Upload
stoyan-bordjukov
View
222
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Â
Citation preview
ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ
СОФИЯ
ПИСМЕН КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА
9 ЮЛИ 2005 Г.
ТЕМА 1 Задача 1. Да се решат уравненията:
а) 1322 =−−+ xx
б) 1)1(log)1(log2 2
33 −=−−− xx
Задача 2. Окръжност (k) e описана около правоъгълния триъгълник ABC (∠ACB=90°, AC<BC). Симетралата на АВ пресича катета ВС в точка Е, продължението на катета АС
в точка F, и окръжността (k) в точка D, D е между Е и F.
a) Да се намери лицето на кръга, ограничен от окръжността (k) и cos∠BAC, ако
ОЕ=а, EF=b, където О е центъра на окръжността (k).
б) Да се изчисли радиусът R на окръжността (k), ако FD=1 и ∠AFO=α е решение на
4
1sincos2 =− αα . Намерете лицето на частта от ∆AFO, лежаща вън от кръга.
Задача 3. Дадена е системата: 01234
0222
22
=+++−−=+−−
aayxyxaxyx
, където а е реален
параметър.
а) Решете системата за а=3.
б) За кои стойности на параметъра а системата няма решение?
в) Ако ),( 11 yx , ),( 22 yx , ),( 33 yx , ),( 44 yx са решенията на системата при а≤0, изразете
като функция на параметъра а израза 2
4
2
3
2
2
2
1)( xxxxaf +++= и намерете най-малката
му стойност.
Задача 4. Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDM с връх М, за която
основният ръб е равен на а и ъгълът между стена и основата е равен на 2α.
а) През точките A и C е прекарана равнина β, успоредна на BM. Да се намери лицето на
сечението на пирамидата с равнина β.
б) Да се намери отношението r
R като функция на α , където R е радиусът на описаната
около пирамидата сфера, а r е радиусът на вписаната в пирамидата сфера. Намерете най
малката дтойност на това отношение.