1b Sustavi Linearnih Jednadzbi

7/25/2019 1b Sustavi Linearnih Jednadzbi

1/27

Sveuilite u Zagrebu

Prirodoslovno matematiki fakultet

Matematiki odsjek

Seminarski rad iz kolegija:

Metodika nastave matematike 1

Sustavi linearnih jednadbi

Studenti: Sanja Lovri Milan !ikoli "anja Sunek

Profesori#e: do#$dr$s#$ Mea %ombardelli

&rof$ dr$ s#$ Sanja 'aroane#

Zagreb studeni ()1*$


2/27

Sadraj

1.Uvod 3

2.Sustavi dviju linearnih jednadbi s dvije nepoznanice 4

2.1. Metoda supstitucije 5

2.2. Metoda suprotnih koefcijenata 6

2.3. Metoda komparacije 7

2.4. Grafka metoda 7

2.5 Rjeiost sustaa ! 2.6. Matrina metoda 12

3.Sustavi triju linearnih jednadbi s tri nepoznanice 14

3.1. "rameroa metoda 14

3.2. Gauss#$ordanoa metoda 16

3.3. Gaussoa metoda 1!

4.Zakljuak 21

5.iteratura 22

2


3/27

1. Uvod

'e u ni+im razredima osnovne kole radimo neke &rimjere jednad+bi s jednom

ne&oznani#om$ "ada ueni#i nisu jo svjesni da su to jednostavne jednad+be s jednom

ne&oznani#om$ "o su zada#i oblika:

5+8

gdje na &raznu #rtu u&isuju odgovarajui broj$

!akon razredne nastave dolazi &redmetna nastava gdje su ueni#i u estom razredu nauili

rjeavati ,klasine, jednad+be s jednom ne&oznani#om$

!a&okon dje#a u sedmom razredu osnovne kole &rvi se &ut susreu sa sustavom jednad+bi

sa dvije ne&oznani#e te ue osnovne naine rjeavanja sustava jednad+bi$

-asnije u srednjokolskom obrazovanju &roirujemo i &rimjenjujemo steeno znanje u

razliitim &odrujima matematike$ Prirodoslovne gimnazije ue i neke druge metode

rjeavanja sustava te &robleme koji se mogu &ojaviti u tim metodama$

. ovom seminarskom radu e biti objanjeno gradivo o sustavima jednad+bi$ "ako/er e biti

izreena oekivanja koje &ro&isuje !a#ionalni okvirni kurikulum za sustave jednad+bi te to

bi dijete u svome osnovnokolskom i srednjokolskom obrazovanju trebalo usvojiti$

3


4/27

.eni#i u 0$ razredu osnovne kole &oinju nadogra/ivati svoje znanje o linearnim

jednad+bama uei o linearnim jednad+bama s dvjema ne&oznani#ama i metodama za

rjeavanje ti jednad+bi$ !akon to su savladali linearne jednad+be s jednom ne&oznani#om u

2$ razredu od uenika se sada oekuje da naue rjeavati sustave dviju linearni jednad+bi s

dvjema ne&oznani#ama te metode za njiovo rjeavanje$ . !a#ionalnom okvirnom

kurikulumu sustavi dviju linearni jednad+bi s dvije ne&oznani#e javljaju se u treem #iklusu$

. treem #iklusu &od &odnaslovom 3Matematiki procesi4 kurikulum ka+e: 3Uenici e

postavljati matematici svojstvena pitanja (Postoji li? Ako postoji, koliko? Kako emo ih

pronai? Zbog ega? i slina) te stvarati i istraivati na njima !asnovane matematike

pretpostavke4$ 5vaj dio se odnosi na rjeivost sustava odnosno &ostoje li rjeenja i koliko i

je$ . &odnaslovu 3Matematiki koncepti4 kurikulum ka+e: 3Uenici e rije"iti linearne

je#na#be i je#nostavne s$stave #vij$ linearnih je#na#bi s #vije nepo!nanice te

$vr"tavanjem provjeriti tonost #obivenoga rje"enja %4 te se ovo odnosi na rjeavanje sustava

dviju linearni jednad+bi s dvije ne&oznani#e$

2. Sustavi dviju linearnih jednadbi s dvije nepoznanice

. osnovnoj koli u sedmom razredu &rvi se &ut susreemo sa sustavima linearni jednad+binjiovom defini#ijom te sa nainima njiovog rjeavanja$ Sada emo definirati to je to

linearna jednad+ba sa dvije ne&oznani#e te navesti metode koje ueni#i u sedmom razredu

osnovne kole koriste za rjeavanje sustava$

.eni#i sedmi razreda u ranijim godinama svog kolovanja nauili su defini#iju te naine

rjeavanja linearni jednad+bi sa jednom ne&oznani#om$ Sada definiramo linearnu jednad+bu

sa dvije ne&oznani#e:

Linearna jednadba sa dvije nepoznaniceje svaka jednad+ba koja se mo+e svesti na oblik

ax+by=c gdje su a , b i c zadani brojevi a 0 b 0 a x i y

ne&oznani#e$ %rojeve a , b i c nazivamo koefi#ijentima$ 5blik ax +by=c ,

nazivamo standardnim oblikom linearne jednad+be s dvije ne&oznani#e$ Rjeenje linearne

jednad+be s dvije ne&oznani#e jest svaki ure/eni &ar brojeva (x , y ) koji uvrten u

jednad+bu daje tonu jednakost$

4


5/27

6ko u zadatku istovremeno &romatramo dvije linearne jednad+be sa dvije ne&oznani#e onda

govorimo o sustavu dviju linearnih jednadbi s dvije nepoznanice. 7jeenje sustava dviju

linearni jednad+bi s dvije ne&oznani#e je svaki ure/eni &ar brojeva koji je ujedno rjeenje i

jedne i druge jednad+be sustava$

Metode rjeavanja sustava dviju linearni jednad+bi sa dvije ne&oznani#e 8koje se obra/uju u

sedmom razredu osnovne kole9 : 19 metoda su&stitu#ije

(9 metoda su&rotni koefi#ijenata

*9 metoda kom&ara#ije

9 grafika metoda$

&%'% Meto#a s$pstit$cije

Metoda su&stitu#ije nain je rjeavanja sustava u kojem jednu ne&oznani#u izrazimo &omou

druge ne&oznani#e te dobiveni izraz uvrstimo 8su&stituiramo9 u drugu jednad+bu da

dobijemo linearnu jednad+bu sa jednom ne&oznani#om$

Primjer% Metodom su&stitu#ije rijeimo sustav jednad+bi:

{ x4 y=43x7y=7 %

Sada iz &rve jednad+be izrazimo x $

{x=4 y+4

3x7y=7

;zraz s desne strane jednakosti od x uvstimo u donju jednad+bu$

3 ( 4y+4)7y=7

7ijeimo dobivenu jednad+bu s jednom ne&oznani#om i dobivamo:

y=1.

5


6/27

.vrtavanjem y u neku od &oetni jednad+bi dobivamo ne&oznani#u x :

3x7 (1 )=7

x=0.

7jeenje sustava za&isujemo kao ure/eni &ar: (x , y )=( 0,1 ) .

&%&% Meto#a s$protnih koeicijenata

Metoda su&rotni koefi#ijenata zasniva se na injeni#i da je zbroj su&rotni brojeva jednak )$


7/27

7jeavanjem linearne jednad+be s jednom ne&oznani#om dobivamo y $


8/27

.vrtavanjem y u bilo koju od &oetni jednad+bi dobivamo ne&oznani#u x $

5x=3 (3)+9

x=0

7jeenje jednad+be je ure/eni &ar: (x , y )=(0,3) $

Provjerimo rjeenje uvrtavajui dobiveni ure/eni &ar u &oetne jednad+be:

5 03 (3 )=0+9=9,

3 0+ 4 (3)=012=12.

&%*% +raika meto#a

!akon to su ueni#i nauili #rtati graf linearne funk#ije i jednad+bu &rav#a objasnimo im da

su koordinate sje#ita &rava#a koji su odre/eni tim jednad+bama za&ravo rjeenje sustava

dviju linearni jednad+bi s dvije ne&oznani#e $

5vo je i &ravo vrijeme da ueni#ima &oka+emo kako sustav dviju jednad+bi s dvije

ne&oznani#e ne mora uvijek imati rjeenje te da rjeenje ne mora uvijek biti jedinstveno$

6ko imamo sustav jednad+bi oblika:

ax +by=ec x +dy =f ,

&ri emu istovremeno ne mo+e biti a=0 i b=0 te c=0 i d=0 $

a

c

b

d sustav ima jedno rjeenje

a

c=

b

d

e

f sustav nema rjeenja

%


9/27

a

c=

b

d=

e

f sustav ima beskonano mnogo rjeenja$

6ko je c ili d jednako 0 tada jednad+bama zamijenimo mjesta$

. sluaju da je a=0 i d=0 ili b=0 i c=0 sustav ima jedinstveno rjeenje$ .

sluaju da je a=0 i c=0 ili b=0 i d=0 imamo sustav dviju linearni jednad+bi

sa jednom ne&oznani#om$ "akav sustav ima jedinstveno rjeenje ako jedna jednad+ba mo+e

svesti na drugu jednad+bu$ ;nae sustav nema rjeenja$

Primjer% =rafikom metodom rijeimo sustav jednad+bi:

{ 4x+2y=22x+3y=5 .

{ 4x+2y=2

p1 y=2x+1

2x+3y=5

p2 y=2

3 x

5

3

Presjek ta dva &rav#a je toka A s koordinatama (2,3) $ "e koordinate su ujedno i

rjeenje naeg sustava$

!


10/27

&%% -je"ivost s$stava

7anije smo objasnili kada sustav dviju linearni jednad+bi s dvije ne&oznani#e ima

jedinstveno rjeenje kada i ima beskonano mnogo te kada sustav nema rjeenja$

Primjeri za sustave koji imaju jedinstveno rjeenje su svi &rijanji zada#i$

Primjer% Metodom su&rotni koefi#ijenata rijeimo sustav jednad+bi:

{2x3y=34x6y=3 .

7jeenje:

{2x3y=3 / (2 ) 4x+6y =64x6y=3Sada jednad+be zbrojimo &a dobivamo:

0=3

$

5ito sustav nema rjeenja jer 0 3 $ Pogledajmo grafiko rjeenje:

{ 2x3y=3 y=2

3x1

4x6y =3

y =2

3x

1

2.

1&


11/27

;z grafikog rjeenja se vidi da su ta dva &rav#a &aralelna$ -ako se ta dva &rav#a ne sijeku

sustav nema rjeenja$

Primjer% Metodom su&stitu#ije rijeimo sustav jednad+bi:

y+3x=53y+9x=15

.

7jeenje:

y +3x=5

y =3x +5

3y +9x=15

.vrstimo &rvi izraz u drugu jednad+bu$

3 (3x +5 )+9x=15

9x +15+ 9x=15

0=0


12/27

y=3 t+5 &a rjeenje mo+emo za&isati &arametarski (x , y )=(t ,3 t+5 ) , tR $

Pogledajmo grafiko rjeenje

y+3x=5

y=3x+5

3y+9x=15/: 3

y=3x+5

'idimo da smo dobili dva identina &rav#a &a su koordinate svi toaka tog &rav#a rjeenja

naeg sustava$

Sada mo+emo rijeiti jedan sustav u ovisnosti o &arametru s dosadanjim znanjem$

Primjer% Uovisnosti o &arametu a metodom su&rotni koefi#ijenata rijeimo sustav:

{4x +3y=122x +ay=7 .

7jeenje:

{ 4x+3y=124x2 ay=14


13/27

y (32 a )=2 za a

3

2 dobivamoy=

232 a $

.vrstimo u neku od &oetni jednad+bi i dobijemo x $

x=3(74 a)

64 a 7jeenje:

(x , y )=( 3 (7 4 a )64 a , 232a ) , aR {32 } $

Pogledajmo to imamo za a=3

2 :

4x+3y=12

2x+3

2y=7


14/27

X=A1 B

[

x1

x2

]=

1

detA

[

a22

a12

a21

a11

]

[

b1

b2

]$

Primjer% 5dredite ne&oznatu matri#u > iz jednad+be [2 31 4]X=[ 53] $

7jeenje:

Stavimo da je A=[2 31 4] B=[ 53] $ Znamo da vrijedi X=A1 B $


15/27

3. Sustavi triju linearnih jednadbi s tri nepoznanice

Linearna jednadba s tri nepoznaniceje svaka jednad+ba oblika ax+by+cz=d gdje su

a , b , c i d zadani brojevi$ %roj d zove se slobodni lan a a , b i c su

koe?#ijenti jednad+be uz uvjet da istodobno a b i c ne smiju biti 0 $ 7jeenje

jednad+be je svaka ure/ena trojka brojeva ije uvrtavanje u jednad+bu na mjesto

ne&oznani#a x y i z daje tonu jednakost$

Sustav triju linearnih jednadbi s tri ne&oznani#e je sku& tri linearne jednad+be s istim

ne&oznani#ama za koje tra+imo zajedniko rjeenje$ 7jeenje sustava je svaka ure/ena trojka

brojeva koja zadovoljava sve jednad+be sustava$ Sustavi kod koji su svi slobodni lanovi

jednaki nuli zovu se homoenisustavi a ostali se zovu nehomoeni sustavi$


16/27

sustav triju jednad+bi s tri ne&oznani#e zadan u o&em obliku$ 5znaimo s < determinantu

matri#e ovog sustava: D=

|a

1 b

1 c

1

a2 b2 c2a

3 b

3 c

3| a s Dx Dy Dz determinantu matri#e

koja se dobije tako da se koefi#ijenti uz ne&oznani#u zamijene koefi#ijentima desne strane

sustava:

Dx=|

d1

b1

c1

d2

b2

c2

d3

b3

c3

| Dy=|a

1 d

1 c

1

a2

d2

c2

a3

d3

c3

| Dz=|a

1 b

1 d

1

a2

b2

d2

a3

b3

d3

| $ .z &ret&ostavku da jedeterminanta sustava D razliita od nule &ostoji samo jedno rjeenje sustava:

x=Dx

D y=

Dy

D z=

Dz

D $ -ada rjeavamo sustave na ovaj nain ka+emo da

&rimjenjujemo "ramerovo pravilo$

-od rjeavanja sustava &omou @ramerova &ravila mogu se javiti sljedea tri sluaja:

1$ 6ko je matri#a sustava regularna8 D 0 9 tada sustav ima jedinstveno rjeenje$

($ 6ko je matri#a sustava singularna8 D=0 9 i ako je Dx=D y=Dz=0 tada sustav

ima beskonano mnogo rjeenja$

*$ 6ko je matri#a sustava singularna8 D=0 9 i ako je barem jedan od Dx , Dy , Dz

razliit od nule tada sustav nema rjeenja$

. sljedeem &rimjeru emo &rimijeniti @ramerovo &ravilo na sustav triju jednad+bi s tri

ne&oznani#e$

Primjer% @ramerovom metodom rijeimo sustav jednad+bi:

x+ 2y +3z=5

2xyz=1

x+ 3y + 4z=6 $

16


17/27

7jeenje:

D=|1 2 3

2 1 11 3 4

|=1 |1 13 4|2|2 11 4|+3 |2 11 3|=1 (1 )2 9+3 7=2 $Poto je determinanta D razliita od nule &ostoji jedinstveno rjeenje sustava$ "rebamo

jo izraunati &reostale tri determinante Dx Dy Dz $

Dx=|5 2 3

1 1 16 3 4

|=2 Dy=|1 5 3

2 1 11 6 4

|=2 Dz=|1 2 5

2 1 11 3 6

|=4 $

x=Dx

D=1 y=

Dy

D= A1 z=

Dz

D=2 $

7jeenje je ure/ena trojka 81A1(9$

Provjera: uvrstit emo ure/enu trojku u &rvu jednad+bu sustava x+ 2y +3z=5

1+2 (1 )+ 3 2=5 $

%&% +a$ss01or#anova meto#a

5&i oblik linearnog sustava m jednad+bi sa n ne&oznani#a m ,nN je

{a11x1+ a12x2++a1nxn=b1a

21x

1+ a

22x

2++ a

2 nxn=b2

am 1x1+am2x2++amnxn=bm

. 819

17


18/27

Skalari aij i=1,2, , m j=1,2, , n zovu se koefi#ijenti sustava a

b1

, b2

, , bm slobodni lanovi$ 7jeenje sustava 819 je svaka ure/ena nAtorka 8

1

, 2

, , n 9 za koju su&stitu#ija x1=1 , x2=2 , , xn=n zadovoljava sve jednad+be$

Sustav mo+e imati jedno rjeenje mo+e biti bez ijednog rjeenja ali mo+e imati i beskonano

mnogo rjeenja$

Svakom sustavu &ridru+ene su dvije matri#e$ "abli#u koefi#ijenata uz ne&oznani#e nazivamo

matricom sustava:

a11 a12 a1 na21 a22 a2 n am 1 am 2

A=[amn ]

Pridru+imo li joj i koefi#ijente s desne strane jednad+bi dobit emoproirenu matricu

sustava:

a

11 a

12 a

1 n b1a21 a22 a2 n b2 am1 am 2

a

mn

Ap=[bn ]

5va tabli#a &redstavlja jednostavniji za&is #ijeloga sustava$ Svaki redak tabli#e &redstavlja

jednu jednad+bu sustava$ . svakom stuu tabli#e nalaze se koefi#ijenti uz istu ne&oznani#u$

"ako &ri rjeavanju sustava ne moramo za&isivati ne&otrebne &odatke &a je &ostu&ak

rjeavanja &regledniji i br+i$

5&iimoGauss-Jordanovu metodu za rjeavanje ovog sustava$

5na se sastoji u tome da se sustav 819 elementarnim transforma#ijama svede na njemu

1%


19/27

ekvivalentan sustav iz kojega emo moi odrediti njegova rjeenja$ Pri svo/enju sustava na

ekvivalentan dozvoljeno je koristiti sljedee elementarne transformacije:

19 zamjena &oretka dviju jednad+bi u sustavu(9 mno+enje jedne jednad+be brojem razliitim od nule

*9 dodavanje nekoj jednad+bi neke druge jednad+be &omno+ene brojem razliitim od nule$

Primjer%=aussABordanovom metodom rijeimo sustav

{x +2y+3z=52xyz=1

x +3y +4z=6. 7jeenje:

Proirena matri#a sustava je:

[1 2 3 52 1 1 11 3 4 6] . "ransformirajmo sad sustav &rimjenjujui do&utene transforma#ije$

. &rvom koraku +elimo &onititi koefi#ijente uz ne&oznani#u x u drugoj i treoj

jednad+bi$ "o emo uiniti tako da &rvu jednad+bu &omno+imo sa 2 i dodamo drugoj$

"ime emo dobiti ekvivalentan sustav:

x+2y+3z=55y7z=9x+3y+4z=6

[1 2 3 50 5 7 91 3 4 6]

Sad emo &rvu jednad+bu &omno+iti s 1 i dodati treoj:

x+2y+3z=55y7z=9

y+z=1 [

1 2 3 50 5 7 90 1 1 1]

Sada &romatramo &osljednje dvije jednad+be$ "rea ima jednostavnije koefi#ijente &a emo

zamijeniti &oredak ovi jednad+bi:

1!


20/27

x+2y+3z=5y+z=1

5y7z=9 [

1 2 3 50 1 1 10 5 7 9] . sljedeem koraku +elimo &onititi

sve koefi#ijente uz ne&oznani#u y osim onog u drugoj jednad+bi$


21/27

[1 2 3 52 1 1 11 3 4 6] C [

1 2 3 50 5 7 90 1 1 1] C [

1 2 3 50 1 1 10 5 7 9] C

[1 0 1 30 1 1 10 0 2 4] C [

1 0 1 30 1 1 10 0 1 2] C [

1 0 0 10 1 0 10 0 1 2] $

Sada emo objasniti =aussovu metodu rjeavanja linearni jednad+bi koja je slina =aussA

Bordanovoj samo je uku&an broj o&era#ija koje trebamo nainiti da bismo rijeili sustav neto

manji$

21


22/27

%% +a$ssova meto#a


23/27

A p E

[1 2 5 42 2 4 20 1 3 7] : 2 C [

1 2 5 40 1 1 10 1 3 7]

(1)

C

[1 2 5 40 3 3 30 1 3 7]

:(3)

C C [

1 2 5 40 1 1 10 1 3 7]

(1)

C

[

1 2 5 40 1 1 1

0 0 4 8

] :(4 ) C

[

1 2 5 40 1 1 1

0 0 1 2

]$

!a&iimo sada sustav koji je ekvivalentan zadanom a koji odgovara &osljednjoj matri#i:

x+2y+5z=4y+z=1

z=2

6ko

z=2

uvrstimo u &ret&osljednju jednad+bu dobijemo da je

y=1

te &omou

ovi rjeenja iz &rve jednad+be dobijemo da je x=4 $

Primjer% . ovisnosti o realnom &arametru a =aussovom metodom rijeimo sustav:

x +2y +az= 42x +y +2z=5

3x+2y +3z=12.

7jeenje:

23


24/27

A p E [1 2 a 42 1 2 53 2 3 12] C [

1 2 a 40 3 22 a 30 4 33 a 0] C

[1 2 a 40 1 a1 30 4 33 a 0] C

[1 2 a 40 1 a1 30 0 a1 12] C C [

1 0 a+2 100 1 a1 30 0 a1 12] C [

1 0 1 20 1 0 90 0 a1 12] $

7azlikujemo sluajeve:

a9 Za a=1 trea jednad+ba glasi 0=12 &a u tom sluaju sustav nema rjeenja$

b9 Za a 1 &ostoji jedinstveno rjeenje$ Fitamo redom

z= 12

a1 y=9 x=2z=2

12

1a $

24


25/27

#.$a!ljua!

.eni#i se u 2$ razredu osnovne kole &oinju u&oznavati sa sustavima linearni jednad+bi$

!aj&rije su to jednostavne linearne jednad+be s jednom ne&oznani#om koje se esto koriste

za rjeavanje &roblemski zadataka$ -ako bi ueni#ima ovaj dio gradiva uinili zanimljivim

&otrebno je uvesti zadatke iz svakodnevnog +ivota$ !a taj nain bi ueni#ima &ribli+ili

gradivo te i &otaknuli na logiko razmiljanje i zakljuivanje$ . 0$ razredu osnovne kole

ueni#i &roiruju svoje znanje o linearnim jednad+bama uei o sustavima dviju linearni

jednad+bi s dvije ne&oznani#e$ . #jelini sa sustavima dviju jednad+bi s dvije ne&oznani#e u

0$ razredu osnovne kole ue se sljedee metode: metoda su&rotni koefi#ijenata metoda

su&stitu#ije metoda kom&ara#ije$ Postoji jo jedna metoda koju smo s&omenuli i objasnili u

ovom radu a nije dio #jeline o sustavima jednad+bi to je grafika metoda$ 'a+nost&oznavanja svi ovi metoda za uenika je da uenik razvije vjetine za rjeavanje razliiti

zadataka na razliite naine te da je s&osoban &rimjenjivati to matematiko znanje &ri

rjeavanju &roblema iz svakodnevnog +ivota$ . *$ razredu srednje kole dolazi #jelina o

sustavima triju linearni jednad+bi s tri ne&oznani#e$ 5vdje se ue =aussABordanova i

@ramerova metoda$

25


26/27

26


27/27

%.Literatura

1$ %ani S$D Gurkovi Z$D =aleev '$D =lasnovi =ra#in

Documents

1b Sustavi Linearnih Jednadzbi