第二节 微积分基本定理
一、积分上限的函数及其导数
二、牛顿 -莱布尼茨公式
三、小结
一、积分上限的函数及其导数设函数 在区间 上连续, x为区间 上任意一点,则 在区间 上可积,即 在区间 上的积分 存在。这里字母 x即出现在被积表达式中,是积分变量,又出现在积分限中,是积分上限。为避免混淆,把积分变量改用其它字母,如 t,即改记为 。由于积分下限为定数 a,上限 x在区间 上变化,故定积分 的值随 x的变化而变化,由函数定义知 是上限 x的函数(称为变上限积分),如图 6-10 ,记为 ,即
( )f x
,a b
,a b
( )f x ,a b
( )f x ,a x
( )x
af x dx
( )x
af t dt
( )x
af t dt
( )t
af t dt
( )x ( ) ( ) , , .x
ax f t dt x a b
y
( )x
af t dt
a bO x
( )y f x
图 6-10x
,a x
定理 1( 变上限积分对上限的可导定理 )设 在区间 上连续,则函数 在区间 上可导,且其导数就是 ,即
证 取 充分小,使 ,由定积分的性质 3和定积分中 值定理,得 其中 或 。于是,由导数定义和 的连续性,得 即
,a b( ) ( )x
ax f t dt
,a b( )f x
( ) ( ) ( ).x
a
d dx f t dt f x
dx dx
x ,x x a b
( ) ( ) ( ) ( )x x x
a ax x x f t dt f t dt
( ) ( ) ,
x x
xf t dt f x
x x x x x x
( )f x
0 0
( ) ( ) ( )( ) lim lim
x x
d x x x f xx
dx x x
0lim ( ) ( ),xf f x
( ) ( ) ( ).x
a
dx f t dt f x
dx
( )f x
( ) sinf t t解 (1) 是连续函数,由定理 1得
本定理把导数和定积分这两个表面看似不相干的概念联系了起来,它表明:在某区间上连续的函数 ,其变上限积分 是的一个原函数。于是有 定理 2( 原函数存在定理 ) 若函数 在区间 上连续,则在该区间上, 的原函数存在。
( )f x ( )x
af t dt
,a b
( )f x( )f x
0sin sin .xd
tdt xdx
33cos cos cos 3 3 cos
0 03 3
x ut t u xd d due dt e dt e x x e
dx du dx
.
3cos
0;
x tde dt
dx0sin ;xd
tdtdx
2
.x t
x
de dt
dx例 1 求 (1) (2) (3)
3u x(2) 设 ,由复合函数求导法则得
(3) 由定积分性质 3,对任意常数 a,
于是
2 2 2x a x x xt t t t t
x x a a ae dt e dt e dt e dt e dt
2 2 22
2 .x x xt t t x x
x a a
d d de dt e dt e dt xe e
dx dx dx
例 2 设 求 和
解 是由 x的函数 和 相乘,由乘积求导的运算法则,得
2
0( ) (2 1) ( 1) ,
xx x t dt ( )x ( ).x
( )x0
(2 1)xt dt
由例 1可见,变限积分是变限的函数,它是一类构造形式全新的函数。变限积分对变限的导数是一类新型函数的求导问题,完全可以与求导有关的内容相结合,如利用导数的运算法则,洛必达法则求极限,判别导数的单调性,求极值等等。下面再看几个例子,可从中得到启发。
22 1x
2 2
0 0
2
0
( ) (2 1) ( 1) (2 1) ( ( 1) )
4 ( 1) (2 1) ( 1).
x x
x
x x t dt x t dt
x t dt x x
0( ) 4 ( 1) (2 1)( 1)
xx x t dt x x
2
04 ( 1) 6 4 1
xt dt x x
28 8 1.x x
(2) 当 时,该极限是“ ”型未定式,可以用洛必达法则
求极限,有
x
1
11 (1 )(1 ) 1lim lim lim 1 .
1 1
xx ttx
aa
x x x
dtdttt e
x xx
解 (1) 当 时, 因此该极限是“ ”型未定
式,可以用洛必达法则求极限,有
0x 2 3
0sin 0, 0,x
t dt x 0
0
2
2 200
3 20 0 03
sinsin sin 1lim lim lim .
3 3
xx
x x x
t dtt dt x
x xx
例 3 求下列极限: 2
030
1(1 )sin
(1) lim ; (2) lim1
xx t
a
x x
dtt dt tx x
(a>0 为常数 )
证 2
2( ) 0
2 2
xf x
x x
0
20
2(0) 0
2 2
tf dt
t t
例 4 讨论函数 在区间 上的单调性
与最小值。
20
2( )
2 2
x tf x dt
t t
,故函数 在 单调增加,所
以 ,最小值为 ,此时,变上限函数的上限变
为 0 ,即
( )f x [0,1]x
[0,1]
( ) (0)f x f (0)f
二、牛顿 -莱布尼茨 (Newton-Leibniz) 公式
定理 3 设函数 在区间 上连续,且 是它在该区间上的
一个原函数,则有
( )f x ,a b ( )F x
( ) ( ) ( ).b
af x dx F b F a
证 有定理 1知 是 的一个原函数,从本定理条件知
也是 的一个原函数,上述两个原函数之间相差一个常
数 ,即
( )x
af t dt ( )f x
( )F x ( )f x
0C
0( ) ( ) .x
af t dt F x C
用 x=a 代入上式两边,得
0 ( ) ( ) ( ).a
aC f t dt F a F a
再用 x=b 代入前式两边,得
0( ) ( ) ( ) ( ).b
af t dt F b C F b F a
为了书写方便,上式通常表示为
( ) ( ) ( ) ( ) .b b
aaf x dx F b F a F x
上式称为牛顿 -莱布尼茨公式,这是一个非常重要的共识,揭
示了定积分与不定积分之间的内在联系。公式表明:定积分计算
不必用和式的极限,而是利用不定积分来计算,在定理 3的条件
下,函数 在区间 上的定积分得值等于 任意一个原函
数 在区间两个端点处的函数值之差 ,是定积分计
算的基本方法,它为微积分的创立和发展奠定了基础。
( )f x ,a b( )f x
( ) ( )F b F a( )F x
本章开头,由曲线 ,直线 x=0,x=1 和 y=0 所围的曲边梯形的
面积 A,现在可以轻而易举地得到:
2y x
11 2 3 3 3
00
1 1 1 11 0 .
3 3 3 3x dx x
例 5 验证
22
2 .x t x x
x
de dt xe e
dx
2
2 2
2 .x t x x x x
x
d de dt e e xe e
dx dx
证 易知, 是 的一个原函数,由牛顿 -莱布
尼茨公式得
( ) tf t e2 2
2
,x xt t x x
xxe dt e e e
于是
例 6 求
1
2
20
1.
1dx
x
解 在区间 [0, 1/2] 上连续,且
是 的一个原函数,由牛顿 -莱布尼茨公式得
2
1( )
1f x
x
( )f x
( ) arcsinF x x
te
1 12 2
020
1arcsin
1dx x
x
例 7 求 2
0(2cos sin 1)x x dx
2 2
00(2cos sin 1) . 2sin cos 3 .
2x x dx x x x
解
1arcsin arcsin 0 0 .
2 6 6
牛顿 -莱布尼茨公式指明了定积分与不定积分的联系,即
( ) ( ) ,bb
a af x dx f x dx
当计算不定积分用到凑微分方法时,计算定积分的过程可表达为。
例 8 求 1 100
02 1 .x dx
解 1 1100 100
0 0
12 1 2 1 2 1
2x dx x d x
1
101 101101
0
1 1 1 12 1 1 1 .
2 101 202 101x
例 9 设2 0 1
( )5 1 2
x xf x
x
求 2
0( ) .f x dx
解 由定积分的性质 3,有 2 1 2
0 0 1( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx
1 2
0 12 5 6.xdx dx
2
0sin .x dx
例 10 求 解 2
0sin sinx dx x dx
2
0sin sinxdx xdx
20[ cos ] [ cos ] 4x x
3. 微积分基本公式
1.积分上限函数 x
adttfx )()(
2. 积分上限函数的导数 )()( xfx
)()()( aFbFdxxfb
a
三、小结
牛顿-莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系.
设)(xf 在],[ba上连续,则 dttfx
a)(与
duufb
x)( 是x的函数还是t与u的函数?它们
的导数存在吗?如存在等于什么?
dttfx
a)(与duufb
x)(都是x的函数
)()( xfdttfdxd x
a
)()( xfduufdxd b
x
一 、 填 空 题 :
1 、
b
a
x
dxedx
d2
2
= _ _ _ _ _ _ _ .
2 、 x
adxxf
dx
d))(( _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3 、 2 23 )1ln(x
dtttdx
d_ _ _ _ _ _ _ .
4 、 2
0)( dxxf _ _ _ _ , 其 中
21,2
10,)(
2
xx
xxxf .
5、设
,coscos1 nxdxmxI
dxnxmx
sinsin ,
练 习 题 6.2
( 1)、 当 nm 时 , 1I =_ _ , 2I =_ _ _ _ _ ,( 2)、 当 nm 时 , 1I =_ _ _ , 2I =_ _ _ _ _ .
6、 设 ,sincos
nxdxmx
( 1)、 当 nm 时 , 3I =_ _ _ _ ,( 2)、 当 nm 时 , 3I =_ _ _ _ _ .
7、 9
4)1( dxxx _ _ _ _ _ .
8、
3
3
1 21 x
dx_ _ _ _ _ .
9、
x
dttx
x
0
2
0
coslim _ _ _ _ _ _ _ _ .
二、 求导数:
1、 设函数 )(xyy 由方程 0cos00
xy t tdtdte 所确
定,求dx
dy ;
2、 设
1 2
1
2
2
,ln
,ln
t
t
uduuy
uduux)1( t ,求
2
2
dx
yd ;
3、 x
xdtt
dxd cos
sin
2 )cos( ;
4、设
2
0 31)(
x
x
dxxg ,求 )1(g .
三、 计算下列各定积分:
1、 2
1 22 )
1( dx
xx ; 2、
2
1
2
1 21 x
dx;
3、 0
1 2
24
1
133dx
x
xx; 4、
2
0sin dxx .
四、 求下列极限:
1、
x t
x t
x dte
dte
0
2
2
0
2
2
)(lim ; 2、
2
50
2
0
2
1
)cos1(lim
x
dttx
x
.
一、1、0; 2、 )()( afxf ; 3、 )1ln( 23 xx ;
4、6
5; 5、(1) , ; (2)0,0;
7、 ;6
145 8、
6; 9、1.
二、1、1sin
cos
xx; 2、
tt ln2
12
;
3、 )sincos()cos(sin 2 xxx ; 4、 2 .
三、 1、8
52 ; 2、
3; 3、 1
4 ; 4、4.
四、1、0; 2、10
1.
练习题 6.2 答案