אא١١٣ אאאא
0
G37
Wאא
אא ١١٣
א
אא١١٣ אאאא
1
א א אא W،
אאאאאאאאאאא،אאאאאאאאאא
אאאאאאאאא؛Kאאא
א א א אא אא،אאא
א א א ، אא ،אאא א אא א א
אאאאא،אאאאאאאא
אאא،אאKא
א א ?F ١١٣ E ?א אKאאאאאא
אאאא_אא_א__،אאאא،אKאאאאא
אאא،אKא
אאאא
אא١١٣ אאאא
2
א
א אאאWאא ٨
١אK ١٠
א ١٠
א ١٠
אא ١١
א ١٢
אא ١٣
١٣
אאאא ١٤
F١ J١E ١٥
٢אאK ١٦
א ١٦
١٦
אאא ١٧
א ١٧
א ١٨
١٩
אא ١٩
F١ J٢E ٢٠
٣אאאאאK ٢١
אאאא٢١ א
אאאאא ٢٢
אא١١٣ אאאא
3
אאא ٢٤
אאאא ٢٥
אאאאא ٢٥
א ٢٦
אא ٢٧
F١ J٣E ٢٩
אאWאא٣٠
١אאK ٣٢
٢אאאאK ٣٣
אא ٣٣
אא ٣٣
٣٤
אא ٣٤
F٢ J١E ٣٥
٣אאK ٣٦
אאא ٣٦
אcbxax 2 ٣٧
٣٨
F٢ J٢E ٣٩
٤אאK ٤٠
אאא ٤٠
F٢ J٣E ٤٣
אאאWאא٤٥
١אK ٤٧
אא١١٣ אאאא
4
٤٧
٢Kאא ٤٨
אא ٤٨
א ٤٨
٤٩
٤٩
א ٥٢
٣Kאא ٥٣
אא ٥٣
א ٥٣
אא ٥٤
٤אאK ٥٥
אא22 ٥٥
אא33 ٥٥
٥אK ٥٨
F٣ J١E ٥٩
אאאאW٦١
אאWא٦٣
١אK ٦٣
٢אאאאאK ٦٤
F٤ J١E ٦٦
٣אאאK ٦٧
א ٦٧
אא ٦٨
אא١١٣ אאאא
5
אאFאE ٦٨
F٤ J٢E ٧٠
אאWאא٧١
١אאK ٧١
٢אאאאK ٧٢
٣אK ٧٣
אא ٧٣
אא ٧٥
٤אאאK ٧٨
F٤ J٣E ٨٠
אאאאW٨١
١אאK ٨٣
٢אאאK ٨٧
٣Kאאא ٨٩
٤אאK ٩٠
٥אאאK ٩١
F٥ J١E ٩٤
אא١١٣ אאאא
6
אא א،א، אKאאW
א א אא א אא א א Kאאאא _אא_א
א א א אא א א אא א ،א אא
Kאאאאא
אאאWא
אK Kאא
Kאאא
א א ،אא א א אאאאK
Kאא
אא _ א _ א א אW א א א א א א،א
אאK אאאאאא
،Kאא אאאאא،אא
،אK
אא١١٣ אאאא
7
א א אא א א א א א،א א א א א א א
،אKאאאא א א א אא א ،א א אא
Kאאא
אא
אא١١٣ אאאא
8
المجموعات والعمليات عليھا
אא
אא١١٣ אאאא
9
אאW אא،אאאא
אאאאK
אאאW אאאW
١K Kא
٢K Kאאא
٣K Kאאא
٤K אאאאאאK
٥K אאאאK
אא١١٣ אאאא
10
١Kא
١K١KאK אאאאא
K Wאא
J אא10,8,6,4,2K
J Kאאאא
J Kאאא
J אאאאאאK
؛،א__؛،אא
Kאא؛K
אאK
١K٢KאW EFWYXBA ,,,אKKK
Wאאאאyxba ,,,KאKKKאא}{א
אאאKAא,1,0,2W
},1,0,2{ A 0אאAA00
AאK5AאبA55AK
אא١١٣ אאאא
11
١K٣KאאW אא،אא
אאאאK אW
אאא אאאאאאW
אאאW
אאאאKW
אאא
אאאאאאא،W
אאאאW
EFאאאאאאאאאK
Wאא
אאאא1،K
Wאאאn
mmnא0n
Wאאא2,5,7,63 אאאI
אאא
N
..}..........4,3,2,1{N
N0W
}0{NW
,.......}4,3,2,1,0{W
W
Z
.......}2,1,0,1,2{....... Z
Q
0,,: nZnZm
n
mQ
1
22
1
mm
אא١١٣ אאאא
12
אאאאאאאאאאאאאאאאאא
Kאאאאאאא
١K٤KאW א،W
Wא אא
AKאאא Kאאאאא
Wאא KאAאאאא19W
}8,6,4,2{A אא،
אאא Kאא، Wא 8,2,6,4{א{A א
אא،א2,8,6,4,4,2{א{A
Wאא ،אKא
8,6,4,2{א{AWא
}82,,:{ xزوجيxNxxANKאאא אאאx،x
28K
١K٥KאאW
R
Q2
A
אא١١٣ אאאא
13
אאא،אAWאAB
W AxBxAB FEW
אAB BA BAKאBAAB
١WאאW}12,11,3{}24,5{}24,11,5,3{ CBA אאCWAB AC א12
AK W
אאR،אאא
W RQZWN
١K٦KW א،BA א
א،W AxBxوBxAxABوBABA
٢Wאא؟ }0,:{},1,0{ 2 xxWxxBA
Wא אא
Wאא
W
BAA
B
AB
BA
NWWZ
ZQQ
AB
AB
1,0100)1(2 xxأوxxxxx
}1,0{BBA
אא١١٣ אאאא
14
١K٧KאאאאW א א
Kאא א א ، אאא
Kא א א א א אUא}21,7,2,5{U
}21,2{A}21,7,5{BאU אאאא{}K
00{א:{ xوxxA KאאKאאאאאא
אK
אאW
ABوBABACACBوBA
AAUA
)4,)3
,)2,)1
AB
אא١١٣ אאאא
15
F١ J١E
١WאאW
J אאKאא
J Kאאא
J אאאא5אK
J אאאא12K
J Kאאא
٢אאאWW
}.21,:{)6},51,,65:{)5
,}01,:{)4},134,:{)3
,}113,,:{)2,}123,:{)1
2
xNxxFnNnnxxE
xNxxDxNxxC
xفرديxNxxBxNxxA
٣WWאא
}49,36,25,16,9,4,1{)4,.......}10,5,0,5,10{....)3
........},16,12,8,4,0{)2},2,1,0,1,2,3,4,5{)1
DC
BA
٤WWאא
}9,8,....,2,1{,}9,7,5,3,1{,}5,4,3,2,1{,}5,3,1{,}3,1{,}1{ UEDCBA
Wאאאאאאא
UDEDECDC
EBCBBAA
.....)8,....)7,.....)6,.....)5
,.....)4,.....)3,.....)2,.....)1
٥WWאאא
}}.5{,2,4,3{7)8,}}4{,3,2,1{4)7,}{)6,)5
,)4,....},6,3,1{9)3},5{5)2},{)1
UA
Aaa
אא١١٣ אאאא
16
٢אאKK ٢K١KאW
אABאאאAB،אBA،W
?ڤن?אאU
אABאאאאאאWא
U
A B
BA ٣WאאW}6,5,4,3,2,1{BA
אW
)()()6,)5
),(,)()4,)3
,)2,)1
CBACBAABBA
BABBAAUUA
AAAAA
5אאא،א6Kאא
٢K٢KW אABאאAB
BAW }:{ BxوAxxBA
}:{ BxأوAxxBA
}6,4,2{}5,3,2,1{ BA
אא١١٣ אאאא
17
??Wאא
U
A B
BA ٤WאאW}11,:{,}6,:{ xNxxBxNxxAW
}11,:{ xNxxBA
אW
).()()6,)5
,)(,)()4,)3
,)2,)1
CBACBAABBA
BBAABAAUA
AAAA
5אאא،א6Kאא
٢K٣KאאEאFאW אCBA ,,W
FEא)()()()1 CABACBA
FEא2()()()(א CABACBA
٢K٤KאW אBאAאא
AאB،אאBA W
}:{ BxوAxxBA
אא١١٣ אאאא
18
א??אWא U
A B
BA ٥WאאW}20,18,12,6,3{},20,12,6,5,1{ BAW
}18,3{},5,1{ ABBA
אW
.)6,)5
,)4,)3
,)2,)1
BABABAABA
BAABBAUA
AAAA
٢K٥KאW אU،
אאUאAFKEAAW
}:{ AxوUxxAUA ??אWא
U
A
A
AA
AU
אא١١٣ אאאא
19
٦WאאW}3,2,1{.....},4,3,2,1{ ANUW .....}6,5,4{A
אW .)5,)4,)3,)2,)1 AAUUAAUAA
٢K٦KW אABאאUWא
.)2,)1 BABABABA ٢K٧KאאW
אאאאא،אאא
אאKאאאאאא
??אWא
٧WאWאW
Wאא
BABAABBABA
ABBAAUAAAAA
)6,)()()5
,)4,)3,)2,)1
ABA
B
BA}:{ BAxوBAxxBA
U
A B
BA
},,4,2{}5,4,3,2{ baBA },,5,3{ baBA
אא١١٣ אאאא
20
F١ J٢E
א١א٣אאאWא
١WW
٢WW
٣WW
٤WWא
_________________
________
))(,))(,)()()
)()())(),)(),)()
AUAgABAfBAAe
BABAdBBAcAAbABAa
B
٥W،א،Wא
٦WאאWאK
}9,...,2,1{U
}9,5,1{}8,6,4,2{}9,7,5,3,1{
}9,8,7,6,5{}7,6,5,4{}5,4,3,2,1{
FED
CBA
FDوFDfFEوFEeEDوEDd
CAوCAcDBوDBbBAوBAa
)))
)))
FEhDCgBAfDFe
EDdABcBAbDCBAa
))))
))),,,)
)()())))() ECFBdBDAcEAbEBAa
ABBAAB
ABcBAbBAa )))
CBA ,,
)())())() BCAcCBAbCBAa
UA B
C
אא١١٣ אאאא
21
٣Kאאאאא
٣K١KאאאאאW ٣K١K١Kאא
١E אQb
cو
b
a فإن:
b
ca
b
c
b
a
٢E אQd
cو
b
a فإن:
bd
cbad
d
c
b
a
٨WWא
24
13
15
23)6,
27
7
36
17)5,
7
2
11
9)4
,4
5
9
2)3,
11
2
11
7)2,
9
5
9
2)1
אW
11
5
11
2
11
7)2,
9
7
9
52
9
5
9
2)1
77
41
77
2263
711
11279
7
2
11
9)4,
36
53
36
458
49
9542
4
5
9
2)3
27
7
36
17)5
אא108אW
108
79
108
28
108
51
427
47
336
317
27
7
36
17
אא١١٣ אאאא
22
24
13
15
11)6
אא120א
120
23
120
6588
120
65
120
88
524
513
815
811
24
13
15
23
٣K١K٢KאאW
١E אW
אאQd
cو
b
aWdb
ca
d
c
b
a
אאאאK ٢E אW
אאQd
cو
b
a 0وc :فإنcb
da
c
d
b
a
d
c
b
a
אאאאאאאאאאK
٩WאW
5
2
9
7)4,
7
2
5
3)3,
5
2
9
7)2,
5
4
3
2)1
אW
18
171
18
35
29
57
2
5
9
7
5
2
9
7)4,
10
21
25
73
2
7
5
3
7
2
5
3)3
45
14
59
27
5
2
9
7)2,
15
8
53
42
5
4
3
2)1
٣K٢KאאאאאK ٣K٢K١KאאאW
אאאאאאאאא،
אא،אאאאKאאאאאא
אא١١٣ אאאא
23
١٠WWא 835.57694.19)2,436.057.49345.27)1
אW 9344.13835.57694.19)2,351.77436.057.49345.27)1
٣K٢K٢KאאאW
אאאאאאא
אאאאK א א7.325.3 1202537325
א א א 312א א א אאאW025.127.325.3
٣K٢K٣KאאאW אאאאא
אאאא،א א א א א א
אאWאאאא אא8.6556.21
א אא א א 680021556 אW
17.3
21556 6800 20400
11560 6800
47600 47600
00000
Wא17.38.6556.21
אא١١٣ אאאא
24
١١WW
49.06524.427)3,38.154224.130)2,67.409345.327)1
Wא
76.87249.06524.427)3
48.838.154224.130)2
4262.13410367.409345.327)1
٣K٢K٤KאאאW
W אאאאא5א
Kאא אאאאא51
Kאאאאא
١٢Wא8256.27W ١ J ٢ J1.0 ٣ J01.0 ٤ J001.0
Wא ١ J28 ٢ J1.08.27 ٣ J01.083.27 ٤ J001.0826.27
אא١١٣ אאאא
25
٣K٣KאאאאW אcba ,,אאW
١E Wאabba
٢E Wאcbacba )()(
٣E Wאbaab
٤E Wאcabbca )()(
٥E Wאacabcba )(
٦E אba cbca bcac
٧E Wאaaa 00
٨E 1אWaaa 11 ٩E a)( aa
0)()( aaaa
١٠אE0aa
a11 a
111
a
aaa
٣K٤KאאאאאW אאאאW
١EKאא ٢EאאאKאא ٣EאאאKאא
W ١ Jאאאאאאאאא
Kאא
٢ JאאאאK
אא١١٣ אאאא
26
١٣WWא
)1.09,0(81.0)9,7.368.116
)3.24.3(152.7)8,2.384.32.8)7
853
1327125)6),82.5(5.3)5),5.93.6(5.122)4
),6(2.4)3,7.13.2225.11)2,74.57.8)1
Wא
06
0
82
132132
82
5132
853
1327125)6
,7.08.25.3)8.2(5.3)82.5(5.3)5
,7.1252.35.122)2.3(5.122)5.93.6(5.122)4
,2.1062.4)6(2.4)3
,35,97.105.117.13.2225.11)2
,1.771.1474.57.8)1
909.081.0)1.09,0(81.0)9139
78
139
78
139
5.855.7
2.228.116
7.5155.7
7.368.116
)3.24.3(155.7)8
,4.92.12.82.384.32.8)7
٣K٥Kא ٣K٥K١KאW
١WאxnxnW n xxxxn W 10 x
الرمزnx للعدد يسمى القوةx أو أس ويقرأx مرفوع للقوةn في الرمزnx العدد .x يسمى األساس و العددn .يسمى األس
١٤WWא
17232)7),34()32()6,25)5
,2)4,)3()3)2()23)1352324
2342
nxn
אא١١٣ אאאא
27
Wא
27)3()3()3()3()3
16)2()2()2()2()2()2
9333)1
3
4
2
4)2(2)4 22
8016525)5 4 605)55)(11()964()92()34()32()6 232
49517478178486178243217232)7 35
٢Wא0xnxnW
nn
xx
1
١٥WאW342 )3()3,)2()2,3)1 אW
27
1
27
1
)3(
1)3()3
16
1
)2(
1)2()2
9
1
3
13)1
33
44
22
٣K٥K٢KאאW אxyאא،nmא
W
1)8,)7
1)6,)5
)4,)3
)()2,)1
0
xx
y
y
x
xx
y
x
y
x
xx
xxxx
yxyxxx
nn
n
n
n
nn
mn
m
nmnmn
nnnmnmn
W Wאאאnnn yxyx )(
אא١١٣ אאאא
28
١٦WאW
95
22342152
5
4
3
2
0
32
32
4
3242
10)01.0(3
1000)001(.15)12,)10010()1.0(5)11,)3()10,
2
2)9
,9
2)8,5)7,
9
2)6,)3()3)(5
55)4,)3(
)3()3,)2()2,)()1
t
xy
Wא
256
1
)2(
1)2()2()2
8
824
,1
)(
1)()1
222
2
yxxyxy
31255555)4 53232 ,3)3()3()3()3(
)3() 143)4(3
4
3
,19
2)6
0
,243)3()3()3)(5 532
125.918
729
2
9
2
9
9
2)8
3
333
,04.025
1
5
15)7
2
2
2222
2
9
1
)3(
1
)3(
1)3()10
tttt
,5,0
2
122
2
2)9 154
5
4
50001051051010105
)1010)(10(5})10(10{)10(5)10010()1.0(5)1132461524615
38215342215134215
7
791066
910
66
952
2323
95
22
10
5105105
10103
101015
10)10(3
)10()10(15
10)01.0(3
1000)001(.15)12
אא١١٣ אאאא
29
F١ J٣E
١WWא
13
1
13
73)12,
9
735)11,
5
27)10,
172
253)9
5
2
34
1
17
2)8,
15
4
5
3
9
5)7,
7
2
4
3
5
2)6,
11
7
2
1
7
5)5
9
54
3
)4,3
2
11
3)3,
11
3
11
5
11
2)2,
13
5
13
3)1
٢WאאאאאW
3.269.217
)3.74.5(132.9)12),1.09,2(781.1)11,5309,2)10
,352.713)9,2.52.33.114)8,1.331827)7793
14719145)6),2332.15(17.75)5),25.1953.17(125.1762)4
),18(52.43)3,27.1353.122325.111)2,2304.2587.17)1
٣WWאא
2
3
4
3
23
3
1
14
2
2
84
234512232
5
22
3413
1
211
223
453
2
23
))(4
3()
2)(12,
)27(2
69)11,
)25()10(
)16()125()10,
9215
153575)9
10)001.0(300
100)01.0(105)8,)103()01.0(2)7)9()6,
3
15)5
,)6(5)4,9
64)3,)2,
)16(81
)18(8)1
x
y
y
x
y
x
tZyx
yx
xxzxy
zyx
nn
nn
nn
nn
n
nn
אא١١٣ אאאא
30
אא
אא
אא١١٣ אאאא
31
אאW אאאאאK
אאאW
אאאW ١K Kאאאאא
٢K Kאא
٣K Kאאא
אא١١٣ אאאא
32
אא
١אאKW
١Wא אא ، אא א K א א
א،Kאאאא ١Wאאyx 233312
٢WאאEאFאאא 212x29xאאyx32237 yxK
Wאאאא)22( 0xK
٣WאאאK
אאאאxW 01
22
11 .......... axaxaxaxa n
nn
n 0nanK
אnaאא0aKאא
٢W א א אא א א ،א ، אאWא
אא
א א א א
9 5,1,9 2 5,,9 2 xx 59 2 xx2 11,2 1 11,2x x211 1 3,5,1 3 3,5,3 xx 353 xx
אא١١٣ אאאא
33
٢אאאאKK ٢K١KאאW
Wאאאא
٣WאW ).232()75()2),354()463()1 2222 xxxxxxxx
Wא
.98
)]2(7[)]3()5[(]2[)232()75()2
17
)3)4(()56()43()354()463()1
2
2222
2
2222
xx
xxxxxxxx
xx
xxxxxxxx
٢K٢KאאW אאאאאא
Kאא
٤WWא32)(13(א( 2 xxx Wא
35116339226
)1)(3())(3()3)(3()1)(2())(2()3)(2()13)(32(23223
222
xxxxxxxx
xxxxxxxxxx
Wאאאא
32233
32233
222
222
22
33))()(()()5
33))()(()()4
2))(()()3
2))(()()2
))(()1
yxyyxxyxyxyxyx
yxyyxxyxyxyxyx
yxyxyxyxyx
yxyxyxyxyx
yxyxyx
٥WאWאאאאא
.)32()3,)112()2),107)(107()1 3222 yxzyxx
אא١١٣ אאאא
34
Wא
322332233
4224222222222
222
2754368)3()3)(2(3)3()2(3)2()32()3
121444)11()11)(2(2)2()112()2
10049)10()7()107)(107()1
yxyyxxyyxyxxyx
zzyyzzyyzy
xxxx
٢K٣KאW אאא
אאWא
٦WאאאאxWא
2;762)3
2;76)2
3;12)1
23
2
xxx
xx
xx
Wא אxWא
524712247)2(6)22(27)2(6)2(2762)3
177247467)2(676)2
71613212)1
23
2
23
2
2
2
3
x
x
x
xx
x
x
٢K٤KEאאFאאW ٤Wאא
Kאאא ٧W1692 xx3xWאא
אא1692 xx3x12x
א20 W
3
2012)3(1692
xxxxx
12x
3x 1692 xx - xx 32 1612 x
- 3612 x 20
אא١١٣ אאאא
35
F٢ J١E
١WאאאאאאאאWא
.11109)6,1)5,5432)4
,1754)3,2)2,72)122453234
323222
yxxyyxxxxx
xyyxyxxx
٢WאWא
).43)(12)(54()8),42()843()4
),25)(14)(23()7),9112()1147()3
),252)(523()6,)185()724()2
),583)(75()5),272()543()1
223
22
22232
222
uuuuuuuu
cccssss
xxxxwwww
xxxxxxx
٣WאאאאאW
.)21(4)12,)3()6
,2)1()11,)2()5
,)2()10,)4()4
,)1()9,)3()3
,7)2(7)2()8),34)(34()2
,)5()5()7),53)(53()1
32
32
32
322
22
yyx
yxyx
yxzw
xyx
yxyxyxyx
yxyxxx
٤WאאאאxWא
2;1)4
1;355)3
5;45)2
3;17)1
53
23
2
2
xxx
xxxx
xxx
xxx
٥WWאאאאאא
56,15182024)4
52,459232)3
32,921136)2
3,203220)1
2235
2234
234
23
xxxx
xxxxxx
xxxxx
xxxx
אא١١٣ אאאא
36
٣אאKK ٥Wא
،אאאאאאKאאאאאא
٣K١KEKKFאאאW אאאא
Kאא
٨WWאאאאאאא ).2)(4()2)(4()3,30612)2,610)1 223 baxbaxxyxyyxxx
Wא 1EKKFאאE310xx6x2א
W
)35(2)3(2)5(2610 223 xxxxxxx 2EאEKKFאאxy6א
W
)152(6)512(6
)5(6)1(6)2(630612 22
yxxyyxxy
yxyxyxxyxyxyyx
3EאEKKFba 2Wא
)2(2)2)(2()44)(2(
)4()4()2()2)(4()2)(4(
baxxbaxxba
xxbabaxbax
אאאW
٩WאאW144216 23 yyy Wא
Wאאאא
)144()216(144216 2323 yyyyyy
אא١١٣ אאאא
37
אEKKFW
)72(2)72(3)144()216(144216 22323 yyyyyyyyy א72 yא،א
W
)23)(72(
)72(2)72(3)144()216(144216
2
22323
yy
yyyyyyyyy
٣K٢Kאcbxax 2
Wא1אa אnm ,אאW
bnmcmn )2,)1 אאcאbK Wא
))((2 nxmxcbxx אmnbא0c
א0cK
١٠WאאW1872 xx Wא
א 7b18c א 18 א 7 א א 29W
79)2( 189)2( WאאKK )9)(2(1872 xxxx
Kאאאאא
Wא1אa אאqpnm ,,,Wאאא
bnpmqcpqamn )3,)2,)1 Wאא2))((א qnxpmxcbxax
אא١١٣ אאאא
38
אmnא)1(אpqא)2(א)3(אאqpnm ,,,K
١١WאאW3116 2 xx Wא
אאאqpnm ,,,W 11,3,6 bnpmqcpqamn
Wאאא1,3,3,2 qpnmאW
)13)(32(3116 2 xxxx
W
١E cbxax 2אacb 42 K
456 2 xxW 222 11121)4)(6(4)5(4 acb
)12)(43(456 2 xxxx ٢Eאqp nmcbxax 2
22 )( pmxcbxax 4129 2 xxW
22 )23(4129 xxx ٣K٣KW
אאאאאאW ))((22 yxyxyx
١٢W14449 2 x W14449א 2 x222 )12()7(14449 xxא
Wאאא )127)(127()12()7(14449 222 xxxx
אא١١٣ אאאא
39
F٢ J٢E ١WאאWא
1ھو 2092 xx تحليل كثيرة الحدود
d) )10)(10( xx c) )4)(5( xx b) )4)(5( xx a) )2)(10( xx
2672تحليل كثيرة الحدود xx ھو
d) )6)(1( xx c) )1)(6( xx b) )2)(5( xx a) )2)(3( xx
32422تحليل كثيرة الحدود xx ھو
d) )5)(6( xx c) )3)(8( xx b) )6)(4( xx a) )6)(4( xx
4234تحليل كثيرة الحدود 12146 xxx ھو
d) )42)(37( xx c) )2)(3( 2 xx b) )673(2 2 xx a) )673(2 22 xxx
5362تحليل كثيرة الحدود x ھو
d) )6)(6( 22 xx c) )9)(4( 2 xx b) )6)(6( xx a) )36)(36( xx
٢WWאאא
,641510)7
,22)6
,263)5
),3(5)3()4
),4()2)(4()3
,72126)2
,1215)1
23
2
23
3223
2
zzz
yxxyx
xxx
yyx
xnnmx
abbaba
xx
,1109)14
,1811)13
,20236)12
,15268)11
,2812)10
,209)9
,101546)8
24
24
2
2
2
2
23
xx
xx
xx
aa
bb
xx
mmm
,)()21
,1211)20
,25616)19
,9)18
,1681)17
,9)16
,15236)15
22
2
4
4
22
2
24
zyx
n
y
x
cb
x
xx
אא١١٣ אאאא
40
٤EאאאFאאKK
٦WאאאאK
١٣W52
13
x
x127
432
2
xx
xxK
א א אא א אאאא؛אאאK
١٤Wxx
x
3
22
אאא3x0xא
Kאא ٢WWאא
.0,)7,)6
,)5,)4
,)3,0,)2,)1
21
1221
2
2
1
1
RQR
PS
R
S
Q
P
S
R
Q
P
QS
PR
S
R
Q
P
QPQP
Q
P
Q
P
Q
RP
Q
R
Q
P
Q
P
Q
P
Q
PR
QR
PR
Q
PQRPS
S
R
Q
P
אאאW
אאאKאאאאאKאאאאאאא
١٥WWא65
322
2
xx
xx
Wא
אאאW
)3)(2(65,)3)(1(32 22 xxxxxxxx Wא
303,2
1
)3)(2(
)3)(1(
65
322
2
xxx
x
xx
xx
xx
xx
W32
6
x
x322
6
22
6
xxx
אא١١٣ אאאא
41
١٦WאW
)12(
127
9
96)2,
2
1
2
65)1
2
2
2
2
2
2
xxx
xx
x
xx
x
x
xx
xx
Wא
21,2
3
)2)(2)(1(
)1)(3)(2(
2
1
)2)(1(
)3)(2(
2
1
2
65)1
2
2
xxx
x
xxx
xxx
x
x
xx
xx
x
x
xx
xx
4,3,3,3)(3(
)3)(3(3
)3(
3
3
4,3,)3(
3
3
3
)3)(4(
)3)(4(
)3)(3(
)3)(3(
)12(
127
9
96)2
2
2
2
2
xxxxxx
xxxx
xx
x
x
xxxx
x
x
x
xxx
xx
xx
xx
xxx
xx
x
xx
١٧WWאא
.103
12
4)3,
12
3
1)2,
2)1
22
xx
x
x
x
xx
x
nm
mmn
nm
mmn
Wא
א_א_K
)12)(1(
322
)12)(1(
332
)12)(1(
)1(3)12(
12
3
1)2
2)()2(2)1
22
xx
xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
xnm
mn
nm
mmnmmn
nm
mmnmmn
nm
mmn
nm
mmn
אא١١٣ אאאא
42
)5)(2)(2(
2
)5)(2)(2(
2
)5)(2)(2(
2425
)5)(2)(2(
)242()5(
)5)(2)(2(
)2)(12()5(
)5)(2)(2(
)2)(12(
)5)(2)(2(
)5(
)2)(5(
12
)2)(2(103
12
4)3
2
222
22
22
xxx
x
xxx
x
xxx
xxxxx
xxx
xxxxx
xxx
xxxx
xxx
xx
xxx
xx
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
אא،
א א א א א א אאאK
אאW2
2
3
2
x
yx 1
11
z
yxW
3
2
3
22
2 y
x
yx
yx
z
z
yx
1
11
אא١١٣ אאאא
43
F٢ J٣E
١WWאאא 1 אאא
100
1092
2
x
xx
d) 100
109 xc)10
1
x
x b) 10xa)10
9x
2 אyx
yx5
23
2
10
d) xyc) xy5 b) 2
5
x
ya) 385 yx
3
אאא2
22
x
xx
d)x
1
c)
2
x b) x a) x
x 12
4 א5
22
5
15
xy
yx
d) xy c) 33xy b) 3
3
y
x a) 385 yx
5 אאא2
42
x
x
d)x
1c) 2
xb) 2xa) x
x 12
٢WWאאאא
,4
16)4
2
4
a
a ,6
9)3
23
3
xxx
xx
153
20)2
2
x
xx ,32
4)1
2
xx
x
.1
2)8
4
23
x
xxx,
9
15562)7
2
23
x
xxx
,352
1310)6
2
2
xx
xx ,103
403)5
2
2
xx
xx
אא١١٣ אאאא
44
٣WאאW
xx
xx
xx
x
4
214
127
16)2
2
2
2
2
,45
28193
32)1
2
22
xx
xx
x
xx
43
232
4113
156)4
2
2
2
2
uu
uu
uu
uu ,20113
32
25356
152812)3
2
2
2
2
mm
mm
mm
mm
6
383
2
352)6
2
2
2
2
aa
aa
aa
aa ,365
20
16
81)5
2
2
2
2
zz
zz
z
z
٤WאאW
127
13
9)3
22
xx
x
x
x
,32
12
32
1)2
x
x
x
x ,12
43
12
19)1
x
x
x
x
.1
32
1)6
xx ,
3
5
3
2
3
1)5
x
x
x
x
x
x
,5
4113
13
21)4
2
x
xx
xx
٥WאאW
,16
1
9
1
127
1)2
222
xxxx ,
14
4
13
3
12
2)1
xxx
4
12
2
2
2
1)4
22
x
x
x
x
x ,
103
5
1
3
23
2)3
222
xxxxx
אא١١٣ אאאא
45
אאא
אא
אא١١٣ אאאא
46
אאW אאאאאאאא
Kא
אאאW אאאW
١K Kאאא
٢K Kאא
٣K K
אא١١٣ אאאא
47
אאא ?א?אאאא
،אא אאאאא waoKSeki١٦٨٣K
אאאKאאא KאאאאאW
١WאK
١W א א nm ، א ، א m
אnK אא11Kא
١Wאא32א،23،14،51،33א
042
7.001
325
,011726.0
,
2
5.0
0
1
,
1210
57
35
,12
10
5
7
3
5
ED
CBA
W
٢W א א KאEאאF
٢WאאאWאא
042
7.021
325
,
0622
7.001
31223
GF
BA ، GE א ،EאאאאFFE K
אא١١٣ אאאא
48
٢KאאK ٢K١KWאא
٣W א ، א Kאאאא
٣WWאאא
7
1
4
0
3
2
136
742BA
W .)2,)1 ABBA
Wא
819
644
)1(734)6(3
714022)2
673
840
714336
170422)1
AB
BA
٢K٢KWא ٤W، א
אאאאאKאא
٤WאWאא
.
4.0
2
1
3
0
5.0
,
5
2
0
6
1
3
BA
W
.2
)3,2)2,3)1
B
BAA Wא
15
6
0
18
3
9
53
23
03
63
13
33
5
2
0
6
1
3
33)1 A
אא١١٣ אאאא
49
2.4
6
2
0
1
2
8.0
4
2
6
0
1
5
2
0
6
1
3
4.0
2
1
3
0
5.0
2
5
2
0
6
1
3
12)2 BA
2.0
1
5.0
5.1
0
25.0
2
4.02
22
1
2
32
02
5.0
2
4.0
2
1
3
0
5.0
2)3
B
٢K٣KW ٥Wאא
אאאאא،אאK ٥WWא
.
4
1
3
3.0021)2,
10
4
1
3
3.0021)1
ba
Wא 23023)103.0()40()1)2(())3(1()1 a
2EbKאא Kאאאאא
٢K٤KW ٦Wאkmאnk F
אEאאאאnm،אאאאאא
Kאאאא
אא١١٣ אאאא
50
٦WאWאא
.
6323
12015
3021
,
23
21
11
,3
0
1
1
5
2
CBA
W .)3,)2,)1 BCBAAB
Wא
315
41
2
2
1
315
3
1
1
315
2
2
1
012
3
1
1
012
)1 AB
654
638
307
3
023
1
123
5
223
3
021
1
121
5
221
3
011
1
111
5
211
)2 BA
3אE؛אא2
א3אK Wא(1)(2)אאWאBAAB
Kא
אא١١٣ אאאא
51
١WאCBA ,,אאאא
W
א ,)1 ABBA
א ,)()()2 CBACBA
א ,)()()3 CABBCA
א .)()2 ACABCBA
٧WאWאא
.
40
03
12
,5.003,2
1
CBA
א٣אא،ضرب المصفوفات تجميعي
,)()( CABBCA
Wא
106
5.0035.003
2
1AB
)1(1012
56
40
03
12
106
5.003)(
CAB
)56(
40
03
12
5.003
BC
).2(1012
56)56(
2
1)(
BCA
)1(و)2(CABBCA )()(
אא١١٣ אאאא
52
٨WאWאא
.52
01,
30
15,
03
21
CBA
א٤אא،ضرب المصفوفات توزيعي بالنسبة للجمع
.)( ACABCBA אW
.22
16
52
01
30
15
CB
).1(318
510
22
16
03
21)(
CBA
.315
55
30
15
03
21
AB
.03
105
52
01
03
21
AC
).2(318
510
03
105
315
55
ACAB
)1(و)2(ACABCBA )(
٢K٥KאW ٧WAאnmאtAאmn،
Kאאאא ٩WאאW
.
40
03
12
,5.003,2
1
CBA
Wא
.401
032,
5.0
0
3
,21
ttt CBA
אא١١٣ אאאא
53
٣KאאW ٣K١KWאא
٨WאAKא ١٠WאWאא
510
604,
316
035
410
,
102
124
301
,11
32,
01
11
ED
CBA
C33وDالمصفوفات A22وBالمصفوفات فאEK
٣K٢KWא ٩Wא،א
1אאא،nIאאnn،IKאא
١١W
1000
0100
0010
0001
100
010
001
10
01432 III
٢WKאא ١٢WאאWא
.
251
430
321
A
WAIIA )2,)1
אא١١٣ אאאא
54
Wא
.
251
430
321
251
430
321
100
010
001
)2
,
251
430
321
100
010
001
251
430
321
)1
AI
IA
.AAIIA أيאא ٣K٣KאאK
١٠Wאא א א O.
١٣WאאW
000
000,
0000
0000
0000
0000
,
000
000
000
,00
00
٣WאאKא
١٤WWאאWא.
251
430
321
A
W.)2,)1 AOOA
Wא
.
251
430
321
251
430
321
000
000
000
)2
,
251
430
321
000
000
000
251
430
321
)1
AO
OA
.AAOOA أيאKא
אא١١٣ אאאא
55
٤Kאא ٤K١KWאא
١١WאאnnאאאאK(A)detK
אאא11K
٤K٢Kאא22W ١٢W22א
dc
baAאא
EאFאאW،EאF
bcaddc
ba(A) det
١٥WWאאאא
05
11)2,
31
42)1
Wא
5)5(0)15()01(05
11)2
,246)14()32(31
42)1
٤K٣Kאא33W
١٣W 33א א Aא א א אאאEאFא אאאא،EאF
אK
אא
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
AW
אא١١٣ אאאא
56
)()(
det
122133112332132231322113312312332211
3231
2221
1211
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
(A)
١٦WWאאאא
.
420
315
201
)2,
478
362
931
)1
Wא
25547722224214321267224
)324()137()968()729()833()461(
78
62
31
478
362
931
478
362
931
)1
18624)6(240)6(02004
)054()132()210()252()030()411(
20
15
01
420
315
201
420
315
201
)2
١٧WאאWאא
510
604,
316
035
410
,
102
124
301
,11
32,
01
11
ED
CBA
אא١١٣ אאאא
57
Wא
1078720150722000
1
3
1
6
5
0
316
035
410
316
035
410
)det(
10122)12(200)12(002
0
2
0
2
4
1
102
124
301
102
124
301
)det(
53211
32)det(,1)1(0
01
11)det(
D
C
BA
)det(EEK
٤WK ١٨WאאאאWאאאא
)det()6),det()5),det()4
),det()3),det()2),det()132 BADC
CDBAAB
Wא Kאאאא
אאW
125)5()det()det()det()det()det()6
11)det()det()det()det()5
107010107)det()det()det()4
1070)107(10)det()det()det()3
515)det()det()det()2
551)det()det()det()1
333
222
BBBBB
AAAA
CDDC
DCCD
ABBA
BAAB
אא١١٣ אאאא
58
5KWא
١٤WAאא1A––W،א
IAAAA 11 אא22K
٧WאAאא 22W
٨Wאא
dc
baAabcdא
0det bcadAאAWא
bcad
ac
bd
A
ac
bd
dc
baA
)det(
1
1
אא22Kא
١٩Wאא22Wא
.31
62,
43
21)2,
02
13)1
CBA
Wא
02)2(002
13)det()1
A
אAא،Wא
5.11
5.00
2
32
10
)det(
32
)1(0
02
131
1
AA
0264)32()41(43
21)det()2 B
אBא،Wא
אא١١٣ אאאא
59
5.05.1
12
2
13
24
)det(
13
24
43
211
1
BB
066)61()32(31
62)det()3 C
אCKא
F٣ J١E ١WאאאW
324
116
010
,423
015,
20
25
13
,
325
132
011
DCBA
W )3(2)5),(3)4,23)3,)2,32)1 BICDADABCDA ttttt
٢WWאאא
.
321
352
103
501
241
432
)4,
7
1
0
1
3
4
2
3
1
4
7
1
3
2
0
1)3
,
23
34
12
241
532
121
)2,
22
01
14
214
213)1
٣WאWאאא
.
100
410
321
)6,
522
113
021
)5,
021
212
113
)4
,63
70)3,
13
52)2,
53
21)1
אא١١٣ אאאא
60
٤WאWאא
612
126M
W ).det()3).det()2).det()1 32 MMM
٥WWא
,21
105)2,
64
21)1
BA
٦WאאאW
.66
95,
21
15,
01
32
CBA
אPQRW .)3,)2,2)1 2 CRAIBQAQBAP
٧WWאאא
AAB
100
010
0011
٨WאאאW
.421
035,
23
10
12
,01
32
CBA
W CBACBBAAB ttt 11 )4,)3,)2,)1
אא١١٣ אאאא
61
א
אאא
אא١١٣ אאאא
62
אאW
אKא
אאאW אאאW
١K אאאאK
٢K אאאאK
٣K אאאK
٤K Kאאא
אא١١٣ אאאא
63
אWאא
אKאאאאאאאאאאא?אא?אאאא
אFאא٨٢٥אE،אאא،Kאאאאאאא
אאאK
١אKW ١WFאאE،א
K ١W712א x3xلxK
3xx3א71)3(2 Kא
אא،אKאא
٢W3x2x0652 xx
אאאאאxWאאאא
xثابت
Wאאאא
אא١١٣ אאאא
64
אאאאאאא،א،Wא11532 xx1137 x
K
Wאא273 x93 xK
אאאאאW
106
5x12x
٢KאאאWאא ٢Wאאאאאא_אא _
Wא
0 baxabא0a
٣WWאא
).1(5)15)(2()3,064
3)2,952)1 xxxxxx
Wא 1אE5אא2W
24259552 xxx 2E6א
3
4א4
3W
8)6(3
4
4
3
3
4
64
36066
4
306
4
3
xx
xxx
3Eאאאא2,5,5 2 xxאא6W
3
1
3
1
6
226026
5211552115)1(5)15)(2( 22
xxxx
xxxxxxxxxx
אא١١٣ אאאא
65
KאאאאW
אאאאאאאא،אאאאא
אאאאאאK
٤WWאא
.5
5
51)2,
3
524
3)1
xx
x
x
x
x
x
Wא 1E3xאאא،א
)3( xאאאאK
46
24
6
6246
552455243
524)3(
3)3(
xx
x
xxxxxxx
xx
x
xx
אא3אאKא
2E5xאאאK אא)5( xאאאK
51025555255255
5
5)5(
5)5(1)5(
5
5)5(
51)5(
xxxxxx
xx
x
xxx
xx
x
xx
אאאאאא5xאאאK
אא١١٣ אאאא
66
F٤ J١E
Wאאא
,8
76
5
3040)8
),1(5)3)(3(5)7
,2
19
4
17
2
1)6
,3
2
2
1
4
3)5
,0)83(5)172(4)4
,227114)3
,2203)2
,40102)1
x
x
x
xxxx
xx
x
xx
xx
y
x
,23
75
4
12)14
,2
42
2
34)13
,3
3
3
92)12
,4
3
5
3)11
,2
4
3)10
,72
5
2
3)9
xxx
x
x
xm
m
m
x
x
x
xx
x
x
xxx
.9)2()7()12
,1)4(3)20
,)2()1(2)19
,072)1(236)18
,23545)17
,3
4
2
3
3
5)16
,4
122
4
3)15
22
22
22
zz
yy
yy
yyy
xxxxxx
xx
x
אא١١٣ אאאא
67
٣KWאאא ٣WWאאאאא
0,02 acbxax אאאא
Kאא
٣K١KאK אאאcbxax 2אא
Wא
0
0
0
B
أو
A
AB
٥WWאא.062)2,0158)1 22 xxxx Wא
1אאאEאא )5)(3(1582 xxxx
Wאאא
5
3
05
03
0)5)(3(1582
x
أو
x
x
أو
x
xxxx
א01582 xx3x5xאאאKאאאא
2Eאאqpnm ,,,1aWא
2
2
3
2
32
02
032
0)2)(32(62 2
x
أو
x
x
أو
x
x
أو
x
xxxx
א062 2 xx2x2
3x
אא١١٣ אאאא
68
٣K٢Kאא :
אABWBA 20BBA
٦WWאא,49)1()2,05)1 22 xx Wא
1E5Wאאא
555055 22 xxx Wא5x5x
2WאE
817
617
71
71
7149149)1( 2
x
أو
x
x
أو
x
xxx
Wא6x8x
٣K٣Kאא)א(W אאacb 42 אW
Wא02 cbxax0aa
acbbx
2
42
אacb 42 אW ١E אאacb 42 W
a
acbbx
2
42
٢E אאacb 42 אW
a
bx
2
٣E אאacb 42 K
אא١١٣ אאאא
69
٧WWאא
.0763)3,096)2,0252)1 222 xxxxxx Wא
1אE2,5,2 cbaW
091625)2)(2(4)5(4 22 acb W
24
8
4
352
1
4
2
4
35
4
35
)2(2
9)5(
2
4
2
1
2
x
x
a
acbbx
2אE9,6,1 cbaW
03636)9)(1(4)6(4 22 acb
W3)1(2
)6(
2
a
bx
3אE7,6,3 cbaW
0488436)7)(3(4)6(4 22 acb אאאא.
אא١١٣ אאאא
70
F٤ J٢E ١WWאאא
١א0652 xx 2xd)c) b)
0
2
x
xa)3
2
x
x
٢א0342 2 xx
d)1
1
x
xc)b) 3
4
x
xa) 2
2
x
x
٣א042 x
d)4
4
x
xc)b) 8
2
x
xa) 2
2
x
x
٤א032 xx
d)1
5
x
xc)b) 3
0
x
xa) 3
5
x
x
٥א6233 2 xx
d)3
2
x
xc)b) 2xa) 0
2
x
x
٦א1032
65 2
xxx
d)10
5
x
xc)b) 3xa) 6
2
x
x
٢WאאאW
.0)114()52()6,09)5()5,015148)4
,073)3,0721898)2,0152)12222
222
xxxtt
xxyyxx
٣WאאאאW
.)32(4)6,)1()5,)1()8()4
,36)5()3,0722)2,81)1222222
222
xxxxxx
xxx
٤WאאאW
.0352)9,0532)8,17)7
,0352)6,013)5,0353)4
,0142)3,01)2,0152)1
222
222
222
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
אא١١٣ אאאא
71
Wאאאא
١KWאא
١Wא،Kאאאא ١WאאxyzWא
zyxzyxyxyx 32)3,23)2,35.2)1 אאxyzWא
zyxxxzxyx )3,1)2,)1 2 ٢W،אא
Kא ٢WxyzWא 65.3)3,232)2,32635.2)1 yxzyxyzxyx
xyzWא 10)3,31)2,0)1 2 zyzyxxxzxyx
٣WאאEFKא
Kאאא ٣W4xyzW
03)4
1052)3
363)2
223)1
zx
zyx
zyx
zyx
אא١١٣ אאאא
72
٤WאאWאאKאא
Wאאאאא،Kאאא
Wאא،אאאKאא
Wאאאא،אאאאא
KEאאFאא ٢WאאאאK
אאאKא
٤WWאאא 62)3(2)35.33745.3)2623)1 xxxxxxx Wא
1WאאאWאאE 362 xx
WאWאא 93 x
WאאWאWא
33
9
x
2WאאE
435.375.3 xxx Wאא
70 KאאWאא
אא١١٣ אאאא
73
3WאאE
6622
6226
xx
xx
Wאא 00
אWאאאKא
٣WאK ٣K١KWאא
KאאאWאא אאWאאאא،א
Kא KאאWאא
WWאאא אאWאאא
Kאאאא אKאאאאאWא
אאאWאאKא
٥WWאאא
5.25.0
52)3,
25.0
52)2,
2543
52)1
yx
yx
yx
yx
yx
yx
Wא 1WאאEyxWאא
xy 25 WאאWאא
25)25(43 xx
אא١١٣ אאאא
74
אWאאWא
15
555202583
258203
xxxx
xx
אאWאאא،W7)12(525 yxy
WאW7,1 yx 2WאאEyxWאא
xy 25 WאאWאא
2)25(5.0 xx WאאWאא
5.405.2225.2 xxxx WאאאKאאאא
3WאאEyxWאא xy 25
WאאWאא 5.2)25(5.0 xx
WאאWאא
005.25.2
5.25.2
xx
xx
KאאWאאא
אא١١٣ אאאא
75
٣K٢KWאא
٥WאxyWאא
222
111
cybxa
cybxa
א1a2a1b2bאא1c2cKא
אDא22אW،אא
122122
11 bababa
baD
א22אאאW،א
122122
11
122122
11
cacaca
caD
bcbcbc
bcD
y
x
١WאאאאאW
WאאאWאא
D
Dy
D
Dx yx
אאEאFאאאאWאKאאאא
אאאאאWאאאאKא
אא١١٣ אאאא
76
٦WאאאKא
Wא 1WאE
053843
12
D
Wאא
351550253
52
5)25(20425
15
y
x
D
D
Wאא
75
35,1
5
5
D
Dy
D
Dx yx
2EWא
0115.01
12
D
Wאא
05.425.25.02
15
xD
אאxKאאא 3WאE
0115.01
12
D
Wאא
0555.21
52
0)5.2(5.25.05.2
15
y
x
D
D
אאאאאKא
אא١١٣ אאאא
77
٧WWאאא
144
482)3,
135
1223)2,
3
432)1
yx
yx
yx
yx
yx
yx
Wא
104631
42,5)9(4
13
34
053211
32)1
yx DD
D
W
25
10,1
5
5
D
Dy
D
Dx yx
5760315
123,38236
31
212
01910935
23)2
yx DD
D
W
319
57,2
19
38
D
Dy
D
Dx yx
09611216414
84
08841
82)3
xD
D
Kאא
אא١١٣ אאאא
78
٤WאאאK
אאאK
٦W3א3xyzאWא
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
א1a2a3a1b2b3b1c2c3cאא1d2d3dKא
אDא33אW،אא
333
222
111
cba
cba
cba
D
א33אאאW،א
333
222
111
333
222
111
333
222
111
,,
dba
dba
dba
D
cda
cda
cda
D
cbd
cbd
cbd
D zyx
٢Wאאא3Wא אWאאאWא
D
Dz
D
Dy
D
Dx zyx
אEאFאאאאWאאKאאאא
אאWאאאאאאאKא
אא١١٣ אאאא
79
٨WWאא
52
1132
6
)3,
42
1132
6
)2,
13223
1132
6
)1
yx
zyx
zyx
yx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
Wא
F0DWE
32
6,2
2
4,1
2
2
D
Dz
D
Dy
D
Dx zyx
0180)12(122240
2
3
1
4
11
6
024
1311
116
024
1311
116
00)2()3(410
2
3
1
1
2
1
021
132
111
021
132
111
)2
xD
D
Fאא0,0 xDDE
6262254243339
2
3
1
3
2
1
1323
1132
611
1323
1132
611
4241333261822
13
11
6
3
2
1
2133
1112
161
2133
1112
161
2221239221336
2
3
1
13
11
6
2213
1311
116
2213
1311
116
02429436
2
3
1
3
2
1
223
132
111
223
132
111
)1
z
y
x
D
D
D
D
אא١١٣ אאאא
80
0)10()22()18(241115
2
3
1
1
2
1
521
1132
611
521
1132
611
00)5()11(1060
5
11
6
1
2
1
051
1112
161
051
1112
161
00)12()15(2250
2
3
1
5
11
6
025
1311
116
025
1311
116
00)2()3(410
2
3
1
1
2
1
021
132
111
021
132
111
)3
z
y
x
D
D
D
D
Fא0 zyx DDDDE
F٤ J٣E ١WWאאא
05.22
954)6,
18108
954)5,
23
954)4
52
042)3,
25.0
824)2,
04
132)1
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
٢WWאאא
122
10
0
)6,
32
11315
22
)5,
0
5
132
)4
10326
323
12
)3,
1235
112
1053
)2,
2432
02
6
)1
yx
zyx
zy
zy
zyx
zyx
yx
zy
zx
zyx
yx
zx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
אא١١٣ אאאא
81
אא
אא
אא١١٣ אאאא
82
אאW
אאא،אאאא،אK
אאאW
אאא: ١K Kאאא
٢K Kאאאא
٣K Kאאא
٤K Kאאאא
٥K Kאא
אא١١٣ אאאא
83
אא
אאאאK
،אאאאאאאאWKאאאא
١Kאא ١WfXYאאX
אאY،1x2xXYW)()( 2121 xfxfxx
)(xfאאxK אXאאYאא)(xfy
xאאאfאx)(xfy אאאf)(xfYאxY)(xf
YK אאW YXf :
،אאאאא
K ١WWאא
}3,2,1,0{X و}8,6,4,2{YאfXYW
6)3(,4)2(,2)1( fff אfאX
אאY ،אא
WאאWאאYXf :Wxxf 2)(
0
1
2
3
6
4
2
8
X Y
f
אא١١٣ אאאא
84
٢WWא5,2,2,1,1,0{א{ X}2,9,4,1,0{ YאfXYW 4)2()2(,1)1()1(,0)0( fffff
אfאXאאYW
0א1122אYא5
Y)5(fYK
Wאאאא Wאא
YXf :W2)( xxf
אfאאאאא١W )()( 21
22
2121 xfxfxxxx
٣WWאאCities،אCountriesאאאfCitiesCountriesWx)(xfK
אfאxCitiesאאאCountries
אxא،אאאאxCountriesK
0
1
-1
2
4
1
0
9
X Y
f
-2
5-2
אא١١٣ אאאא
85
W
KingdomUnitedLondonf
EgyptCairof
eriaAiersAf
ArabiaSaudiRiyadhf
)(
)(
lg)lg(
)(
)(AbhafCountriesAbhaK ٤WWאאCitiesCountriesאgCitiesCountries
W)(xgאאאxK אgאxCitiesאא
אCountriesK W
ArabiaSaudiAbhag
KingdomUnitedLondong
EgyptCairog
eriaAiersAg
ArabiaSaudiRiyadhg
)(
)(
)(
lg)lg(
)(
٥WאאCountriesאfCountriesCitiesW
)(xfאxK אא؛אWArabiaSaudiKא
٢W
אאfאאEFאאאא،אאאffD
אאfאאאאאא،אאאfR
٦Wאאאא١٤Kא Wא
}4,1,0{},2,2,1,1,0{)2
}6,4,2{},3,2,1{)1
ff
ff
RD
RD
אא١١٣ אאאא
86
٣EאאאאCapitalsW CountriesRCapitalsD ff
CountriesRCitiesD gg )4 ٧WאאאאfWxxf 2)( K
١EfKא ٢EfKא ٣אE)5(f)14(fK Wא
١EfאW )()(22 212121 xfxfxxxx
٢אEfW fD אאאאW },10,8,6,4,2{ fR
٣E 1052)5( f 14(28142و( f . ٨WאאאRאgRRWxxf 2)( K
١EgKא ٢EgKא ٣אE)5.2(g)5(gK Wא
١EgאW )()(22 212121 xgxgxxxx
٢אEgW RgD אאאRWRgRW
222
22
yg
yyyWK)5.1(3 g 6.0)3.0(و g
٣E 55.22)5.2( g 5(1052و( g
אא١١٣ אאאא
87
٢Kאאא ٣WאאYXf :אאאאEF
אאאאWYRf אאאאאK
٩WאאאאאEFא
}5,2{Y}5,2{fR אאYRf ،א
א
אא א.
אאאEFK Y X
١٠WאאRR: fא12)( xxfאK Wא RYRRf אאYRf א،אאאK
٤WאאYXf :אFEאאאאW 2121 )()( xxxfxf 21, xxאא
א)()( 21 xfxf 21 xx אא21 xx )()( 21 xfxf ١١WאאאאאאFE
אאX אY
EFאא
Y
X
6
8
4
5
-2
1
4
7
2
3
5
9
אא١١٣ אאאא
88
١٢WאאRR: fא12)( xxf
Wא )()( 21 xfxf 1212 21 xxא21 22 xx
21 xx אאאK
אאRR: f 12والمعرفة بالقاعدة)( xxfK
٥WאאYXf :אאאK
١٣אאאאאWא
Y X אאאYRf אאאא
אאאאאK
١٤WאאRR: fא12)( xxf אW
א١٠אא١٢אאא אא
2
4
6
8
A
B
C
D
אא١١٣ אאאא
89
٣Kאאא ٦WKאאאאאא
١٥WKאאאא
xxffxxff
xxffxxff
xxffxxff
)(,RR:)6,)(,NN:)5
)(,NN:)4,)(,RR:)3
1)(,NN:)2,1)(,RR:)122
٧WWא ١WאE)()( xfxf 0)()( xfxffDxfDx ٢WאE)()( xfxf 0)()( xfxffDxfDx
١٦W؟אאאאא
Wא 1אאERR: f1)( xxfW
0211)1(1)()()(
0211)()()(
xxxxxxfxf
xxxfxf
2אאENN: f1)( xxfא
N fDxfDx 3אאERR: f2)( xxf W
0)()()( 2222 xxxxxfxf 4EאאNN: f2)( xxf אN fDxfDx 5אאENN: fxxf )(אN fDxfDx 6אאERR: fxxf )(
KEאאFאאא
אא١١٣ אאאא
90
٤K אא
אאאאאWאאא
١ExEאF)(xfy Kאא ٢אE),( yxKאאא ٣EאאאאאxK
١٧WWאאא RR: fxxf )( Wא
WאWאא 25.2
00.2
75.1
50.1
25.1
00.1
75.0
50.0
25.0
00.0
x
50.1
41.1
32.1
22.1
12.1
00.1
87.0
71.0
50.0
00.0
xy
WאאWאא
WאWאא
0.5 1 1.5 2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0.5 1 1.5 2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
אא١١٣ אאאא
91
אאאKK
אאאKאא
٥K Wאאא ٧Wאאאאאאאאא
KEאFאאאא אא،אאאאאאW
אאאאאK KאאאאאאאאאאאאWאאא
٥K١KWאאאWאRR: faxfy )(aK
Wא ١ERfDK ٢E}{aRf Kא ٣E)()( xfxf K ٤KאאE
١٨WWאאאRR: f2)( xf Wא
-4 -2 2 4
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
אא١١٣ אאאא
92
٥K٢KWאאאWאRR: fbxaxfy )(ba,א0aKאא
Wא ١ERfDK ٢ERfRKאא ٣KE ٤אאE0b
א),0( bא0b ١٩WWאאאRR: fxxf 2)(
Wא
٢٠WWאאאRR: f5.12)( xxf
Wא
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
-2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
אא١١٣ אאאא
93
٥K٣KWאאאWאRR: fcxbxaxfy 2)(0abcאKאא
Wא ١ERfDK ٢ERfRKאא ٣אE0b ٤אאאE0 cb
٢١WWאאאRR: f5.12)( 2 xxf Wא
٥K٤KWאאאKא
WאאRR: f1
12)(
x
xxf
Wא ١E}1{R fDK ٢E}2{R fRKאא ٣KE ٤KאE
٢٢WWאאאRR: f
1
12)(
x
xxf
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
-10 -5 5 10
-10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
אא١١٣ אאאא
94
F٥ J١E
١WWאאא
1)(,RR:)4,1)(,RR:)3
,)(,NN:)2,)(,NN:)133
33
xxffxxff
xxffxxff
٢Wאא١Wא ٣W؟א
.)(,RR:)4)(,RR:)3
1)(,RR:)232)(,RR:)1
3
2
xxffxxffx
xffxxff
٤WWאאא
.)(,RR:)4)(,RR:)3
1)(,RR:)232)(,RR:)1
3
2
xxffxxffx
xffxxff
אא١١٣ אאאא
95
אא
אא א
אא ،
،،א١٤٠٣ J١٩٨٣K
אאאאאא،אאאא،אא
،،١٩٨٧K
אא KאK،א
K،אFא١٩٩٤Eא،א
Mathematics for scientific and technical students
Gwyn Davies and Gordon Hick, Addison Wesley Longman, Harlow,
England, 1998. A History of Probability and
Statistics and Their Applications before 1750
Anders Hald, John Wiley and Sons, New York, 1989.
Theory of Linear and Integer Programming
Alexander Schrijver, John Wiley & Sons, Chichester, England, 1986.
Matrix theory with Application Goldberg,J.(1991).New York.McGrawn-Hill,Inc
Discrete Mathematics Seymour Lipschutz and Marc Lipson, McGraw-Hill, New York, 1997.
An introduction to Discrete Mathematics
Steven Roman,Harcourt Brace jovnovich,Publishers,New York,1998
Basic Mathematics Peter Tebbutt, John Wiley & Sons, Chichester, England, 1998.