ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ

СОФИЯ

ПИСМЕН КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА

9 ЮЛИ 2005 Г.

ТЕМА 1 Задача 1. Да се решат уравненията:

а) 1322 =−−+ xx

б) 1)1(log)1(log2 2

33 −=−−− xx

Задача 2. Окръжност (k) e описана около правоъгълния триъгълник ABC (∠ACB=90°, AC<BC). Симетралата на АВ пресича катета ВС в точка Е, продължението на катета АС

в точка F, и окръжността (k) в точка D, D е между Е и F.

a) Да се намери лицето на кръга, ограничен от окръжността (k) и cos∠BAC, ако

ОЕ=а, EF=b, където О е центъра на окръжността (k).

б) Да се изчисли радиусът R на окръжността (k), ако FD=1 и ∠AFO=α е решение на

4

1sincos2 =− αα . Намерете лицето на частта от ∆AFO, лежаща вън от кръга.

Задача 3. Дадена е системата: 01234

0222

22

=+++−−=+−−

aayxyxaxyx

, където а е реален

параметър.

а) Решете системата за а=3.

б) За кои стойности на параметъра а системата няма решение?

в) Ако ),( 11 yx , ),( 22 yx , ),( 33 yx , ),( 44 yx са решенията на системата при а≤0, изразете

като функция на параметъра а израза 2

4

2

3

2

2

2

1)( xxxxaf +++= и намерете най-малката

му стойност.

Задача 4. Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDM с връх М, за която

основният ръб е равен на а и ъгълът между стена и основата е равен на 2α.

а) През точките A и C е прекарана равнина β, успоредна на BM. Да се намери лицето на

сечението на пирамидата с равнина β.

б) Да се намери отношението r

R като функция на α , където R е радиусът на описаната

около пирамидата сфера, а r е радиусът на вписаната в пирамидата сфера. Намерете най

малката дтойност на това отношение.