Урок по теме

Теорема Пифагора

Автор разработки:

Лебедева Светлана

Дмитриевна

Учитель математики,

ГБОУ НПО ПЛ №110

«Автосервис» СПб

Санкт – Петербург

2013 год

Математика - это то, посредством чего люди управляют природой и собой.

А. Колмогоров

Образовательная Сформировать знания теоремы Пифагора.

Расширить круг задач, решаемых учащихся.

Осуществить межпредметные связи с историей,

биологией, алгеброй, информатикой.

Развивающая Воспитания положительного отношения к

процессу обучения и предмету.

Формировать идеи знаний.

Воспитывающая Содействовать совершенствованию

мыслительных операций.

Развитию эмоциональной сферы, речи

учащихся.

Цели урока

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

-теорема о сумме внутренних углов треугольника;

-построение правильных многоугольников и деление плоскости на

некоторые из них;

-геометрические способы решения квадратных уравнений;

-деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение

фигурных, совершенных и дружественных чисел;

-доказательство того, что не является рациональным числом;

-создание математической теории музыки и учения об

арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и

многое другое.

с2=а2+b2

С

А

В а

b

с

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

«Площадь квадрата,

построенного на гипотенузе

прямоугольного

треугольника, равна сумме

площадей квадратов,

построенных на его

катетах". Действительно, с2

– площадь квадрата,

построенного на

гипотенузе, а2 и b2 –

площади квадратов,

построенных на катетах».

b2

с

с2

а

а2

b

Из рисунка видно, что площадь квадрата,

построенного на гипотенузе равна сумме площадей

квадратов, построенных на катетах.

Смотрите, а вот и "Пифагоровы

штаны во все стороны равны".

Такие шаржи рисовали учащиеся

средних веков при изучении теоремы:

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдём:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим

И таким простым путём

К результату мы придём.

Приближается зачёт по геометрии, а иногда случаи, когда ученики,

вытянув билет, помнят формулировку теоремы, но забывают с

чего начать доказательство. Чтобы этого не произошло с вами,

предлагаю рисунок, он надолго останется в вашей памяти.

С А

С В

D E

? ? 8

6

5

3

Задача №1 Задача №2

Решение задачи №1 Решение задачи №2

В

А С

K

L

M

O

D

. 20

16 9

5

12

KM=?

?

Задача №3 Задача №4

Решение задачи №3 Решение задачи №4

Существует более ста доказательств теоремы

Пифагора.

1 – самое простое; 2 – индийское; 3 - алгебраическое

1 2 3

Высшее назначение математики как раз и состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Н. Винер

Выход

Δ АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ,

по теореме Пифагора:

АВ2 = АС2 + ВС2, АВ2 = 82 + 62,

АВ2 = 64 + 36, АВ2 = 100,

АВ = 10.

О т в е т: АВ = 10

Решение задачи №1

Решение задачи № 2

Δ DCE – прямоугольный с гипотенузой DE,

по теореме Пифагора:

DE2 = DС2 + CE2, DC2 = DE2 – CE2,

DC2 = 52 – 32, DC2 = 25 – 9,

DC2 = 16, DC = 4.

О т в е т: DC = 4

Р е ш е н и е

1) По условию задачи BD – высота, значит, Δ ABD и Δ

CBD – прямоугольные.

2) По теореме Пифагора для Δ ABD: АВ2 = AD2 + BD2,

отсюда

BD2 = AB2 – AD2, BD2 = 202 – 162,

BD2 = 400 – 256, BD2 = 144, BD = 12.

3) По теореме Пифагора для Δ СBD: ВС2 = ВD2 + DС2,

отсюда BC2 = 122 + 92, BC2 = 144 + 81,

BC2 = 225, BC = 15.

О т в е т: сторона BC равна 15 см.

Решение задачи №3

Д а н о:

Δ АВС,

BD – высота,

АВ = 20см,

AD = 16 см,

DC = 9 см.

Н а й т и:

ВС.

З а м е ч а н и е. Из курса алгебры известно, что уравнение АВ2 = 100 имеет

два корня:

АВ = ± 10. АВ = – 10 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны

треугольника всегда положительна. Значит, АВ = 10.

Δ KLM вписан в окружность и опирается на

диаметр KM. Так как вписанные углы,

опирающиеся на диаметр, – прямые, то угол

KLM – прямой. Значит, Δ KLM –

прямоугольный.

По теореме Пифагора для прямоугольного

треугольника KLM с гипотенузой КМ:

KM2 = KL2 + KM2, KM2 = 52 + 122,

KM2 = 169, KM = 13.

О т в е т:

KM = 13

Решение задачи №4

Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке.

Сторона квадрата равна a + c.

В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и

четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.

В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами

a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.

Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна

сумме площадей квадратов со сторонами a и c.

Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке.

Сторона квадрата равна b, на квадрат наложены 4 исходных

треугольника с катетами a и c, как показано на рисунке. Сторона

маленького квадрата, получившегося в центре, равна c - a, тогда:

b2 = 4*a*c/2+(c-a)2 = 2*a*c+c2-2*a*c+a2 = a2 + c2

Площадь прямоугольного треугольника

S = a*c/2 (3.1)

С другой стороны формула расчета радиуса вписанной окружности:

S = r*p, где

r — радиус вписанной окружности, r = (a+c-b)/2

p — полупериметр.

Таким образом:

S = r*p = (a+b+c)/2 * (a+c-b)/2 = (a2+2*a*c+c2-b2)/4

С учетом (3.1):

a*c/2 = (a2+2*a*c+c2-b2)/4

Приводя к общему знаменателю и перенося в левую часть, получим:

a2+c2-b2 = 0, или a2+c2 = b2