Правильная треугольная пирамида, Правильная треугольная пирамида, вписанная в шарвписанная в шар

АQ = ВQ = CQ = SQ= R – радиус шара.

AO = BO = CO = r – радиус круга, описанного около основания пирамиды.

SO = H – высота пирамиды.

22 2R r H R

SЕ = h – апофема пирамиды.

PE

TC

A

BR

r

H

O

S

Q

Правильная четырехугольная пирамида, Правильная четырехугольная пирамида, вписанная в шарвписанная в шар

AQ = BQ = CQ = DQ =

= SQ = R – радиус шара.

AO = BO = CO = DO = r радиус круга, описанного около основания пирамиды.

SO = H – высота пирамиды.

22 2R r H R

SЕ = h – апофема пирамиды.

PE

D

C

AB

R

r

H

O

S

Q

Треугольная пирамида описана около шараТреугольная пирамида описана около шара

E1Q = OQ = TQ = R – радиус шара.

EO = PO = r – радиус круга, вписанного в основание пирамиды.

A

B

CO

S

PE

Q

E1

T

r

E1

E O

Q

S

R

R

r

r

SO = H – высота пирамиды.

R

A

B C

O

S

D

E

Q

E1 M

P

P1

Четырехугольная пирамида описана около шараЧетырехугольная пирамида описана около шара

E1Q = P1Q = OQ = R – радиус шара.

EO = PO = r – радиус круга, вписанного в основание пирамиды.

SO = H – высота пирамиды.

R

E P

S

E1 P1

Or

ЗадачиЗадачи

12345

Шар вписан в пирамиду. Шар вписан в пирамиду.

Пирамида вписана в шар. Пирамида вписана в шар.

Сфера вписана в конус. Сфера вписана в конус.

Куб вписан в конус. Куб вписан в конус.

Шар вписан в конус. Шар вписан в конус.

A

B C

O

S

D

P

Q

P1

В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар, В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар, объем которого 32объем которого 32/3/3. Найдите объем пирамиды, если . Найдите объем пирамиды, если её высота равна 6.её высота равна 6.

Решение.

1)34 32

,3 3шV R тогда 3 8, 2.шR R

2) , 6 2 4.SQ SO OQ SQ

3) SP1Q – прямоугольный, 1 16 4 2 3.SP

4) SP1QSOP (Р1=О=90, S – общий),

1 1 ,QP SP

OP SO откуда 1

1

2 6 6.

2 3 3

QP SOOP

SP

5) Тогда сторона основания пирамиды вдвое

больше, и равна 12

.3

6)2

1 1 126 96.

3 3 3oV S H

1

3 oV S H

Ответ: 96.

2

2

4

6 3

12 3

1

В шар, объём которого , вписана правильная В шар, объём которого , вписана правильная четырехугольная пирамида. Найдите объём пирамиды, четырехугольная пирамида. Найдите объём пирамиды, если её боковое ребро равно , а высота больше если её боковое ребро равно , а высота больше радиуса шара.радиуса шара.

D

C

AB

O

S

Q

Решение.1

3 oV S H

1)34 500

,3 3шV R тогда

3 125, 5.шR R

2) Пусть OQ = x, тогда из AOQ выразим

сторону АО:225 .AO x

x3) Составим теорему Пифагора для ASO:

5

5

2 2 2 ,AS AO SO 2 223 10 25 5 .x x

Откуда находим OQ = 4.

4) Тогда SO = 5+4=9,

5) В основании пирамиды квадрат, со стороной a, равной 2, т.е. 3 2.AO a

6) 21 13 2 9 54.

3 3oV S H Ответ: 54.

4

3 3 2

и АО = 3.

2

Площадь поверхности сферы, вписанной в конус, равна Площадь поверхности сферы, вписанной в конус, равна 100100. Длина окружности, по которой сфера касается . Длина окружности, по которой сфера касается поверхности конуса, равна 6поверхности конуса, равна 6. Найдите радиус . Найдите радиус основания конуса.основания конуса.

Решение.

A BO

S

О1

РО2

1) C = 2r = 6, тогда r = O2P = 3.

2) Sсферы = 4R2 =100, тогда R = O1P = 5.

3) Из O1O2P по теореме Пифагора находим:2 2

1 2 25 9 4.O O R r 4) В O1PS отрезок РО2 высота, проведенная из вершины прямого угла, значит

2 2 1 2 2 2

9, т.е. 3 4, 2,25.

4O P SO O O SO SO 5) Найдем высоту конуса SO= SO2 +O2O1+O1O = 2,25 + 4 + 5 = 11,25.

6) SО2РSOВ (О2=О=90, S – общий),

2 2 ,SO O P

SO OB откуда 2

2

11,25 315.

2,25

O P SOOB

SO

Ответ: 15.

3

5

5

4

2,25

15

3

O

S

О1

Р

Р1

В конус с образующей 6В конус с образующей 66 и высотой 12 вписан 6 и высотой 12 вписан

куб. Найдите объём куба.куб. Найдите объём куба.Решение.Решение.

2) a – сторона куба, тогда 2.a R

3) Выразим через a:

1 1 1, 12 .OO a SO SO SO a

1 1 ,2

aO P

4) SО1Р1SOР (О1=О=90, S – общий),

1 1 1 ,SO PO

SO PO 12 2

,12 6 2

a a откуда a = 6.

1) Из прямоугольного SOP находим:2 2 216 144 6 2.OP SP SO

5) V куба = a3 = 63 = 216.

Ответ: 216.

4

Площадь основания конуса равна площади Площадь основания конуса равна площади поверхности вписанного в него шара. Найдите поверхности вписанного в него шара. Найдите радиус шара, если образующая конуса равна 10.радиус шара, если образующая конуса равна 10.

O

S

О1

Р

Р1

Решение.

1) Обозначим радиус шара r, а радиус основания конуса R.

2) По условию . ,осн конуса шараS S т.е.2 24 , 2 .R r R r

3) SP1O1SOP (Р1=О=90, S – общий),

1 1 1 ,O P SO

OP SP 1 ,

2 10

r SO

r откуда SO1 = 5 ,

5

5) Тогда 1 1,

2

SP

SO

коэффициент подобия треугольников k = ½.

2r

2r

10-2r

10 2 1,

5 2

r

r

откуда r = 3.

4) Заметим, что РР1= 2r, SP1= 10 – 2r, SO = 5+r.

Ответ: 3.

r

r

5

Ответ:

Высота конуса равна 6, а объём равен 144. Найдите площадь полной поверхности куба, вписанного в конус.

1

2

96

Шар объём которого равен 32/3, вписан в конус. Найдите высоту конуса, если радиус его основания равен 23.

6

Ответ:

Реши задачу и оформи решение либо на альбомном листе, либо в виде электронного документа (PowerPoint, Paint, Word и т.д.)

Что нового вы узнали на уроке?

Домашнее заданиеДомашнее задание

РефлексияРефлексия

Можете ли вы объяснить решение данных задач однокласснику, пропустившему урок сегодня?

Чему вы научились?

Какое у вас настроение в конце урока?