3_AnalisisSistemasControl

Contenidos

Sistemas de primer orden y ejemplos

Sistemas de segundo orden y ejemplos

Otros tipos de sistemas

Objetivos

Identificar sistemas lineales para su respuesta temporal.

Obtener la funcin de transferencia de sencillos sistemas

reales y prever comportamiento

1 UD3- SMR

UD3. Anlisis de Sistemas de Control

1. Introduccin

El control de un proceso se realiza mediante un lazo cerrado.

El elemento de medida verifica la variable controlada, la traslada al comparador para su contraste con el valor de consigna y detecta la variacin o seal de error.

La seal comparada se traslada al regulador que la procesa hasta obtener la seal normalizada y actuar sobre el elemento final de control.

El elemento final de control hace evolucionar el proceso hasta obtener la seal de consigna

2 UD3- SMR



UD3- SMR 3

REGULADOR PROCESO

MEDIDA

PC e v

Perturbaciones

M


UD3- SMR 4

Para poder utilizar el regulador adecuado se precisa conocer

el comportamiento del proceso:

Durante el tiempo de ejecucin.

Cuando se produce una perturbacin.

Cuando exista un cambio de consigna.

Todo proceso sigue una relacin matemtica (funcin) que se

identifica con una o varias ecuaciones diferenciales.

La ecuacin diferencial relaciona las variables del sistema en

un intervalo muy pequeo de tiempo (dt).


UD3- SMR 5

Ejemplo:

En un movimiento rectilneo de un mvil intervienen las magnitudes fsicas:

Velocidad (v)

Espacio (e)

Tiempo (t)

La velocidad media que ha obtenido el mvil en un tramo concreto (e) se expresa como la relacin:

Si precisamos conocer la velocidad en un punto exacto del recorrido, no podemos utilizar esa ecuacin.

t

ev


UD3- SMR 6

Ejemplo: (cont.)

Para poder calcularlo necesitamos considerar un incremento pequeo de espacio del recorrido. Si en un instante est en el punto (e1) y en el instante inmediatamente siguiente en (e2), se ha producido una variacin del espacio (e2 e1) que denominaremos (de).

Esa variacin del espacio se ha producido tambien en una muy pequea variacin del tiempo, que denominaremos (dt).

Podremos calcular la velocidad en ese infinitesimal tiempo con la misma funcin, pero particularizada para ese incremento de espacio, en ese

incremento de tiempo.

dt

dev


UD3- SMR 7

Hay un proceso matemtico que permite convertir las ecuaciones

diferenciales en ecuaciones algebricas:

TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. La transformada de una funcin del tiempo f(t) se convierte en

una funcin de la variable s, F(s)

2. La transformada de la suma o resta de varias funciones de

tiempo es la suma o resta de las transformadas: f1(t)f2(t) F1(s) F2(s)

3. La transformada del producto de una constante por una funcion

de t es el producto de la constante por la transformada.

K f(t) K F(s)


UD3- SMR 8

Hay un proceso matemtico que permite convertir las ecuaciones

diferenciales en ecuaciones algebricas:

TRANSFORMADA DE LAPLACE (cont.)

1. La transformada de la derivada ensima de una funcin f(t)

es Sn veces la transformada de f(t)

2. La transformada de la integral de la funcin f(t) es 1/s

veces la transformada de f(t):

F(s)Sdt

f(t)dn

n

)(1

)( sFs

dttf

Transformadas de funciones mas usuales

9 UD3- SMR


Funcin frmula Representacin

grfica

Transformada de

Laplace

Impulso unidad t=0 f(t)=1

t0 (t)=0

F(s) =1

Escaln unidad t < 0 f(t)=0

t > 0 f(t)=1

F(s)= 1/s

Rampa f(t)=t t < 0 f(t)=0

t>0 f(t)= t

F(s)= 1/s2

Parablica f(t) = 1/2t2 F(s)= 1/s3

Exponencial

decreciente etfat )(

assF

1)(

Transformadas de funciones mas usuales

10 UD3- SMR


Funcin frmula Representacin

Grfica

Transformada de

Laplace

Exponencial

creciente

Senoidal

Senoidal

decreciendo

exponencialmente

etf at 1)()(

)(ass

asF

)()( wtsentf 22

)(ws

wsF

)()( wtsenetf at22)(

)(was

ssF


UD3- SMR 11

Una vez obtenida la funcin de transferencia, se evala para prever el comportamiento del proceso mediante dos mtodos:

Respuesta indicial

Analiza como evoluciona la salida cuando se aplica una seal escaln a la entrada.

este anlisis permite determinar en el rgimen transitorio: rapidez de respuesta

sobrepasamiento

Proceso

G Entrada Salida


UD3- SMR 12

Respuesta frecuencial

Analiza los valores que toma G cuando se aplican funciones

soenoidales a la entrada y de diferente frecuencia.

este anlisis permite determinar:

estabilidad

frecuencia de corte

Proceso

G Entrada Salida


UD3- SMR 13

2. Sistema de primer orden

Se define un sistema de primer orden cuando la ecuacin diferencial del comportamiento dinmico del proceso es una ecuacin diferencial de primer orden.

la relacin entre la entrada y la salida viene dada por una ecuacin de la forma:

a,b,c son constantes

1(t) es una funcin matemtica que representa como vara la seal de entrada en el tiempo

2(t) es una funcin matemtica que representa como vara la seal de salida en el tiempo

)(1)(2)(2

tctbdt

tda

SISTEMA 1(t) 2(t)


UD3- SMR 14

2. Sistema de primer orden (cont.)

Utilizando transformadas en uno y otro miembro de la igualdad:

es la transformada de

es la transformada de

Recordando que

Deducimos:

Sacando factor comn 2(s) obtendremos

(s)c(s)b(s)sa 122

(s)1 (t)1

(s)2 (t)2

(s)c(s)bsa 12)(

F(s)sdt

f(t)d nn


UD3- SMR 15

2. Sistema de primer orden (cont.)

La funcin de transferencia del sistema es la relacin entre la entrada y la salida:

Dividiendo numerador y denominador por b se obtiene:

Si hacemos la funcin quedar:

(s)c(s)bsa 12)(

bas

c

s

ssG

)(1

)(2)(

1

)(

sb

ab

c

sG

b

a

b

cK ;

1)(

s

KsG


UD3- SMR 16


K es la ganancia del sistema y representa el factor de amplificacin entre la salida y la entrada

es la constante de tiempo. Representa la rapidez o lentitud de

respuesta del sistema a los cambios que se produzcan en la entrada

La respuesta indicial del sistema se obtiene cuando al aplicar a la

entrada la funcin escaln, se obtiene 2(t).

La transformada de una funcin escaln de amplitud 1 es:

s

11(s)


UD3- SMR 17


Despejando 2(s) de la ecuacin

y como podemos concluir que:

Para conocer la variacin de la salida respecto del tiempo se obtiene la

antitransformada de esta ltima ecuacin que sera:

1(s)1

K2(s)

s

11(s)

s

1

1

K2(s)

)e(11K2(t) )/1(


UD3- SMR 18

La representacin

grfica de esa funcin

ser:

Valor permanente: K*1

Tiempo rgimen

permanente: 5

Cte de tiempo: 0,632*K* 1


UD3- SMR 19

El valor de se puede obtener por dos procedimientos:

1. Hallar la derivada de 2(t) en el origen (t=0), que es la

pendiente de la funcin 2(t) en ese punto.

En el tiempo t = , se alcanzar el valor K* 1

2. Para obtener en la prctica se traza una paralela al eje de tiempos por el valor 0,632*K 1 hasta cortar la curva 2(t). Trazando una vertical hasta cortar el eje del tiempo,

nos dar el valor de .

11K

dt

2(t)d

Circuito R-C serie

1. En el circuito de la figura, se cierra el interruptor en el instante t=0.

2. La corriente que circula por C en un intervalo dt produce una acumulacin de carga dq y consecuentemente se produce un incremento de tensin dVc.

3. Su valor ser:

4. Despejando el valor de la intensidad:


UD3- SMR 20

C

dti

C

dqdVc

dt

VcCi

d

Circuito R-C serie

1. La tensin aplicada a la entrada se reparte entre R y C y cumple que:

2. Sustituyendo el valor de i por su ecuacin de valor instantneo obtendremos:

3. Aplicando la transformada a esta funcin obtendremos:

4. La funcin de transferencia viene dada por la relacin:

5. Donde la constante de tiempo ser:


UD3- SMR 21

VciRVe

Vcdt

VcCRVe

d

)()()( sVcsVcsCRsVe

1

1

)(

)(

sCRsVe

sVc

CR


UD3- SMR 22

2. Sistema de segundo orden

Se define un sistema de segundo orden cuando la ecuacin diferencial que relaciona la entrada y la salida:

a,b,c,d son constantes

1(t) es una funcin matemtica que representa como vara la seal de entrada en el tiempo

2(t) es una funcin matemtica que representa como vara la seal de salida en el tiempo

)(1)(2)(2)(22

tdtctdt

dbt

dt

da


UD3- SMR 23

2. Sistema de segundo orden 1. Aplicando transformadas y despejando 2(s) se obtiene la funcin de

transferencia:

2. Esta expresin se puede expresar en la forma:

3. Donde el coeficiente de amortiguamiento viene dado por y representa fsicamente un disipador de energa

4. n es la pulsacin natural del sistema. El amortiguamiento general del sistema oscilara con el valor:

5. Y la ganancia del sistema es:

csbsa

d

s

ssG

2)(1

)(2)(

22

2

2)(

nn

n

wsws

wKsG

ca

b

2

a

cwn

c

dK


UD3- SMR 24

2. Sistema de segundo orden (cont.)

1. La respuesta del sistema a un escaln unidad depender del valor

del amortiguamiento .

2. Los casos a considerar sern:

a) Amortiguamiento igual a 0. =0

b) La salida 2(t) presenta la ecuacin:

c) Su representacin grfica es:

)cos(1()(2 tKt n


UD3- SMR 25


1. Los casos a considerar sern (cont.):

d) Amortiguamiento igual a 1. =1

e) La resolucin de la ecuacin para este caso sera:

f) Su representacin grfica es:

g) El sistema se define como

criticamente amortiguado

)1()1()(2 tweKt ntw


UD3- SMR 26



d) Amortiguamiento mayor que 1. >1

e) La resolucin de la ecuacin para este caso sera:

f) Donde las constantes A,B,C,D vienen dadas por:

tDtB nn eC)eA(K(t) 12

1;12

1

;1;12

1

2

2

2

2

2

2

DC

BA


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g) Un ejemplo y su representacin grfica sera:

(sistema sobreamortiguado)


UD3- SMR 28



h) Amortiguamiento menor que 1.


UD3- SMR 29

El script realizado con MATLAB correspondiente a este caso sera: t = [0:0.2:20];

wn = 1;

vectDelta = [0.1:0.1:0.9];

num = wn^2;

Y = [];

for ind = 1:length(vectDelta)

d = vectDelta(ind);

den = [1,2*d*wn,wn^2];

y = step (num,den,t);

Y = [Y, y];

end

plot (t,Y);

title (Respuesta a un escalon unitario);

xlabel (tiempo(seg));

grid;

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