U??OUd«w½U¦« ¡e?'«

ÍuU« wU« n?BKwLKF«

WOUŽ bL× Æ√ bLŠ qOKš wKŽ Æ√ åÎ UIMò nÝu¹ rOŠd« b³Ž sŠ ÆœqL'« nÝu¹ bL× Æ√ `U bL× Æœ r$ wLKŠ bL× Æ√

W½UHŽ ËeŽ Æœ

ÊuHR*«

5DK WËœwUF« rOKF«Ë WOd« …—«“Ë

أوليةنسخة

DRA F

T

5DK WËœ w wUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“Ë —dÂ≤∞∞∑ Ø≤∞∞∂ wÝ«—b« ÂUFK UNÝ—«b w wLKF« Íu½U¦« w½U¦« nBK UOU¹d« »U² f¹—bð

Z¼UM*« e?d hL(«uÐ√ dLŽÆœ ∫ ÍuÐdð ·«dý≈

ÂUF« ·«d?ýù« hL(« uÐ√ rOF½ Æœ ∫Z¼UM*« W?M' fOz—

5ÝU¹ Õö Æœ ∫Z¼UM*« ed ÂUŽ d¹b

WOMH« …dz«b« …dŽUOÝ bLŠ√ ∫Í—«œ≈ ·«d?ý≈

ÍËUL× œuL× ‰UL ∫r?OL?Bð Õu³?×Ð Ê«bL?Š ∫WŽU³DK VÝu;« œ«bŽù«

ÊUŠdÝ ÊUž ¡«dOÝ ¨dUŽ œuL× dLÝ ¨w¹b« Í“u ÊUNLÝ√ ∫bOCMð

UOU¹d« ÃUNM* wMÞu« o¹dH« —UH« “UMNý jO³ ”UO« Æœ åÎ UIMò bF 5D Æœ

dÐUł U½UO WHOKš wKŽ Æœ bLŠ qOKš wKŽ pA qz«Ë q³I bL× Ê«bLŠ bL× Æœ

WOd« wË_« WFD« ?¼ ±¥≤∑ØÂ≤∞∞∂

Z¼UM*« edØwUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“u WþuH× l?³D« ‚uIŠ lOLł WM¹b*« ed WNł s 5LO« vKŽ Ÿ—Uý ‰Ë√≠b¼UF*« Ÿ—Uý≠ÊuOB*« wŠ≠ Z¼UM*« ed

5DK ≠ tK« «— ≠ ∑±π »Æ ’ ´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥∑∑ fU ´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥µ∞ ÊuHKð

pcdc@palnet.com ∫w½Ëd²Jô« Ê«uMF« ≠ www.pcdc.edu.ps ∫WO½Ëd²Jô« W×HB«

bONL

VFA« UŠuLÞ oOIײ ªWOMODKH« WOuB)« wŽ«d¹ ÃUNM lË …—Ëd wUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“Ë √— VFAK WOMÞu« …œUO« ¡UM³ ÎU ÒLN ÎUÝUÝ√ bF¹ wMODK ÃUNM ¡UMÐ Ê≈ Æ»uFA« 5Ð t½UJ cšQ¹ v²Š wMODKH« w²« W«b²*« W¹dA³« œ—«uLK WOLMð …«œ√Ë ¨w½U½≈ oŠu¼Ë ¨WOÞ«dI1b«Ë rOI« aOÝd² ÎUÝUÝ√Ë ¨wMODKH«

Æ…—«“uK WOL)« WD)« ∆œU³ UN²Ý— W¹UMŽ …—«“u« wuð «c ªlL²−*« ·«b¼√ oIײð UNöš s w²« ¨rOKF²K WOzd« WKOÝu« t½√ w ÃUNM*« WOL¼√ sLJðË v≈ WU≈ ¨VUD«Ë rKF*« bOÐ vË_« …«œ_«Ë ¨rKF²K jOÝu« —bB*« t½_ ªÃUNM*« dUMŽ bŠ√ ¨wÝ—b*« »U²JUÐ WUš

Æ…bŽU*« jzUÝu« s U¼dOžË ¨ÍdÝ_« rKF²«Ë ¨WOK;« WUI¦«Ë ¨»uÝU(«Ë ¨X½d²½ù« ∫rKF²« qzUÝË s ÁdOž oO³D²Ð X Ół =u Ôð w²«¨©±≤≠ ±® WOÝ—b*« V²J« lOLł nOQð WKŠd ÂU9SÐ wUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“Ë XU bI ÂUF« W¹«bÐ l¨wMI²«Ë ¨wMN*«Ë ¨WO½U½ù« ÂuKF«Ë¨ wLKF« ∫tŽËd lOL−Ð ©±≤® Íu½U¦« w½U¦« nB« V² WFЗ√ wDGð ¨WœUI« Àö¦« «uM« w WKUýd¹uDð WDš cOHMðvKŽ ÎUOUŠ …—«“u« qLFðË Æ©≤∞∞∑ Ø ≤∞∞∂®wÝ«—b« qzUÝu«Ë rKF*« Wœ√® WOULJ²Ý« WDA½√˨©±≤≠ ±®·uHBK V²J« lOLł WFł«d® W¹d¹uDð WDA½√∫w¼Ë ôU− WDA½√Ë ¨©ÎU¹œuLŽË ÎUOI√ YŠU³*« lOLł w Àö¦« qŠ«d*« Z¼UM* WOKOK%Ë WO1uIð UÝ«—œ® WOK³I² WDA½√˨©WMOF*«

Æ©WUF« W¹u½U¦« ÊUײ« WO¬ 5%Ë ¨w½Ëd²Jù« rOKF²«Ë UJ³A« ‰U− w WO²×²« WOM³« lOÝuð® W¹“«u WOÝUÝ√ …eO— ¨ÎUÐU² ¥µ∞ »—UI¹ U¼œbŽË ¨dAŽ wMŁô« ·uHBK e$√ w²« rKF*« Wœ√Ë WOÝ—b*« V²J« bFðË «d³š dOu² ªwIDMË qNÝ »uKÝQÐ Xd ÔŽ UuKFË ·—UF s tOKŽ qL²Að U0 ¨rKF²«Ë rOKF²« WOKLŽ w l ¡ö²ðË ¨.uI²« VOUÝ√Ë WDA½_«Ë qzUÝu«Ë ¨f¹—b²« oz«dDÐ qB²ð ¨W×«Ë «dýR sLC²ð ¨WŽuM²

ÆÁöŽ√ …—uc*« WOL)« WD)« ∆œU³ ¨UN¹—b²Ð ÊuuI¹ s¹c« ULKF*«Ë 5LKF*«Ë 5¹uÐd²« W—UA0 ÎU Ò¹uMÝ U¼ƒ«dŁ≈Ë UN×OIMðË V²J« WFł«d r²ðË w «dOG²« l ¡ö²ð w ªd¹uD²«Ë q¹bF²K WKÐU WO³¹d& UF³Þ WFЫd« v≈ vË_« s UF³D« …—«“u« ÈdðË ¨œuNł s tO ‰c³¹ U —«bI0 œ«œeð wMODKH« wÝ—b*« »U²J« WLO Ê≈ Æ…UO(« «—UNË włuuMJ²«Ë wLKF« ÂbI²« w ÎU Ò¹d¼uł ΫdOOGð ÊuŁb×¹ s¹c« ¨WOÝ—b*« V²J« œ«bŽ≈ ‰U− w 5BB²*« s sJ2 œbŽ d³√ W—UA sË w ëdšù«Ë nOQ²« wU− w Z¼UM*« ed UNÝ— WO−NM0 ¨WFł«d*« s WFÝ«u« UOKLF« ‰öš s ¨rOKF²«

ÆÁbOŠuð vKŽ qLF¹ Íc« sÞu« wdÞ ¨WOËb« ULEM*«Ë UÝR*« v≈ d¹bI²«Ë dJA« q¹e−Ð ÂbI²ð Ê√ ô≈ UNF¹ô wUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“Ë Ê≈

ÆZ¼UM*« ŸËdA* wU*« UNLŽb ªUJO−KÐ WuJŠ WUÐË WI¹bB«Ë WOÐdF« ‰Ëb«Ë ‰öš s w¹—U²« wMÞu« qLF« «c¼ “U$≈ w X—Uý w²« ¨WOMÞu« W¹uÐd²« «¡UHJUÐ dH² …—«“u« Ê√ UL ¨tFu VŠ yq ¨…eOL*« r¼œuN−Ð rN²—UA vKŽ r¼dJAðË ¨WOÝ—b*« V²J« œ«bŽSÐ ÂuIð w²« ¨W¹uÐd²« ÊU−K« ¨qLF« Uý—uÐ 5—UA*«Ë ¨s¹—d;«Ë ¨5HR*«Ë ¨—«dù«Ë ¨Z¼UM*«edË ¨W¹—«“u« Z¼UM*« ÊU' qLAðË ÆoO³D²« ¡UMŁ√ Ê«bO*« s WOÝ—b*« V²J« ¡«dŁ≈ w 5—UA*«Ë ¨5FÐUD«Ë ¨5Fł«d*«Ë ¨5UÝd«Ë ¨5LLB*«Ë

wUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“ËZ¼UM*« e?d

 ≤∞∞∂ ‰uK¹√

WbI

ÆÆÆ bFÐË sOLUF« »— tK bL׫

UOU¹d« »U² s w½U¦« ¡e−« ¡«eŽ_« UM²³KDË ¨ ULKFL«Ë sOLKFL« UMzöe ÂbI½ Ê√ U½d¹

ÃUNML« WDš sL UOU¹d« Y׳L WbFL« WC¹dF« ◊uD« oË ¨wLKF« Íu½U¦« w½U¦« nBK

ƉË_« wMODKH«

Æ ôUL²Šô«Ë ¨WOÞËdL« ŸuDI«Ë ¨tðUIO³DðË qUJ²« ∫w¼ «bŠË ÀöŁ vKŽ »U²J« qL²A¹

¨ÊUL¹— ŸuL−Ë Wze−²«Ë ¨œËb×L« dOž qUJ²« UMb ©tðUIO³DðË qUJ²«® WFЫd« …bŠu« w

UIO³DðË ¨qUJ²« ‚dÞË ¨qUJ²«Ë qUH²« w WOÝUÝ_« W¹dEM«Ë ¨t«ušË œËb×L« qUJ²«Ë

ÆWO½«—Ëb« Âu−×«Ë UŠUL« w œËb×L« qUJ²«

lDI«Ë ¨hUM« lDI«Ë ¨TUJL« lDI« s ö UMb ©WOÞËdL« ŸuDI«® WU« …bŠu« wË

Æ»U×½ô« lË wË wÝUOI« lu« w ¨bz«e«

dOG²L«Ë ¨eOÐ W¹dE½Ë ‰öI²Ýô«Ë ◊ËdAL« ‰UL²Šô« UMb © ôUL²Šô«® WÝœU« …bŠu« wË

ÆwFO³D« l¹“u²«Ë ¨s¹b׫ «– l¹“uðË ¨ULNFuðË qB²L«Ë qBHML« wz«uAF«

Wb« vKŽË ¨ U¹dEM«Ë rO¼UHLK wIDML« qK²« vKŽ UMdŠ bI ¨»uKÝ_« YOŠ s U√

WK¦_«Ë WO×Ou²« ÂuÝd« p– s ÎôbÐ U½bL²Ž«Ë ¨ U¹dEM« sO¼«dÐ vKŽ bz«“ eOdð ÊËœ ¨WOLKF«

ÆsJ√ UL¦OŠ ¨q×K WUŽ UO−Oð«d²Ý« lË l WŽuML«

qC√ oOIײ …œ«e²Ýô«Ë oLF²«Ë WdFL« vKŽ ’d׫ q ÊuB¹dŠ WUF« W¹u½U¦« W³KÞ Ê√ UM²ŽUMIË

s¹—UL²« s WŽuL−LÐ …bŠË q UMF³ð√ ¨WOFU−« rNðUÝ«—b ΫbONLð WUF« W¹u½U¦« ÊUײ« w ZzU²M«

…œ—«u« «—UNL«Ë sO½«uI«Ë ULOLF²«Ë rO¼UHL« wDGð w²« WOUIL«Ë WOŽuuL« WŽuML« WK¾Ý_«Ë

ÆÀö¦« «bŠu« œuMÐ s bMÐ q W¹UN½ w qzUL«Ë s¹—UL²« v≈ WUùUÐ ¨…bŠu« w

sOLKFË ¨ UdAË sOdA ¨Ê«bOL« w UMzö“ s ÂbI²½Ë ¨ÕU−½Ë oOuð q W³KD« UMzUMÐ_ vML²½

¨d¹bI²«Ë «d²Šô« qJÐ ¨»U²J« «c¼ «œu ¡«dŁ≈ w «u—Uý s¹c« sÞu« UEU× lOLł s ¨ ULKFË

¨t½U√Ë ‚b qJÐ rNNOłuðË ¡«eŽ_« UM²³KÞ rOKF²Ð WKO³M« rNðdO ‰UL≈ w rNIu¹ Ê√ qłË eŽ vuL« sOKzUÝ

ÆW×IM …b¹bł WF³Þ —«bù cOHM²« lu »U²J« lË bFÐ Z¼UML« edL WFł«d« W¹cG²« r¹bIðË

oOu²« wË tK«Ë

ÊuHRL«

U???¹u??²;«

WU« …b?Šu«

WÝœU« …b?Šu«

W??FЫd« …b?Šu«t?ðUIO³DðË q???UJ²«

≥ œËb;« dOž qUJ²« ±≠¥

∏ ÊU1— ŸuL−Ë Wze−²« ≤≠¥

±¥ œËb;« qUJ²« ≥≠¥

±∏ œËb;« qUJ²« hzUBš ¥≠¥

≤≤ qUJ²«Ë qUH²« w WOÝUÝ_« W¹dEM« µ≠¥

≤∏ WOFO³D« WOÝ_«Ë W?OL²¹—UžuK« U½«d²ô« ∂≠¥

≥¥ q????UJ²« ‚d???Þ ∑≠¥

¥µ œËb;« qUJ²« UIO³Dð ∏≠¥

µ∂ WUŽ s¹—U9

W?OÞËdL« Ÿu?DI«

∂± WOÞËd*« ŸuDI« µ

∂≤ TUJ*« lDI« ±≠µ

∑∞ hU?M« l?DI« ≤≠µ

∑∏ b???z«e« l???DI« ≥≠µ

∏∂ WUŽ s¹—U9

ôUL²Šô«

∏π Àœ«u(« ‰öI²Ý«Ë ◊ËdA*« ‰UL²Šô« ±≠∂

π∂ eOÐ W¹dE½ ≤≠∂

±∞± qBHM*« wz«uAF« dOG²*« ≥≠∂

±∞∑ s¹b(« Ë– l¹“u²« ±≠∂

±±≤ qB²*« wz«uAF« dOG²*« ¥≠∂

±±∂ wFO³D« l¹“u²« µ≠∂

±≤≤ WUŽ s¹—U9

±≤∂ wL«d²« Í—UOF*« wFO³D« l¹“u²« ‰Ëbł ∫o×K

≤

t?ðUIO³DðË q???UJ²« ¥…b???????Šu???????«

≥

(Indefinite Integral) œËb;« dOž qUJ²« ±≠¥

WI²A*« UMb²Ý«Ë ¨ÂuKF Ê«d²ô vË_« WI²A*« œU−¹≈ ÎUÝUÝ√ XËUMð w²« qUH²« WOKLŽ o³Ý ULO UMdFð

ªWDI½ Í√ bMŽ ÂuKF Ê«d²« vM×M* ”UL*« qOË ¨„dײ r' WOE×K« WŽd« œU−¹≈ UNM …dO¦ UIO³Dð w

¨vË_« t²I²A XLKŽ Íc« Ê«d²ô« œU−¹≈ Í√ ¨qUH²« WOKLF WOJF« WOKLF« ·dF²MÝ …bŠu« Ác¼ wË

UM½S ¨o²A*« Ê«d²ô« ÂuKF Ê«d²« qUHð sŽ "UM« Ê«d²ô« UMOLÝ ULË ÆqUJ²« WOKLŽ WOKLF« Ác¼ vLðË

Ê«d²« u¼ ≥” Ê«d²ô« Îö¦L ¨©WI²A*« fJŽ Ë√® ÎUOz«bÐ ÎU½«d²« vË_« t²I²A XLKŽ Íc« wK_« Ê«d²ô« wL½

Æ«cJ¼Ë ¨”U²ł Ê«d²ö wz«bÐ Ê«d²« u¼ ”Uł Ê«d²ô«Ë ¨≤”≥ Ê«d²ö ©WI²A*« fJŽ Ë√® wz«bÐ

∫ÂUŽ tłuÐ

∫n¹dFð

Æ©”® Ω ©”®Ó ÊU «–≈ ©”® Ê«d²ö ©WI²A*« fJŽ Ë√® ÎUOz«bÐ U½«d²« ©”®Â Ê«d²ô« vL¹

Æ©”® Ê«d²ö WOz«bÐ U½«d²« WŁöŁ V²√ Æ≤ Ω ©”® sJO ∫©±® ‰U¦

∫©”® Ê«d²ö ÎUOz«bÐ ÎU½«d²« WOðü« U½«d²ô« s Ïq ÊuJ¹ qUH²« w UMðUuKF s

”≤ Ω ©”® ±Â

≤ ´ ”≤ Ω ©”® ≤Â

± ≠ ”≤ Ω ©”® ≥Â

Æ©”® Ω ≤ Ω ©”® ≥ÓÂ Ω ©”® ≤ÓÂ Ω ©”® ±ÓÂ Ê_ p–Ë

Ác¼ s wzUN½ô œbŽ błu¹ l«u« wË ª≤ Ω ©”® Ê«d²ö Èdš√ WOz«bÐ U½«d²« błuð t½√ kŠô

ÆwIOIŠ œbŽ ?ł YOŠ ¨ ?ł ´ ”≤ WUF« …—uB« c²ð UN½√ b$ UNO qQ²UÐË ¨ U½«d²ô«

≤ Ω ©”® Ê«d²ö œËb;« dOž qUJ²« …—uB« Ác¼ vLðË

¥

∫n¹dFð

œËb??;« dOž qUJ²« ÊS?? ©©”® Ω ©”®Ó Ê√ Í√® ©”® Ê«d²ö ÎUOz«bÐ ÎU½«d²« ©”®Â ÊU?? «–≈

lOLł WŽuL− u¼ ©” ‰«œ ©”® qUJð ∫√dIԹˮ ¨”s©”® ∫ edUÐ t ed¹Ë ¨©”® Ê«d²ö

?ł ´ ©”®Â Ω ”s ©”® ∫ ∫Ê√ Í√ ©”® Ê«d²ö WOz«b³« U½«d²ô«

∫5OU²« s¹œËb;« dOž 5KUJ²« s Îö błË√ ¨qUH²« w pðUuKF «b²ÝUÐ ∫©≤® ‰U¦

”s ”≤U ∫ » ”s ≥”¥ ∫ √

≥”¥ Ω ©?ł ´ ¥”® ”s

s Ê_ ?ł ´ ¥” Ω ”s ≥”¥ ∫ √

”≤U Ω ©?ł ´ ”Uþ® ”s

s Ê_ ?ł ´ ”Uþ Ω ”s ”≤U ∫ »

∫WOðü« œËb;« dOž qUJ²« bŽ«u W× s oIײ« pMJ1 WËdF*« ‚UI²ýô« 5½«u vKŽ œUL²ŽôUÐ

∋ ?ł ¨ ¨ ?ł ´ ” Ω ”s ∫ ±

±≠ ≠ wIOIŠ œbŽ Ê ?ł ´ ± ´ Ê

±´Ê” Ω ”s

Ê” ∫ ≤

?ł ´ ”U²ł≠ Ω ”s ”Uł ∫ ≥

?ł ´ ”Uł Ω ”s ”U²ł ∫ ¥

?ł ´ ”Uþ Ω ”s ”≤U ∫ µ

?ł ´ ”U²þ≠ Ω ”s ”≤U² ∫ ∂

?ł ´ ”U Ω ”s ”Uþ ”U ∫ ∑

?ł ´ ”U²≠ Ω ”s ”U²þ ”U² ∫ ∏

µ

∫WOðü« Ò’«u)« W× s oIײ« pMJ1 UL

∋ ¨ ”s ©”® ∫ Ω ”s

©”® ∫ ±

”s ©”®?¼ ∫ ∓ ”s

©”® ∫ Ω ”s

©©”®?¼ ∓ ©”® ® ∫ ≤

©5½«d²« s d¦√ qLA² …bŽUI« Ác¼ rOLFð sJ1Ë®

∫WOðü« …œËb;« dOž öUJ²« bł ∫©≥® ‰U¦

”s ≥”∏ ∫ » ”s µ ∫ √

”s ©∑ ´ ≤≠”µ ≠ ≤”≥® ∫ œ ”s ©”U²ł ´ ¥”∂® ∫ ?ł

?ł ´ ”µ Ω ”s µ ∫ √

”s ≥” ∫ ∏ Ω ”s ≥”∏ ∫ »

?ł ´ ¥”≤ Ω ?ł ´ ¥

¥” × ∏ Ω

”s ”U²ł ∫ ´ ”s ¥”∂ ∫ Ω ”s ©”U²ł ´ ¥”∂ ® ∫ ?ł

?ł ´ ”Uł ´ µ

µ”∂ Ω ≤ ?ł ´ ”Uł ´ ± ?ł ´

µ

µ”∂ Ω

”s ∑ ∫ ´ ”s ≤≠” ∫ µ ≠ ”s ≤”

∫ ≥ Ω ”s ©∑ ´ ≤≠”µ ≠ ≤”≥® ∫ œ

?ł ´ ”∑ ´

±≠

±≠” × µ≠

≥

≥” × ≥ Ω

?ł ´ ”∑ ´ ±≠”µ ´ ≥” Ω

∫ UIO³Dð

rK ÔŽ «–≈ Ê«d²« vM×M WœUF œU−¹≈ q¦ ¨…œbF² WOzU¹eOË WOÝbM¼ UIO³Dð w œËb;« dOž qUJ²« Âb²¹

∫WOU²« WK¦_« w 5³²¹ UL ¨tŽ—Uð rK ÔŽ «–≈ „dײ rł WŽdÝ œU−¹≈ Ë√ ¨tOKŽ WDI½ W¹√ bMŽ t ”UL*« qO

∂

u¼ tOKŽ ©’¨”® WDI½ Í√ bMŽ t ”UL*« qO Ê√ XLKŽ «–≈ ©”® Ê«d²ô« …bŽU bł ∫©¥® ‰U¦

Æ©µ ¨ ≤® WDIMUÐ d1 ©”® Ê«d²ô« vM×M Ê√Ë ¨”≤

”≤ Ω ©”® Ó Ω Â

?ł ´ ≤” Ω ”s ”≤ ∫ Ω ©”® ∴

¨vM×M*« WœUF oI% WDIM« Ác¼ ÊS ©µ ¨ ≤® WDIMUÐ d1 ©”® Ê«d²ô« vM×M Ê√ U0Ë

± Ω ?ł UNMË ?ł ´ ≤©≤® Ω µ Ê√ Í√

± ´ ≤” Ω ©”® ∴

∫bł Æ≤ÀØrݱ ´ Ê≤ Ω Ÿ—U²Ð rOI² jš w q_« WDI½ s ÊuJ« s rł „d% ∫©µ® ‰U¦

ÆWd(« ¡bÐ s vË_« Àö¦« w½«u¦« w WŽuDI*« WU*« » Æ≥ Ω Ê bMŽ WŽd« √

± ´ Ê≤ Ω Ês

Ÿs Ω Ÿ—U²« √

?ł ´ Ê ´ ≤Ê Ω Ês ©± ´ Ê≤® ∫ Ω Ÿ ∴

∞ Ω ?ł UNMË ¨ ?ł ´ ∞ ´ ∞ Ω ∞ ÊS ¨∞ Ω Ê bMŽ ∞ Ω Ÿ Ê≈ YOŠË

Ê ´ ≤Ê Ω Ÿ Ê√ Í√

ÀØrݱ≤ Ω ≥ ´ ≤≥ Ω

≥ Ω Ê

¸ Ÿ ∴

Ê ´ ≤Ê Ω Ês

·s Ω Ÿ »

± ?ł ´ ≤

≤Ê ´

≥

≥Ê Ω Ês ©Ê´≤Ê® ∫ Ω · ∴

∞ Ω Ê UbMŽ ¨∞ Ω · Ê≈ YOŠË

∞ Ω ± ?ł UNMË ¨± ?ł ´ ∞ Ω ∞ ∴

≤Ê ≤

± ´ ≥Ê

≥

± Ω · Ê√ Í√

≤≥ ×

≤

± ´

≥≥ ×

≥

± Ω

≥ Ω Ê

¸ · ∴

rÝ ±≥[µ Ω ¥[µ ´ π Ω

∑

©±≠¥® s¹—U9

∫WOU²« ôU(« w ©”® Ê«d²ö wz«bÐ Ê«d²« u¼ ©”®Â Ê«d²ô« Ê√ s oI% ±

≤©≤” ´ ±®

≤” ≠ ± Ω ©”®

≤” ´ ±

” Ω ©”®Â √

≤”U²ł ”≤ Ω ©”® ≤”Uł Ω ©”®Â »

∫WOðü« …œËb;« dOž öUJ²« s Îö bł ≤

”s ≥©”≤®

±

∫ » ”s ©µ ´ ≥”® ∫ √

’s ’ √ ≤’ ∫ œ ”s ©

” √ ≤

± ´ ” √® ∫ ?ł

”s ©” U²ł≥ ≠ ”Uł≤® ∫ Ë ”s ± ≠ ”

± ≠ ≥”

∫ ?¼

”s © ”≤Uł ≠ ±

” Uł ® ∫ Õ ”s ©”≤Uþ∂ ´ ∂® ∫ “

∫WUŠ q w …UDF*« ◊ËdA« oI×¹ Íc« ©”® Ê«d²ô« błË√ ≥

≥ Ω ©±® ∑ ´ ”∏ ≠ ≤”∂ Ω ©”® Ó √

¥ Ω ©≤® ¨ µ Ω ©≤® Ó ¥ ≠ ”∂ Ω ©”® Î »

∫…bŽUIUÐ vDF¹ ©’¨ ”® tOKŽ WDI½ Í√ bMŽ ©”® Ω ’ Ê«d²ô« vM×M* ”UL*« qO ÊU «–≈ ¥

Æ©≤≠ ¨ ≥® WDIMUÐ d1 ÁUM×M ÊQÐ ÎULKŽ ¨©”® Ê«d²ô« …bŽU błËQ ¨≤ ≠ ”∂ ≠ ≤”≥ Ω ”s

’s

Æ©µ≠¨±≠®» ¨ ©±¨∞® 5²DIMUÐ d1 vM×M*« Ê√Ë ¨¥ ≠ ”≤¥ Ω Î’ ÊQÐ ÎULKŽ ¨©”® Ω ’ vM×M*« WœUF bł µ

WDIMUÐ d1 vM×M*« ÊUË ¨©”® Ω ’ vM×M*« vKŽ ©’ ¨ ”® WDI½ Í√ bMŽ

”

√

µ Ω Î’ ÊU «–≈ ∂

ÆvM×M*« WœUF b− ¨± ÍËU¹ WDIM« Ác¼ bMŽ vM×MLK ”UL*« qO ÊUË ¨©∞ ¨ ¥®

WOK× ÈdG WLO ©”® Ω ’ Ê«d²ö ÊUË ¨¥ ≠ ”∂ ÍËUð ©”® Ω ’ vM×MLK Î’ X½U «–≈ ∑

ÆÊ«d²ö WOK;« vLEF« WLOI«Ë vM×M*« WœUF b− ¨ ± Ω ” bMŽ µ ÍËUð

vM×M*« «c¼ WœUF błËQ ¨¥ ÍËU¹ tOKŽ ©∏ ¨ ±® WDIM« bMŽ ©”® Ê«d²ô« vM×M* ”UL*« qO ÊU «–≈ ∏

Ʊ∞ ≠ ”±≤ Ω ©”® Î ÊQÐ ÎULKŽ

¨ÀØrݱ∂ Ω ©∞®Ÿ ÊQÐ ÎULKŽ ©Ê®· WŠ«“ù« Ê«d²« bł Æ≤Ê≥ Ω Ÿ—U²Ð rOI² jš w rł „dײ¹ π

ÆrÝπ Ω ©∞® ·

∏

(Partition & Riemann Sum) ÊU1— ŸuL−Ë Wze−²« ≤≠¥

ŸuL−Ë Wze−²« bM³« «c¼ w ·dF²MÝË ¨œËb;« dOž qUJ²« u¼ qUJ²K ÎUuNH oÐU« bM³« w UMdFð

ÆœËb;« qUJ²« u¼Ë qUJ²K dš¬ ÂuNH .bI² ΫbON9 ÊU1—

∫Wze−²«

∫n¹dFð

¨Ê” ¨ÆÆƨ

≤” ¨

±” ¨

∞” Ω

Êσ WŽuL−*« ÊS WOIOI(« œ«bŽ_« s WIKG …d² ›» ¤ X½U «–≈

Æ›» ¨ ¤ …d²HK WO½u½ Wze& vLð ¨ » Ω Ê” > ÆÆÆ >

≤” >

±” >

∞” Ω YOŠ

Ω∞”

±”

≤”

±≠—”

—”

±≠Ê”

Ê” Ω »

± ≤ — Ê

©±≠¥® qJA«

∫tM 5³²¹Ë ¨›» ¨ ¤ WIKG*« …d²HK Êσ Wze−²« ©±≠¥® qJA« `u¹

±” edUÐ t ed¹Ë ¨

∞”

≠

±” UNuÞË ¨›

±” ¨

∞”¤ w¼ vË_« WOze'« …d²H« ±

≤” edUÐ t ed¹Ë ¨

±”

≠

≤” UNuÞË ¨›

≤”¨

±”¤ w¼ WO½U¦« WOze'« …d²H«

⋮

— ” edUÐ t ed¹Ë ¨ ±≠—

” ≠ — ” UNuÞË ¨›—

”¨±≠— ”¤ w¼ WOz«d« WOze'« …d²H«

⋮

Ê” edUÐ t ed¹Ë ¨±≠Ê

” ≠ Ê” UNuÞË ¨›Ê

”¨±≠Ê”¤ w¼ ©…dOš_«® WO½uM« WOze'« …d²H«

± ´ Ê ÍËU¹ Wze−²« dUMŽ œbŽË ¨Ê ÍËU¹ Êσ Wze−²« sŽ W&UM« WOze'« «d²H« œbŽ ≤

«d²H« 5F ›±∞ ¨ ±≠¤ WIKG*« …d²HK WOŁöŁ Wze& ±∞ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ±≠ Ω ≥ σ X½U «–≈ ∫©±® ‰U¦

ÆUN«uÞ√Ë ≥ σ sŽ W&UM« WOze'«

≥ Ω ©±≠® ≠ ≤ Ω UNuÞË ›≤ ¨ ±≠¤ w¼ vË_« WOze'« …d²H«

± Ω ≤ ≠ ≥ Ω UNuÞË ›≥ ¨ ≤¤ w¼ WO½U¦« WOze'« …d²H«

∑ Ω ≥ ≠ ±∞ Ω UNuÞË ›±∞ ¨ ≥¤ w¼ W¦U¦« WOze'« …d²H«

π

ÆW¹ËU² dOž oÐU« ‰U¦*« w WOze'« «d²H« ‰«uÞ√ Ê√ kŠô

›» ¤ WIKG*« …d²HK Êσ Wze−²« sŽ W&UM« WOze'« «d²H« lOLł ‰«uÞ√ UNO ÊuJð w²« WU)« WU(« wË

wË ¨WLE²M WO½u½ Wze& Êσ Wze−²« wL½ UM½S Ê

≠ » Ω Ê

”Δ Ω ÆÆÆ Ω ≤”Δ Ω

±”Δ Ê√ Í√ ¨W¹ËU²

∫ÊuJ¹ WU(« Ác¼

Ω ∞”

± × Ê

≠ » ´ Ω …bŠ«Ë WOzeł …d² ‰uÞ ´ Ω ±

”

≤ × Ê

≠ » ´ Ω 5²Ozeł 5ðd² ‰uÞ ´ Ω ≤

”

⋮ — ×

Ê

≠ » ´ Ω «d²H« s © — ® ‰uÞ Ω

— ”

∫wK¹U2 Îö błËQ ¨›≤∞¨±≤≠¤ WIKG*« …d²HK WLE²M Wze& ∏ σ X½U «–≈ ∫©≤® ‰U¦

Æ∏ σ sŽ W&UM« WU)« WOze'« …d²H« » Æ∏

σ Wze−²« √

¥ Ω ∏

©±≤≠® ≠ ≤∞ Ω

Ê

≠ » Ω WOze'« …d²H« ‰uÞ √

≤∞ ¨ ±∂ ¨ ±≤ ¨ ∏ ¨ ¥ ¨ ∞ ¨ ¥≠ ¨ ∏≠ ¨ ±≤≠ Ω ∏

σ ∴

Æ›µ ” ¨ ¥

”¤ w¼ ∏ σ sŽ W&UM« WU)« WOze'« …d²H« »

— × Ê

≠ » ´ Ω —

”

¥ Ω ¥ × ∏

≥≤ ´ ±≤≠ Ω ¥

”

∏ Ω µ × ∏

≥≤ ´ ±≤≠ Ω µ

”

Æ›∏ ¨ ¥¤ w¼ WU)« WOze'« …d²H« ∴

ÆWLE²M Wze& µ σ sJ²Ë ¨›∑ ¨ ≤¤ WIKG*« …d²H«vKŽ ÎUdF ÎU½«d²« ± ´ ”≤ Ω ©”® sJO ∫©≥® ‰U¦

WOze'« «d²H« U¼bŽ«u w²« öOD²*« rÝ—« rŁ¨tU− vKŽ ©”® vM×M rÝ—« √

Æ «d²H« pKð U¹«bÐ bMŽ ©”® Ê«d²ô« rO UNðUŽUHð—«Ë ¨ µ σ sŽ W&UM«

Æ©√® ŸdH« w öOD²*« UŠU ŸuL− błË√ »

±∞

± Ω µ

≤ ≠ ∑ Ω

Ê

≠ » Ω ”Δ √

∑ ¨ ∂ ¨ µ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ Ω µ σ

…d²H« vKŽ ©”® vM×M q¦1 ©≤≠¥® qJA«

öOD²*« q¦9 WKKE*« WIDM*«Ë ¨›∑¨≤¤

¨µ σ sŽ W&UM« WOze'« «d²H« U¼bŽ«u w²«

pKð U??¹«b??Ð bMŽ Ê«d??²??ô« rO UNðUŽUHð—«Ë

Æ «d²H«

”

µ

’

±∂

±≤

∏

¥

¥≥≤ ∂ ∑

± ´ ”≤ Ω ©”®

©≤≠¥® qJA« Ê ÒuJ½ öOD²*« UŠU ŸuL− œU−¹ù »

∫wðü« ‰Ëb'«

WOze'« …d²H«

›— ” ¨ ±≠—

”¤

WOze'« …d²H« ‰uÞ

— ”Δ

qOD²*« ŸUHð—«

©±≠—

”®

qOD²*« WŠU

— ”Δ × ©

±≠— ”®

›≥ ¨ ≤¤±µ Ω ©≤® µ

›¥ ¨ ≥¤±∑ Ω ©≥® ∑

›µ ¨ ¥¤±π Ω ©¥® π

›∂ ¨ µ¤±±± Ω ©µ® ±±

›∑ ¨ ∂¤±±≥ Ω ©∂® ±≥

¥µ

WFÐd …bŠË ¥µ Ω öOD²*« UŠU ŸuL− ∴

— ”Δ × ©

±≠— ”®

µ

∑±Ω —

Ω oÐU« ‰U¦*« w öOD²*« lOLł UŠU ŸuL− Ê√ kŠô

Ƶ σ Wze−²K W³MUÐ ©”® Ê«d²ö ÊU1— ŸuL− ¨ŸuL−*« «c¼ vL¹

ÊUL¹— ŸuL− ∫n¹dFð

¨›» ¨ ¤ …d²HK WO½u½ Wze& Ê σ X½UË ¨›» ¨ ¤ WIKG*« …d²H« vKŽ ÎUdF ÎU½«d²« ©”® ÊU «–≈

Wze−²K W³MUÐ ©”® Ê«d²ö ÊU1— ŸuL− ÊS ª›— ”¨

±≠— ”¤ WOze'« …d²HK wL²M¹ — *” œbF« ÊUË

∫wK¹ UL ·dF¹ ¨© ¨Ê σ®  edUÐ t ed¹Ë ¨ Ê σ

— ”Δ × © — *”® Ê

∑±Ω —

Ω © ¨ Ê σ® Â

±±

WGOB« ÊU1— ŸuL− c²¹ ¨›» ¨ ¤ …d²HK WLE²M WO½u½ Wze& Ê σ ÊuJð UbMŽ WU)« WU(« wË

© — *”® Ê

∑±Ω —

Ê

≠ » Ω © ¨ Ê σ® Â

dO¦ Ê«d²ö WLE²M*« WO½uM« Wze−²« vKŽ ¨ÊU1— ŸuL−0 WIKF²*« UÐU(« w ΫbŽUB Êü« s dB²IMÝ

Æ≤ vKŽ t²ł—œ b¹eð ô Íc« œËb(«

…d²HK ¥ σ WLE²M*« Wze−²K W³MUÐ π ´ ”≤ ´ ≤” Ω ©”® Ê«d²ö ÊU1— ŸuL− błË√ ∫©¥® ‰U¦

∫5²Oðü« 5²U(« s >q w ›∂ ¨ ≤≠¤

— ” Ω — *” –UðUÐ √

≤

— ” ´ ±≠—

” Ω — *” –UðUÐ »

∂¨ ¥ ¨ ≤ ¨ ∞ ¨ ≤≠ Ω µ σ

© — *”® Ê

∑±Ω —

Ê

≠ » Ω © ¨ Ê σ® Â

∫ — ” Ω — *” √

©— ”® ¥

∑±Ω —

¥

©≤≠®≠∂ Ω © ¨ ¥ σ® Â ∴

©©¥”® ´ ©≥

”® ´ ©≤”® ´ ©±

”® ®≤ Ω

©©∂® ´ ©¥® ´ ©≤® ´ ©∞® ®≤ Ω

©µ∑ ´ ≥≥ ´ ± ∑ ´ π®≤ Ω

≤≥≤ Ω ±±∂ × ≤ Ω

∫ ≤

— ” ´

±≠— ”

Ω — *” »

© ≤

— ” ´

±≠— ”

® ¥

∑±Ω —

≤ Ω © ¨ ¥ σ® Â ∴

©©µ® ´ ©≥® ´ ©±® ´ ©±≠® ® ≤ Ω

©¥¥ ´ ≤¥ ´ ±≤ ´ ∏® ≤ Ω

±∑∂ Ω ∏∏ × ≤ Ω

±≤

…d²HK WLE²M WO½u½ Wze& Ê σ X½UË ¨ ›± ¨ ∞¤ …d²H« vKŽ ÎUdF ”µ Ω ©”® ÊU «–≈ ∫©µ® ‰U¦

błËQ ¨›± ¨ ∞¤

≤

©± ´ Ê® Ê Ω —

Ê

∑±Ω —

ÊQÐ ÎULKŽ ¨— ” Ω — *” Ϋc² © ¨ Ê σ®  ÊU1— ŸuL− √

© ¨ Ê σ® Â ∞ ← Ê

»

± Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI²*«Ë UMO« —u×Ë ©”® vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU ?ł

Ê

± Ω

Ê

≠ » Ω …bŠ«u« WOze'« …d²H« ‰uÞ

— × Ê

≠ » ´ Ω —

” Ω — *” √

Ê

— Ω — ×

Ê

± ´ ∞ Ω

© — *”® Ê

∑±Ω —

Ê

≠ »ÿ Ω © ¨ Ê σ® Â

© Ê

— ® Ê

∑±Ω —

Ê

± Ω

—

Ê

∑±Ω —

≤Ê

µ Ω

Ê

—µ

Ê

∑±Ω —

Ê

± Ω

≤Ê≤

ʵ ´ ≤ʵ Ω

≤

©± ´ Ê® Ê ×

≤Ê

µ Ω

Ê≤

µ ´

≤

µ Ω

© Ê≤

µ ´

≤

µ ®

∞ ← Ê

Ω © ¨ Ê σ® Â ∞ ← Ê

»

≤

µ Ω ∞ ´

≤

µ Ω

WKKE*« WIDM*« WŠU w¼ WÐuKD*« WŠU*« ?ł

rzU YK¦ WŠU ÍËUðË ©≥≠¥® qJA« w

µ Ω tŽUHð—«Ë ¨± Ω tðbŽU ‰uÞ W¹Ë«e«

µ

”

’

±

”µ

Ω ©

”®

∞

©≥≠¥® qJA«

WFÐd …bŠË ≤

µ Ω

≤

µ × ± Ω WŠU*« ∴

…d²HK Ê σWze−²K W³MUÐ ©”® Ê«d²ö ÊU1— ŸuL− W¹UN½ Ê√ ‰U¦*« «c¼ w kŠö½

UMO« —u×Ë ©”® vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU ÎU¹œbŽ ÍËUð ›± ¨ ∞¤

Ʊ Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI²*«Ë

±≥

…d²HK WLE²M WO½u½ Wze& Ê σ X½UË ›≤ ¨ ∞¤ …d²H« vKŽ ÎUdF ≤” Ω ©”® ÊU «–≈ ∫©∂® ‰U¦

∂

©±´Ê≤® ©±´Ê®Ê Ω ≤—

Ê

∑±Ω —

ÊQÐ ÎULKŽ ¨ — ” Ω — *” «c² © ¨ Ê σ®Â błËQ ¨›≤ ¨ ∞¤

Ê

≤ Ω

Ê

≠ » Ω …bŠ«u« WOze'« …d²H« ‰uÞ

— × Ê

≠ » ´ Ω —

” Ω — *”

Ê

—≤ Ω — ×

Ê

≤ ´ ∞ Ω

© — *”® Ê

∑±Ω —

Ê

≠ »ÿ Ω © ¨ Ê σ® Â

© Ê

—≤ ® Ê

∑±Ω —

Ê

≤ Ω

≤— ≤Ê

¥

Ê

∑±Ω —

Ê

≤ Ω

≤—

∑ ≤Ê

¥ ×

Ê

≤ Ω

∂

©± ´ Ê≤® ©± ´ Ê® Ê ×

≤Ê

¥ ×

Ê

≤ Ω

≤Ê≥

¥ ´ ʱ≤ ´ ≤Ê∏ Ω

©≤≠¥® s¹—U9

›≥ ¨ ±≠¤ …d²HK WOÝUL)« WLE²²*« Wze−²« V²« ±

ÆWze−²« Ác¼ sŽ W&UM« …dAŽ WÝœU« WOze'« …d²H« błË√ ¨›≥ ¨ ≤≠¤ …d²HK WLE²M Wze& ≤∞ σ X½U «–≈ ≤

∫WOðü« ôU(« s >q w Ê σ Wze−²K W³MUÐ ©”® Ê«d²ö ÊU1— ŸuL− błË√ ≥

±≠— ” Ω — *” ¨ ›∂ ¨ ∞¤ …d²HK WLE²M Wze& ¥ σ ¨ ≥ Ω ©”® √

— ” Ω — *” ¨ ›¥ ¨ ≤≠¤ …d²HK WLE²M Wze& ∂ σ ¨” ≠ ≤ Ω ©”® »

≤

— ” ´

±≠— ”

Ω — *” ¨ ›¥ ¨ ∞¤ …d²HK WLE²M Wze& ¥ σ ¨≤” ´ ∂ Ω ©”® ?ł

błËQ ¨…d²H« ÁcN WLE²M WO½u½ Wze& Ê σ ¨›µ ¨ ∞¤ WIKG*« …d²H« vKŽ ÎUdF ± ≠ ”≥ Ω ©”® ÊU «–≈ ¥

Æ— ” Ω — *” Ϋc² © ¨ Ê σ®  ÊU1— ŸuL−

błËQ ¨…d²H« ÁcN WLE²M WO½u½ Wze& Ê σ ¨›≥¨ ∞¤ …d²H« vKŽ ÎUdF ± ´ ≤” Ω ©”® ÊU «–≈ µ

Æ— ” Ω — *” Ϋc² © ¨ Ê σ® Â

±¥

(Definite Integral) œËb;« qUJ²« ≥≠¥

∫n¹dFð

¨›» ¨ ¤ …d²HK WLE²M WO½u½ Wze& Ê σ X½UË ¨›» ¨ ¤ vKŽ * ΫœËb×Ë ÎUdF ÎU½«d²« ©”® ÊU «–≈

Ê«d????²ô« Ê≈ ‰UI¹ t½S ¨›— ” ¨

±≠— ”¤ ∋ — *” rO lOL' W¹ËU???²Ë …œułu © ¨Ê σ® Â

∞ ← Ê

X½UË

©”® Ê«d²ö œËb;« qUJ²« …—uc*« W¹UNM« vLðË ¨›» ¨ ¤ …d²H« vKŽ qUJ²K qÐU ©”® © ¨ Ê σ® Â

∞ ← Ê

Ω ”s ©”®

»

∫ Ê√ Í√ ª”s ©”®

»

∫ edUÐ t ed¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ

∫ UEŠö

Æt ÍuKF« b(« » wL½Ë qUJ²K wKH« b(« wL½¨ ”s ©”® »

∫ œËb;« qUJ²« w ±

¨» ¨ s¹œbF« vKŽË Ê«d²ô« …bŽU vKŽ ”s ©”®

»

∫ œËb;« qUJ²« WLO nu²ð ≤

¨dš¬ dOG² Í√ tK× q×¹ Ê√ sJ1Ë qUJ²« WOKLŽ w WUš WOL¼√ t fOK ” dOG²*« U√

∫Ê√ Í√ ¨ÆÆÆ ¨ Ÿ ¨ ’ q¦

a≈ ÆÆÆ Ω Ÿs ©Ÿ®

»

∫ Ω ’s ©’®

»

∫ Ω ”s ©”®

»

∫

b(« Ê√ Í√ ¨» > Ê√ ÷«d²« sLC²¹ ÁöŽ√ w œ—«u« ”s ©”®

»

∫ œËb;« qUJ²« n¹dFð Ê≈ ≥

∫5OU²« 5H¹dF²« Âb²½ Èdš_« ôU(« wË Æt ÍuKF« b(« s dG√ qUJ²K wKH«

”s ©”®

»

∫ ≠ Ω ”s ©”®

» ∫ ≤ ∞ Ω ”s ©”®

∫ ±

›» ¨ ¤ vKŽ VUÝ dOž ÎU½«d²« ©”® ÊU «–≈ ¥

”s ©”® »

∫ œËb;« qUJ²« ÊS qUJ²K ÎöÐUË

Ê«d²ô« vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU q¦1

5LOI²*«Ë UMO« —u×Ë ©”®

Æ©¥≠¥® qJA« kŠô Æ » Ω ” ¨ Ω ”

”

’

»

©”® Ω ’

©¥≠¥® qJA«

∫Ê≈ YO×Р¨ ‰ ÊUOIOIŠ Ê«œbŽ błË «–≈ jIË «–≈ ›» ¨ ¤ WIKG*« …d²H« vKŽ œËb×Ë ·dF Ê«d²« ©”® Ê≈ ‰UI¹ *Æ›» ¨ ¤ ∋ ” rO lOL'  ≥ ©”® ≥ ‰

±µ

Æ”s ¥

≤

∞

∫ œU−¹ù œËb;« qUJ²« n¹dFð Âb²Ý« ∫©±® ‰U¦

›≤ ¨ ∞¤ …d²HK WLE²M WO½u½ Wze& Ê σ sJ²

© — *”® Ê

∑±Ω —

Ê

≠ »ÿ Ω © ¨ Ê σ® Â

XÐUŁ ©”® Ê_ ª›— ” ¨

±≠— ”¤ ∋ — *” rO lOL' ¥ Ω © — *”® Ê≈ YOŠË

∏ Ω Ê¥ × Ê

≤ Ω ¥

Ê

∑±Ω —

Ê

≤ Ω © ¨ Ê σ® Â ∴

∏ Ω ”s ¥

≤

∞

∫ Ê√ Í√

©∞≠≤®¥ Ω ∏ Ω ”s ¥

≤

∞

∫ Ê√ ‰U¦*« «c¼ w kŠô

©wKH« b(« ≠ ÍuKF« b(«® × XÐU¦« Ê«d²ô« WLO Ω

∫ÂUŽ tłuÐ

∫…bŽU

© ≠ »® ?ł Ω ”s ?ł

»

∫ ÊS ¨XÐUŁ ?ł ¨›» ¨ ¤ ∋ ” lOL' ¨ ?ł Ω ©”® ÊU «–≈

∫s q WLO błË√ ∫©≤® ‰U¦

”s π

≤

∞

∫ » ”s ∂

≤

±≠ ∫ √

±∏ Ω ≥ × ∂ Ω ©©±≠®≠≤®∂ Ω ”s ∂

≤

±≠ ∫ √

π≤ Ω ©∞≠≤® π Ω ”s π

≤

∞

∫ »

∫W¹dE½

Æ…d²H« pKð vKŽ qUJ²K ÎöÐU ÊuJ¹ t½S ›» ¨ ¤ WIKG*« …d²H« vKŽ ÎöB² ©”® Ê«d²ô« ÊU «–≈

±∂

”s ”

»

∫ œU−¹ù œËb;« qUJ²« n¹dFð Âb²Ý« ∫©≥® ‰U¦

Ê σ sJ² Æ©œËbŠ dO¦® qB² t½_ ¨›» ¨ ¤ vKŽ qUJ²K qÐU ” Ω ©”® Ê«d²ô«

Æ›» ¨ ¤ …d²HK WLE²M WO½u½ Wze&

— ” Ω — *” –UðUÐ ¨ © — ”® Ê

∑±Ω —

Ê

≠ »ÿ Ω © — *”® Ê

∑±Ω —

Ê

≠ »ÿ Ω © ¨ Ê σ® Â

© — × Ê

≠ » ´ ®

Ê

∑±Ω —

Ê

≠ »ÿ Ω — ”

Ê

∑±Ω —

Ê

≠ »ÿ Ω

› ≤

©± ´ Ê® Ê ×

Ê

≠ » ´ ʤ

Ê

≠ »ÿ Ω › —

Ê

∑±Ω —

× Ê

≠ » ´

Ê

∑±Ω —

¤ Ê

≠ »ÿ Ω

Ê

± ´ Ê ×

≤

≤© ≠ »® ´ © ≠ »® Ω

© Ê

± ´ Ê ×

≤

≤© ≠ »® ´ © ≠ »® ®

∞ ← Ê

Ω ”s ”

»

∫ ∴

≤

≤ ≠ ≤» Ω

≤

≤© ≠ »® ´ © ≠ »® Ω

∫WOU²« …bŽUI« v≈ qu²« sJ1 ÂUŽ tłuÐ

∫…bŽUwFO³Þ œbŽ Ê ¨

± ´ Ê

±´Ê ≠

±´Ê

»

Ω ”s

Ê”

»

∫

∫WOU²« öUJ²« s >q WLO bł ∫©¥® ‰U¦

o½s ≤o½

¥

≤ ∫ » ”s

¥”

≥

± ∫ √

µ

≤¥≤ Ω

µ

µ ± ≠ µ ≥ Ω

± ´ ¥

±´¥ ± ≠ ±´¥ ≥ Ω ”s

¥”

≥

± ∫ √

≥

µ∂ Ω

≥

≥ ≤ ≠ ≥ ¥ Ω

± ´ ≤

±´≤ ≤ ≠ ±´≤ ¥ Ω o½s ≤o½

¥

≤ ∫ »

∫W¹dE½

©”® Ω ©”®?¼ Ê«d²ô« ÊUË ¨›» ¨ ¤ WIKG*« …d²H« vKŽ qUJ²K ÎöÐU ©”® Ê«d²ô« ÊU «–≈

ÊuJ¹ ©”®?¼ ÊS ¨›» ¨ ¤ …d²H« w ” rO s WON²M WŽuL− «bŽ ¨›» ¨ ¤ ∋ ” rO lOL'

”s ©”®

»

∫ Ω ”s ©”®?¼

»

∫ ÊuJ¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ qUJ²K ÎöÐU

±∑

vKŽ qUJ²K qÐU ©”® Ê√ 5³ ¨›± ¨ ∞¤ …d²H« vKŽ ÎUdF ›”¤ Ω ©”® ÊU «–≈ ∫©µ® ‰U¦

”s ›”¤

±

∞ ∫ błË√ rŁ ›± ¨ ∞¤

›± ¨ ∞ ¤ ∋ ” lOL' ∞ Ω ©”®?¼ Ê√ ÷dHÐ

± Ω ” bMŽ «bŽ ›± ¨ ∞¤ ∋ ” lOL' ©”®?¼ Ω ©”® ÊuJ¹

XÐUŁ Ê«d²« t½_ ¨›± ¨ ∞¤ vKŽ qUJ²K qÐU ∞ Ω ©”® ?¼ Ê≈ YOŠË

›± ¨ ∞¤ vKŽ qUJ²K qÐU ›”¤ Ω ©”® Ê–≈

dH Ω”s ∞

±

∞ ∫ Ω ”s ›

”¤

±

∞ ∫ ÊuJ¹Ë

©≥≠¥® s¹—U9

WO½u½ Wze& Ê σ YOŠ ¨ ≤Ê

± ´ ¥ Ω © ¨ Ê σ®  ÊUË ¨›µ ¨ ≤¤ vKŽ qUJ²K ÎöÐU ÎU½«d²« ©”® ÊU «–≈ ±

∫błËQ ¨›µ ¨ ≤¤ …d²HK WLE²M

”s ©”®

≤

µ

∫ » ”s ©”®

µ

≤

∫ √

∫s >q œU−¹≈ w œËb;« qUJ²« n¹dFð Âb²Ý« ≤

”s ©± ≠ ≤”®

¥

≤

∫ ?ł ”s ©± ´ ”®

≥

±

∫ » ”sµ

≤

∞

∫ √

∫s >q WLO błË√ ≥

”s ≥”

±[≥

±[≥

∫ œ ”s µ”

≤

≤≠ ∫ ?ł ”s ∂

≤

±≠ ∫ » ”s

∏

≤

∫ √

∫WUŠ q w …UDF*« …d²H« vKŽ qUJ²K WOU²« U½«d²ô« s >q WOKÐU w V³« 5Ð ¥

›± ¨ ≤≠ ¤ …d²H« vKŽ ¨ ≥ ´ ≤” Ω ©”® √

› ≤ ¨ ∞ ¤ …d²H« vKŽ ¨ ” Uł Ω ©”® »

›≤ ¨ ∞ ¤ …d²H« vKŽ ± ” ¨ ≤”

± Ω ” ¨ µ Ω ©”® ?ł

›≤ ¨ ± ¤ …d²H« vKŽ › ± ´ ” ¤ Ω ©”® œ

∫WOU²« ôU(« s >q w » Vłu*« XÐU¦« 5Ž µ

∞[≤µ Ω ”s »”

±

∞

∫ ?ł ≤¥ Ω ”s ”

»

±

∫ » ±µ Ω ”s » ≥

∞[µ

∫ √

±∏

œËb;« qUJ²« hzUBš ¥≠¥

∫hzUB)« Ác¼ sË ¨ ôU(« s dO¦ w U½«d²ô« iF³ tÐUŠ qONð w bŽUð WLN hzUBš œËb;« qUJ²K

∫©±® W ÒOUš

©”® ?ł Ê«d²ô« ÊS ¨wIOIŠ œbŽ Í√ ?ł ÊUË ¨›» ¨ ¤ vKŽ qUJ²K ÎöÐU ÎU½«d²« ©”® ÊU «–≈

”s ©”®

»

∫ ?ł Ω ”s ©”® ?ł

»

∫ ÊuJ¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ qUJ²K ÎöÐU ÊuJ¹

∫ÊU¼d³«

›» ¨ ¤ …d²HK WLE²M WO½u½ Wze& Ê σ sJ²

© ?ł ¨ Ê σ® Â ∞ ← Ê

Ω ”s ©”® ?ł

»

∫

©© — *”® ?łÊ

∑±Ω —

Ê

≠ »ÿ ®

∞ ← Ê

Ω

©© — *”® Ê

∑±Ω —

?ł × Ê

≠ »ÿ ®

∞ ← Ê

Ω

”s ©”®

»

∫ ?ł Ω © © — *”® Ê

∑±Ω —

Ê

≠ »ÿ ®

∞ ← Ê

× ?ł Ω

”s ≤”≥

¥

± ∫ błË√ ∫©±® ‰U¦

”s ≤”

¥

± ∫ ≥ Ω ”s ≤”≥

¥

± ∫

∂≥ Ω ≥

∂≥ × ≥ Ω

≥

≥± ≠ ≥¥ × ≥ Ω

∫©≤® W ÒOUš

¨©”®?¼ ´ ©”® ∫5½«d²ô« ÊS ›» ¨ ¤ vKŽ qUJ²K 5KÐU 5½«d²« ©”®?¼ ¨©”® ÊU «–≈

∫ÊuJ¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ qUJ²K 5KÐU ÊU½uJ¹ ©”®?¼ ≠ ©”® ”s ©”®?¼

»

∫ ∓ ”s ©”®

»

∫ Ω ”s ©©”®?¼ ∓ ©”® ®

»

∫

Æ5½«d²« s d¦_ WOU)« Ác¼ rOLFð sJ1Ë

±π

”s ©”≤ ≠ ≤”®

≥

∞ ∫ WLO błË√ ∫©≤® ‰U¦

”s ”≤

≥

∞ ∫ ≠ ”s ≤”

≥

∞ ∫ Ω ”s ©”≤ ≠ ≤”®

≥

∞ ∫

≤

≤ ∞ ≠ ≤ ≥ × ≤ ≠

≥

≥ ∞ ≠ ≥ ≥ Ω

∞ Ω π ≠ π Ω

∫©WUù« WOUš® ©≥® W ÒOUš

pK² wL²M𠜫bŽ√ WŁöŁ W¹√ ¨ ?ł ¨ » ¨ X½UË ¨WIKG …d² vKŽ qUJ²K ÎöÐU ÎU½«d²« ©”® ÊU «–≈

∫ÊS ¨…d²H«

”s ©”®

»

?ł ∫ ´ ”s ©”®

?ł

∫ Ω ”s ©”®

»

∫

”s ¸≤ ≠ ”¸

µ

∞ ∫ błË√ ∫©≥® ‰U¦

≤ ≥ ” ≥ ∞ ” ≠ ≤

µ ≥ ” ≥ ≤ ≤ ≠ ”

Ω ¸≤ ≠ ”¸

”s ©≤ ≠ ”®

µ

≤ ∫ ”s ©” ≠ ≤®

≤

∞ ∫ Ω ”s ¸≤ ≠ ”¸

µ

∞ ∫

©≤ ≠ µ®≤ ≠ ≤

≤ ≤ ≠ ≤ µ ´

≤

≤ ∞ ≠ ≤ ≤ ≠ ©∞ ≠ ≤®≤ Ω

∂[µ Ω ∂ ≠ ±∞[µ ´ ≤ ≠ ¥ Ω

”s ©”®

∂

π ∫ ≠ ”s ©”®

∂

± ∫ ∫bŠ«Ë qUJð …—u w V²√ ∫©¥® ‰U¦

”s ©”®

π

∂ ∫ ´ ”s ©”®

∂

± ∫ Ω ”s ©”®

∂

π ∫ ≠ ”s ©”®

∂

± ∫

”s ©”®

π

± ∫ Ω

≤∞

∫©W½—UIL« WOUš® ©¥® W ÒOUš

rO lOL' ©”®?¼ ≤ ©”® ÊUË ¨ ›» ¨ ¤ vKŽ qUJ²K 5KÐU 5½«d²« ©”®?¼ ¨ ©”® ÊU «–≈

∫ÊS ¨›» ¨ ¤ ∋ ”

”s ©”®?¼

»

∫ ≤ ”s ©”®

»

∫

∫W−O²½

∫ÊS ¨›» ¨ ¤ ∋ ” rO lOL' ∞ ≤ ©”® ÊUË ¨›» ¨ ¤ vKŽ qUJ²K ÎöÐU ÎU½«d²« ©”® ÊU «–≈

∞ ≤ ”s ©”®

»

∫

Æ5KUJ²« s >q WLO »UŠ ÊËœ ¨”s ”≤

∂

±≠ ∫ ≤ ”s ©µ ´ ≤”®

∂

±≠ ∫ Ê√ 5Ð ∫©µ® ‰U¦

›∂ ¨ ±≠¤ ∋ ” lOL' ”≤ ≤ ©µ ´ ≤”® Ê«d²ô« Ê√ s¼d³½ Ê√ WM¹U³²*« W× U³Łù wHJ¹

›∂ ¨ ±≠¤ ∋ ” lOL' ¨ ∞ ≤ ”≤ ≠ µ ´ ≤” —«bI*« Ê√ Í√

¥ ´ ± ´ ”≤ ≠ ≤” Ω ”≤ ≠ µ ´ ≤”

¥ ≤ ¥ ´ ≤©± ≠ ”® Ω

∋ ” lOL' ∞ ≤ ”≤ ≠ µ ´ ≤” Ê√ Í√

›∂ ¨ ±≠¤ ∋ ” lOL' ”≤ ≤ µ ´ ≤” ∴

”s ”≤

∂

±≠ ∫ ≤ ”s ©µ ´ ≤”®

∂

±≠ ∫ ⇐

¥ ¨ ≤ 5²LOI« 5Ð lI¹ ”s ©”≥Uł ´ ≥®

∞ ∫ Ê√ 5Ð ∫©∂® ‰U¦

± ”≥Uł ±≠ ∴ ± ”Uł ±≠

¥ ”≥Uł ´ ≥ ≤ ∴

”s ¥

∞ ∫ ≥ ”s

©”≥Uł ´ ≥®

∞ ∫ ”s ≤

∞ ∫ ∴

¥ ≥ ”s ©”≥Uł ´ ≥®

∞ ∫ ≥ ≤ ∴

≤±

”s ± ´ ≤”

± ≠ ”≤

¥

± ∫ qUJ²« …—Uý≈ 5Ž ∫©∑® ‰U¦

± ´ ≤”

± ≠ ”≤ Ω ©”® Ê«d²ô« …—Uý≈ ”—b½

©µ≠¥® qJA« w UL

›¥ ¨ ±¤ …d²H« w W³łu ± ´ ≤”

± ≠ ”≤ Ê«d²ô« …—Uý≈ ∴

∞ < ”s ± ´ ≤”

± ≠ ”≤

¥

± ∫ ∴

≤

±

≠ ≠ ≠ ´ ´ ´j³« …—Uý≈

≤

±

´ ´ ´ ´ ´ ´ÂUIL« …—Uý≈

≤

±

≠ ≠ ≠ ´ ´ ´ ©”® …—Uý≈

∞

´

∞

©µ≠¥® qJA«

©¥≠¥® s¹—U9

∫s Îö błËQ ∏ Ω ”s ©”®?¼

µ

± ∫ ¨∂ Ω ”s ©”®

µ

± ∫ ¨¥≠ Ω ”s ©”®

≤

± ∫ ÊU «–≈ ±

”s ©©”®?¼ ≠ ©”®‚¥®

µ

± ∫ ?ł ”s ©”®

µ

≤ ∫ » ”s ©”® ≥

≤

± ∫ √

∫bŠ«Ë qUJð …—u w V²√ ≤

”s ©”®

≥

± ∫ ≠ ”s ©”®

∑

± ∫ » ”s ©”®

∂

≤≠ ∫ ´ ”s ©”®

≥

∂ ∫ √

∫Ê√ 5Ð WOU²« ôU(« s >q w öUJ²« »UŠ ÊËœ ≥

∞ ≤ ”s ©”Uł ´ ±®

π≤

∞ ∫ » ”s ©µ ´ ”≥®

¥

± ∫ ≥ ”s ©∂ ´ ”≤®

¥

± ∫ √

∞ ≥ ”s ©±∂ ´ ”±∞ ≠ ≤”≠®

∂

≥ ∫ œ ∞ ≤ ”s ¸µ ≠ ≤”¸

∂

±≠ ∫ ?ł

∫s >q WLO bł ¥

”s ¸≤ ≠ ”¸

∞

≥≠ ∫ ?ł ”s≤©µ ≠ ”≤®

≤

± ∫ » ”s ≤ √

≤∞

±≠ ∫ √

”s ©”®

≤

∞ ∫ WLO błËQ

± ≥ ” ≥ ∞ ± ´ ≤”

≤ ≥ ” ≥ ± ” ≠ ≤ Ω ©”® ÊU «–≈ µ

ø”s ©”®?¼ µ

≥

± ∫ WLO UL ¨π Ω ”s ©”® ≥

≥

± ∫ ÊUË ¨±π Ω ”s ©©”®?¼∑ ´ ©”® ¥®

≥

± ∫ ÊU «–≈ ∂

ø?ł rOØWLO UL ∞ Ω ”s ©” ≠ ±®”

?ł

∞ ∫ ÊU «–≈ ∑

± Ω ”s ©”®

±

∞ ∫ ¨∞ Ω ©±® Ω ©∞® ∫Ê≈ YO×Ð ¨©”® WO½U¦« Wł—b« s œËb(« dO¦ błË√ ∏

≤≤

(Fundamental Theorem of Calculus) qUJ²«Ë qUH²« w WOÝUÝ_« W¹dEM« µ≠¥

rNð U v≈ W¹dEM« Ác¼ WOL¼√ œuFðË ¨qUJ²«Ë qUH²« rKŽ U¹dE½ r¼√ ÈbŠ≈ bM³« «c¼ w ·dF²MÝ

nA²« bË ªÈdš√ WNł s œËb;« qUJ²« WLO »UŠË ¨WNł s …œËb;« dOž öUJ²« œU−¹≈ w tÐ

qUH²« rKŽ fÝ√ wF«Ë UL¼—U³²ŽUÐ ¨o×Ð ¨s¹d¹bł ULNKFł U2 ¨s¹œdHM eM³¹ôË sðuO½ ÊU*UF« W¹dEM« Ác¼

ÆqUJ*« Ê«d²ô« vL¹ U ·dF²½ W¹dEM« ÁcN ΫbON9Ë ¨dAŽ lÐU« ÊdI« w qUJ²«Ë

∫n¹dFð

¨’s ©’®

”

∫ Ω ©”® Ê«d²ô« ÊS ¨› »¨ ¤ …d²H« vKŽ qUJ²K ÎöÐU ÎU½«d²« ©”® ÊU «–≈

Æ©”® Ê«d²ö ©”® qUJ*« Ê«d²ô« vL¹ ¨» ≥ ” ≥

Æ›µ ¨ ±¤ WIKG*« …d²H« vKŽ ± ´ ≤”≥ Ω ©”® Ê«d²ö ©”® qUJ*« Ê«d²ô« błË√ ∫©±® ‰U¦

» ≥ ” ≥ ’s ©’®

”

∫ Ω ©”®

µ ≥ ” ≥ ± ’s ©± ´ ≤’≥®

”

± ∫ Ω

’s ±

”

± ∫ ´ ’s ≤’

”

± ∫ ≥ Ω

©± ≠ ”®± ´ ≥

≥± ≠ ≥” × ≥ Ω

≤ ≠ ” ´≥” Ω ± ≠ ” ´ ± ≠ ≥” Ω

± > ” ≥ ∞ ”≥

≤ ≥ ” ≥ ± ”¥ ≠ ∂

Ω ©”® ÊU «–≈ ∫©≤® ‰U¦

›≤ ¨ ∞¤ …d²H« vKŽ ©”® Ê«d²ö ©”® qUJ*« Ê«d²ô« błËQ

≤ ≥ ” ≥ ∞ ’s ©’®

”

∫ Ω ©”®

∫ÊS ± > ” ≥ ∞ X½U «–≈ ∫ÎôË√

’s ’

”

∞ ∫ ≥ Ω ’s ’ ≥

”

∞ ∫ Ω ©”®

≤” ≤

≥ Ω

≤

≤ ∞ ≠ ≤” × ≥ Ω

≤≥

∫ÊS ≤ ≥ ” ≥ ± X½U «–≈ ∫ÎUO½UŁ

’s ©’¥ ≠ ∂®

”

± ∫ ´ ’s ’ ≥

±

∞ ∫ Ω ©”®

© ≤

≤ ± ≠ ≤” ® ¥ ≠ ©± ≠ ”®∂ ´

≤

©≤∞ ≠ ≤±® ≥ Ω

≤

µ ≠ ≤”≤ ≠ ”∂ Ω

± > ” ≥ ∞ ≤” ≤

≥

≤ ≥ ” ≥ ± ≤

µ ≠ ≤”≤ ≠ ”∂

Ω ©”® ∴

bMŽ qB² ©”® qUJ*« Ê«d??²??ô« sJË ¨± Ω ” bMŽ qB² dOž ©”® Ê√ ‰U¦*« «c??¼ w k??Šô

Æ©p– s oI%® ± Ω ”

∫ÂUŽ tłuÐ

∫W¹dE½

ÊuJ¹ ’s ©’®

”

∫ Ω ©”® qUJ*« Ê«d²ô« ÊS ¨›» ¨ ¤ vKŽ qUJ²K ÎöÐU ©”® ÊU «–≈

Æ›» ¨ ¤ vKŽ ÎöB²

∫…bŽUIUÐ vDF¹ ›¥¨±¤ …d²H« vKŽ ·dF*« ©”® Ê«d²ö ©”® qUJ*« Ê«d²ô« ÊU «–≈ ∫©≥® ‰U¦

Æ» ¨ 5²ÐU¦« błËQ ≤ > ” ≥ ± » ´ ”≤

¥ ≥ ” ≥ ≤ ≤ ´ ≤”

Ω ©”®

’s ©’®

”

± ∫ Ω ©”®

dH Ω ’s ©’®

±

± ∫ Ω ©±® ⇐

≤≠ Ω » UNMË ∞ Ω » ´ ± × ≤ ∴

≤ Ω ” bMŽ qB² uN ›¥ ¨ ±¤ vKŽ qB² ©”® Ê«d²ô«

©≤® Ω ©”® ´

≤ ← ”

Ω ©”® ≠

≤ ← ”

∴

≤ ´ ¥ Ω » ´ ¥ ∴

±≠ Ω ÊuJð i¹uF²UÐË ≤ Ω » UNMË

≤¥

Æ›¥ ¨ ∞¤ …d²H« vKŽ ·dF*« ¸ ≥ ≠ ” ¸ Ω ©”® Ê«d²ö ©”® qUJ*« Ê«d²ô« bł ∫©¥® ‰U¦

Æ©”® Ó błË√ rŁ

≥ > ” ≥ ∞ ” ≠ ≥

¥ ≥ ” ≥ ≥ ≥ ≠ ” Ω ©”®

’s ©’®

”

∞ ∫ Ω ©”®

∫ÊS ≥ > ” ≥ ∞ X½U «–≈ ∫ÎôË√

’s ©’ ≠ ≥®

”

∞ ∫ Ω ’s ©’®

”

∞ ∫ Ω ©”®

©p– s oI%® ≤

≤” ≠ ” ≥ Ω

∫ÊS ¥ ≥ ” ≥ ≥ X½U «–≈ ∫ÎUO½UŁ

’s ©≥ ≠ ’®

”

≥ ∫ ´ ’s ©’ ≠ ≥®

≥

∞ ∫ Ω ©”®

π ´ ”≥ ≠ ≤

≤” Ω ©≥ ≠ ”®≥ ≠

≤

π ≠ ≤” ´

≤

π Ω

≥ ≥ ” ≥ ∞ ≤

≤” ≠ ” ≥

¥ ≥ ” ≥ ≥ π ´ ”≥ ≠ ≤

≤”

Ω ©”® ∴

≥ ” ∞ ¨ ” ≠ ≥

¥ ” ≥ ≥ ≠ ”

©ø«–U*® ≥ Ω ” dH

Ω ©”® Ó ∴

¤¥ ¨ ∞ › ∋ ” ¨ ©”® Ω ©”® Ó Ê√ kŠô

∫qUJ²«Ë qUH²« w WOÝUÝ_« W¹dEM«

’s ©’®

”

∫ Ω ©”® ÊUË ›» ¨ ¤ WIKG*« …d²H« vKŽ ÎöB² ÎU½«d²« ©”® ÊU «–≈ ∫ÎôË√

©”® Ó Ê√ Í√ ¨¤» ¨ › ∋ ” lOL' ©”® Ω ©”® Ó ÊS ¨ Ê«d²ö qUJ*« Ê«d²ô« u¼

©”® Ê«d²ö wz«bÐ Ê«d²« u¼

›» ¨ ¤ vKŽ ©”® qB²*« Ê«d²ö ÎUOz«bÐ ÎU½«d²« ©”®Â ÊU «–≈ ∫ÎUO½UŁ

»

¸ ©”®Â …—uB« vKŽ ‚dH« «c¼ V²J¹Ë ¨© ®Â ≠ ©»®Â Ω ’s ©”®

»

∫ ÊS

≤µ

ÍœR¹ «c¼Ë ¨t wz«bÐ Ê«d²« u¼ qB² Ê«d²ô qUJ*« Ê«d²ô« Ê≈ ‰uI« W¹dEM« Ác¼ s ‰Ë_« rI« sLC²¹

WIKG …d² vKŽ qB² Ê«d²ô œËb;« qUJ²« »U( t½√ ÃU²M²Ý« sLC²¹ Íc« W¹dEM« s w½U¦« rI« v≈

WI¹dDÐ U½œËe¹ «c¼Ë ª© ®Â ≠ ©»®Â Ω ”s ©”®

»

∫ ÊuJO ©”®Â t ÎUOz«bÐ ÎU½«d²« b$ Ê√ wHJ¹ ¨›» ¨ ¤

qUJ²« n¹dFð vKŽ WLzUI«Ë ¨œËb;« qUJ²« »U( U¼U½bL²Ž« w²« vË_« WI¹dD« s WuNÝ d¦√ Èdš√

ÆÊU1— ŸuL− W¹UN½ t½QÐ œËb;«

ÊUË vKŽ ÎöB² ÎU½«d²« ©”® ÊU «–≈ ∫©µ® ‰U¦

Æ©≥® błËQ ± ´ ” ´ ≤” Ω ’s©’®

”

∞

∫ Ω ©”®

©”® Ω ©”® Ó

± ´ ” ´ ≤” Ω ©”® Ê√ U0Ë

± ´ ”≤ Ω ©”® Ó ∴

± ´ ”≤ Ω ©”® ∴

∑ Ω ± ´ ≥ × ≤ Ω ©≥® UNMË

?ł ´ ”U²ł ´ ”Uł Ω ’s ©’®

”

≤

π

∫ Ω ©”® ÊU «–≈ ∫©∂® ‰U¦

vKŽ qB² ÊQÐ ÎULKŽ ¨ Ê«d²ô« …bŽUË ¨ ?ł XÐU¦« WLO błËQ

?ł ´ ”U²ł ´ ”Uł Ω ’s ©’®

”

≤

π

∫ Ω ©”®

?ł ´ ≤

π U²ł ´

≤

π Uł Ω ’s ©’®

≤

π

≤

π

∫ Ω © ≤

π ® ∴

±≠ Ω ?ł UNMË ¨?ł ´ ∞ ´ ± Ω dH ∴

vKŽ qB² Ê«d²« Ê√ U0Ë

©”® Ω ©”® Ó ∴

”Uł ≠ ”U²ł Ω ©”® Ë√ ¨©”® Ω ”Uł ≠ ”U²ł ∴

≤∂

Ê«d²ö ©”®Â ÎUOz«bÐ ÎU½«d²« V²U ¨›± ±≠¤ …d²H« vKŽ ÎUdF µ ≠ ≤” Ω ©”® ÊU «–≈ ∫©∑® ‰U¦

Æ”s ©”®

±

±≠ ∫ błË√ rŁ ©”®

?ł ´ ”µ ≠ ≥

≥” Ω ”s ©µ ≠ ≤”® ∫

”µ ≠ ≥

≥” Ω ©”®Â u¼ ©”® Ê«d²ö ©”®Â WOz«b³« U½«d²ô« bŠ√ ÊuJO

©±≠®Â ≠ ©±®Â Ω ”s ©”®

±

±≠ ∫ ⇐

≥

≤∏ ≠ Ω ©µ ´

≥

± ≠ ® ≠ ©µ ≠

≥

± ® Ω

”s ©”Uł ´ ”U²ł®

≤

π

∞

∫ błË√ ∫©∏® ‰U¦

”s ©”Uł ´ ”U²ł®

≤

π

∞

∫

≤

π

∞ ǀ ©”U²ł ≠ ”Uł® Ω

©∞U²ł ≠ ∞Uł® ≠ © ≤

π U²ł ≠

≤

π Uł® Ω

≤ Ω ©±≠® ≠ ± Ω

”s ¸”¸

±

±≠ ∫ błË√ ∫©π® ‰U¦

∞ > ” ≥ ±≠ ”≠

± ≥ ” ≥ ∞ ”

Ω ¸”¸

”s”

±

∞

∫ ´ ”s” ≠

∞

±≠ ∫ Ω ”s ¸”¸

±

±≠ ∫ ∴

±

∞ ǀ

≤

≤” ´

∞

±≠ǀ

≤

≤” ≠ Ω

± Ω ≤

± ´

≤

± Ω

≤∑

©µ≠¥® s¹—U9

∫WOðü« U½«d²ô« s >qJ qUJ*« Ê«d²ô« błË√ ±

π ≥ ” ≥ ∞ ¨ ”Uł ´ ” Ω ©”® » ¥ ≥ ” ≥ ± ” √ Ω ©”® √

≤ ≥ ” ≥ ∞ ¸± ≠ ”¸ Ω ©”® œ ≤ > ” ≥ ±≠ ”≥

≥ ≥ ” ≥ ≤ ” ≠ ∏

Ω ©”® ?ł

Æ ”Uł ´ ± √ Ω ’s ©’®

”

∞

∫ Ω ©”® qUJ*« t½«d²« Ê≈ YO×Ð vKŽ qB² Ê«d²« ©”® ≤

Æ©∞® Ó ¨ ©∞® błË√

≤ ≥ ” ≥ ∞ ≤”

µ ≥ ” ≥ ≤ ´ ” ≤

Ω ©”® qUJ*« t½«d²«Ë ¨›µ ¨ ∞¤ vKŽ qB² Ê«d²« ©”® ≥

©≤® ?ł ”s ©”®

µ

∞

∫ » XÐU¦« WLO √ ∫błË√

± ≥ ’ ≥ ∞ ’

≤ ≥ ’ ≥ ± ’ π Uł

Ω ©’® YOŠ ’s ©’®

”

∞

∫ Ω ©”® ÊU «–≈ ¥

© ≤

≥ ® Î © ≤

± ® Ó s Îö błË√

∫WOðü« öUJ²« s Î ö błË√ µ

”s ¸≥ ≠ ”≤¸

∂

≤≠ ∫ » ”s ©≥≠”±∏ ≠ ≤

±

” ≤

≥ ≠ ”≤®

π

±

∫ √

”s ›≤ ´ ”¤

≥

±

∫ œ ”s ”≤U

≥

π

∞

∫ ?ł

”s ≤” ´ ± √

?¼ ≥

≥

∫ ?¼

±

∞ ← ?¼

» ”s ”

?¼ ≥

≥

∫ ?¼

±

∞ ← ?¼

√ ∫s Îö błË√ ∂

≤∏

W?????OFO³D« W ÒO?????? ÒÝ_«Ë W?OL²¹—UžuK« U½«d²ô« ∂≠¥(Natural Logarithmic and Exponential Functions)

∫wFO³D« wL²¹—UžuK« Ê«d²ô« ∫ÎôË√

ø”s ”

± ∫ Í√ ¨±≠ΩÊ UNO ÊuJð w²« WU(« sŽ «–UL¨±≠ ≠ Ê ¨ ?ł ´

± ´ Ê

±´Ê” Ω ”s Ê” ∫ Ê√ rKFð

qB² Ê«d²« ∞ < ” ¨ ”

± Ω ©”® Ê«d²ô« Ê√ kŠö½ ‰«R« sŽ WÐUłû

qUJ*« t½«d²« ÊS rŁ sË ªtU− s WIKG …d² W¹√ vKŽ

bMŽ Ê«d²ô« «c¼ WLOË ¨t wz«bÐ Ê«d²« u¼ ∞ < ” ¨ Ÿs Ÿ

±

”

±

∫ Ω ©”®

Æ©∂≠¥® qJA« w WKKE*« WIDM*« WŠU tK¦9 ± ≤ ” dOG²LK WLO Í√

’

Ÿ

± ”

Ÿ

± Ω ©Ÿ®

©∂≠¥® qJA«

∫wK¹ U ∞ < ” ¨ Ÿs Ÿ

±

”

±

∫ Ω ©”® Ê«d²ô« hzUBš s

dH Ω ©±® ±

©qUJ²«Ë qUH²« w WOÝUÝ_« W¹dEM«® ”

± Ω ©”® Ó ≤

∞ < ” lOL' ∞ < ©”® Ó ∴

ÆW³łu*« WOIOI(« œ«bŽ_« WŽuL− u¼Ë tU− vKŽ b¹«e² Ê«d²« ©”® Ê√ Í√

≤”

±≠ Ω ©”® Î ≥

∞ > ” lOL' ∞ > ©”® Î ∴

ÆtU− vKŽ qHÝú dFI ©”® Ê«d²ô« vM×M Ê√ Í√

UL w³¹dIð qJAÐ ©”® vM×M rÝ— sJ1 ¨hzUB)« ÁcNÐ W½UF²ÝôUÐ

d Íc« wL²¹—UžuK« Ê«d²ô« vM×M0 „dc¹ ªqJA« «c¼Ë ¨©∑≠¥® qJA« w

ÆÎUIÐUÝ pF

’

”

±

©∑≠¥® qJA«

Ê√Ë ¨WOL²¹—UžuK« U½«d²ô« WKzUF ÎöF wL²M¹ ©”® Ê«d²ô« Ê√ ÊUO³ð sJ1Ë

ÆÎU³¹dIð ≤[∑ t²LOË ÎUIÐUÝ t²dFð Íc« ©?¼® ÍdO³OM« œbF« u¼ Ê«d²ô« «cN ”UÝ_«

≤π

∫n¹dFð

Á«bË ¨W³łu*« WOIOI(« œ«bŽ_« WŽuL− tU− Ê«d²« u¼ ”?¼u Ω ©”® wFO³D« r²¹—UžuK« Ê«d²«

∞ < ” ¨ Ÿs Ÿ

±

”

±

∫ Ω ”?¼u tðbŽUË ¨WOIOI(« œ«bŽ_« WŽuL−

UN²LKFð w²« UNð«– UL²¹—UžuK« 5½«u ”?¼u Ω ©”® wL²¹—UžuK« Ê«d²ô« vKŽ o³DM𠨉U(« WFO³DÐË

∫Ê√ Í√ ¨ÎUIÐUÝ

»?¼u ´

?¼u Ω »

?¼u ±

»?¼u ≠

?¼u Ω »

?¼u ≤

?¼u Ê Ω

Ê

?¼u ≥

∫W¹dE½

”

± Ω ©”® Ó ÊS ∞ < ” ¨ ”

?¼u Ω ©”® ÊU «–≈ ±

?ł ´ ¸”¸ ?¼u Ω ”s

”

± ∫ ≤

∫ÂUŽ tłuÐË

∫ÊS ¨‚UI²ýö qÐUË ¨ ∞ < ©”®Ÿ YOŠ ª©”®Ÿ ?¼u Ω ©”® ÊU «–≈ ±

©”® Ÿ

©”® ÓŸ Ω ©”®ÓŸ ×

©”® Ÿ

± Ω ©”® Ó

?ł ´ ¸©”® ¸ ?¼u Ω ”s

©”®

©”® Ó

∫ ≤

”s ”

µ ∫ błË√ ∫©±® ‰U¦

”s ”

± ∫ µ Ω ”s

”

µ ∫

??ł ´ ¸”¸ ?¼

uµ Ω

≥∞

”s ”

±

≤ ?¼

?¼

∫ błË√ ∫©≤® ‰U¦

≤ ?¼

?¼

¸ ¸”¸ ?¼u Ω ”s

”

±

≤ ?¼

?¼

∫

≤ ?¼

?¼

¸ ”?¼u Ω

?¼ ?¼u ≠ ≤?¼

?¼u Ω

± Ω ?¼ ?¼u Ω ?¼

?¼u ≠ ?¼

?¼u≤ Ω

”s

’s błËQ ”≤ U²ł

?¼u Ω ’ X½U «–≈ ∫©≥® ‰U¦

Ó ©”≤ U²ł® × ”≤ U²ł

± Ω

”s

’s

” Uþ≤≠ Ω ” Uł ≠ × ” U²ł≤ × ”≤ U²ł

± Ω

”s

± ´ ≤”

”≤ ∫ błË√ ∫©¥® ‰U¦

©± ´ ≤”® ÂUI*« WI²A u¼ ©”≤® j³«

?ł ´ ©± ´ ≤”® ?¼u Ω ”s

± ´ ≤”

”≤ ∫ ∴

”s ” U²þ ∫ błË√ ∫©µ® ‰U¦

”s

” Uł

Ó©” Uł® ∫ Ω ”s

” Uł

” U²ł ∫ Ω ”s ” U²þ ∫

?ł ´ ¸”Uł¸ ?¼u Ω

≥±

∫wFO³D« Òw ÒÝÔ_« Ê«d²ô« ∫ÎUO½UŁ

ªdþUMð Ê«d²« u¼ ”?¼u Ω ©”® wFO³D« wL²¹—UžuK« Ê«d²ô«

¨´

Á«b????Ë ¨ tU− ©”®±≠ wJŽ Ê«d??²??« t?? ÊuJO

Ê«d²ô« vM×M* ”UJF½« u¼ ÁUM×MË ¨”

?¼ Ω ©”®±≠ tðbŽUË

Æ©∏≠¥® qJA« dE½« Æ” Ω ’ rOI²*« w wL²¹—UžuK«

’

”

±

”

?¼

u Ω ’

” Ω ’

”

?¼ Ω ’

©∏≠¥® qJA«

fÝ_« 5½«u ”?¼ Ω ’ wFO³D« wÝ_« Ê«d²ô« vKŽ o³DMð

∫UNMË ¨ÎUIÐUÝ UN²LKFð w²«

Ê≠Â?¼ Ω

Ê?¼ õ

Â?¼ ≤

Ê´Â?¼ Ω

Ê?¼ ×

Â?¼ ±

± Ω ∞ ?¼ ¥ Ê Â

?¼ Ω Ê

©Â?¼® ≥

∫W¹dE½”

?¼ Ω ”s

’s ÊS

”?¼ Ω ’ X½U «–≈ ±

?ł ´ ”

?¼ Ω ”s ”?¼ ∫ ≤

∫ÊU¼d³«”

?¼ Ω ’ ±

∫Z²M¹ ¨5dDK wFO³D« r²¹—UžuK« cšQÐ

” Ω ?¼?¼u ” Ω

”?¼

?¼u Ω ’

?¼u

∫Z²M¹ ¨” v≈ W³MUÐ WœUF*« wdÞ ‚UI²ýUÐË

± Ω ”s

’s ’

±

”?¼ Ω ’ Ω

”s

’s ∴

”

?¼ Ω ©”

?¼® ”ss

Ê√ U0 ≤

”

?¼ Ê«d²ö wz«bÐ Ê«d²« ”

?¼ ∴

?ł ´ ”

?¼ Ω ”s ”?¼ ∫ Ê√ Í√

≥≤

∫wK¹ UL WIÐU« W¹dEM« rOLFð sJL¹Ë

©”®Ó„ × ©”®„?¼ Ω ”s

’s ÊS ‚UI²ýö qÐU ©”®„ ¨ ©”®„?¼ Ω ’ X½U «–≈ ±

?ł ´ ©”®„?¼ Ω ”s ©”®Ó„ Æ ©”®„ ?¼ ∫ ≤

∫wK¹ U2 q w ”s

’s błË√ ∫©∂® ‰U¦

± ´

”?¼

”?¼

?¼u Ω ’ ?ł

≤

π Ω ” bMŽ

” Uł ?¼ Ω ’ » ”

?¼ ” Ω ’ √

”?¼ ” Ω ’ √

”?¼ ´

”?¼ ” Ω ± ×

”?¼ ´

”?¼ × ” Ω

”s

’s

≤

π Ω ”

” Uł ?¼ Ω ’ »

”U²ł × ” Uł ?¼ Ω

”s

’s

∞ Ω ∞ × ± ?¼ Ω ≤

π U²ł × ≤

π Uł?¼ Ω

”s

’s

≤

π Ω ”

¸ ∴

± ´

”?¼

”?¼

?¼u Ω ’ ?ł

Ó ©± ´

”?¼

”?¼ ® ×

© ± ´ ”

?¼

”?¼ ®

± Ω

”s

’s

≤©± ´ ”

?¼®

©”

?¼® ”

?¼ ≠ ”

?¼ × ©± ´ ”

?¼® × ”

?¼

± ´ ”

?¼ Ω

± ´

”?¼

± Ω

≤©± ´ ”

?¼®

”≤?¼ ≠

”?¼ ´

”≤?¼ × ”

?¼

± ´ ”

?¼ Ω

∫«cJ¼ Èdš√ WI¹dDÐ ‰U¦*« qŠ sJ1Ë

± ´ ”

?¼

”?¼

?¼u Ω ’

©± ´ ”

?¼® ?¼u ≠

”?¼

?¼u Ω

©± ´ ”

?¼® ?¼u ≠ ” Ω

± ´

”?¼

± Ω

± ´ ”

?¼

”

?¼ ≠ ± ´ ”

?¼ Ω

”?¼ ×

± ´ ”

?¼

± ≠ ± Ω

”s

’s

∴

≥≥

∫WOðü« öUJ²« s Îö błË√ ∫©∑® ‰U¦

”s ” U²ł ”Uł?¼ ∫ »

”s ≥”?¼ ≤” ≥ √

”s Ó ©≥”® × ≥”

?¼ ∫ Ω ”s ≥”?¼ ≤” ≥ ∫ √

?ł ´ ≥”

?¼ Ω

”s Ó ©”Uł® ”Uł?¼ ∫ Ω ”s ” U²ł

”Uł?¼ ∫ »

?ł ´ ”Uł?¼ Ω

©∂≠¥® s¹—U9

∫wK¹ U2 Ìq w ”s

’s błË√ ±

≥©” ?¼u® Ω ’ » ©”≤ ´ ≤”®

?¼u Ω ’ √

”?¼u ” ≠ ” Ω ’ œ ”≤Uł

?¼u Ω ’ ?ł

©” ?¼u®

?¼u Ω ’ Ë

”?¼u ´ ±

”?¼u ”

Ω ’ ?¼

≥” ?¼u

≤”?¼ Ω ’ Õ

± ≠ ”

?¼

± ´ ”

?¼ Ω ’ “

’´”?¼ Ω

’?¼ ´

”?¼ Í

≥©± ´ ≤”®

” √

?¼u Ω ’ ◊

©5dD« r²¹—Užu cš ∫œUý—≈® ”” Ω ’ ‰

≥©± ´ ≤”®

” √ Ω ’ „

∫WOU²« öUJ²« s Îö błË√ ≤

”s ± ´

”≤?¼

”≤?¼ ∫ » ”s ”≤U ” Uþ?¼ ∫ √

”s ” ≤?¼≤

?¼

∞

∫ œ ”s ” ?¼ √

≤

± ∫ ?ł

”s

¥ ´ ”≤ ´ ≤”

± ´ ” ∫ Ë ”s

± ´ ”

” ∫ ?¼

∫WœUF*« oI×¹ ” ≥?¼©”≤ ´ ±® Ω ’ Ê«d²ô« Ê√ 5Ð ≥

∞ Ω ’ π ´ ”s

’s ∂ ≠

≤”s

’≤s

(Methods of Integration) q????UJ²« ‚d???Þ ∑≠¥

qUJ²« w WOÝUÝ_« bŽ«uI« ÈbŠù dýU³*« oO³D²« ÊUJùUÐ ÊuJ¹ b ¨U qUJð ¡«dł≈ pM VKD¹ UbMŽ

∫q¦ ÎUIÐUÝ pF d w²«

¨ ?ł ´ ¸”¸ u Ω ”s

”

± ∫ Ë√ ¨?ł ´ ” Uþ Ω ”s ”≤

U ∫ Ë√¨±≠ ≠ Ê ¨ ?ł ´ ± ´ Ê

±´Ê” Ω ”s Ê” ∫

Æa≈ ÆÆÆË√

∫UNM Èdš√ ‚dÞ Â«b²Ý« sJL*« sL WOÝUÝ_« qUJ²« bŽ«uI dýU³*« oO³D²K lCð ô w²« ôU(« w U√

Æi¹uF²UÐ qUJ²« ±

Æ¡«eł_UÐ qUJ²« ≤

ÆWOze'« —uJUÐ qUJ²« ≥

∫‚dD« Ác¼ s >qJ `Ouð wK¹ ULOË

(Integration by Substitution) i¹uF²UÐ qUJ²« ∫ÎôË√

∫’s ¨ ”s Ê«ed« ∫bON9

©’ ¨ ”® WDIM« bMŽ ‚UI²ýö ÎöÐU ÎU½«d²« ©”® Ω ’ ÊU «–≈

vKŽ ’ WKUHðË ¨” WKUHð ÊUOL¹Ë ¨’s ”s s¹ed« ·dF½ UM½S

Æ ”s ©”®Ó Ω ’s ¨”Δ Ω ”s ∫«cJ¼ ¨VOðd²«

uN ’s ed« U√ ¨”Δ Í√ ” w dOG²K dš¬ e— u¼ ”s ed« Ê≈

WDIM« bMŽ vM×MLK ”UL*« v≈ W³MUÐ ” w dOG²K dþUM*« ’ w dOG²«

s W³¹d ÊuJð ’Δ ÊS dHB« s W³¹d ”Δ ÊuJð UbMŽË ¨©’ ”®

Æ©π≠¥® qJA« dE½« ¨’s

’

” ”

©’ ¨ ”®

”s

’Δ

’s

©”® Ω ’

©π≠¥® qJA«

ÆVOðd²« vKŽ ”s ¨’s tUIË tDРΫd ”s

’s —U³²Ž« n¹dF²« «c¼ UM `O²¹Ë

qNÝ√ …—uBÐ b¹bł dOG²0 dš¬ qUJð v≈ vDF*« qUJ²« q¹u% vKŽ ÂuI¹ i¹uF²UÐ qUJ²« »uKÝ√ Ê≈

i¹uF²« ÊS ”s ©”® Ó ?¼ Æ©©”®?¼® ∫ …—uB« vKŽ »uKD*« qUJ²« ÊU «–≈ Îö¦L ªWOK_« …—uB« s

qNÝ√ …dOš_« …—uB«Ë ª”s ©”® Ó ?¼ Ω ’s Ê_ ’s ©’® ∫ …—uB« v≈ qUJ²« ‰u×¹ ©”®??¼ Ω ’

ÆvË_« …—uB« s

≥¥

”s ©≥ ´ ”≤® ≥©”≥ ´ ≤”® ∫ błË√ ∫©±® ‰U¦

”≥ ´ ≤” Ω ’ Ê√ ÷dH½

”s ©≥ ´ ”≤® Ω ’s

?ł ´ ¥

¥’ Ω ’s ≥’ ∫ Ω qUJ²« ÊuJ¹ i¹uF²UÐË

?ł ´ ¥

¥©”≥ ´ ≤”® Ω

”s ”U²ł ”≤Uł ∫ błË√ ∫©≤® ‰U¦

”Uł Ω ’ Ê√ ÷dH½

”s ”U²ł Ω ’s

?ł ´ ≥

≥’ Ω ’s

≤’ ∫ Ω qUJ²« ÊuJ¹ i¹uF²UÐË

?ł ´ ≥

” ≥ Uł Ω

”s µ©≥ ´ ”≤® ∫ błË√ ∫©≥® ‰U¦

≥ ´ ”≤ Ω ’ Ê√ ÷dH½

≤

’s Ω ”s

UNMË ”s

≤ Ω ’s

?ł ´ ±≤

∂©≥ ´ ”≤®

Ω ?ł ´ ±≤

∂’ Ω

≤

’s

µ’ ∫ ΩqUJ²« ÊuJ¹ i¹uF²UÐ

”s ©≤ ´ ”≥®U²ł ∫ błË√ ∫©¥® ‰U¦

©≤ ´ ”≥® Ω ’ Ê√ ÷dH½

≥

’s Ω ”s UNMË ”s

≥ Ω ’s

?ł ´ ’Uł ≥

± Ω ’s

’U²ł

≥

± ∫ Ω qUJ²« ÊuJ¹ i¹uF²UÐË

?ł ´ ©≤ ´ ”≥®Uł ≥

± Ω

≥µ

≥∂

∫…bŽU

¨ ?ł ´ ©» ´ ” ®Â

Ω ”s ©» ´ ” ® ∫ ÊS ¨ ?ł ´ ©”®Â Ω ”s ©”® ∫ qUJ²« ÊU «–≈

∫WOU²« öUJ²« s Îö błË√ ∫©µ® ‰U¦

”s ∑´”µ ?¼ ∫ ?ł ”s ©± ´ ”µ®≤U ∫ » ”s µ©¥ ´ ”≥® ∫ √

?ł ´ ∂

∂” Ω ”s µ” ∫ √

?ł ´ ≥ × ∂

∂©¥ ´ ”≥® Ω ”s µ©¥ ´ ”≥® ∫ ∴

?ł ´ ±∏

∂©¥ ´ ”≥® Ω

?ł ´ ”Uþ Ω ”s ”≤U ∫ »

?ł ´ µ

©± ´ ”µ®Uþ Ω ”s ©± ´ ”µ®≤U ∴

?ł ´ ”

?¼ Ω ”s ” ?¼ ∫ ?ł

?ł ´ µ

∑´”µ ?¼ Ω ”s ∑´”µ ?¼ ∫ ∴

”s

”≤Uł ´ ± √

”U²ł ”Uł≤

≤

π

∞

∫ błË√ ∫©∂® ‰U¦

”≤Uł ´ ± Ω ’ Ê√ ÷dH½

”s ”U²ł ”Uł≤ Ω ’s

’ √

’s ∫ Ω œËb;« dOž qUJ²« ÊuJ¹ i¹uF²UÐ

’s

≤

± ≠’ ∫ Ω

?ł ´ ”≤Uł ´ ± √ ≤ Ω ?ł ´ ≤

±

’ ≤ Ω

≤ ≠ ≤ √ ≤ Ω ≤

π

∞

¸ ”≤Uł ´ ± √ ≤ Ω »uKD*« œËb;« qUJ²« ∴

≥∑

UbMF ’ b¹b'« dOG²*« l qUJ²« w —«dL²ÝôUÐ ÎUC¹√ œËb;« qUJ²« »UŠ sJ1 ∫WEŠö

≤ Ω ≤

π ≤Uł ´ ± Ω ’ ÊuJð

≤

π Ω ” UbMŽË ¨± Ω ∞ ≤Uł ´ ± Ω ’ ÊuJð ∞ Ω ”

≤ ≠ ≤ √ ≤ Ω

≤

±

¸ ≤

±

’≤ Ω œËb;« qUJ²« ∴

”s ”

©”?¼u® U²ł

?¼

±

∫ błË√ ∫©∑® ‰U¦

”?¼u Ω ’ Ê√ ÷dH½

’s ” Ω ”s

UNMË ”s

”

± Ω ’s

’s ” × ”

’U²ł

∫ Ω œËb;« dOž qUJ²« ÊuJ¹ ¨i¹uF²UÐ

’s ’ U²ł

∫ Ω

?ł ´ ©”?¼u® Uł Ω ?ł ´ ’ Uł Ω

?¼

±

¸ ”?¼u Uł Ω »uKD*« œËb;« qUJ²« ∴

±?¼u Uł ≠ ?¼

?¼u Uł Ω

± Uł Ω ∞ Uł ≠ ± Uł Ω

”s ” ≥U²ł

∫ błË√ ∫©∏® ‰U¦

”s ”≤U²ł Æ ”U²ł

∫ Ω ”s ”≥U²ł

∫

”s ©”≤Uł ≠ ±®”U²ł

∫ Ω

”s ”U²ł Ω ’s ÊuJO

” Uł Ω ’ Ê√ ÷dHÐË

’s ©≤’ ≠ ±®

∫ Ω ”s ”≥U²ł

∫ ∴

?ł ´ ≥

≥’ ≠ ’ Ω

q(« W× s oI% ?ł ´ ≥

”≥Uł ≠ ”Uł Ω

≥∏

©±≠∑≠¥® s¹—U9

∫WOU²« öUJ²« s Îö błË√ ±

”s ”≥ ≠ ≥” √ ©± ≠ ≤”®

∫ » ”s

µ©¥ ´ ≤”®”

∫ √

”s ”

± Uł ≤≠”

∫ œ ”s ”Uł ´ ± √ ”U²ł

∫ ?ł

”s

”

≤©”u®

∫ Ë ”s ©∂ ≠ ”¥ ´ ≤”® Uł ©≤ ´ ”®

∫ ?¼

”s

± ´ ” √

± ´ ” √ Uł

∏

≥

∫ Õ ”s

± ´ ”≥ ´ ≥” √

± ´ ≤”

≤

∞

∫ “

”s

µ ´ ”≤ √

µ´ ”≤ √?¼

∫ Í ”s ≤©± ´

” ?¼®

” ?¼

∫ ◊

∫WOU²« öUJ²« s Îö błË√ ≤

”s ”≤Uł

∫ » ”s ± ≠ ”≤

≥√

∫ √

”s ”U²ł ≠ ±

±

∫ œ ”s ”≥U²ł ”≤Uł

∫ ?ł

”s

±µ©± ´ ”®≤”

∫ Ë ”s ”Uþ ”≥U

≥

π

∞

∫ ?¼

©©”Uþ ´ ”U® vKŽ r«Ë »d« ∫œUý—≈® ”s ”U

∫ “

©” ´ ± Ω ’ l ∫œUý—≈® ”s ” ´ ± √

” ∫

Õ

≥π

(Integration by Parts) ¡«eł_UÐ qUJ²« ∫ÎUO½UŁ

∫ÊS ” dOG²LK W³MUÐ ‚UI²ýö 5KÐU 5½«d²« ?¼ ¨ ÊU «–≈ t½√ rKF½

”s

s × ?¼ ´

”s?¼s

× Ω ©?¼ × ® ”ss

∫ÊuJ¹ ” v≈ W³MUÐ 5dDK qUJ²« ¡«dłSÐË

”s ”s

s ?¼

∫ ´ ”s ”s

?¼s

∫ Ω ?¼ ×

s ?¼

∫ ´ ?¼s

∫ Ω

∫Ê√ Í√

s ?¼ ≠ ?¼ × Ω ?¼s

`C²¹ UL ¨ öUJ²« iFÐ »UŠ w UN«b²Ý« sJ1Ë ¨¡«eł_UÐ qUJ²« …bŽU …bŽUI« Ác¼ vLð

∫WOU²« WK¦_« s

”s”Uł ”

∫ błË√ ∫©±® ‰U¦

Ê√ ÷dH½ ”s”Uł Ω ?¼s ” Ω

”U²ł≠ Ω ”s”Uł

∫ Ω ?¼ ”s Ω s≠

s ?¼

∫ ≠ ?¼ Ω ?¼s

∫ sJ

”s”U²ł

∫ ´ ”U²ł ”≠ Ω ”s”Uł ”

∫ ∴

?ł ´ ”Uł ´ ”U²ł ”≠ Ω

∫wU²« ‰U¦*« w UL ¨…d s d¦√ ¡«eł_« WI¹dÞ oO³Dð qUJ²« ¡«dł≈ VKD²¹ Ê√ sJ1

”s ”U²ł ≤”

∫ błË√ ∫©≤® ‰U¦

”s ”U²ł Ω ?¼s ≤” Ω Ê√ ÷dH½

”Uł Ω ”s ”U²ł

∫ Ω ?¼ ”s ”≤ Ω

¥∞

”s ”Uł ”≤

∫ ≠ ”Uł ≤” Ω ”s ”U²ł ≤”

∫ ∴

”s ”Uł ”

∫ ≤ ≠ ”Uł ≤” Ω

qB×M ©±® ‰U¦ w UL ¨Èdš√ …d ¡«eł_UÐ qUJ²« Âb²½ ”s ”Uł ”

∫»U(Ë

∫WOzUNM« W−O²M« vKŽ

?ł ´ ©”Uł ´ ”U²ł ”≠® ≤ ≠ ”Uł ≤” Ω ”s ”U²ł ≤”

∫

?ł ´ ”Uł≤ ≠ ”U²ł ”≤ ´ ”Uł ≤” Ω

”s ¥ ´ ” √ ”

∫ błË√ ∫©≥® ‰U¦

”s ¥ ´ ” √ Ω ?¼s ” Ω Ê√ ÷dH½

≤

≥

©¥ ´ ”® ≥

≤ Ω ”s ≤

±

©¥ ´ ”®

∫ Ω ?¼ ”s Ω s

”s ≤

≥

©¥ ´ ”® ≥

≤

∫ ≠ ≤

≥

©¥ ´ ”®” ≥

≤ Ω ”s ¥ ´ ” √ ”

∫ ∴

?ł ´ ≤

µ

©¥ ´ ”® × ±µ

¥ ≠ ≤

≥

©¥ ´ ”® ” ≥

≤ Ω

”s” ?¼u

?¼

±

∫ błË√ ∫©¥® ‰U¦

”s Ω Ës ” ?¼u Ω Ê√ ÷dH½

” Ω Ë ”s ”

± Ω

”s ”

± × ”

∫ ≠ ” ?¼u ” Ω ”s”

?¼u

∫ ∴ ?ł ´ ” ≠ ”

?¼u ” Ω

?¼

±

¸ ” ≠ ” ?¼u ” Ω ”s”

?¼u

?¼

±

∫ ∴

± Ω ©± ≠ ± ?¼u® ≠ ©?¼ ≠ ?¼

?¼u ?¼® Ω

¥±

∫wU²« ‰U¦*« w UL ¨UF ¡«eł_«Ë i¹uF²« w²I¹dÞ oO³D²Ð ôU(« iFÐ w qUJ²« »UŠ sJ1Ë

”s ” √ Uł

∫ błË√ ∫©µ® ‰U¦

≤’ Ω ” ∴ ” √ Ω ’ Ê√ ÷dH½

’s ’≤ Ω ”s ∴

’s ’ Uł ’≤

∫ Ω ”s ” √ Uł

∫ ÊuJ¹ ¨i¹uF²UÐ

’s ’ Uł ’

∫≤ Ω

∫WOzUNM« W−O²M« vKŽ qB×M ©±® ‰U¦ w UL ¨¡«eł_« WI¹dÞ Âb²½ ’s ’ Uł ’

∫ »U(Ë

’s ’ Uł ’

∫≤ Ω ”s ” √ Uł

∫

?ł ´ ©’Uł ´ ’U²ł ’≠®≤ Ω

?ł ´ © ” √ Uł ´ ” √ U²ł ” √ ≠®≤ Ω

©≤≠∑≠¥® s¹—U9

∫wK¹ U2 Ìq w ¡«eł_UÐ qUJ²« WI¹dÞ Âb²Ý« ±

”s ”≥ U²ł©± ´ ”≤®

∫ » ”s ”≤Uł ”

∫ √

”s ”?¼ ≤”

∫ œ ”s ”?¼u ”

∫ ?ł

”s ” Uł ”

?¼

∫ Ë ”s ”?¼u ±∞”

∫ ?¼

∫WOU²« öUJ²« błË√ ≤

”s ” ≠ ± √ ”

±

∞

∫ ?ł ”s ©”?¼u® Uł

∫ » ”s ”≤U² ” U²þ ”

∫ √

”s ©”® Ó ”

≤

±

∫ WLO VŠU ∏ Ω ©≤® ¨ µ Ω ©±® ≥ Ω ”s ©”®

≤

±

∫ ÊU «–≈ ≥

Æ” WôbÐ ’ błËQ ¨”Uþ ”U ” Ω ”s

’s ∫ X½U «–≈ ¥

¥≤

Integration by Partial Fractions WOze'« —uJUÐ qUJ²« ∫ÎU¦UŁ

ÊuJ¹ YOŠ ¨a≈ÆÆƨ ± ´ ≤”

”≤ ¨

≤ ´ ”≤

≤ q¦ WO³½ U½«d²« öUJð b$ Ê√ UMFD²Ý« oÐUÝ bMÐ w

Æ ?ł ´ ¸©”® ¸ ?¼u Ω ”s

©”®

©”® Ó

∫ …bŽUI« «b²ÝUÐ p–Ë ¨ÂUI*« WI²A* ÎU¹ËU j³«

¨o³Ý U2 rŽ√ WO³½ U½«d²« öUJð œU−¹ù WOze'« —uJUÐ qUJ²« WI¹dÞ ·dF²MÝ ¨bM³« «c¼ w

vË_« Wł—b« s WOË√ q«uŽ v≈ w³M« Ê«d²ô« w ÂUI*« qOK% vKŽ WI¹dD« Ác¼ w WOÝUÝ_« …dJH« ÂuIðË

UL ¨ÁöŽ√ w —uc*« ŸuM« s d¦√ Ë√ 5O³½ 5½«d²« ŸuL− W¾O¼ w w³M« Ê«d²ô« WÐU² rŁ ¨WO½U¦« Ë√

q³I¹Ë ≥ vKŽ t²ł—œ b¹eð ô œËbŠ dO¦ tUI w³½ Ê«d²« qUJð œU−¹≈ vKŽ dB²IMÝË ªWOU²« WK¦_« s `C²¹

ÆWHK² WODš q«uŽ v≈ qOKײ«

”s ≥ ≠ ”≤ ≠ ≤”

≥ ≠ ”µ ∫ bł ∫©±® ‰U¦

©≥ ≠ ”® ©± ´ ”® Ω ≥ ≠ ”≤ ≠ ≤” ÂUI*«

≥ ≠ ”

» ´

± ´ ” Ω

≥ ≠ ”≤ ≠ ≤”

≥ ≠ ”µ lC½

©≥ ≠ ”® ©± ´ ”®

©± ´ ”® » ´ ©≥ ≠ ”® Ω

©≥ ≠ ”® ©± ´ ”®

≥ ≠ » ´ ” ©» ´ ® Ω

5D³« ÊS ÎUC¹√ ÊU¹ËU² 5UI*«Ë ÊU¹ËU² 5dD« w 5O³M« 5½«d²ô« Ê√ U0Ë

W¹ËU² ULNO WNÐUA²*« œËb(« öUF ÊuJðË 5¹ËU² ÊU½uJ¹

©±® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ µ Ω » ´ ∴

©≤® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ≥≠ Ω ≥ ≠ »

≥ Ω » ≤ Ω ∫ Ê√ Z²M¹ ÎUF 5²œUF*« q×ÐË

”s © ≥ ≠ ”

≥ ´

± ´ ”

≤ ® ∫ Ω ”s

≥ ≠ ”≤ ≠ ≤”

≥ ≠ ”µ ∫ ∴

?ł ´ ¸≥ ≠ ”¸ ?¼u ≥ ´ ¸± ´ ”¸

?¼u≤ Ω

¥≥

”s ” ≠ ≥”

± ≠ ”≥ ´ ≤”≤ ∫ błË√ ∫©≤® ‰U¦

©± ≠ ≤”®” Ω ” ≠ ≥” ÂUI*«

©± ´ ”® ©± ≠ ”®” Ω

± ´ ”

?ł ´

± ≠ ”

» ´

” Ω

” ≠ ≥”

± ≠ ”≥ ´ ≤”≤ lC½

©± ´ ”® ©± ≠ ”® ”

©” ≠ ≤”®?ł ´ ©” ´ ≤”®» ´ ©± ≠ ≤”® Ω

©± ´ ”® ©± ≠ ”® ”

≠ ” ©?ł ≠ »® ´ ≤” ©?ł ´ » ´ ® Ω

∫Z²M¹ 5D³« w WNÐUA²*« œËb(« öUF …«ËU0

©±® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ≤ Ω ?ł ´ » ´

©≤® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ≥ Ω ?ł ≠ »

©≥® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ±≠ Ω ≠

±≠ Ω ?ł ¨ ≤ Ω » ± Ω ∫Ê√ Z²M¹ ôœUFL« q×Ð

”s © ± ´ ”

± ≠

± ≠ ”

≤ ´

”

± ® ∫ Ω ”s

” ≠ ≥”

± ≠ ”≥ ´ ≤”≤ ∫ ∴

?ł ´ ¸± ´ ”¸ ?¼u ≠ ¸± ≠ ”¸

?¼u≤ ´ ¸”¸

?¼u Ω

”s ” ≠ ≤”

± ´ ≤”≤ ´ ≥”≤ ∫ błË√ ∫©≥® ‰U¦

WK¹uD« WLI« ÎôË√ Íd$ «c ªÂUI*« Wł—œ s d³√ j³« Wł—œ Ê√ ‰U¦*« «c¼ w kŠö¹

ÆÂUI*« Wł—œ s dG√ UNO j³« Wł—œ WO³½ U½«d²« vKŽ ‰uB×K

∫ÊuJ¹ ÎU³½Uł 5³ u¼ UL

”≤

” ≠ ≤” ± ´ ≤”≤ ≠ ≥”≤

≤”≤ ≠ ≥”≤

±

´ ≠

” ≠ ≤”

± ´ ”≤ Ω

” ≠ ≤”

± ´ ≤”≤ ´ ≥”≤

”s © ” ≠ ≤”

± ´ ”≤® ∫ Ω ”s

” ≠ ≤”

± ´ ≤”≤ ´ ≥”≤ ∫ ∴

¥¥

”s ” ≠ ≤”

± ∫ ´

≤” Ω

∫Ê√ ÷dH½ ”s ” ≠ ≤”

± ∫ qUJ²« ¡«dłùË

± ≠ ”

» ´

” Ω

©± ≠ ”®”

± Ω

” ≠ ≤”

±

©± ≠ ”® ”

©”®» ´ ©± ≠ ”® Ω

©± ≠ ”® ”

≠ ” ©» ´ ® Ω

∞ Ω » ´ ⇐

± Ω » ±≠ Ω Ê√ Í√ ± Ω ≠

”s © ± ≠ ”

± ´

”

±≠ ® ∫ Ω ”s

” ≠ ≤”

± ∫ ∴

¸± ≠ ”¸ ?¼u ´ ¸”¸

?¼u≠ Ω

?ł ´ ¸± ≠ ”¸ ?¼u ´ ¸”¸

?¼u ≠ ≤” Ω ”s

” ≠ ≤”

± ´ ≤”≤ ´ ≥”≤ ∫ ∴

©≥≠∑≠¥® s¹—U9

∫WOze'« —uJ« WI¹dÞ Â«b²ÝUÐ WOðü« öUJ²« bł ±

”s ≤ ´ ”≥ ´ ≤”

≥ ´ ” ∫ » ”s

≤” ≠ ±

± ∫ √

”s ”µ ≠ ≤”¥ ≠ ≥”

±µ ≠ ”µ ≠ ≤”¥ ∫ œ ”s

” ´ ≤”

± ´ ≤” ∫ ?ł

”s ”¥ ≠ ≥”

∏ ´ ≤”≤ ´ ≤” ∫ ?¼

Æ© ≥

±

” Ω ’ l∫œUý—≈® ”s

± ≠ ≥

±

”

± ´ ≥

±

” ∫ błË√ ≤

¥µ

œËb;« qUJ²« UIO³Dð ∏≠¥

5OÝbM¼ 5IO³Dð WAUM0 UM¼ wH²JMÝË ªU¼dOžË W¹œUB²«Ë WOzU¹eOË WOÝbM¼ …œbF² UIO³Dð œËb;« qUJ²K

ÆWO½«—Ëb« ÂUł_« Âu−ŠË W¹u²*« oÞUM*« UŠU ∫UL¼

∫W¹u²L« oÞUML« UŠU ∫ÎôË√

t³ýË ¨YK¦*«Ë ¨qOD²*« ∫q¦ ¨WFKC*« W¹u²*« oÞUM*« UŠU »UŠ WOHO WIÐUÝ «uMÝ w XdFð

c²ð ô W¹u² oÞUM UŠU »UŠ w bOHð Èdš√ WI¹dDÐ œËb;« qUJ²« U½œËe¹Ë ªa≈ÆÆƨ·d×M*«

ÊU1— ŸuL− .bIð bMŽ ÎUIÐUÝ U½błË bI¨ÎUFKC ÎöJý …—ËdCUÐ

¨›» ¨ ¤ vKŽ qUJ²K ÎöÐU ÎU½«d²« ©”® ÊU «–≈ t½√ © ¨ Êσ®Â

ÊU1— ŸuL− ÊS ¨…d²H« Ác¼ w UMO« —u× ‚u ÁUM×M lI¹Ë

—u×Ë ©”® vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU V¹dI²UÐ q¦1

Æ©±∞≠¥® qJA« k?Šô Æ» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë UMO«

”

’

»

©”® Ω ’

©±∞≠¥® qJA«

∫ÊS ∞ ← Ê UbMŽË

ÆWIDM*« pKð WŠU Ω ”s ©”®

»

∫ Ω © ¨ Êσ®Â

∞ ← Ê

∫W¹dE½

WIDM*« WŠU ÊS UMO« —u× ‚u ÁUM×M lI¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ qUJ²K ÎöÐU ÎU½«d²« ©”® ÊU «–≈

∫…bŽUIUÐ vDFð » Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë UMO« —u×Ë ©”® vM×M 5Ð …—uB;«

”s ©”®

»

∫ Ω WŠU*«

≤” Ω ©”® Ê«d²ô« vM×M0 …œËb;« WIDM*« WŠU bł ∫©±® ‰U¦

≥ Ω ” ¨ ± Ω ” 5LOI²*«Ë UMO« —u×Ë

©±±≠¥® qJA« kŠôÆ›≥¨ ±¤ ∋ ” lOL' ∞ ≤ ≤” Ω ©”®

≥

±

¸ ≥

≥” Ω ”s ≤”

≥

±

∫ Ω WŠU*« ∴

WFÐd «bŠË ≥

≤∂ Ω

’

”

≥

∞

≤ ” Ω

©”

®

±

©±±≠¥® qJA«

¥∂

©”® Ê«d²ô« ÊU «–≈ t½S ¨WIÐU« W¹dEM« vKŽ œUL²ŽôUÐ

lI¹ Ê«d²ô« vM×M ÊUË ¨›» ¨ ¤ …d²H« vKŽ qUJ²K ÎöÐU

ª©±≤≠¥® qJA« kŠô ¨…d²H« Ác¼ w UMO« —u× X% tKUJÐ

UMO« —u×Ë ©”® vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU ÊS

∫wðQ¹ UL UNÐUŠ sJ1 ¨ » Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë

”

’

»

©”® ≠ Ω ’

©”® Ω ’

©±≤≠¥® qJA«

©”® ≠vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU Ω WŠU*«

» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë UMO« —u×Ë

¸ ”s ©”®

»

∫ ¸ Ω ”s ©”®

»

∫≠ Ω ”s ©”® ≠

»

∫ Ω WŠU*« ∴

”Uł Ω ©”® Ê«d²ô« vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU bł ∫©≤® ‰U¦

Æ›π≤¨ π¤ …d²H« w UMO« —u×Ë

Æ©±≥≠¥® qJA« kŠôÆ›π≤¨ π¤ ∋ ” lOL' ∞ ≥ ”Uł Ω ©”®

”s ”Uł

π≤

π

∫ ≠ Ω WŠU*« ∴

π≤

π

¸ ”U²ł Ω

WFÐd …bŠË ≤ Ω

’

”

π

”Uł Ω ’

π≤

©±≥≠¥® qJA«

∫ÂUŽ tłuÐ

©”® Ê«d²ô« vM×M 5Ð …—uB;« WŠU*« ÊS ¨›» ¨ ¤ vKŽ qUJ²K ÎöÐU ©”® Ê«d²ô« ÊU «–≈

∫WOU²« «uD)UÐ UNÐUŠ sJ1 ¨» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë UMO« —u×Ë

Æ›» ¨ ¤ …d²H« w Ê«d²ô« —UH√ b$ ±

Æ©±® r— …uD)« w błË w²« —UH_UÐ WOzeł «d² v≈ ›» ¨ ¤ …d²H« ∆e$ ≤

Æ©≤® r— …uD)« w WOzeł …d² q vKŽ ©”® Ê«d²ö œËb;« qUJ²« b$ ≥

ÆWÐuKD*« WŠU*« u¼ "UM« ÊuJO WIÐU« …œËb;« öUJ²K WIKD*« rOI« lL$ ¥

¥∑

UMO« —u×Ë ≤ ≠ ” Ω ©”® Ê«d²ô« vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU błË√ ∫©≥® ‰U¦

Æ≥ Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI²*«Ë

∞ Ω ©”® UbMŽ UMO« —u× lDI¹ ©”® vM×M

≤ Ω ” Í√ ∞ Ω ≤ ≠ ” UbMŽ Í√

›≥ ¨ ∞¤ …d²HK wL²Mð ≤ Ω ” Ê≈ YOŠË

Æ›≥ ¨ ≤¤ ¨›≤ ¨ ∞¤ ÊU²Ozeł ÊUðd² UNMŽ QAM¹ t½S

Æ©±¥≠ ¥® qJA« kŠô

’

”

≥

≤≠

≤

≤≠” Ω’

≤Â

±Â

©±¥≠¥® qJA«

≤ WIDM*« WŠU ´ ±

 WIDM*« WŠU Ω WÐuKD*« WŠU*« ∴

¸ ”s ©≤ ≠ ”®

≥

≤

∫ ¸ ´ ¸ ”s ©≤ ≠ ”®

≤

∞

∫ ¸ Ω

¸ ≥

≤

¸ ©”≤ ≠ ≤

≤” ® ¸ ´ ¸

≤

∞

¸ ©”≤ ≠ ≤

≤” ® ¸ Ω

WFÐd …bŠË ≤[µ Ω ¸ ≤

± ¸ ´ ¸ ≤≠ ¸ Ω

ÆW¹u²*« WÝbMN« bŽ«u «b²ÝUÐ WÐUłù« W× s oI%

Ê«d²ô« vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU błË√ ∫©¥® ‰U¦

Æ UMO« —u×Ë ” ≠ ≥” Ω ©”®

∞ Ω ©”® UbMŽ UMO« —u× lDI¹ vM×M*«

∞ Ω ” ≠ ≥” UbMŽ

±≠ ¨ ± ¨ ∞ Ω ” UNMË ∞ Ω ©± ≠ ≤”® ” ∴

Æ©±µ≠¥® qJA« kŠô

±

’

”

±≠

©±µ≠¥® qJA«

¸ ”s ©” ≠ ≥”®

±

∞

∫ ¸ ´ ¸ ”s ©” ≠ ≥”®

∞

±≠

∫ ¸ Ω WÐuKD*« WŠU*« ∴

¸ ±

∞

¸ © ≤

≤” ≠

¥

¥” ® ¸ ´ ¸

∞

±≠

¸ © ≤

≤” ≠

¥

¥” ® ¸ Ω

WFÐd …bŠË ≤

± Ω

¥

± ´

¥

± Ω ¸

¥

± ≠ ¸ ´ ¸

¥

± ¸ Ω

¥∏

∫sOOM×M sOÐ WŠUL«

YOŠ › » ¨ ¤ vKŽ qUJ²K 5KÐUI« ©”®?¼ ¨ ©”® 5½«d²ô« wOM×M —ËU−*« ©±∂≠¥® qJA« 5³¹

Æ›» ¨ ¤ ∋” lOL' ∞ ≤ ©”®?¼ ≤ ©”® 5LOI²*«Ë 5OM×M*« 5Ð WIDM*« WŠU ÊuJð WU(« Ác¼ w

¨©±∂≠¥® qJA« w WKKE*« WIDM*« w¼Ë ¨» Ω ” ¨ Ω ”

UNM ÎUŠËdD UMO« —u×Ë ©”® vM×M 5Ð WŠU*« ∫ÍËUð

UMO« —u×Ë ©”®?¼ vM×M 5Ð WŠU*«

”s ©”®?¼

»

∫ ≠ ”s ©”®

»

∫ Ω

”s ©©”®?¼ ≠ ©”® ®

»

∫ Ω

”

’

»

©”® Ω ’

©”®?¼ Ω ’

©±∂≠¥® qJA«

∫ 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU błË√ ∫©µ® ‰U¦

≤ Ω ” ¨ ±≠ Ω ”∫5LOI²*«Ë ≤ Ω ©”®?¼ ¨≥ ´ ≤” Ω ©”® ≤ Ω ©”®?¼ ≤ ≥ ´ ≤” Ω ©”®

›≤¨ ±≠¤ ∋ ” rO lOL'

Æ©±∑≠¥® qJA« kŠô

’

”

≤±≠

∑

≥

≥ ´ ≤” Ω ©”®

≤ Ω ©”® ?¼

©±∑≠¥® qJA«

”s ©©”®?¼ ≠ ©”® ®

≤

±≠

∫ Ω WŠU*« ∴

”s ©≤ ≠ ≥ ´ ≤”®

≤

±≠

∫ Ω

ÆWFÐd «bŠË ∂ Ω © ≥

¥≠ ® ≠

≥

±¥ Ω

≤

±≠

¸ ©” ´ ≥

≥” ® Ω

∫ÂUŽ tłuÐ

∫W¹dE½

rO lOL' ©”®?¼ ≤ ©”® ÊUË ¨›» ¨ ¤ vKŽ qUJ²K 5KÐU 5½«d²« ©”®?¼ ¨©”® ÊU «–≈

ÍËUð » Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU ÊS ¨›» ¨ ¤ ∋ ”

Æ”s ©©”®?¼ ≠ ©”® ®

»

∫

¥π

Æ≤ ´ ” Ω ©”®?¼ ¨ ¥ ≠ ≤” Ω©”® ∫5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU błË√ ∫©∂® ‰U¦

©”®?¼ Ω ©”® UbMŽ ÊUOM×M*« lÞUI²¹

≤ ´ ” Ω ¥ ≠ ≤” UbMŽ

∞ Ω ∂ ≠ ” ≠ ≤”

≥ ¨ ≤≠ Ω ” UbMŽ ∞ Ω ©≤ ´ ”® ©≥ ≠ ”® ∴

©±∏≠¥® qJA« s kŠö½

’

”

≥

≤ ´ ” Ω ©”® ?¼

¥≠

µ

¥ ≠ ≤” Ω ©”®

©±∏≠¥® qJA«

›≥¨ ≤≠¤ ∋ ” lOL' ©”® ≤ ©”®?¼ Ê√

”s ©©¥ ≠ ≤”® ≠ ©≤ ´ ”®®

≥

≤≠

∫ Ω 5OM×M*« 5Ð WŠU*« ∴

≥

≤≠

¸ © ≥

≥” ≠ ”∂ ´

≤

≤” ® Ω

ÆWFÐd …bŠË ∂

±≤µ Ω © ≥

∏ ´ ±≤ ≠ ≤ ® ≠ ©π ≠ ±∏ ´

≤

π ® Ω

∫ÂUŽ tłuÐ

wOM×M 5Ð …—uB;« WŠU*« ÊS ›» ¨ ¤ vKŽ qUJ²K 5KÐU ©”®?¼¨ ©”® ÊU½«d²ô« ÊU «–≈

∫WOðü« «uD)UÐ UNÐUŠ sJ1 ¨» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë 5½«d²ô«

Æ›» ¨ ¤ …d²H« sL 5OM×M*« lÞUIð ◊UI½ 5F½ ±

ÆWIÐU« lÞUI²« ◊UIMÐ WOzeł «d² v≈ ›» ¨ ¤ …d²H« ∆e$ ≤

ÆWOzeł …d² q vKŽ ?¼ ¨ 5½«d²ô« ‚dH œËb;« qUJ²« b$ ≥

ÆWÐuKD*« WŠU*« u¼ "UM« ÊuJO WIÐU« …œËb;« öUJ²K WIKD*« rOI« lL$ ¥

” Ω ©”®?¼ ¨≥” ¥

± Ω ©”® 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU błË√ ∫©∑® ‰U¦

©”®?¼ Ω ©”® UbMŽ ÊUOM×M*« lÞUI²¹

” Ω ≥” ¥

± UbMŽ Í√

∞ Ω ”¥ ≠ ≥”

≤≠ ¨ ≤ ¨ ∞ Ω ” UNMË ∞ Ω ©¥ ≠ ≤”®” ∴

Æ©±π≠¥® qJA« ?EŠô

’

≤

≤ ” Ω ©”® ?¼

≥” ¥

± Ω ©”®

≤≠

≤≠

”≤Â

±Â

©±π≠¥® qJA«

µ∞

©≤® WIDM*« WŠU ´ ©±

® WIDM*« WŠU Ω WÐuKD*« WŠU*«

¸ ”s ©” ≠ ≥” ¥

± ®

≤

∞

∫ ¸ ´ ¸ ”s ©” ≠ ≥” ¥

± ®

∞

≤≠

∫ ¸ Ω

¸ ≤

∞

¸ ≤

≤” ≠

±∂

¥” ¸ ´ ¸

∞

≤≠

¸ ≤

≤” ≠

±∂

¥” ¸ Ω

WFÐd …bŠË ≤ Ω ¸ ±≠ ¸ ´ ¸ ± ¸ Ω

Æ UMO« —u×Ë ¨¥≠”≤Ω©”®?¼ ¨≤” ¥

± Ω©”® 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU błË√ ∫©∏® ‰U¦

UbMŽ ©”®?¼ ¨©”® ÊUOM×M*« lÞUI²¹

¥ ≠ ”≤ Ω ≤” ¥

± UbMŽ Í√ ©”®?¼ Ω ©”®

∞ Ω ≤©¥ ≠ ”® ∴ ∞ Ω ±∂ ´ ”∏ ≠ ≤”

¥ Ω ” UNMË

…bŠ«Ë WDI½ w vM×M*« lDI¹ rOI²*« Ê√ Í√

©≤∞≠¥® qJA« w ¨WKKE*« WIDM*« w¼ WÐuKD*« WIDM*«

’

”

¥

¥≠

¥

±Â

≤Â

¥ ≠ ”≤ Ω ©”® ?¼

≤” ¥

± Ω ©”®

©≤∞≠¥® qJA«Æ≤

 ¨ ±Â ULNO²ŠU 5²IDM v≈ UN²ze& sJ1Ë

≤ WŠU ´ ±

 WŠU Ω WÐuKD*« WŠU*«

¸”s ©©¥ ≠ ”≤® ≠ ≤” ¥

± ®

¥

≤

∫¸ ´ ¸”s ≤” ¥

±

≤

∞

∫¸ Ω

¸ ¥

≤

¸ ©”¥ ´ ≤” ≠ ±≤

≥” ® ¸ ´ ¸

≤

∞

¸ ±≤

≥” ¸ Ω

¸ ›©∏ ´ ¥ ≠ ≥

∏ ® ≠ ©±∂ ´ ±∂ ≠

±≤

∂¥ ®¤ ¸ ´

±≤

∏ Ω

WFÐd …bŠË ≤ Ω ¸ ›©¥ ´ ≥

∏ ® ≠ © ≥

±∂ ®¤ ¸ ´

≥

≤ Ω

∫«cJ¼ Èdš√ WI¹dDÐ WÐuKD*« WŠU*« »UŠ sJ1 t½√ kŠô

©ø«–U*® WFÐd …bŠË ≤ Ω ”s ©¥ ≠ ”≤®

¥

≤

∫ ≠ ”s ≤” ¥

±

¥

∞

∫ Ω WÐuKD*« WŠU*«

µ±

©±≠∏≠¥® s¹—U9

∫wK¹ U2 WUŠ q w 5MOF*« 5LOI²*«Ë ¨ UMO« —u×Ë ¨©”® Ê«d²ô« vM×M0 …œËb;« WIDM*« WŠU błË√ ±

≤ Ω ” ¨ ∞ Ω ” ¥ ´ ”≤ Ω ©”® √

≥ Ω ” ¨ ±≠ Ω ” ≥ ≠ ”≤ ≠ ≤” Ω ©”® »

∏ Ω ” ±≠ Ω ” ” ≥√ Ω ©”® ?ł

± Ω ” ≤

± Ω ”

”≤?¼ Ω ©”® œ

Æ∏ Ω ” rOI²*«Ë ¨ UMO« —u×Ë ¥ ≠ ” √ Ω ©”® Ê«d²ô« vM×M0 …œËb;« WIDM*« WŠU błË√ ≤

≤” ≠ ”¥ Ω ’ ¨ ≤” Ω ’ 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU błË√ ≥

¨ UMO« —u×Ë ¨ ” √ Ω ’ vM×M*UÐ …œËb;«Ë ‰Ë_« lÐd« w WF«u« WIDM*« WŠU błË√ ¥

Æ≤ ≠ ” Ω ’ rOI²*«Ë

∫WOU²« oÞUM*« s ÒÌq WŠU błËQ ¨” ≠ ≤ Ω ©”®?¼ ¨ ≤” ≠ ”≤ Ω ©”® ÊU «–≈ µ

Æ?¼ vM×MË ¨ vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« √

Æ UMO« —u×Ë ?¼ vM×MË vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« »

Æ «œUB« —u×Ë ?¼ vM×MË vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« ?ł

¨ ± ≠ ” Ω ©”®?¼ Ê«d²ô« vM×MË ¨ ± ´ ”

∏ Ω ©”® Ê«d²ô« vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU błË√ ∂

Ƶ Ω ” rOI²*«Ë UMO« —u×Ë

∫wK¹ ULO WKKE*« oÞUM*« s ÒÌq WŠU błË√ ∑

’

”

±

±

± Ω ’ √ ´ ” √

’

”

± Ω ’

≤

π

”≤U²ł Ω ’

±

”

π

”Uł Ω ’

”U²ł Ω ’

’

Æ©≤≠ ¨ ±≠® ?ł ¨©≥ ¨ ±® » ¨©± ¨ µ® tÝ˃— Íc« YK¦*« WŠU »U( qUJ²« Âb²Ý« ∏

rOI²*«Ë ¨≤” Ω ’ vM×M*« 5Ð …—uB;«WIDM*« WŠU rI¹ ?ł Ω ’ rOI²*« qF& w²« ?ł WLO bł π

Æ5¹ËU² 5L v≈ ¥ Ω ’

…bŠË ±≤ ÍËUð ∞ < ¨

≤” Ω ’ ¨ ” √ Ω ’ 5OM×M*UÐ …œËb??;« WIDM*« WŠU X½U «–≈ ±∞

ø WLO UL ¨WFÐd

µ≤

∫WO½«—Ëb« ÂUł_« Âu−Š ∫ÎUO½UŁ

«c¼ ‰uŠ WKU …—Ëœ U¼«u² w XÐUŁ rOI² s …bŠ«Ë WNł w UNKUJÐ WF«Ë W¹u² WIDM —«œ «–≈

WK¦_« kŠô ÆÊ«—Ëb« —u× XÐU¦« rOI²*« vL¹Ë ¨ÎUO½«—Ëœ ÎULł vL¹ Ÿ«dH« w ÎULł buð UN½S ¨rOI²*«

Æ©≤± ≠ ¥® qJý w WOU²« WO×Ou²«

Ê«—Ëb« —u×

œ

?ł »?ł »»

WLzU W¹dz«œ W½«uDÝ√rzU Ídz«œ ◊Ëd…d

©≤±≠¥® ∫qJA«

iFÐ Âu−Š »UŠ WOHO WIÐU« p²Ý«—œ w XdFð bË

w bOHð Èdš√ WI¹dDÐ œËb;« qUJ²« U½œËe¹Ë ¨ UL−*« Ác¼

ÆÂUŽ tłuÐ WO½«—Ëb« ÂUł_« Âu−Š »UŠ

qUJ²K qÐUI« ©”® Ê«d²ô« vM×M ©≤≤≠¥®qJA« q¦1

«–S Æ…d²H« Ác¼ vKŽ UMO« —u× ‚u l«u«Ë ›» ¨ ¤ vKŽ

¨ UMO« —u×Ë ¨©”® vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« d¹Ëbð -

¨ UMO« —u× ‰uŠ WKU …—Ëœ ¨» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë

ø"UM« w½«—Ëb« r'« r−Š u¼ UL

”

’

»

©”® Ω ’

— ”

± ≠ — ”

— *”

©≤≤≠¥® qJA«

ÆÊ σ sŽ W&UM« WOz«d« WOze'« …d²H« w¼ ›—

”¨±≠— ”¤ sJ²Ë ¨›» ¨ ¤ …d²HK WLE²M WO½u½ Wze&

Ê σ sJ²

Z²Mð ¨ UMO« —u× ‰uŠ WKU …—Ëœ ›— ”¨

±≠— ”¤ vKŽ WUI*« ©WOÝ√d« W×¹dA«® WKOD²*« WIDM*« d¹Ëbð bMŽ

sŽ "UM« w½«—Ëb« r'« r−Š Ê–≈ ÊuJ¹Ë ¨©±≠— ” ≠—

”® × © — *”®≤ π Ω UNL−Š WLzU W¹dz«œ W½«uDÝ√

r−Š ÊS ∞←Ê UbMŽË ¨©±≠— ” ≠—

”® × © — *”®≤ πÊ

∑±Ω —

V¹dI²UÐ ÎU¹ËU vM×M*UÐ …œËb;« WIDM*« d¹Ëbð

”s ©”®≤ π

»

∫ Ωw½«—Ëb« r'«

∫W¹dE½

ÊS ¨›» ¨ ¤ ∋ ” rO lOL' ∞ ≤ ©”® ¨›»¨ ¤vKŽ qUJ²K ÎöÐU ÎU½«d²« ©”® ÊU «–≈

5LOI²*«Ë ¨ UMO« —u×Ë ¨©”® vM×M0 …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM« w½«—Ëb« r'« r−Š

”s ©”®≤

»

∫ π Ω ∫u¼ ¨ UMO« —u× ‰uŠ WKU …—Ëœ ¨» Ω ” ¨ Ω ”

µ≥

Ê«d²ô« vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM« r'« r−Š błË√ ∫©π® ‰U¦

Æ¥ Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨ UMO« —u×Ë ¨ ” √ Ω ©”®

©≤≥≠¥® qJA« kŠô¨ ›¥¨ ∞¤ ∋ ” lOL' ∞ ≤ ©”®

”s ©”®≤

¥

∞

∫ π Ω © ® w½«—Ëb« r−(«

”s ≤

© ” √®

¥

∞

∫ π Ω

”s ”

¥

∞

∫ π Ω

W³FJ …bŠË π ∏ Ω

¥

∞

¸ ≤

≤” × π Ω

”

’ ” √ Ω ©”®

¥

©≤≥≠¥® qJA«

¨”≤Uł Ω ©”® Ê«d²ô« vM×M0 …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM« r'« r−Š błË√ ∫©±∞® ‰U¦

Æ UMO« —u× ‰uŠ WKU …—Ëœ ¨≤

π Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨ UMO« —u×Ë

›≤

π ¨ ∞¤ ∋ ” lOL' ∞ ≤ ”≤Uł Ω ©”®

©≤¥≠¥® qJA« kŠô

”

’

”≤Uł Ω ©”®

≤

π

©≤¥≠¥® qJA«

”s ©”®≤ ≤

π

∞

∫ π Ω © ® w½«—Ëb« r'« r−Š

”s ”≤≤Uł

≤

π

∞

∫ π Ω

”s ©”¥U²ł ≤

± ≠

≤

± ®

≤

π

∞

∫ π Ω

W³FJ …bŠË ¥

≤π Ω

≤

π

∞

¸ ©”¥ Uł ∏

± ≠ ”

≤

± ® π Ω

Æ≥o½ π ≥

¥ u¼ o½ U¼dD nB½ w²« …dJ√ r−Š Ê√ U³Łù œËb;« qUJ²« Âb²Ý« ∫©±±® ‰U¦

ÆU¼dD ‰uŠ WKU …—Ëœ W¹dz«œ nB½ WIDM Ê«—Ëœ sŽ …dJ« Z²Mð

o½ U¼dD nB½Ë wÝUO lË w …dz«œ nB½ ©≤µ≠¥® qJA« q¦1

≤o½ Ω ≤’ ´ ≤” ∫…dz«b« WœUF

µ¥

≤” ≠ ≤o½ √ Ω ’ ∴

”

’

≤” ≠ ≤o½ √ Ω ’

o½o½ ≠

©≤µ≠¥® qJA«

w½«—Ëb« r'« r−Š Ω …dJ« r−Š

”s ©”®≤

o½

o½≠

∫ π Ω

”s ©≤” ≠ ≤o½®

o½

o½≠

∫ π Ω

ÆW³FJ …bŠË ≥o½ π ≥

¥ Ω ©

o½

o½≠

¸ ©≥

≥” ≠ ” ≤o½®® π Ω

∫sO½«d²« wOM×M sOÐ …—uB× WIDM Ê«—Ëœ sŽ ZðUM« w½«—Ëb« r−« r−Š

∫W¹dE½

›» ¨ ¤ ∋ ” lOL' ∞ ≤ ©”®?¼ ≤ ©”® YO×Ð ›» ¨ ¤ vKŽ qUJ²K 5KÐU 5½«d²« ?¼ ¨ ÊU «–≈

…—Ëœ ¨» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM« r'« r−Š ÊS

”s ©©”®≤?¼ ≠ ©”®≤ ®

»

∫ π ÍËU¹ ¨ UMO« —u× ‰uŠ WKU

WKU …—Ëœ ¨≤” Ω ©”®?¼ ¨≤” ≠ ”≤ Ω ©”® 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« —«œ «–≈ ∫©±≤® ‰U¦

ø"UM« w½«—Ëb« r'« r−Š UL ¨ UMO« —u× ‰uŠ

∫5OM×M*« lÞUIð jI½ b$

≤” Ω ≤” ≠ ”≤ UbMŽ ©”®?¼ Ω ©”®

±¨ ∞ Ω ” UNMË ∞ Ω ”≤ ≠ ≤”≤

©≤∂≠¥® qJA« kŠô

”s ©©”®≤?¼ ≠ ©”®≤ ®

±

∞

∫ π Ω © ® w½«—Ëb« r−(«

”s ©¥” ≠ ≤©≤” ≠ ”≤®®

±

∞

∫ π Ω

”s ©≥”¥ ≠ ≤”¥®

±

∞

∫ π Ω

©

±

∞

¸ ¥” ≠ ≥

≥”¥ ® × π Ω

W³FJ …bŠË ≥

π Ω

”

’

≤” Ω ©”®??¼

≤”≠”≤ Ω ©”®

± ≤

©≤∂≠¥® qJA«

µµ

©≤≠∏≠¥® s¹—U9

5LOI²*«Ë UMO« —u×Ë ¨”≤ Ω ’ rOI²*UÐ …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ bu²*« r'« r−Š błË√ ±

Æ UMO« —u× ‰uŠ WKU …—Ëœ ¨≥ Ω ” ¨ ∞ Ω ”

UMO« Í—u×Ë ¨¥ Ω ’ ¨∂ Ω ” 5LOI²*UÐ …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM« r'« r−Š błË√ ≤

Æ UMO« —u× ‰uŠ WKU …—Ëœ ¨ «œUB«Ë

Í—u×Ë ¨”≤U²ł Ω ©”® Ê«d²ô« vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM« r'« r−Š błË√ ≥

ø UMO« —u× ‰uŠ WKU …—Ëœ ¨›¥

π ¨ ∞ ¤ …d²H« w «œUB«Ë UMO«

—u× ‰uŠ WKU …—Ëœ ¨≤”¥ Ω ’ TUJ*« lDI«Ë ¨”¥ Ω ’ rOI²*« 5Ð …—uB;« WIDM*« —«œ «–≈ ¥

ø"UM« r'« r−Š UL ¨ UMO«

vM×MË ¨± Ω ’ rOI²*«Ë ¨ «œUB« —u× 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM« r'« r−Š bł µ

Æ UMO« —u× ‰uŠ WKU …—Ëœ ¨”Uþ Ω ’ Ê«d²ô«

¨ ≤ Ω ≤’ ´ ≤” ¨ ¸”¸ Ω ’ 5OM×M*« 5Ð …—uB;«Ë w½U¦«Ë ‰Ë_« 5FÐd« w WF«u« WIDM*« —«œ «–≈ ∂

ø"UM« r'« r−Š u¼ UL ¨ UMO« —u× ‰uŠ WKU …—Ëœ

…—Ëœ ©≤ ≤® ?ł ©± ±® » ¨©≤ ∞® YOŠ ?ł » √ WO¦K¦*« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM« r'« r−Š błË√ ∑

Æ UMO« —u× ‰uŠ WKU

¨

≤” Ω ©”®?¼ ¨ ” √ Ω ©”® wOM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM« r'« r−Š ÊU «–≈ ∏

ø XÐU¦« WLO UL ¨W³FJ …bŠË π µ

±≤ ÍËU¹ ¨ UMO« —u× ‰uŠ WKU …—Ëœ ¨∞ ≠

Æq_« WDI½ w 5²ÝUL² 5ðdz«œ wHB½ —ËU−*« qJA« q¦1 π

UHB½ —«œ «–≈ WKKE*« WIDM*« Ê«—Ëœ s??Ž "U??M??« r'« r−Š VŠU

Æ UMO« —u× ‰uŠ WKU …—Ëœ 5ðdz«b«”

’

¥≤

hUM« lDIUÐ …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM« r'« r−Š Ê√ 5Ð ±∞

—u× ‰uŠ WKU …—Ëœ UMO« —u× ‚u WF«u« ±Ω ≤»

≤’ ´

≤

≤”

Æ≤» π ≥

¥ ÍËU¹ UMO«

µ∂

WUŽ s¹—U9 ∫wK¹ U2 >q w W×O×B« WÐUłù« e— ‰uŠ …dz«œ l ±

ÊS ¨›µ¨≤≠¤ …d²HK Ê σ Wze−²« sŽ W&UM« WOz«d« WOze'« …d²H« w¼ ›— ”¨±≠—

”¤ X½U «–≈ ±

∫ÍËU¹ ©±≠— ” ≠ —

”®Ê

∑±Ω —

≥≠ œ ∑ ?ł ≥ » ∑≠ √

¨ ±≠— ” Ω — *” ¨›± ¨≤≠¤ …d²HK WLE²M WO½u½ Wze&

Êσ X½U «–≈ Æ›± ¨ ≤≠¤ ∋ ” ¨≤” Ω ©”® sJO ≤

∫ÍËU¹ © ¨ ≥ σ®  ÊS

¥ œ ≥ ?ł µ » ± √

¨WLE²M WOŽUЗ Wze& ¥ σ X½UË

¥ > ” ≥ ∞ ≥

∏ ≥ ” ≥ ¥ ± ≠ ”

Ω ©”® ÊU «–≈ ≥

— ” Ω — *” Ϋc² © ¨

¥ σ ® Â błËQ

≥∂ œ ±∏ ?ł ≥≤ » ≤∏ √

¨›≥ ¨ ±¤ …d²HK WLE²M WO½u½ Wze& Ê σ X½UË ← ›≥ ¨ ±¤∫ ÊU «–≈ ¥

∫ÍËU¹ ”s ©”®

≥

±

∫ ÊS ¨ Ê≤

Ê∑ ≠ µ ≠ ≤≠ Ω © ¨ Ê σ®  ÊUË

µ[µ≠ œ ±[µ ?ł ¥[µ≠ » ≤≠ √

∫ÍËU¹ ”s ¸”¸

≤

≤≠

∫ µ

≤ œ ± ?ł ¥ » dH √

∫ÍËUð ”s ©± ´ ©”® ≤®

≥

±

∫ —«bILK WLO d³√ ÊS ¨›≥ ¨ ±¤ ∋ ” lOL' µ ≥ ©”® ÊU «–≈ ∂

±≥ œ ≤≤ ?ł ±± » ±∞ √

”s

± ´ ≤”

µ ≠ ”≤

≤

±

∫ qUJ²« ∑

Áb¹b% sJ1 ô œ dH ?ł VUÝ » Vłu √

∫ÍËU¹ ©» ´ ® —«bI*« ÊS » Ω ”≤U²ł

π

π≠

∫ ¨ Ω ”s ”≤Uł

π

π≠

∫ ÊU «–≈ ∏

π ≤ œ π ≤≠ ?ł dH » ± √

µ∑

ÍËU¹ ”s ©”®

µ

∑

∫ ÊS ±≤ Ω ”s ©”®

∑

±

∫ ¨ ±∞ Ω ”s ©”® ≤

µ

±

∫ ÊU «–≈ π

∑ œ ∑≠ ?ł ≤≤ » ≤ √

∫u¼ ›≥¨ ±¤ …d²H« vKŽ ”≤ ´ ≥”¥ Ω ©”® Ê«d²ö ©”® qUJ*« Ê«d²ô« ±∞

≤ ≠ ≤” ´ ¥” œ ≤ ´ ≤” ´ ¥” ?ł ≤ ´ ≤”±≤ » ”≤ ´ ≥”¥ √

∫ÍËU¹ ©”® Ó ÊS ¨’s ©’≤ ≠ ≤®

¥

”

∫ Ω ©”® ÊU «–≈ ±±

”≤ ≠ ≤ œ ≤ ≠ ”≤ ?ł dH » ≤” ≠ ”≤ √

∫ÍËU¹ ”s ©”≠®

≤≠

≥≠

∫ ÊS ¨∏ Ω ”s ©”®

≥

≤

∫ ÊU «–≈ ±≤

¥≠ œ ¥ ?ł ∏ » ± √

∫ÍËU¹ ”s ©≤”® Ó ”

±

∞

∫ ÊS ¨± Ω ©∞® ¨ µ Ω ©±® ÊU «–≈ ±≥

≤≠ œ ± ?ł ¥ » ≤ √

∫ÍËU¹ ©∞® Ó ÊS ¨©≤ ´ ”≤® ?¼u ≠

” ≥?¼ Ω ©”® ÊU «–≈ ±¥

∞[µ œ ≥ ?ł ≤ » ± √

∫ÍËUð ?ł ÊS ”s©µ ≠ ”®

?ł

∏

∫ Ω ”s ©”®

∑

≥

∫ ÊU «–≈ ±µ

≤≠ œ ±≤ ?ł ¥ » ≥ √

∫ÊS ”U²ł ’ Ω ”s

’s ÊU «–≈ ±∂

?ł ´”Uł ?¼ Ω’ œ ?ł ´

”U²ł≠ ?¼ Ω’ ?ł ?ł ´”U²ł ?¼ Ω’ » ?ł ´

”Uł≠?¼ Ω’ √

∫ÍËU¹ ”s

”≥ ´ ≥”

± ´ ≤”

≤

±

∫ ±∑

∑u ≠ ≤u œ ≤u ≠ ∑u ≥

± ?ł ©≤u ≠ ∑u®

≥

± » ©≤u ≠ ∑u®≥ √

¨ ∏ Ω ±Â WŠU X½U «–S ¨› ¨ ∞¤ …d²H« vKŽ ©”® vM×M —ËU−*« qJA« q¦1 ±∏

∫ÍËU¹ ”s ©”®

∞

∫ ∫ÊS ¨WFÐd «bŠË ∂ Ω ≤

 WŠU

”

’

±Â

≤Â

©”®

≤ œ ±¥ ?ł ≤≠ » ±¥≠ √

µ∏

¨” ≤

± Ω ©”® Ê«d²ô« vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM« rzUI« Ídz«b« ◊Ëd*« r−Š ±π

∫ÍËU¹ ¨ UMO« —u× ‰uŠ WKU …—Ëœ ¨≥ Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨ UMO« —u×Ë

¥

π œ π

≤

≥ ?ł π

¥

π » π

∏

π √

œËb;« qUJ²« n¹dFð «b²ÝUÐ błËQ ¨ ›≥ ¨ ≤≠¤ ∋ ” ¨ ”≤≠ π Ω ©”® ÊU «–≈ ≤

Æ”s ©”®

≥

≤≠

∫

∫WOðü« ôU(« s q w ” WôbÐ ’ WLO błË√ ≥

∞ Ω ± ≠ ”∂ ´ ”s

’s ’ √

≤

± » ”µ U²ł ’≥ ≤Uł Ω

”s

’s √

≤

π Ω ” bMŽ ∑≠ Ω ’ YOŠ ¨”≤U² ´ ”∏ Ω

”s

’s ?ł

Æ„ WLO błËQ ¨∞ Ω ’∏ ≠ Ó’≤ ´ Î’ WœUF*« oI% ” „ ?¼ Ω ’ X½U «–≈ ¥

X½U «–S ª ?ł XÐUŁ Ÿ—U²Ð —UÝË ¨ ∞Ÿ WOz«b²Ð« WŽdÐË rOI² jš w q_« WDI½ s Wd(« rł √b²Ð« µ

∫WOðü« 5½«uI« W× X³ŁU ¨ · w¼ WŽuDI*« WU*«Ë ¨ Ÿ w¼ w½«u¦« s Ê bFÐ r'« WŽdÝ

≤Ê ?ł ≤

± ´ Ê∞

Ÿ Ω · » Ê ?ł ´ ∞Ÿ Ω Ÿ √

©Ês·s

Æ ·s

Ÿs Ω

Ês

Ÿs ∫…bŽUI« Âb²Ý«∫œUý—≈® · ?ł≤ ´

≤

∞ŸΩ ≤Ÿ ?ł

¨∏ ≠ ”±≤ Ω ©”® Î X½UË ¨¥ ÍËU¹ ©µ ¨±® WDIM« bMŽ ©”® Ê«d²ô« vM×M* ”UL*« qO ÊU «–≈ ∂

Æ©”® …bŽU błËQ

WU*«Ë ÀØÂ¥ WOz«b²Ðô« WŽd« X½U «–≈ Æ≤ÀØ ≤ ≠ ʱ≤Ω WöFUÐ vDF¹ Ÿ—U²Ð rOł „dײ¹ ∑

ÆWd(« ¡bÐ s Ê«uŁ µ bFÐ WŽuDI*« WU*« błËQ ¨Â ≤∏ w¼ Ê«uŁ ≥ bFÐ WŽuDI*«

≥ > ” ≥ ∞ µ ´ ≤”≥

∑ ≥ ” ≥ ≥ ±∞ ´ ”≤

Ω ©”® sJO ∏

ÆtU− vKŽ ©”® Ê«d²ö ©”® qUJ*« Ê«d²ô« błË√ ∫ÎôË√

Æ©¥® ¨ ©∞® s q WLO » ’s ©’®

”

∞

∫ ≥ ← ”

√ ∫błË√ ∫ÎUO½UŁ

’s ©’®

∑

∞

∫ ”ss

œ ’s ©’®

”

∞

∫ ”ss

?ł

µπ

∫wK¹ UL ÎUdF qUJ*« t½«d²« ÊUË ¨›∂ ¨ ±¤ vKŽ qUJ²K ÎöÐU ©”® ÊU «–≈ π

ø» ¨ 5²ÐU¦« s >q WLO UL ≤ ≥ ” ≥ ± ≥ ≠ ”

∂ ≥ ” ≥ ≤ ± ´ ”≤ ≠ ≤” »

Ω ©”®

∫WOðü« öUJ²« s >q WLO bł ±∞

”s ≤”U²ł ≤” ≥Uł ”≤ ∫ » ”s ± ´ ” √ ”

≥

∞

∫ √

”s

”≤U²

”Uł

≥

π

∂

π

∫ œ ”s ”Uł©”U²ł® ≤U²ł ∫ ?ł

”s

©”?¼u ´ ≥®”

±

?¼

±

∫ Ë ”s ”Uþ ” ≥U ∫ ?¼

”s

∂ ´ ”µ ≠ ≤”

” ∫ Õ ”s ” Uł ”?¼ ∫ “

”s

©± ≠ ”®”

± ´ ”µ ≠ ≤”≥ ∫ ◊

Æ© ” ?¼ ≠± √ Ω ’ l∫œUý—≈® ”s ” ?¼ ≠± √ ∫ Í

Æ©” ≠?¼ w ÂUI*«Ë j³« s Îö »d« ∫œUý—≈® ”s

” ?¼ ´±

± ∫ „

Æ∏ Ω ’ ¨ ± Ω ’ ¨ ≥” Ω ’ UOM×M*«Ë «œUB« —u× 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU błË√ ±±

Æ©¥ ¨±® WDIM« bMŽ Ê«d²ô« ”U2Ë ¨ «œUB« —u×Ë ¨≥ ´ ≥” Ω ’ Ê«d²ô« vM×M 5Ð …—uB;« WŠU*« błË√ ±≤

¨≥ Ω ” ¨ ±≠ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨”¥ ≠ ≥” Ω ©”® vM×M*UÐ …œËb??;« WIDM*« WŠU błË√ ±≥

Æ UMO« —u×Ë

Æ UMO« —u×Ë µ Ω ’ ´ ” ∏ ´ ≤” Ω ’¥ 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WŠU*« błË√ ±¥

Æ≤ Ω ” ¨±≠ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨ UMO« —u×Ë ¨¸± ≠ ”≤¸ Ω ©”® vM×M*UÐ …œËb;« WIDM*« WŠU błË√ ±µ

∫błËQ ”≠ ?¼ Ω ©”®Â¨

” ?¼ Ω ©”® ÊU «–≈ Ω±∂

Æ≤ Ω ” rOI²*«Ë ¨©”®Â vM×MË ¨©”® vM×M 5Ð …—uB;«Ë ¨‰Ë_« lÐd« w WF«u« WŠU*« √

ø"UM« r'« r−Š UL UMO« —u× ‰uŠ WKU …—Ëœ WIÐU« WIDM*« —«œ «–≈ »

od*« qJA« w WKKE*« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM« r'« r−Š b??łË√ ±∑

Æ UMO« —u× ‰uŠ WKU …—Ëœ

”

’

≤≠

≤≠≤’≥ Ω ”

∞

≤’ Ω ”

vM×M 5??Ð …—u??B??;« WIDM*« Ê«—Ëœ s??Ž "U??M??« r'« r−Š b??łË√ ≤∞

…—Ëœ ≤?¼ Ω ’ rOI²*«Ë ¨ «œU??B??« —u×Ë ¨ ”≤???¼ Ω ’ Ê«d²ô«

Æ UMO« —u× ‰uŠ WKU

∂∞

W?OÞËdL« Ÿu?DI« µ…b???????Šu???????«

( C o n i c S e c t i o n s )

…dz«œ

hU½ lD

TU

J

lD

bz«“ lD

∂±

(Conic Sections) WOÞËd*« ŸuDI« µ

v≈ ÊUOL²M¹ ÊöJA« Ê«c¼Ë ¨TUJ*« lDI«Ë …dz«b« UNMË ¨W¹u²*« WOÝbMN« ‰UJý_« iFÐ ÎUIÐUÝ XdFð

rzU Ídz«œ ◊Ëd l ÚDÓ s UNOKŽ ‰uB(« sJ1 w²« WOÞËd*« ŸuDI« vLð WOÝbMN« ‰UJý_« s WŽuL−

∫©±≠µ® qJA« w 5³ u¼ UL ¨WHK² ŸUË√ w Ìu²0 ÃËœe

TUJ lD …dz«œ

bz«“ lD hU½ lD

©±≠µ® qJA«

WdŠË ¨ UÝbF«Ë U¹«d*« q¦ ¨WHK² WOLKŽË WOJKË WOzU¹eO UÝ«—œ w …dO³ WOL¼√ WOÞËd*« ŸuDIKË

»dF«Ë o¹džù« ¡ULKŽ v≈ ‰UJý_« ÁcN vË_« UÝ«—b« œuFðË ª…—c« w U½Ëd²Jù« WdŠË V«uJ«

¨TUJ*« lDI« ∫WOU²« WOÞËd*« ŸuDI« WÝ«—œ w qUH²«Ë WOKOKײ« WÝbMN« ∆œU³ Âb²MÝË ¨5LK*«Ë

Æbz«e« lDI«Ë ¨hUM« lDI«Ë

∂≤

(The Parabola) TUJ*« lDI« ±≠µ

ΫbFÐ ¨tO W²ÐUŁ WDI½ sŽ ¨UNM q bF³ð YO×Ð Ìu² w WF«u« ◊UIM« lOLł WŽuL− u¼ TUJ*« lDI«

ÆtO ÂuKF rOI² sŽ U¼bF³ ÎU¹ËU

∫Èdš√ …—U³FÐË

∫n¹dFð

Èu²*« w W²ÐUŁ WDI½ sŽ U¼bFÐ ÊuJ¹ YO×Ð Ìu² w „dײð WDIM wÝbMN« q;« u¼ TUJ*« lDI«

ÆtO XÐUŁ rOI² sŽ U¼bF³ ÎU¹ËU

WDIM«Ë ¨Íu²*« w ¨ÂuKF rOI² ‰ ¨W²ÐUŁ WDI½ » ¨©≤≠µ® qJA« wH

≥Ê ¨

≤Ê ¨

±Ê ¨‰ sŽ U¼bFÐ ÎU¹ËU » sŽ U¼bFÐ ÊuJ¹ YO×Ð Íu²*« w „dײð Ê

≥Ê ¨

≤Ê ¨

±Ê WŁö¦« ◊UIM« lL−¹ Íc« vM×M*« vL¹ ¨Ê WDIMK WHK² ŸUË√ WŁöŁ

∫wL½ UL ¨ÎU¾UJ ÎUFD UNU¦√Ë

Æ…—R³« ©»® W²ÐU¦« WDIM«

ÆqOb« ©‰® XÐU¦« rOI²*«

Æ”√d« ¨qOb«Ë …—R³« 5Ð ¨WU*« nB²M w WF«u« ©—® WDIM«

ÆqŁUL²« —u× ¨”√d«Ë …—R³UÐ —U*« ¨rOI²*« j)«

±Ê

‰

»—Ω≤Ê

≥Ê

©≤≠µ® qJA«

∫5²OU²« 5²U(« w TUJ*« lDI« WœUF ”—b½ ·uÝ ∫TUJL« lDI« WœUF

Æ5OŁ«bŠù« s¹—u;« bŠ√ vKŽ ÊUF«Ë …—R³«Ë ©∞¨∞® ”√d« YOŠ ¨©wÝUO lË w TUJ*« lDI«® vË_« WU(«

Æ5OŁ«bŠù« s¹—u;« bŠ_ Ì“«u rOI² vKŽ ÊUF«Ë …—R³«Ë ”√d« YOŠ ¨©»U×½« lË w TUJ*« lDI«® W??O½U¦« WU(«

∫©wÝUO lË w TUJL« lDI«® vË_« WU׫

¨lDI« WײH WMJL*« WFЗ_« U¼U&ö ÎUIË TUJ*« lDI« U¼c²¹ Ê√ sJ1 ŸUË√ WFЗ√ błuð ¨WU(« Ác¼ w

∫wK¹ UL UN×Ouð sJ1Ë

∂≥

∫©vKŽ√ v≈ Õu²H lDI«® ‰Ë_« lu«

…—R³« Ê√ Í√ ¨Vłu*« ÍœUB« —u;« vKŽ …—R³«Ë ¨©∞¨∞® ”√d«

X½U «–≈ ¨lu« «c¼ w Æ©≥≠µ® qJý dE½« ¨∞ < ¨© ∞® »

» Ê Ω Ë Ê ∫ÊS ¨TUJ*« lDI« vKŽ U WDI½ ©’¨”® Ê

qŁUL²« —u×

©’¨”®Ê

”√d«

qOb«

”

© ≠¨”®Ë

© ¨∞® »…—R³«

©∞¨∞® —

’

©≥≠µ® qJA«

≤© ≠ ’® ´ ≤” √ Ω ´ ’ ∴

≤ ´ ’≤ ≠ ≤’ ´ ≤” Ω ≤ ´ ’≤ ´ ≤’

’ ¥ Ω ≤” ∫UNMË

∫Èdš_« WŁö¦« ŸUË_« w TUJ*« lDI« ôœUF ‚UI²ý« sJ1 WKŁU2 WI¹dDÐË

∫©qHÝ√ v≈ Õu²H lDI«® w½U¦« lu«

Ê√ Í√ ¨VU« ÍœUB« —u??;« vKŽ …—R³«Ë ©∞ ¨ ∞ ® ”√d??«

Æ©¥≠ µ® qJA« dE½« ∞ < ¨ © ≠ ¨ ∞® …—R³«

qŁUL²« —u×

©’¨”®Ê

”√d«

qOb«

”

© ¨”®Ë

© ≠¨∞®»…—R³«

©∞¨∞® —

’

©¥≠µ® qJA«

∫w¼ lu« «c¼ w WœUF*«

’ ¥≠ Ω ≤”

—u× w ”UJF½« u¼ lu« «c??¼ w TUJ*« lDI« Ê√ k??Šô

ƉË_« lu« w TUJ*« lDIK UMO«

∫©5LO« v≈ Õu²H lDI«® YU¦« lu«

…—R³« Ê√ Í√ Vłu*« wMO« —u;« vKŽ …—R³«Ë ©∞ ¨ ∞® ”√d«

Æ©µ≠µ® qJA« dE½« ∞ < ¨ ©∞ ¨ ®

∫w¼ lu« «c¼ w WœUF*«

qŁUL²« —u×

©’¨”®Ê

…—R³«

”√d«

qOb«

©∞¨∞®—

©∞ ¨ ®»

©’¨ ≠®Ë

’

”

©µ≠µ® qJA« ” ¥ Ω ≤’

∂¥

∫©—UO« v≈ Õu²H lDI«® lЫd« lu«

…—R³« Ê√ Í√ VU« wMO« —u;« vKŽ …—R³«Ë ©∞ ¨ ∞® ”√d«

Æ©∂≠ µ® qJA« dE½« ¨ ∞ < ¨©∞ ¨ ≠®

∫w¼ lu« «c¼ w WœUF*«

qŁUL²« —u×

©’¨”®Ê

…—R³«

”√d«

qOb«

©∞¨∞®—

©∞ ¨ ≠ ®»

©’¨ ®Ë

”

’

©∂≠µ® qJA«

” ¥≠ Ω ≤’

—u× w ”UJF½« u¼ lu« «c??¼ w TUJ*« lDI« Ê√ k??Šô

ÆYU¦« lu« w TUJ*« lDIK «œUB«

¨t²œUF błË ¨lDIK ÎUO³¹dIð ÎöJý rÝ—« Æ©≥ ¨ ∞® tð—RÐË ¨©∞ ¨ ∞® tÝ√— TUJ lD ∫©±® ‰U¦

ÆtKOœ WœUF pcË

w³¹dI²« qJA« c²¹ TUJ*« lDI«

Æ©∑≠µ® qJý w 5³*«

lu« «c??¼ w lDIK WUF« WœUF*«

∫…—uB« vKŽ w¼

∞ < ’ ¥ Ω ≤”

≥ Ω ©…—R³«Ë ”√d« 5Ð bF³«® Ê≈ YOŠË

’±≤ Ω ≤” ∴

≥≠ Ω ’ w¼ qOb« WœUF

qŁUL²« —u×

”√d«

qOb«

”

≥≠ Ω ’

© ≥¨∞®»…—R³«

©∞¨∞®—

’

©≥≠ ¨ ∞®

©∑≠µ® qJA«

Æt²œUF błË√ rŁ ¨lDIK ÎUO³¹dIð ÎöJý rÝ—« Ƶ Ω ’ rOI²*« tKOœË ¨©∞¨∞® tÝ√— TUJ lD ∫©≤® ‰U¦

w³¹dI²« qJA« c²¹ TUJ*« lDI«

Æ©∏≠µ® qJý w 5³*«

qŁUL²« —u×

”√d«

qOb«

”

© µ ≠¨∞®»…—R³«

©∞¨∞®—

’

µ Ω ’©µ¨∞®

©∏≠µ® qJA«

WU*« nB²M w lI¹ ”√d??« Ê√ U0

¨qOb«Ë …—R³« 5Ð

∂µ

∫w¼ lu« «c¼ w TUJ*« lDIK WUF« …—uB«Ë ¨©µ≠¨ ∞® » …—R³« ∴

’ ¥≠ Ω ≤”

µ Ω ©…—R³«Ë ”√d« 5Ð bF³«® Ê≈ YOŠË

’≤∞≠ Ω ≤” ∴

s >q w ¨TUJ*« lDIK qŁUL²« —u×Ë ¨qOb«Ë ¨…—R??³??«Ë ¨”√d??« s Îö b??łË√ ∫©≥® ‰U¦

∫5²Oðü« 5²U(«

”¥≠ Ω ≤’ » ”±∞ Ω ≤’ √

WUF« …—uB« l³²ð ”±∞ Ω ≤’ WœUF*« √

” ¥ Ω ≤’

∫Ê√ Z²M²½ ¨5²œUF*« 5Ð W½—UI*UÐË

≤[µ Ω UNMË ±∞ Ω ¥

∫ÊuJ¹ ¨TUJ*« lDI« q¦1 Íc« ©π≠µ® qJA« s

©∞ ¨ ∞® — ”√d«

©∞ ¨ ≤[µ® » …—R³«

≤[µ≠ Ω ” ∫w¼ qOb« WœUF

∞ Ω ’ Í√ ¨ UMO« —u× u¼ qŁUL²« —u×

qŁUL²« —u×

”√d«

qOb«

©∞¨∞®—

©∞ ¨ ≤[µ ®» …—R³«

’

”

≤[µ≠ Ω ”

∞ Ω ’

©π≠µ® qJA«

”¥≠ Ω ≤’ WœUF*« »

¨” ¥≠ Ω ≤’ WUF« …—uB« l³²ð

∫Ê√ Z²M²½ ¨5²œUF*« 5Ð W½—UI*UÐË

∫ÊuJ¹ ¨©±∞≠µ® qJA« WEŠö0Ë ± Ω

©∞ ¨ ±≠® » …—R³« ¨© ∞ ¨ ∞® — ”√d«

± Ω ” ∫w¼ qOb« WœUF

∞ Ω ’ Í√ ¨ UMO« —u× u¼ qŁUL²« —u×

qŁUL²« —u×…—R³«

”√d«

qOb«

©∞¨∞®—

©∞ ¨ ±≠ ®»

’

”

± Ω ”

∞ Ω ’

©±∞≠µ® qJA«

∂∂

©»U×½« lË w TUJL« lDI«® WO½U¦« WU׫

Ê√ sJ1 ŸU??Ë√ WFЗ√ błu¹ ¨v??Ë_« WU(« w UL

∫wK¹ ULO UNMO³½ ¨WU(« Ác¼ w TUJ*« lDI« U¼c²¹

© ´Ê¨Â® …—R³«Ë ¨©Ê¨Â® ”√d« ∫‰Ë_« lu«

kŠô Æ «œU??B??« —u??; Ì“«u?? rOI² vKŽ ÊU??F??«Ë

Æ©±±≠µ® qJA«

s¹bUF² Ó’ ¨ Ó” s??¹b??¹b??ł s??¹—u??×?? —U??O??²??šU??Ð

lDI« WœUF ÊuJ𠨩ʨ® WDIM« bMŽ 5Oö²Ë

∫w¼ Ó’ Ó” wŁ«bŠù« ÂUEM« w TUJ*«

q¦ WDI½ W¹√ UOŁ«bŠ≈ ¨© Ó’

Ó”® YOŠ Ó’ ¥ Ω ≤

Ó”

ÆTUJ*« lDI« vKŽ „

qŁUL²« —u×

©Ó’

Ó”®

”√d«

qOb«

© ´Ê¨Â®»…—R³«

©∞¨∞®

’

”

Ó”

Ó’

©Ê¨Â®—

©’¨”®„

”

Ó”

’Â

Ó’

Ê

©±±≠µ® qJA«

Ê√Ë ¨Â ≠ ” Ω Ó” Ê√ b$ ¨©±±≠ µ® qJA« WEŠö0Ë ª’ ” wŁ«bŠù« ÂUEM« w ©’¨”® ÊUOŁ«bŠù« „ WDIMK

∫w¼ ’ ” wŁ«bŠù« ÂUEM« w TUJ*« lDI« WœUF Ê√ Z²M²½ ¨Ó’ ¥ Ω≤

Ó” WœUF*« w i¹uF²UÐË ¨Ê ≠ ’ Ω Ó’

©Ê ≠ ’® ¥ Ω ≤©Â ≠ ”®

TUJ*« lDI« ôœUF ‚UI²ý« UMMJ1 ¨WKŁU2 WI¹dDÐË

∫wK¹ ULO UNMO³½ ¨Èdš_« WŁö¦« ŸUË_« w

© ≠ Ê ¨ ® …—R³«Ë ¨©Ê ¨ ® ”√d« ∫w½U¦« lu«

Æ «œUB« —u; Ì“«u rOI² vKŽ ÊUF«Ë

Æ©±≤≠µ® qJA« kŠô

∫w¼ WœUF*«

©Ê ≠ ’® ¥≠ Ω ≤©Â ≠ ”®

”√d«

qOb«

’

”

©Ê¨Â®—

© ≠ ʨ®» …—R³«

´ Ê Ω ’

qŁUL²« —u×Â Ω ”

©±≤≠µ® qJA«

©Ê ¨ ´ ® …—R³«Ë ¨©Ê ¨ ® ”√d« ∫YU¦« lu«

Æ UMO« —u; Ì“«u rOI² vKŽ ÊUF«Ë

Æ©±≥≠µ® qJA« kŠô

∫w¼ WœUF*«

©Â ≠ ”® ¥ Ω ≤©Ê ≠ ’®

”√d«

qOb«

’

”

©Ê¨Â®—

©Ê ¨ ´ ®»

…—R³«

≠ Â Ω ”

qŁUL²« —u×

Ê Ω ’

©±≤≠µ® qJA«

∂∑

©Ê ¨ ≠ ® …—R³«Ë ¨©Ê ¨ ® ”√d« ∫lЫd« lu«

Æ UMO« —u; Ì“«u rOI² vKŽ ÊUF«Ë

Æ©±¥≠µ® qJA« kŠô

∫w¼ WœUF*«

©Â ≠ ”® ¥≠ Ω ≤©Ê ≠ ’®

”√d«

qOb«

’

”

©Ê¨Â®—

©Ê ¨ ≠ ®»

…—R³«

´ Â Ω ”

qŁUL²« —u×

Ê Ω ’

©±¥≠µ® qJA«

Æt²œUF błË√ rŁ ¨lDIK ÎUO³¹dIð ÎöJý rÝ—« ¨©¥ ¨ ≥® tð—RÐË ¨©¥¨ ≤≠® tÝ√— TUJ lD ∫©¥® ‰U¦

”√d« Ê√ ©±µ≠µ® qJA« s kŠö½

—u; Ì“«u rOI² vKŽ ÊUF«Ë …—R³«Ë

Æ”√d« 51 vKŽ …—R³«Ë UMO«

∫…—uB« l³²ð TUJ*« lDI« WœUF ∴

©Â ≠ ”® ¥ Ω ≤©Ê ≠ ’®

¨ ¥ Ω Ê ¨ ≤≠ Ω Â

Ω …—R³«Ë ”√d« 5Ð bF³«

µ Ω ©≤≠®≠ ≥ Ω

∫w¼ WœUF*« ÊuJð i¹uF²UÐ ∴

©≤ ´ ”®≤∞ Ω ≤©¥ ≠ ’®

qOb«

©∞¨∞®

’

”

©¥ ¨≤≠®— ©¥ ¨≥®»

∑≠ Ω ”

qŁUL²« —u×

¥ Ω ’

µµ

©±µ≠µ® qJA«

qŁUL²« —u× WœUFË ¨qOb« WœUFË ”√d«Ë …—R³« ∫s Î Òö rÝdUÐ ÎU×u błË√ ∫©µ® ‰U¦

Æ©± ´ ’ ®¥≠ Ω ≤©≤ ≠ ”® t²œUF Íc« TUJ*« lDIK

©Ê ≠ ’® ¥≠ Ω ≤©Â ≠ ”® ∫ …—uB« l³²ð WœUF*«

∫Ê√ Z²M²½ 5²œUF*« 5Ð W½—UI*UÐË

± Ω Ê√ Í√ ¥≠ Ω ¥≠ ±≠ Ω Ê ≤ Ω Â

∂∏

©±≠ ¨ ≤® Ω ©Ê ¨ ® ”√d« Ê√ Í√

w³¹dI²« w½UO³« qO¦L²« ©±∂≠µ® qJA« 5³¹

∫Ê√ Z²M²½ tMË ¨TUJ*« lDIK

©≤≠ ¨ ≤® …—R³«

∞ Ω ’ w¼ qOb« WœUFË

≤ Ω ” qŁUL²« —u× WœUFË

qOb«

’

”

©±≠ ¨≤®—

©≤≠ ¨≤®»

∞ Ω ’

qŁUL²« —u×≤ Ω ”

©±∂≠µ® qJA«

tOKŽ ÎUMO³ ÁUM×M rÝ—« rŁ ¨ÎU¾UJ ÎUFD q¦9 ∏

±µ ≠ ”

¥

± ´ ≤”

∏

± Ω ’ WœUF*« Ê√ 5Ð ∫©∂® ‰U¦

ÆWOÝUÝ_« ÁdUMŽ lOLł

∏

±µ ≠ ”

¥

± ´ ≤”

∏

± Ω ’

’∏ Ω ±µ ≠ ”≤ ´ ≤” UNMË

∫Z²M¹ ” w lÐd*« ‰ULSÐË

©≤ ´ ’® ∏ Ω ≤©± ´ ”®

©Ê ≠ ’® ¥ Ω ≤©Â ≠ ”® …—uB« vKŽ Ác¼Ë

¨ ©≤≠¨±≠® Ω © ʨ ® YOŠ

≤ Ω UNMË ∏ Ω ¥

¨TUJ*« lDI« ©±∑≠µ® qJA« q¦1

∫WOÝUÝ_« ÁdUMŽË

”

’

©≤≠¨±≠® —

©∞ ¨±≠® »

¥≠ Ω’ qOb«

qŁUL²« —u×

±≠ Ω ”

©±∑≠µ® qJA«

©≤≠ ¨ ±≠® — ”√d«

©∞ ¨ ±≠® » …—R³«

¥ ≠ Ω ’ ∫w¼ qOb« WœUFË ±≠ Ω ” ∫w¼ qŁUL²« —u× WœUF

∫ÂUŽ tłuÐ

Æ «œUB« —u× Í“«u¹ Á—u× ÎU¾UJ ÎUFD q¦9 ∞ ≠ ¨ ?ł ´ ” » ´ ≤” Ω ’ WOFOÐd²« WœUF*«

Æ UMO« —u× Í“«u¹ Á—u× ÎU¾UJ ÎUFD q¦9 ∞ ≠ ¨ ?ł ´ ’ » ´ ≤’ Ω ” WOFOÐd²« WœUF*«

∂π

©±≠µ® s¹—U9

∫WUŠ q w t ÎUO³¹dIð ÎöJý rÝ—«Ë ¨wK¹ U2 >q w TUJ*« lDI« WœUF V²« ±

¥≠ Ω ’ qOb«Ë ¨©∞ ¨ ∞® ”√d« » ©∞ ¨ ≤® …—R³«Ë ¨©∞ ¨ ∞® ”√d« √

± Ω ’ qOb«Ë ¨©±≠ ¨ ±≠® …—R³« œ ©± ¨ ±≠® …—R³«Ë ¨©≥ ¨ ±≠® ”√d« ?ł

≤≠ Ω ” qOb«Ë ¨©±≠ ¨ ±® …—R³« ?¼

∫WOU²« W¾UJ*« ŸuDI« s >qJ qŁUL²« —u× WœUFË ¨qOb« WœUFË ¨…—R³«Ë ¨”√d« s Îö błË√ ≤

”≤≠ Ω ≤’ » ≤”∏ Ω ’ √

± Ω ’ ´ ”∏ ´ ≤” œ ≤ Ω ”≤ ´ ’∏ ≠ ≤’ ?ł

± ´ ”≤ Ω ≤©± ≠ ’®∏ Ë ”≤ ≠ ¥ Ω ≤©± ≠ ’® ?¼

ª «œUB« —u× Í“«u¹ Á—u×Ë ¨©≥ ¨ ±® WDIMUÐ d1Ë ¨©≤ ¨ ±≠® tÝ√— Íc« TUJ*« lDI« WœUF bł ≥

ÆÁUM×M rÝ—« rŁ

WDIM« sŽ U¼bFÐ ÊuJ¹ YO×Ð Èu²*« w „dײð w²« ©’ ¨ ”® Ê WDIMK wÝbMN« q;« WœUF błË√ ¥

Æ≤ Ω ’ rOI²*« sŽ U¼bFÐ ÎU¹ËU ©∏ ¨ ≤≠®

WDIM« bMŽ ∞ Ω π ≠ ”∑ ´ ’µ ≠ ≤’≥ t²œUF Íc« TUJ*« lDIK ÍœuLF«Ë ”UL*« WœUF błË√ µ

ÆtOKŽ WF«u« ©≤ ¨ ±®

Æ WLO błËQ ¨”∏ Ω ≤’ vUJ*« lDIK ÎUÝU2 ´ ” Ω ’ rOI²*« ÊU «–≈ ∂

wÝbMN« q;« Ê√ 5Ð Æ?¼≤ U²ł Ω ’ ¨?¼ Uł Ω ” ÊuJð YO×Ð Èu²*« w ©’ ¨ ”® Ê WDIM« „dײð ∑

Ætð—RÐË tÝ√— 5ŽË ¨TUJ lD u?¼ Ê WDIMK

ÆwI√ tKŁU9 —u×Ë ¨©∞ ¨ ≤≠® ¨©≥≠ ¨ ± ® ¨ ©± ¨ ±® jIMUÐ d1 Íc« TUJ*« lDI« WœUF błË√ ∏

±∞ ´ ”±∂ ´ ≤”∏ Ω ’ t²œUF Íc« TUJ*« lDI« ”√— œU−¹ù qUH²« Âb²Ý« π

lDI« …—R³Ð —U*« rOI²*« j)«Ë ¨’¥ Ω ≤” TUJ*« lDI« vM×M 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU błË√ ±∞

r−Š błËQ ¨WKU …—Ëœ UMO« —u× ‰uŠ WIDM*« Ác¼ —«œ «–≈Ë ÆqŁUL²« —u× vKŽ ÎU¹œuLŽ TUJ*«

Æ"UM« r'«

∑∞

(The Ellipse) hU?M« l?DI« ≤≠µ

∫n¹dFð

5²²ÐUŁ 5²DI½ sŽ UN¹bFÐ ŸuL− ÊuJ¹ YO×Ð Èu²*« w „dײð WDIM wÝbMN« q;« u¼ hUM« lDI«

ÆULNMOÐ bF³« s d³√ ÎU²ÐUŁ Ϋ—«bI ÍËU¹ tO

≤» Ê ´

±» Ê ÊuJ¹ YO×Ð ©’¨”® Ê WDIM« tLÝdð Íc«Ë ¨©±∏≠µ® qJA« w 5³*« vM×M*« vL¹

∫wL½ tOË ¨ÎUBU½ ÎUFD ÎU²ÐUŁ Ϋ—«bI©’¨”®Ê

…—RÐ

ed*« ˱»

…—RÐ

≤»

”√—

±—

”√—

≤—

±

„

≤

„

©±∏≠µ® qJA«

Æ5ð—R³« ≤»¨±» 5²²ÐU¦« 5²DIM«

ÆhUM« lDI« ed 5ð—R³« 5Ð WULK WHBM*« ©Ë® WDIM«

5ð—R³UÐ —U*« j)« lÞUIð U²DI½ UL¼Ë ¨≤—¨±— 5²DIM«

ÆhUM« lDI« wÝ√— ¨vM×M*« l

ÆhUM« lDIK d³_« —u;« 5Ý√d« 5Ð WK«u« ≤—

±—

fl WLOI²*« WFDI«

dG_« —u;« lDI« vKŽ U¼UdÞË ¨ed*UÐ …—U*«Ë ¨d³_« —u;« vKŽ W¹œuLF« ≤„ ±„fl

WLOI²*« WFDI«

ÆhUM« lDIK

∫hUM« lDI« WœUF

∫5²UŠ w hUM« lDI« WœUF ”—b½ ·uÝ ¨TUJ*« lDI« w UL

vKŽ o³DM d³_« —u;«Ë ¨©∞¨∞® q_« WDI½ ed*« YOŠ ¨©wÝUO lË w hUM« lDI«® vË_« WU׫

Æ5OŁ«bŠù« s¹—u;« bŠ√

Æ5OŁ«bŠù« s¹—u;« bŠ_ Ì“«u d³_« —u;«Ë ¨©Ê¨Â® ed*« YOŠ ¨©»U×½« lË w hUM« lDI«® WO½U¦« WU׫

©wÝUO lË w hUM« lDI«® vË_« WU׫

∫ÊUFË WU(« Ác¼ w hUM« lDIK

—u;«Ë ¨©∞ ¨ ∞® q_« WDI½ ed*« ∫‰Ë_« lu«

Æ UMO« —u× vKŽ o³DM d³_«

q_« WDI½ Áed ÎUBU½ ÎUFD ©±π≠µ® qJA« 5³¹

Æ UMO« —u× vKŽ o³DM d³_« Á—u×Ë ¨©∞ ¨ ∞®

Æ©∞ ¨ ?ł≠® ≤

» ¨ ©∞ ¨ ?ł® ±

» 5ð—R³« Ê√ ÷dH½

”

’

©∞¨?ł®±»

©’¨”®Ê

©∞¨?ł≠®≤»©∞¨ ≠®

≤— ©∞¨ ®

±—

©±π≠µ® qJA«

∑±

U²ÐUŁ Ϋ—«bI ÍËU¹ 5ð—R³« sŽ UN¹bFÐ ŸuL− ÊS ¨hUM« lDI«vKŽ WDI½ W¹√ ©’ ¨ ”® Ê X½U «–S

≤ Ω ≤» Ê ´

±» Ê ∫Ê√ Í√ ¨ ≤ sJOË

≤ Ω ≤’ ´ ≤©?ł ´ ”® √ ´ ≤’ ´ ≤©?ł ≠ ”® √ ∴

∫WœUF*« vKŽ qB×½ ¨jO³²«Ë 5dD« lOÐdðË d¹_« ·dD« v≈ s¹—c'« bŠ√ qIMÐ

©±® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ± Ω ≤?ł ≠ ≤

≤’ ´

≤

≤”

©hUM« lDI« n¹dFð® ?ł≤ < ≤ Ê√ WEŠö0Ë

≤?ł < ≤ UNMË ¨ ?ł < ÊuJ¹

∫WœUF*« vKŽ qB×½ ¨©±® WœUF*« w i¹uF²UÐË ª≤» sJOË Vłu —«bI ≤?ł ≠ ≤ Ê√ Í√

± Ω ≤»

≤’ ´

≤

≤”

¨©∞ ¨ ≠® ≤— ¨©∞ ¨ ®

±— 5Ý√d« w UMO« —u× lDI¹ hUM« lDI« Ê√ kŠô

©» ≠ ¨ ∞® ¨©» ¨ ∞® 5²DIM« w «œUB« —u× lDI¹Ë

o³DM d³_« —u;«Ë ¨©∞¨∞® q_« WDI½ ed*« ∫w½U¦« lu«

Æ©≤∞≠µ® qJA« w UL ¨ «œUB« —u× vKŽ

qu²« sJ1 ‰Ë_« lu« w U¼UMb²Ý« w²« UNð«– WI¹dDUÐ

∫w¼Ë w½U¦« lu« w hUM« lDI« WœUF v≈

± Ω ≤»

≤” ´

≤

≤’

”

’

©?ł¨∞®±»

©?ł≠¨∞®≤»

© ¨∞®±—

© ≠¨∞®≤—

©∞¨»®©∞¨»≠®

©≤∞≠µ® qJA«

∫ UEŠö≤?ł ´ ≤» Ω ≤ w¼ ?ł ¨ » ¨ ‰«uÞ_« 5Ð WöF« ±

Æt qŁU9 «—u× UL¼ hUM« lDI« «—u× ≤

Æ» < ¨»≤ Ω dG_« —u;« ‰uÞË ¨ ≤ Ω hUM« lDIK d³_« —u;« ‰uÞ ≥

ÊS ¨≤” ÂUI w¼ ≤ X½U «–≈Ë ¨≤ ÎULz«œ q¦1 5²IÐU« hUM« lDI« w²œUF w d³_« ÂUI*« ¥

¨≤’ ÂUI w¼ ≤ X½U «–≈ U√ ¨©wMOÝ hU½ lD® UMO« —u× vKŽ ÎUI³DM ÊuJ¹ d³_« —u;«

Æ©ÍœU hU½ lD® «œUB« —u× vKŽ ÎUI³DM ÊuJ¹ d³_« —u;« ÊS

∑≤

∫n¹dFð?ł

Ω ?¼ Ê√ Í√ ?ł

W³M« u¼ ¨ ?¼ edUÐ t ed¹Ë ¨hUM« lDIK Íed*« ·ö²šô«

> ?ł ¨ ÊU²³łu ¨ ?ł Ê_ ± > ?¼ > ∞ Ê√ kŠô

Æ…dz«œ s »d²I¹ hUM« lDI« ÊS ∞ ← ?¼ UbMŽË

ÆWLOI² WFD s »d²I¹ hUM« lDI« ÊS ± ← ?¼ UbMŽË

rŁ ªs¹—u;«Ë ¨5Ý√d«Ë ¨ 5ð—R³« ∫s Îö 5Ž ¨± Ω ±∂

≤’ ´

≤µ

≤” hUM« lDIK ∫©±® ‰U¦

ÆhUM« lDI« vM×M rÝ—«

∫tO wMOÝ hU½ lD u¼ hUM« lDI«

µ Ω UNMË ¨ ≤µ Ω ≤

¥ Ω » UNMË ±∂ Ω ≤»

π Ω ±∂ ≠ ≤µ Ω ≤» ≠ ≤ Ω ≤?ł sJ

≥ Ω ?ł ∴

”

’

©∞¨ ≥®±»©∞¨ ≥≠®

≤»©∞¨ µ≠®

≤— ©∞¨ µ®

±—

©¥¨ ∞®

©¥≠¨ ∞®

dG_« —u;«

d³_« —u;«

©∞¨∞®

©≤±≠µ® qJA«

©∞¨≥≠® ≤

» ¨ ©∞¨≥® ±

» ∫UL¼ ÊUð—R³«

©∞ ¨ µ≠® ≤

— ¨ ©∞ ¨ µ® ±

— ∫UL¼ ÊUÝ√d«

±∞ Ω ≤ Ω tuÞË ∞ Ω ’ ∫w¼ d³_« —u;« WœUF

∏ Ω »≤ Ω tuÞË ∞ Ω ” ∫w¼ dG√ —u;« WœUF

Æ©≤±≠µ® qJA« dE½«

¨©∞ ¨ ¥≠® ¨©∞ ¨ ¥® ÊU²DIM« ÁUð—RÐË ¨©∞ ¨ ∞® Áed Íc« hUM« lDI« WœUF błË√ ∫©≤® ‰U¦

Æ©≥≠ ¨ ∞® ¨©≥ ¨ ∞® 5²DIM« bMŽ ÍœUB« —u;« lDI¹Ë

©wMOÝ hU½ lD® UMO« —u× vKŽ ÁUð—RÐË ¨©∞¨∞® Áed lDI«

± Ω ≤»

≤’ ´

≤

≤” …—uB« t²œUF c²ð ∴

∑≥

¥ Ω ?ł ≥ Ω »

≤µ Ω ±∂ ´ π Ω ≤?ł ´ ≤» Ω ≤ sJ

µ Ω ∴

± Ω π

≤’ ´

≤µ

≤” WœUF*« ∴

Æ©≤≤≠µ® qJA« dE½«

”

’

©∞¨ ¥®±»©∞¨ ¥≠®

≤» ©∞¨ µ®

±—

©≥¨ ∞®

©≥≠¨ ∞®

©∞¨ µ≠®≤—

©≤≤≠µ® qJA«

t²œUF Íc« hUM« lDIK Íed*« ·ö²šô«Ë ¨5ð—R³«Ë ¨5Ý√d« 5Ž ∫©≥® ‰U¦

ÆlDI« vM×M rÝ—« rŁ ¨≤≤µ Ω ≤’π ´ ≤”≤µ

± Ω ≤µ

≤’ ´

π

≤” ∫Z²M¹ ≤≤µ vKŽ ≤≤µ Ω ≤’π ´ ≤”≤µ WœUF*« wdÞ WLIÐ

± Ω ≤»

≤” ´

≤

≤’ …—uB« vKŽ w¼Ë

∫tO ÍœU hU½ lD u¼ hUM« lDI« Ê√ Í√

≥ Ω » UNMË π Ω ≤» ªµ Ω UNMË ¨≤µ Ω ≤

±∂ Ω π ≠ ≤µ Ω ≤» ≠ ≤ Ω ≤?ł sJ

¥ Ω ?ł ∴

©¥ ∓ ¨ ∞® Í√ ©?ł ∓ ¨ ∞® ∫UL¼ ÊUð—R³« ∴

©µ ∓ ¨ ∞® Í√ © ∓ ¨ ∞® ∫ UL¼ ÊUÝ√d«

∞[∂ Ω µ

≥ Ω

?ł Ω ?¼ Íed*« ·ö²šô«

Æ ©≤≥≠µ® qJA« dE½«

”

’

©∞¨ ≥®©∞¨ ≥≠®

©¥¨ ∞®±»

©µ¨ ∞®±—

©µ≠¨ ∞®≤—

©¥≠¨∞®≤»

©≤≥≠µ® qJA«

Æ©»U×½« lË w hUM« lDI«® WO½U¦« WU׫

Ì“«u?? d??³??_« —u???;«Ë ©Ê¨Â® e??d??*« ∫‰Ë_« lu«

Æ©≤¥≠µ® qJA« dE½« Æ UMO« —u;

”

’

©Ê¨ ≠®≤— ©Ê¨ ´Â®

±—©Ê¨Â® ©Ê¨?ł´Â®

±»©Ê¨?ł≠®

≤»

©»´Ê¨Â®

©»≠ʨ®

©≤¥≠µ® qJA«

∫w¼ hUM« lDI« WœUF ÊuJð lu« «c¼ w

± Ω ≤»

≤©Ê ≠ ’® ´

≤

≤©Â ≠ ”®

∑¥

WOÝUÝ_« ÁdUMŽ rÝdUÐ ÎU×u 5Ž ¨± Ω ≥∂

≤©≥ ≠ ’® ´

±∞∞

≤©≤ ≠ ”® t²œUF hU½ lD ∫©¥® ‰U¦

Æs¹—u;«Ë ¨5Ý√d«Ë ¨5ð—R³«Ë ¨ed*« ∫WOðü«

± Ω ≤»

≤©Ê ≠ ’® ´

≤

≤©Â ≠ ”® …—uB« vKŽ WœUF*«

ÁedË ¨©wMOÝ hU½ lD® UMO« —u; Ì“«u?? d³_« Á—u× ÎUBU½ ÎUFD q¦9 w¼Ë

∫tOË ¨©≥¨≤® Ω ©Ê¨Â®

±∞ Ω UNMË ±∞∞ Ω ≤

∂ Ω » UNMË ≥∂ Ω ≤»

∂¥ Ω ≥∂ ≠ ±∞∞ Ω ≤» ≠ ≤ Ω ≤?ł sJ

∏ Ω ?ł ∴

hUM« lDI« `u¹ ©≤µ≠µ® qJA«

”

’

©≥¨±∞®±»©≥¨ ∂≠®

≤»©≥¨ ∏≠®

≤— ©≥¨±≤®

±—

©π¨ ≤®

©≥≠¨ ≤®

©≥¨≤® Â

©∞¨∞®

©≤µ≠µ® qJA«

∫UL¼ 5ð—R³« Ê√ kŠöð tMË

©≥ ¨ ∂≠® Ω ©≥¨ ∏ ≠ ≤® ≤

» ª©≥ ¨ ±∞® Ω ©≥¨ ∏ ´ ≤® ±»

©≥ ¨ ∏≠® Ω ©≥ ¨ ±∞ ≠ ≤® ≤

— ª©≥ ¨ ±≤® Ω ©≥ ¨ ±∞ ´ ≤® ±— ∫UL¼ 5Ý√d«Ë

≤∞ Ω ±∞ × ≤ Ω ≤ Ω tuÞË ¨≥ Ω ’ w¼ d³_« —u;« WœUF

±≤ Ω ∂ × ≤ Ω »≤ Ω tuÞË ¨≤ Ω ” w¼ dG_« —u;« WœUF

Æ «œUB« —u; Ì“«u d³_« —u;«Ë ¨©Ê ¨ ® ed*« ∫w½U¦« lu«

Æ©≤∂≠µ® qJA« dE½«

∫w¼ hUM« lDI« WœUF ÊuJð lu« «c¼ w

± Ω ≤»

≤©Â ≠ ”® ´

≤

≤©Ê ≠ ’®

”

’

©?ł´Ê¨Â®±»

© ´Ê¨Â®±—

©Ê¨»´Â®©Ê¨Â®

©?ł≠ʨ®≤»

© ≠ʨ®≤—

©Ê¨»≠®

©≤∂≠µ® qJA«

∑µ

dH Ω ±∞∞ ´ ’¥∞ ≠ ”≥∂ ´ ≤’¥ ´ ≤”π t²œUF hU½ lD ∫©µ® ‰U¦

ÆÍed*« ·ö²šô«Ë ¨5Ý√d«Ë ¨5ð—R³«Ë ¨ed*« ∫s Îö rÝdUÐ ÎU×u 5Ž

dH Ω ±∞∞ ´ ’¥∞ ≠ ”≥∂ ´ ≤’¥ ´ ≤”π ∫w¼ hUM« lDI« WœUF

∫WœUF*« `³Bð ¨’ ¨” w lÐd*« ‰ULSÐ

±∞∞ ´ ≥∂ ´ ±∞∞≠ Ω ©≤µ ´ ’±∞ ≠ ≤’®¥ ´ ©¥ ´ ”¥ ´ ≤”®π

≥∂ Ω ≤©µ ≠ ’®¥ ´ ≤©≤ ´ ”®π

± Ω ¥

≤©≤ ´ ”® ´

π

≤©µ ≠ ’® ∫`³Bð ¨≥∂ vKŽ WœUF*« wdÞ WLIÐ

± Ω ≤»

≤©Â ≠ ”® ´

≤

≤©Ê ≠ ’® …—uB« vKŽ w¼Ë

—u; Ì“«u??? d??³??_« Á—u??×?? ÎUBU½ ÎUFD WœUF*« q¦9Ë

Æ©ÍœU hU½ lD® ¨ «œUB«

∫tOË ¨©µ¨≤≠® Ω ©Ê¨Â® ÁedË

≥ Ω UNMË ¨ π Ω ≤

≤ Ω » UNMË ¨ ¥ Ω ≤»

µ Ω ¥ ≠ π Ω ≤» ≠ ≤ Ω ≤?ł sJ

µ √ Ω ?ł ∴

∫hUM« lDI« vM×M `u¹ ©≤∑≠µ® qJA«

”

’

©µ¨∞®©µ¨ ¥≠®

©∏¨ ≤≠®±—

©≤¨ ≤≠®≤—

©µ¨ ≤≠®

© µ √´µ¨ ≤≠®±»

© µ √≠µ¨ ≤≠®≤»

©∞¨∞®

©≤∑≠µ® qJA«

© µ √ ≠ µ ¨ ≤≠® ¨ © µ √ ´ µ ¨ ≤≠® ∫UL¼ ÊUð—R³«

©≤ ¨ ≤≠® ¨ ©∏ ¨ ≤≠® Í√ ©≥≠µ ¨ ≤≠® ¨ ©≥´µ ¨ ≤≠® ∫UL¼ ÊUÝ√d«

≥

µ √ Ω

?ł Ω ?¼ Íed*« ·ö²šô«

ÊU²DIM« ÁUð—RÐË ¨©≤≠ ≥® ©≤≠ ±≥® ÊU²DIM« ÁUÝ√— Íc« hUM« lDI« WœUF błË√ ∫©∂® ‰U¦

Æ©≤≠ ¨ ¥® ¨©≤≠ ¨ ±≤®

¨5ð—R³« Ë√ ¨5Ý√d« 5Ð WU*« nB²M w lI¹ hUM« lDI« ed

Æ©≤≠ ¨ ∏® Ω ©≤

≤≠ ´ ≤≠ ¨

≤

≥ ´ ±≥ ® Ω ed*« ∴

©wMOÝ hU½ lD® UMO« —u; Ì“«u d³_« Á—u×

∑∂

±∞ Ω ≥ ≠ ±≥ Ω d³_« —u;« ‰uÞ Ω ≤

µ Ω ∴

∏ Ω ¥ ≠ ±≤ Ω 5ð—R³« 5Ð bF³« Ω ?ł≤

¥ Ω ?ł ∴ ≤» ≠ ≤ Ω ≤?ł sJ

π Ω ≤» ⇐ ≤» ≠ ≤µ Ω ±∂ ∴

∫…—uB« vKŽ hUM« lDI« WœUF ∴

± Ω ≤»

≤©Ê ≠ ’® ´

≤

≤©Â ≠ ”®

± Ω π

≤©≤´’® ´

≤µ

≤©∏≠”®

Í√

vM×M ©≤∏≠µ® qJA« `u¹

ÆhUM« lDI«

”

’

©≤≠¨ ±≤®±»©≤≠¨ ¥®

≤»©≤≠ ¨ ≥®

≤— ©≤≠ ¨±≥®

±—

©±¨∏®

©µ≠¨ ∏®

©≤≠ ¨∏® Â

©∞¨∞®

©≤∏≠µ® qJA«

Æt²œUF bł ¨∞[∂ Íed*« tö²š«Ë ¨©≤≠ ¨ ≤® ¨ ©¥ ¨ ≤® ÁUð—RÐ hU½ lD ∫©∑® ‰U¦

©≤≠ ¨ ≤® ¨ ©¥ ¨ ≤® tOð—RÐ Ê√ U0Ë Æ©± ¨ ≤® Ω © ≤

≤ ≠ ¥ ¨

≤

≤ ´ ≤ ® ed*« UOŁ«bŠ≈

Æ©≤π≠µ® qJA« w UL ÍœU hU½ lD uN Ê–≈ ª «œUB« —u; Ì“«u rOI² vKŽ ÊUFIð

± Ω ≤»

≤©Â ≠ ”® ´

≤

≤©Ê ≠ ’® …—uB« t²œUF c²ðË

?ł≤ Ω 5ð—R³« 5Ð bF³«

≥ Ω ?ł UNMË ¨∂ Ω ©≤≠® ≠¥ Ω

µ Ω UNMË ¨ ≥

Ω ∞[∂ UNMË ¨ ?ł

Ω ?¼ ”

’

©±¨ ≤®

©¥ ¨≤®±»

©≤≠ ¨≤®≤»

©∞¨∞®

©≤π≠µ® qJA«

≤» ≠ ≤µ Ω π UNMË ¨ ≤» ≠ ≤ Ω ≤?ł

¥ Ω » UNMË ¨±∂ Ω ≤» UNMË

± Ω ±∂

≤©≤ ≠ ”® ´

≤µ

≤©± ≠ ’® ∫w¼ WœUF*« ∴

∑∑

©≤≠µ® s¹—U9

∫WOU²« ôU(« s >q w hUM« lDI« WœUF błË√ ±

Æ «bŠË ∂ d³_« Á—u× ‰uÞË ©∞ ¨ ±∓® ÁUð—RÐË ¨©∞ ¨ ∞® Áed √

Æ∞[µ Íed*« tö²š«Ë ©≤∓ ¨ ∞® ÁUð—RÐË ¨©∞ ¨ ∞® Áed »

Æ ∞[∂ Íed*« tö²š«Ë ¨©∏≠ ¨ ≤® ¨ ©±≤ ¨ ≤® ÁUÝ√— ?ł

Æ©≤ ¨ ≥® WDIMUÐ d1Ë ¨©∂≠ ¨ ∞® ¨ ©∂ ¨ ∞® ÁUÝ√— œ

∫WOÝUÝ_« ÁdUMŽ tOKŽ ÎU×u ¨wK¹ U2 >q w hUM« lDI« rÝ—« ≤

±≤ Ω ≤’¥ ´ ≤”≥ » ± Ω ¥

≤’ ´

π

≤” √

≥≤ Ω ≤’ ´ ”∏ ´ ≤”¥ œ ± Ω ±∂

≤©≤ ≠ ’® ´

π

≤©± ´ ”® ?ł

∞ Ω ∑± ≠ ’±∏ ≠ ”∂¥ ´ ≤’π ´ ≤”±∂ Ë ≤≥ Ω ”¥ ´ ’±∏ ≠ ≤’π ´ ≤” ?¼

©¥≠ ¨ ∞® ¨ ©¥ ¨ ∞® 5²DIM« sŽ UN¹bFÐ ŸuL− ÊuJ¹ YO×Ð ¨Èu²*« w ©’ ¨ ”® Ê WDIM« „dײð ≥

ÆWDIM« ÁcN wÝbMN« q;« WœUF błË√ ÆÎULz«œ «bŠË ±∞ ÍËU¹

ÆtOKŽ WF«u« ©≥ ¨ ≤≠® WDIM« bMŽ ¨µ∂ Ω ≤’¥ ´ ≤”µ hUM« lDIK ”UL*« WœUF błË√ ¥

¨± ´ ?¼Uł ≤ Ω ” YO×Ð ¨Èu²*« w „dײð w²« ©’ ¨ ”® Ê WDIMK wÝbMN« q;« WœUF błË√ µ

Æ≤ ≠ ?¼U²ł ≥ Ω ’

ŸUHð—«Ë Â≥∞ ”uI« …bŽU ‰uÞ ÊU «–S ªwI√ d³_« Á—u× hU½ lD nB½ qJý t ”uI dł ∂

Æ…bŽUI« ed s Â∂ bFÐ vKŽ ”uI« ŸUHð—« b− ¨Â±∞ wI_« —u;« ‚u ”uI« w WDI½ vKŽ√

błËQ ¨©∂¨∞® WDIM« bMŽ «œUB« —u× lDI¹ ≥∂ Ω ≤’¥ ´ ≤”π hUM« lDIK ”UL*« ÊU «–≈ ∑

Æ”UL²« ◊UI½

ª©≤ ¨≤® WDIM« sŽ U¼bFÐ wK¦ ± Ω ’ rOI²*« sŽ U¼bFÐ ÊuJ¹ YO×Ð Èu²*« w ©’ ¨”® Ê WDI½ „dײð ∏

ÆWOÝUÝ_« ÁdUMŽ 5ŽË ¨hU½ lD u¼ Ê WDIMK wÝbMN« q;« Ê√ 5Ð

∑∏

(The Hyperbola) b???z«e« l???DI« ≥≠µ

∫n¹dFð

5²DI½ sŽ UN¹bFÐ 5Ð oKD*« ‚dH« ÊuJ¹ YO×Ð Èu²*« w „dײð WDIM wÝbMN« q;« u¼ bz«e« lDI«

ÆULNMOÐ bF³« s dG√ ÎU²ÐUŁ ΫbFÐ ÍËU¹ tO 5²²ÐUŁ

¸ ±» Ê ≠

≤» Ê ¸ ÊuJ¹ YO×Ð ©’¨”® Ê WDIM« tLÝdð Íc«Ë ¨©≥∞≠µ® qJA« w 5³*« vM×M*« vL¹

∫wL½ tOË Î«bz«“ ÎUFD ¨ÎU²ÐUŁ Ϋ—«bI

Æ5ð—R³« ≤» ¨

±» 5²²ÐU¦« 5²DIM«

Æbz«e« lDI« ed 5ð—R³« 5Ð WULK WHBM*« ©Ë® WDIM«

Æbz«e« lDI« wÝ√— ≤— ¨

±— ÊU²DIM«

ÆlÞUI« —u;« 5Ý√d« 5Ð WK«u« ≤—

±—

fl WLOI²*« WFDI«

©’¨”®Ê

˱—

≤—

±»

≤»

…—RÐ ”√— …—RД√—ed

©≥∞≠µ® qJA«

∫bz«e« lDI« WœUF

∫5²UŠ w bz«e« lDI« WœUF ”—bMÝ

o³DM lÞUI« —u;«Ë ¨©∞¨∞ ® q_« WDI½ ed*« YOŠ ¨©wÝUO lË w bz«e« lDI«® vË_« WU׫

Æ5OŁ«bŠô« s¹—u;« bŠ√ vKŽ

Æ5OŁ«bŠù« s¹—u;« bŠ_ Ì“«u lÞUI« Á—u×Ë ¨©Ê¨Â® ed*« YOŠ ¨©»U×½« lË w bz«e« lDI«® WO½U¦« WU׫

©wÝUO lË w bz«e« lDI«® vË_« WU׫

∫ÊUFË WU(« Ác¼ w bz«e« lDIK

—u???;«Ë ¨©∞¨∞® q???_« WDI½ e??d??*« ∫‰Ë_« lu«

Æ©wMOÝ bz«“ lD® UMO« —u× vKŽ o³DM lÞUI«

Æ©≥±≠µ® qJA« dE½«

”

©∞¨?ł®±»©∞¨?ł≠®

≤» ©∞¨ ≠®

≤— ©∞¨ ®

±—

’

©’¨”®Ê

©≥±≠µ® qJA« ÊuJ¹ bz«e« lDI« vM×M vKŽ WF«Ë ©’¨”® Ê WDI½ Í_

∑π

≤ Ω ÎU²ÐUŁ Ϋ—«bI Ω ¸ ±» Ê ≠

≤» ʸ

≤ ∓ Ω ±» Ê ≠

≤» Ê

∫Ê√ Z²M¹ i¹uF²UÐË

≤∓ Ω ≤’ ´ ≤©?ł ≠ ”® √ ≠ ≤’ ´ ≤©?ł ´ ”® √

∫WœUF*« vKŽ qB×½ ¨—UB²šô«Ë W¹d³'« UOKLF« ¡«dł≈ bFÐ

∫ …—uB« vKŽ WœUF*« `³Bð ¨≤ ≠ ≤?ł Ω ≤» i¹uF²ÐË ± Ω ≤ ≠ ≤?ł

≤’ ≠

≤

≤”

± Ω ≤»

≤’ ≠

≤

≤”

‰uÞ Ê√Ë ¨©∞¨ ≠® ≤

— ¨ ©∞¨ ® ±

— 5Ý√d« w UMO« —u× lDI¹ lu« «c¼ w bz«e« lDI« Ê√ kŠô

¨≤»≠ Ω ≤’ WœUF*« `³Bð ¨dH Ω ” i¹uF²Ð t½_ p–Ë ª «œUB« —u× lDI¹ ô t½√Ë ¨ ≤ lÞUI« —u;«

bz«e« lDI« ed s lÞUI« —u;« vKŽ W¹œuLF« WLOI²*« WFDI« wLMÝ UMMJË ª w UN qŠ ô WœUF w¼Ë

Æ»≤ ÍËU¹ tuÞË ¨bz«e« lDIK o«d*« —u;« ¨©» ¨ ∞® ¨ ©»≠ ¨ ∞® 5²DIM« 5Ð qBð w²«Ë

o³DM lÞUI« —u;«Ë ¨©∞ ∞ ® q_« WDI½ ed*« ∫w½U¦« lu«

Æ©≥≤≠µ® qJA« dE½« Æ©ÍœU bz«“ lD® «œUB« —u× vKŽ

”

©?ł¨∞®±»

© ¨∞®±—

’

© ≠¨∞®≤—

©?ł≠¨∞®≤»

©≥≤≠µ® qJA«

∫w¼ bz«e« lDI« WœUF ÊuJð WU(« Ác¼ w

± Ω ≤»

≤” ≠

≤

≤’

∫ UEŠö

Æ≤» ´ ≤ Ω ≤?ł ∫w¼ bz«e« lDI« w ?ł ¨ » ¨ ‰«uÞ_« 5Ð WöF« ±

Æ»≤ Ω o«d*« Á—u× ‰uÞË ¨ ≤Ωbz«e« lDIK lÞUI« —u;« ‰uÞ ≤

Æt qŁU9 «—u× UL¼ bz«e« lDI« «—u× ≥

Æbz«e« lDI« WœUF w Vłu*« b(« ÂUI w¼ ≤ ¥

∏∞

∫n¹dFð

?ł

W³M« u¼ ¨ ?¼ edUÐ t ed¹Ë ¨bz«e« lDIK Íed*« ·ö²šô«

± > ?¼ YOŠ hUM« lDI« ·öÐ ¨± < ?¼ ÊuJð bz«e« lDI« w t½√ kŠô

bz«e« lDIK ¨Íed*« ·ö²šô«Ë ¨s¹—u;« wuÞË ¨5ð—R³«Ë ¨5Ý√d« ∫s Îö 5Ž ∫©±® ‰U¦

ÆlDI« vM×M rÝ—« rŁ ª± Ω π

≤’ ≠

±∂

≤”

∫tOË ¨©∞ ¨ ∞® Áed ÎUOMOÝ Î«bz«“ ÎUFD WœUF*« q¦9

¥ Ω UNMË ¨±∂ Ω ≤

≥ Ω » UNMË π Ω ≤»

≤µ Ω π ´ ±∂ Ω ≤» ´ ≤ Ω ≤?ł

µ Ω ?ł ∴

bz«e« lDI« vM×M ©≥≥≠µ® qJA« q¦1

”

©∞ ¨µ®±»©∞ ¨µ≠®

≤» ©∞ ¨¥≠®

≤— ©∞ ¨¥®

±—

’

©≥≥≠µ® qJA«©∞ ¨ ¥∓® UL¼ ÊUÝ√d«

©∞ ¨ µ∓® UL¼ ÊUð—R³«

∏ Ω ¥ × ≤ Ω ≤ Ω lÞUI« —u;« ‰uÞ

∂ Ω ≥ × ≤ Ω »≤ Ω o«d*« —u;« ‰uÞ

¥

µ Ω

?ł Ω ?¼ Íed*« ·ö²šô«

¨©∞ ≥≠® ©∞¨≥® ÁUÝ√—Ë ¨©∞ µ≠® ©∞ µ® ÁUð—RÐ Íc« bz«e« lDI« vM×M rÝ—« ∫©≤® ‰U¦

Æt²œUF błË√ rŁ

vKŽ ÊU²F«Ë ©∞ ¨µ∓® tOð—RÐ Ê√ U0Ë ¨© ∞ ¨∞® Ω © ≤

∞ ´ ∞ ¨

≤

µ≠ ´ µ ® Ω ed*« UOŁ«bŠ≈

Æ©≥¥≠µ® qJA« dE½« ¨wÝUO lË w wMOÝ bz«“ lD uN UMO« —u×

∫w¼ bz«e« lDI« WœUF

∏±

± Ω ≤»

≤’ ≠

≤

≤”

”

©∞ ¨µ®±»©∞ ¨µ≠®

≤» ©∞ ¨≥≠®

≤— ©∞ ¨≥®

±—

’

©≥¥≠µ® qJA«

≥ Ω Ω ed*« bMŽ ”√d« bFÐ

µ Ω ?ł Ω ed*« sŽ …—R³« bFÐ

≤» ´ ≤ Ω ≤?ł sJ

±∂ Ω ≤» UNMË ¨ ≤» ´ π Ω ≤µ ∴

± Ω ±∂

≤’ ≠

π

≤” ∫w¼ bz«e« lDI« WœUF ∴

Íed*« tö²š«Ë ¨±≤ tOð—RÐ 5Ð bF³«Ë ¨©∞ ¨ ∞® Áed Íc« bz«e« lDI« WœUF bł ∫©≥® ‰U¦

Æ «œUB« —u× vKŽ o³DM lÞUI« Á—u×Ë ¨ ≤

≥ Ω ?¼

¨ «œUB« —u× vKŽ o³DM lÞUI« Á—u×Ë ¨©∞ ¨ ∞® u¼ bz«e« lDI« ed Ê√ U0

∫…—uB« t²œUF c²ð Ê–≈

± Ω ≤»

≤” ≠

≤

≤’

∂ Ω ?ł UNMË ¨±≤ Ω ?ł≤

?ł

Ω ?¼ Íed*« ·ö²šô«

¥ Ω UNMË

∂ Ω

≤

≥ ∴

≤» ´ ≤ Ω ≤?ł Ê√ U0Ë

≤∞ Ω ≤» UNMË ≤» ´ ≤©¥® Ω ≥∂ ∴

± Ω ≤∞

≤” ≠

±∂

≤’ w¼ WœUF*« ∴

©≥µ≠µ® qJA« dE½«

”

©∂¨∞®±»

© ¥¨∞®±—

’

©¥≠ ¨∞®≤—

©∂≠ ¨∞®≤»

©≥µ≠µ® qJA«

∏≤

©»U×½« lË w bz«e« lDI«® WO½U¦« WU׫

—u; Ì“«u lÞUI« —u;«Ë ¨©Ê ¨ ® ed*« ∫‰Ë_« lu«

Æ©≥∂≠µ® qJA« w UL ¨©wMOÝ bz«“ lD® UMO«

∫…—uB« vKŽ WœUF*« ÊuJð ¨lu« «c¼ w

± Ω ≤»

≤©Ê ≠ ’® ≠

≤

≤©Â ≠ ”®

©Ê¨ ≠ ®

©Ê¨Â®

”

’

±—

≤—

≤»

±»

©Ê¨ ´ ®©Ê¨?ł ≠ ® ©Ê¨?ł ´ ®

©≥∂≠µ® qJA«

—u; Ì“«u??? lÞUI« —u???;«Ë ¨©Ê ¨ ® e??d??*« ∫w½U¦« lu«

Æ©≥∑≠ µ® qJA« w UL ¨©ÍœU bz«“ lD® «œUB«

∫…—uB« vKŽ WœUF*« ÊuJð ¨lu« «c¼ w

± Ω ≤»

≤©Â ≠ ”® ≠

≤

≤©Ê ≠ ’®

’

©Ê¨Â®

”

±—

≤—

≤»

±»©?ł ´ ʨ ®

© ´ ʨ ®

© ≠ ʨ ®

©?ł ≠ ʨ ®

©≥∑≠µ® qJA«

± Ω ≤∑

≤©≥ ≠ ’®‘ ≠

π

≤©≤ ≠ ”® t²œUF bz«“ lD ∫©¥® ‰U¦

ÆWOÝUÝ_« ÁdUMŽ tOKŽ ÎU×u lDI« vM×M* ÎUO³¹dIð ÎöJý rÝ—«

∫tOË ¨©≥ ¨ ≤® WDIM« ÁedË UMO« —u; Ì“«u lÞUI« Á—u× Î«bz«“ ÎUFD WœUF*« q¦9

≥ Ω UNMË ¨π Ω ≤

≥ √ ≥ Ω » UNMË ≤∑ Ω ≤»

≤» ´ ≤ Ω ≤?ł

∂ Ω ?ł UNMË ¨≥∂ Ω ≤∑ ´ π Ω

©≥∏≠µ® qJA« dE½«

”

©≥ ¨∏®±»©≥ ¨¥≠®

≤» ©≥ ¨±≠®

≤— ©≥ ¨µ®

±—

’

©≥ ¨≤®Â

©≥∏≠µ® qJA«

©≥ ¨≥≠≤® ¨©≥¨≥´≤®∫UL¼ ÊUÝ√d«

©≥ ¨±≠® ¨ ©≥ ¨ µ® Í√

∏≥

©≥ ¨∂ ≠≤® ¨©≥ ¨∂ ´ ≤® ∫UL¼ ÊUð—R³«

©≥ ¨ ¥≠® ¨ ©≥ ¨ ∏® Í√

∂ Ω ≥ × ≤ Ω ≤ Ω tuÞË ≥ Ω ’ w¼ lÞUI« Á—u× WœUF

≥ √ ∂ Ω ≥ √ ≥ × ≤ Ω »≤ Ω tuÞË ¨≤ Ω ” w¼ o«d*« Á—u× WœUF

WDIM« tOÝ√— bŠ√Ë ¨©¥≠ ¨ ≤® Áed Íc« bz«e« lDI« WœUF rÝdUÐ ÎU×u błË√ ∫©µ® ‰U¦

Æ ≥

µ Íed*« tö²š«Ë ¨©±≠ ¨ ≤®

tOÝ√— bŠ√Ë ¨©¥≠ ¨ ≤® WDIM« u¼ bz«e« lDI« ed Ê√ U0

¨ «œUB« —u; Ì“«u lÞUI« Á—u× ÊS ¨©±≠ ≤® WDIM«

Æ…—uB« vKŽ t²œUF ÊuJðË ¨©≥π≠µ® qJA« kŠô”

©±¨≤®±»

© ±≠ ¨≤®±—

’

©∑≠ ¨≤®≤—

©π≠¨≤®≤»

©¥≠ ¨≤®Â

©≥π≠µ® qJA«

± Ω ≤»

≤©Â ≠ ”® ≠

≤

≤©Ê ≠ ’®

± Ω ≤»

≤©≤ ≠ ”® ≠

≤

≤©¥ ´ ’®

Í√

≥ Ω Ω 5Ý√d« bŠ√Ë ed*« 5Ð bF³«

µ Ω ?ł UNMË ¨ ≥

?ł Ω

≥

µ ∴ ¨

?ł Ω ?¼

±∂ Ω ≤» UNMË ¨≤» ´ π Ω ≤µ ∴ ≤» ´ ≤ Ω ≤?ł

± Ω ±∂

≤©≤ ≠ ”® ≠

π

≤©¥ ´ ’® ∫w¼ WœUF*«

ÆWOÝUÝ_« ÁdUMŽ tOKŽ ÎUMO³ ÁUM×M rÝ—« ¨∞ Ω±±≠’∂≠”∏´≤”¥≠≤’ t²œUF bz«“ lD ∫©∂® ‰U¦

∞ Ω ±± ≠ ’∂ ≠ ”∏ ´ ≤”¥ ≠ ≤’

∫WœUF*« `³Bð ¨’ ¨” w lÐd*« ‰ULSÐ

¥ ≠ π ´ ±± Ω ©± ´ ”≤ ≠ ≤”®¥ ≠ ©π ´ ’∂ ≠ ≤’®

±∂ Ω ≤©± ≠ ”®¥ ≠ ≤© ≥ ≠’®

∏¥

∫`³Bð ±∂ vKŽ WœUF*« wdÞ WLIÐ

± Ω ¥

≤©± ≠ ”® ≠

±∂

≤©≥ ≠ ’®

± Ω ≤»

≤©Â ≠ ”® ≠

≤

≤©Ê ≠ ’® …—uB« vKŽ WœUF*« Ác¼Ë

∫tOË ¨©≥¨±® Ω ©Ê¨Â® ÁedË ¨ «œUB« —u; Ì“«u lÞUI« Á—u× Î«bz«“ ÎUFD q¦9 w¼Ë

¥ Ω UNMË ¨±∂ Ω ≤

≤ Ω » UNMË ¨¥ Ω ≤»

≤∞ Ω ¥ ´ ±∂ Ω ≤» ´ ≤ Ω ≤?ł

µ √ ≤ Ω ≤∞ √ Ω ?ł UNMË

∫kŠö½ tMË bz«e« lDI« vM×M q¦1 ©¥∞≠µ® qJA«

©¥≠ ≥ ¨ ±® ¨©¥´≥ ¨ ±® ∫UL¼ ÊUÝ√d«

©±≠ ¨ ±® ¨ ©∑ ¨ ±® Í√

© µ √ ≤≠≥ ¨ ±® ¨© µ √ ≤´≥ ¨±® ∫UL¼ ÊUð—R³«

∏ Ω ¥ × ≤ Ω ≤ Ω tuÞË ¨± Ω ” w¼ lÞUI« —u;« WœUF

¥ Ω ≤ × ≤ Ω »≤ Ω tuÞË ¨≥ Ω ’ w¼ o«d*« —u;« WœUF

”

© ∑ ¨±®±—

’

©±≠ ¨±®≤—

©≥ ¨±®Â

© µ √ ≤

´≥ ¨±®

±»

© µ √ ≤

≠≥ ¨±®

≤»

©¥∞≠µ® qJA«

∫WOÞËd*« ŸuDIK WUF« WœUF*«

∫…bŠu« Ác¼ WÝ«—œ w UMEŠô

Ϋbz«“ ÎUFD Â√ ¨ÎUBU½ ÎUFD Â√ ¨ÎU¾UJ ÎUFD Â√ ¨Î…dz«œ X½U√ Ρ«uÝ WOÞËd*« ŸuDI« lOLł ôœUF Ê√ ±

WO½U¦« Wł—b« s WœUF*« qJý cšQð

ÆÎUF dHB« ÊU¹ËU¹ ô »¨ ¨ ∋ ?¼ ¨ œ ¨ ?ł ¨ » ¨ YOŠ ¨ ∞ Ω ?¼ ´ ’ œ ´ ” ?ł ´ ≤’ » ´ ≤”

∫WIÐU« WœUF*« q¦9 ¨ ?¼ ¨ œ ¨ ?ł ¨ » ¨ XЫu¦K VÝUM —UO²šUÐ ≤

Æ» Ω ¨ ∞ ≠ » ¨ ∞ ≠ ÊU «–≈ …dz«œ √

ÆΫdH UL¼ö fOË ∞ Ω » Ë√ ∞ Ω ÊU «–≈ ÎU¾UJ ÎUFD »

» ≠ ¨ ∞ < » ÊU «–≈ ÎUBU½ ÎUFD ?ł

∞ > » ÊU «–≈ Ϋbz«“ ÎUFD œ

∏µ

Ë√ ¨TUJ lD Ë√ ¨…dz«œ v≈ ŸuDI« Ác¼ nM ¨WOÞËd ÎUŽuD q¦9 WOU²« ôœUF*« ∫©∑® ‰U¦

∫bz«“ lD Ë√ ¨hU½ lD

∞ Ω ±∑ ´ ’∏ ≠ ”≤ ´ ≤” » ∞ Ω ’¥ ≠ ”≤ ´ ≤’ ´ ≤” √

∞Ω π∞≠’¥∞´”±≤´≤’¥≠≤”≤ œ ∞ Ω ±±≠’±∂≠”±∏´≤’¥´≤”π ?ł

∞ ≠ » Ω Ê_ p–Ë ª…dz«œ q¦9 ∞ Ω ’¥ ≠ ”≤ ´ ≤’ ´ ≤” √

∞ Ω » ¨ ∞ ≠ Ê_ p–Ë ªÎU¾UJ ÎUFD q¦9 ∞ Ω ±∑ ´ ’∏ ≠ ”≤ ´ ≤” »

» ≠ ¨∞<≥∂Ω¥×πΩ» Ê_ p–Ë ªÎUBU½ ÎUFD q¦9 ∞ Ω±±≠’±∂ ≠”±∏´≤’¥´≤”π ?ł

∞>∏≠Ω¥≠×≤Ω» Ê_ p–Ë ªÎ«bz«“ ÎUFD q¦9 ∞ Ω π∞≠’¥∞´”±≤´≤’¥≠≤”≤ œ

©≥≠µ® s¹—U9

w Íed*« ·ö²šô«Ë ¨s¹—u;« s q ‰uÞ pcË ¨5ð—R³«Ë ¨5Ý√d«Ë ¨ed*« UOŁ«bŠ≈ błË√ ±

∫WUŠ q w vM×M*« rÝ—« rŁ ¨WOU²« …bz«e« ŸuDI« s >q

± Ω ∂¥

≤” ≠

≥∂

≤’ » ± Ω

≤µ

≤’ ≠

±¥¥

≤” √

± Ω ±≥

≤©± ´ ’® ≠

≥∂

≤©≤ ≠ ”® œ ±¥¥ Ω ≤’±∂ ≠ ≤”π ?ł

∞ Ω ±∂ ≠ ’∏ ≠ ≤’ ≠ ”¥ ´ ≤” Ë ± Ω ±π

≤©¥ ´ ”® ≠

∏±

≤©≤ ´ ’® ?¼

∫WOU²« ôU(« s >q w ÁUM×M rÝ—« rŁ ¨bz«e« lDI« WœUF błË√ ≤

Ʊ∓ Ω ’ bMŽ «œUB« —u× lDI¹Ë ©≤∓ ¨ ∞® ÊUð—R³« √

≤ Ω ?¼ Íed*« ·ö²šô«Ë ©µ∓ ¨ ≤® ÊUÝ√d« »

Æ≤

≥ Íed*« ·ö²šô«Ë ©≥≠ ¨ ¥∓® ÊUð—R³« ?ł

sŽ U¼bFÐ wK¦ ©∞ ¨ ¥® WDIM« bMŽ U¼bFÐ ÊuJ¹ YO×Ð wð—UJ¹b« Èu²*« w ©’ ¨ ”® Ê WDI½ „dײð ≥

ÆWOÝUÝ_« ÁdUMŽ 5ŽË ¨bz«“ lD u¼ Ê WDIMK wÝbMN« q;« Ê√ 5РƱ Ω ” rOI²*«

ÆtOKŽ WF«u« ©≤

≥ ¨ µ≠® WDIM« bMŽ ± Ω

¥

≤’ ≠

±∂

≤” ∫bz«e« lDIK ÍœuLF«Ë ”UL*« WœUF błË √ ¥

∏∂

WUŽ s¹—U9

∫WOðü« WK¾Ý_« s ÌqJ W×O×B« WÐUłù« d²š« ±

∫w¼ ¨©≥ ¨ ∞® tð—RÐË ¨©∞ ¨ ∞® tÝ√— Íc« TUJ*« lDI« WœUF ±

”±≤Ω ≤’ œ ”¥ Ω ≤’ ?ł ’±≤ Ω ≤” » ’¥ Ω ≤” √

∫w¼ ¨≤ Ω ” tKOœË ¨©∞ ¨ ∞® tÝ√— Íc« TUJ*« lDI« WœUF ≤

”∏≠ Ω ≤’ œ ”¥≠ Ω ≤’ ?ł ”∏ Ω ≤’ » ”≤ Ω ≤’ √

∫w¼ ¨¥ Ω ” tKOœË ¨©≥ ¨ ≤® WDIM« tÝ√— Íc« ¡vUJ*« lDI« WœUF ≥

≤©≤ ≠ ”® ±∂ Ω ©≥ ≠ ’® » ≤©≤ ≠ ”®¥ Ω ©≥ ≠ ’® √

©≤ ≠ ’®∏≠ Ω ≤©≥ ≠ ”® œ ©≤ ≠ ”®∏≠ Ω ≤©≥ ≠ ’® ?ł

∫w¼ ¨ ≤

± Íed*« tö²š«Ë ¨©∞ ¨ ≤≠® ¨ ©∞ ¨ ≤® ÁUÝ√— Íc« hUM« lDI« WœUF ¥

± Ω ≤

≤” ´

¥

≤’ » ± Ω

≤

≤’ ´

¥

≤” √

± Ω ≥

≤’ ´

¥

≤” œ ± Ω

≤

≤©≤ ´ ’® ´

¥

≤©≤ ≠ ”® ?ł

∫u¼ ¨± Ω µ

≤©± ´ ’® ´

π

≤©± ≠ ”® hUM« lDIK Íed*« ·ö²šô« µ

≥

µ œ

≥

≤ ?ł

π

¥ » ¥ √

∫UL¼ ¨± Ω µ

≤©± ´ ’® ´

π

≤©± ≠ ”® hUM« lDI« Uð—RÐ ∂

©±≠ ¨ ±≠® ¨ ©±≠ ¨ ≥® œ ©±≠ ¨ ≥ ∓® ?ł ©∞ ¨ ≥ ∓® » ©∞ ¨ ≤ ∓® √

∫w¼ ¨∞ Ω ¥ ≠ ”¥ ≠ ≤’ TUJ*« lDIK qOb« WœUF ∑

±≠ Ω ” œ ≤≠ Ω ’ ?ł ≤≠ Ω ” » ≤ Ω ” √

∫w¼ ¨≤≠ Ω ’ tKOœË ¨©± ¨ ±® tÝ√— Íc« ¡vUJ*« lDI« WœUF ∏

≤©± ≠ ”® Ω ©± ≠ ’® ±≤≠ » ©± ≠ ”® ∏≠ Ω ≤©± ≠ ’® √

≤©± ≠ ”® Ω ©± ≠ ’® ±≤ œ ≤©± ≠ ”®±≤ Ω ± ≠ ’ ?ł

∫w¼ ¨±∏ Ω ≤©± ≠ ”®≥ ≠ ≤©≤ ´ ’®≤ bz«e« lDI« wÝ√— UOŁ«bŠ≈ π

©≥≠ ¨±® ¨ ©≥ ¨±® œ ©µ≠ ¨±® ¨©± ¨±® ?ł ©∞ ¨≥ ∓® » ©≤¨± ∓® √

∫UL¼ ¨± Ω ¥

≤©≥ ≠ ’® ≠

¥µ

≤©≤ ´ ”® bz«e« lDI« Uð—RÐ ±∞

©≥ ∓ ¨ ∑® œ ©≥ ¨ π≠® ¨ ©≥ ¨ µ® ?ł ©≥ ¨ ∑ ∓® » ©∞ ¨ ∑ ∓® √

∏∑

∫w¼ ¨©≥ ¨ ≤® WDIMUÐ d1Ë ¨©∞ ¨ ≤® tOð—RÐ ÈbŠ≈Ë ¨©∞ ¨ ∞® Áed Íc« bz«e« lDI« WœUF ±±

≤ Ω ≤’¥ ≠ ≤”µ » ≥ Ω ≤’≥ ≠ ≤” √

≥ Ω ≤”≥ ≠ ≤’ œ ≥ Ω ≤’ ≠ ≤”≥ ?ł

∫u¼ ¨± Ω ≤±

≤©≥ ´ ’® ≠

¥

≤©± ≠ ”® bz«e« lDIK Íed*« ·ö²šô« ±≤

µ

≤ œ

≤

µ ?ł

¥

≤µ » µ √

∫q¦9 dH Ω µ ´ ’±∞ ≠ ”≤∞ ≠ ≤’µ WœUF*« ±≥

ÎUBU½ ÎUFD œ Ϋbz«“ ÎUFD ?ł ÎU¾UJ ÎUFD » Î…dz«œ √

∫w¼ ¨ ?ł ´ ” » ´ ≤” Ω ’ ¡vUJ*« lDIK qŁUL²« —u× WœUF ±¥

» Ω ’ œ

≤

» Ω ” ?ł

» ≠ Ω ” »

≤

» ≠ Ω ” √

∫WOÝUÝ_« U¼dUMŽ ÎUMO³ WOU²« WOÞËd*« ŸuDI« s Îö rÝ—« ≤

±∞ Ω ’±≤ ´ ”¥ ´ ≤’∂ ≠ ≤”≤ » ±∞ Ω ’∏ ´ ≤’≤ ≠ ≤” √

± Ω ’∏ ≠ ”±∂ ´ ≤’∏ ´ ≤”∏ œ ±∞ Ω ”∏ ´ ’≤ ´ ≤” ?ł

∫WUŠ q w …UDF*« WDIM« bMŽ WOU²« WOÞËd*« ŸuDI« s >qJ ÍœuLF«Ë ”UL*« WœUF błË√ ≥

©± ¨ ≤≠® ¨ π Ω ≤’ ´ ≤”≤ » ©¥ ¨ ±≠® ¨ ±∞ Ω ”∂ ´ ≤’ √

Æ©±≠ ¨ ≤® ¨ µ Ω ≤’≥ ≠ ≤”≤ ?ł

©¥ ¨ ∞® WDIM« sŽ U¼bFÐ ÊuJ¹ YO×Ð wð—UJ¹b« Èu²*« w „dײð WDIM wÝbMN« q;« WœUF błË√ ¥

Æπ Ω ’ rOI²*« sŽ U¼bFÐ ≥

≤ ÎU¹ËU

UOŁ«bŠ≈ błË√ Æ©∂¨∞® WDIM« w «œUB« —u× ÊUFDI¹ ≥∂ Ω≤’¥´≤”π hUM« lDIK ÊUÝU2 µ

Æ”UL²« w²DI½

©∂¨±® WDIM« sŽ «bŠË µ UNM q bF³¹ w²«Ë ¨≥ Ω ’≤ ´ ” rOI²*« j)« vKŽ WF«u« jIM«ØWDIM« błË√ ∂

Æ”UL²« WDI½ 5ŽË ¨≥ ≠ ” Ω ’ rOI²*« Í“«u¹ Íc«Ë ¨”±≤ Ω ≤’ ¡vUJ*« lDIK ”UL*« WœUF błË√ ∑

Æ UMO« —u× Í“«u¹ Á—u×Ë ¨©±¨≤®¨©±≠¨±®¨©≤¨±≠® ◊UIMUÐ d1 Íc« ¡vUJ*« lDI« WœUF błË√ ∏

Æ©≥ ¨ ¥≠® ¨ ©≤ ¨ ∂® 5²DIMUÐ d1Ë ¨ÊUOŁ«bŠù« Ê«—u;« UL¼ Á«—u× Íc« hUM« lDI« WœUF błË√ π

‰uŠ WKU …—Ëœ ± Ω ¥

≤’ ´

π

≤” hUM« lDIUÐ …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM« r'« r−Š błË√ ±∞

Æ UMO« —u×

ÊU «–S ¨tOð—RÐ ÈbŠ≈ w ÷—_« ed ¨hU½ lD W¾O¼ vKŽ Ì—«b w ÷—_« ‰uŠ wŽUM dL —Ëb¹ ±±

·ö²šô« —«bI UL ¨qO ±∑∞∞ Ω ÷—_« sŽ t bFÔÐ d³√Ë ¨qO ≤≥∞ Ω ÷—_« sŽ t bFÔÐ dG√

øqO ¥∞∞∞ Ω ÷—_« dD nB½ ÊU «–≈ —«bLK Íed*«

∏∏

ôU??????L??????²??????Šô« ∂…b???????Šu???????«

∏π

(Conditional Probability & Independent Events) Àœ«u(« ‰öI²Ý«Ë ◊ËdA*« ‰UL²Šô« ±≠∂

∫bONLð

iFÐ ôUL²Š« »UŠ w Âb²ð UöŽË 5½«uË ¨ ôUL²Šô« W¹dE½ w WOÝUÝ√ rO¼UH ÎUIÐUÝ XdFð

∫wK¹ ULO UNL¼QÐ „dc½ ¨…bŠu« Ác¼ .bIð w UN²OL¼_Ë 5½«uI«Ë rO¼UH*« ÁcN ÎU²O³¦ðË ªÀœ«u(«

ÆU WOz«uAŽ WÐd−² WMJL*« "«uM« lOLł WŽuL− u¼ Ω wMOF« ⁄«dH«

ÆΩ wMOF« ⁄«dH« s WOzeł WŽuL− W¹√ u¼ Õ ÀœU(«

∫YO×Ð ÀœU(« ŸuË Wd q¦1 wIOIŠ œbŽ u¼ ¨©Õ®‰ Í√ Õ ÀœU(« ‰UL²Š«

Ω ⊇ Õ ∀ ± ≥ ©Õ®‰ ≥ ∞ ±

± Ω ©Ω®‰ ≤

ÆÊöBHM 5ŁœU(« Ê√ Í√ ¨∅ Ω ≤

Õ ∩±

Õ YOŠ ¨ ©≤

Õ®‰ ´ ©±

Õ®‰ Ω ©≤

Õ ∪±

Õ®‰ ≥

Ác¼ wË ¨WÐd−²« "«u½ lOLł ôUL²Š« tO ÈËU²ð Íc« ‰UL²Šô« ⁄«d u¼ rE²M*« ‰UL²Šô« ⁄«d

©Ω®Ÿ

©Õ®Ÿ Ω

Ω dUMŽ œbŽ

Õ dUMŽ œbŽ Ω ©Õ®‰ ÊuJ¹ WU(«

∫‰UL²Šô« 5½«u

ΫdH ÍËU¹ qOײ*« ÀœU(« ‰UL²Š« Ê√ Í√ ¨ ∞ Ω ©∅®‰ ±

ÀœU(« ‰UL²Š« ≠ ± Ω rL²*« ÀœU(« ‰UL²Š« Ê√ Í√ ¨ ©Õ®‰ ≠ ± Ω ©Õfl

®‰ ≤

©≤

Õ ∩ ±

Õ®‰ ≠ ©±

Õ®‰ Ω ©≤

Õ ≠ ±

Õ®‰ ≥

Ω ⊇ ≤

Õ ¨ ±

Õ ∀ ¨ ©≤

Õ ∩ ±

Õ®‰ ≠ ©≤

Õ®‰ ´ ©±

Õ®‰ Ω ©≤

Õ ∪ ±

Õ®‰ ¥

¨◊ËdA*« ‰UL²Šô« wuNH ¨…dB² …—uBÐ ¨UC¹√ XdFð b XM ¨WIÐU« 5½«uI«Ë rO¼UH*« sŽ ÎöCË

∫wK¹ ULO qOBH²« s ¡wAÐ ULN'UFMÝ UM½S ¨wuNH*« s¹c¼ WOL¼_ ΫdE½Ë ¨Àœ«u(« ‰öI²Ý«Ë

π∞

∫◊ËdA*« ‰UL²Šô«

lOLłË ±

Õ ÀœU(« "«u½ 5Ð WöF« WdF ±

Õ q¦ 5F ÀœUŠ ‰UL²Š« »UŠ VKD²¹ ¨ÂuKF u¼ UL

b ≤

Õ q¦ U ÎUŁœUŠ ÊQÐ UuKF d«u²ð ÊUOŠ_« iFÐ w t½√ dOž ÆWOz«uAF« WÐd−²K Ω wMOF« ⁄«dH« w "«uM«

±

Õ ŸuË ‰UL²Š« »UŠ sJ1Ë ¨±

Õ ŸuË ‰UL²Š« vKŽ dOŁQð ≤

Õ ÀœU(« Ÿuu ÊuJ¹ b ¨WU(« Ác¼ w ÆlË

Æ≤

Õ ÀœU(« "«u½Ë ±

Õ ÀœU(« "«u½ 5Ð WöF« WdF ‰öš s ≤

Õ ŸuË ◊dAÐ

©◊ËdAL« ‰UL²Šô«® ∫n¹dFð

¨

≤

Õ ŸuË ◊dAÐ ±

Õ ŸuË ‰UL²Š« ÊS ¨∞ ≠ ©≤

Õ®‰ YO×Ð Ω wMOŽ ⁄«d w 5ŁœUŠ ≤

Õ ¨

±

Õ ÊU «–≈

∫«cJ¼ ·dF¹ ¨©≤

Õ Ø±

Õ®‰ edUÐ t ed¹Ë

∞ ≠ ©≤

Õ®‰ ¨ ©

≤

Õ®‰

©≤

Õ ∩ ±

Õ®‰ Ω ©

≤

Õ Ø±

Õ®‰

©

≤

Õ®Ÿ

©≤

Õ ∩ ±

Õ®Ÿ Ω ©

≤

Õ Ø±

Õ®‰ ÊuJ¹ rE²M*« ‰UL²Šô« ⁄«d WUŠ wË

vË_« WOd« w jIM« œbŽ b¹e¹ ô√ ‰UL²Š« U ¨5²OU²² 5ðd rE²M œd½ d−Š ¡UI≈ bMŽ ∫©±® ‰U¦

ø≤ ÍËU¹ s¹d¼UE« s¹œbF« 5Ð oKD*« ‚dH« Ê√ XLKŽ «–≈ ¥ vKŽ

≥∂ = (Ω) dUMŽ œbŽ Æ ©∂ ¨∂® ¨ ÆÆÆ ¨ ©±¨≤® ¨ ©± ¨±® = Ω

¥ vKŽ vË_« WOd« w jIM« œbŽ b¹e¹ ô√ ÀœUŠ ∫ ±

Õ Ê√ ÷dH½

≤ ÍËU¹ s¹d¼UE« s¹œbF« 5Ð oKD*« ‚dH« ÀœUŠ ∫≤

Õ

©¥¨∂® ¨©≥¨µ® ¨©∂¨¥® ¨©≤¨¥® ¨©µ¨≥® ¨©±¨≥® ¨©¥¨≤® ¨©≥¨±® Ω ≤

Õ

ÍËUð ¥ vKŽ UNO ‰Ë_« jI*« b¹e¹ ô w²« ≤

Õ "«u½ WŽuL−

©∂¨¥® ¨©≤¨¥® ¨©µ¨≥® ¨©±¨≥® ¨©¥¨≤® ¨©≥¨±® Ω ≤

Õ ∩ ±

Õ

¥

≥ Ω

∏

∂ Ω

≥∂

∂

≥∂

∏

Ω ©

≤

Õ®‰

©≤

Õ ∩ ±

Õ®‰ Ω ©

≤

Õ Ø ±

Õ®‰ ∴

ÊS rE²M ‰UL²Šô« ⁄«d Ê√ U0 ∫dš¬ qŠ

¥

≥ Ω

∏

∂ Ω

©≤

Õ®Ÿ

©≤

Õ ∩ ±

Õ®Ÿ Ω ©

≤

Õ Ø ±

Õ®‰

π±

∫błËQ ¨∞[∑µ Ω ©±

ÕØ≤

Õ®‰ ¨∞[∑ Ω ©≤

Õ®‰ ¨∞[∂ Ω ©±

Õ®‰ YO×Ð ¨Ω ⊇ ≤

Õ ¨ ±

Õ ÊU «–≈ ∫©≤® ‰U¦

©±

ÕØ ≤

Õfl

®‰ ?ł ©≤

ÕØ ±

Õ®‰ » ©≤

Õ ∪ ±

Õ®‰ √

©

±

Õ®‰

©±

Õ ∩ ≤

Õ®‰ Ω ©

±

Õ Ø ≤

Õ®‰ √

∞[∂

©±

Õ ∩ ≤

Õ®‰ Ω ∞[∑µ ∴

©≤

Õ ∩±

Õ®‰ Ω ∞[¥µ Ω ∞[∂ × ∞[∑µ Ω ©±

Õ ∩≤

Õ®‰ ∴

©≤

Õ ∩ ±

Õ®‰ ≠ ©≤

Õ®‰ ´ ©±

Õ® ‰ Ω ©≤

Õ ∪±

Õ®‰

∞[∏µ Ω ∞[¥µ ≠ ∞[∑ ´ ∞[∂ Ω

©

≤

Õ®‰

©≤

Õ ∩ ±

Õ®‰ Ω ©

≤

Õ Ø ±

Õ®‰ »

±¥

π Ω

∑∞

¥µ Ω

∞[∑∞

∞[¥µ Ω

©

±

Õ®‰

©≤

Õ ≠ ±

Õ®‰ Ω

©±

Õ®‰

©±

Õ ∩ ≤

Õfl

®‰ Ω ©

±

ÕØ ≤

Õfl

®‰ ?ł

©

±

Õ®‰

©≤

Õ ∩ ±

Õ®‰ ≠ ©±

Õ®‰ Ω

∞[≤µ Ω ∞[∂∞

∞[±µ Ω

∞[∂

∞[¥µ ≠ ∞[∂ Ω

∫sOŁœUŠ lÞUIð ‰UL²Š«

©

±

Õ®‰

©±

Õ ∩ ≤

Õ®‰ Ω ©

±

Õ Ø ≤

Õ®‰ ©

≤

Õ®‰

©≤

Õ ∩ ±

Õ®‰ Ω ©

≤

Õ Ø ±

Õ®‰ Ê√ rKF½

∫WOU²« …bŽUI« vKŽ qB×½ ¨©±

Õ ∩≤

Õ®‰ Ω ©≤

Õ ∩±

Õ®‰ Ê√ WEŠö0Ë ¨wœU³²« »dC« WOKLŽ ¡«dłSÐË

∫…bŽU©

≤

Õ Ø ±

Õ®‰ × ©≤

Õ®‰ Ω ©±

Õ Ø ≤

Õ®‰ × ©±

Õ®‰ Ω ©≤

Õ ∩ ±

Õ ®‰

π≤

w«u²« vKŽ ÊUðd tM X³×Ý ªs¹Ë«œuÝ 5ðdË ¡UCOÐ «d lЗ√ vKŽ ‚ËbM Íu²×¹ ∫©≥® ‰U¦

∫ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« U ¨ŸUł—≈ ÊËœ

øÊuK« w²HK² ?ł ø¡«œuÝ UL¼U²K » ø¡UCOÐ WO½U¦«Ë ¡UCOÐ vË_« √

©» WO½U¦« ∩ » vË_«®‰ Ω ©» WO½U¦«Ë » vË_« ®‰ √

©» vË_«Ø» WO½U¦«®‰ × ©» vË_«®‰ Ω

∞[¥ Ω ≥∞

±≤ Ω

µ

≥ ×

∂

¥ Ω

©±≠∂® qJA« dE??½«

©¡«œuÝ UL¼U²K®‰ »

©” WO½U¦« ∩ ” vË_«®‰ Ω

©” vË_« Ø” WO½U¦«® ‰ × ©” vË_«®‰ Ω

±µ

± Ω

µ

± ×

∂

≤ Ω

∂

¥

»

∂

≤

µ

≥ »

”µ

≤

”

µ

¥

µ

±

©» »®

©” »®

©» ”®

©” ”®

…dJ«

vË_«

…dJ«

WO½U¦«

"«uM«

»

”

©±≠∂® qJA« ©ÊuK« w²HK²® ‰ ?ł

©¡UCOÐ WO½U¦«Ë ¡«œuÝ vË_« Ë√ ¡«œuÝ WO½U¦«Ë ¡UCOÐ vË_«®‰ Ω

©ÊöBHM ÊUŁœU(«® ©» ”®‰ ´ ©” »®‰ Ω

±µ

∏ Ω

≥∞

±∂ Ω

µ

¥ ×

∂

≤ ´

µ

≤ ×

∂

¥ Ω

vKŽ «d ÀöŁ tM X³×Ý ¨¡«dLŠ «d fLšË ¡UCOÐ «d ±∞ vKŽ ‚ËbM Íu²×¹ ∫©¥® ‰U¦

∫ «dJ« ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« U ¨ŸUł—≈ ÊËœ w«u²«

øs¹ËUCOÐ UNM jI ÊU²MŁ« » ø¡UCOÐ UNFOLł √

π±

≤¥ Ω

±≥

∏ ×

±¥

π ×

±µ

±∞ Ω ©» » »®‰ Ω ©¡UCOÐ «dJ« lOLł®‰ √

© » » Õ ¨ » Õ » ¨Õ » »®‰ Ω ©s¹ËUCOÐ UNM jI ÊU²MŁ«®‰ »

±≥

π ×

±¥

±∞ ×

±µ

µ ´

±≥

π ×

±¥

µ ×

±µ

±∞ ´

±≥

µ ×

±¥

π ×

±µ

±∞ Ω

π±

¥µ Ω

π±

±µ × ≥ Ω

π≥

UNO “U «–≈ WLö*« ‰e²F¹ Ê√ ‰UL²Š«Ë ¨ ∞[∑ u¼ …«—U³ w rö “uH¹ Ê√ ‰UL²Š« ÊU «–≈ ∫©µ®‰U¦

∫‰UL²Š« VŠU ¨∞[¥ u¼ UNO eH¹ r «–≈ WLö*« ‰e²F¹ Ê√ ‰UL²Š«Ë ¨∞[≤ u¼

Ɖe²F¹Ë …«—U³*« w “uH¹ Òô√ » ÆWLö*« ‰e²F¹ ôË …«—U³*« Ác¼ w “uH¹ Ê√ √

…«—U³*« Ác¼ w rö*« “u ÀœUŠ · Ê√ ÷dH½

∫ÊuJO ¨WLö*« t«e²Ž« ÀœUŠ Ÿ Ê√Ë

©· Ø Ÿfl

®‰ × ©·®‰ Ω ©Ÿfl

∩·®‰ √

∞[µ∂ Ω ∞[∏ × ∞[∑ Ω

©≤≠∂®qJA« dE½«

©·fl

ØŸ®‰ × ©·fl

®‰ Ω ©Ÿ ∩·fl

®‰ »

∞[±≤ Ω ∞[¥ × ∞[≥ Ω

·

Ÿ

Ÿfl

·

fl

Ÿ

Ÿfl

∞[∑

∞[≥

∞[≤

∞[∏

∞[¥

∞[∂

©Ÿ ·®

©Ÿfl

·®

©Ÿ ·

fl

®

©Ÿfl

·

fl

®

©≤≠∂® qJA«

Àœ«u(« ‰öI²Ý«

fO «c¼ Ê√ dOž ¨dšü« ŸuË ‰UL²Š« w dOŁQð t ÊU 5ŁœUŠ bŠ√ ŸuË Ê√ WIÐU« WK¦_« w UMEŠô

Ác¼ Ê≈ ‰uI½ WU(« Ác¼ wË ¨dšü« ŸuË ‰UL²Š« vKŽ U¼bŠ√ ŸuË dŁR¹ ô Àœ«uŠ błuð –≈ ªÎULz«œ W²ÐUŁ …bŽU

ÆWKI² Àœ«u(«

∫©Àœ«u׫ ‰öI²Ý«® n¹dFð

Ʊ

Õ ŸuË ‰UL²Š« w dŁR¹ ô ¨tŽuË ÂbŽ Ë√ ¨≤

Õ ŸuË ÊU «–≈ ≤

Õ ÀœU(« sŽ qI² ±

Õ ÀœU(« Ê≈ ‰uI½

©±

Õ®‰ Ω ©≤

Õ Ø ±

Õ®‰ Ê√ Í√

©

≤

Õ®‰

©≤

Õ ∩ ±

Õ®‰ Ω ©

≤

Õ Ø ±

Õ®‰ Ê≈ YOŠË

©≤

Õ®‰ × ©±

Õ®‰ Ω ©≤

Õ ∩ ±

Õ®‰ UNMË ©

≤

Õ®‰

©≤

Õ ∩ ±

Õ®‰ Ω ©

±

Õ®‰ ∴

‰öI²Ýö dš¬ ÎUH¹dFð …bŽUI« Ác¼ cšRðË

∫n¹dFð

©≤

Õ®‰ × ©±

Õ®‰ Ω ©≤

Õ ∩ ±

Õ®‰ ⇔ 5KI² ≤

Õ ¨ ±

Õ ÊuJ¹

π¥

w«u²« vKŽ ÊUðd tM X³×Ý ¨¡«œuÝ …bŠ«Ë …dË ¡UCOÐ «d lЗ√ vKŽ ‚ËbM Íu²×¹ ∫©∂® ‰U¦

∫ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« U ¨ŸUł—ù« l

ø¡«œuÝ Èdš_«Ë ¡UCOÐ UL¼«bŠ« » ø¡UCOÐ UL¼U²K √

©» WO½U¦« ∩ » vË_«®‰ Ω ©¡UCOÐ UL¼U²K®‰ √

≤µ

±∂ Ω

µ

¥ ×

µ

¥ Ω ©» WO½U¦«®‰ × ©» vË_«®‰ Ω

©¡«œuÝ Èdš_«Ë ¡UCOÐ UL¼«bŠ≈®‰ »

©¡UCOÐ WO½U¦«Ë ¡«œuÝ vË_«®‰ ´ ©¡«œuÝ WO½U¦«Ë ¡UCOÐ vË_«®‰ Ω

≤µ

¥ Ω

µ

¥ ×

µ

± ´

µ

± ×

µ

¥ Ω ©» ”®‰ ´ ©” » ®‰ Ω

∫WEŠö

∫ÊS WKI² Àœ«uŠ Ê

Õ ÆÆƨ ≤

Õ ¨ ±

Õ X½U «–≈

©Ê

Õ®‰ × ÆÆÆ × ©≤

Õ®‰ × ©±

Õ®‰ Ω © Ê

Õ ∩ ÆÆÆ∩ ≤

Õ ∩ ±

Õ®‰

UNO oKD¹ …d q w ·bNK t²ÐU« ‰UL²Š« ÊU «–S ¨XÐUŁ ·b¼ vKŽ —UM« qł— oKD¹ ∫©∑® ‰U¦

∫ «d lЗ√ ·bN« vKŽ qłd« oKÞ√ Æ ≥

± Ω —UM«

øjI vË_« …d*« w ·bN« VOB¹ Ê√ ‰UL²Š« U √

øjI …dOš_«Ë vË_« 5ðd*« w ·bN« VOB¹ Ê√ ‰UL²Š« U »

ø·bN« »UB¹ Ê√ ‰UL²Š« U ?ł

Æ·bN« TD¹ Ê√ ÀœUŠ Œ ¨ ·bN« VOB¹ Ê√ ÀœUŠ ’ Ê√ ÷dH½

≥

± Ω XÐUŁ …d q w ·bN« qłd« VOB¹ Ê√ ‰UL²Š«

WKI² Àœ«u(« Ê√ Í√ ¨WIÐUÝ WO— w W²ÐUSÐ dŁQ²¹ô U WO— w WÐUù« ‰UL²Š« Ê√ Í√

© Œ Œ Œ ’®‰ Ω ©jI vË_« …d*« w ·bN« VOB¹ Ê√®‰ √

∏±

∏ Ω

≥

© ≥

≤ ® ×

≥

± Ω

©’ Œ Œ ’® ‰ Ω ©jI …dOš_«Ë vË_« 5ðd*« w ·bN« VOB¹ Ê√®‰ »

∏±

¥ Ω

≥

± ×

≤

© ≥

≤ ® ×

≥

± Ω

∏±

∂µ Ω

¥

© ≥

≤ ® ≠ ± Ω ©Œ Œ Œ Œ® ‰ ≠ ± Ω ©·bN« »UB¹ Ê√ ®‰ ?ł

πµ

©±≠∂® s¹—U9

∫błËQ ¨∞[µµ ©≤

Õ ≠ ±

Õ®‰ ¨∞[≤µ Ω ©≤

Õ®‰ ¨∞[∑ Ω ©±

Õ®‰ YO×Ð ¨Ω ⊇ ≤

Õ ¨ ±

Õ ÊU «–≈ ±

©≤

Õfl

Ø ±

Õfl

®‰ » ©≤

ÕØ ±

Õ®‰ √

«–≈ q_« vKŽ ÊUð—u W¹uKF« Áułu« vKŽ dNEð Ê√ ‰UL²Š« U ¨ «d lЗ√ WLE²M bI½ WFD ¡UI≈ bMŽ ≤

øvË_« … Òd*« w …—u dNþ

¨©≤

Õ ∩ ±

Õ®‰≥ Ω ©≤

Õ®‰≤ Ω ©±

Õ®‰ YO×Ð ¨ Ω ⊇ ≤

Õ ¨ ±

Õ ÊU «–≈ ≥

Æ©±

Õ ®‰ błËQ 5KI² ≤

Õ ¨ ±

Õ ÊU «–≈Ë » ©≤

ÕØ ±

Õ ®‰ błËQ √

∫wðüU WOMODKH« UEU;« ÈbŠ≈ W³KD U WMÝ w WUF« W¹u½U¦« ÊUײ« W−O²½ X½U «–≈ ¥

ŸdH«wÐœ_«wLKF«Í—U−²«wŽUMB«

W³KD« œbŽ±≥∞∞±∞∞∞π∞∞∏∞∞

ÕU−M« W³½•∑∞•∑µ•∏∞•∂µ

ÎUOz«uAŽ 5bI²*« bŠ√ dO²š«Ë

ø`łU½ t½√ rKŽ «–≈ Í—U−²« ŸdH« s ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« U √

øVÝ«— t½√ rKŽ «–≈ wLKF« ŸdH« s ÊuJ¹ ô√ ‰UL²Š« U »

…bŠ«Ë …dË Ê«Ë«dLŠ ÊUðd w½U¦« wË ¨¡UCOÐ «d ÀöŁË ¡«dLŠ «d l³Ý ‰Ë_« w ÊUËbM µ

s X³×Ý rŁ w½U¦« ‚ËbMB« v≈ ‰Ë_« ‚ËbMB« s …b??Š«Ë …d XKI½ ª¡«œu??Ý …b??Š«Ë …dË ¡UCOÐ

∫ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« VŠ« ª…bŠ«Ë …d w½U¦« ‚ËbMB«

tH½ ÊuK« sWÐu×*«Ë WuIM*« …dJ« » ¡«dLŠ WÐu×*«Ë ¡UCOÐ WuIM*« …dJ« √

∞[∏≤ Ω ©≤

Õ ∪ ±

Õ®‰ ¨∞[¥ Ω ©≤

Õ®‰ ¨∞[∑ Ω ©±

Õ®‰ YO×Ð ¨wMOŽ ⁄«d w 5ŁœUŠ ≤

Õ ¨ ±

Õ ÊU «–≈ ∂

øÊöBHM ≤

Õ ¨ ±

Õ q¼ » ø ÊöI² ≤

Õ ¨ ±

Õ q¼ √

Æ≤ rd« WOU³« «dJ« s q qL×¹Ë ¨± rd« UNM «d fLš qL% ¨WNÐUA² …d ≤∞ vKŽ ‚ËbM Íu²×¹ ∑

ø ≥ ÍËU¹ s¹d¼UE« 5Ld« ŸuL− ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« U ¨ŸUł—ù« l w«u²« vKŽ ÊUðd tM X³×Ý

øq_« vKŽ …bŠ«Ë … Òd …—u dNEð Ê√ ‰UL²Š« U ¨ «d fLš œuI½ WFD ¡UI≈ bMŽ ∏

u¼ ‰Ë_« VUD« tK×¹ Ê√ ‰UL²Š« ÊU «–S ¨…bŠ vKŽ q ôUL²Šô« w ‰«RÝ q( »öÞ WŁöŁ ÂbIð π

ø‰«R« q Ò×Ô¹ Ê√ ‰UL²Š« UL ¨∞[∂ YU¦« tK×¹ Ê√ ‰UL²Š«Ë ¨∞[∑ u¼ w½U¦« tK×¹ Ê√ ‰UL²Š«Ë ¨∞[∏

∫Ê√ X³ŁQ ¨5KI² 5ŁœUŠ ≤

Õ ¨ ±

Õ ÊU «–≈ ±∞

ÊöI² ≤

Õfl

¨ ±

Õ » ÊöI² ≤

Õfl

¨ ±

Õfl

√

π∂

(Bayes' Theorem) eOÐ W¹dE½ ≤≠∂

s ÌdO¦ w Àb×¹ t½√ dOž ¨dš¬ ÀœUŠ ŸuË ◊dAÐ 5F ÀœUŠ ŸuË ‰UL²Š« oÐU« bM³« w UMÝ—œ

¨Ω wMOF« ⁄«dH« Àœ«uŠ s ÀœUŠ s d¦√ ŸuuÐ Õ q¦ ÀœUŠ ŸuË ‰UL²Š« dŁQ²¹ Ê√ WOz«uAF« »—U−²«

ÆWMOF ◊Ëdý d«uð bMŽ ‰UL²Šô« «c¼ »UŠ bM³« «c¼ w ZUFMÝË

∫n¹dFð

ÊUÞdA« d«uð «–≈ jIË «–≈ …bŽU³²Ë WKUý Ω ⊇ Ê

Õ ∞∞∞ ¨≥

Õ ≤

Õ ±

Õ WOU)« dOž Àœ«u(« Ê≈ ‰UI¹

∫ÎUF ÊUOU²«

©WKUý Àœ«u(«® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ Ω Ω Ê

Õ ∪ ÆÆÆ ≥

Õ ∪ ≤

Õ ∪ ±

Õ ±

©…bŽU³² Àœ«u(«® ÆÆÆÆ Í ≠ — ¨Ê ¨ÆÆƨ ≥ ¨ ≤¨ ± ∋ Í ¨ — ∀ ¨ ∅ Ω Í

Õ ∩ —

Õ ≤

∫Ê√ 5³²¹ n¹dF²« «c¼ sË

± Ω ©Ω®‰ Ω © Ê

Õ ∪ ÆÆ ∪ ≤

Õ ∪ ±

Õ ® ‰

± Ω ©Ê

Õ ® ‰ ´ ÆÆÆ ´ ©≤

Õ ® ‰ ´ ©±

Õ ® ‰ ∴

©≥≠∂® qJA« dE½«

Ω

Ê

Õ ÆÆÆ≤

Õ±

Õ

©≥≠∂® qJA«

YO×Ð ¨Ω wMOŽ ⁄«d w WKUýË …bŽU³² Àœ«uŠ ≥

Õ ¨ ≤

Õ ¨ ±

Õ X½U «–≈ ∫©±® ‰U¦

Æ©±

Õ®‰ błËQ ¨ ©≥

Õ®‰µ Ω ©≤

Õ®‰≤ Ω ©±

Õ®‰

± Ω ©≥

Õ®‰ ´ ©≤

Õ®‰ ´ ©±

Õ®‰

µ

” Ω ©

≥

Õ®‰ ≤

” Ω ©

≤

Õ®‰ ÊuJ¹ ” Ω ©±

Õ®‰ Ê√ ÷dHÐË

±∑

±∞ Ω ” UNMË ± Ω

µ

” ´

≤

” ´ ” ∴

±∑

±∞ Ω ©

±

Õ®‰ ∴

π∑

Total Probability Theorem wKJ« ‰UL²Šô« W¹dE½

Ω ⊇ Õ Õ ÊUË ¨ Ω wMOŽ ⁄«d w WKUýË …bŽU³² Àœ«uŠ Ê

Õ ÆÆÆ ¨ ≥

Õ ¨ ≤

Õ ¨ ±

Õ X½U «–≈

©—

Õ Ø Õ®‰ × ©—

Õ®‰ Ê

∑±Ω —

Ω ©Õ®‰ ÊS

∫ÊU¼d³«

©Õ ∩ Ê

Õ® ∪ÆÆÆ ∪ ©Õ ∩ ≤

Õ® ∪ ©Õ ∩ ±

Õ® Ω Õ

Æ©¥≠∂® qJA« kŠô

Ω

Ê

Õ ÆÆÆ≤

Õ±

Õ

Õ

©¥≠∂® qJA« …bŽU³² Õ ∩ Ê

Õ ¨ ÆÆÆ ¨ Õ ∩ ≤

Õ ¨ Õ ∩ ±

Õ Ê√ U0Ë

©Õ ∩ Ê

Õ®‰ ´ ÆÆÆ ´ ©Õ ∩ ≤

Õ®‰ ´ ©Õ ∩ ±

Õ®‰ Ω ©Õ®‰ ∴

©Ê

Õ Ø Õ®‰ × ©Ê

Õ® ‰ ´ ÆÆÆ ´ ©≤

Õ Ø Õ®‰ × ©≤

Õ®‰ ´ ©±

Õ Ø Õ®‰ × ©±

Õ®‰ Ω

©—

Õ Ø Õ®‰ × ©—

Õ®‰ Ê

∑±Ω —

Ω

UÐUDš s •∑∞ l³D¹ YOŠ ¨ ?ł ¨ » ¨ ’Uý√ WŁöŁ WŽU³Þ V²J w qLF¹ ∫©≤® ‰U¦

¨ ∞[∞∑ ¨∞[∞µ X½U «–S ª UÐUD)« wUÐ ?ł l³D¹Ë ¨UNM •≤∞ » l³D¹Ë ¨V²J*«

V²J*« UÐUDš bŠ√ dO²š«Ë ¨¡UDš√ UNÐ VOðd²« vKŽ ?ł ¨» ¨ UÐUDš s ¨∞[±µ

øQDš tÐ ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« UL ¨ÎUOz«uAŽ

»UD)« l³D¹ Ê√ ÀœUŠ ±

Õ Ê√ ÷dHÐ

»UD)« » l³D¹ Ê√ ÀœUŠ ≤

Õ

»UD)« ?ł l³D¹ Ê√ ÀœUŠ ≥

Õ

¨—U²*« »UD)« w QDš œułË ÀœUŠ Õ Ê√Ë

…bŽU³²Ë WKUý Àœ«uŠ ≥

Õ ¨ ≤

Õ ¨ ±

Õ Àœ«u(« ÊuJð

Œ

Œfl

•∑∞

∞[∞µ

∞[πµ

»

?ł

•≤∞

•±∞

Œfl

∞[∞∑

∞[π≥

Œfl

∞[±µ

∞[∏µ

Œ

Œ

©µ≠∂® qJA«

©≥

Õ Ø Õ®‰ × ©≥

Õ®‰ ´ ©≤

Õ Ø Õ®‰ × ©≤

Õ®‰ ´ ©±

Õ Ø Õ®‰ × ©±

Õ®‰ Ω ©Õ®‰ ∴

∞[∞∂¥ Ω ∞[±µ × ∞[± ´ ∞[∞∑ × ∞[≤ ´ ∞[∞µ × ∞[∑ Ω

©µ≠∂® qJA« dE½«

π∏

Bayes' Theorem eOÐ W¹dE½

∫ÊS Ω ⊇ Õ ÊUË ¨ Ω wMOF« ⁄«dH« w …bŽU³²Ë WKUý Àœ«uŠ Ê

Õ ÆÆÆ ¨ ≤

Õ ¨ ±

Õ X½U «–≈

©Í

Õ Ø Õ®‰ × ©Í

Õ®‰

Ê

∑±Ω Í

©—

Õ Ø Õ®‰ × ©—

Õ®‰ Ω ©Õ Ø

—

Õ®‰

“uH¹ Ê√ ‰UL²Š« ÊU «–S ¨t³Žö ×Uš wU³«Ë t³Žö vKŽ tðU¹—U³ s • ∑∞ Âb …d o¹d VFK¹ ∫©≥® ‰U¦

Æ…bŠ«Ë …«—U³ o¹dH« «c¼ VF «–≈ Æ∞[∂ u¼ t³Žö ×Uš “uH¹ Ê√ ‰UL²Š«Ë ∞[∏ t³Žö vKŽ

øUNO “uH¹ Ê√ ‰UL²Š« U √

øt³Žö vKŽ ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« UL …«—U³*« w “U b t½√ rKŽ «–≈ »

o¹dH« VŽö vKŽ …«—U³*« ÀœUŠ ±

Õ Ê√ ÷dH½

o¹dH« VŽö ×Uš …«—U³*« ÀœUŠ ≤

Õ

¨o¹dH« “u ÀœUŠ Õ

s¹bŽU³²Ë 5KUý 5ŁœUŠ ≤

Õ ¨ ±

Õ ÊUŁœU(« ÊuJ¹

∞[∑

∞[∏

∞[≤

∞[∂

∞[¥

t³FK vKŽ

t³FK

×Uš

∞[≥

“uH«

“uH« ÂbŽ

“uH«

“uH« ÂbŽ

©∂≠∂® qJA«©

≤

Õ Ø Õ®‰ × ©≤

Õ®‰ ´ ©±

Õ Ø Õ®‰ × ©±

Õ®‰ Ω ©Õ®‰ √

∞[∑¥ Ω ∞[±∏ ´ ∞[µ∂ Ω ∞[∂ × ∞[≥ ´ ∞[∏ × ∞[∑ Ω

©Õ Ø ±

Õ®‰ Ω ©…«—U³*« w “U Ø t³Žö vKŽ …«—U³*« ®‰ »

≥∑

≤∏ Ω

∞[∑¥

∞[∏ × ∞[∑ Ω

©Í

Õ Ø Õ®‰ × ©Í

Õ®‰

≤

∑±Ω Í

©±

Õ Ø Õ®‰ × ©±

Õ®‰ Ω

¨W(U WŁöŁ UNM `OÐUB WO½ULŁ vË_« W³KF« w ¨WOzUÐdN `OÐUB vKŽ Íu²% VKŽ ÀöŁ ∫©¥® ‰U¦

WŁöŁ UNM `OÐUB WFЗ√ W¦U¦« W³KF« wË ¨W(U WFЗ√ UNM `OÐUB WO½ULŁ WO½U¦« W³KF« wË

ÆÎUOz«uAŽ ÕU³B UNM V×Ý rŁ ¨ÎUOz«uAŽ Àö¦« VKF« s W³KŽ dO²š« ÆW(U

øÎU(U ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« U √

øvË_« W³KF« s ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« UL `U dOž ÕU³B*« Ê√ rKŽ «–≈ »

ππ

WO½U¦« W³KF« s ÕU³B*« ÀœUŠ ∫ ≤

Õ ¨vË_« W³KF« s ÕU³B*« ÀœUŠ ∫±

Õ Ê√ ÷dH½

`U ÕU³B*« ÀœUŠ ∫

Õ ¨W¦U¦« W³KF« s ÕU³B*« ÀœUŠ ∫≥

Õ

…bŽU³²Ë WKUý Àœ«uŠ ≥

Õ ¨ ≤

Õ ¨ ±

Õ Àœ«u(« ÊuJð

©≥

Õ Ø Õ®‰ × ©≥

Õ®‰ ´ ©≤

Õ Ø Õ®‰ × ©≤

Õ®‰ ´ ©±

Õ Ø Õ®‰ × ©±

Õ®‰ Ω ©Õ®‰ √

≥∞

±∑ Ω

¥

≥ ×

≥

± ´

∏

¥ ×

≥

± ´

∏

≥ ×

≥

± Ω

≤¥

±≥ Ω

∏

±≥ ×

≥

± Ω ›

∏

∂ ´

∏

¥ ´

∏

≥ ¤

≥

± Ω

©Õfl

ر

Õ®‰ Ω ©`U dOž ÕU³B*« ØvË_« W³KF« s ÕU³B*«® ‰ »

±±

µ Ω

±±

≤¥ ×

≤¥

µ Ω

≤¥

±≥

≠ ±

∏

µ

×

≥

±

Ω ©Õ

fl

®‰

©±

ÕØ Õfl

®‰ × ©±

Õ®‰ Ω

©Õfl

®‰

©Õfl

∩ ±

Õ®‰ Ω

…b??Š«ËË Ê«ËUCOÐ ÊUðd w½U¦« wË ¨Ê«Ë«œu???Ý ÊU²MŁ«Ë ¡UCOÐ «d?? l??З√ ‰Ë_« w ÊUËbM ∫©µ® ‰U¦

∫w½U¦« s ŸUł—« ÊËbÐ w«u²« vKŽ ÊUðd X³×Ý rŁ w½U¦K ‰Ë_« s …bŠ«Ë …d XKI½ ¨¡«œuÝ

øs¹ËUCOÐ ÊU²Ðu×*« ÊUðdJ« ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« U √

ø¡«œuÝ w½U¦K ‰Ë_« s WuIM*« ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« UL Ê«ËUCOÐ 5²Ðu×*« 5ðdJ« Ê√ rKŽ «–≈ »

¡«œuÝ WuIM*« …dJ« ÀœUŠ ∫≤

Õ ¨¡UCOÐ WuIM*« …dJ« ÀœUŠ ∫±

Õ Ê√ ÷dH½

Ê«ËUCOÐ ÊU²Ðu×*« ÊUðdJ« ÀœUŠ ∫

Õ

…bŽU³²Ë WKUý Àœ«uŠ ≤

Õ ¨ ±

Õ Àœ«u(« ÊuJð

±≤

∂ Ω

≥

≤ ×

¥

≥ Ω©

±

Õ®Ø Õ®‰ ¨ ∂

¥ Ω ©

±

Õ®‰

±≤

≤ Ω

≥

± ×

¥

≤ Ω ©

≤

Õ®Ø Õ®‰ ¨ ∂

≤ Ω ©

≤

Õ®‰

∂

¥

»

∂

≤

±≤

∂

» »

p– dOž±≤

∂

”

±≤

≤

±≤

±∞

» »

p– dOž

©∑≠∂® qJA«

©≤

Õ Ø Õ®‰ × ©≤

Õ®‰ ´ ©±

Õ Ø Õ®‰ × ©±

Õ®‰ Ω ©Õ®‰ √

±∏

∑ Ω

∑≤

≤∏ Ω

±≤

≤ ×

∂

≤ ´

±≤

∂ ×

∂

¥ Ω

∑

± Ω

≤∏

¥ Ω

∑≤

≤∏

±≤

≤

×

∂

≤

Ω ©Õ®‰

©≤

Õ Ø Õ®‰ × ©≤

Õ®‰ Ω ©Õ Ø

≤

Õ®‰ »

±∞∞

©≤≠∂® s¹—U9

ŸdH« s r¼ U WMÝ v WOMODKH« UFU'« ÈbŠ≈ w ‰u³ U³KDÐ «ubIð s¹c« W³KD« s •¥∞ ÊU «–≈ ±

s 5bI²*« lÐ—Ë ¨wÐœ_« ŸdH« s 5bI²*« YKŁ WFU'« XK³ «–S ¨wÐœ_« ŸdH« s wU³«Ë wLKF«

∫‰UL²Š« VŠU ¨ÎUOz«uAŽ 5bI²*« bŠ√ dO²š«Ë ¨wLKF« ŸdH«

ÆÎöF q³ b t½√ rKŽ «–≈ wLKF« ŸdH« s ÊuJ¹ Ê√ » ÆÎôu³I ÊuJ¹ Ê√ √

W−O²½ X½U «–S ª÷d*« «c¼ sŽ nAJK —U³²š« rLË ¨U bKÐ w ÊUJ« s •± —œU½ ÷d »U√ ≤

bŠ√ ÂbIðË ¨ÎöF vd «uO r¼ s2 •µ bMŽ ÎUC¹√ WOÐU³¹≈Ë ÎöF vd r¼ s2 •π∞ bMŽ WOÐU−¹≈ —U³²šô«

∫—U³²šô« «cNÐ h×HK bK³« «c¼ ÊUJÝ

øWOÐU−¹≈ W−O²M« ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« U √

øÎöF ÎUC¹d hA« ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« UL WOÐU−¹≈ —U³²šô« W−O²½ X½U «–≈ »

v≈ hBŠ W³½ X½U «–S Æ» ¨ UL¼ jI ÊU²LKF U WÝ—b w wÝUÝ_« w½U¦« nB« f¹—b²Ð ÂuI¹ ≥

» qLF²ð Ê√ ‰UL²Š«Ë ¨∞[∑ u¼ WOLOKFð WKOÝË qLF²ð Ê√ ‰UL²Š« ÊUË ¨± ∫ ≤ ÍËUð » hBŠ

∫‰UL²Š« UL ¨ÎUOz«uAŽ nB« «c¼ hBŠ ÈbŠ≈ dO²š«Ë ¨∞[∂ ÍËUð WOLOKFð WKOÝË

øWOLOKFð WKOÝË UNO qLF²Ôð Ê√ √

øWOLOKFð WKOÝË UNO XKLF²Ý« «–≈ WLKFLK WB(« ÊuJð Ê√ »

t−²Mð U w¦KŁ WO½U¦« Z²MðË ¨WO½U¦« ÃU²½≈ wK¦ vË_« Z²Mð WOłU²½≈ «bŠË ÀöŁ tO ÊuK¹UM« ”UO_ lMB ¥

¨•π ¨ •≥ w¼ VOðd²« vKŽ W¦U¦«Ë WO½U¦«Ë vË_« ÃU²½≈ w W(UB« dOž ”UO_« W³½ X½U «–S ªW¦U¦«

∫ÎUOz«uAŽ lMB*« «c¼ ÃU²½≈ s fO dO²š«Ë ¨•∂

ø`U dOž fOJ« ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« U √

øWO½U¦« ÃU²½≈ s ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« UL ÎU(U ÊU dO²š« Íc« fOJ« Ê√ rKŽ «–≈ »

lЗ√Ë s¹ËUCOÐ 5ðd vKŽ » Íu²×¹Ë ¨¡«œuÝ …bŠ«ËË ¡UCOÐ «d lЗ√ vKŽ Íu²×¹ » ¨ ÊUËbM µ

ÊUðd » s V×ð ¡UCOÐ X½U «–S ªUN½u kŠö¹Ë ‚ËbMB« s …d ÎUOz«uAŽ V×ð Æ¡«œuÝ «d

ÆŸUł—≈ ÊËœ w«u²« vKŽ ÊUðd » s V×ð ¡«œuÝ X½U «–≈Ë ¨ŸUł—ù« l w«u²« vKŽ

øtH½ ÊuK« s Àö¦« «dJ« ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« U √

ø¡«œuÝ Èdš_«Ë s¹ËUCOÐ ÊU²MŁ« ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« U »

ø ‚ËbMB« s ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« UL ¡«œuÝ Àö¦« «dJ« s jI …bŠ«Ë …d 5²MŁ« Ê√ rKŽ «–≈ ?ł

W³½Ë ¨∞[∏ ÀU½ù« 5Ð ÕU−M« W³½ X½UË ¨ ∫≥ w¼ WDK² WÝ—b w ÀU½ù« v≈ —uc« W³½ X½U «–≈ ∂

Æ5׳UM« w —uc« W³½ błËQ ¨∞[∑∑ w¼ WÝ—b*« Ác¼ w ÕU−M« W³½Ë ¨∞[∑µ —uc« 5Ð ÕU−M«

±∞±

qBHM*« wz«uAF« dOG²*« ≥≠∂

5²OU²² 5ðd bI½ WFD XOI≈ «–≈ Îö¦L ÆWOIOIŠ œ«bŽQÐ WOz«uAF« »—U−²« ZzU²½ jЗ r²¹ ÊUOŠ_« s dO¦ w

5Nłu« vKŽ ÊUð—u dNEð UbMŽ ≤ WLOI« c²¹ dOG²*« œbF« «c¼ ÊS ¨5ðd*« w …d¼UE« —uB« œbŽ kŠuË

Æ…—u W¹√ dNEð ô UbMŽ dH WLOI«Ë ¨jI …bŠ«Ë …—u dNEðUbMŽ ± WLOI«Ë¨5¹uKF«

©∏≠∂® qJA« w wLN« jD*UÐ p– `Ouð sJ1Ë

ª ⊇ ≤¨±¨∞ Á«bË ¨Ω tU− ÎU½«d²« q¦1 Íc«

ÆÎöBHM ÎUOz«uAŽ ΫdOG² Ê«d²ô« «c¼ q¦ vL¹Ë

©„ ¨ „®

©’ ¨ „®

©„ ¨ ’®

©’¨ ’®

∞

±

≤

©∏≠∂® qJA«

∫ÂUŽ tłuÐ

∫n¹dFð

ÆÎöBHM ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ¨bFK ÏWKÐU WOIOI(« œ«bŽ_« s ÏWOzeł ÏWŽuL− Á«bË ¨Ω tU− Íc« Ê«d²ô« vL¹

∫…œôu« qKðË fM'« YOŠ s bO«u WŁöŁ WEŠö WÐd& w ∫©±® ‰U¦

ÆΩ V²« √

ÆwLNÝ jD0 qÒ¦L WŁö¦« bO«u*« w UM³« œbŽ q¦1 ΫdOG² ÊU «–≈ »

øÁ«b UL pc ÊU Ê≈ øqBHM wz«uAŽ dOG² q¼ ?ł

¨ Ë » »¨ Ë Ë » ¨ Ë » Ë ¨ » Ë Ë ¨ Ë Ë Ë Ω Ω √

» » » ¨ » » Ë ¨ » Ë »

dOG²LK wLN« jD*« q¦1 ©π≠∂® qJA« »

Ë Ë Ë

» Ë Ë

Ë » Ë

Ë Ë »

Ë » »

»Ë »

» » Ë

» » »

∞

±

≤

≥

©π≠∂® qJA« jI bŠ«Ë wIOIŠ œbFÐ Ω dUMŽ s dBMŽ q jÐd¹ Ê√ U0 ?ł

ÊS wU²UÐË ªbFK WKÐUI« ⊇ ≥¨≤¨±¨∞ WŽuL−*« Á«bË ¨Ω tU− Ê«d²« ∴

ÆqBHM wz«uAŽ dOG²

±∞≤

…d¼UE« ◊UIM« œbŽ 5Ð oKD*« ‚dH«vKŽ ‰b¹ Íc« qBHM*« wz«uAF« dOG²*« u¼ ÊU «–≈ ∫©≤® ‰U¦

œd½ Íd−Š ¡UI≈ bMŽ 5¹uKF« 5Nłu« vKŽ

Æ Èb bł √

Ʊ œbF« w Ê«d²ô« w UNð—u w²« Ω dUMŽ lOLł s ÊuJ*« Õ ÀœU(« V²√ »

µ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ ∞ Ω Èb √

©µ¨∂® ¨©∂¨µ®¨©¥¨µ®¨©µ¨¥®¨©≥¨¥®¨©¥¨≥®¨©≤¨≥®¨©≥¨≤®¨©±¨≤®¨©≤¨±® Ω Õ »

∫n¹dFð

¨—” WLOI« c²¹ Ê√ ‰UL²Š« ÊS ¨Ê

” ÆÆÆ ≤” ±

” Á«b ÎöBHM ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈

Æ— ” œbFUÐ WD³ðd*« Ω dUMŽ lOLł s ÊuJ*« ÀœU(« ‰UL²Š« ÍËU¹ ¨©—

”®‰ edUÐ UNed¹Ë

¡UCOÐ «d l³Ý vKŽ Íu²×¹ ‚ËbM s ŸUł—≈ ÊËœ w«u²« vKŽ «d ÀöŁ V×Ý WÐd& w ∫©≥® ‰U¦

WÐu×*« ¡UCO³« «dJ« œbŽ vKŽ ‰b¹ ÎöBHM ÎUOz«uAŽ ΫdOG² Ÿ ÊU «–≈ ¨s¹Ë«dLŠ 5ðdË

Æ©±® ‰ bł » ÆŸ Èb bł √

≥ ¨ ≤ ¨ ± Ω Ÿ Èb √

Æ¡«dLŠ Àö¦« «dJ« ÊuJð Ê√ sJ1 ô t½_ ªÎ«dH WLOI« c²¹ ô Ÿ Ê√ kŠô

©» ” ” ¨ ” » ” ¨” ” »® ‰ Ω ©±®‰ »

∑

∑ ×

∏

± ×

π

≤ ´

∑

± ×

∏

∑ ×

π

≤ ´

∑

± ×

∏

≤ ×

π

∑ Ω

±≤

± Ω

µ∞¥

¥≤ Ω

∫©wUL²Šô« l¹“u²«® n¹dFð

¨Ê ” ¨ ÆÆÆ ¨ ≤

” ¨ ±” Á«b ÎöBHM ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈

WŽuL−*« wL½ UM½S ¨WKÐUI*« ôUL²Šô« ©Ê”®‰¨ÆÆÆ ¨©≤

”®‰ ¨©±”®‰ X½UË

Æ qBHM*« wz«uAF« dOG²LK wUL²Šô« l¹“u²« ©©Ê ”®‰ ¨Ê

”®¨ÆÆƨ©©≤”®‰ ¨≤

”® ¨©©±”®‰ ¨±

”®

±∞≥

UNðôUL²Š« Á«bË ¨ rO WŽuL− tU− Ê«d²« u¼ qBHM*« wz«uAF« dOG²LK wUL²Šô« l¹“u²« Ê√ kŠô

ÆwUL²Šô« l¹“u²« ‰Ëbł vL¹ Íc« wU²« ‰Ëb'UÐ Ê«d²ô« «c¼ qO¦9 sJ1Ë ÆWKÐUI*«

— ”

±”

≤”ÆÆÆ

Ê ”

©— ”®‰©±

”®‰©≤”®‰ÆÆÆ©Ê

”®‰

Ê ¨ ÆÆÆ ¨ ≤ ¨ ± Ω — rO lOL' ¨ ∞ ≤ ©— ”®‰ ± ∫ Ê√ kŠô

± Ω ©— ”®‰

Ê

∑±Ω —

≤

bMŽ 5¹uKF« 5Nłu« vKŽ …d¼UE« jIM« ŸuL− vKŽ ‰b??¹ wz«uAF« dOG²*« ÊU «–≈ ∫©¥® ‰U¦

Æ dOG²LK wUL²Šô« l¹“u²« ‰Ëbł ÊuJ ¨5LE²M œd½ Íd−Š ¡UI≈

±≤ ¨ ±± ¨ ±∞ ¨ π ¨ ∏ ¨ ∑ ¨ ∂ ¨ µ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ Ω Èb

≥∂

± Ω ©©± ¨ ±)® ‰ Ω ©≤®‰

≥∂

≤ Ω ©©± ¨≤® ¨ ©≤ ¨±®® ‰ Ω ©≥®‰

≥∂

≥ Ω ©©± ¨ ≥® ¨ ©≤ ¨ ≤® ¨ ©≥ ¨ ±®® ‰ Ω ©¥®‰

⋮

≥∂

± Ω ©©∂ ¨ ∂®® ‰ Ω ©±≤®‰

∫ dOG²LK wUL²Šô« l¹“u²« ‰Ëbł ∴

±≤ ±± ±∞ π ∏ ∑ ∂ µ ¥ ≥ ≤ — ”

≥∂

±

≥∂

≤

≥∂

≥

≥∂

¥

≥∂

µ

≥∂

∂

≥∂

µ

≥∂

¥

≥∂

≥

≥∂

≤

≥∂

±

©— ”®‰

©”≤¨µ®¨©”¨¥®¨©∞[±¨≤® u¼ wUL²Šô« tF¹“uð ÎöBHM ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈ ∫©µ® ‰U¦

Æ” WLO błËQ

± Ω ©— ”®‰

≥

∑±Ω —

± Ω ©µ®‰ ´ ©¥®‰ ´ ©≤®‰ ∴

± Ω ”≤ ´ ” ´ ∞[±

∞[≥ Ω ” UNMË ∞[π Ω ”≥

±∞¥

∫©qBHML« wz«uAF« dOG²L« luð® n¹dFð

¨ wz«uAF« dOG²*« luð ÊS ¨ Ê ” ¨ ÆÆÆ ¨

≤” ¨

±” Á«b ÎöBHM ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈

©— ”®‰ × —

”Ê

∑±Ω —

Ω © ® ∫«cJ¼ ·dF¹¨© ® edUÐ t ed¹Ë

ÆdOG²*« «c¼ U¼c²¹ w²« rOIK wÐU(« jÝu« u¼ wz«uAF« dOG²*« luð Ê√ kŠô

«d lЗ√ vKŽ Íu²×¹ ‚ËbM s ŸUł—ù« l w«u²« vKŽ «d ÀöŁ V×Ý WÐd& w ∫©∂® ‰U¦

WÐu×*« ¡UCO³« «dJ« œbŽ vKŽ ‰b¹ Ÿ wz«uAF« dOG²*« ÊU «–≈ ¨s¹Ë«œuÝ 5ðdË ¡UCOÐ

Æ©Ÿ® błËQ

≥

± Ω ©¡«œuÝ …dJ«® ‰ ¨

≥

≤ Ω

∂

¥ Ω ©¡UCOÐ …dJ«® ‰ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ ∞ Ω Ÿ Èb

≤∑

± Ω

≥

© ≥

± ® Ω ©” ” ”® ‰ Ω ©∞®‰

π

≤ Ω

≤

© ≥

± ® × © ≥

≤ ® × ≥ Ω ©» ” ” ¨ ” » ” ¨ ” ” »® ‰ Ω ©±®‰

π

¥ Ω

≥

± ×

≤

© ≥

≤ ® × ≥ Ω ©» » ” ¨ » ” » ¨ ” » »® ‰ Ω ©≤®‰

≤∑

∏ Ω

≥

© ≥

≤ ® Ω ©» » »® ‰ Ω ©≥®‰

©— ”®‰ × —

”≥

∑±Ω —

Ω ©Ÿ®

≤ Ω ≤∑

µ¥ Ω

≤∑

∏ × ≤ ´

π

¥ × ≤ ´

π

≤ × ± ´

≤∑

± × ∞ Ω

Æ≤ ÍËU¹ WÐu×*« ¡UCO³« «dJ« œbF wÐU(« jÝu« ÊS «d*« s ΫdO³ ΫœbŽ WÐd−²« X¹dł√ «–≈ t½√ wMF¹ «c¼Ë

∫wK¹ UL ÎUHKG µ∞ vKŽ ‚ËbM Íu²×¹ ∫©∑® ‰U¦

ÆdO½U½œ ±∞ WLOIÐ …ezUł vKŽ UNM yq Íu²×¹ UHKG ±∞

ÆbŠ«Ë —UM¹œ WLOIÐ …ezUł vKŽ UNM yq Íu²×¹ UHKG ±∞

Æ—UM¹œ nB½ WLOIÐ …ezUł vKŽ UNM yq Íu²×¹ ÎUHKG ±µ

Æez«uł W¹√ vKŽ Íu²% ô Wž—U wU³«Ë

ÆÎUOz«uAŽ UHKG*« Ác¼ bŠ√ V×Ý bMŽ tOKŽ qB% Íc« mK³LK pFuð błË√

±∞µ

∫ÊuJ¹ …ezU'« WLO q¦1 Íc« wz«uAF« dOG²*« u¼ Ê√ ÷dHÐ

±∞ ¨ ± ¨ ∞[µ ¨ ∞ Ω Èb

µ∞

±µ Ω ©⁄—U nKG*«®‰ Ω ©∞®‰

µ∞

±µ Ω ©—UM¹œ nB½ …ezU'«®‰ Ω©∞[µ®‰

µ∞

±∞ Ω ©—UM¹œ …ezU'«®‰ Ω ©±®‰

µ∞

±∞ Ω ©dO½U½œ ±∞ …ezU'«®‰ Ω ©±∞®‰

©— ”®‰ × —

Ӵ

∑±Ω —

Ω © ® ∴

Ϋ—UM¹œ ≤[≥µ Ω µ∞

±∞ × ±∞ ´

µ∞

±∞ × ± ´

µ∞

±µ × ∞[µ ´

µ∞

±µ × ∞ Ω

∫W¹dE½

∫ÊS Ω wMOF« ⁄«dH« vKŽ 5dF 5Oz«uAŽ s¹dOG² „ ¨ ÊU «–≈

©„® ∓ © ® Ω ©„ ∓ ® ±

∋ »¨ YOŠ ¨ » ´ © ®

Ω ©» ´

® ≤

∏ Ω ©„® ¨ µ Ω © ® YO×Ð ¨Ω wMOŽ ⁄«d vKŽ 5Oz«uAŽ s¹dOG² „ ¨ ÊU «–≈ ∫©∏® ‰U¦

∫błËQ

©∂ ´ „≥ ≠ ¥® » ©≥ ´ ≤® √

±≥ Ω ≥ ´ µ × ≤ Ω ≥ ´ © ® ≤ Ω ©≥ ´ ≤® √

∂ ´ ©„® ≥ ≠ © ® ¥ Ω ©∂ ´ „≥ ≠ ¥® »

≤ Ω ∂ ´ ∏ × ≥ ≠ µ × ¥ Ω

±∞∂

©≥≠∂® s¹—U9

‰œ «–≈ ÆŸUł—ù« l w«u²« vKŽ ÊUðd tM X³×Ý ¨¡«œuÝ …bŠ«ËË ¡UCOÐ «d ≥ vKŽ ‚ËbM Íu²×¹ ±

WÐu×*« ¡«œu« «dJ« œbŽ vKŽ wz«uAF« dOG²*«

luð bł ?ł wz«uAF« dOG²LK wUL²Šô« l¹“u²« V²« » Èb 5Ž √

ÊUðd tM X³×Ý ¨¡«dLŠ «d XÝË ¨¡UCOÐ «d ÀöŁË ¨¡«œuÝ …bŠ«Ë …d vKŽ ‚ËbM Íu²×¹ ≤

WÐu×*« ¡UCO³« «dJ« œbŽ vKŽ „ wz«uAF« dOG²*« ‰œ «–≈ ¨…bŠ«Ë WFœ

„ luð bł ?ł „ dOG²LK wUL²Šô« l¹“u²« ‰Ëbł V²√ » „ Èb 5Ž √

q³Ið w²« œ«bŽ_« œbŽ vKŽ  dOG²*« ‰œ «–≈ Æ…bŠ«Ë WFœ ∂ ¨ µ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ WŽuL−*« s Ê«œbŽ dO²š« ≥

s¹—U²*« s¹œbF« w ¥ vKŽ WLI«

 dOG²LK wUL²Šô« l¹“u²« ‰Ëbł V²√ »  wz«uAF« dOG²*« Èb 5Ž √

 dOG²*« luð bł ?ł

d−(« wI√ Æ∂ rd« s¹dšü« 5Nłu« vKŽË ¨≥ rd« tM ÁułË ¥ vKŽ »u²J ÍœUŽ dOž œd½ d−Š ¥

5²Od« w s¹d¼UE« 5Ld« ŸuL− luð VŠ« Æ5²OU²² 5ðd

ø WLO UL © ≤ ¨ µ®¨©∞[± ¨ ® u¼ wz«uAŽ dOG²* wUL²Šô« l¹“u²« ÊU «–≈ µ

ÊUË ¨5ðd W¹œUŽ dOž bI½ WFD ¡UI≈ bMŽ …—uB« —uNþ «d œbŽ vKŽ ‰b¹ ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈ ∂

ø…bŠ«Ë …d Ác¼ bIM« WFD ¡UI≈ bMŽ WÐU²J« —uNþ ‰UL²Š« UL ¨±[∂ Ω luð

‰UHÞ√ WŁöŁ UN¹b WKzUŽ w —uc« ‰UHÞ_« œbŽ luð VŠ« ∑

dNþ «–S ¨∞[∑ Ω UNO ÍuKF« tłu« vKŽ …—uB« —uNþ ‰UL²Š« W¹œUŽ dOž œuI½ WFD hý wd¹ ∏

q−¹ ÊU²ÐU² dNþ «–≈Ë ¨±∞≠ œbF« q−¹ ÊUHK² ÊUNłË dNþ «–≈Ë ¨≤∞ œbF« q ]−Ô¹ ÊUð—u

hAK q−*« œbF« luð VŠ« Æ¥∞≠ œbF«

wz«uAF« dOG²*« ÊUË `OÐUB*« Ác¼ h× - «–≈ ÆW(U ∏ UNM WOzUÐdN `OÐUB±∞ vKŽ ‚ËbM Íu²×¹ π

`U ÕU³B ‰Ë√ tO dNE¹ Íc« h×H« r— vKŽ ‰b¹

luð bł ?ł dOG²LK wUL²Šô« l¹“u²« V²√ » Èb 5Ž √

∫ÊUË ¨ÎöBHM ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈ ±∞

± Ω ” ” ?ł

≤ Ω ” ” ?ł≥

¥ ¨≥ Ω ” ¨ ©±´”®?ł

Ω ©”®‰

©≥ ´ ≤® VŠ« ?ł dOG²LK wUL²Šô« l¹“u²« ‰Ëbł Ê Òu » ?ł WLO bł √

±∞∑

(Binomial Distribution) s¹b(« Ë– l¹“u²« ¥≠∂

ŸuMÐ j³ðd¹ Íc« ¨s¹b(« «– wz«uAF« dOG²*« vL*« WKBHM*« WOz«uAF« «dOG²*« bŠ√ bM³« «c¼ w ”—bMÝ

∫WOU²« hzUB)« UN w²« WOz«uAF« »—U−²« s ’Uš

Æ…—dJ²*« ôËU;« s 5F œbŽ s WÐd−²« ÊuJ²ð ±

ÆWKI²Ë WKŁUL² ÎUFOLł ôËU;« Ác¼ ≤

ÆÎöA vL¹Ë tŽuË ÂbŽ Ë√ ÎUŠU$ vL¹Ë 5F ÀœUŠ ŸuË ∫5²−O²½ ÈbŠSÐ WËU× q wN²Mð ≥

ÆWËU× q w XÐUŁ ÕU−M« ‰UL²Š« ¥

Æs¹b(« «– l¹“u²« s¹b(« Í– wz«uAF« dOG²LK wUL²Šô« l¹“u²« vL¹Ë

◊UI½ ¥ —uNþ «d œbŽ q¦1 wz«uAF« dOG²*« ÊU «–≈ ¨WOU²² «d ±∞ rE²M œd½ d−Š ¡UI≈ bMŽ Îö¦L

…d œdM« d−Š wd WKI²Ë WKŁUL² ôËU× ±∞ s W½uJ WÐd−²« Ác¼ —U³²Ž« sJ1 t½S ¨ÍuKF« tłu« vKŽ

Ê≈ Æ ∂

± u¼Ë ÎU²ÐUŁ Ϋ—«bI WËU× q w ÍuKF« tłu« vKŽ ◊UI½ ¥ —uNþ ÀœU(« ŸuË ‰UL²Š« ÊuJ¹Ë ¨…bŠ«Ë

∫Ê_ s¹bŠ Ë– wz«uAŽ dOG² u¼ dOG²*« «c¼

Æ…bŠ«Ë …d rE²M*« œdM« d−Š wd ôËU× ±∞ s ÊuJ²ð WÐd−²« ±

ÆWKI²Ë WKŁUL² ÎUFOLł ôËU;« ≤

Æ©qA® p– dOž Ë√ ©ÕU$® ÍuKF« tłu« vKŽ ◊UI½ ¥ —uNþ ∫UL¼ ÊU²−O²½ WËU× qJ ≥

Æ ∂

± u¼ XÐUŁ WËU× q w ÕU−M« ‰UL²Š« ¥

ÊU²MŁ«Ë ¡UCOÐ «d∂ tO ‚ËbM s ŸUł—ù« l w«u²« vKŽ «d µ V×Ý WÐd& w ∫©±® ‰U¦

Ë– vz«uAŽ dOG² Ê√ 5³ ¨WÐu×*« ¡UCO³« «dJ« œbŽ v≈ ed¹ ÊU «–≈ ªÊ«Ë«œuÝ

ÆÁ«b błË s¹bŠ

¨‚ËbMB« s …d V× WKI²Ë WKŁUL² ôËU× µ w¼ Ác¼ ŸUł—ù« l V׫ WÐd&

Æ¥

≥ Ω

∏

∂ Ω XÐUŁ UNM q w ©ÀœU(« ÕU$® ¡UCOÐ …d —uNþ ‰UL²Š«Ë

Æs¹bŠ Ë– wz«uAŽ dOG² ∴

µ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ ∞ Ω Á«b

±∞∏

‰UL²Š« Ê_ ªs¹bŠ «– ÊuJ¹ ô wz«uAF« dOG²*« ÊS ŸUł—≈ ÊËœ ‰U¦*« «c¼ w V׫ ÊU «–≈ t½√ kŠô

ÆfL)« ôËU;« w XÐUŁ dOž ©¡UCOÐ —uNþ® ÕU−M«

…d q w ·bNK t²ÐU≈ ‰UL²Š« ÊUË ¨ «d ÀöŁ XÐUŁ ·b¼ vKŽ —UM« qł— oKÞ√ «–≈ ∫©≤® ‰U¦

∫·bN« qłd« UNO VOB¹ w²« «d*« œbŽ vKŽ ‰b¹ wz«uAF« dOG²*« ÊUË ¨ µ

¥ u¼

ø Èb U » øs¹bŠ Ë– q¼ √

Æ5ðd ·bN« qłd« VOB¹ Ê√ ‰UL²Š« VŠ« ?ł

ÕU−M« ‰UL²Š«Ë WKI²Ë WKŁUL² lЗ_« ôËU;« Ê_ ªs¹bŠ Ë– wz«uAŽ dOG² √

Æ µ

± Ω ©·bN« WÐU≈ ÂbŽ® qAH« ‰UL²Š«Ë ¨

µ

¥ Ω …d q w XÐUŁ ©·bN« WÐU≈®

Æ≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ ∞ Ω Èb »

©jI 5ðd ·bN« WÐU≈®‰ Ω ©≤®‰ ?ł

©’ · ’ ¨’ ’ · ¨· ’ ’® ‰ Ω

±≤µ

¥∏ Ω

±

© µ

± ® ×

≤

© µ

¥ ® × ≥ Ω

ÍËU¹ UNM q ŸuË ‰UL²Š« Ê√Ë ¨©≥

≤ ® U¼œbŽ ‚dDÐ r²ð 5ðd ·bN« WÐU≈ Ê√ kŠô

∫ÊuJO ¨±

© µ

± ® ×

≤

© µ

¥ ®

±≤µ

¥∏ Ω

±

© µ

± ® ×

≤

© µ

¥ ® × ©

≥

≤ ® Ω ©≤®‰

∫ÂUŽ tłuÐ

∫W¹dE½

ÊS ¨ Ω WËU× q w ÕU−M« ‰UL²Š«Ë ¨Ê Ω ôËU;« œbŽ YOŠ s¹bŠ «– ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈

ʨÆÆÆÆ ¨ ≤ ¨ ±¨ ∞ ∋ — ¨ — ≠ Ê© ≠±® ×

—

× ©Ê— ® Ω ©—®‰ ÍËU¹ «d*« s — ÕU−M« ‰UL²Š«

…bŠ«ËË ¡«dLŠ «d ÀöŁ tO ‚ËbM s ŸUł—ù« l w«u²« vKŽ «d ±∞ X³×Ý ∫©≥® ‰U¦

WÐu×*« ¡«œu« «dJ« œbŽ vKŽ s¹b(« Ë– wz«uAF« dOG²*« ‰œ «–≈ ª¡«œuÝ

©∑®‰ ¨©¥®‰ ¨©≤®‰ ∫s Îö VŠ« » ø Èb U √

±∞π

±∞¨ÆÆÆƨ≤ ¨ ± ¨ ∞ Ω Èb*« √

±∞ Ω Ê ¥

± Ω Ω ©¡«œuÝ —uNþ®‰ Ω ©ÕU−M«®‰ »

∏

© ¥

≥ ® ×

≤

© ¥

± ® × ©

±∞

≤ ® Ω ≤≠±∞

© ¥

± ≠±® ×

≤

© ¥

± ® × ©

±∞

≤ ® Ω ©≤®‰

∂

© ¥

≥ ® ×

¥

© ¥

± ® × ©

±∞

¥ ® Ω ©¥®‰

≥

© ¥

≥ ® ×

∑

© ¥

± ® × ©

±∞

∑ ® Ω ©∑®‰

«–S ª∞[∏ u¼ UNM ‰«RÝ Í√ sŽ VUD« VO−¹ Ê√ ‰UL²Š«Ë ¨WK¾Ý√ W²Ý s ÊUײ« nQ²¹ ∫©¥® ‰U¦

ÊUײö VUD« «c¼ ÂbIð

øjI bŠ«Ë ‰«RÝ sŽ W×O× WÐUł≈ VUD« VO−¹ Ê√ ‰UL²Š« U √

ød¦_« vKŽ 5«RÝ sŽ W×O× WÐUł≈ VUD« VO−¹ Ê√ ‰UL²Š« U »

UÐUł≈ VUD« «c¼ UNMŽ VO−¹ w²« WK¾Ý_« œbŽ vKŽ ‰b¹ wz«uAŽ dOG² Ê√ ÷dHÐ

∞[∏ Ω ¨ ∂ Ω Ê YOŠ ¨s¹bŠ «– ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊuJ¹ W×O×

µ©∞[≤® × ±©∞[∏® × ©∂

± ® Ω ©±®‰ √

©≤®‰ ´ ©±®‰ ´ ©∞®‰ Ω ©≤≥—®‰ »

¥©∞[≤® ≤©∞[∏® × ©∂

≤ ® ´ µ©∞[≤® × ±©∞[∏® × ©∂

± ® ´ ∂©∞[≤® × ∞©∞[∏® × ©∂

∞ ® Ω

¨◊UI½ ¥ s¹dš¬ 5NłË s q vKŽË ¨…bŠ«Ë WDI½ tM ÁułË WŁöŁ s q vKŽ œd½ d−Š qL×¹ ∫©µ® ‰U¦

‰b¹ s¹bŠ «– ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–S ª «d ≥ d−(« «c¼ wI√ Æ◊UI½ µ ”œU« tłu« vKŽË

Æ© ® bł rŁ¨ dOG²LK wUL²Šô« l¹“u²« ‰Ëbł Ê ÒuJ ◊UI½ ¨¥ —uNþ «d œbŽ vKŽ

tO s¹bŠ Ë– wz«uAŽ dOG²

≥

± Ω

∂

≤ Ω ©◊UI½ ¥ —uNþ®‰ Ω ©ÕU−M«® ‰ Ω ¨ ≥ Ω Ê

±±∞

≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ ∞ Ω Èb

≤∑

∏ Ω

≥

© ≥

≤ ® ×

∞

© ≥

± ® × ©

≥

∞ ® Ω ©∞®‰

≤∑

±≤ Ω

≤

© ≥

≤ ® ×

±

© ≥

± ® × ©

≥

± ® Ω ©±®‰

≤∑

∂ Ω

±

© ≥

≤ ® ×

≤

© ≥

± ® × ©

≥

≤ ® Ω ©≤®‰

≤∑

± Ω

∞

© ≥

≤ ® ×

≥

© ≥

± ® × ©

≥

≥ ® Ω ©≥®‰

∫u¼ dOG²LK wUL²Šô« l¹“u²« ‰Ëbł

≥ ≤ ± ∞ —

≤∑

±

≤∑

∂

≤∑

±≤

≤∑

∏

©—®‰

©—®‰ × —≥

∑∞Ω —

Ω © ®

± Ω ≤∑

≤∑ Ω

≤∑

± × ≥ ´

≤∑

∂ × ≤ ´

≤∑

±≤ × ± ´

≤∑

∏ × ∞ Ω

∫Ê√Ë ¨ ± ÍËU¹ © ® Ê√ ‰U¦*« «c¼ w kŠö½

Æ©…bŠ«u« WËU;« w ÕU−M« ‰UL²Š« × ôËU;« œbŽ® ≥

± × ≥ Ω ±

∫ÂUŽ tłuÐ

∫W¹dE½

¨ Ω …bŠ«u« WËU;« w ÕU−M« ‰UL²Š«Ë ¨Ê Ω ôËU;« œbŽ tO s¹bŠ «– ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈

× Ê Ω © ® ∫…bŽUIUÐ vDF¹ luð ÊS

µ ÍËU¹ ŸuL− —uNþ «d œbŽ vKŽ ‰b¹ ÊU «–≈ Æ…d ±∏ ÊULE²M œd½ «d−Š wI√ ∫©∂® ‰U¦

Æ© ® błËQ

¨ ±∏ Ω Ê tO s¹bŠ Ë– wz«uAŽ dOG²

©©± ¨ ¥® ¨©≤ ¨ ≥® ¨ ©≥ ¨ ≤® ¨©¥ ¨ ±® ®‰ Ω ©◊UI½µ Ω ŸuL−*«® ‰ Ω

π

± Ω

≥∂

¥ Ω

≤ Ω π

± × ±∏ Ω × Ê Ω © ® ∴

±±±

©¥≠∂® s¹—U9

∫błËQ ∞[≤ Ω ¨ ∑ Ω Ê tO s¹bŠ «– ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈ ±

© ® » ©≥®‰ √

l w«u²« vKŽ «d?? w½ULŁ X³×Ý Æs??¹Ë«œu??Ý 5ðdË ¨¡UCOÐ «d?? Àö??Ł vKŽ ‚ËbM Íu²×¹ ≤

∫błËQ WÐu×*« ¡«œu« «dJ« œbŽ vKŽ ‰b¹ ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈ ÆŸUł—ù«

©µ®‰ ©≤®‰ ©±®‰

j³CUÐ …d ±≤ w µ s dG√ œbŽ —uNþ ‰UL²Š« VŠ« ¨WOU²² …d ≤∞ rE²M*« œdM« d−Š ¡UI≈ WÐd& w ≥

∫‰UL²Š« VŠ« ¨‰UHÞ√ ∂ UN¹b WKzUŽ w ¥

q_« vKŽ d– qHÞ WKzUF« w ÊuJ¹ Ê√ » j³CUÐ —u– ‰UHÞ√ ¥ UN¹b ÊuJ¹ Ê√ √

VŠU ¨lMB*« «c¼ ÃU²½≈ s ÎUOz«uAŽ dOU µ dO²š«Ë ¨ÎU³OF dOULK lMB ÃU²½≈ s •±∞ ÊU «–≈ µ

5LOKÝ q_« vKŽ UNM ÊUMŁ« ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š«

¨µ rd« ”œU« tłu« vKŽË ¨¥ rd« s¹dš¬ 5NłË vKŽË ¨± rd« tM ÁułË WŁöŁ vKŽ V² œd½ d−Š ∂

WOU²² …d ±∏ d−(« «c¼ wI√

øq_« vKŽ …d dAŽ WF³Ý ± rd« —uNþ ‰UL²Š« U » øjI «d ÀöŁ µ rd« —uNþ ‰UL²Š« U √

¥ rd« —uNþ «d œbŽ luð VŠ« ?ł

dOž rNðœôË ÊuJð s¹c« ‰UHÞ_« œbŽ ‰U¦√ ∑ ÍËU¹ WOFO³Þ rNðœôË ÊuJð s¹c« ‰UHÞ_« œbŽ ÊU «–≈ ∑

∫‰UL²Š« VŠU ¨ÎUOz«uAŽ ‰UHÞ√ ¥ dO²š«Ë ¨WOFO³Þ

WOFO³Þ dOž q_« vKŽ r¼bŠ√ …œôË ÊuJð Ê√ » ÆWOFO³Þ jI rNM 5MŁ« …œôË ÊuJð Ê√ √

»Uł√ «–S ª «—UOš WLš UNM qJ œbF² s —UO²šô« Ÿu½ s …dI ≤µ s ÊuJ ÊUײô VUÞ ÂbIð ∏

∫błËQ ¨ UöŽ lЗ√ UNM …dI qJ ÊUË ¨WOz«uAŽ …—uBÐ UNMŽ VUÞ

∏∞ WöF« vKŽ VUD« qB×¹ Ê√ ‰UL²Š« √

∂∞ WöF« ÕU−MK v½œ_« b(« ÊQÐ ÎULKŽ VUD« `−M¹ Ê√ ‰UL²Š« »

VUD« WöŽ luð ?ł

∫błË√ ¨…d ≤∞ ÎUF ÊU²FDI« XOI√ ¨∞[∑ ULNM Ìq w …—uB« —uNþ ‰UL²Š« bI½ U²FD π

jI «dµ WÐU²Ë …—u dNEð Ê√ ‰UL²Š« » jI «d ∑ ÊUð—u dNEð Ê√ ‰UL²Š« √

ÊUð—u UNO dNEð w²« «d*« œbŽ luð œ jI «d ≥ ÊU²ÐU² dNEð Ê√ ‰UL²Š« ?ł

q√ VŠ« ª¡«œuÝ …bŠ«ËË s¹ËUCOÐ 5ðd vKŽ Íu²×¹ ‚ËbM s ŸUł—ù« l Èdš_« uKð …bŠ«u« «d V×ð ±∞

∞[∑π vKŽ b¹e¹ q_« vKŽ …bŠ«Ë ¡UCOÐ …d —uNþ ‰UL²Š« ÊuJ¹ Ê√ ÊULC V×ð Ê√ V−¹ w²« «dJ« s œbŽ

±±≤

(Continuous Random Variable) qB²*« wz«uAF« dOG²*« µ≠∂

«c¼ wË ÆbFK ÏWKÐU WOIOI(« œ«bŽ_« s ÏWŽuL− Á«b Íc« qBHM*« wz«uAF« dOG²*« ©≥≠∂® bMÐ w UMdFð

¨›» ¤ WOIOI(« œ«bŽ_« s …d² Á«b ÊuJ¹ Íc« qB²*« wz«uAF« dOG²*« vL¹ dš¬ ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ·dF²MÝ bM³«

dOG²*« pcË ¨qB² wz«uAŽ dOG² u¼ wzUÐdN ÕU³B* …UO(« …d² ‰uÞ vKŽ ‰b¹ Íc« wz«uAF« dOG²*« ∫Îö¦L

ÆÎUC¹√ qB² wz«uAŽ dOG² u¼ rNðœôË bMŽ ‰UHÞ_« ©Ê«“Ë√ Ë√® ¨‰«uÞ√ vKŽ ‰b¹ Íc« wz«uAF«

∫n¹dFð

¨ ›» ¨ ¤ tU− Íc« „ Ê«d²ô« wL½ UM½S ¨ ›» ¨ ¤ Á«b ÎöB² ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈ ±

∫ÊU «–≈ jIË «–≈ ¨ vz«uAF« dOG²LK WOUL²Š« WU¦ Ê«d²« ¨WOIOI(« œ«bŽ_« WŽuL− qÐUI*« tU−Ë

± Ω ”s ©”®„

»

∫ » ›» ¨ ¤ ∋ ” ∀ ¨ ∞ ≤ ©”®„ √

›»¨ ¤ ⊇ ›œ ¨ ?ł¤ YOŠ ¨ ”s ©”®„

œ

?ł

∫ Ω ©œ ≥ ” ≥ ?ł®‰ ≤

¨›± ¨ ∞¤ ∋ ” ¨”≤ Ω ©”®„ ÊUË ¨›±¨ ∞¤ Á«b ÎöB² ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈ ∫©±®‰U¦

Æ dOG²LK WOUL²Š« WU¦ Ê«d²« „ Ê«d²ô« Ê√ 5³

›± ¨ ∞¤ ∋ ” ∀ ¨ ∞ ≤ ©”®„ √

± Ω

±

∞

¸ ≤” Ω ”s ”≤

±

∞

∫ Ω ”s ©”®„

±

∞

∫ »

Æ wz«uAF« dOG²LK WOUL²Š« WU¦ Ê«d²« ©”®„ ∴

∫ UEŠö

WOUL²Šô« WU¦J« Ê«d??²??« Ê√ n¹dF²« s?? `C²¹ ±

Ê«d²« u¼ ›» ¨ ¤ tU− Íc« qB²*« wz«uAF« dOG²LK

5LOI²*«Ë UMO« —u× l ÁUM×M dB×¹ ¨VUÝ dOž

Æ…bŠ«Ë WFÐd …bŠË UN²ŠU WIDM » Ω ” ¨ Ω ”

”

»

©”®„©”®„± Ω WŠU*«

©±∞≠∂® qJA«

∞ Ω ”s ©”®„

± ”

±”

∫ Ω ©±”®‰ Ω ›»¨ ¤ ∋ ±

” WLOI« qB²*« wz«uAF« dOG²*« c²¹ Ê√ ‰UL²Š« ≤

±±≥

≤”≥ Ω ©”®„ WOUL²Šô« t²U¦ Ê«d²«Ë ¨›∞ ¨ ±≠¤ Á«b ÎöB² ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈ ∫©≤® ‰U¦

∫błËQ

©∞ ≥ ” ≥ ≤

± ≠®‰ √

© ≤

± ≠ > ”®‰ »

”s ≤”≥

∞

≤

± ≠∫ Ω ©∞ ≥ ” ≥

≤

± ≠®‰ √

∏

± Ω © ∏

± ≠® ≠ ∞ Ω

∞

≤

± ≠

¸ ≥” Ω

© ≤

± ≠ > ” ≥ ±≠®‰ Ω © ≤

± ≠ > ”®‰ »

∏

∑ Ω ± ´

∏

± ≠ Ω

≤

± ≠

±≠

¸ ≥” Ω ”s ≤”≥ ≤

± ≠

±≠

∫ Ω

∫wU²« u×M« vKŽ Èdš√ WI¹dDÐ ©»® ŸdH« qŠ sJ1Ë

”s ≤”≥

∞

≤

± ≠∫ ≠ ± Ω ”s ≤”≥

≤

± ≠

±≠

∫ Ω © ≤

± ≠ > ”®‰

∏

∑ Ω

∏

± ≠ ± Ω

›≥ ¨ ∞¤ Á«b ÎöB² ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈ ∫©≥® ‰U¦

± ≥ ” ≥ ∞ ”

≤ ≥ ” ≥ ±

≥ ≥ ” ≥ ≤ ©”≠≥®

Ω ©”®„ WOUL²Šô« t²U¦ Ê«d²«Ë

©≤ ≥ ”®‰ bł » Æ WLO bł √

± Ω ”s ©”®„

≥

∞

∫ √

± Ω ”s ©”≠≥®

≥

≤

∫ ´ ”s

≤

±

∫ ´ ”s ”

±

∞

∫ ∴

±±¥

± Ω

≥

≤

¸ © ≤

≤” ≠ ”≥® ´ ©± ≠ ≤® ´

±

∞

¸ ≤

≤”

± Ω ©¥ ≠ ¥[µ® ´ ´ ≤

±

≤

± Ω UNMË ± Ω ≤

± ≥ ” ≥ ∞ ” ≤

±

≤ ≥ ” ≥ ± ≤

±

≥ ≥ ” ≥ ≤ ©”≠≥® ≤

±

Ω ©”®„ ∴

”s ≤

±

≤

±

∫ ´ ”s ” ≤

±

±

∞

∫ Ω ”s ©”®„

≤

∞

∫ Ω ©≤ ≥ ”®‰ »

©± ≠ ≤® ≤

± ´

±

∞

¸ ≤” ¥

± Ω

¥

≥ Ω

≤

± ´ ©∞ ≠

¥

± ® Ω

∫©qB²L« wz«uAF« dOG²L« luð® n¹dFð

dOG²*« luð ·dF½ UM½S ¨„ WOUL²Šô« t²U¦ Ê«d²«Ë ›» ¨ ¤ Á«b ÎöB² ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈

”s ©”®„ × ”

»

∫ Ω © ® ∫«cJ¼ wz«uAF«

∫WOUL²Šô« t²U¦ Ê«d²«Ë ÎöB² ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈ ∫©¥® ‰U¦

∞ > ” ≥ ±≠ ” ´ ±

± ≥ ” ≥ ∞ ” ≠ ± Ω ©”®„

©µ ´ ≤® » © ® √ ∫błËQ

”s ©≤” ≠ ”®

±

∞

∫ ´ ”s ©≤” ´ ”®

∞

±≠

∫ Ω ”s ©”® „ ”

±

±≠

∫ Ω © ® √

±

∞

¸ © ≥

≥” ≠

≤

≤” ® ´

∞

±≠

¸ © ≥

≥” ´

≤

≤” ® Ω

∞ Ω © ≥

± ≠

≤

± ® ´ © ≥

± ≠

≤

± ® ≠ Ω

±±µ

©µ® ´ © ≤® Ω ©µ ´ ≤® »

µ ´ © ® ≤ Ω

µ Ω µ ´ ∞ × ≤ Ω

©µ≠∂® s¹—U9

w WMO³*« …d²H« vKŽ ·dF qB² wz«uAŽ dOG²* WOUL²Š« WU¦ Ê«d²« ÊuJ¹ Ê√ `KB¹ WOU²« U½«d²ô« Í√ ±

∫WUŠ q

›± ¨ ∞¤ ∋ ” ¨ ≤” Ω ©”®„ √

›¥ ¨ ∞¤ ∋ ” ¨ ¥

± Ω ©”®„ »

ÍdO³OM« œbF« ?¼ ¨›?¼ ¨ ±¤ ∋ ” ¨

”±

Ω ©”®„ ?ł

›≤ ¨ ∞¤ ∋ ” ¨¸± ≠ ”¸ Ω ©”®„ œ

∫WOUL²Šô« t²U¦ Ê«d²« u¼ ©”≠±® ” ?ł Ω ©”®„ ÊUË ¨›± ¨ ∞¤ Á«b ÎöB² ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈ ≤

© ® bł ?ł ©≤

± ≥ ” ≥ ∞®‰ bł » ?ł WLO ?bł √

∫błËQ ¨” ≤

± Ω ©”®„ u¼ WOUL²Šô« t²U¦ Ê«d²«Ë ¨≤ ¨ ∞¤ Á«b ÎöB² ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈ ≥

wz«uAF« dOG²*« luð » ©≤

± < ” Ê√ ◊dAÐ ± ≥ ”®‰ √

∫u¼ WOUL²Šô« t²U¦ Ê«d²« qB² wz«uAŽ dOG² w¼ wzUÐdN “UN' …UO(« ‰uÞ …d² X½U «–≈ ¥

UŽUUÐ ” ¨ ±∞∞∞∞ ≥ ” ≥ ≤∞∞∞ ≥”

Ω ©”®„

ÆWŽUÝ ≥∞∞∞ s q√ “UN'« «c¼ qLF¹ Ê√ ‰UL²Š« » WLO bł √

∫u¼ wzUÐdN pKÝ dD ‰uD WOUL²Šô« WU¦J« Ê«d²« ÊU «–≈ µ

ÆrK ?ł ¨rK± 5Ð ÕË«d²¹ pK« «c¼ dD ‰uÞ ÊUË ” ≥

≤ Ω ©”®„

Æ?ł WLO bł √

ørK ±[µ > pK« ◊UI½ ÈbŠ≈ bMŽ dDI« ‰uÞ ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« U »

øpK« «c¼ dD ‰uÞ luð U ?ł

±±∂

(Normal Distribution) wFO³D« l¹“u²« ∂≠∂

l¹“u²« rÝ« wUL²Šô« tF¹“uð vKŽ oKD¹ Íc« WKB²*« WOz«uAF« «dOG²*« r¼√ bŠ√ bM³« «c¼ w ”—bMÝ

¨Ê«“Ë_« Ë√ ¨‰«uÞ_« ∫q¦ ¨WOFO³Þ d¼«uE W¹—«dJ²« UF¹“u²« s ΫdO¦ dO³ bŠ v≈ rzö¹ l¹“uð u¼Ë ªwFO³D«

ÆWOŽUL²łô«Ë WOFO³D« ÂuKF« w UOKLF« iFÐ "«u½ pcË ¨ÊU½ô« w ¡Uc« öUF Ë√

s œbŽ Ád¹uDð w „—UýË ¨Â±∑≥≥ ÂUŽ (De-Moivre) d«u1œ w½dH« rUF« wFO³D« l¹“u²« nA²«

ÆtLÝUÐ ÎU½UOŠ√ l¹“u²« vL¹ Íc« (Gauss) ”ËUł w½U*_« rUF« r¼dNý√ s ¡ULKF«

∫WOðü« WUF« …—uB« c²¹ wFO³D« l¹“u²« l³²¹ Íc« qB²*« wz«uAF« dOG²LK WOUL²Šô« WU¦J« Ê«d²« Ê≈

∞ > ” > ∞≠ ¨

≤

© σ

” ≠ ” ®

≤

±

≠

?¼ σ π ≤ √

± Ω ©”®„

wÐU(« jÝu« ” ¨ÍdO³OM« œbF« ?¼ ¨WO³¹dI²« W³M« π YOŠ

Æ” wz«uAF« dOG²LK Í—UOF*« ·«d×½ô« σ ¨wz«uAF« dOG²LK ©lu²«®

ÆÊ«d²ô« «cN ÂUF« w½UO³« qO¦L²« `u¹ ©±±≠∂® qJA«

©©”®„¨”®

”””

©±±≠∂® qJA«

∫wFO³D« l¹“u²« vM×M ’«uš

tłuÐ qB²*« wz«uAF« dOG²LK WOUL²Šô« WU¦J« Ê«d²« ’«uš vKŽË ¨oÐU« w½UO³« qO¦L²«vKŽ œUL²ŽôUÐ

∫wFO³D« l¹“u²« vM×M* WOðü« WLN*« hzUB)« v≈ qu²« sJ1 ¨ÂUŽ

‰«uM*« Ω jOÝu« Ω wÐU(« jÝu« ÊuJ¹ tOË ª ” wÐU(« tDÝË ‰uŠ qŁUL² vM×M*« ±

Æ”d'« qJý tKJý t³A¹ ≤

∞ Ω ©”®„ ∞∓ ← ”

Ê√ Í√ ¨ UMO« —u× s vM×M*« UdÞ »d²I¹ ≥

Æ…bŠ«Ë …bŠË ÍËUð vM×M*« X% WF«u« WOKJ« WŠU*« ¥

5KJA« k??Šô Æσ Í—UOF*« ·«d??×??½ô«Ë ” wÐU(« jÝu« ∫s¹d²«—U³« vKŽ vM×M*« bL²F¹ µ

Æ©±≥≠∂® ¨©±≤≠∂®

”≤∞Ω ±

” ≥∞Ω ≤

” ¥∞Ω ≥

”

” wÐU(« jÝu« w WHK²Ë ¨ σ Í—UOF*« ·«d×½ô« w W¹ËU² WOFO³Þ UOM×M WŁöŁ ∫©±≤≠∂® qJA«

±±∑

”

µ Ω ± σ

±∞ Ω ≤ σ

±µ Ω ≥ σ

µ∞Ω ”

σ Í—UOF*« ·«d×½ô« w WHK²Ë ¨ ” wÐU(« jÝu« w W¹ËU² WOFO³Þ UOM×M WŁöŁ ∫©±≥≠∂® qJA«

Í—UOF ·«d×½« sL UNM •∂∏ w«uŠ ÊuJ¹ YO×Ð wFO³D« l¹“u²« qJý c²ð w²« «œdH*« Ÿ“u²ð ∂

WŁöŁ sL UNM •ππ w«uŠË ¨5¹—UOF 5«d×½« sL UNM •πµ w«uŠË ¨jÝu« w³½UłvKŽ bŠ«Ë

Æ©±¥≠∂® qJA« kŠôÆW¹—UOF U«d×½«

”

•∂∏

σ ≠ ” σ ´ ””

•πµ

σ ≤ ≠ ” σ

≤ ´ ””

•ππ

σ ≥ ≠ ” σ

≥ ´ ””

©±¥≠∂® qJA«

∫Í—UOFL« wFO³D« l¹“u²«

q¹u% ÊS ¨σ Í—UOF ·«d×½«Ë ” wÐUŠ jÝuÐ wFO³D« l¹“u²« l³²¹ ÎöB² ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ” ÊU «–≈

l¹“u²« l³²¹ Ÿ wz«uAŽ dOG² v≈ ” wz«uAF« dOG²*« ‰u×¹ ¨ σ

” ≠ ” Ω Ÿ WœUF*« oË W¹—UOF rO v≈ ” rO

Ác¼ w wFO³D« l¹“u²« wL½ Æ…bŠ«Ë …bŠË ÍËU¹ Í—UOF ·«d×½«Ë ΫdH ÍËU¹ wÐUŠ jÝuÐ wFO³D«

≤Ÿ

≤

± ≠

?¼

π ≤ √±

Ω ©Ÿ®„ ∫jÐ_« …—uB« ÌczbMŽ WOUL²Šô« WU¦J« Ê«d²« c²¹Ë ªÎU¹—UOF ÎUOFO³Þ ÎUF¹“uð WU(«

dOG²LK 5²LO Í√ 5Ð …—uB;«Ë Í—UOF*« wFO³D« vM×M*« X% WF«u« WŠU*« WdF s UMMJ9 ‰Ë«bł błuð

¨∞ Ω Ÿ 5Ð …—uB;«Ë Í—UOF*« vM×M*« X% WŠU*« wDF¹ UL¼bŠ√ ∫‰Ë«b'« ÁcN ÊUFzUý ÊUŽu½ „UM¼Ë ¨Ÿ

X% W??F??«u??« WŠU*« lOLł wDF¹ d???šü«Ë ªŸ ???? W³łu WLO W???¹√Ë

Í—UOF*« wFO³D« l¹“u²« ‰Ëbł vL¹Ë ¨ Ÿ —U¹ v≈ Í—UOF*« vM×M*«

Æ©»U²J« W¹UN½ w o×K*« dE½√® Æ»U²J« «c¼ w ÁbL²FMÝË ¨wL«d²«

¨∞[∏¥±≥ w¼Ë ¨©± Ω Ÿ ® X% WŠU*« 5³¹ ¨©±µ≠∂® qJA«

Æ∞[∏¥±≥ Ω ©± ≥ Ÿ®‰ ¨Ê√ Í√

Ÿ

∞[∏¥±≥

± Ω Ÿ∞ Ω Ÿ

©±µ≠∂® qJA«

±±∏

∫ s Îö błË√ Í—UOF*« wFO³D« l¹“u²« ‰Ëbł «b²ÝUÐ ∫©±® ‰U¦

©∞[µ≠ ≤ Ÿ®‰ » ©±[π≤ ≥ Ÿ®‰ √

∞[π∑≤∂ Ω©±[π≤ Ω Ÿ ® X% WŠU*« Ω ©±[π≤ ≥ Ÿ®‰ √

©±∑≠∂® qJA« kŠô ±[π≤∞

∞[π∑≤∂

Ÿ

©±∑≠∂® qJA«

¨…dýU³ ‰Ëb'« s ±[π≤ Ω Ÿ X% WŠU*« U½błË

¨±[π Ω Ÿ n lÞUIð bMŽ l«u« œbF« v≈ dEMUÐ p–Ë

∞[π∑≤∂ œbF« u¼Ë ¨∞[∞≤ œuLF«Ë

©∞[µ≠ Ω Ÿ ® X% WŠU*« ≠ ± Ω ©∞[µ≠ ≤ Ÿ®‰ »

∞[∂π±µ Ω ∞[≥∞∏µ ≠ ± Ω

©±∏≠∂® qJA« kŠô ∞[µ≠ Ÿ

©±∏≠∂® qJA«

©∞[±µ > Ÿ > ±≠®‰ błË√ ∫©≤® ‰U¦

©∞[±µ Ω Ÿ ® ¨©±≠ Ω Ÿ ® 5Ð WŠU*« Ω ©∞[±µ > Ÿ > ±≠®‰

©±≠ Ω Ÿ ® X% WŠU*« ≠ ©∞[±µ Ω Ÿ ® X% WŠU*« Ω

∞[¥∞∞π Ω ∞[±µ∏∑ ≠ ∞[µµπ∂ Ω

©±π≠∂® qJA« kŠô ±≠ ∞[±µ Ÿ

©±π≠∂® qJA«

∫wK¹ U2 >q w Ÿ WLO błË√ ∫©≥®‰U¦

∞[∂∂≤∏ ÍËUð UNu WŠU*« » ∞[∏¥∏µ ÍËUð UN²% WŠU*« √

∞[≥π ÍËUð Ÿ≠ ¨ Ÿ 5Ð WŠU*« ?ł

∞[∏¥∏µ Ω ©Ÿ ≥®‰ √

Í—U??O??F??*« wFO³D« l??¹“u??²??« ‰Ëb????ł v???≈ Ÿu??łd??U??Ð

bMŽ lIð UN½√ b??$ ∞[∏¥∏µ WŠU*« s??Ž Y׳«Ë

±[∞≥ Ω Ÿ ∴ ∞[∞≥ œuLŽË ± Ω Ÿ n lÞUIð

©≤∞≠∂® qJA« kŠô

Ÿ

∞[∏¥∏µ

©≤∞≠∂® qJA«

±±π

∞[∂∂≤∏ Ω ©Ÿ ≤®‰ »

∞[≥≥∑≤ Ω ∞[∂∂≤∏ ≠ ± Ω Ÿ X% WŠU*« ∴

∞[¥≤≠ Ω Ÿ ‰Ë«b'« s

©≤±≠∂® qJA« kŠô

Ÿ

∞[∂∂≤∏

Ÿ

©≤±≠∂® qJA«

∞[≥π Ω Ÿ≠ ¨ Ÿ 5Ð WŠU*« ?ł

©Ÿ ® ‚u WŠU*« ´ © Ÿ ≠® X% WŠU*«

∞[∂± Ω ∞[≥π ≠ ± Ω

∞[≥∞µ Ω ≤

∞[∂± Ω © Ÿ ≠® X% WŠU*« ∴

∞[≥∞µ ´ ∞[≥π Ω © Ÿ ® X% WŠU*« ∴

∞[∂πµ∞ Ω

∞[µ± Ω Ÿ ‰Ë«b'« s

©≤≤≠∂® qJA« kŠô

Ÿ

∞[≥π

Ÿ ≠

©≤≤≠∂® qJA«

WŽUÝ ±≥∞∞ u¼ l½UB*« b??Š√ UN−²M¹ w²« WOzUÐdNJ« `OÐUB*« —ULŽ_ wÐU(« jÝu« ∫©¥® ‰U¦

dO²š«Ë wFO³D« l¹“u²« l³²ð —ULŽ_« Ác¼ X½U «–S ÆWŽUÝ≤∞∞ Á—«bI Í—UOF ·«d×½UÐ

øWŽUÝ ±∏∞∞ vKŽ b¹eð …b ÎU(U vI³¹ Ê√ ‰UL²Š« UL ÎUOz«uAŽ `OÐUB*« bŠ√

WŽUݱ∏∞∞ vKŽ b¹eð …b ÎU(U ÕU³B*« vI³¹ Ê√ ‰UL²Š«

Æ©≤≥≠∂® qJA« w WKKE*« WŠU*« Ω

σ” ≠ ”

Ω Ÿ

≤[µ Ω ≤∞∞

±≥∞∞≠±∏∞∞ Ω

±∏∞∞±≥∞∞ ”

≤[µ∞

©≤≥≠∂® qJA«

©≤[µ Ω Ÿ ® X% WŠU*« ≠ ± Ω ©≤[µ Ω Ÿ ® ‚u WŠU*«

∞[ππ≥∏ ≠ ± Ω

∞[∞∞∂≤ Ω

∞[∞∞∂≤ Ω »uKD*« ‰UL²Šô« ∴

±≤∞

jÝuÐ ¨wFO³D« l¹“u²« l³²¹ rNðUöŽ l¹“uð ÊU??Ë ¨ÂU??Ž ÊUײô VUÞ ∏∞∞ ÂbIð ∫©µ® ‰U¦

∫∏ Ω Í—UOF ·«d×½«Ë ∑∞ Ω wÐUŠ

Æ∏∞ sŽ rNðUöŽ qIð s¹c« W³KD« œbŽ błË√ √

øtO ÕU−M« W³½ w¼ UL ∂∞ w¼ ÊUײô« w ÕU−M« WöŽ X½U «–≈ »

VUD« UNOKŽ qB×¹ WöŽ q√ w¼ UL ¨“U²2 d¹bIð W³KD« s •±∞ qC√ wDŽ√ «–≈ ?ł

øs¹“U²L*« W¾ s ÊuJO

∏∞ sŽ rNðUöŽ qIð s¹c« W³KD« W³½ √

©≤¥≠∂® qJA« w WKKE*« WŠU*« w¼

±[≤µ Ω ∏

∑∞ ≠ ∏∞ Ω

σ” ≠ ”

Ω Ÿ

∏∞∑∞ ”

©≤¥≠∂® qJA«

∞[∏π¥¥ Ω ©±[≤µ Ω Ÿ® X% WŠU*«

∞[∏π¥¥ Ω W³KD« W³½ ∴

ÎU³UÞ ∑±∂ ≈ ∏∞∞ × ∞[∏π¥¥ Ω W³KD« œbŽ ∴

∂∞ WöF« ‚u WŠU*« Ω ÕU−M« W³½ »

©≤µ≠∂® qJA« w WKKE*« WŠU*« w¼Ë

±[≤µ≠ Ω ∏

∑∞ ≠ ∂∞ Ω

σ” ≠ ”

Ω Ÿ ∂∞ ∑∞

©≤µ≠∂® qJA« ∞[±∞µ∂ Ω ©±[≤µ≠ Ω Ÿ® X% WŠU*«

∞[∏π¥¥ Ω ∞[±∞µ∂ ≠ ± Ω ©±[≤µ≠ Ω Ÿ® ‚u WŠU*« ∴

• ∏π[¥¥ Ω ∞[∏π¥¥ Ω ÕU−M« W³½ ∴

Æ©≤∂≠∂® qJA« w WKKE*« WŠU*« rNK¦9 s¹“U²L*« W¾ ?ł

W¹—UOF*« WöF«Ë ” w¼ s¹“U²L*« W¾H v½œ_« b(« Ê√ ÷dHÐË ¨∞[±∞ Ω WKKE*« WŠU*«

∞[π∞ Ω ∞[±∞ ≠ ± Ω Ÿ X% WŠU*« ÊuJ¹ Ÿ w¼ UN WKÐUI*«

±[≤∏ ≈ Ÿ WLO ‰Ë«b'« s

σ

” ≠ ” Ω Ÿ sJ

∏

∑∞ ≠ ” Ω ±[≤∏ ∴

”∑∞

• ±∞

©≤∂≠∂® qJA«

∏∞ ≈ ∏∞[≤¥ Ω ±∞[≤¥´∑∞ Ω ±[≤∏ × ∏ ´ ∑∞ Ω ”

±≤±

©∂≠∂® s¹—U9

∫s Îö błËQ ¨Í—UOF*« wFO³D« l¹“u²« l³²¹ ÎUOz«uAŽ ΫdOG² Ÿ ÊU «–≈ ±

©±[¥≤ ≥ Ÿ®‰ » ©±[±≥ ≤ Ÿ®‰ √

©∞[∂ ≥ ¸Ÿ ¸®‰ œ ©≤[∞± ≥ Ÿ ≥ ±[≥µ≠®‰ ?ł

∫wK¹ U2 Ì q w WLO błËQ ¨Í—UOF*« wFO³D« l¹“u²« l³²¹ ÎUOz«uAŽ ΫdOG² Ÿ ÊU «–≈ ≤

∞[± Ω ©≤ ≥ Ÿ ≥ ®‰ ?ł ∞[∑π∂∑ Ω © ≥ Ÿ®‰ » ∞[¥≤≥∂ Ω © ≥ Ÿ ≥ ∞®‰ √

±[¥ Ω σ Í—UOF ·«d×½«Ë ¨µ[∂ Ω ” wÐUŠ jÝuÐ wFO³D« l¹“u²« l³²¹ ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ” ÊU «–≈ ≥

∫wK¹ U2 Îö błËQ

©©∂[¥ < ”® Ë√ ©≥[¥ > ”®®‰ ?ł ©¥[¥ > ”®‰ » ©∑[µ < ”®‰ √

±∞∞ Ω wÐU(« jÝu« Ê≈ YO×Ð wFO³D« l¹“u²« l³²¹ lL²−*« w ¡U??c??« öUF l¹“uð ÊU?? «–≈ ¥

∫rNzU– öUF lIð s¹c« ’Uý_« W³½ b− ¨±µ Ω Í—UOF*« ·«d×½ô«Ë

±≤µ ¨ ∑µ 5Ð œ π∞ X% ?ł ±≤∞ ‚u » ±≥µ ‚u √

rG ∞[∞≤ ÍËU¹ Í—UOF ·«d×½«Ë rG ¨±[∞± ÍËU¹ wÐUŠ jÝuÐ dJ« s ÎUÝUO√ Z²M¹ lMB w ÃU²½≈ jš µ

ÆrG ±[∞≥ s q√ Êeð w²« ”UO_« W³½ błË√ √

ÆrG ±[∞≤ s d¦√ Êeð w²« ”UO_« W³½ błË√ »

ÆrG ±[∞µ ¨rG± 5Ð UN½«“Ë√ ÕË«d²ð w²« ”UO_« W³½ błË√ ?ł

u¼ UL ∞[∞¥¥∂ Ω ©µ±[±µ > ”®‰ ÊU «–S ªµ≤ Ω ” wÐUŠ jÝuÐ wFO³Þ l¹“uð t vz«uAŽ dOG² ∂

ø” dOG²LK Í—UOF*« ·«d×½ô«

s d³√ rOI« s •∑±[≥∑ ÊU «–S ª≥[π u¼ wFO³D« l¹“u²« l³²¹ vz«uAŽ dOG²* Í—UOF*« ·«d×½ô« ∑

ødOG²*« rOI wÐU(« jÝu« u¼ UL ≤¥π[∏

vKŽ UN½“Ë b¹e¹ «Ëœ_« s •µ ÊUË ¨wFO³D« l¹“u²« l³²ð lMB w W−²M*« «Ëœ_« Ê«“Ë√ X½U «–≈ ∏

rž ≤µ sŽ UN½“Ë qI¹ «Ëœ_« s •±∞ ÊUË ¨rž ∏µ

Æ «Ëœ_« Ê«“Ë_ Í—UOF*« ·«d×½ô«Ë wÐU(« jÝu« s Îö błËQ √

ÆULNMOÐ Ê«“Ë_« s •∑µ lI¹ YO×Ð jÝu« ‰uŠ 5KŁUL²*« 5½“u« bł »

wÐUŠ jÝuÐ wFO³D« l¹“u²« l³²¹ U XOÐ v≈ VOK(« ‰uuK VOK(« Ÿ“u tdG²¹ Íc« se« ÊU «–≈ π

ÎUOu¹ XO³« p– v≈ VOK(« qIM¹ Ÿ“u*« «c¼ ÊUË ¨ÊU²IOœ Á—«bI Í—UOF ·«d×½«Ë WIOœ ¨±≤ Á—«bI

∫ÎUM“ Ÿ“u*« UNO ‚dG²¹ w²« ÂU¹_« œbŽ ©V¹dI²UЮ u¼ UL ¨©ÎUu¹ ≥∂µ® WM« —«bvKŽ

øWIOœ ±≥ ¨ π 5Ð dB×M¹ ?ł øozUœ ±∞ sŽ qI¹ » øWIOœ ±∑ vKŽ b¹e¹ √

±≤≤

WUŽ s¹—U9 ∫WOU²« WK¾Ý_« s ÌqJ W×O×B« WÐUłù« e— d²š« ±

∫u¼ q_« vKŽ …bŠ«Ë …—u dNEð Ê√ ‰UL²Š« ÊS «d ≥ WLE²M bI½ WFD ¡UI≈ bMŽ ±

p– dOž œ ∏

∑ ?ł

∏

≥ »

≥

≤ √

¨s¹Ë«dLŠ 5²MŁ«Ë ¨¡UCOÐ «d w½ULŁ vKŽ Íu²×¹ ‚ËbM s ŸUł—≈ ÊËœ w«u²« vKŽ ÊUðd dO²š« «–≈ ≤

∫u¼ ¡UCOÐ vË_« X½U «–≈ ¡«dLŠ WO½U¦« ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« ÊS ¨¡«œuÝ fLšË

≥

± œ

±≥

≤ ?ł

±¥

± »

∑

± √

∫u¼ luð ÊS ¨XÐUŁ ?ł ¨?ł Ω ©”®„ WOUL²Šô« t²U¦ Ê«d²«Ë ¨›≥ ¨±¤ Á«b ÎöB² ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈ ≥

p– dOž œ ≤ ?ł ≤

± » ± √

∫u¼ 5ð—u —uNþ «d œbŽ luð ÊuJ¹ ¨…d±≤ 5²LE²M bI½ w²FD ¡UI≈ WÐd& w ¥

≥ œ ¥ ?ł ≤ » ∂ √

nB« s ÊU²³UÞ dO²š« «–S ¨W³UÞ ±∂ U׳UM« œbŽ ÊUJ U ÊUײô W³UÞ ≤∞ tO n ÂbIð µ

∫u¼ 5²×łU½ U½uJð Ê√ ‰UL²Š« ÊS ÎUOz«uAŽ

≤

± ×

≤

± œ

≤∞

± ×

≤∞

± ?ł

≤∞

±∂ ×

≤∞

±∂ »

±π

±µ ×

≤∞

±∂ √

s Ê≤ ¨¡UCO³« «dJ« s Ê w½U¦« wË ¡«dL(« «dJ« s Ê ¨¡UCO³« «dJ« s Ê ‰Ë_« w ÊUËbM ∂

∫u¼ ¡UCOÐ ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« ÊS ¨…bŠ«Ë …d tM X³×ÝË ¨ÎUOz«uAŽ 5ËbMB« bŠ√ dO²š« «–≈ Æ¡«dL(« «dJ«

p– dOž œ ≥

≤ ?ł

±≤

µ »

¥

≥ √

∫u¼ luð ÊS ¨©”≤ ¨µ® ¨©∞[± ¨ ≥® ¨©” ¨≤® ∫u¼ wz«uAF« dOG²LK wUL²Šô« l¹“u²« ÊU «–≈ ∑

≥π

±∞ œ

±∞

≥π ?ł

≥

±∞ » ∞[≥ √

∫d¦_« vKŽ «d µ ÍuKF« tłu« vKŽ ◊UI½ ¥ —uNþ ‰UL²Š« ÊuJ¹ «d ∂ rE²M œd½ d−Š ¡UI≈ bMŽ ∏

∂

© ∂

µ ® ≠ ± œ

∂

© ∂

± ® ≠ ± ?ł

µ

© ∂

± ® ≠ ± »

∂

µ √

ªŸUł—≈ ÊËœ Èdš_« uKð …bŠ«Ë «d tM X³×Ý ª¡«dLŠ «d µ ¨¡UCOÐ «d ≥ vKŽ ‚ËbM Íu²×¹ π

∫u¼ Èb ÊS ¨¡«dLŠ …d ‰Ë√ UNO dNEð Íc« V׫ r— vKŽ ‰b¹ wz«uAF« dOG²*« ÊU «–S

¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± » ≥ ¨ ≤ ¨ ± √

¥ ?ł µ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± ?ł

±≤≥

ÍËU¹ Ê√ sJ1 ô WOU²« œ«bŽ_« bŠ√ ÊS ¨¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± Á«b ÎöBHM ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈ ±∞

∫ dOG²LK lu²«

≥[µ∏ œ ≥ ?ł ±[µ » ¥ √

tłË_« vKŽ —u ÀöŁ dNEð Ê√ ‰UL²Š« ÊuJ¹ ¨WOU²² «d?? ÀöŁ WLE²M bI½ WFD ¡UI≈ WÐd& w ±±

∫u¼ vË_« WOd« w …—u dNþ «–≈ W¹uKF«

¥

± œ

∏

± ?ł

≥

≤ »

≤

± √

∫ÊS Ω wMOF« ⁄«dHK 5KUýË s¹bŽU³² 5ŁœUŠ ≤

Õ ¨ ±

Õ ÊU «–≈ ±≤

p– dOž œ ∅ Ω ≤

Õ ≠ ±

Õ ?ł ≤

Õ ⊇ ±

Õ » ÊöI² ≤

Õ ¨ ±

Õ √

∫ÍËU¹ ©≤ ® ÊS ≤ ¨ ± Á«b ÎUOz«uAŽ ΫdOG² ÊU «–≈ ±≥

≤

©©≤®‰ × ≤® ´ ≤©±®‰® × ± » ≤

©©≤®‰® × ≤ ´ ≤

©©±®‰® × ± √

©≤®‰¥ ´ ©±®‰ × ± œ ≤

©©≤®‰ × ≤ ´ ©±®‰® × ± ?ł

∫›±¨∞¤ Á«b Íc« qB²*« wz«uAF« dOG²LK WOUL²Š« WU¦ Ê«d²« ÊuJ¹ Ê√ sJ1 ô ÎU½«d²« q¦1 WOU²« WO½UO³« ÂuÝd« bŠ√ ±¥

”

±

≤

”

±

±

”

±

©”®„

±

≤

”

±

±

≤

≥

±

≥

≤

©”®„ ©”®„ ©”®„

√»?łœ

∫ÍËU¹ ©≤

Õ ∩ ±

Õ®‰ ÊS ∞[∑ Ω ©±

ÕØ≤

Õfl

®‰ ¨ ∞[¥ Ω ©±

Õ®‰ ÊUË 5KI² 5ŁœUŠ ≤

Õ¨±

Õ ÊU «–≈ ±µ

∞[±≤ œ ∞[∏ ?ł ∞[¥ » ∞[≤∏ √

∫ÍËU¹ ©„ ≠ ≤ ´ µ® ÊS ÊUOz«uAŽ Ê«dOG² „ ¨ YOŠ ≤≠ Ω ©„® ¨ ≥ Ω © ® ÊU «–≈ ±∂

π œ ±≥ ?ł µ » ∏ √

l w«u²« vKŽ «d ÀöŁ ‚ËbMB« s X³×Ý ª±∞≠± s WLd «d ±∞ vKŽ ‚ËbM Íu²×¹ ≤

øj³CUÐ 5ðd µ rd« qL% w²« …dJ« —uNþ ‰UL²Š« U ÆŸUł—ù«

ÊU²UDÐ dO²š« ¨ÎU³UÝ Î«œbŽ UNM q qL% UUDÐ ¥Ë ¨ÎU³łu ΫœbŽ UNM q qL% UUDÐ ∂ 5Ð s ≥

ÆŸUł—ù« l w«u²« vKŽ

øÎU³UÝ 5²UD³« vKŽ s¹œbF« »d qUŠ ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« U √

øÎU³łu 5²UD³« vKŽ s¹œbF« »d qUŠ ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« U »

±≤¥

ŸUł—≈ ÊËœ Èdš_« uKð …bŠ«Ë ‚ËbMB« s «dJ« X³×Ý Æ¡«dLŠ «d ¥Ë ¨¡UCOÐ «d ∂ vKŽ ‚ËbM Íu²×¹ ¥

øW¦U¦« W³×« w ¡«dLŠ …d ‰Ë√ dNEð Ê√ ‰UL²Š« U √

øWFЫd« W³×« w WO½U¦« …dLK ¡«dLŠ …d dNEð Ê√ ‰UL²Š« U »

ª5ð—u ULNM q qL% 5²¹œUŽ dOž ÊU²OU³«Ë ¨W¹œUŽ UNM ÀöŁ œuI½ lD fLš vKŽ ‚ËbM Íu²×¹ µ

«d ÀöŁ XOI√ rŁ ¨ÎUOz«uAŽ …bŠ«Ë WFD ‚ËbMB« s X³×Ý

ø—u ÀöŁ —uNþ ‰UL²Š« U √

øW¹œUŽ dOž WÐu×*« WFDI« ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« UL ¨—u ÀöŁ dNþ t½√ rKŽ «–≈Ë »

» ‚ËbMB« Íu²×¹Ë ª¡«œuÝ «d ≥Ë ¨¡UCOÐ «d ∑ vKŽ ‚ËbMB« Íu²×¹ ¨» ¨ ÊUËbM ∂

Æ s …d X³×Ý rŁ v≈ » s …d XKI½ Æ¡«œuÝ «d πË …bŠ«Ë ¡UCOÐ …d vKŽ

ø¡UCOÐ WÐu×*« …dJ« ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« U √

ø¡UCOÐ WuIM*« …dJ« ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« UL ¨¡«œuÝ X½U WÐu×*« …dJ« Ê√ rKŽ «–≈Ë »

ø—uB« s tH½ œbF« vKŽ öB×¹ Ê√ ‰UL²Š« U ªWLD²M œd½ —U−Š√ ≥ 5Bý s q wd¹ ∑

«–≈ ÆŸUł—≈ ÊËœ w«u²« vKŽ ÎUOz«uAŽ ÊUŠU³B V×Ý ÆWHUð ≥ UNM `OÐUB ±∞ vKŽ ‚ËbM Íu²×¹ ∏

øÎU(U ‰Ë_« ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« UL ¨ÎUHUð w½U¦« ÕU³B*« ÊU

∫ÂU—_« tNłË√ vKŽ qL×¹ ÍœUŽ dOž œd½ d−Š » hý wd¹Ë ¨ÎU¹œUŽ œd½ d−Š hý wd¹ π

µ ¨ ¥ ¨ ¥¨ ± ¨ ± ¨ ±

ø5HK² 5L— vKŽ ÊUMŁô« qB×¹ Ê√ ‰UL²Š« U √

øwłË“ œbŽ vKŽ q_« vKŽ UL¼bŠ√ qB×¹ Ê√ ‰UL²Š« U »

Í√ sŽ t²ÐUł≈ bMŽ …dþUM*« wN²MðË ¨WOU²² WK¾Ý√ sŽ WÐUłù« „d²A*« s VKD¹ ¨WO½u¹eHKð …dþUM w ±∞

„d²ALK q−¹ …dþUM*« ¡UN²½« bMŽË ÆW×O× UÐUł≈ WK¾Ý√ WŁöŁ sŽ t²ÐUł≈ bMŽ Ë√ ¨W¾ÞUš WÐUł≈ ‰«RÝ

¨≥

≤ ÍËU¹ WŁö¦« WK¾Ý_« s Í√ sŽ 5d²A*« bŠ√ VO−¹ Ê√ ‰UL²Š« ÊU «–S ÆW×O×B« tðUÐUł≈ œbŽ

Æ„d²A*« «cN q−*« œbF« luð błËQ

∫u¼ wz«uAŽ dOG²* WOUL²Šô« WU¦J« Ê«d²« ÊU «–≈ ±±

© ≤

± ≥ ” ≥

≥

± ®‰ VŠU ¨ ± ≥ ” ≥ ∞ ”≤ Ω ©”®„

5²GK« ÊuLKJ²¹ •µ∞ ¨WO½dH« ÊuLKJ²¹ •∑∞ ¨W¹eOK$ù« ÊuLKJ²¹ ’Uý_« s •∂∞ ÊU U WM¹b w ±≤

ÆÎUOz«uAŽ ’Uý_« bŠ√ dO²š« ÆÎUF

øW¹eOK$ù« rKJ²¹ t½QÐ ÎULKŽ WO½dH« rKJ²¹ Ê√ ‰UL²Š« U √

øWO½dH« rKJ²¹ ô t½QÐ ÎULKŽ W¹eOK$ô« rKJ²¹ Ê√ ‰UL²Š« U »

øjI 5²GK« ÈbŠ« rKJ²¹ Ê√ ‰UL²Š« U ?ł

±≤µ

X³ŁU ¨≥

± Ω ©

≤

Õ ≠ ±

Õ®‰ ¨≥

≤ Ω ©

≤

Õ ∪ ±

Õ®‰ ¨≤

± Ω ©

±

Õ®‰ ÊU謽 w 5ŁœUŠ ≤

Õ ¨ ±

Õ ÊU «–≈ ±≥

ÆÊöI² ≤

Õ ¨ ±

Õ Ê√

Ác¼ XOI√Ë ¨π

¥ ÍËU¹ 5²OU²² 5ðd WLE²M dOž bI½ WFD ¡UI≈ bMŽ 5ð—u —uNþ ‰UL²Š« ÊU «–≈ ±¥

∫WÐU²J« —uNþ «d œbŽ q¦1 wz«uAF« dOG²*« ÊUË ¨WOU²² «d ≥ WFDI«

Æ© ® VŠ« » Æ wz«uAF« dOG²LK wUL²Šô« l¹“u²« V²« √

∫u¼ wz«uAF« dOG²LK WOUL²Šô« WU¦J« Ê«d²« ÊU «–≈ ±µ

∫błËQ ¨Vłu `O× œbŽ Ê YOŠ ¨ ± ≥ ” ≥ ∞ ¨ Ê”≥ Ω ©”®„

∞[µ Ω © ≥ ”®‰ YO×Ð WLO ?ł luð » Ê WLO √

ÍËU¹ Í—UOF ·«d×½«Ë ¨µ∞ ÍËU¹ wÐUŠ jÝuÐ wFO³D« l¹“u²« U h× w »öD« UöŽ l³²ð ±∂

X½UË VOðd²« vKŽ ¨ ?¼ ¨ œ ¨ ?ł ¨ »¨ U¾ fLš sL ÎUO“UMð »öD« UöŽ XHM «–S ª±∞

Æ U¾H« Ác¼ s W¾ q ÍbŠ 5F ªw«u²« vKŽ •±∞ ¨•≤∞ ¨ •¥∞ ¨ •≤∞ ¨ •±∞ ∫w¼ UN³½

±≤∂

∞[∞π ∞[∞∏ ∞[∞∑ ∞[∞∂ ∞[∞µ ∞[∞¥ ∞[∞≥ ∞[∞≤ ∞[∞± ∞[∞∞ Ÿ

∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ≥[∑≠

∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ≥[∂≠

∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ≥[µ≠

∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ≥[¥≠

∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞µ ∞[∞∞∞µ ∞[∞∞∞µ ≥[≥≠

∞[∞∞∞µ ∞[∞∞∞µ ∞[∞∞∞µ ∞[∞∞∞∂ ∞[∞∞∞∂ ∞[∞∞∞∂ ∞[∞∞∞∂ ∞[∞∞∞∂ ∞[∞∞∞∑ ∞[∞∞∞∑ ≥[≤≠

∞[∞∞∞∑ ∞[∞∞∞∑ ∞[∞∞∞∏ ∞[∞∞∞∏ ∞[∞∞∞∏ ∞[∞∞∞∏ ∞[∞∞∞π ∞[∞∞∞π ∞[∞∞∞π ∞[∞∞±∞ ≥[±≠

∞[∞∞±∞ ∞[∞∞±∞ ∞[∞∞±± ∞[∞∞±± ∞[∞∞±± ∞[∞∞±≤ ∞[∞∞±≤ ∞[∞∞±≥ ∞[∞∞±≥ ∞[∞∞±≥ ≥[∞≠

∞[∞∞±¥ ∞[∞∞±¥ ∞[∞∞±µ ∞[∞∞±µ ∞[∞∞±∂ ∞[∞∞±∂ ∞[∞∞±∑ ∞[∞∞±∏ ∞[∞∞±∏ ∞[∞∞±π ≤[π≠

∞[∞∞±π ∞[∞∞≤∞ ∞[∞∞≤± ∞[∞∞≤± ∞[∞∞≤≤ ∞[∞∞≤≥ ∞[∞∞≤≥ ∞[∞∞≤¥ ∞[∞∞≤µ ∞[∞∞≤∂ ≤[∏≠

∞[∞∞≤∂ ∞[∞∞≤∑ ∞[∞∞≤∏ ∞[∞∞≤π ∞[∞∞≥∞ ∞[∞∞≥± ∞[∞∞≥≤ ∞[∞∞≥≥ ∞[∞∞≥¥ ∞[∞∞≥µ ≤[∑≠

∞[∞∞≥∂ ∞[∞∞≥∑ ∞[∞∞≥∏ ∞[∞∞≥π ∞[∞∞¥∞ ∞[∞∞¥± ∞[∞∞¥≥ ∞[∞∞¥¥ ∞[∞∞¥µ ∞[∞∞¥∑ ≤[∂≠

∞[∞∞¥∏ ∞[∞∞¥π ∞[∞∞µ± ∞[∞∞µ≤ ∞[∞∞µ¥ ∞[∞∞µµ ∞[∞∞µ∑ ∞[∞∞µπ ∞[∞∞∂∞ ∞[∞∞∂≤ ≤[µ≠

∞[∞∞∂¥ ∞[∞∞∂∂ ∞[∞∞∂∏ ∞[∞∞∂π ∞[∞∞∑± ∞[∞∞∑≥ ∞[∞∞∑µ ∞[∞∞∑∏ ∞[∞∞∏∞ ∞[∞∞∏≤ ≤[¥≠

∞[∞∞∏¥ ∞[∞∞∏∑ ∞[∞∞∏π ∞[∞∞π± ∞[∞∞π¥ ∞[∞∞π∂ ∞[∞∞ππ ∞[∞±∞≤ ∞[∞±∞¥ ∞[∞±∞∑ ≤[≥≠

∞[∞±±∞ ∞[∞±±≥ ∞[∞±±∂ ∞[∞±±π ∞[∞±≤≤ ∞[∞±≤µ ∞[∞±≤π ∞[∞±≥≤ ∞[∞±≥∂ ∞[∞±≥π ≤[≤≠

∞[∞±¥≥ ∞[∞±¥∂ ∞[∞±µ∞ ∞[∞±µ¥ ∞[∞±µ∏ ∞[∞±∂≤ ∞[∞±∂∂ ∞[∞±∑∞ ∞[∞±∑¥ ∞[∞±∑π ≤[±≠

∞[∞±∏≥ ∞[∞±∏∏ ∞[∞±π≤ ∞[∞±π∑ ∞[∞≤∞≤ ∞[∞≤∞∑ ∞[∞≤±≤ ∞[∞≤±∑ ∞[∞≤≤≤ ∞[∞≤≤∏ ≤[∞≠

∞[∞≤≥≥ ∞[∞≤≥π ∞[∞≤¥¥ ∞[∞≤µ∞ ∞[∞≤µ∂ ∞[∞≤∂≤ ∞[∞≤∂∏ ∞[∞≤∑¥ ∞[∞≤∏± ∞[∞≤∏∑ ±[π≠

∞[∞≤π¥ ∞[∞≥∞± ∞[∞≥∞∑ ∞[∞≥±¥ ∞[∞≥≤≤ ∞[∞≥≤π ∞[∞≥≥∂ ∞[∞≥¥¥ ∞[∞≥µ± ∞[∞≥µπ ±[∏≠

∞[∞≥∂∑ ∞[∞≥∑µ ∞[∞≥∏¥ ∞[∞≥π≤ ∞[∞¥∞± ∞[∞¥∞π ∞[∞¥±∏ ∞[∞¥≤∑ ∞[∞¥≥∂ ∞[∞¥¥∂ ±[∑≠

∞[∞¥µµ ∞[∞¥∂µ ∞[∞¥∑µ ∞[∞¥∏µ ∞[∞¥πµ ∞[∞µ∞µ ∞[∞µ±∂ ∞[∞µ≤∂ ∞[∞µ≥∑ ∞[∞µ¥∏ ±[∂≠

∞[∞µµπ ∞[∞µ∑± ∞[∞µ∏≤ ∞[∞µπ¥ ∞[∞∂∞∂ ∞[∞∂±∏ ∞[∞∂≥∞ ∞[∞∂¥≥ ∞[∞∂µµ ∞[∞∂∂∏ ±[µ≠

∞[∞∂∏± ∞[∞∂π¥ ∞[∞∑∞∏ ∞[∞∑≤± ∞[∞∑≥µ ∞[∞∑¥π ∞[∞∑∂¥ ∞[∞∑∑∏ ∞[∞∑π≥ ∞[∞∏∞∏ ±[¥≠

∞[∞∏≤≥ ∞[∞∏≥∏ ∞[∞∏µ≥ ∞[∞∏∂π ∞[∞∏∏µ ∞[∞π∞± ∞[∞π±∏ ∞[∞π≥¥ ∞[∞πµ± ∞[∞π∂∏ ±[≥≠

∞[∞π∏µ ∞[±∞∞≥ ∞[±∞≤∞ ∞[±∞≥∏ ∞[±∞µ∂ ∞[±∞∑µ ∞[±∞π≥ ∞[±±±≤ ∞[±±≥± ∞[±±µ± ±[≤≠

∞[±±∑∞ ∞[±±π∞ ∞[±≤±∞ ∞[±≤≥∞ ∞[±≤µ± ∞[±≤∑± ∞[±≤π≤ ∞[±≥±¥ ∞[±≥≥µ ∞[±≥µ∑ ±[±≠

∞[±≥∑π ∞[±¥∞± ∞[±¥≤≥ ∞[±¥¥∂ ∞[±¥∂π ∞[±¥π≤ ∞[±µ±µ ∞[±µ≥π ∞[±µ∂≤ ∞[±µ∏∑ ±[∞≠

∞[±∂±± ∞[±∂≥µ ∞[±∂∂∞ ∞[±∂∏µ ∞[±∑±± ∞[±∑≥∂ ∞[±∑∂≤ ∞[±∑∏∏ ∞[±∏±¥ ∞[±∏¥± ∞[π≠

∞[±∏∂∑ ∞[±∏π¥ ∞[±π≤≤ ∞[±π¥π ∞[±π∑∑ ∞[≤∞∞µ ∞[≤∞≥≥ ∞[≤∞∂± ∞[≤∞π∞ ∞[≤±±π ∞[∏≠

∞[≤±¥∏ ∞[≤±∑∑ ∞[≤≤∞∂ ∞[≤≤≥∂ ∞[≤≤∂∂ ∞[≤≤π∂ ∞[≤≥≤∑ ∞[≤≥µ∏ ∞[≤≥∏π ∞[≤¥≤∞ ∞[∑≠

∞[≤¥µ± ∞[≤¥∏≥ ∞[≤µ±¥ ∞[≤µ¥∂ ∞[≤µ∑∏ ∞[≤∂±± ∞[≤∂¥≥ ∞[≤∂∑∂ ∞[≤∑∞π ∞[≤∑¥≥ ∞[∂≠

∞[≤∑∑∂ ∞[≤∏±∞ ∞[≤∏¥≥ ∞[≤∏∑∑ ∞[≤π±≤ ∞[≤π¥∂ ∞[≤π∏± ∞[≥∞±µ ∞[≥∞µ∞ ∞[≥∞∏µ ∞[µ≠

∞[≥±≤± ∞[≥±µ∂ ∞[≥±π≤ ∞[≥≤≤∏ ∞[≥≤∂¥ ∞[≥≥∞∞ ∞[≥≥≥∂ ∞[≥≥∑≤ ∞[≥¥∞π ∞[≥¥¥∂ ∞[¥≠

∞[≥¥∏≥ ∞[≥µ≤∞ ∞[≥µµ∑ ∞[≥µπ¥ ∞[≥∂≥≤ ∞[≥∂∂π ∞[≥∑∞∑ ∞[≥∑¥µ ∞[≥∑∏≥ ∞[≥∏≤± ∞[≥≠

∞[≥∏µπ ∞[≥∏π∑ ∞[≥π≥∂ ∞[≥π∑¥ ∞[¥∞±≥ ∞[¥∞µ≤ ∞[¥∞π∞ ∞[¥±≤π ∞[¥±∂∏ ∞[¥≤∞∑ ∞[≤≠

∞[¥≤¥∑ ∞[¥≤∏∂ ∞[¥≥≤µ ∞[¥≥∂¥ ∞[¥¥∞¥ ∞[¥¥¥≥ ∞[¥¥∏≥ ∞[¥µ≤≤ ∞[¥µ∂≤ ∞[¥∂∞≤ ∞[±≠

∞[¥∂¥± ∞[¥∂∏± ∞[¥∑≤± ∞[¥∑∂± ∞[¥∏∞± ∞[¥∏¥∞ ∞[¥∏∏∞ ∞[¥π≤∞ ∞[¥π∂∞ ∞[µ∞∞∞ ∞[∞

wL «d²« Í—UOF*« wFO³D« l¹“u²« ‰Ëbł ∫o×K

Ÿ

±≤∑

wL «d²« Í—UOF*« wFO³D« l¹“u²« ‰Ëbł lÐUð

∞[∞π ∞[∞∏ ∞[∞∑ ∞[∞∂ ∞[∞µ ∞[∞¥ ∞[∞≥ ∞[∞≤ ∞[∞± ∞[∞∞ Ÿ

∞[µ≥µπ ∞[µ≥±π ∞[µ≤∑π ∞[µ≤≥π ∞[µ±ππ ∞[µ±∂∞ ∞[µ±≤∞ ∞[µ∞∏∞ ∞[µ∞¥∞ ∞[µ∞∞∞ ∞[∞

∞[µ∑µ≥ ∞[µ∑±¥ ∞[µ∂∑µ ∞[µ∂≥∂ ∞[µµπ∂ ∞[µµµ∑ ∞[µµ±∑ ∞[µ¥∑∏ ∞[µ¥≥∏ ∞[µ≥π∏ ∞[±

∞[∂±¥± ∞[∂±∞≥ ∞[∂∞∂¥ ∞[∂∞≤∂ ∞[µπ∏∑ ∞[µπ¥∏ ∞[µπ±∞ ∞[µ∏∑± ∞[µ∏≥≤ ∞[µ∑π≥ ∞[≤

∞[∂µ±∑ ∞[∂¥∏∞ ∞[∂¥¥≥ ∞[∂¥∞∂ ∞[∂≥∂∏ ∞[∂≥≥± ∞[∂≤π≥ ∞[∂≤µµ ∞[∂≤±∑ ∞[∂±∑π ∞[≥

∞[∂∏∑π ∞[∂∏¥¥ ∞[∂∏∞∏ ∞[∂∑∑≤ ∞[∂∑≥∂ ∞[∂∑∞∞ ∞[∂∂∂¥ ∞[∂∂≤∏ ∞[∂µπ± ∞[∂µµ¥ ∞[¥

∞[∑≤≤¥ ∞[∑±π∞ ∞[∑±µ∑ ∞[∑±≤≥ ∞[∑∞∏∏ ∞[∑∞µ¥ ∞[∑∞±π ∞[∂π∏µ ∞[∂πµ∞ ∞[∂π±µ ∞[µ

∞[∑µ¥π ∞[∑µ±∑ ∞[∑¥∏∂ ∞[∑¥µ¥ ∞[∑¥≤≤ ∞[∑≥∏π ∞[∑≥µ∑ ∞[∑≥≤¥ ∞[∑≤π± ∞[∑≤µ∑ ∞[∂

∞[∑∏µ≤ ∞[∑∏≤≥ ∞[∑∑π¥ ∞[∑∑∂¥ ∞[∑∑≥¥ ∞[∑∑∞¥ ∞[∑∂∑≥ ∞[∑∂¥≤ ∞[∑∂±± ∞[∑µ∏∞ ∞[∑

∞[∏±≥≥ ∞[∏±∞∂ ∞[∏∞∑∏ ∞[∏∞µ± ∞[∏∞≤≥ ∞[∑ππµ ∞[∑π∂∑ ∞[∑π≥π ∞[∑π±∞ ∞[∑∏∏± ∞[∏

∞[∏≥∏π ∞[∏≥∂µ ∞[∏≥¥∞ ∞[∏≥±µ ∞[∏≤∏π ∞[∏≤∂¥ ∞[∏≤≥∏ ∞[∏≤±≤ ∞[∏±∏∂ ∞[∏±µπ ∞[π

∞[∏∂≤± ∞[∏µππ ∞[∏µ∑∑ ∞[∏µµ¥ ∞[∏µ≥± ∞[∏µ∞∏ ∞[∏¥∏µ ∞[∏¥∂± ∞[∏¥≥∏ ∞[∏¥±≥ ±[∞

∞[∏∏≥∞ ∞[∏∏±∞ ∞[∏∑π∞ ∞[∏∑∑∞ ∞[∏∑¥π ∞[∏∑≤π ∞[∏∑∞∏ ∞[∏∂∏∂ ∞[∏∂∂µ ∞[∏∂¥≥ ±[±

∞[π∞±µ ∞[∏ππ∑ ∞[∏π∏∞ ∞[∏π∂≤ ∞[∏π¥¥ ∞[∏π≤µ ∞[∏π∞∑ ∞[∏∏∏∏ ∞[∏∏∂π ∞[∏∏¥π ±[≤

∞[π±∑∑ ∞[π±∂≤ ∞[π±¥∑ ∞[π±≥± ∞[π±±µ ∞[π∞ππ ∞[π∞∏≤ ∞[π∞∂∂ ∞[π∞¥π ∞[π∞≥≤ ±[≥

∞[π≥±π ∞[π≥∞∂ ∞[π≤π≤ ∞[π≤∑π ∞[π≤∂µ ∞[π≤µ± ∞[π≤≥∂ ∞[π≤≤≤ ∞[π≤∞∑ ∞[π±π≤ ±[¥

∞[π¥¥± ∞[π¥≤π ∞[π¥±∏ ∞[π¥∞∂ ∞[π≥π¥ ∞[π≥∏≤ ∞[π≥∑∞ ∞[π≥µ∑ ∞[π≥¥µ ∞[π≥≥≤ ±[µ

∞[πµ¥µ ∞[πµ≥µ ∞[πµ≤µ ∞[πµ±µ ∞[πµ∞µ ∞[π¥πµ ∞[π¥∏¥ ∞[π¥∑¥ ∞[π¥∂≥ ∞[π¥µ≤ ±[∂

∞[π∂≥≥ ∞[π∂≤µ ∞[π∂±∂ ∞[π∂∞∏ ∞[πµππ ∞[πµπ± ∞[πµ∏≤ ∞[πµ∑≥ ∞[πµ∂¥ ∞[πµµ¥ ±[∑

∞[π∑∞∂ ∞[π∂ππ ∞[π∂π≥ ∞[π∂∏∂ ∞[π∂∑∏ ∞[π∂∑± ∞[π∂∂¥ ∞[π∂µ∂ ∞[π∂¥π ∞[π∂¥± ±[∏

∞[π∑∂∑ ∞[π∑∂± ∞[π∑µ∂ ∞[π∑µ∞ ∞[π∑¥¥ ∞[π∑≥∏ ∞[π∑≥≤ ∞[π∑≤∂ ∞[π∑±π ∞[π∑±≥ ±[π

∞[π∏±∑ ∞[π∏±≤ ∞[π∏∞∏ ∞[π∏∞≥ ∞[π∑π∏ ∞[π∑π≥ ∞[π∑∏∏ ∞[π∑∏≥ ∞[π∑∑∏ ∞[π∑∑≤ ≤[∞

∞[π∏µ∑ ∞[π∏µ¥ ∞[π∏µ∞ ∞[π∏¥∂ ∞[π∏¥≤ ∞[π∏≥∏ ∞[π∏≥¥ ∞[π∏≥∞ ∞[π∏≤∂ ∞[π∏≤± ≤[±

∞[π∏π∞ ∞[π∏∏∑ ∞[π∏∏¥ ∞[π∏∏± ∞[π∏∑∏ ∞[π∏∑µ ∞[π∏∑± ∞[π∏∂∏ ∞[π∏∂¥ ∞[π∏∂± ≤[≤

∞[ππ±∂ ∞[ππ±≥ ∞[ππ±± ∞[ππ∞π ∞[ππ∞∂ ∞[ππ∞¥ ∞[ππ∞± ∞[π∏π∏ ∞[π∏π∂ ∞[π∏π≥ ≤[≥

∞[ππ≥∂ ∞[ππ≥¥ ∞[ππ≥≤ ∞[ππ≥± ∞[ππ≤π ∞[ππ≤∑ ∞[ππ≤µ ∞[ππ≤≤ ∞[ππ≤∞ ∞[ππ±∏ ≤[¥

∞[ππµ≤ ∞[ππµ± ∞[ππ¥π ∞[ππ¥∏ ∞[ππ¥∂ ∞[ππ¥µ ∞[ππ¥≥ ∞[ππ¥± ∞[ππ¥∞ ∞[ππ≥∏ ≤[µ

∞[ππ∂¥ ∞[ππ∂≥ ∞[ππ∂≤ ∞[ππ∂± ∞[ππ∂∞ ∞[ππµπ ∞[ππµ∑ ∞[ππµ∂ ∞[ππµµ ∞[ππµ≥ ≤[∂

∞[ππ∑¥ ∞[ππ∑≥ ∞[ππ∑≤ ∞[ππ∑± ∞[ππ∑∞ ∞[ππ∂π ∞[ππ∂∏ ∞[ππ∂∑ ∞[ππ∂∂ ∞[ππ∂µ ≤[∑

∞[ππ∏± ∞[ππ∏∞ ∞[ππ∑π ∞[ππ∑π ∞[ππ∑∏ ∞[ππ∑∑ ∞[ππ∑∑ ∞[ππ∑∂ ∞[ππ∑µ ∞[ππ∑¥ ≤[∏

∞[ππ∏∂ ∞[ππ∏∂ ∞[ππ∏µ ∞[ππ∏µ ∞[ππ∏¥ ∞[ππ∏¥ ∞[ππ∏≥ ∞[ππ∏≤ ∞[ππ∏≤ ∞[ππ∏± ≤[π

∞[πππ∞ ∞[πππ∞ ∞[ππ∏π ∞[ππ∏π ∞[ππ∏π ∞[ππ∏∏ ∞[ππ∏∏ ∞[ππ∏∑ ∞[ππ∏∑ ∞[ππ∏∑ ≥[∞

∞[πππ≥ ∞[πππ≥ ∞[πππ≤ ∞[πππ≤ ∞[πππ≤ ∞[πππ≤ ∞[πππ± ∞[πππ± ∞[πππ± ∞[πππ∞ ≥[±

∞[πππµ ∞[πππµ ∞[πππµ ∞[πππ¥ ∞[πππ¥ ∞[πππ¥ ∞[πππ¥ ∞[πππ¥ ∞[πππ≥ ∞[πππ≥ ≥[≤

∞[πππ∑ ∞[πππ∂ ∞[πππ∂ ∞[πππ∂ ∞[πππ∂ ∞[πππ∂ ∞[πππ∂ ∞[πππµ ∞[πππµ ∞[πππµ ≥[≥

∞[πππ∏ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ≥[¥

∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ≥[µ

∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ≥[∂

∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ≥[∑

Ÿ

»U²J« —«d≈ w sO—UAL« ¡ULÝ√

1- Thomas Calculus, 10th Edition‚ Addison Wisely, 20002- Calculus with Analytic Geometry‚ Edwards & Penny‚ 4th Edition‚ Prentice hall 19943- Calculus, Howard Anton, 6th Edition‚ John Wiley, 19994- Calculus, One & Several Variables, S.L.Salas, Einar hille, 4th Edition‚ 1982, 5- Probability Kubais Fahady, J. Shamoon6- Intoduction to Probability Theory & Statistical Inference, 3th Edition‚ Harold J. Larson7- Basic Statistics for Business & Economics, 4th Edition‚ by Lind, Marchal, & Williams8- Complete Business Statistics, by Amir D. Aczel & Jayavel Sounderpandian 3th Edition

lł«dL«