8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
1/31
Mehanika materijala (150)
2. NAPREZANJE
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
2/31
Mehanika materijala (150) Naprezanje 2
2.1. Vektor naprezanja, normalno
i posmično naprezanje
Tijelo mijenja oblik i dimenzije.DEFORMIRA SE!
Vanjske sile koje djeluju na
tijelo nastoje da razdvoje ili
približe čestice tijela.
Unutrašnje sile međučesticama se suprostavljajudjelovanju vanjskih sila.
Vektor srednjeg naprezanja:
i sr
i
F p
A
i A
i F
- elementarna površina
- elementarna unutrašnja sila
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
3/31
Naprezanje 3
sin
cos
p
p
- normalno naprezanje
- tangencijalno naprezanje (posmično naprezanje)
0o 90o , je pozitivno i nastoji da
razdvoji čestice (vlačno naprezanje)
90o 180o , je negativno i nastoji da
približi čestice (tlačno naprezanje)
Vektor naprezanja u točki: 0
lim A
F p
A
– puno naprezanje p p
nastoji uvijek da jedan sloj čestica smakne u odnosu na drugi sloj (klizanje ili smicanje!)
Mehanika materijala (150)
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
4/31
Naprezanje 4
Veličina i raspored naprezanja ne ovise o materijalu (u većini slučajeva), već o veličini iobliku tijela te o veličini i rasporedu opterećenja.
Veličina naprezanja može se definirati u bilo kojoj točki tijela, ali samo u odnosu naodređeni orijentirani presjek.
Vektor naprezanja, kao i njegove komponente imaju dimenziju FL-2 tj. dimenziju sile
podijeljenu s površinom. Osnovna jedinica je paskal (Pa):1 Pa = N/m2
Najčešće se koristi megapaskal (MPa = 106 Pa) odnosno gigapaskal (GPa = 109 Pa) zaelastične konstante.
Mehanika materijala (150)
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
5/31
Naprezanje 5
Primjer
Štap pravokutnog poprečnog presjekaopterećen je dvjema kolinearnimsilama prema slici. Odrediti normalno i
tangencijalno naprezanje u točki T za presjeke - i - . Pretpostaviti
jednoliku raspodjelu naprezanja po
presjeku.
Zadano: F = 5 kN, b = 2 cm, h = 5 cm, = 30o Rješenje:
2 2 2 4 22 10 5 10 m 10 10 m A bh
0:0 pA F F x MPa5Pa105m
N
1010
105 624
3
A
F p
Presjek - ; = 0o: cos0 5 MPa
sin 0 0
p p
p
Mehanika materijala (150)
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
6/31
Naprezanje 6
Presjek - ; = 30o:
4 220 10 mcos 3cos30
A A A
MPaPam
N
2 33,41033,4
103
20
105 6
4
3
A
F p
MPa165,230sin
MPa75,330cos
p
p
M.1.11. Inclined plane stresses. Theory
0 : 0 x F F pA
Mehanika materijala (150)
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
7/31
Naprezanje 7
2.2. Tenzor naprezanja
Red tenzora Poseban nazivPotreban broj podataka
Primjeru ravnini u prostoru
nulti skalar 20 = 1 30 = 1 masa, temperatura
prvi vektor 21 = 2 31 = 3 sila, pomak, brzina, moment
drugi tenzor 22 = 4 32 = 9naprezanje, deformacija, momenti
tromosti
četvrti - 24 = 16 34 = 81 tenzor elastičnosti
Mehanika materijala (150)
Način na koji se komponente neke veličine mijenjaju pri zakretanju koordinatnogsustava definira tenzor , a ne broj podataka.
za 3 presjeka: definirano naprezanje u bilo kojoj točki. p
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
8/31
Naprezanje 8
Prostorno stanje naprezanja:
3 komponente na 3 okomita presjeka: 9 komponenti naprezanja.
Komponenta naprezanja je pozitivna ako na:
- pozitivnom presjeku djeluje u pozitivnom smjeru,
- negativnom presjeku djeluje u negativnom smjeru.
Komponenta naprezanja je negativna ako na:- pozitivnom presjeku djeluje u negativnom smjeru,
- negativnom presjeku djeluje u pozitivnom smjeru.
Mehanika materijala (150)
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
9/31
Naprezanje 9
Prvi indeks označava presjek, a drugi smjer djelovanja naprezanja.
xx xy xz x xy xz
ij yx yy yz yx y yz
zx zy zz zx zy z
Jednoliko ili homogeno stanje naprezanja = istovjetne komponente naprezanja u svim
točkama tijela jednake (u suprotnom nehomogeno).
Mehanika materijala (150)
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
10/31
Naprezanje 10
Simetričnost matrice tenzora naprezanja
z y x y z x z y x M yz zy x ddd:0d)dd(d)dd(:01
zy yz
xy yx
zx xz
Analogno, za preostale dvije osi:
Devet komponenti tenzora; neovisnih komponenti ima šest - tri komponente normalnihnaprezanja i tri komponente tangencijalnih.
Mehanika materijala (150)
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
11/31
Naprezanje 11
Ravninsko stanje naprezanja
x
y
xy
yx
y yx
xy x
ij
z = zx = zy = 0
Osno stanje naprezanja
x
x
x xij
z = zx = zy = 0
y = yx = yz = 0
Mehanika materijala (150)
M.12.5. Plane stress transformations - Terminology
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
12/31
Mehanika materijala (150) Naprezanje 12
2.3. Transformacija dvoosnog stanja naprezanja
Oxy – stari ili osnovni koordinatni sustav
y xO – novi transformirani koordinatni sustav
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
13/31
Naprezanje 13
sincos y
x
y
y
d
d
d
d
0 : d d sin d cos d cos d sin 0 : d x x xy x yx y F y y y x x y
d d d dcos sin sin cos
d d d d x x y xy yx
y x y x
y y y y
yx xy
0 : d d cos d sin d sin d cos 0 : d y xy xy x yx y F y y y x x y
d d d dsin cos cos sin
d d d d xy x y xy yx
y x y x
y y y y
Mehanika materijala (150)
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
14/31
Naprezanje 14
sincos x y x x d
d
d
d
2 2( )cos sin (cos sin ) yx x y xy
2 2sin cos 2 cos sin y x y xy
:0 x F
:0 y F
Mehanika materijala (150)
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
15/31
Naprezanje 15
2 2cos sin 2 cos sin x x y xy
2 2sin cos 2 cos sin y x y xy
2 2( )cos sin (cos sin ) xy x y xy
Mehanika materijala (150)
;2
2cos1sin;
2
2cos1cos 22
2cossincos;2sinsincos2 22
cos 2 sin 2
2 2
cos 2 sin 22 2
sin 2 cos 22
x y x y x xy
x y x y y xy
x y xy yx xy
1. i 2. invarijanta tenzora naprezanja:
1
2 22
.
.
x y x y
x y xy x y xy
I konst
I konst
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
16/31
Naprezanje 16Mehanika materijala (150)
M.12.1. Amazing stress camera
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
17/31
Naprezanje 17Mehanika materijala (150)
2.4. Glavna naprezanja
d
2sin 2 2cos 2 0d 2
x y x xy
d2 sin 2 cos 2 2 0
d 2
x y x xy xy
0tan2
( ) 2
xy
x y
0 – kut koji ekstremna normalna naprezanja zatvaraju s osi x.
2 0 ima dvije različite vrijednosti, 2 0' i 2 0'' , koji se razlikuju za , odnosno 0' i 0''
koji se razlikuju za /2. Jedna vrijednost daje položaj maksimalnog naprezanja max, adruga minimalnog min. Ekstremne vrijednosti naprezanja zovu se glavna naprezanja, a
odgovarajući presjeci, odnosno osi, glavni pr esjeci i glavne osi naprezanja.
1 = max, 2 = min
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
18/31
Mehanika materijala (150) Naprezanje 18
1,22 2
2 2
2
2 2
2 2
x y x y x y xy
xy
x y x y xy xy
xy
2
y x
2
2
2 xy
y x
02
2
20
2
2sin
xy
y x
xy
2
20
2
22cos
xy
y x
y x
cos 2 sin 22 2
x y x y x xy
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
19/31
Naprezanje 19
2
21,2
2 2
x y x y xy
Predznak "+" za 1
Predznak " – " za 2
2.5. Mohrova kružnica naprezanja
Mehanika materijala (150)
Predložio: K. Culmann 1866. Usavršio: O. Mohr 1895.
2
2
cos 2 sin 22 2
sin 2 cos 22
x y x y x xy
x y xy xy
2 2
2 2
2 2
x y x y x xy xy
2 2 2( ) ( ) x p y q R
Jednadžba kružnice:
K oordinate središta: ; 02
x ym p q
2
2
2
x y xy R
Polumjer:
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
20/31
Naprezanje 20
Pozitivni xy se nanosi
ispod osi apscisa, a
pozitivni yx iznad osi
apscisa. Posmična naprezanjakoja "okreću" vanjskunormalu u smjeru
kazaljke na satu crtaju
se iznad osi apscisa, a
ispod osi ona koja
"okreću" suprotno odkazaljke na satu.
Mehanika materijala (150)
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
21/31
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
22/31
Naprezanje 22
Za crtanje Mohrove kružnice potrebno je poznavati četiri podatka. Najčešće su to normalno i posmičnonaprezanje na dva okomita presjeka.
x
y
x
y
xy
yx
A
B
+ xy
O
A
B
+ yx
yx
xy
xy
yx
x
y
Mehanika materijala (150)
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
23/31
Naprezanje 23
+ xy
O
A
B
+ yx
yx
xy
S
Mehanika materijala (150)
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
24/31
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
25/31
Naprezanje 25
+ xy
O
A
B
+ yx
yx
xy
S
x x
xy
Mehanika materijala (150)
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
26/31
Naprezanje 26
B
y
P
y
yx
+ xy
O
A
+ yx
yx
xy
S
x x
xy
Mehanika materijala (150)
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
27/31
Naprezanje 27
B
y
P
+ xy
O
A
+ yx
yx
xy
S
x
(1)
C
D
0
1
0
(2)
1
2
2
Mehanika materijala (150)
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
28/31
Naprezanje 28
B
y
P
+ xy
O
A
+ yx
yx
xy
S
x
C
D
E
x
E
E E
E
Mehanika materijala (150)
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
29/31
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
30/31
8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje
31/31
Naprezanje 31Mehanika materijala (150)
M.12.11. Mohr’s circle game
M.12.12. Mohr’s circle game
M.12.17. Principal stresses using Mohr’s circle - Theory