Contenidos
Sistemas de primer orden y ejemplos
Sistemas de segundo orden y ejemplos
Otros tipos de sistemas
Objetivos
Identificar sistemas lineales para su respuesta temporal.
Obtener la funcin de transferencia de sencillos sistemas
reales y prever comportamiento
1 UD3- SMR
UD3. Anlisis de Sistemas de Control
1. Introduccin
El control de un proceso se realiza mediante un lazo cerrado.
El elemento de medida verifica la variable controlada, la traslada al comparador para su contraste con el valor de consigna y detecta la variacin o seal de error.
La seal comparada se traslada al regulador que la procesa hasta obtener la seal normalizada y actuar sobre el elemento final de control.
El elemento final de control hace evolucionar el proceso hasta obtener la seal de consigna
2 UD3- SMR
UD3. Anlisis de Sistemas de Control
UD3. Anlisis de Sistemas de Control
UD3- SMR 3
REGULADOR PROCESO
MEDIDA
PC e v
Perturbaciones
M
UD3. Anlisis de Sistemas de Control
UD3- SMR 4
Para poder utilizar el regulador adecuado se precisa conocer
el comportamiento del proceso:
Durante el tiempo de ejecucin.
Cuando se produce una perturbacin.
Cuando exista un cambio de consigna.
Todo proceso sigue una relacin matemtica (funcin) que se
identifica con una o varias ecuaciones diferenciales.
La ecuacin diferencial relaciona las variables del sistema en
un intervalo muy pequeo de tiempo (dt).
UD3. Anlisis de Sistemas de Control
UD3- SMR 5
Ejemplo:
En un movimiento rectilneo de un mvil intervienen las magnitudes fsicas:
Velocidad (v)
Espacio (e)
Tiempo (t)
La velocidad media que ha obtenido el mvil en un tramo concreto (e) se expresa como la relacin:
Si precisamos conocer la velocidad en un punto exacto del recorrido, no podemos utilizar esa ecuacin.
t
ev
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UD3- SMR 6
Ejemplo: (cont.)
Para poder calcularlo necesitamos considerar un incremento pequeo de espacio del recorrido. Si en un instante est en el punto (e1) y en el instante inmediatamente siguiente en (e2), se ha producido una variacin del espacio (e2 e1) que denominaremos (de).
Esa variacin del espacio se ha producido tambien en una muy pequea variacin del tiempo, que denominaremos (dt).
Podremos calcular la velocidad en ese infinitesimal tiempo con la misma funcin, pero particularizada para ese incremento de espacio, en ese
incremento de tiempo.
dt
dev
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Hay un proceso matemtico que permite convertir las ecuaciones
diferenciales en ecuaciones algebricas:
TRANSFORMADA DE LAPLACE
1. La transformada de una funcin del tiempo f(t) se convierte en
una funcin de la variable s, F(s)
2. La transformada de la suma o resta de varias funciones de
tiempo es la suma o resta de las transformadas: f1(t)f2(t) F1(s) F2(s)
3. La transformada del producto de una constante por una funcion
de t es el producto de la constante por la transformada.
K f(t) K F(s)
UD3. Anlisis de Sistemas de Control
UD3- SMR 8
Hay un proceso matemtico que permite convertir las ecuaciones
diferenciales en ecuaciones algebricas:
TRANSFORMADA DE LAPLACE (cont.)
1. La transformada de la derivada ensima de una funcin f(t)
es Sn veces la transformada de f(t)
2. La transformada de la integral de la funcin f(t) es 1/s
veces la transformada de f(t):
F(s)Sdt
f(t)dn
n
)(1
)( sFs
dttf
Transformadas de funciones mas usuales
9 UD3- SMR
UD3. Anlisis de Sistemas de Control
Funcin frmula Representacin
grfica
Transformada de
Laplace
Impulso unidad t=0 f(t)=1
t0 (t)=0
F(s) =1
Escaln unidad t < 0 f(t)=0
t > 0 f(t)=1
F(s)= 1/s
Rampa f(t)=t t < 0 f(t)=0
t>0 f(t)= t
F(s)= 1/s2
Parablica f(t) = 1/2t2 F(s)= 1/s3
Exponencial
decreciente etfat )(
assF
1)(
Transformadas de funciones mas usuales
10 UD3- SMR
UD3. Anlisis de Sistemas de Control
Funcin frmula Representacin
Grfica
Transformada de
Laplace
Exponencial
creciente
Senoidal
Senoidal
decreciendo
exponencialmente
etf at 1)()(
)(ass
asF
)()( wtsentf 22
)(ws
wsF
)()( wtsenetf at22)(
)(was
ssF
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UD3- SMR 11
Una vez obtenida la funcin de transferencia, se evala para prever el comportamiento del proceso mediante dos mtodos:
Respuesta indicial
Analiza como evoluciona la salida cuando se aplica una seal escaln a la entrada.
este anlisis permite determinar en el rgimen transitorio: rapidez de respuesta
sobrepasamiento
Proceso
G Entrada Salida
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Respuesta frecuencial
Analiza los valores que toma G cuando se aplican funciones
soenoidales a la entrada y de diferente frecuencia.
este anlisis permite determinar:
estabilidad
frecuencia de corte
Proceso
G Entrada Salida
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2. Sistema de primer orden
Se define un sistema de primer orden cuando la ecuacin diferencial del comportamiento dinmico del proceso es una ecuacin diferencial de primer orden.
la relacin entre la entrada y la salida viene dada por una ecuacin de la forma:
a,b,c son constantes
1(t) es una funcin matemtica que representa como vara la seal de entrada en el tiempo
2(t) es una funcin matemtica que representa como vara la seal de salida en el tiempo
)(1)(2)(2
tctbdt
tda
SISTEMA 1(t) 2(t)
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2. Sistema de primer orden (cont.)
Utilizando transformadas en uno y otro miembro de la igualdad:
es la transformada de
es la transformada de
Recordando que
Deducimos:
Sacando factor comn 2(s) obtendremos
(s)c(s)b(s)sa 122
(s)1 (t)1
(s)2 (t)2
(s)c(s)bsa 12)(
F(s)sdt
f(t)d nn
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2. Sistema de primer orden (cont.)
La funcin de transferencia del sistema es la relacin entre la entrada y la salida:
Dividiendo numerador y denominador por b se obtiene:
Si hacemos la funcin quedar:
(s)c(s)bsa 12)(
bas
c
s
ssG
)(1
)(2)(
1
)(
sb
ab
c
sG
b
a
b
cK ;
1)(
s
KsG
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2. Sistema de primer orden
K es la ganancia del sistema y representa el factor de amplificacin entre la salida y la entrada
es la constante de tiempo. Representa la rapidez o lentitud de
respuesta del sistema a los cambios que se produzcan en la entrada
La respuesta indicial del sistema se obtiene cuando al aplicar a la
entrada la funcin escaln, se obtiene 2(t).
La transformada de una funcin escaln de amplitud 1 es:
s
11(s)
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2. Sistema de primer orden
Despejando 2(s) de la ecuacin
y como podemos concluir que:
Para conocer la variacin de la salida respecto del tiempo se obtiene la
antitransformada de esta ltima ecuacin que sera:
1(s)1
K2(s)
s
11(s)
s
1
1
K2(s)
)e(11K2(t) )/1(
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La representacin
grfica de esa funcin
ser:
Valor permanente: K*1
Tiempo rgimen
permanente: 5
Cte de tiempo: 0,632*K* 1
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UD3- SMR 19
El valor de se puede obtener por dos procedimientos:
1. Hallar la derivada de 2(t) en el origen (t=0), que es la
pendiente de la funcin 2(t) en ese punto.
En el tiempo t = , se alcanzar el valor K* 1
2. Para obtener en la prctica se traza una paralela al eje de tiempos por el valor 0,632*K 1 hasta cortar la curva 2(t). Trazando una vertical hasta cortar el eje del tiempo,
nos dar el valor de .
11K
dt
2(t)d
Circuito R-C serie
1. En el circuito de la figura, se cierra el interruptor en el instante t=0.
2. La corriente que circula por C en un intervalo dt produce una acumulacin de carga dq y consecuentemente se produce un incremento de tensin dVc.
3. Su valor ser:
4. Despejando el valor de la intensidad:
UD3. Anlisis de Sistemas de Control
UD3- SMR 20
C
dti
C
dqdVc
dt
VcCi
d
Circuito R-C serie
1. La tensin aplicada a la entrada se reparte entre R y C y cumple que:
2. Sustituyendo el valor de i por su ecuacin de valor instantneo obtendremos:
3. Aplicando la transformada a esta funcin obtendremos:
4. La funcin de transferencia viene dada por la relacin:
5. Donde la constante de tiempo ser:
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UD3- SMR 21
VciRVe
Vcdt
VcCRVe
d
)()()( sVcsVcsCRsVe
1
1
)(
)(
sCRsVe
sVc
CR
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UD3- SMR 22
2. Sistema de segundo orden
Se define un sistema de segundo orden cuando la ecuacin diferencial que relaciona la entrada y la salida:
a,b,c,d son constantes
1(t) es una funcin matemtica que representa como vara la seal de entrada en el tiempo
2(t) es una funcin matemtica que representa como vara la seal de salida en el tiempo
)(1)(2)(2)(22
tdtctdt
dbt
dt
da
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UD3- SMR 23
2. Sistema de segundo orden 1. Aplicando transformadas y despejando 2(s) se obtiene la funcin de
transferencia:
2. Esta expresin se puede expresar en la forma:
3. Donde el coeficiente de amortiguamiento viene dado por y representa fsicamente un disipador de energa
4. n es la pulsacin natural del sistema. El amortiguamiento general del sistema oscilara con el valor:
5. Y la ganancia del sistema es:
csbsa
d
s
ssG
2)(1
)(2)(
22
2
2)(
nn
n
wsws
wKsG
ca
b
2
a
cwn
c
dK
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UD3- SMR 24
2. Sistema de segundo orden (cont.)
1. La respuesta del sistema a un escaln unidad depender del valor
del amortiguamiento .
2. Los casos a considerar sern:
a) Amortiguamiento igual a 0. =0
b) La salida 2(t) presenta la ecuacin:
c) Su representacin grfica es:
)cos(1()(2 tKt n
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2. Sistema de segundo orden (cont.)
1. Los casos a considerar sern (cont.):
d) Amortiguamiento igual a 1. =1
e) La resolucin de la ecuacin para este caso sera:
f) Su representacin grfica es:
g) El sistema se define como
criticamente amortiguado
)1()1()(2 tweKt ntw
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UD3- SMR 26
2. Sistema de segundo orden (cont.)
1. Los casos a considerar sern (cont.):
d) Amortiguamiento mayor que 1. >1
e) La resolucin de la ecuacin para este caso sera:
f) Donde las constantes A,B,C,D vienen dadas por:
tDtB nn eC)eA(K(t) 12
1;12
1
;1;12
1
2
2
2
2
2
2
DC
BA
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UD3- SMR 27
2. Sistema de segundo orden (cont.)
1. Los casos a considerar sern (cont.):
g) Un ejemplo y su representacin grfica sera:
(sistema sobreamortiguado)
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UD3- SMR 28
2. Sistema de segundo orden (cont.)
1. Los casos a considerar sern (cont.):
h) Amortiguamiento menor que 1.
UD3. Anlisis de Sistemas de Control
UD3- SMR 29
El script realizado con MATLAB correspondiente a este caso sera: t = [0:0.2:20];
wn = 1;
vectDelta = [0.1:0.1:0.9];
num = wn^2;
Y = [];
for ind = 1:length(vectDelta)
d = vectDelta(ind);
den = [1,2*d*wn,wn^2];
y = step (num,den,t);
Y = [Y, y];
end
plot (t,Y);
title (Respuesta a un escalon unitario);
xlabel (tiempo(seg));
grid;
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