www.zlinskedumy.cz

Škola Střední průmyslová škola Zlín

Název projektu, reg. č. Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333

Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace (dle RVP)

Vzdělávací obor Matematika (vyučovací předmět)

Tematický okruh Posloupnosti a řady

Téma Posloupnosti a řady

Tematická oblast Posloupnosti a řady

Název Součet obsahů a obvodů do sebe vnořených útvarů

Autor RNDr. Lenka Švehlíková

Vytvořeno, pro obor, ročník prosinec 2012, strojírenství, 3. roč.

Anotace Prezentace – výklad učiva, vzorové příklady

Přínos/cílové kompetence Pochopení základních pojmů z tematické oblasti posloupnosti a řady

VY_32_INOVACE_55_19

POSLOUPNOSTI A ŘADY

Součet obsahů a obvodů do sebe vnořených útvarů

Využití součtu nekonečné konvergentní geometrické řady při výpočtu součtu obsahů a obvodů

do sebe vnořených útvarů

Příklad 1

Do rovnostranného trojúhelníku ABC o straně velikosti a je vepsán čtverec KLMN tak, že strana KL je částí úsečky AB. Úsečka KL je pak stranou dalšího rovnostranného trojúhelníku, kterému je opět stejným způsobem vepsán čtverec atd. Vypočtěte součet obsahů všech takto vzniklých čtverců.

Řešení příkladu 1

strana prvního strana prvního čtverce KLMN v pravoúhlém platí Podobně atd.Obsahy čtverců … tvoří geometrickou posloupnost s , tj. , tj. existuje součet

Součet obsahů všech takto vzniklých čtverců je .

A K L B

C

N M

𝑎2

𝑎1

Příklad 2

Do rovnostranného trojúhelníku o délce strany2 cm je vepsán druhý trojúhelník, jehož vrcholy jsou ve středech stran prvního trojúhelníku. Do tohoto druhého trojúhelníku je stejným způsobem vepsán třetí trojúhelník atd. Vypočítejte součet obvodů všech takto vzniklých trojúhelníků.

Řešení příkladu 2

Všechny vepisované trojúhelníky jsourovnostranné. Délka strany druhého je rovna polovině délky strany prvního (střední příčka), délka strany třetího je rovna polovině délky strany druhého atd.Obvody trojúhelníků jsou postupně: atd. Tato čísla tvoří geometrickou posloupnost s , tj. geometrická řada +++ je konvergentní a její součet je

Součet obvodů všech takto vzniklých trojúhelníků je 12 cm.

Příklad 3

Je dán čtverec o straně délky a. Do něho je vepsán čtverec tak, že jeho vrcholy leží ve středech stran daného čtverce; takto vzniklému čtverci je opět vepsán čtverec s vrcholy ve středech stran předchozího čtverce; atd. Postup se stále opakuje. Vypočtěte součet obsahů všech čtverců.

Řešení příkladu 3posloupnost stran čtverců: strana prvního čtverce….. strana druhého čtverce…. , tj. strana třetího čtverce……. atd.posloupnost obvodů čtverců:, , , atd.Tato čísla tvoří geometrickou posloupnost s , tj. geometrická řada +++ je konvergentní a její součet je

Součet obvodů takto vytvořených čtverců se blížík hodnotě

Příklad 4

Strany čtverce rozdělíme v poměru 3:4 tak, aby u každého vrcholu byl jeden díl menší a jeden větší. Spojením bodů vznikne opět čtverec. Stejným způsobem vepíšeme do něho čtverec další atd. Určete součet obsahů všech čtverců.

Řešení příkladu 4posloupnost stran čtverců: strana prvního čtverce….. , tj. strana druhého čtverce…..strana třetího čtverce……. atd.posloupnost obsahů čtverců:, , , atd.Tato čísla tvoří geometrickou posloupnost s , tj. geometrická řada +++ je konvergentní a její součet je

Součet obsahů takto vytvořených čtverců je .

47𝑎

37𝑎

Příklad 5

Do rovnostranného trojúhelníku o délce strany je vepsán kruh, do kruhu je vepsán rovnostranný trojúhelník, do tohoto trojúhelníku je vepsán další kruh atd.Vypočtěte součet obsahů všech takto vzniklých kruhů.

Řešení příkladu 5strana prvního trojúhelníku….poloměr prvního kruhu…… , tj. poloměr dalšího kruhu…… , tj.

posloupnost poloměrů kruhů: , , , atd. (kvocient )posloupnost obsahů kruhů:, , , atd. Tato čísla tvoří geometrickou posloupnost s , tj. geometrická řada +++ je konvergentní a její součet je

Součet obsahů takto vytvořených kruhů je .

S

BA

C

P

QKL

M

Zdroje a prameny

Knihy:

• POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky: pro SOŠ a studijní obory SOU. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1991, 608 s. Učebnice pro střední školy (Státní pedagogické nakladatelství). ISBN 80-858-4978-X.

• JIRÁSEK, František. Sbírka úloh z matematiky: pro SOŠ a studijní obory SOU. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989, 479 s. Učebnice pro střední školy (Státní pedagogické nakladatelství). ISBN 80-042-1341-3.

• HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium: přehled středoškolského učiva. 1. vyd. Praha: Prometheus, c2000, 415 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus).ISBN 80-719-6165-5.

• KUBÁT, Josef. Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2004, 419 s. ISBN 80-719-6298-8.

• ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro střední odborné školy. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1991, 608 s. Učebnice pro střední školy (Státní pedagogické nakladatelství). ISBN 80-85849-91-7.

• KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 1. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 80-868-7303-X.

• PETÁKOVÁ, Jindra a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3.

Obrázky:

• vlastní, vytvořené v programu PowerPoint