Upload
sejla-jusic
View
194
Download
8
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Sistemi linearnih jednačina pronalaze primjenu u mnogim oblastima, ne samo matematike nego i drugih nauka. U ovom radu ćemo se detaljnije upoznati s definicijom sistema linearnih jednačina i metodama za njihovo rješavanje.
Citation preview
JU Opca gimnazija ”Bosanska Krupa”
Bosanska Krupa
MATURSKI RAD IZ PREDMETA
ODABRANE OBLASTI MATEMATIKE
Rjesavanje sistema linearnih jednacina
Mentor : Ucenik :
Senka Ibrahimpasic, MA Sejla Jusic, IV5
Bos. Krupa, april 2015.
Sadrzaj
Uvod i
1. Sistem linearnih jednacina 1
1.1. Rjesenje sistema linearnih jednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Metode rjesavanja sistema linearnih jednacina 4
2.1. Kramerova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Kronecker - Capellieva teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Matricna metoda rjesavanja jednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4. Metoda transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5. Gaussova metoda ili metoda eliminacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Sazetak 19
Literatura 20
Uvod
Tema mog maturskog rada je rjesavanje sistema linearnih jednacina. Sistemi line-
arnih jednacina pronalaze primjenu u mnogim oblastima, ne samo matematike nego i
drugih nauka.
U prvom poglavlju detaljnije cemo se upoznati s definicijom sistema, nacinom za-
pisivanja i oblicima koji se najcesce pojavljuju. Takoder cemo razmotriti sve moguce
slucajeve koje mozemo dobiti pri rjesavanju sistema.
Potom slijedi glavni dio u kojem cemo se detaljnije baviti pitanjem rjesavanja
sistema linearnih jednacina. Upoznat cemo se s primjenom Kramerove metode u
rjesavanju sistema jednacina pomocu determinanti, sto je detaljnije objasnjeno u dru-
gom poglavlju. U istom poglavlju cemo vidjeti primjenu matrica kroz Kronecker -
Capelliev teorem, matricnu metodu i metodu transformacija. Na kraju drugog poglav-
lja je opisana Gaussova metoda ili metoda eliminacije. Ona je vrlo prakticna i pogodna
za rjesavanje sistema i na racunarima, jer sadrzi najmanji broj operacija i greske su
minimalne.
i
1. Sistem linearnih jednacina
Sistemom linearnih jednacina nazivamo skup od dvije ili vise jednacina s dvije ili
vise nepoznatih velicina.
U opcem slucaju sistem od m jednacina s n nepoznatih mozemo prikazati na sljedeci
nacin
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn = b2,...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · ·+ amnxn = bm,
ili kracen∑
k=1
aikxk = bi (i = 1, 2, . . . ,m),
gdje su aij, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n i bi, i = 1, 2, . . . , n realni brojevi.
Brojevi aij su koeficijenti sistema i stoje uz nepoznate x1, x2, . . . , xn, dok su slobodni
clanovi bi brojevi koji stoje s desne strane jednakosti i uz njih se ne nalazi ni jedna
nepoznata velicina.
Sistem jednacina koji se najcesce pojavljuje je onaj kod kojeg je broj nepoznatih
jednak broju jednacina. To je tzv. kvadratni sistem.
Ukoliko je broj jednacina razlicit od broja nepoznatih (odnosno kad je n 6= m) kazemo
da je sistem pravougaoni.
Ukoliko je |b1|+ |b2|+ · · ·+ |bm| > 0 za sistem kazemo da je nehomogen (bi 6= 0, za
barem jedno i), a ako je b1 = b2 = · · · = bm = 0 sistem je homogen.
Homogeni sistem uvijek ima trivijalno rjesenje (sve nepoznate imaju vrijednost nula).
Medutim, pored trivijalnog rjesenja sistem moze imati i druga, netrivijalna, rjesenja.
Primjer 1.
Sistem jednacina
2x+ 3y − z = 0
x+ y = 0
x+ 2y − z = 0
ima 2 rjesenja i to jedno trivijalno (0, 0, 0) i drugo netrivijalno (−α, α, α), α ∈ R.
1
Za sisteme kazemo da su ekvivalentni ako imaju iste skupove rjesenja.
Primjer 2.
Promotrimo sisteme jednacina:
x+ y = 2 2x− y = 1i
2x+ 3y = 5 x+ 6y = 7.
Oba sistema imaju rjesenje (1, 1), pa su ekvivalentni.
Da bismo dobili ekvivalentne sisteme jednacina koristimo se elementarnim tran-
sformacijama kao sto su: zamjena mjesta dviju jednacina, mnozenje jednacine brojem
razlicitim od nule ili dodavanje prethodno pomnozene jednacine nekoj drugoj jednacini.
1.1. Rjesenje sistema linearnih jednacina
Rjesenje sistema linearnih jednacina s n nepoznatih je svaka uredena n - torka
brojeva koja zadovoljava sve jednacine sistema.
Sistem jednacina moze da
1. ima jedno rjesenje (takve sisteme nazivamo saglasnim)
Primjer 3.
Sistem
4x1 − 3x2 + x3 = 1
x1 + x2 − x3 = −2
2x1 + x2 + x3 = 11
ima jedinstveno rjesenje (x1, x2, x3) = (1, 3, 6).
2. ima beskonacno rjesenja (takve sisteme nazivamo neodredenim)
Primjer 4.
Sistem
x1 + 2x2 + 3x3 = 3
x1 − x2 = 0
2x1 + x2 + 3x3 = 3
ima beskonacno rjesenja, jer svaka uredena trojka oblika (α, α, 1 − α), α ∈ Rzadovoljava sve tri jednacine sistema.
2
3. nema rjesenja (takve sisteme nazivamo kontradiktornim)
Primjer 5.
Sistem
x+ y = 5
2x− y = 4
x+ 3y = 8
nema rjesenje, jer ne postoji uredeni par koji zadovoljava sve tri jednacine sistema.
3
2. Metode rjesavanja sistema linearnih jednacina
2.1. Kramerova metoda
Ovu metodu rjesavanja koristimo samo kod kvadratnih sistema jednacina. U
rjesavanju koristimo determinante, a to su kvadratne sheme brojeva.
Neka je dan sistem
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,...
an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn.
Rjesenje sistema je dano Kramerovim formulama
xi =Di
D(i = 1, 2, . . . , n).
S D oznacavamo determinantu koju cine koeficijenti sistema aij, dok s Di oznacavamo
determinantu koju dobijemo tako sto cemo elemente i-tog stupca determinante D zami-
jeniti sa slobodnim clanovima b1, b2, . . . , bn. Pri rjesavanju ovom metodom razlikujemo
3 slucaja:
1. ako je D 6= 0 onda sistem ima jedinstveno rjesenje i njega dobijemo Kramerovim
formulama,
2. ako je D = 0 i Di 6= 0 za barem jedno i onda je sistem nemoguc, tj. nema
rjesenja,
3. ako je D = 0, Di = 0, i = 1, 2, . . . , n onda sistem ima beskonacno mnogo
rjesenja.
Do Kramerovih formula dolazimo na sljedeci nacin.
Prvo se sve jednacine sistema redom pomnoze s kofaktorima A1i, A2i, . . . , Ani, a zatim
saberu. Dobijamo
x1a11A1i + a21A2i + · · ·+ an1Ani)+
+x2(a12A1i + a22A2i + · · ·+ an2Ani) + · · ·+
+xi(a1iA1i + a2iA2i + · · ·+ aniAni) + · · ·+
+xn(a1nA1i + · · ·+ annAni) = b1A1i + · · ·+ bnAni.
4
Kofaktor ili algebarski komplement elementa aij dobijemo pomocu formule
Aij = (−1)i+jMij.
Mij nazivamo minor elementa aij.
Minor Mij (subdeterminanta elementa aij) je determinanta (n−1). reda koju dobijemo
iz polazne determinante ispustanjem i-tog retka i j-tog stupca u kojem se element aij
nalazi.
Svi izrazi uz nepoznate x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn jednaki su nuli prema sljedecem
svojstvu determinanti.
Teorem 1: Zbir proizvoda bilo kojeg retka (stupca) determinante s kofaktorima nekog
drugog retka (stupca) jednak je nuli.
n∑i=1
aijAik = 0 za j 6= k.
Zbog toga dobijemo
xi(a1iA1i + a2iA2i + · · ·+ aniAni) = b1A1i + b2A2i + · · ·+ b1Ani.
Izraz uz nepoznatu xi je jednak determinanti sistema D zbog sljedece teoreme.
Teorem 2: Vrijednost determinante jednaka je zbiru proizvoda elemenata bilo kojeg
retka (stupca) s odgovarajucim kofaktorima.
n∑i=1
aijAij = D.
Uvrstavanjem u prethodni izraz dobijemo
D · xi = Di.
Odnosno
xi =Di
D, i = 1, 2, . . . , n.
Pa je uredena n - torka(D1
D, D2
D, . . . , Dn
D
)zaista rjesenje danog sistema.
Primjer 6.
Kramerovom metodom rijesiti sistem
5x1 − 2x2 + 3x3 = 3
−3x1 + 4x2 − 11x3 = 3
2x1 − x2 + 8x3 = 7.
5
Prvo odredimo determinante
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣5 −2 3
−3 4 −11
2 −1 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 86,
D1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣5 −2 3
3 4 −11
7 −1 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 172, D2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣5 3 3
−3 3 −11
2 7 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 430, D3 =
∣∣∣∣∣∣∣∣5 −2 3
−3 4 3
2 −1 7
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 86.
Zatim primjenom formula imamo
x1 =D1
D=
172
86= 0, x2 =
D2
D=
430
86= 5, x3 =
D3
D=
86
86= 1.
Dakle, rjesenje sistema je (2, 5, 1).
2.2. Kronecker - Capellieva teorema
Neka je dan sistem od m linearnih jednacina s n nepoznatih
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn = b2,...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · ·+ amnxn = bm.
Uz ovaj sistem su vezane matrica sistema A i prosirena matrica sistema Ap
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
......
am1 am2 · · · amn
, Ap =
a11 a12 · · · a1n | b1
a21 a22 · · · a2n | b2...
...... | ...
am1 am2 · · · amn | b1
.
Elemente matrica oznacavamo s aij, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n, gdje i oznacava
redni broj jednacine, a j redni broj nepoznate.
Kronecker - Capellieva teorema opisuje jedan od mogucih postupaka odredivanja
skupa rjesenja zadanog sistema.
U tu je svrhu najprije potrebno odrediti rang matrice sistema A i rang prosirene matrice
Ap.
6
Teorem 3: Za matricu A se kaze da ima rang r i pise r(A) = r ako su sve njene
determinante reda viseg od r jednake nuli, ali postoji u njoj barem jedna determinanta
reda r koja je razlicita od nule.
Ako se na matrici A izvrse elementarne transformacije:
1. zamijene retci i stupci (matrica transponira),
2. permutiraju dva retka (stupca),
3. svi elementi nekog retka (stupca) pomnoze brojem razlicitim od nule,
4. jednom retku (stupcu) dodaju odgovarajuci elementi nekog drugog retka (stupca)
pomnozeni istim brojem,
5. izostavi redak (stupac) ciji su svi elementi nule,
6. izostavi redak (stupac) koji je linearna kombinacija preostalih redaka (stupaca)
rang matrice A se nece promijeniti.
Ukoliko je rang matrice sistema jednak rangu prosirene matrice, tj. r(A) = r(Ap) =
r sistem ima jedinstveno rjesenje.
U tom slucaju sistem se zamijeni sa sistemom od r jednacina s n nepoznatih. Ostalih
m− r jednacina se izostavi. Rjesenje ovog sistema dobijemo pomocu Kramerovih for-
mula.
Ako je r(Ap) = r, r < m tada od m linearnih jednacina odabiramo njih r, tako da se
preostalih m− r jednacina izrazi pomocu odabranih r jednacina.
Ako je r(Ap) = r, r = n onda ce sistem imati jedinstveno rjesenje ako i samo ako
je matrica sistema regularna, tj kada je determinanta razlicita od nule. Tada sistem
rjesavamo Kramerovim formulama.
Ako je r(A) = r(Ap) i r < n tada iz zadanog sistema odaberemo r linearno nezavisnih
jednacina. Sistem ce sad imati vise nepoznatih nego jednacina i samim tim beskonacno
rjesenja koja ovise o n− r slobodnih parametara xr+1, xr+2, . . . , xn.
a11x1 + · · ·+ a1rxr = b1 − a1r+1xr+1 − · · · − a1nxn
a21x1 + · · ·+ a2rxr = b2 − a2r+1xr+1 − · · · − a2nxn...
ar1x1 + · · ·+ arrxr = br − arr+1xr+1 − · · · − arnxn
7
Primjer 7.
Kronecker - Capellievom metodom rijesiti sistem
x1 + x2 + x3 = 5
x1 − x2 + x3 = 1
x1 + x3 = 3.
Odredimo matricu sistema i prosirenu matricuA =
1 1 1
1 −1 1
1 0 1
, Ap =
1 1 1 | 5
1 −1 1 | 1
1 0 1 | 3
.
Odredimo rang matrica A i Ap.
A =
1 1 1
1 −1 1
1 0 1
∼
1 1 1
1 −1 0
1 1 1
∼
1 1 1
0 −2 −1
0 0 0
⇒ r(A) = 2
Ap =
1 1 1 | 5
1 −1 1 | 1
1 0 1 | 3
∼
1 1 1 | 5
1 −2 0 | −4
0 −1 0 | −4
∼
1 1 1 | 5
0 1 0 | 2
0 −1 0 | −2
∼
1 1 1 | 5
0 1 0 | 2
0 0 0 | 0
⇒ r(Ap) = 2
r(A) = r(Ap) = 2
Imamo da je r = 2, n = 3 tj. r < n pa sistem ima beskonacno mnogo rjesenja.
Osnovne jednacine su
x1 + x2 + x3 = 5
x1 − x2 + x3 = 1.
”Osnovne” nepoznate su x1 i x2, a ”slobodna” nepoznata je x3. Imamo da je
x1 + x2 = 5− x3
x1 − x2 = 1− x3.
Odnosno x2 = 2, x1 = 3− x3.Pa je opci oblik svih rjesenja (3− x3, 2, x3), x3 ∈ R.
8
2.3. Matricna metoda rjesavanja jednacina
Ova metoda se koristi za rjesavanje sistema s jednakim brojem jednacina i nepoznatih
tj. kvadratnih sistema.
Neka je dan sistem
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,...
an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn.
Ovom sistemu mozemo pridruziti matrice: sistema A, nepoznatih X i slobodnih clanova
B.
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
......
an1 an2 · · · ann
X =
x1
x2...
xn
B =
b1
b2...
bn
Pomnozimo li matrice A i X dobijemo
AX =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
......
an1 an2 · · · ann
·x1
x2...
xn
=
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn...
an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn
.
Ako postoji uredena n - torka koja je rjesenje danog sistema onda pisemo A ·X = B.
Da bismo mogli izraziti matricu nepoznatih X potrebno je ovu jednacinu pomnoziti
inverznom matricom A−1. Posto mnozenje matrica nije komutativno, mnozenje
matricne jednacine vrsi se s lijeve strane.
A−1 · A ·X = A−1 ·B
X = A−1B
Ovaj postupak ce imati smisla samo ukoliko je matrica A regularna (detA 6= 0) i u tom
slucaju ce sistem imati jedinstveno rjesenje.
Primjer 8.
Matricnom metodom rijesiti sistem
x1 − x2 + x3 = 5
2x1 + x2 + x3 = 6
x1 + x2 + 2x3 = 4.
9
Neka su dane matrice
A =
1 −1 1
2 1 1
1 1 2
, X =
x1
x2
x3
, B =
5
6
4
.
Posto je rjesenje sistema dano formulom X = A−1B potrebno je prvo odrediti inverznu
matricu koju racunamo pomocu formuleA−1 = 1detA·A∗, gdje jeA∗ adjungirana matrica.
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 1
2 1 1
1 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 5 6= 0
Adjungiranu matricu A∗ dobijemo tako sto cemo u transponiranoj matrici AT
elemente aji zamijeniti s njihovim kofaktorima Aji.
AT =
1 2 1
−1 1 1
1 1 2
A11 = (−1)1+1
∣∣∣∣∣1 1
1 2
∣∣∣∣∣ = 1, A12 = (−1)1+2
∣∣∣∣∣−1 1
1 2
∣∣∣∣∣ = 3, A13 = (−1)1+3
∣∣∣∣∣−1 1
1 1
∣∣∣∣∣ = −2,
A21 = (−1)2+1
∣∣∣∣∣2 1
1 2
∣∣∣∣∣ = −3, A22 = (−1)2+2
∣∣∣∣∣1 1
1 2
∣∣∣∣∣ = 1, A23 = (−1)2+3
∣∣∣∣∣1 2
1 1
∣∣∣∣∣ = 1,
A31 = (−1)3+1
∣∣∣∣∣2 1
1 1
∣∣∣∣∣ = 1, A32 = (−1)3+2
∣∣∣∣∣ 1 1
−1 1
∣∣∣∣∣ = −2, A33 = (−1)3+2
∣∣∣∣∣ 1 2
−1 1
∣∣∣∣∣ = 3.
Imamo
A∗ =
1 3 −2
−3 1 1
1 −2 3
. Pa je A−1 =1
5
1 3 −2
−3 1 1
1 −2 3
.Odavde je
X =1
5
1 3 −2
−3 1 1
1 −2 3
·
5
6
4
=1
5
5 + 18− 8
−15 + 6 + 4
5− 12 + 12
=1
5
15
−5
5
=
3
−1
1
.Rjesenje ovog sistema je (3,−1, 1).
10
2.4. Metoda transformacija
Neka je dan sistem od m jednacina s n nepoznatih
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn = b2,...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · ·+ amnxn = bm.
Ovom sistemu mozemo pridruziti dvije matrice, matricu sistema A i prosirenu matricu
Ap.
Matrica sistema A predstavlja tablicu koeficijenata uz nepoznate.
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
......
am1 am2 · · · amn
Prosirenu matricu sistema Ap dobijemo pridruzivanjem slobodnih clanova, koje cemo
crticama odvojiti od ostalih clanova matrice.
Ap =
a11 a12 · · · a1n | b1
a21 a22 · · · a2n | b2...
...... | ...
am1 am2 · · · amn | b1
Metoda transformacije se sastoji u tome da prosirenu matricu sistema Ap elementarnim
transformacijama svedemo na ekvivalentnu matricu iz koje je jednostavno procitati
rjesenje sistema.
Primjer 9.
Metodom transformacije rijesiti sistem
x+ 2y + 3z = 5
2x− y − z = 1
x+ 3y + 4z = 6.
Napisimo prosirenu matricu sistema.1 2 3 | 5
2 −1 −1 | 1
1 3 4 | 6
11
Cilj nam je da matricu sistema svedemo na najjednostavniji moguci oblik, tj. da u
svakom retku matrice A dobijemo najvise jedan element razlicit od nule.
U prvom koraku cemo prvi redak pomnoziti redom s −2, −1 i dodati drugom i trecem
retku. Dobijamo 1 2 3 | 5
0 −5 −7 | −9
0 1 1 | 1
.Radi lakseg racunanja zamijenit cemo raspored treceg i drugog retka
1 2 3 | 5
0 1 1 | 1
0 −5 −7 | −9
.U sljedecem koraku cemo drugi redak pomnoziti s −2 i dodati prvom retku
1 0 1 | 3
0 1 1 | 1
0 −5 −7 | −9
.Pomnozimo drugi redak sa 5 i dodajmo trecem retku
1 0 1 | 3
0 1 1 | 1
0 0 −2 | −4
.Treci redak podijelimo sa −2
1 0 1 | 3
0 1 1 | 1
0 0 1 | 2
.Pomnozimo treci redak sa −1 i dodajmo ga prvom i drugom retku
1 0 0 | 3
0 1 0 | 1
0 0 1 | 2
.Posto uz matricne koeficijente stoje odgovarajuce nepoznate ovu matricu mozemo
napisati u obliku jednacina
x = 3
y = 1
z = 2.
Pa zakljucujemo da je rjesenje zadanog sistema (3, 1, 2).
12
2.5. Gaussova metoda ili metoda eliminacije
Gaussova metoda rjesavanja sistema linearnih jednacina je veoma prakticna i efi-
kasna jer je pomocu nje moguce rijesiti svaki sistem od m jednacina s n nepoznatih.
Sustina ove metode je u tome da se sistem svede na ekvivalentni trokutasti oblik, tj. da
se u svakoj jednacini sistema pocevsi od prve do posljednje broj nepoznatih postepeno
smanjuje da bi se na kraju dobila jednacina s jednom nepoznatom koju je jednostavno
rijesiti.
Neka je dan sistem od m linearnih jednacina s n nepoznatih
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn = b2,...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · ·+ amnxn = bm,
gdje su:
aij, i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n koeficijenti sistema,
bi, i = 1, 2, . . . ,m slobodni clanovi,
xi, i = 1, 2, . . . , n nepoznate velicine.
Postupak rjesavanja sistema Gaussovom metodom:
Neka je a11 6= 0 (ili bar jedan koeficijent uz nepoznatu x1 je razlicit od nule). Zatim tu
jednacinu podijelimo s a11, pa cemo dobiti
x1 = −a12a11
x2 −a13a11
x3 − · · · −a1na11
xn +b1a11
.
Dobivenu jednakost za x1 uvrstimo u ostale jednacine, dok prvu prepisemo.
Sistem ce sad imati oblik
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
(1)a22x2 + · · ·+
(1)a2nxn =
(1)
b2...
(1)am2x2 + · · ·+
(1)amnxn =
(1)
bm,
pritom je
(1)aik = aik −
ai1a11
a1k,(1)
bi = bi −ai1a11
b1, i = 2, 3, . . . ,m k = 2, 3, . . . , n.
Nakon eliminacije nepoznate x1 vrsimo eliminaciju nepoznate x2 i uvrstavamo u trecu,
cetvrtu,..., m-tu jednacinu.
13
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1
(1)a22x2 +
(1)a23x3 + · · ·+
(1)a2nxn =
(1)
b2
(2)a33x3 + · · ·+
(2)a3nxn =
(2)
b3...
(2)am3x3 + · · ·+
(2)amnxn =
(2)
bm,
pritom je
(2)aik =
(1)aik −
(1)ai2(1)a22
,(2)
bi =(1)
b1 −(1)ai2(1)a22
b2, i = 3, 4, . . . ,m k = 3, 4, . . . , n.
Nakon sto smo eliminisali i nepoznatu x2 nastavljamo s eliminacijom nepoznate x3.
Dobijemo sistem oblika
a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 + · · ·+ a1nxn = b1
(1)a22x2 +
(1)a23x3 +
(1)a24x4 + · · ·+
(1)a2nxn =
(1)
b2
(2)a33x3 +
(2)a34x4 + · · ·+
(2)a3nxn =
(2)
b3
(3)a44x4 + · · ·+
(3)a4nxn =
(3)
b4...
(3)am4x4 + · · ·+
(3)amnxn =
(3)
bm.
Nastavljajuci navedeni postupak dobit cemo jedan od dva moguca slucaja:
1. Ako slobodni clan nije nula, a koeficijenti u nekoj jednacini iscezavaju onda je
dobijeni, a time i polazni sistem kontradiktoran (nemoguc).
2. Poslije n− 1 koraka eliminacije dobije se sistem
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1kxk + · · ·+ a1nxn = b1
(1)a22x2 +
(1)a23x3 + · · ·+
(1)a2kxk + · · ·+
(1)a2nxn =
(1)
b2
(2)a33x3 + · · ·+
(2)a3kxk + · · ·+
(2)a3nxn =
(2)
b3...
(k−1)akk xk + · · ·+
(k−1)akn xn =
(k−1)
bk...
(n−1)amn xn =
(n−1)
bm .
14
Da bismo dobili trokutasti sistem mora biti ispunjen sljedeci uvjet
a11(1)a22
(2)a33 . . .
(n−1)ann 6= 0.
Gornji indeksi (1), (2), . . . , (n − 1) oznacavaju korak eliminacije u kojem su ti koefici-
jenti dobijeni.
Sistem rjesavamo retrogradno, odnosno iduci odozdo prema gore.
Ako je broj nepoznatih jednak broju jednacina (n = m) sistem ima jedinstveno
rjesenje.
Ako je broj nepoznatih veci od broja jednacina (n > m) sistem ima beskonacno mnogo
rjesenja.
Primjer 10.
Gaussovom metodom rijesiti sistem od 4 linearne jednacine s 4 nepoznate
2x1 + 4x2 + x3 − x4 = 14
4x1 − x2 + 3x3 + x4 = 10
6x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 7
2x1 − 2x2 + 4x3 − 3x4 = 13.
Prvo iz prve jednacine sistema eliminiramo nepoznatu x1
x1 =−4x2 − x3 + x4 + 14
2
i tu vrijednost uvrstimo u preostale tri jednacine sistema.
2x1 + 4x2 + x3 − x4 = 14
44x2 − x3 + x4 + 14
2− x2 + 3x3 + x4 = 10
64x2 − x3 + x4 + 14
2+ 3x2 − x3 + 2x4 = 7
24x2 − x3 + x4 + 14
2− 2x2 + 4x3 − 3x4 = 13
Nakon sredivanja dobijamo sistem
2x1 + 4x2 + x3 − x4 = 14
−9x2 + x3 + 3x4 = −18
−9x2 − 4x3 + 5x4 = −35
−6x2 + 3x3 − 2x4 = −1.
15
Sada iz druge jednacine izrazimo nepoznatu x2 i uvrstimo je u trecu i cetvrtu jednacinu.
x2 =x3 + 3x4 + 18
9
2x1 + 4x2 + x3 − x4 = 14
−9x2 + x3 + 3x4 = −18
−9x3 + 3x4 + 18
9− 4x3 + 5x4 = −35
−6x3 + 3x4 + 18
9+ 3x3 − 2x4 = −1
Dobijamo
2x1 + 4x2 + x3 − x4 = 14
−9x2 + x3 + 3x4 = −18
−5x3 + 2x4 = −17
7x3 − 12x4 = 33.
Iz trece jednacine izrazimo x3 i uvrstimo je u cetvrtu jednacinu.
x3 =2x4 + 17
5
2x1 + 4x2 + x3 − x4 = 14
−9x2 + x3 + 3x4 = −18
−5x3 + 2x4 = −17
72x4 + 17
5− 12x4 = 33
Imamo
2x1 + 4x2 + x3 − x4 = 14
−9x2 + x3 + 3x4 = −18
−5x3 + 2x4 = −17
x4 = −1.
Sistem rjesavamo iduci odozdo prema gore.
Rjesenje sistema je (1, 2, 3,−1).
16
Primjer 11.
Gaussovom metodom rijesiti sistem od 4 jednacine s 5 nepoznatih
x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 3
−2x1 + x3 + x4 − 5x5 = −2
x1 + 2x2 − x3 + 6x4 + 5x5 = 3
−x1 − 2x2 + 5x3 − 10x4 − 9x5 = −3.
Iz prve jednacine izrazimo nepoznatu x1 i uvrstimo je u preostale tri jednacine sistema.
x1 = 3− 2x2 − 3x3 − 2x4 − x5
Sada je
x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 3
−2(3− 2x2 − 3x3 − 2x4 − x5) + x3 + x4 − 5x5 = −2
3− 2x2 − 3x3 − 2x4 − x5 + 2x2 − x3 + 6x4 + 5x5 = 3
−(3− 2x2 − 3x3 − 2x4 − x5)− 2x2 + 5x3 − 10x4 − 9x5 = −3.
Nakon sredivanja dobijemo
x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 3
4x2 + 7x3 + 5x4 − 3x5 = 4
−4x3 + 4x4 + 4x5 = 0
8x3 − 8x4 − 8x5 = 0.
Ako trecu jednacinu podijelimo s −4, a cetvrtu s 8 dobit cemo sistem
x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 3
4x2 + 7x3 + 5x4 − 3x5 = 4
x3 − x4 − x5 = 0
x3 − x4 − x5 = 0.
Posto su treca i cetvrta jednacina ekvivalentne jednu jednacinu izostavimo.
x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 3
4x2 + 7x3 + 5x4 − 3x5 = 4
x3 − x4 − x5 = 0
17
Radi jednostavnijeg racunanja nastavit cemo s eliminacijom nepoznate x3.
x3 = x4 + x5
Imamo
x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 3
x3 − x4 − x5 = 0
4x2 + 7(x4 + x5) + 5x4 − 3x5 = 4.
Sad dobijamo
x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 3
x3 − x4 − x5 = 0
4x2 + 12x4 + 4x5 = 4.
Iz trece jednacine sistema dobijemo x2 = 1− 3x4 − x5.Sistem cemo rjesavati pomocu nepoznatih x4 i x5. Neka je x5 = b, a x4 = a.
Sada imamo
x2 = 1− 3a− b,x3 = a+ b i
x1 = 1 + a− 2b.
Uredena petorka (1+a−2b, 1−3a− b, a+ b, a, b), a, b ∈ R je rjesenje zadanog sistema.
18
Sazetak
Sistem jednacina je sastavljen od dvije ili vise jednacina s dvije ili vise nepoznatih
velicina.
Sisteme jednacina mozemo nazivati kvadratnim ili pravougaonim u zavisnosti od od-
nosa broja jednacina i broja nepoznatih velicina.
Ukoliko sistem ima trivijalno rjesenje u kojem sve nepoznate imaju vrijednost nula,
takav sistem nazivamo homogenim.
Sistem jednacina moze da ima jedno rjesenje, beskonacno mnogo rjesenja ili da nema
rjesenje.
Pri rjesavanju sistema jednacina koristimo se raznim metodama.
Kramerova metoda se temelji na dobijanju rjesenja pomocu Kramerovih formula.
U Kronecker - Capellievoj teoremi koristimo se rangom matrice i u zavisnosti od
njegove vrijednosti do rjesenja dolazimo na razlicite nacine.
Matricna metoda se temelji na formiranju matrice sistema A, matrice nepoznatih
velicina X i matrice slobodnih clanova B. Sistem promatramo u obliku matrica i ma-
tricu nepoznatih velicina dobijemo koristenjem operacija sa matricama.
Metoda transformacija se sastoji u tome da prosirenu matricu sistema Ap elementar-
nim transformacijma svedemo na ekvivalentnu matricu iz koje je jednostavno procitati
rjesenje.
Sustina Gaussove metode je da se sistem svede na ekvivalentni trokutasti oblik, tj.
da se broj nepozntih postepeno smanjuje da bi se na kraju dobila jednacina s jednom
nepoznatom.
19
Literatura
[1] Mehmed Orucevic, Vilma Orucevic: Elementi Algebre, DP Graficar Tuzla
(1991), 205 – 230.
[2] Nevenka Adzic: Matematika 1 , za studente Fakulteta tehnickih nauka, Novi
Sad (2011), 42 – 64.
[3] Branimir Dakic, Neven Elezovic: Matematika 3, dodatak za 3. razred
prirododslovno - matematicke gimnazije, Element (2009), 12 – 15.
21