Задания практического семинара1. Найти хроматическое число графов
а) б)
в) г)
д) е)
Ответ: Хроматические числа соответственно равны 4,3,3,4,4,4.2. Привести пример графа, не имеющего треугольников, т.е. трехэлементных полных
подграфов, у которых хроматическое число равно 5.Ответ: Указание. См. доказательство теоремы 5.2.3. Граф назовем вершинно-критическим, если удаление любой вершины приводит к графу с
меньшим хроматическим числом. Какие из следующих графов будут вершинно-критическими:
а) графы а-г задачи 1 б)
в) г)
Ответ: Вершинно-критическими будут графы 3в и 3г.4. Граф назовем реберно-критическим, если удаление любого ребра приводит к графу с
меньшим хроматическим числом. Какие из следующих графов будут реберно-критическими.
а) графы а-г задачи 1, б)
в) графы в,г задачи 3. Ответ: Реберно-критическими будут графы 3в и 3г.5. Пусть G – вершинно-критический и (G)=k.
Доказать, чтоа) G – связный граф,б) степень каждой вершины не меньше k-1,в) G не имеет точек сочленения.
Решение и ответ: Решение. Пусть G – несвязный граф. Тогда G распадается на компоненты связности G1,G2,…,Gc и c1. Как отмечалось в §1, выполняется неравенство
(G)=max{(G1),(G2),…,(Gc)}.Предположим для простоты, что максимум реализуется на (G1), т.е. (G)=(G1). Тогда удаление
вершины любой из компонент связности G2,…,Gc не изменит хроматического числа всего графа. Следовательно, вершинно-критический граф является связным.
Докажем, что степень каждой вершины не меньше k-1. Предположим противное: в графе G существует вершина v′, такая что (v′)<k-1. Тогда, поскольку G – вершинно-критический, то (G-v′)k-1. Это означает, что G-v′ можно правильно раскрасить k-1 краской. Но так как (v′)<k-1, то при этой раскраске на вершины, смежные v′, будет израсходовано меньше, чем k-1 краска. Следовательно, одна из k-1 красок останется для вершины v′. Но это означает, что граф G можно правильно раскрасить k-1 краской. Противоречие показывает, что (v)k-1 для любой вершины v.
Убедимся теперь, что G не имеет точек сочленения. Предположим, что G имеет точку сочленения a. Тогда граф G-a является несвязным и распадается на компоненты связности H1,H2,…,Hd, d>1. Графы Hi+a для любого i можно правильно раскрасить k-1 краской. (Граф Hi+a – это граф, вершинно-порожденный множеством Hi{a}). Действительно, удалим вершину v из компоненты связности, отличной от Hi. Так как граф G – вершинно-критический, то граф G-v можно правильно раскрасить k-1 краской. Но граф Hi+a – подграф граф G-v и поэтому (Hi+a)k-1. Очевидно, что все графы Hi+a можно правильно раскрасить так, что вершина а при любом i будет раскрашена одной и той же краской. Но тогда и весь граф G будет правильно раскрашен k-1 краской. Противоречие показывает, что G не имеет точек сочленения.
6. Доказать, что всякий k–хроматический граф (т.е. граф G для которого (G)=k) содержит вершинно-критический k–хроматический подграф. Найти такой подграф для графов задачи 1.
Ответ: В случае а и г в качестве Н можно взять четырехэлементный полный подграф, в случае -трехэлементный, а в случае в – цикл длины 5.
7. Пусть (G)=k. Граф G называется однозначно раскрашиваемым, если каждая раскраска в k цветов определяет одно и тоже разбиение множества вершин. Какие из следующих графов будут однозначно раскрашиваемы
а) б)
в) г)
Ответ: Однозначно раскрашиваемыми будут графы в случаях а,в и г.8. Реберной раскраской называется функция g: E{1,2,…,k}, где E-множество ребер, k-
натуральное число (число красок). Раскраска называется правильной, если для любых двух смежных ребер e1 и e2 выполняется неравенство g(e1)g(e2). Наименьшее число красок, необходимое для правильной реберной раскраски графа называется его хроматическим индексом. Найти хроматический индекс графов из задачи 1.
Ответ: Хроматический индекс соответственно равен9. На предприятии планируется выполнить 8 работ: v1,v2,…v8. Для выполнения этих работ
необходимы механизмы а1,а2,…,а6. Использование механизмов для проведения каждой из работ определяется следующей таблицей Т:
Работа механ. v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
a1 + + + +a2 + + a3 + + + a4 + + + + a5 + + +a6 + + +
Никакой из механизмов не может быть занят одновременно на двух работах. Все работы выполняются за одно и тоже время t. Как распределить механизмы, чтобы суммарное время выполнения всех работ было наименьшим?
Ответ: Решение. Рассмотрим граф G, множество вершин V которого состоит из планируемых работ, т.е. V={v1,v2,…,v8}. Вершины vi и vj (при ij) соединим ребром в том и только в том случае, когда существует хотя бы один механизм, который используется при выполнении и той и другой работы. Мы получим граф, изображенный на рис.5.11.
Рис.5.11Граф содержит четырехэлементный полный подграф {v1,v2,v4,v5}, поэтому для правильной раскраски
графа потребуется, как минимум четыре краски. Раскрасим эти вершины так, как показано на рис.5.11. Далее, вершины v3 и v8 смежны между собой и смежны вершинам v1 и v5, раскрашенным первой и четвертой красками. Одна из этих вершин, следовательно, должна быть раскрашена второй, другая третьей красками. Осталось раскрасить вершины v6 и v7. Вершину v6 красим первой, а v7 – четвертой красками. Мы получили правильную раскраску графа четырьмя красками. Следовательно, все работы можно выполнить за время 4t по такому графику: сначала выполняются работы v1 и v6, затем v2 и v8, v3 и v4 и, наконец, v5 и v7.
10. Решить задачу №9, если таблица Т имеет следующий вид:
Работа механ. v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
a1 + + + a2 + + + a3 + + + a4 + + + a5 + + a6 + + +
Ответ: Все работы могут быть выполнены за время 4t.11. Решить задачу №9, если таблица Т имеет следующий вид:
Работа механ. v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
a1 + + a2 + + +a3 + + a4 + + +a5 + +a6 + +
Ответ: Все работы могут быть выполнены за время 3t.12. В учебном центре необходимо провести занятия по математике, физике, химии,
иностранному языку и истории в группах А,В,С. Занятия проводятся преподавателями K,L,M. Следующая таблица Т указывает, какие занятия надо провести в группах и какими преподавателями они могут быть проведены:
ПредметГруппа Преподаватель
А В С K L M
Математика + + + Физика + + + Химия + + +
Иностр. язык + + +История + + +
Каждое занятие проводится в течение двух часов, включая перерывы. В центре имеются три аудитории, которые вмещают лишь одну из групп. Для занятий по физике и химии оборудована одна из этих аудиторий. Можно ли провести все необходимые занятия в течение одного рабочего дня (8 часов)? Если можно, то как это сделать?
Ответ: Указание. Рассмотреть граф, вершинами которого являются занятия. (Граф, таким образом, будет иметь 10 вершин). Вершины соединить ребром, если занятия нельзя проводить одновременно. Это будет когда либо занятия проводятся в одной группе, либо одним преподавателем, либо в одной и той же аудитории (в случае занятий по физике и химии). Найти правильную раскраску полученного графа наименьшим числом цветов при дополнительном условии: число вершин, раскрашенных одной краской не должно превосходить трех (так как в центре имеется всего три аудитории). Ответ: занятия при указанных условиях провести можно. Например, сначала проводятся занятия (А,М), (В,Х) и (С,Ис), затем – (А,Х), (В,М) и (С,Ин), после этого – (А,Ф) и (В,Ин), и наконец, проводятся занятия (А,Ис) и (С,Ф). В обозначениях занятий первая компонента – наименование группы, вторая – наименование предмета.
13. Решить задачу №12, если таблица Т имеет следующий вид:
ПредметГруппа Преподаватель
А В С K L M
Математика + + + + Физика + + + Химия + + + Иностр.язык + + +История + + +
Ответ: Занятия при указанных условиях провести можно.14. На многопроцессорном вычислительном комплексе необходимо выполнить 7 заданий v1,
…,v7. Задания могут использовать общие данные, и в этом случае их выполнение не может проводиться одновременно:
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
v1 + + +v2 + + + +v3 + + + +v4 + + + +v5 + + + + +v6 + + + +v7 + + + + + +
Предположим, что все задания могут выполняться за одно и то же время t. За какое наименьшее время можно выполнить все задания? Какое количество процессоров может для этого понадобиться?
Ответ: Указание. Рассмотреть граф, вершинами которого являются задания. Различные вершины соединить ребром, если задания используют общие данные. Найти хроматическое число этого графа и соответствующую оптимальную раскраску. Тогда наименьшим временем выполнения будет t, а количество процессоров рано наибольшему числу вершин, раскрашенных одной краской. Ответ: 4t, два процессора.
15. Решить задачу №14, если таблица Т имеет следующий вид:
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
v1 + + v2 + + + +v3 + + v4 + + + +v5 + + +
v6 + + + +v7 + + +
Ответ: Наименьшее время выполнения всех заданий равно 2t, необходимы для этого четыре процессора.
Задачи1. Пусть V={2,3,4,6,8,9}. Элементы a и b из V соединим дугой, идущей от a к b, если a делит b
нацело. Изобразить полученный граф на плоскости.Ответ: Граф имеет следующий вид
2. Пусть A={1,2,3}. V – множество всех подмножеств множества А.Элементы a и b из V соединим дугой, идущей от а к b, если ab. Изобразить полученный граф
на плоскости.3. Занумеровать вершины и дуги и задать орграфы матрицами инцидентности и матрицами
смежности:
а) б)
Ответ: 4. Будут ли изоморфны орграфы, заданные матрицами смежности
а) и
б) и
Ответ: . В обоих случаях графы изоморфны5. Найти компоненты сильной связности следующих орграфов:
а) б)
Ответ: В случае а граф имеет две компоненты сильной связности, в случае б – три.6. Будут ли следующие графы эйлеровыми:
а) б)
Ответ: Оба графа будут эйлеровыми.7. Будут ли следующие орграфы гамильтоновыми:
а)
б)
Ответ: Оба графа гамильтоновыми не будут8. Орграф называется полуэйлеровым, если существует путь, проходящий через все дуги графа.
Будут ли следующие графы полуэйлеровыми:
а) б)
Ответ: В случае а граф будет полуэлеровым, в случае б не будет.10. Дан орграф G и вершины a и b этого графа. Определить, существует ли (a,b)–путь,
проходящий по всем ребрам графа:
а)
б)
11. Орграф называется полугамильтоновым, если сушествует простой путь, проходящий по всем вершинам графа. Будут ли следующие графы полугамильтоновы?
а) б)
Ответ: В обоих случаях граф будет полугамильтоновым.12. Дан орграф G и вершины a и b этого графа. Определить существует ли простой (a,b)–путь,
проходящий во всем вершинам графа
а) б)
13. Убедиться, что следующие графы являются бесконтурными и добавлением дуг получить граф линейно упорядоченного множества
а) б)
Ответ: Решение. В случае а достаточно добавить одну дугу, идущую из левой нижней вершины в правую. В случае б искомый граф имеет следующий вид
Нумерация вершин определяет линейный порядок. Процедурой А (см. доказательство теоремы 6.4) добавлены дуги (1,3), (1,4), (1,6), (2,4) и (2,6), процедурой В – дуги (2,5) и (3,4).
14. Используя алгоритм Дейкстры, найти расстояния от вершины v0 до остальных вершин сети:
а)
б)
в)
г)
Ответ: Приведем решение в случае а. Вначале занумеруем вершины графа
Работу алгоритма Дейкстры проиллюстрируем таблицей, аналогичной таблице 6.1. Напомним, что d(vi)=d(v0,vi), i=1,…,5.
0 3 4 1 1 3 3 4 52 3 4 53 4 44 4
Ответ: d(v0,v1)=3, d(v0,v2)=3, d(v0,v3)=1, d(v0,v4)=4, d(v0,v5)=4.15. Найти критические работы проектов, заданных сетевыми графиками (считать, что Т=Тmin). В
первых двух случаях найти также наиболее раннее и наиболее позднее время начала каждой работы.
а)
б)
в)
в)
Ответ: В случае а критические работы – в случае б – v0, v3, v5, v7, v9; в случае б - v0,v1, v3, v4, v5, v7, v8; в случае в - v0,v2, v4, v5, v7; в случае г - v0,v1, v3, v4, v5, v7, v10.
20. Найти все минимальные разрезы сетей
а)
б)
в)
в)
Ответ: Приведем решение в случае а. Занумеруем вершины графа (кроме источника и стока). Ребра будем задавать парой вершин. Минимальные разрезы находим перебором. Это будут следующие разрезы: S1={(a,v2), (a,v3), (v1,v4)}, S2={(v2,v5), (v3,v5), (v6,b)}, S3={(v4,b), (v5,b), (v6,b). Пропускная способность этих разрезов равна 5.
21. Показать, что потоки (они указаны в скобках) являются максимальными для сетей
а) б)
в) г)
Указание. Найти разрез, пропускная способность которого равна величине потока.22. Найти (хотя бы один) максимальный поток
а) б)
в) г)
д) е)
ж)
з)
Ответ: Приведем ответ для а, в и д (величина максимального потока указана в скобках)
а)
в)
г)
Recommended
