7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
1/27
Sveuilite u Zagrebu
Prirodoslovno matematiki fakultet
Matematiki odsjek
Seminarski rad iz kolegija:
Metodika nastave matematike 1
Sustavi linearnih jednadbi
Studenti: Sanja Lovri Milan !ikoli "anja Sunek
Profesori#e: do#$dr$s#$ Mea %ombardelli
&rof$ dr$ s#$ Sanja 'aroane#
Zagreb studeni ()1*$
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
2/27
Sadraj
1.Uvod 3
2.Sustavi dviju linearnih jednadbi s dvije nepoznanice 4
2.1. Metoda supstitucije 5
2.2. Metoda suprotnih koefcijenata 6
2.3. Metoda komparacije 7
2.4. Grafka metoda 7
2.5 Rjeiost sustaa ! 2.6. Matrina metoda 12
3.Sustavi triju linearnih jednadbi s tri nepoznanice 14
3.1. "rameroa metoda 14
3.2. Gauss#$ordanoa metoda 16
3.3. Gaussoa metoda 1!
4.Zakljuak 21
5.iteratura 22
2
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
3/27
1. Uvod
'e u ni+im razredima osnovne kole radimo neke &rimjere jednad+bi s jednom
ne&oznani#om$ "ada ueni#i nisu jo svjesni da su to jednostavne jednad+be s jednom
ne&oznani#om$ "o su zada#i oblika:
5+8
gdje na &raznu #rtu u&isuju odgovarajui broj$
!akon razredne nastave dolazi &redmetna nastava gdje su ueni#i u estom razredu nauili
rjeavati ,klasine, jednad+be s jednom ne&oznani#om$
!a&okon dje#a u sedmom razredu osnovne kole &rvi se &ut susreu sa sustavom jednad+bi
sa dvije ne&oznani#e te ue osnovne naine rjeavanja sustava jednad+bi$
-asnije u srednjokolskom obrazovanju &roirujemo i &rimjenjujemo steeno znanje u
razliitim &odrujima matematike$ Prirodoslovne gimnazije ue i neke druge metode
rjeavanja sustava te &robleme koji se mogu &ojaviti u tim metodama$
. ovom seminarskom radu e biti objanjeno gradivo o sustavima jednad+bi$ "ako/er e biti
izreena oekivanja koje &ro&isuje !a#ionalni okvirni kurikulum za sustave jednad+bi te to
bi dijete u svome osnovnokolskom i srednjokolskom obrazovanju trebalo usvojiti$
3
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
4/27
.eni#i u 0$ razredu osnovne kole &oinju nadogra/ivati svoje znanje o linearnim
jednad+bama uei o linearnim jednad+bama s dvjema ne&oznani#ama i metodama za
rjeavanje ti jednad+bi$ !akon to su savladali linearne jednad+be s jednom ne&oznani#om u
2$ razredu od uenika se sada oekuje da naue rjeavati sustave dviju linearni jednad+bi s
dvjema ne&oznani#ama te metode za njiovo rjeavanje$ . !a#ionalnom okvirnom
kurikulumu sustavi dviju linearni jednad+bi s dvije ne&oznani#e javljaju se u treem #iklusu$
. treem #iklusu &od &odnaslovom 3Matematiki procesi4 kurikulum ka+e: 3Uenici e
postavljati matematici svojstvena pitanja (Postoji li? Ako postoji, koliko? Kako emo ih
pronai? Zbog ega? i slina) te stvarati i istraivati na njima !asnovane matematike
pretpostavke4$ 5vaj dio se odnosi na rjeivost sustava odnosno &ostoje li rjeenja i koliko i
je$ . &odnaslovu 3Matematiki koncepti4 kurikulum ka+e: 3Uenici e rije"iti linearne
je#na#be i je#nostavne s$stave #vij$ linearnih je#na#bi s #vije nepo!nanice te
$vr"tavanjem provjeriti tonost #obivenoga rje"enja %4 te se ovo odnosi na rjeavanje sustava
dviju linearni jednad+bi s dvije ne&oznani#e$
2. Sustavi dviju linearnih jednadbi s dvije nepoznanice
. osnovnoj koli u sedmom razredu &rvi se &ut susreemo sa sustavima linearni jednad+binjiovom defini#ijom te sa nainima njiovog rjeavanja$ Sada emo definirati to je to
linearna jednad+ba sa dvije ne&oznani#e te navesti metode koje ueni#i u sedmom razredu
osnovne kole koriste za rjeavanje sustava$
.eni#i sedmi razreda u ranijim godinama svog kolovanja nauili su defini#iju te naine
rjeavanja linearni jednad+bi sa jednom ne&oznani#om$ Sada definiramo linearnu jednad+bu
sa dvije ne&oznani#e:
Linearna jednadba sa dvije nepoznaniceje svaka jednad+ba koja se mo+e svesti na oblik
ax+by=c gdje su a , b i c zadani brojevi a 0 b 0 a x i y
ne&oznani#e$ %rojeve a , b i c nazivamo koefi#ijentima$ 5blik ax +by=c ,
nazivamo standardnim oblikom linearne jednad+be s dvije ne&oznani#e$ Rjeenje linearne
jednad+be s dvije ne&oznani#e jest svaki ure/eni &ar brojeva (x , y ) koji uvrten u
jednad+bu daje tonu jednakost$
4
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
5/27
6ko u zadatku istovremeno &romatramo dvije linearne jednad+be sa dvije ne&oznani#e onda
govorimo o sustavu dviju linearnih jednadbi s dvije nepoznanice. 7jeenje sustava dviju
linearni jednad+bi s dvije ne&oznani#e je svaki ure/eni &ar brojeva koji je ujedno rjeenje i
jedne i druge jednad+be sustava$
Metode rjeavanja sustava dviju linearni jednad+bi sa dvije ne&oznani#e 8koje se obra/uju u
sedmom razredu osnovne kole9 : 19 metoda su&stitu#ije
(9 metoda su&rotni koefi#ijenata
*9 metoda kom&ara#ije
9 grafika metoda$
&%'% Meto#a s$pstit$cije
Metoda su&stitu#ije nain je rjeavanja sustava u kojem jednu ne&oznani#u izrazimo &omou
druge ne&oznani#e te dobiveni izraz uvrstimo 8su&stituiramo9 u drugu jednad+bu da
dobijemo linearnu jednad+bu sa jednom ne&oznani#om$
Primjer% Metodom su&stitu#ije rijeimo sustav jednad+bi:
{ x4 y=43x7y=7 %
Sada iz &rve jednad+be izrazimo x $
{x=4 y+4
3x7y=7
;zraz s desne strane jednakosti od x uvstimo u donju jednad+bu$
3 ( 4y+4)7y=7
7ijeimo dobivenu jednad+bu s jednom ne&oznani#om i dobivamo:
y=1.
5
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
6/27
.vrtavanjem y u neku od &oetni jednad+bi dobivamo ne&oznani#u x :
3x7 (1 )=7
x=0.
7jeenje sustava za&isujemo kao ure/eni &ar: (x , y )=( 0,1 ) .
&%&% Meto#a s$protnih koeicijenata
Metoda su&rotni koefi#ijenata zasniva se na injeni#i da je zbroj su&rotni brojeva jednak )$
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
7/27
7jeavanjem linearne jednad+be s jednom ne&oznani#om dobivamo y $
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
8/27
.vrtavanjem y u bilo koju od &oetni jednad+bi dobivamo ne&oznani#u x $
5x=3 (3)+9
x=0
7jeenje jednad+be je ure/eni &ar: (x , y )=(0,3) $
Provjerimo rjeenje uvrtavajui dobiveni ure/eni &ar u &oetne jednad+be:
5 03 (3 )=0+9=9,
3 0+ 4 (3)=012=12.
&%*% +raika meto#a
!akon to su ueni#i nauili #rtati graf linearne funk#ije i jednad+bu &rav#a objasnimo im da
su koordinate sje#ita &rava#a koji su odre/eni tim jednad+bama za&ravo rjeenje sustava
dviju linearni jednad+bi s dvije ne&oznani#e $
5vo je i &ravo vrijeme da ueni#ima &oka+emo kako sustav dviju jednad+bi s dvije
ne&oznani#e ne mora uvijek imati rjeenje te da rjeenje ne mora uvijek biti jedinstveno$
6ko imamo sustav jednad+bi oblika:
ax +by=ec x +dy =f ,
&ri emu istovremeno ne mo+e biti a=0 i b=0 te c=0 i d=0 $
a
c
b
d sustav ima jedno rjeenje
a
c=
b
d
e
f sustav nema rjeenja
%
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
9/27
a
c=
b
d=
e
f sustav ima beskonano mnogo rjeenja$
6ko je c ili d jednako 0 tada jednad+bama zamijenimo mjesta$
. sluaju da je a=0 i d=0 ili b=0 i c=0 sustav ima jedinstveno rjeenje$ .
sluaju da je a=0 i c=0 ili b=0 i d=0 imamo sustav dviju linearni jednad+bi
sa jednom ne&oznani#om$ "akav sustav ima jedinstveno rjeenje ako jedna jednad+ba mo+e
svesti na drugu jednad+bu$ ;nae sustav nema rjeenja$
Primjer% =rafikom metodom rijeimo sustav jednad+bi:
{ 4x+2y=22x+3y=5 .
{ 4x+2y=2
p1 y=2x+1
2x+3y=5
p2 y=2
3 x
5
3
Presjek ta dva &rav#a je toka A s koordinatama (2,3) $ "e koordinate su ujedno i
rjeenje naeg sustava$
!
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
10/27
&%% -je"ivost s$stava
7anije smo objasnili kada sustav dviju linearni jednad+bi s dvije ne&oznani#e ima
jedinstveno rjeenje kada i ima beskonano mnogo te kada sustav nema rjeenja$
Primjeri za sustave koji imaju jedinstveno rjeenje su svi &rijanji zada#i$
Primjer% Metodom su&rotni koefi#ijenata rijeimo sustav jednad+bi:
{2x3y=34x6y=3 .
7jeenje:
{2x3y=3 / (2 ) 4x+6y =64x6y=3Sada jednad+be zbrojimo &a dobivamo:
0=3
$
5ito sustav nema rjeenja jer 0 3 $ Pogledajmo grafiko rjeenje:
{ 2x3y=3 y=2
3x1
4x6y =3
y =2
3x
1
2.
1&
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
11/27
;z grafikog rjeenja se vidi da su ta dva &rav#a &aralelna$ -ako se ta dva &rav#a ne sijeku
sustav nema rjeenja$
Primjer% Metodom su&stitu#ije rijeimo sustav jednad+bi:
y+3x=53y+9x=15
.
7jeenje:
y +3x=5
y =3x +5
3y +9x=15
.vrstimo &rvi izraz u drugu jednad+bu$
3 (3x +5 )+9x=15
9x +15+ 9x=15
0=0
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
12/27
y=3 t+5 &a rjeenje mo+emo za&isati &arametarski (x , y )=(t ,3 t+5 ) , tR $
Pogledajmo grafiko rjeenje
y+3x=5
y=3x+5
3y+9x=15/: 3
y=3x+5
'idimo da smo dobili dva identina &rav#a &a su koordinate svi toaka tog &rav#a rjeenja
naeg sustava$
Sada mo+emo rijeiti jedan sustav u ovisnosti o &arametru s dosadanjim znanjem$
Primjer% Uovisnosti o &arametu a metodom su&rotni koefi#ijenata rijeimo sustav:
{4x +3y=122x +ay=7 .
7jeenje:
{ 4x+3y=124x2 ay=14
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
13/27
y (32 a )=2 za a
3
2 dobivamoy=
232 a $
.vrstimo u neku od &oetni jednad+bi i dobijemo x $
x=3(74 a)
64 a 7jeenje:
(x , y )=( 3 (7 4 a )64 a , 232a ) , aR {32 } $
Pogledajmo to imamo za a=3
2 :
4x+3y=12
2x+3
2y=7
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
14/27
X=A1 B
[
x1
x2
]=
1
detA
[
a22
a12
a21
a11
]
[
b1
b2
]$
Primjer% 5dredite ne&oznatu matri#u > iz jednad+be [2 31 4]X=[ 53] $
7jeenje:
Stavimo da je A=[2 31 4] B=[ 53] $ Znamo da vrijedi X=A1 B $
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
15/27
3. Sustavi triju linearnih jednadbi s tri nepoznanice
Linearna jednadba s tri nepoznaniceje svaka jednad+ba oblika ax+by+cz=d gdje su
a , b , c i d zadani brojevi$ %roj d zove se slobodni lan a a , b i c su
koe?#ijenti jednad+be uz uvjet da istodobno a b i c ne smiju biti 0 $ 7jeenje
jednad+be je svaka ure/ena trojka brojeva ije uvrtavanje u jednad+bu na mjesto
ne&oznani#a x y i z daje tonu jednakost$
Sustav triju linearnih jednadbi s tri ne&oznani#e je sku& tri linearne jednad+be s istim
ne&oznani#ama za koje tra+imo zajedniko rjeenje$ 7jeenje sustava je svaka ure/ena trojka
brojeva koja zadovoljava sve jednad+be sustava$ Sustavi kod koji su svi slobodni lanovi
jednaki nuli zovu se homoenisustavi a ostali se zovu nehomoeni sustavi$
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
16/27
sustav triju jednad+bi s tri ne&oznani#e zadan u o&em obliku$ 5znaimo s < determinantu
matri#e ovog sustava: D=
|a
1 b
1 c
1
a2 b2 c2a
3 b
3 c
3| a s Dx Dy Dz determinantu matri#e
koja se dobije tako da se koefi#ijenti uz ne&oznani#u zamijene koefi#ijentima desne strane
sustava:
Dx=|
d1
b1
c1
d2
b2
c2
d3
b3
c3
| Dy=|a
1 d
1 c
1
a2
d2
c2
a3
d3
c3
| Dz=|a
1 b
1 d
1
a2
b2
d2
a3
b3
d3
| $ .z &ret&ostavku da jedeterminanta sustava D razliita od nule &ostoji samo jedno rjeenje sustava:
x=Dx
D y=
Dy
D z=
Dz
D $ -ada rjeavamo sustave na ovaj nain ka+emo da
&rimjenjujemo "ramerovo pravilo$
-od rjeavanja sustava &omou @ramerova &ravila mogu se javiti sljedea tri sluaja:
1$ 6ko je matri#a sustava regularna8 D 0 9 tada sustav ima jedinstveno rjeenje$
($ 6ko je matri#a sustava singularna8 D=0 9 i ako je Dx=D y=Dz=0 tada sustav
ima beskonano mnogo rjeenja$
*$ 6ko je matri#a sustava singularna8 D=0 9 i ako je barem jedan od Dx , Dy , Dz
razliit od nule tada sustav nema rjeenja$
. sljedeem &rimjeru emo &rimijeniti @ramerovo &ravilo na sustav triju jednad+bi s tri
ne&oznani#e$
Primjer% @ramerovom metodom rijeimo sustav jednad+bi:
x+ 2y +3z=5
2xyz=1
x+ 3y + 4z=6 $
16
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
17/27
7jeenje:
D=|1 2 3
2 1 11 3 4
|=1 |1 13 4|2|2 11 4|+3 |2 11 3|=1 (1 )2 9+3 7=2 $Poto je determinanta D razliita od nule &ostoji jedinstveno rjeenje sustava$ "rebamo
jo izraunati &reostale tri determinante Dx Dy Dz $
Dx=|5 2 3
1 1 16 3 4
|=2 Dy=|1 5 3
2 1 11 6 4
|=2 Dz=|1 2 5
2 1 11 3 6
|=4 $
x=Dx
D=1 y=
Dy
D= A1 z=
Dz
D=2 $
7jeenje je ure/ena trojka 81A1(9$
Provjera: uvrstit emo ure/enu trojku u &rvu jednad+bu sustava x+ 2y +3z=5
1+2 (1 )+ 3 2=5 $
%&% +a$ss01or#anova meto#a
5&i oblik linearnog sustava m jednad+bi sa n ne&oznani#a m ,nN je
{a11x1+ a12x2++a1nxn=b1a
21x
1+ a
22x
2++ a
2 nxn=b2
am 1x1+am2x2++amnxn=bm
. 819
17
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
18/27
Skalari aij i=1,2, , m j=1,2, , n zovu se koefi#ijenti sustava a
b1
, b2
, , bm slobodni lanovi$ 7jeenje sustava 819 je svaka ure/ena nAtorka 8
1
, 2
, , n 9 za koju su&stitu#ija x1=1 , x2=2 , , xn=n zadovoljava sve jednad+be$
Sustav mo+e imati jedno rjeenje mo+e biti bez ijednog rjeenja ali mo+e imati i beskonano
mnogo rjeenja$
Svakom sustavu &ridru+ene su dvije matri#e$ "abli#u koefi#ijenata uz ne&oznani#e nazivamo
matricom sustava:
a11 a12 a1 na21 a22 a2 n am 1 am 2
A=[amn ]
Pridru+imo li joj i koefi#ijente s desne strane jednad+bi dobit emoproirenu matricu
sustava:
a
11 a
12 a
1 n b1a21 a22 a2 n b2 am1 am 2
a
mn
Ap=[bn ]
5va tabli#a &redstavlja jednostavniji za&is #ijeloga sustava$ Svaki redak tabli#e &redstavlja
jednu jednad+bu sustava$ . svakom stuu tabli#e nalaze se koefi#ijenti uz istu ne&oznani#u$
"ako &ri rjeavanju sustava ne moramo za&isivati ne&otrebne &odatke &a je &ostu&ak
rjeavanja ®ledniji i br+i$
5&iimoGauss-Jordanovu metodu za rjeavanje ovog sustava$
5na se sastoji u tome da se sustav 819 elementarnim transforma#ijama svede na njemu
1%
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
19/27
ekvivalentan sustav iz kojega emo moi odrediti njegova rjeenja$ Pri svo/enju sustava na
ekvivalentan dozvoljeno je koristiti sljedee elementarne transformacije:
19 zamjena &oretka dviju jednad+bi u sustavu(9 mno+enje jedne jednad+be brojem razliitim od nule
*9 dodavanje nekoj jednad+bi neke druge jednad+be &omno+ene brojem razliitim od nule$
Primjer%=aussABordanovom metodom rijeimo sustav
{x +2y+3z=52xyz=1
x +3y +4z=6. 7jeenje:
Proirena matri#a sustava je:
[1 2 3 52 1 1 11 3 4 6] . "ransformirajmo sad sustav &rimjenjujui do&utene transforma#ije$
. &rvom koraku +elimo &onititi koefi#ijente uz ne&oznani#u x u drugoj i treoj
jednad+bi$ "o emo uiniti tako da &rvu jednad+bu &omno+imo sa 2 i dodamo drugoj$
"ime emo dobiti ekvivalentan sustav:
x+2y+3z=55y7z=9x+3y+4z=6
[1 2 3 50 5 7 91 3 4 6]
Sad emo &rvu jednad+bu &omno+iti s 1 i dodati treoj:
x+2y+3z=55y7z=9
y+z=1 [
1 2 3 50 5 7 90 1 1 1]
Sada &romatramo &osljednje dvije jednad+be$ "rea ima jednostavnije koefi#ijente &a emo
zamijeniti &oredak ovi jednad+bi:
1!
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
20/27
x+2y+3z=5y+z=1
5y7z=9 [
1 2 3 50 1 1 10 5 7 9] . sljedeem koraku +elimo &onititi
sve koefi#ijente uz ne&oznani#u y osim onog u drugoj jednad+bi$
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
21/27
[1 2 3 52 1 1 11 3 4 6] C [
1 2 3 50 5 7 90 1 1 1] C [
1 2 3 50 1 1 10 5 7 9] C
[1 0 1 30 1 1 10 0 2 4] C [
1 0 1 30 1 1 10 0 1 2] C [
1 0 0 10 1 0 10 0 1 2] $
Sada emo objasniti =aussovu metodu rjeavanja linearni jednad+bi koja je slina =aussA
Bordanovoj samo je uku&an broj o&era#ija koje trebamo nainiti da bismo rijeili sustav neto
manji$
21
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
22/27
%% +a$ssova meto#a
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
23/27
A p E
[1 2 5 42 2 4 20 1 3 7] : 2 C [
1 2 5 40 1 1 10 1 3 7]
(1)
C
[1 2 5 40 3 3 30 1 3 7]
:(3)
C C [
1 2 5 40 1 1 10 1 3 7]
(1)
C
[
1 2 5 40 1 1 1
0 0 4 8
] :(4 ) C
[
1 2 5 40 1 1 1
0 0 1 2
]$
!a&iimo sada sustav koji je ekvivalentan zadanom a koji odgovara &osljednjoj matri#i:
x+2y+5z=4y+z=1
z=2
6ko
z=2
uvrstimo u &ret&osljednju jednad+bu dobijemo da je
y=1
te &omou
ovi rjeenja iz &rve jednad+be dobijemo da je x=4 $
Primjer% . ovisnosti o realnom &arametru a =aussovom metodom rijeimo sustav:
x +2y +az= 42x +y +2z=5
3x+2y +3z=12.
7jeenje:
23
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
24/27
A p E [1 2 a 42 1 2 53 2 3 12] C [
1 2 a 40 3 22 a 30 4 33 a 0] C
[1 2 a 40 1 a1 30 4 33 a 0] C
[1 2 a 40 1 a1 30 0 a1 12] C C [
1 0 a+2 100 1 a1 30 0 a1 12] C [
1 0 1 20 1 0 90 0 a1 12] $
7azlikujemo sluajeve:
a9 Za a=1 trea jednad+ba glasi 0=12 &a u tom sluaju sustav nema rjeenja$
b9 Za a 1 &ostoji jedinstveno rjeenje$ Fitamo redom
z= 12
a1 y=9 x=2z=2
12
1a $
24
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
25/27
#.$a!ljua!
.eni#i se u 2$ razredu osnovne kole &oinju u&oznavati sa sustavima linearni jednad+bi$
!aj&rije su to jednostavne linearne jednad+be s jednom ne&oznani#om koje se esto koriste
za rjeavanje &roblemski zadataka$ -ako bi ueni#ima ovaj dio gradiva uinili zanimljivim
&otrebno je uvesti zadatke iz svakodnevnog +ivota$ !a taj nain bi ueni#ima &ribli+ili
gradivo te i &otaknuli na logiko razmiljanje i zakljuivanje$ . 0$ razredu osnovne kole
ueni#i &roiruju svoje znanje o linearnim jednad+bama uei o sustavima dviju linearni
jednad+bi s dvije ne&oznani#e$ . #jelini sa sustavima dviju jednad+bi s dvije ne&oznani#e u
0$ razredu osnovne kole ue se sljedee metode: metoda su&rotni koefi#ijenata metoda
su&stitu#ije metoda kom&ara#ije$ Postoji jo jedna metoda koju smo s&omenuli i objasnili u
ovom radu a nije dio #jeline o sustavima jednad+bi to je grafika metoda$ 'a+nost&oznavanja svi ovi metoda za uenika je da uenik razvije vjetine za rjeavanje razliiti
zadataka na razliite naine te da je s&osoban &rimjenjivati to matematiko znanje &ri
rjeavanju &roblema iz svakodnevnog +ivota$ . *$ razredu srednje kole dolazi #jelina o
sustavima triju linearni jednad+bi s tri ne&oznani#e$ 5vdje se ue =aussABordanova i
@ramerova metoda$
25
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
26/27
26
7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi
27/27
%.Literatura
1$ %ani S$D Gurkovi Z$D =aleev '$D =lasnovi =ra#in