4. NÜMERİK İNTEGRAL

)x(ff kk

b

a

Idx)x(f0xa

nxb

Trapez Kuralı:

h]ff...fff[I nn 2

1

2

11210

Tekli trapezoidin alanı =

)xx(*2

ff01

10

h

n

xxh 0n

Belirli integralleri hesaplamak için çeşitli nümerik yöntemler vardır. İntegral f(x) fonksiyonu ile tanımlanan eğrinin altında kalan alanı verir. İntegralin hesaplanması amacı ile fonksiyon değerlerini ve x ekseninde ardışık noktalar arasında kalan artım değerlerini kullanırız.

1x2x ...

)x(f

x

0x nx

0f1f

..

.

k1k xxhx

Simpson kuralı ikinci dereceden polinomları kullanarak belirli bir integral değerine yaklaşan nümerik bir yöntemdir.İlk önce gibi 3 noktadan geçen parabol denkleminin altında kalan alan için bir formül elde edelim

cbxaxy 2),(),,0(),,( 210 yhyyh

Simpson Kuralı

Parabol üzerindeki noktaları denklemini sağlar. Böylece,

),(),,0(),,( 210 yhyyh cbxaxy 2

Böylece parabolün altında kalan alan

Simpson yönteminde bölüm sayısı n mutlaka çift sayı olmalıdır!

Simpson Yöntemi:

34224 21222210

h]fff...fff[I nnm n=2*m

İntegrali ardışık üç noktadan geçen parabolik eğrilerin altında kalan alanların toplanmasıyla hesaplayabiliriz.

Elde ettiğimiz Simpson yöntemi formülünü sadeleştirerek

Örnek:

1

0

x ?dxe2

k x Exp(-x^2)

0 0 1

1 0.25 0.939

2 0.50 0.779

3 0.75 0.570

4 1 0.368

Trapez Kuralının sonucu: 0.743

Simpson Kuralının sonucu: 0.747

Matlab Kullanarak Nümerik İntegral:

clc; clearsyms xf=exp(-x^2)y=int(f,0,1)vpa(y,5)

>> vpa(int(sym('exp(-x^2)‘),0,1))

743.0I

2

368.0570.0779.0939.0

2

125.0I

747.0I

368.0570.0*4779.0*2939.0*413

25.0I

4n 25.0

4

01

n

xx

n

abhx 0n