Правильная треугольная пирамида, Правильная треугольная пирамида, вписанная в шарвписанная в шар
АQ = ВQ = CQ = SQ= R – радиус шара.
AO = BO = CO = r – радиус круга, описанного около основания пирамиды.
SO = H – высота пирамиды.
22 2R r H R
SЕ = h – апофема пирамиды.
PE
TC
A
BR
r
H
O
S
Q
Правильная четырехугольная пирамида, Правильная четырехугольная пирамида, вписанная в шарвписанная в шар
AQ = BQ = CQ = DQ =
= SQ = R – радиус шара.
AO = BO = CO = DO = r радиус круга, описанного около основания пирамиды.
SO = H – высота пирамиды.
22 2R r H R
SЕ = h – апофема пирамиды.
PE
D
C
AB
R
r
H
O
S
Q
Треугольная пирамида описана около шараТреугольная пирамида описана около шара
E1Q = OQ = TQ = R – радиус шара.
EO = PO = r – радиус круга, вписанного в основание пирамиды.
A
B
CO
S
PE
Q
E1
T
r
E1
E O
Q
S
R
R
r
r
SO = H – высота пирамиды.
R
A
B C
O
S
D
E
Q
E1 M
P
P1
Четырехугольная пирамида описана около шараЧетырехугольная пирамида описана около шара
E1Q = P1Q = OQ = R – радиус шара.
EO = PO = r – радиус круга, вписанного в основание пирамиды.
SO = H – высота пирамиды.
R
E P
S
E1 P1
Or
ЗадачиЗадачи
12345
Шар вписан в пирамиду. Шар вписан в пирамиду.
Пирамида вписана в шар. Пирамида вписана в шар.
Сфера вписана в конус. Сфера вписана в конус.
Куб вписан в конус. Куб вписан в конус.
Шар вписан в конус. Шар вписан в конус.
A
B C
O
S
D
P
Q
P1
В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар, В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар, объем которого 32объем которого 32/3/3. Найдите объем пирамиды, если . Найдите объем пирамиды, если её высота равна 6.её высота равна 6.
Решение.
1)34 32
,3 3шV R тогда 3 8, 2.шR R
2) , 6 2 4.SQ SO OQ SQ
3) SP1Q – прямоугольный, 1 16 4 2 3.SP
4) SP1QSOP (Р1=О=90, S – общий),
1 1 ,QP SP
OP SO откуда 1
1
2 6 6.
2 3 3
QP SOOP
SP
5) Тогда сторона основания пирамиды вдвое
больше, и равна 12
.3
6)2
1 1 126 96.
3 3 3oV S H
1
3 oV S H
Ответ: 96.
2
2
4
6 3
12 3
1
В шар, объём которого , вписана правильная В шар, объём которого , вписана правильная четырехугольная пирамида. Найдите объём пирамиды, четырехугольная пирамида. Найдите объём пирамиды, если её боковое ребро равно , а высота больше если её боковое ребро равно , а высота больше радиуса шара.радиуса шара.
D
C
AB
O
S
Q
Решение.1
3 oV S H
1)34 500
,3 3шV R тогда
3 125, 5.шR R
2) Пусть OQ = x, тогда из AOQ выразим
сторону АО:225 .AO x
x3) Составим теорему Пифагора для ASO:
5
5
2 2 2 ,AS AO SO 2 223 10 25 5 .x x
Откуда находим OQ = 4.
4) Тогда SO = 5+4=9,
5) В основании пирамиды квадрат, со стороной a, равной 2, т.е. 3 2.AO a
6) 21 13 2 9 54.
3 3oV S H Ответ: 54.
4
3 3 2
и АО = 3.
2
Площадь поверхности сферы, вписанной в конус, равна Площадь поверхности сферы, вписанной в конус, равна 100100. Длина окружности, по которой сфера касается . Длина окружности, по которой сфера касается поверхности конуса, равна 6поверхности конуса, равна 6. Найдите радиус . Найдите радиус основания конуса.основания конуса.
Решение.
A BO
S
О1
РО2
1) C = 2r = 6, тогда r = O2P = 3.
2) Sсферы = 4R2 =100, тогда R = O1P = 5.
3) Из O1O2P по теореме Пифагора находим:2 2
1 2 25 9 4.O O R r 4) В O1PS отрезок РО2 высота, проведенная из вершины прямого угла, значит
2 2 1 2 2 2
9, т.е. 3 4, 2,25.
4O P SO O O SO SO 5) Найдем высоту конуса SO= SO2 +O2O1+O1O = 2,25 + 4 + 5 = 11,25.
6) SО2РSOВ (О2=О=90, S – общий),
2 2 ,SO O P
SO OB откуда 2
2
11,25 315.
2,25
O P SOOB
SO
Ответ: 15.
3
5
5
4
2,25
15
3
O
S
О1
Р
Р1
В конус с образующей 6В конус с образующей 66 и высотой 12 вписан 6 и высотой 12 вписан
куб. Найдите объём куба.куб. Найдите объём куба.Решение.Решение.
2) a – сторона куба, тогда 2.a R
3) Выразим через a:
1 1 1, 12 .OO a SO SO SO a
1 1 ,2
aO P
4) SО1Р1SOР (О1=О=90, S – общий),
1 1 1 ,SO PO
SO PO 12 2
,12 6 2
a a откуда a = 6.
1) Из прямоугольного SOP находим:2 2 216 144 6 2.OP SP SO
5) V куба = a3 = 63 = 216.
Ответ: 216.
4
Площадь основания конуса равна площади Площадь основания конуса равна площади поверхности вписанного в него шара. Найдите поверхности вписанного в него шара. Найдите радиус шара, если образующая конуса равна 10.радиус шара, если образующая конуса равна 10.
O
S
О1
Р
Р1
Решение.
1) Обозначим радиус шара r, а радиус основания конуса R.
2) По условию . ,осн конуса шараS S т.е.2 24 , 2 .R r R r
3) SP1O1SOP (Р1=О=90, S – общий),
1 1 1 ,O P SO
OP SP 1 ,
2 10
r SO
r откуда SO1 = 5 ,
5
5) Тогда 1 1,
2
SP
SO
коэффициент подобия треугольников k = ½.
2r
2r
10-2r
10 2 1,
5 2
r
r
откуда r = 3.
4) Заметим, что РР1= 2r, SP1= 10 – 2r, SO = 5+r.
Ответ: 3.
r
r
5
Ответ:
Высота конуса равна 6, а объём равен 144. Найдите площадь полной поверхности куба, вписанного в конус.
1
2
96
Шар объём которого равен 32/3, вписан в конус. Найдите высоту конуса, если радиус его основания равен 23.
6
Ответ:
Реши задачу и оформи решение либо на альбомном листе, либо в виде электронного документа (PowerPoint, Paint, Word и т.д.)
Что нового вы узнали на уроке?
Домашнее заданиеДомашнее задание
РефлексияРефлексия
Можете ли вы объяснить решение данных задач однокласснику, пропустившему урок сегодня?
Чему вы научились?
Какое у вас настроение в конце урока?