Урок по теме
Теорема Пифагора
Автор разработки:
Лебедева Светлана
Дмитриевна
Учитель математики,
ГБОУ НПО ПЛ №110
«Автосервис» СПб
Санкт – Петербург
2013 год
Математика - это то, посредством чего люди управляют природой и собой.
А. Колмогоров
Образовательная Сформировать знания теоремы Пифагора.
Расширить круг задач, решаемых учащихся.
Осуществить межпредметные связи с историей,
биологией, алгеброй, информатикой.
Развивающая Воспитания положительного отношения к
процессу обучения и предмету.
Формировать идеи знаний.
Воспитывающая Содействовать совершенствованию
мыслительных операций.
Развитию эмоциональной сферы, речи
учащихся.
Цели урока
О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.
Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:
-теорема о сумме внутренних углов треугольника;
-построение правильных многоугольников и деление плоскости на
некоторые из них;
-геометрические способы решения квадратных уравнений;
-деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение
фигурных, совершенных и дружественных чисел;
-доказательство того, что не является рациональным числом;
-создание математической теории музыки и учения об
арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и
многое другое.
с2=а2+b2
С
А
В а
b
с
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
«Площадь квадрата,
построенного на гипотенузе
прямоугольного
треугольника, равна сумме
площадей квадратов,
построенных на его
катетах". Действительно, с2
– площадь квадрата,
построенного на
гипотенузе, а2 и b2 –
площади квадратов,
построенных на катетах».
b2
с
с2
а
а2
b
Из рисунка видно, что площадь квадрата,
построенного на гипотенузе равна сумме площадей
квадратов, построенных на катетах.
Смотрите, а вот и "Пифагоровы
штаны во все стороны равны".
Такие шаржи рисовали учащиеся
средних веков при изучении теоремы:
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим
И таким простым путём
К результату мы придём.
Приближается зачёт по геометрии, а иногда случаи, когда ученики,
вытянув билет, помнят формулировку теоремы, но забывают с
чего начать доказательство. Чтобы этого не произошло с вами,
предлагаю рисунок, он надолго останется в вашей памяти.
С А
С В
D E
? ? 8
6
5
3
Задача №1 Задача №2
Решение задачи №1 Решение задачи №2
В
А С
K
L
M
O
D
. 20
16 9
5
12
KM=?
?
Задача №3 Задача №4
Решение задачи №3 Решение задачи №4
Существует более ста доказательств теоремы
Пифагора.
1 – самое простое; 2 – индийское; 3 - алгебраическое
1 2 3
Высшее назначение математики как раз и состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.
Н. Винер
Выход
Δ АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ,
по теореме Пифагора:
АВ2 = АС2 + ВС2, АВ2 = 82 + 62,
АВ2 = 64 + 36, АВ2 = 100,
АВ = 10.
О т в е т: АВ = 10
Решение задачи №1
Решение задачи № 2
Δ DCE – прямоугольный с гипотенузой DE,
по теореме Пифагора:
DE2 = DС2 + CE2, DC2 = DE2 – CE2,
DC2 = 52 – 32, DC2 = 25 – 9,
DC2 = 16, DC = 4.
О т в е т: DC = 4
Р е ш е н и е
1) По условию задачи BD – высота, значит, Δ ABD и Δ
CBD – прямоугольные.
2) По теореме Пифагора для Δ ABD: АВ2 = AD2 + BD2,
отсюда
BD2 = AB2 – AD2, BD2 = 202 – 162,
BD2 = 400 – 256, BD2 = 144, BD = 12.
3) По теореме Пифагора для Δ СBD: ВС2 = ВD2 + DС2,
отсюда BC2 = 122 + 92, BC2 = 144 + 81,
BC2 = 225, BC = 15.
О т в е т: сторона BC равна 15 см.
Решение задачи №3
Д а н о:
Δ АВС,
BD – высота,
АВ = 20см,
AD = 16 см,
DC = 9 см.
Н а й т и:
ВС.
З а м е ч а н и е. Из курса алгебры известно, что уравнение АВ2 = 100 имеет
два корня:
АВ = ± 10. АВ = – 10 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны
треугольника всегда положительна. Значит, АВ = 10.
Δ KLM вписан в окружность и опирается на
диаметр KM. Так как вписанные углы,
опирающиеся на диаметр, – прямые, то угол
KLM – прямой. Значит, Δ KLM –
прямоугольный.
По теореме Пифагора для прямоугольного
треугольника KLM с гипотенузой КМ:
KM2 = KL2 + KM2, KM2 = 52 + 122,
KM2 = 169, KM = 13.
О т в е т:
KM = 13
Решение задачи №4
Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке.
Сторона квадрата равна a + c.
В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и
четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.
В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами
a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.
Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна
сумме площадей квадратов со сторонами a и c.
Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке.
Сторона квадрата равна b, на квадрат наложены 4 исходных
треугольника с катетами a и c, как показано на рисунке. Сторона
маленького квадрата, получившегося в центре, равна c - a, тогда:
b2 = 4*a*c/2+(c-a)2 = 2*a*c+c2-2*a*c+a2 = a2 + c2
Площадь прямоугольного треугольника
S = a*c/2 (3.1)
С другой стороны формула расчета радиуса вписанной окружности:
S = r*p, где
r — радиус вписанной окружности, r = (a+c-b)/2
p — полупериметр.
Таким образом:
S = r*p = (a+b+c)/2 * (a+c-b)/2 = (a2+2*a*c+c2-b2)/4
С учетом (3.1):
a*c/2 = (a2+2*a*c+c2-b2)/4
Приводя к общему знаменателю и перенося в левую часть, получим:
a2+c2-b2 = 0, или a2+c2 = b2