www.zlinskedumy.cz

Škola Střední průmyslová škola Zlín

Název projektu, reg. č. Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333

Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace

Vzdělávací obor Matematika

Tematický okruh Statistika

Téma Statistika

Tematická oblast Statistika

Název Charakteristiky variability

Autor RNDr. Hana Dírerová

Vytvořeno, pro obor, ročník Listopad 2012, Strojírenství 3. ročník, Technické lyceum 3 . ročník,Stavebnictví 3.ročník,Elektrotechnika 3.ročník

Anotace Určit charakteristiky variability – rozptyl,směrodatnou odchylku

Přínos/cílové kompetence Statistický soubor popsat příslušnou charakteristikou polohy a charakteristikou variability

VY_32_INOVACE_02_16

Charakteristiky variability

• Rozptyl

• Směrodatná odchylka

• Mezikvartilová odchylka

Příklad

Při laboratorních cvičeních z fyziky měřili studenti průměr malého dřevěného válce.Prováděli 10 měření.

Petra měřila pravítkem a získala tyto výsledky(v mm): 40; 41; 41; 40; 42; 41; 42; 40; 40;41.

Tomáš použil posuvné pravítko a naměřil tyto hodnoty(v mm): 40,8; 40,9; 40,7; 41,0;40,7; 40,7; 40,9; 40,7; 40,8; 40,8.

Urči průměrný průměr válce na základě výsledků obou měření.

Měření Petry : 40; 41; 41; 40; 42; 41; 42; 40; 40; 41.

8,4010

41404042414240414140xP

Řešení

Měření Tomáše : 40,8; 40,9; 40,7; 41,0;40,7; 40,7; 40,9; 40,7; 40,8; 40,8

8,4010

8,408,407,409,407,407,400,417,409,408,40xT

Jsou výsledky obou měření rovnocenné ?

Míru proměnlivosti (kolísání ) hodnot kvantitativního znaku určují charakteristiky variability. Charakteristika variability je vyjádřena číslem,které popisuje kolísání jednotlivých hodnot znaku okolo zvolené charakteristiky polohy.

Ačkoli aritmetický průměr výsledků měření vyšel oběma stejně,přesto výsledky nejsou rovnocenné.Tomáš určitě měřil přesněji.Jeho výsledky se od průměru liší mnohem méně než výsledky Petry.Je důležité zjistit nejen hodnotu,kolem které výsledky kolísají,ale také ,jak moc kolísají

V souboru,ve kterém jako charakteristiku polohy zvolíme aritmetický průměr,je vhodnou charakteristikou variabilityrozptyl a směrodatná odchylka.

Rozptyl

Rozptyl znaku x ( značí se ) je aritmetický průměr druhých mocnin odchylek hodnot znaku všech jednotek souboru od aritmetického průměru.

2xs

Vzorec pro výpočet rozptylu

n

1i

2

i2x xx

n

1s nebo upravený vzorec pro jednodušší výpočet

2n

1i

2i

2x xx

n

1s

vzorec pro výpočet rozptylu pomocí rozdělení četností :

2i

n

1ii

2x xxn

n

1s

nebo upravený vzorec pro jednodušší výpočet

2r

1jjj

2x xxn

n

1s

2

Určete rozptyl pro měření Petry a Tomáše užitím obou vzorců.

Petra : 40; 41; 41; 40; 42; 41; 42; 40; 40; 41; průměr 40,8

56,0

10

8,40418,40408,40408,40428,4041

10

8,40428,40408,40418,40418,4040s

22222

222222x

Tomáš :40,8; 40,9; 40,7; 41,0;40,7; 40,7; 40,9; 40,7;40,8; 40,8; průměr 40,8

01,0

8,4010

8,408,407,409,407,407,40417,409,408,40s 2

22222222222x

Jednotkou rozptylu v tomto příkladě jsou mm².

Směrodatná odchylka

Směrodatná odchylka ( značí se ) je druhá odmocnina z rozptylu.

Má stejný rozměr jako je rozměr hodnot znaku.

xs

n

1i

2

ix xxn

1s

Chceme-li charakterizovat variabilitu znaku bezrozměrným číslem,použijeme variační koeficient ( značí se ). Variační koeficient je definovaný jako podíl směrodatné odchylky a aritmetického průměru.Vyjadřuje se většinou v procentech.

xv

%100x

sv x

x

Určete směrodatnou odchylku a variační koeficient měření Petry a Tomáše.

Petra :

%84,11008,40

75,0v

75,056,0s

x

x

Tomáš :

%25,01008,40

1,0v

1,001,0s

x

x

Směrodatná odchylka udává absolutní chybu měření a variační koeficient udává relativní chybu měření.

V souboru,ve kterém je vhodnější použít jako charakteristiku polohy medián,je vhodnou charakteristikou variabilitymezikvartilová odchylka.

Co je kvartil?

Podobně jako medián je kvartil případ kvantilu:

medián – dělí seřazené jednotky na dvě poloviny kvartily - dělí seřazené jednotky na čtyři čtvrtiny decily - dělí seřazené jednotky na deset desetin percentily - dělí seřazené jednotky na sto setin

Mezikvartilová odchylka znaku x ( značí se Q(x) ) a vypočítá se : 13 QQ

2

1xQ

Je-li ,pak : První kvartil Q₁ je hodnota „ čtvrtinová „ :

n21 x...xx

,xx2

1Q

14

n

4

n1

jestliže n je dělitelné čtyřmi,

,xQ1n1 jestliže n není dělitelné čtyřmi, n₁ je číslo zaokrouhlené

na nejbližší vyšší celé číslo 4

n

14

n3

4

n33 xx2

1Q

Třetí kvartil Q₃ je hodnota „ tříčtvrtinová „ :

, jestliže n je dělitelné čtyřmi,

3n3 xQ , jestliže n není dělitelné čtyřmi, n₃ je číslo zaokrouhlené na nejbližší vyšší celé číslo

4

n3

Příklad : Ve třídě byla zjišťována výše měsíčního kapesného u 26 žáků. Výsledky šetření jsou zpracovány tabulce. Určete medián a mezikvartilovou odchylku.

Výše kapesného v korunách 250 300 400 500 1000

četnost 2 6 7 8 1

Kč4002

xxxMed 1413

Kč1002

300500xQ

500xQ205,194

263n:Q

300xQ75,64

26n:Q

20333

711

1

Kvantily se používají pro vyjadřování relativního umístění v nějakém pořadí.

Například :

Státní maturitní zkoušky udávají percentilové hodnocení.Žák z testu z matematiky dosáhnete percentil 65%, znamená to, že 65% účastníků je v pořadí za ním a 35% je před ním.

Zdroje a prameny

1. CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 2. vyd. Praha: Prometheus, c1993, 163 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-858-4910-0.

2. KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 978-808-6873-053.

3. Vlastní zdroje,Hana Dírerová