Analiza linearnih stacionarnih dinamickih sistema

7/21/2019 Analiza linearnih stacionarnih dinamickih sistema

1/44

Poglave 5

Analiza linearnih stacionarnihdinamiqkih sistema

5.1 Stacionarni sistemiPojam nestacionarnosti sistema se vezuje za egovu vremensku promenivost. Taj pojam se vrlo qestopoistoveuje sa vremenskim promenama pojedinih egovih veliqina. Meutim, ako su te promene izaz-vane ulazom ili poqetnim odstupaima, onda je to vremenski odziv sistema, koji u opxtem sluqaju nijekonstantne vrednosti ve je vremenski promeniv.

Samim tim potrebno je precizno definisati pojam nestacionarnosti sistema. Oznaqimo sa xu(t)ulazni signal koji je za pomeren du vremenske ose

xu(t)= xu(t ),

gde je proizvoan realan broj.

D e f i n i c i j a 5.1.1 Dinamiqki sistem je stacionaran (vremenski nepromeniv, konstantan) ako isamo ako on poseduje sledee dve osobine.

(I) Izbor poqetnog trenutka ne utiqe na kretae sistema,

(t; t0,x0;xu[t0,t]) (t +; t0+,x0;xu[t0+,t+]),

xto je ilustrovano na slici 5.1.

()

t

x0

t0 t0+ +

stacionaran

nestacionaran

t; t0,x0;xu[t0,]

t; t0+ ,x0;xu[t0+,+]

t; t0+ ,x0;xu[t0+,+]

Slika 5.1. Kretae stacionarnog i nestacionarnog sistema.

131


2/44

132 Poglave 5. Analiza linearnih stacionarnih dinamiqkih sistema

(II) Vreme ne utiqe eksplicitno (direktno) na vrednost izlaza sistema:

xi(t)= ix(t),xu(t)

.

Prva osobina (I) stacionarnog sistema pokazuje da izbor poqetnog trenutka nema uticaja na egovokretae. Zato, bez gubitka u opxtosti, moe da se usvoji proizvoan poqetni trenutak, a najjednos-

tavnije je da to bude t0 = 0.Tada se

(t; 0,x0;xu[0,t])

pixe u skraenoj formi tako xto se poqetni trenutak izostava, podrazumeva se da je nula

(t;x0;xu),

pri qemu se xu koristi u smislu xu[0,t].Funckija i(), iz osobine (II), se naziva funkcija odziva sistema. Ona jednoznaqno odreuje pro-

menu izlaza sistema u zavisnosti od promene egovog staa i egovog ulaza. Vrednost i(x(t),xu(t))funkcije i() u trenutku t je vektorska vrednost izlaza sistema u tom trenutku t.

Ako se u funkciji odziva i() stae x(t) zameni kretaem (t;x0;xu) onda se dobija

i

(t;x0;xu),xu(t)

xto predstava odziv sistema u trenutku t. I ovde se vidi da je poznavaem kretaa i promene ulazaodziv sistema jednoznaqno definisan.

Ilustracija osobine stacionarnosti dinamiqkih sistema je data u nastavku. Sistem koji se ispitujeje sistem iz prethodnog primera (kolica na pokretnoj platformi). Ulaz sistema je definisan nasledei naqin:

xu(t)=

xu1(t)xu2(t)

=

0, 5t4 sin t

.

Sistem se ispituje tako xto se u tri simulacije pobuuje sa tri razliqita ulaza, prikazana naslici 5.2, pri tome sistem uvek kree iz istog poqetnog staa x0 =(0, 02 0, 04)

T:

a) odreuje se kretae sistema od t0 = 0 do =5:

(t; t0,x0;xu[t0,])= (t; 0, (0, 02 0, 04)T;xu[0,5]).

Promena ulaza je prikazana na levoj slici slike 5.2, a kretae sistema je dato na slici 5.3.

0 5 104

3

2

1

0

1

2

3

4

5

xu1

xu2

t

xu[0,5]

0 5 104

3

2

1

0

1

2

3

4

5

xu1

xu2

t

xu[5,10]

0 5 104

3

2

1

0

1

2

3

4

5

xu1

xu2

t

xu[5,10]

Slika 5.2. Promena ulaza u tri simulacije (s leva na desno).


3/44

5.1. Stacionarni sistemi 133

0 1 2 3 4 55

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

x1

x2

x

t

Slika 5.3. Kretae (t; 0, (0, 02 0, 04)T;x

u[0,5])

u prvoj simulaciji.

b) Naredni sluqaj predstava ispitivae sistema ako se poqetni trenutak pomeri za, = 5. Sred-a slika slike 5.2 ilustruje promenu ulaza koji deluje na dati sistem, pri qemu je u poqetnomtrenutku sistem bio u istom poqetnom stau:

(t + ; t0+ ,x0;xu[t0+,+])= (t + 5; 5, (0, 02 0, 04)T;xu[5,10]).

Rezultati ovakve simulacije prikazani su na slici 5.4.

5 6 7 8 9 106

4

2

0

2

4

6

8

t

x1

x2

x

Slika 5.4. Kretae (t + 5; 5, (0, 02 0, 04)T;xu[5,10]) u drugoj simulaciji.

Uporeujui rezultate sa slike 5.3 i 5.4 oqigledno je da su oni razliqiti. Pri tome su poqetniuslovi, tj. poqetno stae, bili isti u obe simulacije. Razlika je u promeni ulaza. Uporeu-jui ulaze kojima je sistem bio izloen, leva i sreda slika slike 5.2, zakuquje se da su onirazliqiti,

xu[t0+,+] =xu[t0,],

tj.xu[5,10]=xu[0,5].

Prema tome, utvrivae osobine stacionarnosti se sprovodi ispitivaem sistema u razliqitimpoqetnim trenutcima, ali pri tome, uslovi ispitivaa moraju da budu isti:


4/44


sistem pri svim ispitivaima mora da krene iz istog poqetnog staa,

promena ulaza tokom svih ispitivaa mora da bude ista.

v) U ovom sluqaju svi uslovi su isti kao tokom prve simulacije: i poqetno stae i promena ulaza(samo poqetni trenutak vixe nije 0, ve je 5):

xu[t0+,+] = xu[t0,],

xto se vidi poreeem leve i desne slike, slike 5.2,

xu[5,10]= xu[0,5],

i dovodi do sledeeg oblika kretaa

(t + ; t0+ ,x0;xu[t0+,+])= (t + 5; 5, (0, 02 0, 04)T;xu[5,10]).

Slika 5.5 pokazuje da je dobijeno kretae identiqki jednako kretau iz prve simulacije,slika 5.3, xto znaqi da izbor poqetnog trenutka ne utiqe na kretae, a s obzirom da i jedna-qina izlaza (4.172b) ne zavisi eksplicitno od vremena, onda prema definiciji zakuqujemo da su

razmatrana kolica na pokretnoj platformi stacionaran sistem.

5 6 7 8 9 105

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

x1

x2

x

t

Slika 5.5. Kretae (t + 5; 5, (0, 02 0, 04)T;xu[5,10]) u treoj simulaciji.

Ovim se objaxava suxtinska vanost korixea operatora pomeraa du vremenske ose, za , udefiniciji osobine stacionarnosti:

xu(t)= xu(t ).

P r i m e r 50Odrediti kretae (3; 2, 1; th(t)) sistema

2xi(t) +4xi(t)= 6xu(t). (5.1)

S obzirom da je sistem opisan linearnom diferencijalnom jednaqinom sa konstantnim koeficijen-tima, jasno je da je u pitau linearan, stacionaran sistem. Stoga se za odreivae traenog kretaakoristi osobina stacionarnosti, tj. da kretae ne zavisi od izbora poqetnog trenutka. Otuda vai

(t; t0, x0; xu[t0,t]) = (t + ; t0+ , x0; xu[t0+,t+]),

odnosno u konkretnom sluqaju:

(3; 2, 1; th(t))= (1; 0, 1; xu(t)), = 2.


5/44

5.1. Stacionarni sistemi 135

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

xu[2 ,3] = t

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

xu[0 ,1]= t+ 2

Slika 5.6. Promena ulaza.

Promene ulaza date su na slici 5.6 i jasno je da je

xu(t) = t h(t) xu(t)

=2

=xu(t (2))= (t (2))h(t) = (t +2)h(t).

Usvajaem veliqine staa x(t)= xi(t) dobijamo jednaqinu staa i izlaza sistema:

x(t)= 2x(t) +3xu(t),

xi(t) = x(t).

Primenom Laplasove transformacije na jednaqinu staa dobija se kretae sistema u kompleksnomdomenu (treba da se uoqi da u oj figurixe x0 = x(0), a ne x(2)):

X(s)= 3

s +2 Xu(s) + x0s +2 .

Uzimajui u obzir da je x0 = 1 i Xu(s)= 2

s+

1

s2, bie:

X(s)= 3

s+2

2 s +1

s2 +

1

s+2 =

s2 + 6s +3

s2(s+2) .

Hevisajdovim razvojem kompleksne funkcije X(s)

X(s)= R1s +2

+R21

s +

R22s2

dobija se

R1 = s2 + 6s +3

3s2 +4s

s=2

= 1, 25

R21 = d

ds

s2 + 6s +3

s +2

s=0

= 2, 25

R22 =

s2 + 6s +3

s +2

s=0

= 1, 5.

Konaqno, kretae sistema je oblika

(t; 0, 1; xu(t))= L1{X(s)} =(1, 5t +2, 25 1, 25e2t)h(t),

a vrednost veliqine staa u traenom trenutku:

(3; 2, 1; th(t))= (1; 0, 1; (t +2)h(t)) = (1, 5t +2, 25 1, 25e2t)h(t)t=1

= 1, 25(3 e2)= 3, 5808.


6/44


P r i m e r 51SAU je opisan jednaqinom staa i jednaqinom izlaza:

x(t)= x(t) +3 xu(t)

xi(t)= 2 x(t)

Odrediti, za = 3, t0 = 2, x0 = 1, = 4 (zadatak je prikazan u formi):

(; t0, x0; (2+ t) h(t)) = 3,5293 3

Na osnovu oblika jednaqine staa i jednaqine izlaza se zakuquje da je dati SAU stacionaran,pa samim tim izbor poqetnog trenutka ne utiqe na kretae sistema. Za rexavae diferencijalnejednaqine staa neophodno je poznavati poqetno stae sistema u poqetnom trenutku t0 = 0, pa se zapoqetni trenutak bira nulti trenutak.

U tom smislu, a na bazi osobine stacionarnosti sistema,

(t; t0, x0; xu[t0,t]) (t + ; t0+ , x0; xu[t0+,t+])

se pri

= t

0

dolazi do:

; t0, x0; (2+ t) h(t)

=( t0; 0, x

0; xu[0, t

0])

Na osnovu promene ulaza i formule:

xu(t)= xu(t )=t0

= 2+ t = 2+ t (t0)

dobija se:xu[t0 ,]

= 2+ t xu[0, t0 ] = 2+ t0+ t

Kompleksni lik je oblika

Xu(s)= 2+ t0

s +

1

s2

Na osnovu jednaqine staa se dobija:

X(s)= 3

s+ Xu(s) +

x0s +

odnosno, kada se uvrsti poqetni uslov

X(s)= 3

s+ Xu(s) +

x0s +

a kada se uvrsti kompleksni lik ulaza

X(s)= 3

s +

2+ t0s

+ 3

s+

1

s2+

x0s+

Prelazak u vremenski domen moe da se izvrxi pomou tablice Laplasovih transformacija. Prvisabirak odgovra obliku T11, a drugi obliku T37 iz tablica, tako da je:

(t; x0; xu)= 32+ t0

(1 e t) +

3

2( t 1+ e t) + x0 e

t

Budui da se trai vrednost kretaa u trenutku

t= t0 = 3 2 = 1

zavrxni izraz je:

( t0; x0; xu)= 3

2+ t0

(1 e (t

0)) + 3

2( ( t0) 1+ e

(t0)) + x0e (t0)

qija vrednost je zadate brojqane vrednosti:

(1; 1; xu)= 32 +2

4 (1 e41) +

3

42(4 1 1+ e41) +1 e41 = 3 (1 e4) +

3

16(3+ e4) + e4 = 3, 5293


7/44

5.2. Linearni sistemi 137

5.1.1 Fiziqko poreklo nestacionarnosti

U sluqaju da prethodna definicija nije zadovoena onda je takav sistem nestacionaran (vremenskipromeniv). Nestacionarnost je osobina koja se vrlo qesto sree kod sistema, a eno fiziqko poreklomoe da bude vixestruko.

Jedan uzrok nestacionarnosti je vezan za staree materijala zbog qega se meaju karakteristikeelemenata. Proces zamora materijala se odvija u svakom materijalu, ali on moe da bude inajqexe je vrlo spor u odnosu na vek rada tog sistema. Zato se promene vrednosti parametarai karakteristika izazvanih stareem najqexe zanemaruju. Jedino ako je brzina tog procesareda veliqine brzine odvijaa fiziqkih procesa u sistemu onda zanemarivae promene vrednostiparametara i karakteristika sistema u toku vremena nemaju opravdaa. Kada se one zadre umatematiqkom modelu onda on postaje vremenski promeniv tj. nestacionaran.

Drugi opxti uzrok nestacionarnosti maxinskih elemenata u kretau je vezan za tree i habae.Procesi trea i habaa takoe izazivaju promene vrednosti parametara i karakteristika sistemai sve xto je reqeno za prvi sluqaj vai i ovde.

Trei uzrok moe da bude vezan za fiziqku prirodu samog sistema, za fizikalnost procesa kojise u emu odvija. Tipiqan primer je raketa. Dominantni deo mase rakete je masa goriva. U

matematiqkom modelu rakete masa goriva se pojavuje kao parametar u okviru mase qitave rakete.Odnos mase goriva prema masi cele rakete pred poletae ne moe da se zanemari. Zato ne moeda se zanemari promena mase goriva u toku leta rakete. To znaqi da parametar u matematiqkommodelu rakete koji predstava enu masu predstava neprekidnu funkciju vremena i zanemarivaete promene predstava vrlo grubo uproxee. Zbog ove vremenske promene mase goriva, pa samimtim i mase cele rakete, ona je suxtinski nestacionaran sistem. Dovono taqan matematiqkimodel rakete je takoe nestacionaran. Sve ovo vai i za avion, brod, automobil, ..., ali je kodih odnos mase goriva prema ukupnoj masi sistema dosta mai nego kod rakete. Zato se kod ihnestacionarnost ihove mase vrlo qesto zanemaruje.

Kod manipulatora i robota se vremenom mea masa tereta tokom izvrxavaa odreenih operacija.Teret u toku prenoxea je qvrsto vezan hvatakom za manipulator ili robot i sa stanovixtacelokupne mase i momenta inercije teret je deo celog sistema. Znaqi da je masa tereta deo mase

celog sistema i odreuje i moment inercije posledeg qlanka. Usled promene tereta u toku ope-racije mea se i masa i moment inercije posledeg qlanka tj. sistema. U matematiqkom modelumanipulatora i robota ta masa i moment inercije se javaju kao vremenski promenivi koefi-cijenti. Jasno je da se ovakav vid nestacionarnosti java i kod mnogih drugih sistema npr. kodhidrauliqkih servo motora kada pokreu neki teret, kruto vezan za klipaqu, qija se masa meau toku vremena.

5.2 Linearni sistemi

Razmatra se sistem qiji matematiqki model u prostoru staa moe da se predstavi u najopxtijem(nelinearnom) obliku:

x(t)= fx(t),xu(t), (5.2a)xi(t)= g

x(t),xu(t)

, (5.2b)

gde su f i g, iz jednaqine staa i jednaqine izlaza, proizvone vektorske funkcije.

D e f i n i c i j a 5.2.1 Sistem (5.2) je linearan ako i samo ako za ega vai zakon superpozicije, tj.ako i samo ako taj sistem poseduje sledee dve osobine:

(I) egovo kretae je linearno i po poqetnom stau i po ulazu

(t; 1x01+ 2x02; 1xu1+ 2xu2) 1(t;x01;xu1) +2(t;x02;xu2)

(II) egova funkcija izlaza g je linearna i po stau i po ulazu:

g(1x1+ 2x2, 1xu1+ 2xu2) 1g(x1,xu1) + 2g(x2,xu2).


8/44


Osobina (II) razmatranog sistema (5.2) se lako proverava ispitivaem zakona superpozicije nafunkciji izlaza g.

Da bi se proverila osobina (I) prvo mora da se rexi nelinearna diferencijalna jednaqina sta-a (5.2a). eno rexee je funkcija prelaza staa .

Prema tome, ispitivae osobina linearnosti sistema, kao i osobina stacionarnosti sistema, premanavedenim definicijama, zahteva odreivae rexea jednaqine (5.2a). Taj postupak moe da bude vrlokomplikovan.

Drugi pristup za odreivae ovih osobina je primena odgovarajuih kriterijuma koji se izlau unastavku.

Te or em a 5.2.1 Neka je matematiqki model sistema dat u obliku jednaqine staa (5.2a) i jednaqineizlaza (5.2b). Da bi taj sistem bio:

a) linearanpotrebno je i dovono da su i funkcija fi funkcija g linearne i po stau i po ulazu:

fx(t),xu(t)

= Ax(t) + Bxu(t), A R

nn, B RnM,

gx(t),xu(t)

= Cx(t) + Dxu(t), C R

Nn, D RNM,

tj. da je sistem (5.2) oblika

x(t)= Ax(t) + Bxu(t) (5.3a)

xi(t)= Cx(t) + Dxu(t) (5.3b)

b) da bi taj linearni sistem (5.3) bio stacionaranpotrebno je i dovono da su matrice A, B, C i Dkonstantne, tj. da su svi ihovi koeficijenti konstantnih vrednosti.

Te or em a 5.2.2 Neka je matematiqki model sistema dat u obliku diferencijalne jednaqine ponaxaa.Da bi taj sistem bio linearan i stacionaran potrebno je i dovono da je egova diferencijalnajednaqina ponaxaa linearna

lk=0

Akx(k)i (t)=

mk=0

Bkx(k)u (t), m l (5.4)

sa svim konstantnim koeficijentima,

Ak RNN, k = 0, 1, . . . , l

Bk RNM, k = 0, 1, . . . , m .

Oqigledno je da je utvrivae osobina stacionarnosti i linearnosti sistema korixeem prethod-nih teorema, tj. kriterijuma, znaqajno jednostavnije nego korixeem odgovarajuih definicija.

5.3 eeni i stvarni radni reim

5.3.1 eeni radni reim

Iz definicije objekta proistiqe vanost kvaliteta egovog odziva u odnosu na egov eeni odziv,tj. vanost kvaliteta egovog stvarnog dinamiqkog ponaxaa u odnosu na egovo eeno dinamiqkoponaxae.

Moe da se govori o nominalnom (neporemenom) dinamiqkom ponaxau, odnosno, odzivu sis-tema XiN(), i o egovom stvarnom (poremeenom) odzivu Xi(). U tehniqkom izraavau se koristepridevi nominalni i stvarni (nenominalni). Ako je sistem objekt ili sistem automatskogupravaa objekta onda se umesto prideva nominalni koristi pridev eenii koristi se oznakaXi():

Xi()= XiN().

U istom smislu se razlikuju nominalno (neporemeeno) kretae N()i stvarno (poremeeno) kre-tae () dinamiqkog sistema. Ako je taj sistem objekt, bilo da je upravan ili neupravan, onda se

egovo nominalno kretae naziva: eeno kretae i oznaqava sa (),

()= N().


9/44

5.3. eeni i stvarni radni reim 139

D e f i n i c i j a 5.3.1 Sistem se nalazi u nominalnom radnom reimuako i samo ako je egov stvarniizlaz jednak egovom nominalnom izlazu

i

X(t),Xu(t)

XiN(t).

Par X(t),Xu(t) koji to obezbeuje je nominalan za dati sistem i oznaqava se sa

XN(t),XuN(t)

=X(t),Xu(t)

.

Kada je eeno dinamiqko ponaxae sistema definisano, postava se pitae kako da se odredenominalne vrednosti vektora staa i vektora ulaza, tj. kako da se odredi nominalni par

XN(t),XuN(t)

.

Odgovor se krije u matematiqkom modelu sistema. Iskaimo to najpre preko naredne dve teoreme.

Te or em a 5.3.1 Neka je matematiqki model sistema dat u obliku vektorske diferencijalne jednaqineponaxaa u totalnim koordinatama:

lk=0

AkX(k)i (t)=

mk=0

BkX(k)u (t), m l. (5.5)

Da bi ulaz Xu bio nominalan za taj sistem u odnosu na XiNpotrebno je i dovono da vai:

mk=0

BkX(k)uN(t) =

lk=0

AkX(k)iN(t). (5.6)

Prema tome, nominalni ulaz XuNse dobija rexavaem diferencijalne jednaqine (5.6), pri qemu jedesna strana te jednaqine poznata funkcija vremena, u qine funkcija Xi =XiNi eni izvodi.

Naredna teorema je analogna prethodnoj, samo je matematiqki model korixen u iskazu teoremedrugaqiji.

Te or em a 5.3.2 Neka je matematiqki model sistema dat u obliku vektorske diferencijalne jednaqinestaa u totalnim koordinatama (5.7) i vektorske jednaqine izlaza u totalnim koordinatama (5.8)

X(t)= AX(t) + BXu(t), (5.7)

Xi(t)= CX(t) + DXu(t). (5.8)

Da bi par (X,Xu) bio nominalan za taj sistem u odnosu na XiNpotrebno je i dovono da vae (5.9) i(5.10):

XN(t)= AXN(t) + BXuN(t), (5.9)

CXN(t) + DXuN(t)= XiN(t). (5.10)

Odreivae nominalnih vrednosti zahteva poznavae matematiqkog modela datog sistema. U nas-tavku se usvaja da vai sledea pretpostavka:

P r e t p o s t a v k a 5.3.1 Za razmatrani sistem odreen je nominalni par XN(t),XuN(t) u odnosu naeeno dinamiqko ponaxae XiN.

Postupak odreivaa nominalnog para prikazuje se u narednom primeru.

P r i m e r 52Matematiqki model kolica na pokretnoj platformi je na osnovu prethodnih primera oblika:

Xi(t) +10 Xi(t) +20Xi(t)=

1 20Xu(t) +

0 10

Xu(t).

Neka je eeno dinamiqko ponaxae u obliku oscilatorne funkcije, tj. elimo da se kolica pomerajuna sledei naqin:

Xi(t)= sin (t). (5.11)

Odredimo ulazne veliqine Xu1N i Xu2N odnosno nominalni vektor ulaza XuN koji e da primorakolica da se ponaxaju po zakonu definisanom sa (5.11).


10/44


Prema prethodnim teoremama, a za ovaj primer, treba da se rexi sledea diferencijalna jednaqina:

1k=0

BkX(k)uN(t)=

2k=0

akX(k)iN(t).

tj. 0 10

XuN(t) + 1 20XuN(t)= Xi(t) +10 Xi(t) +20Xi(t). (5.12)S obzirom da je:

Xi(t) = sin (t) Xi(t)= cos (t) Xi(t)= sin (t),

onda je desna strana jednaqine (5.12) poznata funkcija vremena:0 10

XuN(t) +

1 20

XuN(t)= sin (t) +10 cos (t) +20 sin (t)= 19 sin (t) +10 cos (t). (5.13)

Reximo ovu diferencijalnu jednaqinu korixeem Laplasovih transformacija. Neka su svi poqet-ni uslovi nulti (kasnije emo da pokaemo da ovako nexto ne moe da se pretpostavi).

0 10 sXuN(s) + 1 20XuN(s)= 19 1s2 +1 + 10 s

s2 +1 (5.14)

odakle se dobija 0 10

s +

1 20

XuN(s)=

19 +10s

s2 +1 , (5.15)

odnosno 1 20+10s

XuN(s)=

19 +10s

s2 +1 , (5.16)

pa se na kraju izraqunava

Xu1N(s) + (20+10s)Xu2N(s)= 19 +10s

s2 +1 . (5.17)

S obzirom da imamo dve ulazne veliqine, jednu moemo da izaberemo proizvono. Neka se npr.pokretna platforma pomera po sledeem zakonu:

Xu2N(t)= 0, 5 sin (t) Xu2N(s)= 0, 5

s2 +1.

Kada se to uvrsti u (5.17) dobija se

Xu1N(s) + (20+10s) 0, 5

s2 +1 =

19 +10s

s2 +1 , (5.18)

odakle proistiqe rexee u kompleksnom domenu

Xu1N(s)= 10+ 5s

s2 +1 +

19 +10s

s2 +1 =

9 + 5s

s2 +1. (5.19)

Vremenski lik ulazne veliqine X

u1 se dobija primenom inverzne Laplasove transformacije:

Xu1(t)= L1

9

s2 +1

+ L1

5s

s2 +1

=9 sin (t) + 5 cos (t).

Prema tome nominalni ulaz kolica u obliku

XuN(t)=

9 sin (t) + 5 cos (t)

0, 5 sin (t)

obezbeuje eeni izlaz kolica u obliku

Xi(t)= sin (t).

Na slici 5.7 su prikazani rezultati simulacije kolica pri izraqunatim nominalnim ulazima i prix0 =(0 0)T. Na desnoj slici navedene slike (kao i slike 5.8) nalaze se tri krive:

plava kriva predstava rezultat dobijen simulacijom


11/44


0 1 2 3 4 515

10

5

0

5

10

15

Xu1N

Xu2N

t

Xu1N,Xu2N

0 1 2 3 4 51

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

XiN,s

in

(t),

XiNsin (t)

Slika 5.7. Rezultati simulacije iz poqetnog staa x0 =(0 0)T.

zelena kriva je kriva eene vrednosti Xi(t)= sin (t)

crvena kriva predstava razliku zelene i plave, tj. grexku .

Sa slike 5.7 moe da se uoqe razlika izmeu stvarnog i eenog odziva, odnosno uoqava se postojaegrexke. Razlog za to je xto simulacija nije poqela iz odgovarajuih poqetnih uslova.

Veliqine staa su usvojene na naqin opisan sa (4.147), xto je u sluqaju razmatranih kolica oblika:

X1(t)= Xi(t) B2Xu =Xi(t) (0 0)TXu = Xi

X2(t)= X1(t) + a1Xi(t) B1Xu(t)= Xi(t) +10Xi(t) (0 10)Xu(t)= Xi(t) +10Xi(t) 10Xu2(t).

U trenutku t= 0 ihove vrednosti su

X10 = Xi0 = sin (0)= 0,

X20 = Xi0+10Xi0 10Xu20 = cos (0) +10 sin (0) +0, 5 sin (0)= 1.

Prema tome poqetni uslov koji treba da se koristi tokom simulacije je:

X0 = (0 1)T

i rezultati takve simulacije su prikazani na slici 5.8.

0 1 2 3 4 515

10

5

0

5

10

15

Xu1N

Xu2N

t

Xu1N,

Xu2N

0 1 2 3 4 51

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

XiN,

sin

(t),

XiNsin (t)

Slika 5.8. Rezultati simulacije iz poqetnog staa x0 =(0 1)T.


12/44


Na kraju moe da se zakuqi da je nominalni parXN(t),XuN(t)

kolica na pokretnoj platformi za

Xi(t)= sin (t), oblika XN(t), XuN(t)

=

0

1

,

9 sin (t) + 5 cos (t)

0, 5 sin (t)

.

P r i m e r 53

Za objekt opisan saXi(t) +2Xi(t)= 4U(t) +3Z(t),

odrediti nominalno upravae UN(t) koje pri ZN(t) = sin(t)h(t) primorava dati objekt na sledeedinamiqko ponaxae:

Xi(t) Xi(t) (1 e3t)h(t).

U nominalnom radnom reimu vai da je

Xi(t) +2Xi(t)= 4UN(t) +3ZN(t),

i s obzirom da je

Xi(t)= (1 e3t)h(t), Xi(t)= 3e

3th(t), ZN(t)= sin(t)h(t),

dobija se:3e3t +2(1 e3t)= 4UN(t) +3 sin(t).

Rexavaem prethodne jednaqine dobija se nominalno upravae:

UN(t)= (0, 5 +0, 25e3t 0, 75 sin(t))h(t).

P r i m e r 54Ako je jediniqni impulsni odziv sistema (pri nultim poqetnim uslovima) oblika:

i(t) = 1 e t

odrediti nominalnu vrednost ulazne veliqine u datom trenutku, ako je eena vrednost izlazne veli-qine oblika:

Xi(t) = sin t

a pri = 5, = 4 (zadatak je prikazan u formi).

XuN(3)= 5, 0924 3

Prenosna funkcija predstava Laplasovu transformaciju jediniqnog impulsnog odziva, pri nultimpoqetnim uslovima:

W(s)= L{i(t)} = L

1 e t

=

s(s + ).

Iz prenosne funkcije se dobija diferencijalna jednaqina ponaxaa u totalnim koordinatama uproizvonom radnom reimu

Xi(t) + Xi(t)= Xu(t),

a en oblik u nominalnom radnom reimu je:

XuN(t)= Xi(t) + Xi(t)

eena promena izlazne veliqine i eni izvodi su:

Xi(t)= sin t, Xi(t)= cos t, Xi(t)= 2 sin t

i kada se oni uvrste u diferencijalnu jednaqinu koja opisuje nominalni radni reim, u totalnimkoordinatama, dobija se:

XuN(t)= 2 sin t + cos t

XuN(t)= 2

sin t + cos t

XuN()=3

= 42

5 sin (4 3) +4 cos (4 3)= 5, 0924.


13/44


P r i m e r 55Za sistem opsisan sa:

Xi(t) +2 Xi(t) + Xi(t)= 2 Xu(t) + Xu(t)

odrediti XuN(t)za Xi(t)= 2 (1 et) (zadatak je prikazan u formi).

XuN(t)= 1 + 1 e2 t + 0 t e2 t. 3 1

Diferencijalna jednaqina ponaxaa u totalnim koordinatama, u proizvonom radnom reimu je


a u nominalnom radnom reimu

Xi(t) +2 Xi(t) + Xi(t)= 2 XuN(t) + XuN(t)

odnosno ako nepoznate veliqine prebacimo na levu stranu

XuN(t) +2 XuN(t)= Xi(t) +2 Xi(t) + Xi(t).

Budui da su svi sabirci sa desne strane ove jednaqine poznati:

Xi(t)= 2 (1 et)= 2 2 et, Xi(t)= 2 et, Xi(t) = 2 et

onda se ihovim uvrxavaem u jednaqinu koja opisuje nominalni radni reim dobija:

XuN(t) +2 XuN(t)= 2 et +4 et +2 2 et = 2.

Reximo ovu diferencijalnu jednaqinu primenom Laplaslove transformacije

(s+2) XuN(s)= 2

s

XuN(s)= 2

s(s +2)

a primenom inverzne transformacije Laplasa se dobija i vremenski lik rexea, tablice T11

XuN(t) = 1 e2 t

Da bismo proverili vaanost ovog rexea pobudimo sistem tim ulazom, pri nominalnim poqetnimuslovima

Xu(t)= 1 e2 t

a potom proverimo da li e sistem da odgovori datim eenim izlazom. Poimo zato od diferencijalnejednaqine koja opisuje sistem u proizvonom radnom raimu:


Prelaskom u kompleksni domen se dobija

s2 Xi(s) xi0 s xi0+ 2 s Xi(s) 2 xi0+ Xi(s)= 2 Xu(s) + s Xu(s) xu0

Budui da je kompleksni lik ulazne veliqine

Xu(s)= 2

s(s+2)

a da su nominalni poqetni uslovixi0 = 2, xi0 = 0, xu0 = 0

onda je

Xi(s)= 2+ s

(s +1)2Xu(s) +

xi0(s+1)2

= 2+ s

(s +1)22

s(s+2)+

xi0(s+1)2

Xi(s)= 2

s(s +1)2+

2

(s +1)2 =

2+2 s

s(s+1)2 =

2

s(s+1)

odakle se dobija da jeXi(t) = 2 (1 et)

xto odgovara eenom izlazu, pa su nominalni ulazi dobro odreeni.


14/44


5.3.2 Stvarni radni reim

Stvarni radni reim moe da bude nominalni, ali je on qexe nenominalan. Tada je od interesarazmatrae odstupaa stvarnog radnog reima od nominalnog radnog reima.

Uvode se sledea odstupaa:

x= X XN (x= 0x) (X= XN), (5.20a)xi =Xi Xi

(xi = 0i) (Xi =Xi)

, (5.20b)

xu =Xu XuN

(xu =0u) (Xu = XuN)

. (5.20v)

Velika slova oznaqavaju totalne vrednosti odgovarajuih veliqina u odnosu na totalni koordi-natni sistem koji je vezan za vremensku osu t, slika 5.9.

X1

X2

Xn

x1

x2

xn

Tt

TtNX()

x()

XN()

0x

0x

t

t= t= 0

Slika 5.9. apunoveva transformacija koordinata.

Mala slova oznaqavaju odstupaa odgovarajuih veliqina koja se raqunaju u odnosu na koordi-natni sistem koji je vezan za odgovarajue nominalno ponaxae (na slici 5.9 je to nominalno kretaepredstaveno nominalnom integralnom trajektorijom TtN

1).Geometrijski ova transformacija koordinata je odreena translacijom koordinatnog sistema iz

koordinatnog poqetka X= 0x, Xi = 0i i Xu =0u u x= 0x, xi =0i i xu = 0u, sledstveno.Dinamiqki ova transformacija znaqi da se nominalna integralna trajektorija uzima za mesto koor-

dinatnog poqetka tako da koordinatni poqetak x= 0x putuje du te nominalne integralne trajktorijeTtNtokom vremena, slika 5.9.

S obzirom da je ovakvu transformaciju koordinata uveo apunov, ona se po emu i naziva apu-noveva transformacija koordinata.

Uspostavimo vezu izmeu ova dva koordinatna sistema sa slike 5.9: sistema u totalnim koordi-

natama i sistema po odstupaima.Ako se od jednaqine (5.5) oduzme jednaqina (5.6) dobija se:

lk=0

Ak[Xi(t) XiN(t)](k)

=

mk=0

Bk[Xu(t) XuN(t)](k) . (5.21)

Ta jednaqina i jednaqine (5.20b) i (5.20v) dovode do diferencijalne jednaqine po odstupaima

lk=0

Akx(k)i (t) =

mk=0

Bkx(k)u (t), (5.22)

xto pokazuje da je matematiqki model u obliku diferencijalne jednaqine po odstupaima (5.22) i dife-

rencijalne jednaqine u totalnim koordinatama (5.5) istoga reda sa istim matriqnim koeficijentima.1 Trajektorija staa T je definisana u prostoru staa, gde ne postoji vremenska osa. Kada se prostoru staa pridoda

vremenska osa on postaje integralni prostor staa, a trajektorija T postaje integralna trajektorija staaTt


15/44

5.4. Pojaqaa sistema 145

Prema tome, oba matematiqka modela mogu potpuno ravnopravno da se koriste u kvalitativnoj analizisistema.

Uporedimo i matematiqke modele u prostoru staa. Od jednaqine (5.7) oduzmimo jednaqinu (5.9).Rezultat je

d

dt[X(t) XN(t)]= A [X(t) XN(t)] + B [Xu(t) XuN(t)] . (5.23)

Kombinacijom ove jednaqine sa jednaqinama (5.20a) i (5.20v) dobija se:

dx(t)

dt = Ax(t) + Bxu(t), (5.24)

xto ukazuje da se jednaqina staa u totalnim koordinatama (5.7) i jednaqina staa po odstupaima(5.24) ne razlikuju ni u redu ni u koeficijentima. Jedina ihova razlika je u rexeima koja serazlikuju za nominalnu vrednost.

Ako se od jednaqine (5.8) oduzme jednaqina (5.10) dobija se rezultat u obliku

Xi(t) XiN(t)= C [X(t) XN(t)] + D [Xu(t) XuN(t)] , (5.25)

odakle se na osnovu jednaqine (5.20b) i (5.20v) zakuquje da jednaqina izlaza po odstupaim

xi(t)= Cx(t) + Dxu(t) (5.26)

ima isti oblik i koeficijente kao odgovarajua jednaqina (5.8) izlaza u totalnim koordinatama.Prema tome, moe uopxteno da se zakuqi da:

prelazak sa totalnih koordinata na odstupaa nema uticaja na matematiqki model sistema,koji zadrava isti oblik, isti red i iste koeficijente.

5.4 Pojaqaa sistema

Vrlo vana karakteristika sistema jesu egova pojaqaa, i to pojaqaa razliqitog reda.Razmatra se vixestruko prenosni sistem. Uoqava se proizvona ulazna veliqina xuk, k

{1, 2, . . . , M }, i proizvona izlazna veliqina xiq, q {1, 2, . . . , N }, slika 5.10. Zbog jednostavnosti izla-gaa xuk se oznaqava kratko sa xu, a xiq sa xi.

S xu =xuk xi =xiq

Slika 5.10. Dijagram sistema.

D e f i n i c i j a 5.4.1 Pojaqae r-tog reda sistema, u oznaci Kr, predstava graniqnu vrednost koliq-nika r-tog izvoda prelazne funkcije i odskoqne ulazne veliqine kada vreme neograniqeno raste, a zanulte poqetne uslove:

Kr = limt+

x(r)i (t)xu(t)

= limt+

g(r) (t)h(t)

, (5.27)

ako i samo ako ova graniqna vrednost postoji.

Kod linearnih sistema, za koje vai zakon superpozicije, vai

g(r) (t)= g(r)(t)

pa prethodna definicija moe da poprimi i sledei jednostavniji oblik

Kr = limt+

g(r) (t)

h(t) = lim

t+

g(r)(t)

h(t) = lim

t+g(r)(t), (5.28)

tj.Kr = lim

t+g(r)(t). (5.29)


16/44


S obzirom da je u Definiciji 5.4.1 pojaqae definisano u odnosu na k-tu ulaznu i q-tu izlaznuveliqinu, ono preciznije moe da se oznaqi sa Krqk. Budui da ta definicija moe da se primeni naodnos bilo koje izlazne veliqine xiq, q {1, 2, . . . , N }, i bilo koje ulazne veliqine xuk, k {1, 2, . . . , M },onda je jasno da za jedan vixestruko prenosan sistem moe da se definixe N M pojaqaa:

Krqk, q {1, 2, . . . , N }, k {1, 2, . . . , M },

i da ona mogu da se predstave u obliku matrice

Kr =

Kr11 Kr12 . . . K

r1k . . . K

r1M

Kr21 Kr22 . . . K

r2k . . . K

r2M

...Krq1 K

rq2 . . . K

rqk . . . K

rqM

...KrN1 K

rN2 . . . K

rNk . . . K

rNM

(5.30)

koja se naziva matrica pojaqaa r-tog reda, qija je precizna definicija oblika:

D e f i n i c i j a 5.4.2 Matrica pojaqaa r-tog reda sistema S, u oznaci Kr, je N Mmatrica, qiji je(q, k)-ti element (q, k)-to pojaqae r-tog reda, Krqk, sistema S.

Zbog jednostavnosti oznaqavaa Krqk e i dae da bude oznaqavano sa Kr. U zavisnosti od stepena

r mogu da se izdvoje:

pojaqae nultoga reda, ili poziciono pojaqae, ili kratko pojaqae sistema, koje predstavagraniqnu vrednost prelazne funkcije, kada vreme neograniqeno raste

K0 =K= limt+

g(t)

pojaqae prvoga reda, ili brzinsko pojaqae sistema, koje predstava graniqnu vrednost prvogizvoda prelazne funkcije kada vreme neograniqeno raste

K1 = limt+

g(t)

pojaqae drugoga reda ili akcelerometrijskopojaqae sistema, koje predstava graniqnu vred-nost drugog izvoda prelazne funkcije kada vreme neograniqeno raste

K2 = limt+

g(t).

Pojaqae r-tog reda datog sistema moe primenom druge graniqne teoreme Laplasove transforma-cije jednostavno da se izraquna na osnovu poznavaa prenosne funkcije tog sistema W(s), a bez odre-ivaa egove prelazne funkcije g(t). Na osnovu druge graniqne teoreme Laplasove transformacijesledi:

limt+ g(r)(t)= lims0 sL

g(r)(t) . (5.31)Uslovi za primenu ove graniqne teoreme su ranije objaxeni, vidi stranu 54, i moraju uvek da seprovere pri primene ove teoreme.

Laplasova transformacija izvoda neke veliqine, (5.31), za nulte poqetne uslove je

L

g(r)(t)

=srL {g(t)} , (5.32)

a kompleksni lik prelazne funkcije L {g(t)} =G(s) je

G(s)= L {g(t)} =W(s)1

s, (5.33)

pri qemu je W(s) prenosna funkcija tog sistema, a 1s

je Laplasova transformacija jediniqne odskoqne,

Hevisajdove, ulazne veliqine h(t).


17/44


Na osnovu prethodnih jednaqina sledi:

Kr = limt+

g(r)(t)= lims0

sL

g(r)(t)

= lims0

ssrL {g(t)} = lims0

ssrW(s)1

s = lim

s0srW(s), (5.34)

tj.

Kr

= lims0 sr

W(s). (5.35)

Jox jednom se podvlaqi da obrazac (5.29) moe uvek da se primeni, bez provere nekih dodatnihuslova, dok je za primenu obrasca (5.35)neophodno proveriti uslove zahtevane drugom graniqnomteoremom Laplasovih transformacija, (4.33).

P r i m e r 56Razmatraju se spojeni sudovi sa slike 5.11.

Q q1N 1+

H h1N 1+ H h2N 2+

Q q1N 3

+

Q1N+Q q2N 4+

Q q2N 2+q=-k xv

R1

A1

A2

R2

h1

l1 l2x

Slika 5.11. Objekt: spojeni sudovi.

Nominalni protok koji utiqe u prvi sud je Q1N, a u drugi Q2N. Nominalni (eeni) nivoi teqnostiu sudovima su H1N i H2N. Odstupaa q1, q2, q3, q4, h1 i h2 od odgovarajuih nominalnih vrednosti sudovono mala, xto znaqi da matematiqki model moe sa dovonom taqnoxu da se linearizuje okonominalne taqke.

Izlazne veliqine sistema su nivoi h1 i h2, a egove ulazne veliqine su protoci q1 i q2.Jednaqine, iz mehanike fluida, koje mogu da se napixu za navedeni sluqaj, a posle izvrxene lin-

earizacije oko nominalne taqke, su oblika:

A1dh1

dt =q1+ q q3, (5.36)

q= kvx= kvl2l1

h1 = kh1, (5.37)

q3 = h1 h2

R1, (5.38)

A2dh2dt

=q3+ q2 q4, (5.39)

q4 = h2R2

. (5.40)

Eliminacijomqi q3 iz jednaqine (5.36) korixeem jednaqina (5.37) i (5.38) dobija se

dh1dt

= 1

A1

q1 kh1

h1 h2R1

. (5.41)


18/44


Korixeem (5.38) i (5.40) eliminixe se q3 i q4 iz (5.39)

dh2dt

= 1

A2

h1 h2

R1+ q2

h2R2

. (5.42)

Neka su brojqane vrednosti parametara matematiqkog modela oblika:

A1 = 0, 1 m2 - slobodna povrxina teqnosti u prvom sudu,

A2 = 0, 2 m2 - slobodna povrxina teqnosti u drugom sudu,

R1 = 2 m

m3/s - otpor ventila R1,

R2 = 4 m

m3/s - otpor ventila R2,

k = kvl2l1

= 0, 5 m3/s

m - konstanta koja zavisi od koeficijenta ventila kv i poloaja oslonca poluge,

tj. odnosa l1 i l2.

Usvojimo veliqine staa na sledei naqin

x1 = h1 (5.43)

x2 =h2, (5.44)

a ulazne veliqine po sledeem redosledu

xu1 = q1 (5.45)

xu2 = q2, (5.46)

pri qemu su izlazne veliqine

xi1 = h1 = x1 (5.47)

xi2 = h2 = x2. (5.48)

Na bazi diferencijalnih jednaqina (5.41) i (5.42) i usvojenih brojqanih vrednosti dobijaju se

x1 =

1

0, 2+

0, 5

0, 1

x1+

1

0, 2x2+

1

0, 1xu1 (5.49)

x2 = 1

0, 4x1

1

0, 4+

1

0, 8

x2+

1

0, 2xu2, (5.50)

ili u matriqnom obliku

x=

10 5

2, 5 3, 75

x+

10 0

0 5

xu (5.51)

xi =

1 0

0 1

x +

0 0

0 0

xu. (5.52)

Matematiqki model iz prostora staa se lako prevodi u ekvivalentni model u obliku prenosnematrice, korixeem obrasca

W(s)= C(sI A)1B + D,

ili jednostavnim unoxeem sledee komande u Matlab2

>> W = tf(sistem)

Kao odgovor na takvu komandu dobija se

2 Podrazumeva se da je sistem prethodno definisan, npr. sa A = [-10 5; 2.5 -3.75]; B = [10 0; 0 5]; C = [1 0; 0 1];D = [0 0; 0 0]; sistem = ss(A, B, C, D);.


19/44


Transfer function from input 1 to output...

10 s + 37.5

#1: ------------------

s^2 + 13.75 s + 25

25

#2: ------------------

s^2 + 13.75 s + 25

Transfer function from input 2 to output...

25

#1: ------------------

s^2 + 13.75 s + 25

5 s + 5 0

#2: ------------------

s^2 + 13.75 s + 25

Prethodne prenosne funkcije se slau u prenosnu matricu, na definisani naqin,

W(s)=

10s +37, 5

s2 +13, 75s +25

25

s2 +13, 75s +25

25

s2 +13, 75s +25

5s + 50

s2 +13, 75s +25

. (5.53)

Budui da sistem ima dve ulazne i dve izlazne veliqine tada je i matrica pojaqaa dimenzije 2 2,onda primenom obrasca (5.35) na svaku od prenosnih funkcija iz prenosne matrice, ili korixeemMatlabove funkcije dcgain(sistem) mogu da se dobiju pojaqaa. Meutim, s obzirom da se ovaj raqunizvodi u kompleksnom domenu neophodno je prvo proveriti uslove za primenu druge graniqne teoreme.Polovi prenosne matrice se dobijaju kao rexee

s

2

+13, 75s +25= 0,

ili jednostavno iz Matlaba sa pole(W), i ti polovi su

s1 = 11, 5936 i s2 = 2, 1564

pa se prema (4.33) zakuquje da druga graniqna teorema moe da se primeni i dobijaju se sledeebrojqane vrednosti za pojedina pojaqaa:

K =

1.5000 1.0000

1.0000 2.0000

K0 =K = 1, 5 1, 01, 0 2, 0 . (5.54)Poziciona pojaqaa mogu da se odrede i grafiqki, obrazac (5.29). Ukucavaem u komandni prozor

Matlaba

>> step(A, B, C, D);

dobija se slika 5.12, sa koje mogu da se vidi graniqne vrednosti pojedinih prelaznih funkcija, kojesu prikazane u prethodnoj matrici pojaqaa nultoga reda. Zbog jednostavnosti, sve prelazne funkcijemogu da budu prikazane na jednoj slici, slika 5.13.

Na slici su korixene sledee oznake:

g11 prelazna funkcija odxi1 izazvana ulaznom veliqinom xu1





20/44


0

0.5

1

1.5From: In(1)

T

o:Out(1)

0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

To:Out(2)

From: In(2)

0 1 2 3

Step Response

Time (sec)

Amplitude

Slika 5.12. Pojaqaa sistema.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

g11

g12= g21

g22

K11= 1, 5

K12= K21= 1, 0

K22= 2, 0

t

Slika 5.13. Pojaqaa sistema.

a odgovarajua pojaqaa su

Krqk

= limt+

g(r)

qk(t), q= 1, 2, . . . , N, k = 1, 2, . . . M (5.55)

i ovaj obrazac predstava uopxtee obrasca (5.29).Primenom obrasca (5.35) na prenosnu matricu (5.53), mogu da se odrede i matrice pojaqaa vixih

redova datog sistema i one su

Kr =

0 0

0 0

, r = 1, 2, . . . (5.56)

a na slici 5.14 su grafiqki interpretirana pojaqaa sistema prvoga reda, tj. brzinska pojaqaa, kojapredstavaju graniqne vrednosti prvog izvoda prelaznih funkcija sa slike 5.13.

P r i m e r 57Za sistem opisan diferencijalnom jednaqinom

xi(t) +0, 9xi(t)= xi(t)

odrediti:


21/44


0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

g11

g12= g21

g22

K111= K112= K

121= K

122= 0

t

Slika 5.14. Brzinska pojaqaa sistema.

a) vreme smirea za m = 0, 2

b) pojaqae r-tog reda po definiciji

v) statiqku grexku po definiciji.Primeujui Laplasovu transformaciju na diferencijalnu jednaqinu ponaxaa dobija se komplek-

sni lik izlazne veliqine

Xi(s)= 1

s+0, 9Xi(s).

S obzirom da se pokazatei kvaliteta definixu na prelaznojfunkciji sistema, tj. na odzivu sistemakada je na ulazu jediniqna odskoqna funkcija, kompleksni lik izlazne veliqine je oblika

Xi(s)= G(s)= 1

s (s +0, 9).

Primenom inverzne Laplasove transformacije dobija se prelazna funkcija sistema

g(t)= 10

9

1 e0,9t

h(t).

a) Kako jevreme smireas prvi trenutak posle koga apsolutna vrednost grexke ni u jednom trenutku

nije vea odm, i s obzirom da je m = 0, 2a vrednost izlaza u stacionarnom stau g(t= +)= 10

9 ,

jasno je da vai

10

9 1 e0,9s = 10

9 0, 2 e0,9 s

= 0, 18 s =

1

0, 9 ln 0, 18

odakle je vreme smirea s = 1, 9053 s.

b) Pojaqaer-tog reda je definisano kao

Kr = limt+

g(r)(t),

ako ta graniqna vrednost postoji, pa su shodno tome:

za r = 0, pojaqae nultog reda, ili poziciono pojaqae

K0 =K = limt+

g(t)= limt

10

9

1 e0,9t

h(t) =

10

9

za r= 1

, pojaqae prvog reda ili brzinsko pojaqaeK1 = lim

t+g(1)(t) = lim

te0,9t = 0


22/44


za r = 2, pojaqae drugog reda ili akcelerometrijsko pojaqae

K2 = limt+

g(2)(t)= limt

9

10e0,9t

= 0

Jasno je da e sva pojaqaa za r= 3, 4,... takoe biti jednaka nuli, pa moe da se napixe

Kr = limt+

g(r)(t)=

109

, r = 0

0, r = 1, 2,...

v) Statiqka grexka (poziciona) je graniqna vrednost grexke izlazne veliqine, ako ta graniqna vred-nost postoji, to jest

s = limt+

(t)

Kako je (t) = xi(t) xi(t) i xi(t)= h(t), sledi

s(t)= limt+

[xi(t) xi(t)]= limt+

[h(t) g(t)]= 1 limt+

g(t)= 1 K= 1

9.

Ili,

(t)= h(t) g(t)= 1

9+ e0,9t,

odnosno

s = limt+

(t)= 1

9.

Primena Matlaba za odreivae traenih pokazatea kvaliteta prelazne funkcije moe se ilus-trovati sledeim skriptom:

Listing 5.1. Pokazatelji01.m1

d t = 0 . 0 00 1;2 t = 0 : d t :8 ;

3 % matematichki model objekta

4 num = [0 1];

5 d en = [ 1 0 .9 ]

6 W = t f( nu m , d en )

7 [ y , t ] = s te p (W , t ) ;

8 p l o t ( t , y ) ;9 hold on

10 g r i d

11 x l ab e l ( t [ s ] );

12 y l ab e l ( g ( t ) );13

14 % vrednost izlaza u stacionarnom stanju pojachanje

15 K = n um (end )/den(end)16 p l o t ( [ t (1 ) t (end) ], [ y (end) y( end)] , g );

17

18 % v re me s mi re nj a z a e p s_ m = + 0.2

19 index=max( f i nd ( y < ( K - 0.2 ) | y > ( K + 0.2) ))

20 v r e m e _ sm i r e n j a = t ( i n d e x + 1)21 p l o t ( [ t ( i n de x + 1 ) t ( i n d ex + 1 ) ] , [ y ( 1 ) y ( i n d ex + 1 ) ] , r );

22 t ex t( t ( i n d ex + 1 ) , y ( 1 ) - 0. 0 8 , \tau_s , C o l o r , r )

23

24 %statichka greshka

25 eps_s=1-K

Dobijeni rezultati su prikazani slikom 5.15 i linijama iz komandnog prozora Matlaba.

Transfer function:

1

-------

s + 0.9

K =


23/44


0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

g(t)

s

Slika 5.15. Jediniqni odskoqni odziv sistema W(s)= 1

s +0, 9.

1.1111

index =

19054

vreme_smirenja =

1.9054

eps_s =

-0.1111

P r i m e r 58Odrediti sva pojaqaa sistema qija je prelazna funkcija oblika:a) g(t)= 2 (1 e5t cos2t)h(t)

b) g(t)= (t2 5t)h(t)

v) g(t)= (1+sin t cos t)h(t)Pojaqae r tog reda nekog sistema se definixe sa

Kr = limt+

g(r)(t),

xto za posmatrani sistem dovodi do sledeih rezultata:

a) poziciono pojaqae, r = 0

K= limt+

g(t)= limt+

2 (1 e5t cos2t)h(t)= 2

brzinsko pojaqae, r = 1

K1 = limt+

g(1)(t)= limt+

2 (5e5t cos2t +2e5t sin 2t)= 0

pojaqaa vixeg redaK2 =K3 =Kr = 0, r= 1, 2, 3,...

Na slici 5.16 prikazana je prelazna funkcija sistema i en izvod, sa koje mogu da se uoqe dobijenirezultati.

b)

poziciono pojaqae,r = 0

K= limt+

g(t)= limt+

(t2 5t)= +


24/44


0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

31)

0 1 2 3 42

0

2

4

6

8

10

12

14

2)

Slika 5.16. 1) g(t)= 2(1 e5t cos2t)h(t), 2) g(t)= 2(5e5t cos2t +2e5t sin 2t).


K(1) = limt+

g(1)(t)= limt+

(2t 5)= +

akcelerometrijsko pojaqae, r= 2

K2 = limt+

g(2)(t)= limt+

2 = 2

pojaqaa vixeg redaK3 =K4 =Kr = 0, r = 3, 4, 5,...

Slika 5.17 ilustruje dobijene rezultate.

0 2 4 6 8 1010

0

10

20

30

40

50

t [s]

1)

0 1 2 3 4 56

4

2

0

2

4

6

t [s]

2)

Slika 5.17. 1) g(t)= (t2 5t)h(t) i 2) g(t)= (2t 5)h(t).

v) poziciono pojaqae, r = 0

K = limt+

g(t)= limt+

(1+sin t cos t)

Graniqna vrednost ne postoji, pa pojaqae nije definisano.


K1 = limt+

g(1)(t)= limt+

(cos t +sin t).

I u ovom sluqaju graniqna vrednost ne postoji, kao ni za svako r = 0, 1, 2, .., pa pojaqaa ovogsistema nisu definisana.


25/44


0 5 10 152

1

0

1

2

3

41)

0 5 10 152

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

22)

Slika 5.18. 1) g(t)= (1+sin t cos t)h(t) i 2) g(t) = (cos t +sin t)h(t).

Prelazna funkcija posmatranog sistema i en izvod prikazane su na slici 5.18.

P r i m e r 59Odziv sistema automatskog upravaa na koji deluje ulaz

xu(t)= sin t h(t),

je oblika

xi(t)= (2e2t e3t cos t +sin t) h(t).

Odrediti odziv datog sistema pri xu(t) = cos t h(t).Primenom Laplasove transformacije na odziv posmatranog sistema dobija se kompleksni lik izlazne

veliqine:

Xi(s) = L{xi(t)} = 2s +2

1s +3

ss2 +1

+ 1s2 +1

,

odnosno

Xi(s)= 10

(s+2)(s +3)(s2 +1).

Kako je Xu(s)= 1

s2 +1, jasno je da je prenosna funkcija datog sistema

W(s)= Xi(s)

Xu(s) =

10

(s+2)(s +3).

Kada je na ulazu u sistem xu(t) = cos t h(t) uzimajui u obzir da je tada Xu(s) = s

s2 +1, dobija se

kompleksni lik izlazne veliqine u obliku

Xi(s)= 10s

(s+2)(s +3)(s2 +1).

Vremenska promena odziva se dobija primenom inverzne Laplasove transformacije:

xi(t)= L1{Xi(s)} = L

1

10s

(s+2)(s +3)(s2 +1)

=

d

dtL1

10

(s +2)(s +3)(s2 +1)

odnosno,

xi(t)=

d

dt (2e2t

e3t

cos t +sin t) h(t)= (4e2t

+3e3t

+sin t +cos t) h(t).

Jedan od naqina rexavaa u Matlabu dat je u sledeem skriptu.


26/44


Listing 5.2. OdziviDvaUlaza.m1 syms t;

2 % ulazna velichina 1

3 x _u 1 = s i n (t);

4 % ulazna velichina 2

5 x_u2= cos (t);

6 % laplasove transformacije ulaznih velichina

7 X _u 1 = l a p l a c e (x_u1);8 X _u 2 = l a p l a c e (x_u2);

9 % odziv sistema za prvu ulaznu velichinu, vremenski domen

10 d i sp ([ O d z iv s i s te m a z a p r v u u l az n u v e l ic h i nu : ])

11 y1 = 2*exp(-2*t)- exp(-3*t)- cos (t)+s i n ( t )12 % odziv sistema za prvu ulaznu velichinu, kompleksni domen

13 d i sp ([ L a p la s o va t r a n s f o rm a c i j a o d z iv a z a p r v u u l a zn u v e l ic h i nu : ])

14 Y _1 = l a p l a c e (y1)

15 %prenosna funkcija sistema

16 W = Y _1 / X _u 1 ;

17 d i sp ([ P r e no s n a f u n kc i ja s i s te m a : ])

18 W = s i m p l i f y ( W )

19 % kompleksni lik odziva za drugu ulaznu velichinu

20 d i sp ([ L ap l as o va t r a ns f o rm a c ij a o d zi v a z a d r ug u u l az n u v e li c hi n u : ])

21 Y _2 = W * X _ u 2

22 % odziv sistema za drugu ulaznu velichinu, vremenski domen

23 d i sp ([ O d z iv s i s te m a z a d r u gu u l a zn u v e l ic h i nu : ])

24 y2 = i l a p l a c e( Y _ 2 )

Rezultati izvrxavaa skripta iz komandnog prozora Matlaba su

>> Odziv sistema za prvu ulaznu velichinu:

y1 =

2*exp(-2*t)-exp(-3*t)-cos(t)+sin(t)

Laplasova transformacija odziva za prvu ulaznu velichinu:

Y_1 =

2/(s+2)-1/(s+3)-s/(s^2+1)+1/(s^2+1)

Prenosna funkcija sistema:

W =

10/(s+2)/(s+3)

Laplasova transformacija odziva za drugu ulaznu velichinu:Y_2 =

10/(s+2)/(s+3)*s/(s^2+1)

Odziv sistema za drugu ulaznu velichinu:

y2 =

-4*exp(-2*t)+3*exp(-3*t)+cos(t)+sin(t)

P r i m e r 60Za sistem, prikazan na sledeem blok dijagramu:

5

2

3

s+2

2

1

s+2

1

s+2

3

Xi(s) =5

s Xi(s)

Z(s)= 2

s


27/44


odrediti pojaqae po poremeaju, ako su = 2, = 3 (zadatak je prikazan u formi).

Kz = -0,9697 3

Odredimo najpre ekvivalentnu prenosnu funkciju lokalne povratne sprege:

W1(s) = 2

1 2 2 = 2

3

Prenosna funkcija paralelne sprege je:

W2(s)= W1(s) 1

s+2+

3

s +2 =

2

3

1

s +2+

9

3

1

s +2 =

7

3

1

s+2

Prenosna funkcija glavne grane je:

Wgg(s) = W2(s) 1

s+2 =

7

3

1

(s+2)2

Prenosna funkcija otvorenog kola je:

Wok(s)= Wgg(s)= 7

31

(s +2)2

Odziv sistema je oblika:

Xi(s)= 5 Wgg(s)

1+ Wok(s)Xi(s) +

3 (1) 1

s +2+ (1)Wgg(s)

1+ Wok(s) Z(s)

Xi(s)=

57

3

1

(s+2)2

1+7

3

1

(s+2)2

Xi(s) +

3 (1) 1

s +2

7

3

1

(s +2)2

1+7

3

1

(s+2)2

Z(s)

Xi(s)= 35

3 s2 +12 s +12+ 7 Xi(s) +

3 3(s +2) 7

3 s2 +12 s +12+ 7 Z(s)

Xi(s)= 35

3 s2 +12 s +12+ 7 Xi(s)

9 s +18 + 7

3 s2 +12 s +12+ 7 Z(s)

Iz tog izraza, a imajui u vidu da je:

Xi(s)= Wxi(s) Xi(s) + Wz(s)Z(s)

se dobija da je prenosna funkcija po eenoj vrednosti:

Wxi(s)= 35

3 s2 +12 s +12+ 7

a prenosna funkcija po poremeaju oblika:

Wz(s)= 9 s +18 + 7

3 s2 +12 s +12+ 7 Z(s)

Na osnovu Hurvicovog kriterijuma se zakuquje da je sistem stabilan, pa pojaqaa mogu da sejednostavno odrede primenom druge graniqne teoreme Laplasa

K= lims0

W(s)

odakle se dobija:

Kxi = 35

12+ 7

Kz = 18 + 7

12+ 7


28/44


Za konkretne brojqane vrednosti dobija se da je pojaqae po eenoj vrednosti:

Kxi = 35

12+ 7 3 = 1, 0606

a po poremeaju:

Kz =

18 + 7 2

12+ 7 3 = 0, 9697.

P r i m e r 61Za sistem, prikazan na sledeem blok dijagramu:

1

s +2

a

s + 5 a

10

Xi(s)= 3

s Xi(s)

Z(s)= 4

s

odrediti vrednost parametra a, tako da je K1xi = 10 (zadatak je prikazan u formi).

a= -0,3922 3

Xi(s) =

a

(s+2)(s + 5 a)

1+ 10 a

(s +2)(s + 5 a)

Xi(s) +

a

s + 5 a

1+ 10 a

(s+2)(s + 5 a)

Z(s)

Xi(s)= a

s2 + (2+ 5 a) s +10 a 10 a

3

s + a (s +2)

s2 + (2+ 5 a) s +10 a 10 a

4

s

Wxi(s)= a

s2 + (2+ 5 a) s +10 a 10 a =

a

s2 + (2+ 5 a) s =

a

s(s+2+ 5 a)

K1xi = lims0s Wxi(s)= lim

s0s

a

s(s +2+ 5 a) = lim

s0

a

s +2+ 5 a =

a

2+ 5 a

a

2+ 5 a =K1xi 2 K

1xi

+ 5 a K1xi = a (5 K1xi

+1) a= 2 K1xi

a= 2 K1xi

5 K1xi+1 =

20

51 = 0, 3922

5.4.1 Odreivae pojaqaa sloenih sistemaSloenost sistema moe da bude izraena egovom strukturnom sloenoxu: postojaem rednih, par-alelnih i povratnih sprega. Sistem se sastoji iz meusobno povezanih podsistema S 1, S2, . . ., Sn qijasu pojaqaa K1, K2, . . . , K n poznata. Postava se pitae u kakvoj je vezi pojaqae celoga sistema sapojaqaima egovih podsistema?

Prenosna funkcija redne sprege koju qini n podsistema je

W(s)= W1(s)W2(s) Wn(s),

a ako su svi realni delovi polova W(s) mai od nule, (4.33), onda na osnovu druge graniqne teoremesledi

K= lims0

W(s)= lims0

[W1(s)W2(s) Wn(s)]= lims0

W1(s) lims0

W2(s) lims0

Wn(s)= K1K2 Kn, (5.57)

odnosnoK=K1K2 Kn. (5.58)


29/44


Ovaj rezultat ne moe da se uopxti na pojaqaa vixeg reda od nultog jer je

Kr = lims0

srW(s)= lims0

sr [W1(s)W2(s) Wn(s)] = lims0

srW1(s) lims0

srW2(s) lims0

srWn(s).

U sluqaju paralelne sprege prenosna funkcija n paralelno spregnutih podsistema je

W(s)= W1(s) W2(s) . . . Wn(s),

i ako su svi realni delovi polova W(s)mai od nule onda moe da se primeni druga graniqna teoremaLaplasa,

Kr = lims0

srW(s)= lims0

sr [W1(s) W2(s) . . . Wn(s)]=

= lims0

srW1(s) lims0

srW2(s) . . . lims0

srWn(s)= Kr1 K

r2 . . . K

rn, (5.59)

tj.

Kr =Kr1 Kr2 . . . K

rn. (5.60)

Za povratnu spregu koju qine podsistem S1 u glavnoj i podsistem S2 u povratnoj grani moe da se

napixeW(s)=

W1(s)

1 W1(s)W2(s).

Mogunost primene druge graniqne teoreme dovodi do

K= lims0

W(s)= lims0

W1(s)

1 W1(s)W2(s) =

lims0 W1(s)

1 lims0 W1(s) lims0 W2(s) =

K11 K1K2

, (5.61)

ili kratko

K= K1

1 K1K2. (5.62)

Odavde sledi da pojaqae, vixeg reda od nultog, moe jedino kod paralelne sprega da se izrazi

u zavisnosti od pojedinaqnih pojaqaa istoga reda paralelno spregnutih podsistema. Pri tome sepojaqaa sistema izraqunavaju po istom algoritmu po kome se izraqunava egova prenosna funkcija.Ako se trai pojaqae vixeg reda od nultog za ceo sistem (a da taj sistem ne qine samo paralelno

spregnuti podsistemi) onda najpre treba odrediti prenosnu funkciju (matricu) sistema. Zatim se,ako je ispuen uslov (4.33), Kr izraqunava po poznatom obrascu

Kr = lims0

srW(s).

5.4.2 Vrste sistema

Neka je prenosna funkcija razmatranog sistema, slika 5.10

W(s)=

m

k=0

bksk

nk=0

aksk

, m n. (5.63)

Neka su u brojiocu prenosne funkcije prvih M koeficijenata jednaki nuli

b0 =b1 = bM1 = 0, 0 M m, bm= 0,

xto znaqi da iz polinoma u brojiocu moe da se izdvoji zajedniqki element sM, pa ceo polinom moeda se napixe kao sM

mk=Mbks

kM.Neka su u imeniocu, analogno, prvih N koeficijenata jednaki nuli:

a0 = a1 = aN1 = 0, 0 N n, an= 0,

tako da iz imenionca moe da se izdvoji sN i onda je on oblika sNm

k=NakskN.


30/44


Prenosna funkcija razmatranog sistema je tada

W(s)= sM

sN

mk=M

bkskM

n

k=N

ak

skN, m n. (5.64)

Uvoeem oznake L= M N prethodna jednaqina postaje

W(s)= sL

mk=M

bkskM

nk=N

akskN

, m n. (5.65)

Oznaqimo sa

W1(s)=

m

k=Mbks

kM

nk=N

akskN

, m n, (5.66)

i uvedimo sledeu pretpostavku.

P r e t p o s t a v k a 5.4.1 Realni delovi svih polova prenosne funkcije W1(s) su negativni:

Resi [W1(s)]< 0, i= 1, 2, . . . , ,

pri qemu predstava broj razliqitih polova W1(s).

Uoqimo da vai sledee

lims0

W1(s)= lims0

bM+ bM+1s+ bM+2s2 + + bmsmM

aN+ aN+1s+ aN+2s2 + + ansnN =

bMaN

(5.67)

Tada prenosna funkcija razmatranog sistema moe da se prikae kao

W(s)= sLW1(s). (5.68)

U zavisnosti od celobrojne vrednosti L, meaju se vrednosti pojaqaa sistema opisanog sa W(s),pa na bazi toga mogu da se definixu tri vrste sistema: prve, druge i tree vrste.

Sistemi prve vrste

Kod ovih sistema je L > 0 pa su pojaqaa takvih sistema odreena sa

Kr = lims0

srsLW1(s)= 0, r = 0, 1, 2, . . .

Prema tome sva pojaqaa, svih redova, ovakvih sitema su jednaka nuli. Ove sisteme karakterixepostojae qlana

sL

u prenosnoj funkciji. Ti elementi se nazivaju diferencijatoriL-tog reda. Za ilustraciju dinamiqkogponaxaa izaberimo sistem qija je prenosna funkcija oblika

W(s)= s

s2 + s +1 =s1

1

s2 + s+1.

Na slici 5.19 su prikazane prelazna funkcija sistema, en prvi i en drugi izvod. Sve tri krivekonvergiraju ka nuli, pa prema definiciji pojaqaa odgovarajuih redova, (5.29), sledi da su onajednaka nuli.


31/44


0 2 4 6 8 10 120.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

g

gg(2)

t

Slika 5.19. Sistem prve vrste.

Sistemi druge vrste

Kod ovih sistema je L= 0 pa su pojaqaa takvih sistema, imajui u vidu (5.67), odreena sa

Kr = lims0

srsLW1(s)= lims0

srW1(s)=bMaN

lims0

sr =

bMaN

, r = 0,

0, r = 1, 2, . . .

Kod ovih sistema samo je poziciono pojaqae razliqito od nule, a sva ostala pojaqaa vixeg redasu jednaka nuli. Spojeni sudovi iz Primera 56 pripadaju sistemima druge vrste, pa slike 5.13 i 5.14najboe ilustruju ponaxae sistema druge vrste.

Sistemi tree vrste

Ove sisteme karakterixe L < 0 pa su pojaqaa takvih sistema, imajui u vidu (5.67), odreena sa

Kr = lims0

srsLW1(s)= lims0

sr|L|W1(s) = bMaN

lims0

sr|L| =

+ signbMaN , r < |L|,

bMaN

, r = |L|,

0, r > |L|.

(5.69)

Odlika ovih sistema je postojae qlana

1

s|L|

u prenosnoj funkciji. Takvi elementi se nazivaju integratori |L|-tog reda. Pojaqaa ovakvih sistemazavise od reda integratora, kao xto se vidi iz (5.69). Na slici 5.20 je prikazano tipiqno ponaxaejednog ovakvog sistema.


32/44


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12

14

16

18

g

g

g(2)

K= +

K1 = 5

K2 = 0

t

Slika 5.20. Sistem tree vrste W(s)= 10

s(0, 1s2

+ s+2)

.

5.4.3 Tipovi dejstva

Diferencijalna jednaqina ponaxaa sistema sa slika 5.10 moe da se predstavi jednom od xest nared-nih diferencijalnih jednaqina, pri qemu je leva strana svih tih jednaqina ista:

kD1xu+ kD2xu+ . . . + kDmx(m)u (5.70)

kxu (5.71)

kxu+ kD1xu+ kD2xu+ . . . + kDmx(m)u (5.72)

Tnn

x(n)

i + . . . + T

1xi+ xi = kI

t

0

xu()d (5.73)

kxu+ kI

t0

xu()d (5.74)

kxu+ kI

t0

xu()d+ kD1xu+ kD2xu+ . . . + kDmx(m)u (5.75)

Da bi se govorilo o tipu dejstva sistema moraju da budu zadovoene sledee dve pretpostavke.

P r e t p o s t a v k a 5.4.2 Leva strana diferencijalne jednaqine mora da sadri qlanxi, kao svoj najniiizvod, a ako to nije sluqaj onda se ona potrebnim brojem integraea ili diferencijaea dovodi nataj oblik.

Kada se diferencijalna jednaqina dovede u oblik zahtevan Pretpostavkom 5.4.2 onda je red sistemaodreen redom najvixeg izvoda leve strane diferencijalne jednaqine, u razmatranom sluqaju to je n-ti

izvod, Tnn x(n)i , pa je taj sistem n-tog reda.

P r e t p o s t a v k a 5.4.3 Neka je ispuena Pretpostavka 5.4.2, tada karakteristiqni polinom jedna-qina (5.70)-(5.75) ima oblik

f(s)= Tnsn + . . . + T1s +1,

a egovi korenovi zadovoavaju

Resi [f(s)]< 0, i= 1, 2, . . . , ,

pri qemu predstava broj razliqitih korenova polinoma f(s).

Kada su ispuene obe pretpostavke, onda moe da se govori o tipu dejstva i on je odreen desnomstranom diferencijalne jednaqine. Razlikujemo osnovne i sloene tipove dejstva.


33/44


Osnovni tipovi dejstva

Diferencijalno ili D dejstvo imaju sistemi qija desna strana diferencijalne jednaqine imaoblik (5.70). U ovom sluqaju prenosna funkcija sistema je oblika

W(s)= skD1+ kD2s+ . . . + kDms

m1

Tnn s

n

+ . . . + T1s +1pa su ovi sistemi sistemi prve vrste.

Proporcionalno ili P dejstvo imaju sistemi qija desna strana diferencijalne jednaqine imaoblik (5.71). Na osnovu diferencijalne jednaqine prenosna funkcija ima sledei izgled

W(s)= k

Tnn sn + . . . + T1s+1

pa takvi sistemi pripadaju sistemima druge vrste.

Integralno ili I dejstvo imaju sistemi qija desna strana diferencijalne jednaqine ima ob-lik (5.73). Iz te diferencijalne jednaqine sledi

W(s) = kIs(Tnn s

n + . . . + T1s +1)

xto nedvosmisleno ukazuje na ihovu pripadnost sistemima tree vrste.

Sloeni tipovi dejstva

Proporcionalno-diferencijalno ili PD dejstvo imaju sistemi qija desna strana diferenci-jalne jednaqine ima oblik (5.72). ihova prenosna funkcija je oblika

W(s)=k+ kD1s + kD2s

2 + . . . + kDmsm

Tnn sn + . . . + T1s+1

pa ovakvi sistemi pripadaju sistemima druge vrste. S obzirom da su u ovom sluqaju prisutnadva osnovna tipa dejstva dominantnost u prelaznom radnom reimu ima D dejstvo, a po egovomisteku dominira P dejstvo, slika 5.21.

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

PD

t

g(t)

D

P

Slika 5.21. Prelazna funkcija sistemaW(s) = 3s +2

2s2 +4s +2.

Proporcionalno-integralno ili PI dejstvo imaju sistemi qija desna strana diferencijalnejednaqine ima oblik (5.74). ihova prenosna funkija je

W(s)=k+

kIs

Tnn sn + . . . + T1s +1

= kI+ ks

s(Tnsn + . . . + T1s +1)

tako da i oni pripadaju sistemima tree vrste. Dominantno ponaxae u poqetnom trenutku imaP dejstvo, a potom dominaciju preuzima I dejstvo, slika 5.22.


34/44


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

PI

t

g(t)

P

I

Slika 5.22. Prelazna funkcija sistemaW(s) = 7s +1

s(s2 +2s +3).

Proporcionalno-integralno-diferencijalnoili PID dejstvo imaju sistemi qija desna stranadiferencijalne jednaqine ima oblik (5.75). Tada je prenosna funkcija opisana sa

W(s)=k+

kIs

+ kD1s + kD2s2 + . . . + kDms

m

Tnn sn + . . . + T1s +1

= kI+ ks + kD1s2 + kD2s3 + . . . + kDmsm+1

s(Tnn sn + . . . + T1s +1)

pa su oni tree vrste. Redosled dominantnosti ponaxaa u ovom sluqaju je: prvo D dejstvo,potom P dejstvo i na kraju I dejstvo, xto se najboe vidi sa slike 5.23.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202

0

2

4

6

8

10

12

14

PID

t

g(t

)

D

P

I

Slika 5.23. Prelazna funkcija sistemaW(s)= 10s2 + 5s +1

s(s2 + s+2).

Na istoj slici su prikazane i prelazne funkcije sistema koji se dobijaju kada se razmatranaprenosna funkcija razloi na tri svoja sabirka, tj. tri osnovna dejstva

W(s)P-dejstvo= 5

s2 + s +2, W(s)I-dejstvo=

1

s(s2 + s +2), W(s)D-dejstvo=

10s

s2 + s +2.

5.5 Statiqka grexka

Razlozi za pojavu grexke u sistemima automatskog upravaa su mnogostruki, ali dominantni razlogsu promene ulaza: bilo eenog dinamiqkog ponaxaa, bilo poremeaja. Promene eenog dinamiqkogponaxaa dovode neizbeno do pojave grexke u prelaznom radnom reimu, a mogu da proizvedu i pojavustatiqke grexke. Sistem moe da ima nultu statiqku grexku u sluqaju odskoqne promene ulaza, alipri nagibnoj promeni ulaza, taj isti sistem, moe da ima statiqku grexku qija vrednost nije jedankanuli. U zavisnosti od karaktera promene ulaza mogu da se definixu sledee statiqke grexke sistema.

D e f i n i c i j a 5.5.1 Statiqka grexka upravane veliqine nastala pri jediniqnim odskoqnim prom-enama svih ulaznih veliqina, a pri nultim poqetnim uslovima, je poziciona statiqka grexka sp


35/44

5.5. Statiqka grexka 165

upravane veliqine Xi:sp= lim

t+[Xi(t) Xi(t)]= lim

t+[h(t) Xi(t)] . (5.76)

Poziciona statiqka grexka se kratko naziva statiqka grexka i oznaqava sa s.Ako su ispueni uslovi za primenu druge graniqne teoreme Laplasovih transformacija onda

statiqka grexka moe da se odredi i u kompleksnom domenu na sledei naqin:

sp = lims0

sE(s)= lims0

sL {[h(t) Xi(t)]} = lims0

s

1

s Xi(s)

= lim

s0[1 sXi(s)] . (5.77)

Poziciona statiqka grexka je jednoznaqno odreena pozicionim pojaqaem sistema. Da bi se topokazalo poimo od odziva sistema automatskog upravaa na koji deluje vei broj poremeajnihveliqina:

Xi(s)= Wxi(s)Xi(s) + Wz1(s)Z1(s) + Wz2(s)Z2(s) + . . . + WzP(s)ZP(s). (5.78)

Statiqka grexka je definisana sa

s = lims0

sE(s)= lims0

s [Xi(s) Xi(s)] . (5.79)

Kada se u tu jednaqinu uvrsti (5.78) dobije se

s = lims0

sE(s)= lims0

s [Xi(s) Xi(s)]=

= lims0

s [Xi(s) Wxi(s)Xi(s) Wz1(s)Z1(s) Wz2(s)Z2(s) . . . WzP(s)ZP(s)]=

= lims0

s

[1 Wxi(s)] Xi(s) Wz1(s)Z1(s) Wz2(s)Z2(s) . . . WzP(s)ZP(s)

=

= lims0

s [1 Wxi(s)] Xi(s) lims0

sWz1(s)Z1(s) lims0

sWz2(s)Z2(s) . . . lims0

sWzP(s)ZP(s).

(5.80)

S obzirom da se statiqka grexka definixe pri svim jediniqnim odskoqnim ulaznim veliqinamaondase iz prethodne jednaqine dobija

s = lims0

s [1 Wxi(s)] Xi(s) lims0

sWz1(s)Z1(s) lims0

sWz2(s)Z2(s) . . . lims0

sWzP(s)ZP(s)=

= lims0

s [1 Wxi(s)]1s lim

s0sWz1(s) 1s

lims0

sWz2(s) 1s . . . lim

s0sWzP(s) 1s

=

= lims0

[1 Wxi(s)] sxi

lims0

Wz1(s) sz1

lims0

Wz2(s) sz2

. . . lims0

WzP(s) szP

.(5.81)

Prema tome iz udela pojedinih ulaznih veliqina na ukupnu statiqku grexku dobijaju se sledeeveze:

sxi = lims0

[1 Wxi(s)]= 1 lims0

Wxi(s)= 1 Kxi, (5.82)

szi = lims0

[0 Wzi(s)] = lims0

Wzi = Kzi , i= 1, 2, . . . , P , (5.83)

ili kratko

sxi

+ Kxi

= 1,

szi+ Kzi = 0, i= 1, 2, . . . , P .(5.84)

Prema tome deo pozicione statiqke grexka nastao usled odskoqne promene eene vrednosti sxi,je jednak nuli jedino kada je poziciono pojaqae tog sistema u odnosu na eenu vrednost jednakojedinici. U sluqaju poremeajne veliqine deo sz moe da bude nula jedino kada je poziciono pojaqaepo tom poremeaju jednako nuli.

To znaqi da je optimalan sistem automatskog upravaa, po kriterijumu nulte statiqke grexke,onaj sistem koji zadovoava:

Kxi = 1 i Kzi = 0, i= 1, 2, . . . , P .

D e f i n i c i j a 5.5.2 Statiqka grexka upravane veliqine nastala pri nagibnim promenama svihulaznih veliqina, a pri nultim poqetnim uslovima, je brzinska statiqka grexka sv upravane veli-

qine Xi:sv = lim

t+[n(t) Xi(t)] . (5.85)


36/44


Ako postoji ta graniqna vrednost, onda postoji i sledea:

sv = lims0

s

1

s2 Xi(s)

= lim

s0

1

s sXi(s)

. (5.86)

D e f i n i c i j a 5.5.3 Statiqka grexka upravane veliqine nastala pri paraboliqnim promenama svih

ulaznih veliqina, a pri nultim poqetnim uslovima, je akcelerometrijska statiqka grexka sa up-ravane veliqine Xi:

sa = limt+

1

2t2 Xi(t)

, (5.87)

a odgovarajui obrazac u kompleksnom domenu je

sa = lims0

s

2

2s3 Xi(s)

= lim

s0

1

s2 sXi(s)

. (5.88)

P r i m e r 62Razmotrimo sistem opisan sledeom prenosnom funkcijom

Wxi(s)= 2s2 + 5s +2.

Odrediemo egove odzive nah(t),n(t)i 0, 5 t2 da bismo odredili sve tri statiqke grexke: pozicionu,brzinsku i akcelerometrijsku. Simulacijom u Matlabu dobijena je slika 5.24.

0 5 10 15 201

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

g

h

s = 0

t0 5 10 15 20

5

0

5

10

15

20

Xi

n

sv= 2,5

t0 5 10 15 20

50

0

50

100

150

200

XiXiz

t

Slika 5.24. Statiqke grexke: poziciona, brzinska i akcelerometrijska.

Na osnovu analize rezultata sa te slike moe da se zakuqi da ovaj sistem radi izvrsno kao pozi-cioni servo ureaj - egova poziciona statiqka grexka je jednaka nuli. Meutim, kao brzinski servoureaj, kada treba da prati nagibnu promenu ulazne veliqine egova statiqka grexka - brzinska jesv = 2, 5. U sluqaju kvadratne ulazne funkcije Xi(t) = 0, 5 t2 sistem ne uspeva da prati takvu e-enu vrednost, pa sve vixe i vixe zaostaje tako da mu grexka, po apsolutnoj vrednosti, tei kabeskonaqnosti.

5.5.1 Uticaj vrste regulatora na statiqku grexku

Razmatra se SAR sa slike 5.25. Objekt prenosne funkcije WO(s) je upravan regulatorom prenosne

funkcije WR(s). Postava se pitae kakav je uticaj vrste regultora na statiqku grexku regulisaneveliqine? Odgovor na ovo pitae treba da da osnovne smernice koji regulatori mogu, a koji ne mogu,ili ne smeju da se koriste za upravae pojedinih objekata.


37/44


WR(s) WO(s)

Xi(s) E(s)Z(s)

Xi(s)Y(s)

Slika 5.25. Blok dijagram SAR-a.

Kompleksni lik odziva sistema sa slike 5.25 je

Xi(s)= WR(s)WO(s)

1+ WR(s)WO(s)Xi(s) +

WO(s)

1+ WR(s)WO(s)Z(s),

a kompleksni lik egove grexke E(s) je

E(s)=

1

1+ WR(s)WO(s) Xi(s)

WO(s)

1+ WR(s)WO(s) Z(s). (5.89)

Iz prethodne jednaqine se uoqava da grexku qine dva sabirka: prvi kao posledica delovaa eeneulazne veliqine, a drugi usled dejstva poremeajne veliqine

Exi(s)= 1

1+ WR(s)WO(s)Xi(s) Ez(s)=

WO(s)

1+ WR(s)WO(s)Z(s). (5.90)

Budui da se statiqka grexka odreuje pri jediniqnim odskoqnim promenama svih ulaznih veliqina,onda vai

E(s)= 1 WO(s)

1+ WR(s)WO(s)

1

s ,

pa se primenom druge graniqne teoreme dobija

s = lims0

sE(s)= lims0

s 1 WO(s)

1+ WR(s)WO(s)

1

s = lim

s0

1 WO(s)

1+ WR(s)WO(s). (5.91)

Da bi se izraqunala vrednost (pozicione) statiqke grexke nophodno je da se u (5.91) uvrste odgo-varajue prenosne funkcije regulatora i objekta. Neka je prenosna funkcija regulatora data jednaqi-nom (5.68), tj.

WR(s)= sLW1(s)= s

L

mk=M

bkskM

nk=N

akskN

, m n, (5.92)

pri qemu vae sva oznaqavaa i objaxea kao i za (5.68). Neka i prenosna funkcija objekta budeizabrana na isti naqin, ali da ne bi dolazilo do zabune sa oznaqavaima, umesto L, ak, bk, M i N eda se koristi , ck, dk, i , sledstveno:

WO(s)= s

W1(s)= s

mk=

dksk

nk=

cksk

, m n. (5.93)


38/44


Uvrstimo sada te dve prenosne funkcije u (5.91):

s = lims0

1 s

mk=

dksk

n

k= cks

k

1+ sL

mk=M

bkskM

nk=N

akskN

s

mk=

dksk

nk=

cksk

. (5.94)

Zbog postojaa graniqne vrednosti prethodna jednaqina moe, kao xto je pokazano u (5.67), da senapixe u jednostavnijem obliku

s = lims0

1 sdc

1+ sL+ bMaN

dc

. (5.95)

Na osnovu jednaqine (5.90), sledi da i statiqka grexka moe da se prikae preko dva sabirka:

s = sxi + sz = lims0

1

1+ sL+bMaN

dc

lims0

sdc

1+ sL+bMaN

dc

, (5.96)

gde su:

sxi = lims0

1

1+ sL+ bMaN

dc

, sz = lims0

sdc

1+ sL+ bMaN

dc

. (5.97)

Sada mogu da se provere sve varijante objekata i regulatora i na osnovu dobijenih rezultata donesuodgovarajui zakuqci.

Objekt prve vrste >0

U ovom sluqaju graniqna vrednosti lims0 dovodi do toga da je qlan s iz brojioca (5.95) jednak nuli,xto znaqi da je sz = 0, pa je ukupna statiqka grexka sistema jednaka statiqkoj grexci sxi

s = sxi = lims0

1

1+ sL+bMaN

dc

. (5.98)

Vrednost statiqke grexke je

s = lims0

1

1+ sL+bMaN

dc

=

1, L > 0, Regulator I vrste

1, L= 0, Regulator II vrste

1, < L < 0, Regulator III vrste1

1+bMaN

dc

, L= , Regulator III vrste

0, L < , Regulator III vrste

(5.99)

Analizom prethodnog rezultata zakuquje se da objekt prve vrste ne moe da se uprava regulatorom

I ili II vrste, budui da oni nemaju uticaja na statiqku grexku (ona je uvek jednaka jedinici). Samoregulator III vrste moe da utiqe na smaee vrednosti statitqke grexke (L= ), ili da je potpunoneutralixe (L < ).


39/44


Objekt druge vrste = 0

Sada je qlan s iz brojioca (5.95) jednak jedinici

sxi =

lim

s0

1

1+ sL bM

aNdc

, sz=

lim

s0

dc

1+ sL bM

aNdc

, (5.100)

xto povlaqi

s = lims0

1 dc

1+ sL+bMaN

dc

=

1sxi

d

csz

, L >0, Regulator I vrste

1

1+bMaN

dc

sxi

dc

1+bMaN

dc

sz

, L = 0, Regulator II vrste

0, L , Regulator I vrsteaNc

aNc+ bMd, L= , Regulator I vrste

0, 0< L < , Regulator I vrste

0, L= 0, Regulator II vrste

0, L < 0, Regulator III vrste

(5.102)

sz = lims0

sdc

1+ sL+bM

aN

d

c

=

, L >0, Regulator I vrste

aNbM

, L= 0, Regulator II vrste

0, L


40/44


P r i m e r 63Odrediti statiqku grexku SAR-a ako je egov matematiqki model oblika, = 4, = 2 (zadatak je

prikazan u formi):

x1(t) = 3 x1(t) + x2(t) +4 xi(t)

x2(t) = x1(t) + 6 xi(t)

xi(t) = 2 x1(t) +2 xi(t)

s = 5 3

Na osnovu skalarnih jednaqina staa i jednaqine izlaza se dobijaju sledee matrice:

A =

3 0

B=

4

6

C =

2 0

D= 2.

Karakteristiqna i rezolventna matrica su oblika

sI A =

s+3

s

(sI A)1 =

1

s2 +3 s +

s s +3

.

Korixeem obrasca koji povezuje prenosnu funkciju sa matricama iz jednaqine staa i jednaqineizlaza se dobija prenosna funkcija sistema po eenoj vrednosti

W(s)= C (sI A)1 B + D =

2 0 1

s2 +3 s +

s s +3

4

6

+2

W(s)= Wxi(s)= 1

s2 +3 s +

2 s 2

46

+2 =

8 s 12

s2 +3 s + +2

Budui da su ispueni uslovi za primenu druge graniqne teoreme Laplasa, dobija se poziciono poja-qae sistema

K=Kxi = 12

+2

a na osnovu pojaqaa i statiqke grexka

s = sxi = 1 Kxi = 1+ 12 2 = 12

1 =5.

P r i m e r 64Sistem je prikazan blok dijagramom sa naredne slike

a

s +21

s + b

d

2

s + c

d

Xi(s)= 2

s Xi(s)

Z(s)= 3

s

Ako promenivea, b, ci d imaju sledee vrednosti: a= 5, 3b = 8, 8c = 5, 3i d = 7, 2odrediti statiqku

grexku sistema (zadatak je prikazan u formi).

s = -1,1956 3

Na osnovu blok dijagrama i definicije da se statiqka grexka odreuje pri svim jediniqnimodskoqnim ulaznim veliqinama, dobija se:

Xi(s)=

a

s +2

1

s+ b

2

s+ c

1+ 1

s+ b

2

s+ cd

1s

+ d

2

s+ c +

1

s +b

2

s + c

1+ 1

s + b

2

s + cd

1s


41/44

5.6. PID regulator 171

qijim uproxavaem se dobija

Xi(s)=

2 a

(s +2)(s + b)(s + c)

s2 + (b + c)s+ b c +2d

(s + b)(s + c)

1

s+

2 d(s+ b) +2

(s+ b)(s + c)

s2 + (b+ c)s + b c +2d

(s + b)(s + c)

1

s

odnosno

Xi(s)= 2 a

(s+2)(s2 + (b + c)s+ b c +2d)

1

s+

2 d(s + b) +2

s2 + (b + c)s+ b c +2d

1

s

i na kraju

Xi(s)= 2 a + [2 d(s + b) +2] (s+2)

(s +2)(s2 + (b+ c)s + b c +2d)

1

s.

Na osnovu druge graniqne teoreme Laplasa (uslovi za primenu su ispueni - realni delovi svihpolova su negativni) sledi:

xi(+)= lims0

s 2 a + [2 d(s + b) +2] (s +2)

(s+2)(s2 + (b + c)s+ b c +2d)

1

s =

2 a +4 d b +4

2(b c +2 d)

xi(+)= a +2 d b +2

b c +2 d = 5, 3+2 7, 2 8, 8 +2

8, 8 5, 3+2 7, 2 .

Kako je statiqka grexka:

s = limt+

(t)= limt+

[xi(t) xi(t)]= xi(+) xi(+)

a eena vrednost izlazne veliqine u kompleksnom domenu

Xi(s)= 1

s

xto odgovara sledeoj vrednosti u vremenskom domenu

xi(t)= h(t) xi(+)= 1

i dovodi do konaqnog rexea

s = xi(+) xi(+) = 1 5, 3+2 7, 2 8, 8 +2

8, 8 5, 3+2 7, 2 = 1, 1956.

5.6 PID regulator

Diferencijalna jednaqina koja opisuje dinamiqko ponaxae PID regulatora je:

u(t)= Kp

(t) +

1

TI

t0

()d+ TD (t)

(5.104)

gde su: KP- proporcionalno pojaqae regulatora (proportional gain)

TI- integralno vreme regulatora (reset time)

TD - diferencijalno vreme regulatora (derivativetime)

Uvoeem sledeih oznake

KI = Kp

TIi KD =Kp TD gde su

KI- integralno pojaqae regulatora (integral gain)

KD - diferencijalno pojaqae regulatora (derivative gain)

dobija se

u(t)= Kp (t) + KI t

0

()d+ KD (t) (5.105)

a blok dijagram regulatora moe da se prikae u obliku prikazanom na slici 5.26.Razmotrimo sva tri osnovna dejstva PID regulatora i osnovne parametre koji definixu ta dejstva:


42/44


KIs

KP

KDs

E(s) U(s)

Slika 5.26. Blok dijagram PID regulatora.

P dejstvo

Regulator P dejstva predstava statiqki sistem i opisan je sledeom algebarskom jednaqinom utotalnim koordinatama, slika 5.27

U =KP (Xi Xi) + UN

odnosno algebarskom jednaqinom po odstupaima, slika 5.28

u= KP

tako da je izlazna vrednost regulatora, tj. upravae (regulisae), jednoznaqno definisana e-govim ulazom tj. vrednoxu grexke, slika 5.27.

Xi

U =U(Xi Xi)= U()

UN

Umax

Umin

Pb

Xi

Slika 5.27. Karakteristika P regulatora.

Sa slike 5.27 je oqigledno da je upravae U proporcionalno grexci = Xi Xi i da je ko-eficijent proporcionalnosti jednak proporcionalnom pojaqau regulatora KP, koje predstavanagib linearnog dela statiqke karakteristike sa slike 5.27 ili 5.28.

U =KP KP = U

Pored toga oqigledno je da je statiqka karakteristika nelinearna, tj. da porastom (u pozitivnuili negativnu stranu) grexke dolazi do zasiea vrednosti upravaa do Umax (100%) ili doUmin (0%), tako da prethodna jednaqina ne vai u celom opsegu. eenoj vrednosti izlaza Xiodgovara nominalna vrednost upravaa UN, koja je uobiqajeno 50% opsega vrednosti upravaaU, ali u zavisnosti od konkretne primene ta vrednost (bias, offset) moe da bude i neka druga.

Sa stanovixta linearnih sistema znaqajno je da se razmotri linearni deo ove karakteristike,tj. kada se upravae nalazi u linearnom ili tzv. proporcionalnom opsegu Pb (proportional band),slike 5.27 i 5.28.

Ovaj opseg se uobiqajeno izraava u procentima i moe da se definixe na sledei naqin:

Proporcionalni opseg Pb je jednak vrednosti grexke koja uzrokuje 100% promene vrednostiupravaa, pri qemu se vrednost grexke izraava u procentima od ukupnog merenog opsega

upravane veliqineXi u % od merenog opsega

Pb% 100%= U%


43/44

5.6. PID regulator 173

ili izraeno preko proporcionalnog pojaqaa regulatora KP, a za linearni opseg, tj.proporcionalni opseg Pb

KP ( u % od merenog opsega)= U%

odakle se dobija veza proporcionalnog pojaqaa KP i proporcionalnog opsega Pb

Pb%= 100%

KP

Ilustrujmo ovo jednim primerom: zahteva se upravae temperature u nekom prostoru. Temper-atura prostora se meri mernim organom temperature i mereni opseg tog senzora je odT = 0 50oC.Neka je P regulator izveden tako da promena grexke od 4oC (bilo da je to od 2oC +2oC ili0oC 4oC, ili ...) izaziva promenu upravaa u punom opsegu - od 0-100%.

To znaqi da 4oC promene grexke, xto predstava 8% od ukupnog mernog opsega (50oC), izazivapromenu upravaa u celokupnom linearnom (proporcionalnom) opsegu od 0-100%. Samim timproporcionalni opeg je 8%, xto znaqi da je proporcionalno pojaqae regulatora:

KP = 100%

Pb%

= 100%

8% = 12, 5

a grafiqki prikaz, koji ilustruje ovu vezu u opxtem sluqaju, je prikazan na slici 5.28.

u= KP vai samo u linearnom delu

0

umax

umin

Pb

0

Slika 5.28. Karakteristika P regulatora.

I dejstvo

Ako se posmatra PI regulator qiji je blok dijagram prikazan na slici 5.29 moe da se sprovedesledea analiza.

KP

1+

1

TIs

E(s)= 1s U(s)

t

u(t)= KP+KP

TIt

KP

2KP

TI

Slika 5.29. Odziv PI regulatora na ulaznu Hevisajdovu funkciju (t)= h(t).

Kada se na ulazu PI regulatora pojavi jediniqna odskoqna promena grexke, (t) = h(t), onda jekompleksni lik izlaza regulatora, tj. upravaa, ili regulisaa, oblika

U(s)= KP

1+

1

TIs

1

s,

a promena upravaa u vremenu, dobijena primenom inverzne Laplasove transformacije na

prethodnu jednaqinu

u(t)= KP+KP

TIt.


44/44


Prvi sabirak u izrazu za upravae u(t) predstava uticaj P dejstva i on se odskoqno promenio(proporcionalno ulazu), slika 5.29, kao posledica odskoqne promene ulaza. Drugi sabirak jeuticaj I dejstva regulatora qija vrednost se poveava linearno sa vremenom.

Na osnovu tih sabiraka moe da se protumaqi znaqee integralne konstante TI:

ona predstava vreme koje je potrebno da uticaj integralnog dejstva upravaa dostigne

vrednost koja je generisana uticajem proporcionalnim dejstva upravaa, a to je KP,odnosno to je trenutak kada se vrednost upravaa duplira u odnosu na poqetnu vrednost,izazvanu jediniqnom odskoqnom promenom grexke= h(t) na ulazu PI regulatora

u(TI)= KP+KP

TITI = 2 KP.

Ovo tumaqee je i grafiqki interpretirano na slici 5.29.

D dejstvo

Da bi se objasnilo znaqee diferencijalne konstante TD razmatra se PD regulator prikazan blokdijagramom sa slike 5.30.

KP(1+ TDs)

E(s)= 1

TDs2 U(s)

t

u(t)= KP

TD t + KP

Documents

Analiza linearnih stacionarnih dinamickih sistema