (Efficient Market Hyppothesis –EMH), giá cả chứng

khoán sẽ phản ánh tất cả mọi hoạt động của doanh nghiệp. Và như vậy, beta đo lường

rủi ro trong sự thay đổi mức giá của cổ phiếu, cũng chính là đo lường rủi ro của doanh

nghiệp

Trên thế giới, các thị trường tài chính phát triển được xem như là thị trường hiệu

quả. Hệ số beta ở các thị trường này là một thước đo hiệu quả của rủi ro hệ thống.

Do đó, nhà đầu tư có thể tự mình tính toán hệ số beta thông qua mô hình CAPM hay

dựa vào các công ty chuyên cung cấp dịch vụ tính toán như Bloomberg, Baseline,

Valueline, … và tìm ra mức phí bù đắp rủi ro tương ứng với mức rủi ro mà họ có thể

chấp nhận

2.4. Thực trạng về việc tính toán hệ số Beta (β) cho các cổ phiếu niêm yết

cũng như nhận thức của các nhà đầu tư trên thị trường chứng khoán Việt Nam

Chính Giả thuyết thị trường hiệu quả đã tước bỏ nhiệm vụ của beta ở thị trường

Việt Nam, bởi TTCKVN chưa thể được coi là một thị trường hiệu quả. Những vấn đề

tồn tại ở TTCKVN bao gồm:

- Thứ nhất là mức giá: Giả thuyết đó cho rằng mức giá phản ánh mọi hoạt động

của doanh nghiệp. Nhưng ở Việt Nam, mức giá chỉ thể hiện một phần nhỏ, phần lớn

là do sự tác động từ cung cầu của các nhà đầu cơ. Do vậy, beta được tính từ các mức

giá này không thể nói lên rủi ro của doanh nghiệp.

- Thứ hai là danh mục thị trường: Hiện nay, ở Việt Nam có hai chỉ số chính là

VN-Index và HaSTC-Index. Hai chỉ số này chưa đủ sức để tạo nên một danh mục thị

trường, bởi danh mục này chưa có đầy đủ các lĩnh vực ngành nghề trong nền kinh tế

và trong từng lĩnh vực không bao gồm các doanh nghiệp đại diện cho lĩnh vực đó.

29

Chính vì vậy, sự biến động của danh mục chưa đánh giá chính xác sự biến động của

nền kinh tế.

- Thứ ba khoảng thời gian các công ty được niêm yết còn quá ngắn, chủ yếu

được lên sàn từ cuối năm 2006, do đó dữ liệu giá chưa đủ độ dài để có thể tiến hành tính

toán tìm ra hệ số beta.Với những hạn chế nêu trên, beta hầu như không có ý nghĩa nếu

được tínhtoán trong giai đoạn này. Tuy nhiên, beta vẫn rất hữu ích nếu chúng ta sử

dụng nó đúng cách. Nếu xét về bản chất đầu tiên của beta thì nó vẫn là một công cụ

thống kê đo lường khả năng biến động của cổ phiếu so với sự biến động của thị

trường. Chúng ta có thể sử dụng beta như một chỉ báo trong phân tích kỹ thuật. Theo

đó, khi beta bắt đầu vượt qua mốc 1, nếu VN-Index có dấu hiệu tăng lên thì sẽ là thời

điểm mua vào, vì giá chứng khoán sẽ gia tăng theo sự gia tăng của chỉ số. Ngược lại,

nếu chỉ số giảm thì nên bán ra vì giá chứng khoán sẽ giảm theo sự giảm của chỉsố.

30

CHƯƠNG 3: GIẢI BÀI TOÁN MARKOWZIT TỐI ƯU HÓA DANH MỤC

ĐẦU TƯ

3.1 Mô hình quản lý danh mục đầu tư.

3.1.1. Giới thiệu danh mục đầu tư.

Harry Markowitz đã mô hình hóa quá trình lựa chọn danh mục đầu tư dưới dạng

một bài toán quy hoạch phi tuyến (bài toán Markowitz). Mục tiêu của bài toán Markowitz

là tìm các tỉ trọng của các chứng khoán trong danh mục đầu tư sao cho giảm tới mức tối

thiểu phương sai (rủi ro) của danh mục mà đạt được một mức thu nhập đã định. Giải liên

tiếp bài toán với các mức thu nhập mong đợi người ta xác định được một tập hợp các

danh mục đầu tư có hiệu quả. Từ đây nhà đầu tư sẽ lựa chọn một danh mục nằm trong tập

hợp các danh mục dựa trên quan điểm của mình về việc “đánh đổi” giữa thu nhập và rủi

ro.

Lý thuyết của Markowitz cũng chỉ ra rằng việc đa dạng hóa danh mục đầu tư sẽ

giảm thiểu rủi ro phi hệ thống đối với các nhà đầu tư. Những rủi ro phi hệ thống như: sự

mất giá của tiền đồng so với đồng Dollar hay sự bất ổn về mặt chính trị của một quốc gia

nơi mà các công ty có cổ phiếu niêm yết trên sàn giao dịch hoặc tình hình dịch bệnh cũng

ảnh hưởng đến một nhóm cổ phiếu của các công ty thuộc các hngành liên quan có cổ

phiếu niêm yết trên sàn giao dịch,…

Hiện nay có rất nhiều mô hình toán học liên quan đến việc lựa chọn danh mục đầu

tư đã được xây dựng và phát triển dựa trên mô hình của Markorwitz. Hầu hết các mô

hình này cố gắng xây dựng theo hướng thực tiễn tức là phải đạt tối đa lợi nhuận có thể

được, cực tiểu hóa rủi ro của các loại chứng khoán trong danh mục đầu tư và cực tiểu

hóa chi phí giao dịch,…nhưng phải phù hợp với sự biến động và hành vi của nhà đầu tư

trong thị trường chứng khoán.

3.1.2. Mô hình toán học

a) Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên ban đầu.

Trong dạng cơ bản nhất, bài toán lựa chọn danh mục đầu tư được phát biểu như

sau. Xét một lượng tiền cố định để đầu tư vào chứng khoán đã được lựa chọn từ tập hợp

gồm n chứng khoán.

Cho biết:

Thời kỳ bắt đầu và kết thúc việc nắm giữ cổ phiếu hay chứng khoán.

31

x i là lượng tiền trong tổng số tiền ban đầu của nhà đầu tư để đầu tư vào

chứng khoán thứ i.

∑i=1

n

x i=¿1¿

Ri=E (ri ) : Kỳ vọng vào lợi nhuận của chứng khoán thứ i.

ri là biến ngẫu nhiên cho thu nhập từ chứng khoán thứ i trong suốt thời kỳ

nắmgiữ hứng khoán này. Khi đó giá trị thực của ri vẫn chưa biết cho đến kết thúc

thờikỳ nắm giữ cổ phiếu, hơn nữa giả sử rằng tất cả các kỳ vọng μi phương sai σ i

vàhiệp phương sai σ ijcủa riđã biết tại lúc đầu của thời kỳ nắm giữ chứng khoán.r pđược xem như là biến ngẫu nhiên thu nhập trên danh mục đầu tư xác định

bởi rivà giá trị của x i trong suốt thời kỳ nắm giữ cổ phiếu. Chúng ta có:

r p=∑i=1

n

ri x i

Giả sử rằng các nhà đầu tư chỉ quan tâm tối đa hóa các mục tiêu thu nhập dựa trên

danh mục đầu tư. Sau đó bài toán lựa chọn danh mục đầu tư để cực đại r p được phát biểu

như sau:

Max {r p=∑i=1

n

ri x i}(1)

Sao cho x∈S={x ϵ Rn|∑i=1

n

x i=1 , α i≤ x i≤ ωi}Trong đó S là tập chấp nhận được.

Trong khi (1) có thể trong giống như bài toán quy hoạch tuyến tính, nhưng thực ra

không

phải . Khi ri chưa biết cho đến khi thời kỳ nắm giữ cổ phiếu kết thúc, nhưng x i

phải được

xác định tại lúc đầu của thời kỳ nắm giữ cổ phiếu thì (1) là bài toán tuyến tính

ngẫu nhiên.

Như vậy kể từ bây giờ ta gọi (1) là bài toán quy hoạch ngẫu nhiên ban đầu.

Nghiệm của bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên rất khó xác định vì ch ưa

có một

khái niệm phù hợp về nghiệm tối ưu cho bài toán quy hoạch ngẫu nhiên. Một

cách tiếp

cận cơ sở để giải bài toán (1) là chuyển bài toán ngẫu nhiên thành bài toán tương

đương

32

mà ta gọi là bài toán tất định tương đương. Bài toán tất định tương đương mặc

nhiên có

các đặc trưng thống kê hoặc tính chất đặc trưng của các bi ến ngẫu nhiên . Đối với

bài toán ngẫu nhiên một mục tiêu như bài toán (1) có năm khả năng tất định tương

đương là:

Max {E [r p ]=∑i=1

n

ri x i}Sao cho x∈S.

Min {E [r p ]=∑i=1

n

∑j=1

n

σ ij xi x j}Sao cho x∈S.

Max {E [r p ]}Min {V [r p ] }Sao cho x∈S .

Max {P [r p ] ≥ μ }Sao cho x∈S.

Max { μ } Sao cho P (r p ≥ μ ) ≥ β

x∈S

Ta hãy nhớ lại rằng ở phần trước tất cả các yếu tố kỳ vọng μi phương sai σ i và

hiệp phương sai σ ij của r pđược giả sử là đã biết vào thời kỳ bắt đầu nắm giữ cổ phiếu,

nhưng với danh mục đầu tư đã chọn lựa, một nhà đầu tư phải làm cách nào để thay đổi

danh mục đầu tư đã chọn. Điểm này sẽ được minh họa để nắm các bước giải và đào sâu

nghiên cứu các yếu tố căn bản (đã đưa trong bài toán quy hoạch ngẫu nhiên đầu tiên)

thành khả năng tất định tương ứng từ (a) đến (e).

Các nhà toán học ở thế kỷ 17 giả sử rằng một người chơi bài thì không quan tâm

đến một

kết quả không chắc chắn của ván bài và giá trị tiền mặt thu được như mong đợi.

Trong vai trò của việc lựa chọn danh mục đầu tư, thì những người chơi bài sẽ là một nhà

đầu tư và hành động chọn lá bài trong cuộc khi chơi bài cũng giống như việc lựa chọn

cổ phiếu trong danh mục đầu tư. Và ta có một biểu thức chắc chắn tương đương là:

CE=E [r p ]Rõ ràng một nhà đầu tư s ẽ muốn cực đại lượng tiền mặt nhận được một cách chắc

chắn, đây là lý do căn bản trực tiếp dẫn đến khả năng tất định tương đương (a). Tung một

đồng xu cho đến khi mặt của nó là: “xấp”. Các tay chơi cá cược sẽ nhận được 1

đồng nếu khi tung đồng xu lần đầu là mặt “xấp”. 2 đồng nếu qua 2 lần tung đồng

xu thì

33

được mặt “xấp”, 4 đồng nếu qua 3 lần tung đồng xu thì được mặt “xấp”, một

cách tổng

quát là sẽ được 2h−1đồng nếu qua h lần tung đồng xu thì được mặt “xấp”. Giá trị

kỳ vọng của cuộc cá cược là không xác định, nhưng trong thực tế nhiều tay cá cược sẽ

sẵn lòng chấp nhận chỉ với một lượng nhỏ khi cá cược.

Do đó, Bernoulli đề nghị không so sách kết quả bằng tiền mặt mà so sánh thông

qua tính

“lợi ích” của tiền mặt. Hàm lợi ích của tiền mặt được xác định như sau:

U : R → R

Do đó chúng ta có:

U (CE )=E [U (r p ) ]Điều này có nghĩa là l ợi ích của CE bằng kỳ vọng lợi ích của danh mục đầu tư

ngẫu nhiên.

Nhà đầu tư hy vọng cực đại U(CE), điều này dẫn đến bài toán cơ sở Bernoulli

nhằm cực

đại lợi ích mong đợi như sau:

Max {E [U ( r p ) ]}(2)Sao cho x∈S

Hàm U rõ ràng tăng cùng với r p, điều này có nghĩa l à với bất kỳ x nào là nghiệm

của (2)

thì là nghi ệm của (1) và ngược lại. Mặc dù bài toán lợi ích kỳ vọng cực đại của

Bernoulli-(2) được xác định là tương đương với (1), chúng ta vẫn gọi đây là một bài

toán xác định “không tất định” tương đương bởi vì bài toán không xác định một cách

đầy đủ các tham số hàm lợi ích chưa biết và không thể giải được ở dạng hiện tại. Tuy

nhiên với những nhà đầu tư giả sử rằng có những rủi ro ngoài ý muốn.

Trong bài toán (2) thì U là một hàm lõm và bất định nên ta cần phải tham số hóa

hàm U

và sau đó cố gắng giải bài toán (2). Markowitz để xuất hàm lợi ích bậc 2 đã tham

số hóa

như sau:

U ( x )=x− λ2

x2 (3 )

Kể từ khi U(x) ở trên đã được chuẩn hóa sao cho: U(0) = 0 và U’(0) = 1, điều này

dẫn đến chính xác một tham số λ – hệ số rủi ro ngoài ý muốn. Với các tham số này

Markowitz cho thấy một cách chính xác tất cả các phương án cực đại tiềm năng của bài

34

toán không tất định (undetermined) tương ứng – (2) với rủi ro ngoài ý muốn, thì các

nhà đầu tư có thể đạt được điều này bằng cách giải bài toán khả năng tất định tương

đương (c).

Max {E [r p ]}Min {V [r p ] }

Sao cho xϵ S .

∀ x∈S Thì việc tăng hay giảm thiểu rủi ro cũng không làm giảm lợi nhuận kỳ

vọng đạt

được từ danh mục đầu tư của nhà đầu tư. Như đã biết tập các vector x như vậy

thay cho

tập hữu hiệu (không gian thành phần đầu tư) và tập tất cả các ảnh của các điểm

hữu hiệu

thay cho tập không trội (trong không gian tiêu chuẩn). Do đó với U như trong (3),

th ì (c)

là bài toán tất đ ị nh tương đương thích hợp nhất của 5 bài toán nêu trên. Chú ý

rằng ứng

với giá trị cực biên λ=0( rủi ro trung lập) hoặc λ → ∞ (rủi ro ngoài ý muốn), chúng

ta

đạt được khả năng (a) hoặc (b) một cách tương ứng, như trường hợp đặc biệt (c).

Nên chú

ý rằng kể từ khi hàm giới hạn U không tồn tại khi λ → ∞, (b) thì không đạt được

một

cách trực tiếp các phương án làm cực đại lợi ích kỳ vọng. Chỉ đạt được khi giới

hạn của

các phương án của lợi ích kỳ vọng đối với việc tăng rủi ro ngoài ý muốn.

Ta xét một tình huống cực biên khác trong đó:

U ( x )={ 1, N ế u c+ε≤ xx−c

ε, N ế u c≤ x≤ c+ε

0 , N ế u x<c

Với tham s ố chưa biếtc và ε>0, ta thấy rằng:

P (r ≥ c ) ≥ E [U (r ) ]≥ P (r≥ c+ε )

Khi r là biến ngẫu nhiên liên tục, chúng ta đạt được:

E [U (r ) ]=P (r ≥ c )

35

Khi ε → ∞, điều này dẫn đến bài toán (d) và (e).

Thực tế, cho ∁ là mức rủi ro tự do của việc lợi nhuận. Sau đó (d) có ý nghĩa rằng

khả

năng để nhận ít mức rủi ro tự do của lợi nhuận nhất của danh mục đầu tư cần cực

đại.

Nếu r=(r1 , …,r n) là phân phối chuẩn nhiều chiều, trong trường hợp∁ bằng với mức

rủi

ro tự do, sau đó lời giải (d) với danh mục đầu tư sẽ đạt được nhiều lợi tức. Lần

nữa, cần

phải chú ý rằng (d) và (e) không đạt được phương án tối ưu cực đại lợi ích kỳ

vọng. Ngoài ra một khả năng tất định tương đương thứ 6 đưa vào (1) là:

(f) Max {E [r p ]}Min {V [r p ] }

Max {Skew [r p ]=∑i=1

n

∑j=1

n

∑k=1

n

γijk x i x j xk} Sao cho x∈S .

Trong đó: Skew là ký hiệu của đối xứng lệch.

γ ijk=E [ ( Ri−ri ) ( R j−r j ) ( Rk−rk ) ]Với các vector tiêu chuẩn độ dài 3, (f) là bài toán danh mục đầu tư đa mục tiêu.

Công thức này có thể là công thức tiêu chuẩn đa mục tiêu duy nhất, không giống như lựa

chọn danh mục đầu tư thông thường khi kết quả của lợi nhuận nằm trong đối xứng. Tuy

nhiên, ta không chú trọng vào công thức (f) - như là một kết quả không tuyến tính của

tiêu chuẩn thứ 3, không được ưa thích nhiều trong thực tế. Thay vào đó, ta t ập trung vào

các loại mới của bài toán lựa chọn danh mục đầu tư đa mục tiêu vì điều này đã xuất hiện

như là một kết quả của nhi ều mục đích phức tạp của các nhà đầu tư.

Khi các công thức đa mục tiêu cho thấy nhiều tham vọng của nhà đầu tư hơn

trong lựa

36

chọn danh mục đầu tư thông thường thì các công thức tiêu chuẩn đa mục tiêu

hầu như

thích hợp khi cố gắng đáp ứng những nhu cầu mẫu mực của các nhà đầu tư với

hàm lợi

ích đa đối số. Trường hợp 2 trong các hàm lợi ích đa đối số sẽ không dễ xảy ra với

lý do

như sau:

Thứ 1: Việc tăng thêm l ợi nhuận từ danh mục đầu tư, một nhà đầu tư có

những suy xét khác nhau, chẳng hạn: để cực đại hóa trách nhiệm xã hội và cực

tiểu số lượng cổ phần trong danh mục đầu tư. Như vậy thay vì quan tâm trong việc

cực đại các mục tiêu ngẫu nhiên là l ợi nhuận đạt được từ danh mục đầu tư, nhà

đầu tư có thể tối ưu một số tổ hợp của một vài mục tiêu ngẫu nhiên và tất định.

Thứ 2 : trong đó hàm lợi ích đa đối số liên quan là khi một nhà đầu tư

không sẵn lòng chấp nhận giả thiết rằng tất cả giá trị kỳ vọng μi, phương sai σ ivà

hiệp phương σ ijcó thể coi như đã biết tại thời kỳ bắt đầu nắm giữ các loại cổ phiếu.

Để phản ứng lại nhà đầu tư có thể muốn giám sát sự “hình thành” danh m

ục đầu tư của họ với sự trợ giúp của các tiêu chuẩn bổ sung, chẳng hạn như: cổ

tức, sự tăng trưởng trong việc bán hàng, lượng đầu tư trong nghiên cứu và phát

triển và những hứ khác có liên quan, để đảm bảo chống lại việc dựa vào các tiêu

chuẩn đơn lẻ hoàn toàn không liên quan.thứ khác có liên quan, để đảm bảo chống

lại việc dựa vào các tiêu chuẩn đơn lẻ hoàn toàn không liên quan.

Choz1 là là một phương án của r p. Khi đó, danh sách của các giá trị tiêu

chuẩn z i, từ những đối số có thể được lựa chọn để bố trí hàm lợi ích đa đối số của

nhà đầu tư như sau:

Max {Z1=L ợ i nhuậ n danh mụ c đầ u t ư } Max {Z2=Tiề n l ã i cổ ph ần /cổ t ứ c } Max {Z3=T ă ng tr ưở ng trongb án hà ng } Max {Z4=Tr á chnhiệ m x ã h ộ i } Max {Z5=Khả n ă ng thanhkho ả nb ằ ng ti ề n mặ t } Max {Z6=L ợ i nhuậ n t ừ cá c lo ạ iCK đã ch ọ n t ừ danh m ụ c } Max {Z7=Lượ ng ti ề n đầ u t ư cho vi ệ cnghi ê n cứ u và ph á t tri ể n} Max {Z8=Phầ ntr ăm của độ l ệ ch trongvi ệ c ph â n ph ố i t à i s ả n} Max {Z9=S ố l ượ ng chứ ng kho á n trongdanh mụ cđầ u t ư } Max {Z10=Doanh thu } Max {Z11=C ự cđạ i t ỉ tr ọng câ n xứ ng đầ u t ư }

37

Mục tiêu ngẫu nhiên cần cực đại của danh mục đầu tư

Bài toán ngẫu nhiên ban đầu

Bài toán xác định không tất định

Bài toán tất định 2 mục tiêu

Max {Z12=L ượ ng ti ền t ừ vi ệ cb á nc ổ phi ế u trong ng ắn hạ n} Max {Z13=S ố lượ ng c ổ phi ế u bá n trong th ờ i gianng ắn h ạn}

Tất nhiên các z icó thể hình dung được. Chú ý sự khác biệt giữa z1 đến z6 và z8

đến z13. Đối với 6 hàm z đầu tiên, có thể không biết các giá trị thực tế của z i ( i

=[1,6] ) cho đến khi kết thúc thời kỳ giữ cổ phiếu. Phụ thuộc vào việc tăng các biến ngẫu

nhiên liên quan với cổ phần n, như z1, …, z6 là một biến ngẫu nhiên. Do đó sáu hàm z1→ z6 là các hàm mục tiêu ngẫu nhiên.

Từ z8→ z13, giá trị thực của chúng đối với bất kỳ vector tỉ lệ đầu tư x thì có hi ệu

lực tại

thời kỳ bắt đầu nắm giữa cổ phiếu. Ví dụ: bất kỳ vector tỉ lệ đầu tư x,z9 thì được

đặc trưng bởi các thành phần khác 0 trong vector x. Với z8→ z13nếu xét từ lúc nắm giữ cổ

phiếu thì thì chúng là các hàm mục tiêu tất định.

Thứ nhất có thể hỏi tại sao không thể tăng thêm hàm mục tiêu được hiểu theo

nghĩa các ràng buộc? Điểm khó là việc thiết lập giá trị bên phía vế phải của ràng buộc.

Tổng quát, mô hình để tạo biên kỳ vọng – phương sai không trội chứa các tiêu chuẩn

của danh mục đầu tư tối ưu thì cần phải biết giá trị tối ưu của mỗi mục tiêu đã được mô

hình hoá, trong nhiều trường hợp điều này là rất khó.Z1hầu như chắc chắn là đối số của hàm mục lợi ích của nhà đầu tư, các đối số bổ

sung phụ thuộc vào các nhà đầu tư. Ví dụ, tập các đối số của nhà đầu tư bao gồm

{z1 , z2 , z10 }và các tập khác bao gồm {z1 , z5 , z7 , z8 , z11 ,} . Lưu ý là hành vi nhà đầu tư thường thì

khác nhau. Nếu ta đặt k là số các mục tiêu đã được lựa chọn, trong trường hợp của nhà

đầu tư thứ nhất, k = 3 và trong trường hợp nhà đầu tư thứ 2, k = 5. Tất nhiên, tập các đối

số của nhà đầu tư kỳ vọng - phương sai thông thường chỉ là z1 khi k = 1.

38

Các mục tiêu ngẫu nhiên và tất định cần tối ưu

..

..

.

..

..

Bài toán ngẫu nhiên ban đầu đa mục tiêu

Bài toán xác định không tất định

Bài toán tất định đa mục tiêu

Hình 21: Cấu trúc phân tầng của bài toán tuyến tính ngẫu nhiên, tương đương với

bài toán tuyến tính tất định “không xác định” và bài toán tuyến tính bổ sung tất định

tương ứng của việc lựa chọn danh mục đầu tư chuẩn.

Hình 21 là mô hình để cực đại bi ến lợi nhuận ngẫu nhiên từ danh mục đầu tư.

Hình 22: Cấu trúc bài toán tuyến tính ngẫu nhiên đa mục tiêu ban đầu, tương ứng

với bài

toán tuyến tính tất định.

Hình 22 là mô hình để tối ưu một vài tổ hợp của mục tiêu ngẫu nhiên và tất định.

η là ký hiệu số hàm mục tiêu ngẫu nhiên cần quan tâm và Diη+1( x ) là hàm mục tiêu

đầu

39

tiên trong số k−η hàm mục tiêu tất định mà ta quan tâm. Chẳng hạn như, nếu

Di13(x ) nằm trong số k−η hàm mục tiêu này thì Di13

(x )sẽ được xem như là hàm sẽ trả về giá

trị của các x i có giá trị âm.

Bài toán bất định tương đương với bài toán tuyến tính tất định bổ sung cho việc

lựa chọn

danh mục đầu tư đa mục tiêu.

Trong bước 3 của hình 22 là bài toán tuyến tính tất định “không xác định” :

Max {E [ U ( zi1, .. , z iη

, ziη+1,.. , zik) ]}

Sao cho x∈S

Tận dụng cặp kỳ vọng và phương sai cho mỗi đối số ngẫu nhiên của hàm lợi ích,

ta có bài

toán tuyến tính tất định bổ sung tương đương – bước cuối cùng trong hình 22. Ta

sử dụng nhóm từ “bổ sung” bởi vì đây là bài toán tất định thực tế được bổ sung. Chú ý

rằng tất cả các mục tiêu tất định của bài toán tuyến tính ngẫu nhiên đa mục tiêu ban đầu

được lặp lại không đổi trong bài toán tuyến tính bổ sung tất định tương đương.

Như một vấn đề thực tế, đối với những mục tiêu tất định mà sự thay đổi/dao động

là nhỏ

hoặc không đáng để chú ý, thì có khả năng đặt nó trong bài toán tuyến tính bổ

sung tất

định tương đương trong bước cuối cùng của hình 22 bằng (a) thay vì (c). Điều

này sẽ rất

thuận lợi nếu có thể. Giả sử tập các nhà đầu tư là {z1 , z2 , z3 }. Khi đó các mục tiêu

này là tuyến tính. Bài toán tuyến tính ngẫu nhiên ban đầu của nhà đầu tư sẽ là:

Max ¿

Min ¿

Max ¿

Max ¿

Sao cho x∈S

Thuận lợi trong việc sử dụng (a) thay vì (c) với mục tiêu ngẫu nhiên là l ợi nhuận

đạt được từ danh mục đầu tư với rủi ro được đánh giá qua phương sai_V đối với mỗi

mục tiêu, như vậy có thể được loại bỏ từ bài toán tuyến tính bổ sung tất định. Điều này

không chỉ đơn giản yêu cầu tập hợp dữ liệu mà còn giảm bớt gánh nặng tính toán tập

chứa các nghiệm không trội.

40

b) Tập nghiệm không trội của kỳ vọng - phương sai.

Để thuận tiện bây giờ ta sử dụng ký hiệu ma trận. Để chuẩn bị cho việc áp dụng

bốn bước giải pháp Markowitz nhằm tạo ra các bài toán lựa chọn danh mục đầu tư đa

mục tiêu, điều này rất hữu ích cho việc nghiên cứu những chi tiết lớn về công thức kỳ

vọng phương sai bước cuối ở hình 21:

Max {E [ z1 ]=μT x } Min {V [ z1 ] } Sao cho x∈S.

Trong đó :μ∈R :Vector gi á tr ị k ỳ v ọ ng c ủa ri

Γ∈Rm×n : Matr ậ nhi ệ p ph ươ ng sai σ ij

3.2 Tổng quan về bài toán Markowitz.

Quy hoạch toàn phương có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, nhất là trong lĩnh vực

kinh tế. Một ứng dụng điển hình đó là bài toán Markowitz. Harrry Markowitz là nhà toán

học và nhà kinh tế học, ông đã nghiên cứu quá trình đầu tư trong kinh tế và đề xuất lên

bài toán Markowitz về tối ưu hóa danh mục đầu tư. Với công trình này ông đã đạt giải

Nobel về kinh tế. Bài toán này được mô hình hóa dưới dạng quy hoạch toàn phương,

thông qua việc giải bài toán các nhà đầu tư sẽ có thêm phương hướng để lựa chọn danh

mục đầu tư của mình.

Để hiểu được bài toán này, trước hết chúng ta cần có một chút kiến thức về lĩnh

vực kinh tế [2]. Đầu tiên chúng ta cùng tìm hiểu một vài khái niệm và các đại lượng ngẫu

nhiên có tính quy luật trong kinh tế:

+ Lợi suất đầu tư vào một tài sản

Lợi suất đầu tư trên một tài sản tài chính là thu nhập mà tài sản này mang lại và sự

tăng vốn (tăng giá trị tài sản) của chính tài sản đó. Như vậy lợi suất tăng vốn bao gồm cả

hiệu suất sinh lợi do thu nhập từ tài sản mang lại và giá trị vốn tăng thêm so với giá mua

ban đầu của tài sản. Công thức đánh giá lợi suất của một tài sản là:

Rt=Dt+Pt−Pt−1

Pt−1

Trong đó:

41

• Rtlà lợi suất của tài sản đầu tư trong thời kỳ t.

• Dtlà thu nhập từ tài sản mà nhà đầu tư nhận được trong thời kỳ t.

• Ptlà giá trị của tài sản ở cuối kỳ t.

• Pt−1là giá trị của tài sản ở cuối kỳ t −1.

Công thức trên cũng được dùng để đánh giá hiệu quả của các tài sản đầu tư

trong quá khứ. Để đánh giá hiệu quả đầu tư trong tương lai nhà đầu tư phải

tính đến sự không chắc chắn của lợi suất. Công thức tính lợi suất kỳ vọng:

E ( R )=∑i=1

n

Pi Ri

chính là công thức để đánh giá hiệu quả đầu tư mong đợi về một tài sản cá biệt.

Nếu nhà đầu tư tin rằng tương lai chắc chắn thu được các lợi suất mong đợi hoặc nếu các

quan sát trong quá khứ có thời gian đủ dài để bộc lộ đầy đủ xu hướng thì có thể đánh giá

lợi suất kỳ vọng bằng trung bình cộng của các lợi suất thực hiện trong N thời kỳ, tương

đương với:

E ( R )= 1N∑i=1

n

R t

+ Lợi suất của một danh mục đầu tư

Công thức trên để đánh giá hiệu quả của một tài sản. Nếu nhà đầu tư không chỉ

đầu tư vào một tài sản mà đầu tư vào nhiều loại tài sản thì phải có những phương pháp

đánh giá hiệu quả đầu tư cho một danh mục tài sản. Một danh mục đầu tư chứng khoán

bao gồm nhiều loại chứng khoán khác nhau. Mỗi loại chứng khoán lại có lợi suất đầu tư

riêng. Vì thế lợi suất ước tính của một danh mục đầu tư chứng khoán là bình quân của lợi

suất thu được từ mỗi chứng khoán trong danh mục đầu tư đó. Công thức tính:

E (r p )=w1 E (r1 )+w2 E (r2 )+…wn E ( rn )=∑i=1

n

wi E (ri )

Trong đó: w1, w2 ,… wn là tỷ trọng vốn đầu tư vào từng loại tài sản,E (ri ) là lợi suất

đầu tư tương ứng.

+ Rủi ro danh mục đầu tư

Rủi ro của từng chứng khoán là sự biến thiên của kết quả đó từ một nguyên

nhân ban đầu, được lượng hóa bằng độ lệch chuẩn của lợi suất thu được. Cũng

giống như từng chứng khoán riêng lẻ, rủi ro tổng thể của danh mục chứng

khoán là khả năng biến động trong tương lai về kết quả thu được từ danh mục

đầu tư. Vì thế khi phân tích rủi ro của một danh mục đầu tư chứng khoán nguời

ta phải quan tâm đến rủi ro của cả danh mục chứ không phải rủi ro của một

loại chứng khoán nào.

42

Trong một danh mục đầu tư mỗi loại chứng khoán có mức rủi ro khác nhau. Vì thế

đa dạng hóa đầu tư (không bỏ tất cả trứng vào một rổ) trở thành một nguyên tắc trong đầu

tư chứng khoán và là giải pháp quan trọng để giảm thiểu rủi ro cho toàn danh mục.

Thực tế cũng chứng minh rằng, nhiều khi bổ sung vào một danh mục đầu tư các

chứng khoán có tính rủi ro lại là yếu tố quan trọng góp phần giảm thiểu rủi ro cho toàn

danh mục đầu tư. Bởi vì một khi danh mục đầu tư có nhiều loại chứng khoán khác nhau

thì giữa chúng sẽ có tác động tương tác, bù trừ rủi ro lẫn nhau và tạo ra một kết quả đầu

tư chung cho toàn danh mục. Để xác định hệ số rủi ro giữa hai chứng khoán và giữa

chứng khoán với từng danh mục người ta cần xem xét hệ số covariance (tích sai - đồng

phương sai) và hệ số tương quan (correlation coefficient) của danh mục đầu tư. Công

thức tính hệ số covariance giữa hai chứng khoán như sau:

Công thức covariance chỉ cho thấy mối tương tác giữa hai chứng khoán cùng chiều

hay ngược chiều mà chưa chỉ ra mức độ biến động của chúng. Để định lượng mức độ

biến động này ta sử dụng đến hệ số tương quan để giới hạn covariance trong khoảng từ

−1 đến +1, công thức tính:

Cov ( ra ,r b )=σ a ,b=∑ Pi [ ra−E (r a ) ] [rb−E ( rb ) ]Công thức covariance chỉ cho thấy mối tương tác giữa hai chứng khoán cùng chiều

hay ngược chiều mà chưa chỉ ra mức độ biến động của chúng. Để định lượng mức độ

biến động này ta sử dụng đến hệ số tương quan để giới hạn covariance trong khoảng từ

−1 đến +1, công thức tính:

Cov ( ra ,r b )=Cov (ra , rb )

σa σb

+ Lý thuyết danh mục đầu tư hiện đại

Những người theo lý thuyết danh mục đầu tư hiện đại cho rằng thị trường

chứng khoán là một thị trường hiệu quả, có nghĩa là giá cả chứng khoán phản

ứng tức thì với hầu hết các thông tin về đầu tư nên không nhà phân tích nào

được coi là sáng suốt trên khía cạnh tổng thể của thị trường. Trọng tâm chính

của nhà quản lý danh mục đầu tư là lựa chọn một tập hợp các khoản mục đầu

tư có thể mang lại cho nhà đầu tư thu nhập mong đợi cao nhất theo từng mức

rủi ro nhất định.

Ta vừa xem xét một vài khái niệm về lĩnh vực kinh tế, Markowitz dựa vào các lý

thuyết trên và đưa ra mô hình Markowitz [5] về cách lựa chọn danh mục đầu tư hiệu quả

nhất. Nào chúng ta hãy cùng tìm hiểu mô hình[10] này trong sự tác động giữa các biến

ngẫu nhiên.

43

3.2.1 Phát biểu bài toán Markowitz cơ bản và các tính chất

Mục tiêu của bài toán Markowitz là tìm tỷ trọng của các chứng khoán trong

danh mục đầu tư sao cho giảm tới mức tối thiểu phương sai (rủi ro) của toàn danh mục

mà đạt được một mức thu nhập nhất định. Giải bài toán với các mức thu nhập mục tiêu

nguời ta xác định được một tập hợp các danh mục đầu tư hiệu quả. Từ đây nhà đầu tư có

thêm một phương hướng đầu tư dựa trên quan điểm của mình về việc đánh đổi thu nhập

và rủi ro.

Trong phần này bài toán chỉ tập trung vào mô tả kỹ bài toán trong sự tác động của

các biến ngẫu nhiên, các tính chất cơ bản nhất.

Phát biểu bài toán:

Min : rủi ro của toàn danh mục đầu tư Thỏa mãn:

giá trị kỳ vọng lợi nhuận trả về hay lợi nhuận ước tính của toàn danh mục

đầu tư phải lớn hơn mức tối thiểu (mức mục tiêu đề ra) cho phép.

các tỷ trọng đầu tư ứng với từng chứng khoán: các tỷ trọng này phải không

âm và có tổng bằng 1.

Các ký hiệu sử dụng:

Chỉ số i : chỉ mục đầu tư thứ j (hay chứng khoán j) Các tham số: Ri lợi nhuận trả về của chứng khoán j (biến ngẫu nhiên) mi giá trị lợi nhuận kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Rj

M giá trị lợi nhuận tối thiểu (giá trị mục tiêu đề ra) của toàn danh mục đầu

tư trả về.

Biến: x i tỷ trọng đầu tư vào chứng khoán i. Mô hình toán học:

MinVar {∑i

R i x i}Th ỏa m ã n:∑

i

x i mi≥ M (3.1)

∑i

x i=1

x i≥ 0 ∀ i

Trong bài toán này, hàm mục tiêu là hàm của biến ngẫu nhiên Ri. Ta có thể viết lại

hàm mục tiêu theo hệ số covariance:

Var {∑i

Ri x i}=∑ik

x iCov ( Ri ,Rk ) xk

3.2.2. Các khái niệm và thông số

44

Hàm mục tiêu là hàm bậc hai của biến x. Hệ số Cov ( R i , Rk ) là dữ liệu vào

(input) của bài toán. Biến ngẫu nhiên R thể hiện tỷ lệ hoàn vốn hay tỷ lệ lợi nhuận trả về

của danh mục đầu tư sau một năm, R có tập giá trị là I và được biểu thị bởi ri, đi cùng là

xác suất pi, ∀i ∈ I thỏa mãn:∑i

ri pi. Giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên R:

E [ R ]=∑i

ri pi

Khi f là hàm của biến ngẫu nhiên R thì giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

f ( R )là:

E [ f ( R ) ]=∑i

f (r i ) pi

Hệ số covariance của biến ngẫu nhiên R:

Var [ R ]=E [ ( R−E [ R ] )2 ]

Sử dụng kết quả phía trên ta có:

Var [ R ]=∑i

(ri−E [ R ])2pi

Hệ số covariance là độ đo của rủi ro. Ngoài ra ta có công thức về độ lệch chuẩn

của biến ngẫu nhiên R sau:

σ=√Var [ R ]

Lợi nhuận trả về của toàn danh mục đầu tư chứng khoán là ∑i

R i x i

E [∑i

Ri xi ]=E[(∑i

R i x i−E [∑i

Ri x i ])2]

¿ E [(∑i

R i x i−∑i

x i E [R i ])2]

¿ E [∑i

x i ( Ri−E [ Ri ] )2]

¿ E [(∑ik

xi (Ri−E [R i ] ) xk (Rk−E [ Rk ] ))] 3.2.3. Thuộc tính của bài toán

Lời giải tối ưu của bài toán là tối ưu toàn cục bởi theo lý thuyết tối ưu mô hình có

các ràng buộc là tuyến tính và hàm mục tiêu là hàm lồi. Sử dụng định nghĩa hàm lồi:

f (α x1+ (1−α ) x2 )≤ αf ( x1 )+(1−α ) f ( x2 ) ∀α∈ [ 0,1 ]

45

Expected return

Xét hàm mục tiêu f ( x )=∑ik

xi Cov ( Ri , Rk ) xklà hàm bậc hai khi và chỉ khi ma

trận của hệ số tương quan Cov ( R i , Rk ) là ma trận đối xứng xác định dương.

Ma trận là đối xứng xác định dương khi và chỉ khi ∑ik

x i Cov ( Ri , Rk ) xk ≥ 0, ∀ x i xk∈ R

hay Var [∑i

Ri x i ]≥ 0 luôn đúng theo định nghĩa.

3.2.4 Một số kết quả nghiên cứu

Ở phần này ta công nhận một số kết quả nghiên cứu làm tiền đề cho phần tiếp

theo. Để tìm hiểu sâu hơn các bạn có thể tham khảo Rudolf [7] Đầu tiên ta viết lại bài

toán dưới dạng các ràng buộc là đẳng thức tuyến tính. Tập các biến x được thay bằng

biến ω và ω′ là véctơ chuyển vị của véctơ ω.

Bài toán:

Min σ2=ω' Vω

Thỏa mã:{ω' μ=Eω ' e=1

Khi đó theo Merton(1972) độ lệch chuẩn của toàn danh mục đầu tư trả về:

σ=√ 1d

(c E2−2 bE+a )(3.2)

a, b, c, d là các số thực được tính bởi:

a ≡ μ 'V −1

μ , b ≡ μ 'V −1

e , c≡ e' V −1

e , d≡ ac−b2

Đồ thị của phương trình (1.6) có dạng hypecbol và được gọi là đường cong hiệu

quả của danh mục đầu tư. Véctơ tỷ trọng của mỗi chứng khoán trong danh mục đầu tư có

thể tính bởi:

ω=V−1 μd

(cE−d )−V −1 ed

(bE−a )(3.3)

Mỗi đường hypecbol (đường cong hiệu quả của danh mục đầu tư) nằm trong

khoảng giữa của hai đường tiệm cận như hình (3.1):

Đường tiếp tuyến cho hypecbol này, trong lĩnh vực kinh tế gọi là đường phân bổ

vốn (Capital Market Line - CML) tiếp xúc với hypecbol tại một điểm, tại vị trí điểm này

thì danh mục đầu tư là tối ưu nhất (hình (3.2)). Như vậy khi tạo danh mục đầu tư tối ưu

nhà đầu tư phải tính các độ lệch chuẩn, phương sai, covariance, xác định đường cong

hiệu quả của danh mục, và sau đó xác định danh mục đầu tư hoàn chỉnh.

Chúng ta cùng tìm hiểu phần tiếp theo đó là một vài tiếp cận về mặt toán học

để xác định danh mục đầu tư chứng khoán tối ưu. Đối với bài toán Markowitz.

46

Expected return

Standard deviation

Market portfolio

Hình 3.1: Đường cong hiệu quả của danh mục đầu tư và các tiệm cận

Hình 3.2: Đường cong hiệu quả và đường phân bổ vốn

này thì có nhiều cách tiếp cận khác nhau, chúng ta có thể giải bài toán bằng

cách sử dụng các phương pháp giải quy hoạch toàn phương như phương pháp

gradient, phương pháp điểm trong,.. đã trình bày trong chương hai. Tuy nhiên

các phương pháp này quá phức tạp, thời gian thực hiện lâu do các bài toán

Markowitz trong thực tế phải phân tích với số liệu đầu vào lớn, cài đặt lại khó

khăn. Phương pháp giải [7] sau đây dựa trên các đề nghị của Markowitz sẽ cho

ta một tiếp cận khác đối với bài toán, tiếp cận này dễ dàng hơn, và thuận tiện

để lập trình, cài đặt trên máy tính.

3.3 Phương pháp giải bài toán Markowitz gốc

Phần trên có giới thiệu sơ qua về bài toán Markowitz ở dạng cơ bản nhất,

trong phần tiếp theo này chúng ta tiếp tục tiếp cận sâu hơn về khía cạnh toán

học của bài toán. Mục đích của phần này là chỉ ra bài toán Markowitz làm việc

như thế nào và ý nghĩa của việc ứng dụng các biến ngẫu nhiên trong bài toán.

47

Nội dung của phần này lại được chia thành các phần nhỏ như sau. Phần một đề cập

tới mô hình toán học và hàm Lagrange tương ứng với bài toán. Phần

hai đề cập tới điều kiện Kuhn-Tucker[4] cho bài toán và các kết luận về điều

kiện để bài toán tối ưu. Một trường hợp đặc biệt được xem xét ở phần ba. Một

chú ý quan trọng là tìm được nghiệm cơ sở của bài toán sẽ được nêu ở phần

bốn và cuối cùng ví dụ minh họa cho thuật toán sẽ được thể hiện ở phần năm.

3.3.1 Mô hình cơ bản

So với mô hình trong phần giới thiệu, mô hình này được thêm vào các ràng buộc

đẳng thức mới.

A∈Rm×n biểu thị ma trận của m ràng buộc lên n danh mục đầu tư, b là véctơ

ở vế phải của hạn chế.

Các tỷ trọng đầu tư ω của mỗi chứng khoán phải không âm.

E là giá trị kỳ vọng lợi nhuận trả về hay lợi nhuận ước tính

n là số chứng khoán đầu tư.

(a)minω

σ2=ω' Vω

(b ) μ' ω=E(3.4)

(c ) Aω=b

(d ) ω≥ 0

Kí hiệu λ '=( λ1 , .., λm )∈Rm và λE là nhân tử Lagrange liên kết với (3.4 c) và (3.4 d).

Hàm Lagrange cho bài toán như sau:

L=12

ω ' Vω+λ ' ( Aω−b )−λE ( μ' ω−E )

Vì b và E là các hằng số, độ biến thiên của hàm Lagrange chỉ phụ thuộc vào ω vì

thế ta viết lại hàm này dưới dạng đơn giản hơn như sau:

L=12

ω ' Vω+λ ' ( Aω )− λE ( μ ' ω )

3.3.2 Điều kiện Kuhn-Tucker

Kí hiệu:

η'=( η1 …ηn )=( δLδ ω1

…δL

δ ω1)

Khi đó điều kiện Kuhn-Tucker cho bài toán là:

48

(a )η=(V A ' )(ωλ )−λE μ≥ 0

(b )ω≥ 0 , λ ≥ 0

(c )∀1 ≤i ≤n ηi>0⟺ωi=0v àηi=0⇔ ωi>0(3.5)

(d ) Aω=b

(e ) μ ' ω=E

Điều kiện (3.5 c) có nghĩa đạo hàm riêng của L cho ωi bằng 0 khi và chỉ khi ωi>0 hay chứng khoán i có mặt trong danh mục cơ sở. Đây là điều kiện rất

cần thiết cho tính tối ưu của bài toán. Trong bài toán ở phần sau ta sẽ thấy

rằng điều kiện này được kiểm tra rất nhiều trong việc kết nạp các chứng khoán

vào tập cơ sở của bài toán. Tuy nhiên nếu ωi=0 thì đạo hàm riêng của hàm

Lagrange L cho ωi là dương. Điều này có nghĩa là giá trị hàm Lagrange sẽ

được cải thiện nếu ωi không bị giới hạn dưới (trong trường hợp đơn giản ở đây

ωi bị giới hạn bởi 0).

Như vậy phương pháp tiếp cận để giải bài toán Markowitz gốc này không áp

dụng ngay các phương pháp giải đã đề ra trong chương 2 mà tiếp cận theo điều

kiện tối ưu Kuhn Tucker. Đi xét hệ điều kiện này ta sẽ tìm được các nghiệm

phù hợp với bài toán. Mời các bạn cùng theo dõi tiếp cách xây dựng và triển

khai của thuật toán này. Sắp xếp lại hệ (3.5) bằng cách kết hợp trường hợp xảy

ra dấu đẳng thức trong (3.5a) và phương trình (3.5d), nơi có các đạo hàm

riêng đều bằng 0 hay tỷ trọng của các chứng khoán là lớn hơn 0 thì hệ trở thành:

(a )(V A 'A 0 )(ωλ )− λE(μ

0)=(0b) (b )ω≥ 0 , λ ≥ 0

(c )∀1 ≤ i≤ nη i>0⟺ωi=0 v àηi=0⟺ωi>0

(d )η=(V A' )(ωλ )−λE μ≥ 0

(e ) μ ' ω=E

Kí hiệu ma trận M∈ R(m+n)×(m+n)và định nghĩa M=(V A 'A 0 )khi đó điều kiện tối ưu

cho véctơ (ωλ )được viết lại như sau:

(ωλ )=M−1(0b)+λE M−1(μ0)(3.7)

Rút gọn phương trình hơn nữa ta kí hiệu α∈ Rm+n , β∈Rm+nvới

49

α=M−1(0b), β=M−1( μ

0 )(3.8)

Khi đó điều kiện (3.7) trở thành:

(ωλ )=α+ β λE ≥ 0(3.9)

Như vậy véctơ của tỉ trọng danh mục đầu tư được thể hiện lại như hàm tuyến tính

của nhân tử Lagrange λE . Ý tưởng chính của thuật giải này là tìm khoảng giá trị của λE .

mà thỏa mãn phương trình (3.9).

Gọi biến ωi > 0 là biến cơ sở, ωi = 0 là biến phi cơ sở. Khi đó tập các biến cơ sở sẽ

bao hàm một danh mục đầu tư. Kí hiệu tập biến cơ sở là ′in′, tập biến phi cơ sở là ′out′.

Trong ma trận V ¿ thì các biến cơ sở giữ nguyên, các biến phi cơ sở được thay bằng véctơ

xác định.

Với σ ij¿ là phần tử nằm ở hàng i và cột j của V ¿, ta quy định như sau:

∀1 ≤i , j ≤n σ ij¿={σ ij N ế u i , j∈∈¿1N ế ui= j v à i , j∈out

0 Ng ượ c l ại(3.10 )

Véctơ tỉ lệ lợi nhuận kỳ vọng μ¿=μ còn các hàng ứng với thành phần ′out′

được thay thế bằng 0, A¿=A (các cột ứng với phần tử ′out′ được thay thế bằng 0). Khi đó

ta có một danh mục đầu tư P¿ định nghĩa bởi chỉ số ′in′ và bài toán

tối ưu là:

σ P¿

2 =ω ' Vω

E=ω' μ¿ (3.11) b=ω' A¿

ωi=0⟺ωi∈out

Ta kí hiệu lại các thông số:

M ¿≡(V ¿ A '¿A¿ 0 ) , σ ≡ M ¿

−1(0b), β¿≡ M ¿

−1(μ¿

0 )(3.12)

Thế vào (3.9) tỷ trọng của mỗi danh mục được tính:

(ωλ )=α ¿+β¿ λ¿ (3.13)

Phương trình (3.6d) được viết lại như sau:

η=(V A ' )(ωλ )− λE μ=(V A ' ) ( α¿+β¿ λE )− λE μ ≥ 0(3.14 )

Phương trình này có thể sắp xếp lại thành:η=γ ¿+δ ¿ λE ≥ 0

Với: γ ¿=(V A ' ) α ¿(3.15)

50

δ ¿= (V A ' ) β¿−μ

Từ 2 phương trình (3.13) và (3.15) thì điều kiện Kuhn-Tucker ở phương trình

(3.6 a,b,d) chuyển thành các hàm tuyến tính đối với λE .Điều kiện cần và đủ

cho ω và λ là phụ thuộc vào λE .Thêm nữa E và ω có mối quan hệ tuyến tính

với nhau. Vì thế tìm được khoảng giá trị của λE thì tìm được khoảng giá trị của E. Thuật

toán này tiếp cận từ hướng xuất phát từ điều kiện Kuhn-Tucker, giải

hệ điều kiện này đưa đến giá trị λE , đi sâu vào tìm giá trị củaλE, tương ứng

xác định được khoảng của λE là xác định được E và độ lệch chuẩn. Kí hiệu:

∀1 ≤i ≤ n λa≡ { −α ¿i

β¿i

β¿i >0

Max

−∞ v ớ i β¿i ≤ 0

∀1 ≤i ≤ n λb≡ { −γ ¿i

δ ¿i

δ¿i >0

Max

−∞ v ớ i γ ¿i ≤0

(3.16)

∀1 ≤i ≤ n λc ≡{ −α¿i

β¿i

β ¿i <0

Max

−∞ v ớ i β¿i ≥ 0

∀1 ≤i ≤ n λd ≡{ −γ¿i

δ ¿i

δ¿i <0

Max

−∞ v ớ iδ ¿i ≥ 0

Đặt :

λ low=max [ λa , λb ] λhigh=min [ λc , λd ](3.17)

với : λ low≤ λE ≤ λhigh

Nếu điều kiệnλ low≤ λhigh không được thỏa mãn thì không có phương án khả

thi mà thỏa mãn các ràng buộc trên. Sau khi tìm được khoảng của λE , xác định được giá

trị của E tương ứng thì ta thực hiện bước lặp tiếp theo.

Trong bước lặp tiếp ta cần xác định lại các thành phần của tập ′in′ và tập ′out′.

Ta xét 2 trường hợp là nếu bất kỳ ωi=0vi phạm (1.35) hay ηi=0 vi phạm (1.37)

thì:

1. Nếu một vài ωk , (1≤ k ≤n )không thỏa mãn (1.37) thì loại ωk ra khỏi tập

′in′ và kết nạp vào tập ′out′.

51

2. Nếu ηk , (1 ≤k ≤ n )không thỏa mãn (1.37) thì đạo hàm riêng của hàm

Lagrange L đối với ωk bằng 0, ηk chuyển từ tập các biến ngoài cơ sở ′out′

vào tập các biến cơ sở ′in′.

Thuật giải sẽ không còn đúng khi λhigh=∞ hoặc λ low=∞. Từ (3.13), (3.5 e) và kết

quả của (3.17) thu được:

E=μ' α ¿+μ' β¿ λ¿⟺ λE=E−μ' α¿

μ' β¿ λ¿

(3.18)

(Một ứng dụng của công thức này sẽ được tìm thấy trong phần ví dụ ứng dụng)

3.3.3 Trường hợp đặc biệt

Phần này trình bày một trường hợp đặc biệt của lời giải ở trên. Đó là khi

các biến cơ sở bao gồm tất cả các biến tương ứng với danh mục đầu tư hay các

tỷ trọng đầu tư ωi , (1 ≥i ≥ n ) là khác 0 với mọi i. Khi đó in = {ω1, ω2, ω3},

out = { }.∅

Sử dụng (3.11) và (3.14) ta có:

η=(V A ' )(M−1(0b)+M−1(μ0) λE)−μ λE

¿ (V A ' )[ (V A ' ) M−1( μ0)−μ](3.20)

Chia M−1 thành các khối ma trận và định nghĩa lại như sau:

M−1=(M 1 M 2

M 3 M 4)

M 1∈ Rn×n , M 2∈Rn ×m , M 3∈Rm×n , M 4∈ Rm× m(3.21)

Gọi E(kl) là ma trận đơn vị và 0kl là ma trận 0 có k × l chiều. Thế M−1 ở (3.21) vào

ta có:

M M−1=(V A'

A 0 )(M 1 M 2

M 3 M 4)

¿( (V A ' )A M 1

M−1

A M 2)

¿(E(nn) 0(nm)

0(mn) E(mm ))

⟹ (V A ' ) M−1=(E(nn) 0(nm))

Thay thế (3.20) vào (3.21) ta có:

η=( Enm 0nm )(0b)+ λE[ (E(nm)0kl )( μ

0)−μ]52

và sử dụng định nghĩa trong (3.15) ta có:

γ ¿=γ=0 và δ¿=δ=0(3.23)

Kết quả ở trường hợp đặc biệt này cho thấy đạo hàm từng phần của hàm La-

grange với ωi , (1 ≥i ≥ n ) bằng 0. Ta sẽ gặp trường hợp này trong phần ví dụ

minh họa.

3.3.4 Thuật toán giải bài toán Markowzit gốc.

3.3.4.1 Thuật toán.

Bước 1: Khởi tạo các tham số đầu vào

+) Nhập n, m lần lượt là số lượng chứng khoán và số ràng buộc lên n chứng khoán

+) Khởi tạo ma trận đầu vào

[ A ]m×n là ma trận ràng buộc.

[ V ]n ×n là ma trận covarian.

[ b ]m× 1là véc tơ ở vế phải của hạn chế.

[ μ ]n ×1 là véc tơ kỳ vọng của các chứng khoán.

[ E ]n×1là véc tơ giá trị kỳ vọng lợi nhuận trả về hay lợi nhuận ước tính.

+) Khởi tạo các mảng lưu kết quả của bài toán.

[ P ]là ma trận lưu lại các phương án tối ưu của bài toán.[ ¿ ]là tập các biến cơ sở.

[ out ]là tập các biến phi cơ sở.

[ V ¿ ]n × n là ma trận biến đổi theo biến cơ sở của ma trận covarian

[ M ](m+n)×(m+n) là ma trận tham số.

Bước 2:Nhập các giá trị đầu vào.

[ A ]m×n ,[ V ]n ×n ,[ b ]m× 1, [ μ ]n ×1 .

Bước 3.Tìm tập các biến cơ sở của bài toán.

+) Ứng dụng thuật toán đơn hình giản bài toán sau.

minω

−μ' ω=min−E b ài ¿án 1

Thỏa mãn:{Aω=bω≥ 0

+) Giải bài toán 1 trên ta sẽ có được tập các biến cơ sở [ ¿ ]={…} và

[ out ]={…} của bài toán (3.4).

+) Nếu không tìm được tập [ ¿ ]và [ out ] thì nhảy xuống bước 7.

Bước 4:Tính toán các thông số đầu vào cho bài toán markowzit.

+)Dựa vào tập [ ¿ ]và [ out ] tìm được ở Bước 3 ta đi tìm ma trận

[ V ¿ ]n × n như sau:

53

+)Với σ ij¿ là phần tử nằm ở hàng i và cột j của V ¿, ta quy định như sau:

∀1 ≤i , j ≤n σ ij¿={σ ij N ế u i , j∈∈¿1N ế ui= j v à i , j∈out

0 Ng ượ c l ại

+) Tìm véc tơ [ μ ]¿=[μ ] có các hàng ứng với thành phần của tập [ out ] được

thay thế bằng 0.

∀1 ≤i ≤ n μi¿={μi N ế u i∈∈¿0 Ngượ c l ạ i

+)Tìm [ A¿ ]m× n=[ A ] các cột ứng với phần tử [ out ] được thay thế bằng 0

như sau:

∀1 ≤i ≤ n Ai¿={ A i N ế u i∈∈¿0 Ng ượ c l ại

+) Tính M ¿=(V ¿ A ' ¿A¿ 0 ) , σ¿=M ¿

−1(0b) , β¿≡ M ¿

−1(μ¿

0 )Nếu tập [ out ] ≠ {∅ }

γ ¿=(V A ' ) α ¿ , δ ¿=(V A' ) β¿−μ¿

Ngược lại:

γ ¿=γ=0 và δ¿=δ=0

+)Tính λa , λb , λc , λd , λlow=max [ λa, λb ] , λhigh=min [ λc , λd ]Trong đó:

∀1 ≤i ≤ n λa≡ { −α ¿i

β¿i

β¿i >0

Max

−∞ v ớ i β¿i ≤ 0

∀1 ≤i ≤ n λb≡ { −γ ¿i

δ ¿i

δ¿i >0

Max

−∞ v ớ i γ ¿i ≤0

∀1 ≤i ≤ n λc ≡{ −α¿i

β¿i

β ¿i <0

Max

−∞ v ớ i β¿i ≥ 0

∀1 ≤i ≤ n λd ≡{ −γ¿i

δ ¿i

δ¿i <0

Max

−∞ v ớ iδ ¿i ≥ 0

Bước 5. Kiểm tra điều kiện.

+) λ low>λhigh không có phương án khả thi mà thỏa mãn các ràng buộc trên

chuyển xuống bước tiếp theo bước 7.

+) Khi λhigh=∞ hoặc λ low=∞. Thuật giải sẽ không còn đúng kết thúc và

chuyển xuống bước 7.

+) λ low≤ λhigh có phương án khả thi chuyển xuống bước 6.

54

Bắt Đầu

Khởi tạo

Nhập dữ liệu

Giải bài toán 1 tìm và…

Tìm

Xác định lại tập và …

Có phương án

Điều kiện tối ưu 1

Điều kiện tối ưu 2

Sai

Đúng

Đúng

Sai

Sai

Bước 6: Lặp xác định lại các thành phần của tập [ ¿ ]và [ out ].Ta có:

(ωλ )=α ¿+β¿ λ¿≥ 0 (1)

η=γ ¿+δ ¿ λE ≥ 0(2)

Giải hệ điều kiện này ta có. 2 trường hợp.

Nếu một vài ωk , (1≤ k ≤n )không thỏa mãn (1) thì loại ωk ra khỏi tập [ ¿ ] và kết

nạp vào tập [ out ].Nếu ηk , (1 ≤k ≤ n )không thỏa mãn (2) thì đạo hàm riêng của hàm Lagrange L

đối với ωk bằng 0, ηk chuyển từ tập các biến ngoài cơ sở [ out ]vào tập các biến cơ sở [ ¿ ].

Bước 7. Kết thúc

+) Đưa ra tập kết quả trong trường hợp có phương án tối ưu. Ngược lại kết thúc và

kết luận ko có phương án tối ưu.

3.3.4.2 Sơ đồ thuật toán.

55

3.2.4.3 Tìm nghiệm cơ sở của bài toán

Theo định nghĩa, mỗi danh mục đầu tư mà có giá trị lợi nhuận kỳ vọng lớn nhất là

danh mục đầu tư hiệu quả. Vì thế thực thi bài toán sau ta sẽ tìm được nghiệm cơ sở khả

thi cho bài toán này.

Max ω' μ

Th ỏa m ã n: Aω=b(3.24) ω≥ 0

Nhận thấy hàm mục tiêu là hàm tuyến tính của ω, các ràng buộc của bài toán

cũng là tuyến tính, vì thế bài toán có thể được giải bằng phương pháp đơn hình.

Từ nghiệm cơ sở ta áp dụng (3.16) (3.17) tìm được λ low,λhigh hay tìm được

khoảng của λE và giá trị E. Để hiểu rõ hơn về thuật giải chúng ta hãy cùng xét

ví dụ sau:

3.2.5. Ví dụ minh họa thuật giải

Tối ưu hóa danh mục đầu tư bao gồm 3 danh mục đầu tư A, B, C với các số liệu

cho trong bảng sau:

Conv A B C µ

56

rianceA 400 150 100 15B 225 150 10C 625 20

Bài toán:

Min σ2=ω' Vω

(1 1 1 )(ω1

ω2

ω3)=1

ω≥ 0

Từ bài toán và số liệu suy ra:

V ≡(400 150 100150 225 150100 150 625) μ ≡(15

1020) A ≡(111)(3.26)

Bước 1: Khai báo một nghiệm cơ sở. Từ bảng covariance nhận thấy chứng khoán

C có giá trị kỳ vọng lợi nhuận trả về lớn nhất nên có thể khởi tạo phương án ban đầu cho

bài toán: ¿={ωC }và out= {ωA ,ωB }Bước 2: Xác định phân đoạn thứ 1

Theo phương trình (3.12):

M ¿≡(1 00 1

0 00 0

0 00 0

625 11 0

)⟹M ¿−1≡(

1 00 1

0 00 0

0 00 0

0 11 −625

)Sử dụng (3.13) và (3.15):

Danh mục đầu tư

α ¿ β¿ −α ¿i

β¿i

γ ¿ δ ¿ −γ ¿i

δ¿i

A 0 0 - -525

5 105

B 0 0 - -475

10

47.5

C 1 0 - 0 0 -

57

Từ (3.16) kết hợp với bảng ta có:

λa=−∞ λb=105 λc=∞ λd=∞(3.28)

Từ (3.17) có:

λ low=150 λhigh=∞(3.29)

Vì λhigh=∞ nên ta chỉ xét đến giá trị λ low, λ low được xác định bởi danh mục A, đạo

hàm từng phần của hàm Lagrange L đối với ω A bằng 0. Vì thế danh mục đầu tư A sẽ

được kết nạp vào danh mục khởi tạo ở bước kế tiếp, ¿={ω A , ωC } và ¿={ωB }.Bước 3: Xác định phân đoạn thứ 2

Tính M từ (3.12)

M ¿≡(400 0

0 1100 10 0

100 01 0

625 11 0

) ⟹M ¿

−1≡(0.001212 0

−0.001212 1−0.001212 0.6364

0 00 0

0.6364 00.001212 0.3636

0.3636 −290.9091)(3.30)

Sử dụng (3.13) và (3.15):

Danh mục đầu tư

α ¿ β¿ −α ¿i

β¿i

γ ¿ δ ¿ −γ ¿i

δ¿i

A 0.6364

-0.006061

105

0 0 -

B 0 0 - -140.9031

6.8182

20.67

C 0.3636

0.006060

-10

0 0 -

Từ (3.16) kết hợp với bảng ta có:

λa=−60 λb=20.67 λc=105 λd=∞(3.31)

Từ (3.17) có:

λ low=30.67 λhigh=105 (3.32)

58

Từ (3.13) tính được:

ω ( λE=λhigh )=(001)ω ( λE=λlow )=(0.51360

0.4864)(3.33)

E ( λE=λhigh )=20 E ( λE=λlow )=17.43

λ low được xác định bởi danh mục B, đạo hàm từng phần của hàm Lagrange

L đối với ωB bằng 0. Danh mục B được kết nạp vào danh mục khởi tạo ở bước

tiếp theo. Như vậy danh mục khởi tạo bao hàm cả A, B, C. ¿={ω A , ωB ,ωC }và out= {∅ } Điều này thỏa mãn trường hợp đặc biệt, nên γ ¿=δ ¿=0.

Bước 4: Xác định phân đoạn thứ 3

Tính M từ (3.12):

M ¿≡(400 150150 225

100 1150 1

100 1501 1

625 11 0

) ⟹M ¿

−1≡(0.003088 −0.002947

−0.002947 −0.002947−0.00014 0.2210−0.001684 0.6526

−0.00014 0.0016840.2211 0.6526

0.001825 0.12630.1263 −198.95

)(3.34)

Sử dụng (3.13) và (3.15):

Danh mục đầu tư

α ¿ β¿ −α ¿i

β¿i

γ ¿ δ ¿ −γ ¿i

δ¿i

A 0.2211

0.014

-15.75

0 0 -

B 0.6526

-0.0316

20.67

0 0 -

C 0.1263

0.0175

-7.2

0 0 -

Từ (3.16) kết hợp với bảng ta có:

λa=−7.2 λb=−∞ λc=20.67 λd=∞(3.35)

Từ (3.17) có:

λ low=−7.2 λhigh=20.67(3.36)

59

Từ (3.13) tính được:

ω ( λE=λhigh )=(0.51360

0.4864)ω ( λE=λ low )=(0.12030.8801

0.0 )(3.37)

E ( λE=λhigh )=17.43 E ( λE=λlow )=10.61

λ low được xác định bởi danh mục C, ωc=0, loại C ra khỏi danh mục khởi tạo,

¿={ω A , ωB } và out= {ωC }.

Bước 5: Xác định phân đoạn thứ 4 Tính M từ (3.12)

Sử dụng (3.13) và (3.15):

M ¿≡(400 150150 225

0 10 1

0 01 1

1 00 0

) ⟹M ¿

−1≡(0.0031 −0.0031

−0.0031 0.0030 0.23080 0.7692

0 00.2308 0.7692

1 00 −207.69

)(3.38)

Sử dụng (3.13) và (3.15):

Danh mục đầu tư

α ¿ β¿ −α ¿i

β¿i

γ ¿ δ ¿ −γ ¿i

δ¿i

A 0.2208

0.01539

-14.5

0 0 -

B 0.7692

-0.0153

50 0 0 -

C 0 0 - -69.23

-9.615

-7.2

Từ (3.16) kết hợp với bảng ta có:

λa=−15 λb=−∞ λc=50 λd=−7.2(3.39)

Từ (3.17) có:

λ low=−15 λhigh=−7.2(3.40)

Từ (3.13) tính được:

60

ω ( λE=λhigh )=(0.12030.8801

0.0 )ω ( λE=λlow )=(010)(3.41)

E ( λE=λhigh )=10.61 E ( λE= λlow )=10

Nhận thấy các ràng buộc không âm bị vi phạm tại A, loại A ra khỏi phương án

khởi tạo. Tương tự đối với B. Bước lặp tiếp theo có thể hủy bỏ. Kết quả

λ low=−∞ và λ low=−14.5 .

Như vậy 5 bước trên là cần thiết để tính toán được đường biên hiệu quả của danh

mục đầu tư, ta có thể tính theo nhiều bước hơn tùy thuộc vào việc chấp

nhận rủi ro của nhà đầu tư đến đâu, trong bài toán này chỉ dừng lại ở bước thứ 5 là đủ để

phân tích.

Tất cả các phân đoạn được đặc trưng bởi cả 2 thông số λE và tỷ lệ lợi nhuận kỳ

vọng E. Các kết quả tính toán được minh họa trong bảng sau:

Bước lặp

λhigh λ low E ( λhigh ) E ( λ low )

1 ∞ 105 20.0 20.02 105 20.67 20.0 17.433 20.67 -7.2 17.43 10.614 -7.2 -14.5 10.61 10.05 -14.5 −∞ 10.0 10.0

Hình 3.3: So sánh giữa đường cong giới hạn và đường cong không giới hạn

Từ bảng ta thấy rằng có 2 bước mà giá trị λE tiến tới +∞ và −∞. Khi vẽ lên

đồ thị các phần này sẽ tương ứng với đường cong không giới hạn (tiến ra vô

cùng). Còn tại 3 bước 2, 3, 4 thì giá trị của λE trong khoảng xác định. Khi vẽ

lên đồ thị thì các khoảng này liên tiếp nhau làm lên đoạn cong liên tiếp giới hạn.

Các kết quả này được minh họa trên biểu đồ (3.3). Biểu đồ này được gọi là

đường cong hiệu quả của danh mục đầu tư chứng khoán. Biểu đồ gồm có 2

trục, một trục thể hiện giá trị lợi nhuận ước tính, trục thứ hai thể hiện độ lệch

chuẩn hay rủi ro của danh mục đầu tư. Đường thứ nhất tạo thành khi nối các

hình khối lại với nhau, thể hiện đường cong hiệu quả bị giới hạn. Đường thứ

hai tiến ra vô cùng (đường thẳng liền) thể hiện đường cong hiệu quả không

giới hạn. Vị trí của A được xác định là vị trí mà danh mục đầu tư chỉ bao gồm

chứng khoán A, tương tự đối với các điểm B, C. Chứng khoán C có lợi suất

61

ước tính và độ lệch chuẩn lớn nhất, sau đó đến chứng khoán A và cuối cùng là

chứng khoán B.

Các điểm giao giữa chúng chỉ định sự chuyển tiếp từ bước này sang bước

tiếp theo. Để hiểu rõ hơn phần này bạn hãy đọc lại phần đầu chương về một

số kết quả nghiên cứu. Trong phần kết quả nghiên cứu đó ta có nói về điểm tối

ưu của bài toán là điểm giao giữa đường cong và tiếp tuyến của đường cong.

Hơn nữa nhận thấy đồ thị trên hình vẽ (3.3) là dạng đồ thị lõm thì khoảng giá

trị nào mà có λE bằng 0 thì điểm tối ưu nằm trong khoảng đó. Như vậy điểm

tối ưu là điểm giao của đồ thị trong bước 2 và bước 3, ứng với giá trị lợi nhuận

Thêm vào đó ta thấy rằng ứng với khoảng giá trị của λE và E trong lần phân đoạn

3 thì danh mục đầu tư bao gồm cả 3 chứng khoán A, B, C theo như mong muốn đầu tư

của ta.

Ý nghĩa về mặt kinh tế:

Trong kinh tế, nhà đầu tư nhìn vào biểu đồ, lựa chọn cho mình lợi nhuận

mục tiêu và mức độ rủi ro trong khoảng chấp nhận được. Từ đường cong hiệu

quả ta có thể tính ngược lại các giá trị ωi với 1 ≤ i ≤ n và biết được tỷ trọng

của mỗi chứng khoán trong danh mục đầu tư là bao nhiêu, và có phương hướng

đầu tư phù hợp.

3.4. Thuật giải Markowitz tổng quát

Trong phần trước chúng ta đã xem xét thuật giải Markowitz thông thường

với các ràng buộc đẳng thức tuyến tính và không âm. Phần tiếp này ta sẽ đi vào

một thuật giải tổng quát hơn với việc thêm vào các ràng buộc bất đẳng thức

62

tuyến tính. Điều này xuất phát từ một số yêu cầu thực tế, trong thực tế khi đầu

tư còn phải xem xét các ràng buộc pháp lý hay các ưu đãi đối với tổ chức quản

lý. Các hạn chế đó dẫn đến cần thiết phải phát triển những thuật toán phức tạp

hơn mà đáp ứng được nhu cầu đầu tư. Trong các bài báo của mình, Markowitz

[5] cũng đã nhắc đến việc giải quyết bài toán quy hoạch toàn phương cùng

những hạn chế tổng quát này, tuy nhiên ông không mô tả chi tiết việc xử lý

chúng thế nào, các kỹ thuật cải tiến trong phần tới này xuất phát từ đề nghị

của Markowitz [7], được phát triển hơn nhằm mục đích đưa đến cho người đọc

một tiếp cận đến bài toán dễ dàng hơn, tạo điều kiện cho lập trình viên tạo ra các chương

trình ứng dụng.

Nội dung chính của phần này được chia ra thành các phần nhỏ như sau.

Phần một đề cập tới mô hình Markowitz ở dạng tổng quát, phần hai là điều

kiện Kuhn-Tucker phát biểu gần giống với phát biểu trong mục 2. Phần ba đề

cập tới việc tìm một phương án khởi tạo cơ sở của bài toán, phương án này có

dạng tuyến tính và được giải bằng phương pháp đơn hình nhưng các ràng buộc

phức tạp hơn phần hai đã làm. Phần bốn là ví dụ minh họa cho thuật giải. Các

mở rộng thêm của thuật toán này sẽ được thể hiện trong phần năm.

3.4.1. Mô hình bài toán tối ưu

So sánh với mô hình cơ bản trong phần 2, mô hình trong phần này có mở rộng

thêm các ràng buộc dạng bất đẳng thức. Tổng kết các ràng buộc trong mô hình gồm có m1

ràng buộc dạng đẳng thức, m2ràng buộc ≤, m3ràng buộc ≥. Kí hiệu các ma trận hệ số:

A∈Rm1× n ứng với các ràng buộc đẳng thức, K∈Rm 2× n ứng với các ràng buộc ≤, và

G∈Rm3 × nứng với các ràng buộc ≥. Thêm nữa các véctơ vế phải tương ứng với chúng lần

lượt là: b∈Rm1, k∈Rm2, g∈Rm3. Bài toán cần sử dụng thêm hai biến phụ y∈Rm2và z∈ Rm3,

và chú ý 0k là véctơ 0 có k chiều. Mô hình được phát biểu như sau:

Min σ2=ω' Vω

μ' ω=E

Aω=b⟺ Aω+0m1=b (3.42 )

Kω ≤ k⟺Kω+ y=k

Gω ≥ g⟺Gω−z=g

ω , y , z≥ 0

Hệ phương trình sử dụng n+m2+m3 biến thay vì n biến để giải bài toán. Kí hiệu 0kl

và E kl là ma trận 0 và ma trận đơn vị k ×lchiều. Biến đổi bài toán trên để thu gọn lại các

ràng buộc:

Min σ2=ω' Vω

63

μ' ω=E

(A 0(m1 , m2)0(m1 , m2)

K E( m2 ,m2 ) 0(m2 , m3)

G 0(m3 , m2)−E(m3 ,m3)

) (ω y z )=(bkg)(3.43)

ω , y , z≥ 0

Trong hệ ràng buộc trên ma trận A, K, G, V và véctơ µ coi như tập ′in′ được biểu

diễn trong phần 2. Để thu gọn phương trình ta đặt: m ≡m1+m2

A ≡(A¿ 0(m1 , m2)0(m1 , m2)

K ¿ E( m2 ,m2 ) 0(m2 , m3)

G¿ 0(m3 , m2)−E(m3 ,m3)

)∈R( m1+m ) (n+m)(3.44 )

b ≡(bkg)∈Rm1+m x ≡(ωyz )∈Rn+m

K ¿và G¿được xác định bằng cách đặt tất cả các cột mà có các biến tương ứng

thành phần ′out′ bằng véctơ 0 có m1và m2chiều. A¿, V ¿, μ¿được xây dựng

tương tự phần mô hình bài toán gốc. Khi đó bài toán được thu gọn lại thành:

Min σ2=ω' Vω

μ '¿ω=E (3.45)

A x=b

x≥ 0

Chú ý rằng (3.45) bao hàm hai biến ω và x trong đó x bao hàm ω. Ta cần chuyển

bài toán về dạng ứng với một biến số để áp dụng được các kết quả trong phần 2 của

chương. Đặt:

A ≡(V ¿ 0nm

0mn Dmm)μ≡( μ¿

0m)(3.46)

Ma trận variance/covariance và véctơ lợi nhuận kỳ vọng được chỉnh sửa lại,Dm× m

là ma trận đơn vị. Khi đó hàm mục tiêu sẽ thay đổi một chút để bài toán trở về với chỉ

một biến x.

Min σ2=x ' Vx

μ ' x=E(3.47 )

A x=b

x≥ 0

Hàm mục tiêu trong (3.47 a) này có thể viết lại để thấy khác biệt so với hàm mục

tiêu trong (3.45 a):

x 'V x=ω' V ¿ω+ y y '+ zz '

64

Để tìm cách giải quyết cho bài toán này ta có thể phân chia ma trận D thành các

khối: D ≡(D(m2 , m2)0(m2 , m3)

0(m3 ,m2 )D(m3 ,m3 )

) với D(m2 ,m2) và D(m3 ,m3) là các ma trận đơn vị.

Kí hiệu K ibiểu thị hàng i của ma trận K, với bất kỳ y i (1≥ i≥ m2 ) bằng 1 là thành

phần của tập ′in′ nếu K i ω<k i. Ngược lại y ilà phần tử của tập ′out′.

Và z i (1 ≥ i≥ m3 ) bằng 1 nếu và chỉ nếu Gi ω<gi, Gilà hàng i của ma trận G.

Nếu δ ij1 biểu thị thành phần ở hàng i và cột j của D(m2 ,m2) và δ ij

2 tương ứng thành phần

của D(m3 ,m3). Ta định nghĩa:

δ ij1 ≡{ 0⟺ i ≠ j

1⟺ i= j v à y i=0 ∀1≤i , j≤ m2

0⟺ i= j v à y i=1

δ ij2 ≡{ 0⟺ i≠ j

1⟺ i= j v à zi=0 ∀1≤ i , j≤ m3

0⟺ i= j v à zi=1

Vậy nếu y i ( zi) bằng 1 thì δ ij1 (δij

2 )bằng 0, nếu y i ( zi) bằng 0 thì δ ij1 (δij

2 ) bằng 1(-1).

Điều này đảm bảo rằng x ' Vx=ω' V ¿ω. Chúng ta cần chú ý rằng mục đích của phần này

là đi xây dựng thuật giải cho bài toán Markowitz dạng tổng quát. Trong phần tới ta cùng

xem xét điều kiện tối ưu cho bài toán này.

3.4.2. Điều kiện tối ưu

Mục đích của phần này là xây dựng điều kiện Kuhn-Tucker cho bài toán (3.47)

dựa vào điều kiện Kuhn-Tucker đã xây dựng cho bài toán Markowitz thông thường trong

(3.4). Kí hiệuλ∈Rm1+m là véctơ nhân tử Lagrange và η∈Rn+m là véctơ đạo hàm riêng hàm

Lagrange L đối với biến x. Điều kiện Kuhn-Tucker cho bài toán tổng quát này như sau:

(V A 'A 0m1+m, m1+m)(x

λ)−λE( μ0m1+m)=(0n+m

b )x≥ 0 , λ ≥ 0

x i=0⟺ηi>0 v à x i>0⟺ηi=0∀1 ≥ i≥ n+m(3.48)

ηi=(V A ' )( xλ)− λE ¿

μ' x=E

Theo xử lý trong phần bài toán gốc ma trận M∈ R( n+m1+2 m) ×( n+m1+2 m) có thể định nghĩa

như sau:

65

M ≡ ¿

¿¿

Khi đó điều kiện (3.48) có thể được xử lý giống như phần (3.13) và (3.15) ta được:

(xλ)=M−1 ¿

V ớ i : α ≡ M−1 ¿

Và:

η=(V A ' ) α+λE [ (V A ' ) α−μ ] ≡ γ+λE δ ≥ 0 (3.51)

vớ i γ ≡ ( V A' ) α∈ Rn+m v à δ ≡ [ ( V A' ) α−μ ]∈Rn+m

Các bước xây dựng tiếp theo cũng tương tự phần trước.

3.4.3. Tìm nghiệm cơ sở của bài toán

Tương tự trong phần 2 của chương, một nghiệm cơ sở cho bài toán quy

hoạch toàn phương được tìm bằng cách tìm giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu

tuyến tính với các ràng buộc cũng là tuyến tính. Tuy nhiên các ràng buộc

tuyến tính trong phần này phức tạp hơn trong phần trước. Phương pháp đơn

hình được trình bày trong chương 1 được sử dụng để tìm nghiệm cơ sở này.

Ý tưởng cho phần tìm nghiệm này cũng tương tự như trong phần trước. Mỗi

danh mục đầu tư mà giá trị kỳ vọng lớn nhất được xác định thì gần như chắc chắn rằng

danh mục đầu tư đó hiệu quả. Chúng ta cùng phân tích vấn đề này:

Max μ' ω=maxE

Aω=b⟺ Aω+0m1=b

Kω ≤ k⟺Kω+ y=k (3.52)

Gω ≥ g⟺Gω−z=g

ω , y , z≥ 0

Biến đổi phương trình trên về dạng chính tắc bằng cách thêm các biến phụ y, z. Có

một vài vấn đề xảy ra khi w = 0 khi đó các phương trình (3.52 d) (3.52 e) không thỏa

mãn. Phương pháp đơn hình cơ bản chưa được khả thi đối với bài toán này, vì thế ta áp

dụng phương pháp đơn hình hai pha(cũng đã được đề cập trong chương 1 của khóa luận)

để giải quyết bài toán.

Ta thêm vào bài toán các biến giả s∈Rm1, t∈Rm2 ,u∈Rm3và coi chúng là

tập các biến cơ sở mới. Tiếp theo ta phải xây dựng hàm mục tiêu mới chứa các

biến cơ sở mới. Kí hiệu ek là véctơ đơn vị k chiều. Khi đó hàm mục tiêu mới

có dạng:

min (s ' e( m1)+t ' e( m2)+t ' e( m3) )⟺−max (s ' e( m1)+t ' e( m2)+t ' e( m3) )(3.54)

66

Bằng cách định nghĩa Z ≡−(s ' e( m1)+t ' e( m2)+t ' e( m3) ), mục tiêu của bài toán phụ là tìm

giá trị lớn nhất của Z theo các biến s,t, u. Từ (1.70) ta xây dựng hàm mục tiêu mới như

sau:

Z−(e'( m1) A+e '

( m2) K+e ' (m3 )G ) ω+ y ' e( m2 )−z ' e (m3 )¿

¿−(b' e ( m1)+k ' e( m2 )+g ' e ( m3) )(3.55)

Xét 2 trường hợp xảy ra:

1.Z=0⟺ (s t u )'=0

2.Z<0⟺ (s t u )' ≠0, nhưng các thành phần s, t, u là không âm,

không tồn tại phương án cơ sở cho bài toán (3.52)

Nào bây giờ ta chỉnh sửa hàm mục tiêu một chút cho ngắn gọn hơn:

Z−ω' M⃗− y ' e( m2)+z ' e ( m3) v ớ i

M⃗ ≡−e'( m1)−e'

(m2 ) K−e '( m3 )G∈Rn (3.56 )

R ≡b ' e (m1 )+k ' e( m2)+g' e (m3 )∈R

Bảng đơn hình xuất phát đối với bài toán đơn hình hai pha (bảng 3.1):

ω1 … ωn y1 … ym2z1 … zm3

hệ sốEs1

…sm1

t 1

…tm2

u1

…um3

−μ1 … −μn

A11 … A1 n

… … …

0 … 00 … 0… … …

0 … 0 00 … 0 b1

… … … …Am1 1 … Am1 n

K11 … K1 n

… … …

0 … 01 … 0… … …

0 … 0 bm1

0 … 0 k1

… … … …Km2 1 … Km2 n

G11 … G1 n

…Gm2 1

……

…Gm3 n

0 … 10 … 0…0

……

…0

0 … 0 km2

−1 … 0 g1

…0

……

…−1

…gm3

123456789

10

Z −M⃗ 1 … −M⃗ n −1 … −1 1 … 1 R 11

Bảng 3.1: Bảng đơn hình xuất phát đối với bài toán hai pha.

3.4.4 Thuật toán

Bước 1.Khởi tạo các tham số đầu vào.

67

+)Nhập n, m,m1,m2,m3 lần lượt là số lượng chứng khoán và số ràng buộc

lên n chứng khoán. Đặt m=m2+m3

+) Khởi tạo ma trận đầu vào

[ A ]m1 ×n là ma trận ràng buộc m1 lên n chứng khoán.

[ A ] ( m1+m )× (m1+m) là ma trận trung gian.

[ K ]m2 ×n là ma trận ràng buộc m2 lên n chứng khoán.

[ G ]m3 ×n là ma trận ràng buộc m3 lên n chứng khoán.

[ V ](n)×(n) là ma trận covarian.

[ V ](n+m)×(n+m ) là ma trận covarian biến đổi.

[ b ]m× 1là véc tơ ở vế phải của hạn chế.

[ b ](n+2 m)× 1là véc tơ ở vế phải của hạn chế biến đổi.

[ k ]m2 ×1là véc tơ ở vế phải của ma trận ràng buộc m2 lên n

chứng khoán .

[ g ]m3 ×1 là véc tơ ở vế phải của ma trận ràng buộc m3 lên n

chứng khoán .

[ μ ]n ×1 là véc tơ kỳ vọng của các chứng khoán.

[ μ ](n+2m)×1 là véc tơ kỳ vọng của các chứng khoán biến đổi.

[ D ]m×m là ma trận đơn vị.

[ E ]n ×1là véc tơ giá trị kỳ vọng lợi nhuận trả về hay lợi nhuận ước tính.

[ y ]m2 ×1là véc tơ phụ.

[ z ]m3× 1là véc tơ phụ.

[ y ]m2 ×1là véc tơ phụ.

+) Khởi tạo các mảng lưu kết quả trung gian của bài toán.

[ P ] là ma trận lưu lại các phương án tối ưu của bài toán.[ ¿ ] là tập các biến cơ sở.

[ out ]là tập các biến phi cơ sở.

[ V ¿ ]n × n là ma trận biến đổi theo biến cơ sở của ma trận covarian

[ M ](n+2 m )× (n+2 m) là ma trận tham số.

Bước 2:Nhập các giá trị đầu vào.

[ A ]m×n ,[ V ]n ×n ,[ b ]m× 1, [ μ ]n ×1,[ K ]m2 ×n,[ G ]m3 ×n

Bước 3.Tìm tập các biến cơ sở của bài toán.

+) Giải bài toán phụ sau:

Ta có:

Z ≡−Max (s ' e ( m1)+t ' e ( m2)+t ' e ( m3) )

68

Z−ω' M⃗− y ' e( m2)+z ' e ( m3) v ớ i

M⃗ ≡−e'( m1)−e'

(m2 ) K−e '( m3 )G∈Rn (3.56 )

R ≡b ' e (m1 )+k ' e( m2)+g' e (m3 )∈R

Với s∈Rm1, t∈Rm2 ,u∈Rm3 là các biến giản.

Dùng thuật toán đơn hình 2 pha giải bài toán đơn hình 2 pha tìm nghiệm

xuất phát cho bài toán.

+) Giải bài toán 1 trên ta sẽ có được tập các biến cơ sở [ ¿ ]={…} và

[ out ]={…} của bài toán (3.4).

+) Nếu không tìm được tập [ ¿ ]và [ out ] thì nhảy xuống bước 7.

Bước 4: Tính toán các thông số đầu vào cho bài toán markowzit.

Dựa vào tập [ ¿ ]và [ out ] tìm được ở Bước 3 ta đi tìm ma trận sau:

+)A¿, V ¿, μ¿ được xây dựng giống bài toán gốc.

+) Xác định K ¿ ,G¿.

Kí hiệu K ibiểu thị hàng i của ma trận K, với bất kỳ y i (1≥ i≥ m2 ) bằng 1 là thành

phần của tập ′in′ nếu K i ω<k i. Ngược lại y ilà phần tử của tập ′out′.

Và z i (1 ≥ i≥ m3 ) bằng 1 nếu và chỉ nếu Gi ω<gi, Gilà hàng i của

ma trận G.

+)Xác định[ D ]m×m, [ μ ](n+2m )×1

D ≡(D(m2 , m2)0(m2 , m3)

0(m3 ,m2 )D(m3 ,m3 )

)Nếu δ ij

1 biểu thị thành phần ở hàng i và cột j của D(m2 ,m2) và δ ij2 tương ứng thành phần

của D(m3 ,m3). Ta định nghĩa:

δ ij1 ≡{ 0⟺ i ≠ j

1⟺ i= j v à y i=0 ∀1≤i , j≤ m2

0⟺ i= j v à y i=1

δ ij2 ≡{ 0⟺ i≠ j

1⟺ i= j v à zi=0 ∀1≤ i , j≤ m3

0⟺ i= j v à zi=1

+)Xác định [ A ] ( m1+m )× (m1+m )

A ≡(A¿ 0(m1 , m2)0(m1 , m2)

K ¿ E( m2 ,m2 ) 0(m2 , m3)

G¿ 0(m3 , m2)−E(m3 ,m3)

)∈R( m1+m ) (n+m)

+)Xác định[ V ] (n+m) × (n+m )

69

V ¿=( V ¿ 0nm

0n m D )+) Xác định [ μ ](n+2m)×1

μ ≡( μ¿

0m)+)Xác định [ b ](n+2 m)× 1

b ≡(bkg)∈Rm1+m

+) Tính λa , λb , λc , λd , λlow , λhigh giống bài toán gốc.

+)Tính

M ≡ ¿

(xλ)=M−1 ¿

V ớ i : α ≡ M−1 ¿

η=(V A ' ) α+λE [ (V A ' ) α−μ ] ≡ γ+λE δ ≥ 0

vớ i γ ≡ ( V A' ) α∈ Rn+m v àδ ≡ [ ( V A' ) α−μ ]∈Rn+m

Bước 5. Kiểm tra điều kiện.

+) λ low>λhigh không có phương án khả thi mà thỏa mãn các ràng buộc trên

chuyển xuống bước tiếp theo bước 7.

+) Khi λhigh=∞ hoặc λ low=∞. Thuật giải sẽ không còn đúng kết thúc và

chuyển xuống bước 7.

+) λ low≤ λhigh có phương án khả thi chuyển xuống bước 6.

Bước 6: Lặp xác định lại các thành phần của tập [ ¿ ]và [ out ].Tương tự bài toán gốc.

Bước 7. Kết thúc

+) Đưa ra tập kết quả trong trường hợp có phương án tối ưu. Ngược lại kết

thúc và kết luận ko có phương án tối ưu.

3.4.5 Sơ dồ thuật toán.

Về cơ bản thì sơ đồ thuật toán không có gì thay đổi sơ với bài toán gốc. Chỉ

khác ở chỗ tính toán các tham số có chút biến đổi.

3.4.6 Thuật toán viết dưới giả mã.

Thủ tục khởi tạo các biến đầu vào cho thuật toán

Procedure Khoitao()

Begin

/*Khai tạo các tham số n, m,m1,m2,m3.*/

70

Khởi tạo các ma trận và véc tơ .

[ A ]m×n,[ V ]n ×n,[ b ]m× 1, [ μ ]n ×1,[ K ]m2 ×n,[ G ]m3 ×n...

[ M ](n+2 m )× (n+2 m) ,[ ¿ ]và [ out ]…*/

End.

Thủ tục nhập, cho phép nhập các giá trị cho các ma trận, vector..

Procedure Nhap()

Begin

/*Nhap các giá trị đầu vào của bài toán.*/

/*[ A ]m×n ,[ V ]n ×n ,[ b ]m× 1, [ μ ]n ×1,[ K ]m2 ×n,[ G ]m3 ×n…*/

End.

Thủ tục đơn hình 2 pha tìm phương án cực biên xuất phát.

Procedure Donhinh(var [in],[out]:…, var b:boolean)

Begin

/* Tìm kiếm phương án cực biên xuất phát cho bài toán Markowzit.

/*Kiểm tra xem tập [in] có rỗng không nếu rỗng thì không có phương án tối

ưu⟶ kết thúc.

For i:=1 to n do

Begin

If([¿]≠∅ ) then b=true else

b=false;

end;

End.

Thủ tục tính cho phép ta thực hiện tính các tham số cho bài toán markowzit.

Procedure Tinh()/*Tính các thông số đầu vào cho bài toán.

Begin

/* Tính các thông số của mô hình

A¿, V ¿, μ¿,V ,λa , λb , λc , λd , λlow , λhigh, M…*/

End.

Hàm Toiuu1 Kiểm tra điều kiện tối ưu của bài toán

Function Toiuu1(Var λ low , λhigh:..):boolean

Begin

/* Tính các thông số của mô hình

If(λ low>λhigh)then Toiuu1:=false

else Begin

if(λhigh=∞ or λ low=∞) then Toiuu1:=False

else Toiuu1:=true;

71

end;

End.

Thủ tục Toiuu2 thực hiện việc tìm kiếm các nghiệm tối ưu.

Procedure Toiuu2(var b:boolean)

Begin

b:=false;

For i:=1 to n+m do

Begin

If(x [i ]>0) Then

If¿) then b:=true;

/*Kết nạp x[i] từ tập [in] vào tập [out].

If(x [i ]=0) Then

If¿) then b:=true;

/*Kết nạp x[i] từ tập [in] vào tập [out].

If(x [i ]<0) Then b:=true;

/*Kết nạp x[i] từ tập [in] vào tập [out]

End;

End.

Thủ tục Markowizt là chương trình chính thực hiện giải bài toán .

Procedure Markowizt()

Begin

/*gọi thủ tục Khởi tạo

Khoitao();

/*gọi thủ tục nhập Nhập

Nhap()

/*Gọi thủ tục Donhinh

Donhinh([in][out],b);

If(b=false) then /*Kết thúc trả về kết quả

Else

Begin

/*Gọi hàm Tinh()

Tinh();

While(Toiuu1(λ low , λhigh)=true)

Begin

If(Toiuu2(b)=false) Then

Begin

72

/*Ta có nghiệm tối ưu;

Tinh();

End;

Else Tinh();

End;

End;

/*Lưu lại tập nghiêm tối ưu và kết thúc thuật toán.

End.

3.3.4. Ví dụ minh họa

Ví dụ trong phần 2 của chương có giải bài toán Markowitz gốc tuy nhiên

bài toán còn đơn giản, các ràng buộc đều dưới dạng đẳng thức. Ví dụ trong

phần này cũng dựa trên phần trước nhưng có thêm các ràng buộc dạng bất

đẳng thức. Cách giải quyết cũng được thực hiện từng bước từng bước, đầu tiên

giải bài toán đơn hình phụ (đơn hình hai pha), sau đó là bài toán đơn hình gốc

và cuối cùng là giải bài toán quy hoạch toàn phương bằng cách sử dụng thuật

toán Markowitz tổng quát.

Bài toán (các thông số về V,A,µ vẫn như phần trước) :

minω

η2=ω' Vω

ω1+ω2+ω3=1(3.57) ω3≤ 0.5 ω1≥ 0

ω≥ 0

Đầu tiên ta tìm nghiệm cơ sở của bài toán bằng cách tìm giá trị lớn nhất của tỉ lệ

lợi nhuận kỳ vọng trả về theo (3.52). Bảng ban đầu (3.2) được khởi tạo các giá trị như

trong bảng (3.1).

73

Bảng 0

ω1 ω2 ω3 y1 z1 rhs

Es1

t 1

u1

Z

−15.0 −10.0 −20.0 0.0 0.0 0.01.0 1.00.0 0.0

1.0 0.01.0 1.0

0.0 1.00.0 0.5

1.0 0.0−2.0 −1.0

0.0 0.0−2.0 −1.0

−1.0 0.31.0 −1.8

Bảng 3.2:

Tập các biến cơ sở trong bài toán trung gian này (bài toán đơn hình hai

pha) là¿={s1 ,u1 , t1 }, các biến khác nằm ngoài cơ sở. Áp dụng các quy tắc

về chọn cột xoay và hàng xoay như trong phương pháp đơn hình đã trình bày

trong chương một, phần tử nằm trên giao của cột xoay và hàng xoay được in

đậm trong bảng. Tính toán lại các giá trị ta được bảng (3.3) như sau:

Bảng 1

u1 ω2 ω3 y1 z1 rhs

Es1

t 1

ω2

Z

15.0 −10.0 −20.0 0.0 −15.0 4.5−1.0 1.00.0 0.0

−1.0 0.01.0 1.0

1.0 0.70.0 0.5

1.0 0.02.0 −1.0

0.0 0.0−2.0 −1.0

−1.0 0.3−1.0 −1.2

Bảng 3.3:

Nhận thấy Z = −1.2 lớn hơn Z = −1.8 trong bước trước, như vậy bước này có sự

phát triển so với bước trước.

Bảng 2

u1 ω2 t 1 y1 z1 rhs

Es1

ω3

ω1

Z

15.0 −10.0 20.0 20.0 −15.0 14.5−1.0 1.00.0 0.0

−1.0 −1.01.0 1.0

1.0 0.20.0 0.5

1.0 0.02.0 −1.0

0.0 0.02.0 1.0

−1.0 0.3−1.0 −0.2

Bảng 3.4:

Bảng kế tiếp (3.5) này cung cấp lời giải tối ưu cho bài toán phụ này:

74

Bảng 3

u1 s1 t1 y1 z1 rhs

Eω2

ω3

ω1

Z

5.0 10.0 10.0 10.0 −5.0 16.5−1.0 1.00.0 0.0

−1.0 −1.01.0 1.0

1.0 0.20.0 0.5

1.0 0.01.0 1.0

0.0 0.01.0 0.0

−1.0 0.30.0 0.0

Bảng 3.5:

Như vậy phương án cơ sở cho bài toán quy hoạch toàn phương (3.57) được thấy ở

đây với giá trị hàm mục tiêu Z = 0. Nghiệm tương ứng là ω '={0.3 0.2 0.5 } giá trị kỳ

vọng của lợi nhuận là 16.5%. Bước tiếp theo ta bỏ đi các cột ứng với các biến giả, hàm

mục tiêu ở bài toán trung gian này cũng được gỡ đi. Kết quả được:

Bảng 4

y1 z1 rhs

Eω2

ω3

ω1

5.0 5.0 17.5−1.0 1.0 0.21.0

−1.00.01.0

0.50.5

Bảng 3.6:

Thêm một bước tính toán nữa ta được nghiệm tối ưu của bài toán đơn hình gốc,

giá trị lớn nhất của kỳ vọng lợi nhuận được tìm thấy ở bước này.

Bảng 4

y1 ω2 rhs

Ez1

ω3

ω1

5.0 1.0 17.5−1.0 1.0 0.21.0

−1.00.01.0

0.50.5

Bảng 3.7:

Giá trị lớn nhất của kỳ vọng lợi nhuận trả về ở bước này là 17.5% ứng với

ω '={0.5 0.0 0.5 } . Qua việc giải bài toán tìm nghiệm cơ sở này thu được

¿={z1 , ω1 , ω3 } và ¿={ y1 , ω2 }. Thông tin này sẽ cung cấp một bước khởi tạo tốt cho

thuật giải Markowitz.

Bước 1:

Bước đầu tiên của giải thuật Markowitz là khai báo ma trận M=R( n+m1+m ) (n+m1+m ) theo

(3.49):

75

M=([400 00 1

100 0

100 0 00 0 0

625 0 00 00 0

0 1 00 0 0

] [1 0 10 0 0100

100

00

−1]

[1 0 1 0 00 0 1 0 01 0 0 0 −1] [0 0 0

0 0 00 0 0] )

Từ kết quả của phần trước về tập ′in′ và ′out′ ta xây dựng khối ma trận D được in

đậm như trên. Bước này sẽ được giải thích như sau. z1nằm trong tập ′in′ và có giá trị −1

còn y1 nằm trong tập ′out′ và có giá trị 0. Theo định nghĩa về giá trị của các thành phần δ ij1

và δ ij2 ta có δ 22

2 =0 và δ 111 =1. Từ đó, xác định được giá trị của khối ma trận D (được in đậm

trong ma trận M).

Trong bài toán Markowitz tổng quát này thì ngoài 3 biến chính tương ứng

với 3 chứng khoán A, B, C còn có các biến phụ thêm vào y1 , z1. Và các biến

này đều có thể có mặt trong tập các biến cơ sở ′in′ ở từng bước giải của bài

toán. Ta sử dụng kí hiệu ngầm định sau: {y} rsub {1} đại diện cho ràng buộc nhỏ hơn

hoặc bằng trong bài toán (3.42) còn {z} rsub {1} đại diện cho ràng buộc lớn hơn hoặc

bằng trong (3.42).

Sử dụng (3.50) và (3.51) tính các giá trị của α ,β , γ , δ giá trị trả về như trong bảng

(3.8):

α β −αβ

γ − γδ

δ

ABC

{y} rsub {1} {z} rsub {1}

0.50

¿

Bảng 3.8:

Từ bảng và (3.16) có: λa=−∞ λb=22.5 λc=∞ λd=∞

Sử dụng (3.17) ta có λhigh=∞ , λlow=22.5. Ràng buộc ′′ ≤′′ ảnh hưởng tới

đạo hàm riêng của L với biến y1, vì thế y1 ảnh hưởng tới λ low và được kết nạp

vào tập cơ sở. Tập cơ sở mới là ¿={ω1 ,ω3 , y1 , z1 } và out= {ω2 }. Giá trị kỳ

76

vọng lợi nhuận của toàn danh mục là E ( λ low )=17.5 % và tỉ trọng đầu tư của các chứng

khoán trong danh mục là ω ( λlow )=(0.50.00.5)

Bước 2: Do tập ′in′ và ′out′ có sự thay đổi nên ma trận M được viết lại. Giá trị của

ma trận D và A24 của A được in đậm.

M=([400 00 1

100 0

100 0 00 0 0

625 0 00 00 0

0 0 00 0 0

] [1 0 10 0 0100

100

00

−1]

[1 0 1 0 00 0 1 1 01 0 0 0 −1] [0 0 0

0 0 00 0 0] )

Tương tự bước 1 ta có bảng (3.9):

α β −αβ

γ − γδ

δ

ABC

{y} rsub {1} {z} rsub {1}

0.63640.0

−0.0061 104.330.0 ¿

0.0 0.0 −¿−104.9091 6.8182 20.67

0.36360.1364

¿0.1364 0.0 −¿0.1364 −0.0061 22.50¿0.3364¿−0.0061 55.15¿ 0.3364 −0.0061 55.50¿

λa=−59.61, λhigh=20.67,E ( λ low )=17.44 %λb=20.67 λ low=20.50

λc=22.50 ω ( λlow )=(0.510.0

0.49)λd=22.50

Bảng 3.9:

Nhận thấy chứng khoán B có ω2=0.0 tương ứng với λ low theo trên. Vì thế ω2 được

kết nạp vào tập cơ sở, ¿={ω1 ,ω2 ,ω3 , y1 , z1 } và out= {∅ }. Như vậy tất cả các biến đều thuộc

vào ′in′.

Bước 3: Trong bước này tất cả các biến đều là biến cơ sở, 2 biến phụ y1 và z1 cũng ở trong cơ sở, vì thế các thành phần của D đều bằng 0 (ma trận D in đậm). Giá trị

của viết lại như sau:

77

M=([400 150150 225100 150

100 0 0150 0 0625 0 0

0 00 0

0 0 00 0 0

] [1 0 11 0 0100

110

00

−1]

[1 0 1 0 00 0 1 1 01 0 0 0 −1] [0 0 0

0 0 00 0 0] )

Các giá trị khác được tính tương tự bước trên, ta có bảng (3.10):

α β −αβ

γ − γδ

δ

ABC

{y} rsub {1} {z} rsub {1}

0.22110.6526

0.0140 −15.75−0.00316 20.67

0.0 0.0 −¿0.0 0.0 −¿0.36360.1263

0.0175 −7.20−0.0175 21.30

¿ 0.0789 ¿−0.0789 0.0140 5.625

λa=5.625, λhigh=20.67,E ( λ low )=17.44 %λb=5.625 λ low=5.625

λc=20.67 ω ( λlow )=(0.3000.4750.225)

λd=21.35 Bảng 3.10:

Từ bảng và (3.23), ràng buộc ” ≥" xác định λ low, loại z1 ra khỏi tập các biến cơ sở.

¿={ω1 ,ω2 ,ω3 , y1 } và out= {z1 }.Bước 4: z1loại ra khỏi tập cơ sở dẫn đến ma trận D thay đổi. Mđược viết lại:

M=([400 150150 225100 150

100 0 0150 0 0625 0 0

0 00 0

0 0 00 0 0

] [1 0 11 0 0100

110

00

−1]

[1 0 1 0 00 0 1 1 01 0 0 0 −1] [0 0 0

0 0 00 0 0] )

78

Các giá trị khác được tính tương tự bước trên, ta có bảng (3.11):

α β −αβ

γ − γδ

δ

ABC

{y} rsub {1} {z} rsub {1}

0.30.5773

0.0 −¿−0.0182 31.75 ¿

λa=−6.75, λhigh=5.625,E ( λ low )=11.50 %λb=−∞ λ low=−6.75

λc=20.75 ω ( λlow )=(0.30.70.0)

λd=5.625 Bảng 3.11:

Từ ω ( λlow ) có ω3=0, loại ω3 ra khỏi tập cơ sở, ¿={ω1 ,ω2 , y1 } và out= {ω3 , z1 }. Bước 5: Biến y1 vẫn ở trong tập cơ sở vì thế ma trận D không thay đổi, loại ω3ra

khỏi tập cơ sở dẫn đến thay đổi trong M như sau:

M=([400 1500 2250 0

100 0 0150 0 0

1 0 00 00 0

0 0 00 0 1

] [1 0 11 0 0000

010

000]

[1 1 0 0 00 0 0 1 01 0 0 0 0 ] [0 0 0

0 0 00 0 0])

Các giá trị khác được tính tương tự bước trên, ta có bảng (3.12): Bảng (3.13) tổng

kết qua 5 bước giải:

Hình (3.4) đã minh họa lại toàn bộ quá trình thực thi của chúng ta. Từ hình

vẽ ta sẽ có một sự so sánh giữa đường cong hiệu quả giới hạn của bài toán gốc,

đường cong hiệu quả giới hạn của bài toán tổng quát và đường cong hiệu quả

không giới hạn.

79

Nhận thấy rằng đường cong hiệu quả minh họa cho bài toán Markowitz tổng

quát này ngắn hơn đường cong hiệu quả của bài toán Markowitz gốc, điều này

là do trong bài toán Markowitz tổng quát có thêm các ràng buộc bổ sung so

với bài toán gốc. Chính các ràng buộc này đã giới hạn tập giá trị của lợi nhuận

ước tính (lợi nhuận kỳ vọng) hay độ lệch chuẩn lại. Hai đường cong này có

những đoạn đồng dạng hay trùng nhau. Lý giải điều này là do có những trường hợp mà

α β −αβ

γ − γδ

δ

ABC

{y} rsub {1} {z} rsub {1}

0.30.5773

0.0 −¿−0.0182 31.75 ¿

λa=−∞, λhigh=−6.75,E ( λ low )=11.50 %λb=−∞ λ low=−∞

λc=∞ ω ( λlow )=(0.30.70.0)

λd=−6.75 Bảng 3.12

Phân đoạn

λ low λhigh E ( λ low ) E ( λhigh ) ω1 ω2 ω3 y1 z1

1 22.5

∞ 17.50

- 0.70

0.00

0.50

0.01

0.21

2 20.67

22.5

17.44

17.50

0.51

0.0

0.49

0.01

0.21

3 5.625

20.67

13.75

17.44

0.3

0.475

0.225

0.275

0.00

4 -6.75

5.625

11.50

13.75

0.30

0.70

0.00

0.50

0.00

5 -∞

-6.75

- 11.50

0.30

0.70

0.00

0.50

0.00

Bảng 3.13

độ lệch chuẩn và lợi nhuận ước tính không bị tác động của những ràng buộc trong

bài toán. Ví dụ như trong phân đoạn 1 và 2 của bảng khi mà biến y1 và z1 lớn hơn 0, hay

trong phân đoạn 3 đến 5, tỷ trọng đầu tư của chứng khoán A luôn là đạt mức hằng số

30%.

80

Form:Main Form:Tính toán các giá trị đầu vàoForm: Thiết lập các điều kiện ràng buộc của bài toán

Form: Kết quả trả về danh mục đầu tư tối ưu

Và như một lẽ tự nhiên rằng cơ hội đầu tư sẽ rất lớn nếu có rất ít các ràng buộc hạn

chế hoặc không có ràng buộc hạn chế nào trong bài toán.

Hình 3.4: Đường biên hiệu quả được tính bởi thuật toán Markowitz gốc và tổng

quát

3.3. Xây dựng chương trình hỗ trợ ra quyết định

Trong phần này ta sẽ đi xây dựng chương trình hỗ trợ ra quyết định đầu tư vào

danh mục đầu tư dựa trên thuật toán markowzit gốc và tổng quát.

Sơ đồ thực hiện các chức năng của bài toán.

Sơ đồ 3. Sơ đồ lường dữ liệu đi qua các form.

81

Các lớp lớp xử lý thuật toán của bài toán.

Hình 3. Các lớp xử lý của bài toán.

3.3.1 Form Chương trình chính.

Chức năng chỉnh của form main là giúp người dùng có cái nhìn tổng quan về

toàn bộ các chức năng chính của ứng dụng.

Ngoài ra nó còn giúp cho người dùng có thể hiểu hơn về chương trình.

Hình 3. Form Quản lý danh mục đầu tư.

3.3.2 Form tính toán các giá trị đầu vào.

Ở form này có các chức năng sau:

82

Chức năng chính của form này dùng để tính toán các giá trị đầu vào.Đầu vào là

giá của các chứng khoán và đầu ra của nó là ma trận hiệp phương sai covarian,

lợi nhuận kỳ vọng và Suất sinh lời Rt của tất cả các loại chứng khoán.

Chức năng Markowit cho phép người dùng chuyển sang form Thiết lập các ràng

buộc của bài toán markowzit.

Người dùng có thể nhập trực tiếp các chức khoán hoặc là lưu chứng khoán bằng

1 file excel rùi load vào trong chương trình.

Ngoài ra còn có các chức năng khác như.Xuất ra các định dạng file

Text,XML,Excel kết quả để người dùng lưu lại.

Chức năng Thoát giúp cho người dùng có thể thoát ra khỏi ứng dụng.

Hình 3. Form nhập và tính toán các giá trị đầu vào.

3.3.3 Form Thiết lập các điều kiện cho bài toán

Các chức năng chính trong form này đó là:

Cho phép thiết lập các điều kiện ràng buộc của bài toán.Người dùng chỉ cần nhập

vào số lượng các loại chứng khoán, số ràng buộc ¿, số ràng buộc ≥, và số các ràng

buộc ≤.

Chức làm mới cho phép người dùng thiết lập lại điều kiện của bài toán khi mà

nhập không đúng hoặc muốn thiết lập lại các điều kiện ràng buộc.

Chức năng tính cho phép ta thực hiện giải quyết bài toán tối ưu hóa danh mục đầu

tư chứng khoán với các chứng khoán đã được lựa chọn

83

Hình 3. Form thiết lập ma trận ràng buộc cho bài toán markowzit

3.3.4 Form kết quả.

Các chức năng chính của form này là:

Cho phép người dùng xem kết quả trả về một danh mục đầu tư tối ưu

Biểu đồ thể hiện đường tập hợp các cơ hội đầu tư IOS, đường thị trường vốn CAL

tiếp xúc với đường IOS chính là danh mục đầu tư tối ưu. Cho phép người dùng

nhìn 1 cách trực quan

Người dùng có thể nhập vào 1 tài sản phi rủi ro khác nhau để tìm kiếm danh mục

đầu tư tối ưu mong muốn đánh đổi giữa lợi nhuận và rủi ro khác nhau.

Ngoài ra biểu đồ pie-chart thể hiện tỷ lệ phần trăm đầu tư vào danh mục chứng

khoán đã chọn.

Chức năng lưu file dưới định dạng excel giúp người dùng có thể lưu lại kết quả

sau khi tính.

84

Hình 3. Form danh mục đầu tư tối ưu được chọn.

File Excel Kết quả: được lưu lại gồm tập hợp các danh mục đầu tư tối ưu và lợi

nhuận mong muốn, tỷ trọng đầu tư vào các loại chứng khoán.

Hình 3 File excel kết quả.

85

KẾT LUẬN

86

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Bùi Minh Trí (2004), Quy hoạch toán học, Nhà xuất bản Khoa Học Kỹ

Thuật, Hà Nội.

[2]. Nguyễn Đăng Nam (2006), Phân tích và đầu tư chứng khoán, Nhà xuất

bản Tài Chính, Hà Nội.

[3]. Markowitz. H, (1952) Portfolio Selection, The Journal of Finance, Vol.

7, No. 1, pp. 77-91.

[4]. Andreas Antonio, Wu-Sheng Lu, (2007), Practical Optimization,

Springer, Germany.

87