160

Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

  • Upload
    others

  • View
    8

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

���� �� ����� ���� �����

���� ���� ��� �� �� �� �����

������ ���������

� ����� ������� �������

Page 2: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

������

� ����� ������������������ ���������������� �������� ���!� "��# ���� $��� ����� ������"��# %��&'��� $�(��� �(#����� %������'

� )�!*������ ������+������� ����(

Page 3: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

������

� ����� ������������������ ���������������� �������� ���!� "��# ���� $��� ����� ������"��# %��&'��� $�(��� �(#����� %������'

� )�!*������ ������+������� ����(

Page 4: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

����� ���� �����

� ���������(�, &�� �� ������'����� ���#� ���-'���� ������ #���'-'�'�.�������� ���'���

� ′(��) = ���→�

� (�� + �)− � (��)�

������ �� *��+���'��

Page 5: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

����� ���� �����

� ���������(�, &�� �� ������'����� ���#� ���-'���� ������ #���'-'�'�.�������� ���'���

� ′(��) = ���→�

� (�� + �)− � (��)�

������ �� *��+���'�� �( ����� �(����'����� �/��� �����! ������-���� ����

� (�� + �)− � (��)�

����'�'� � ′(��) ���#�� &�� ������' ���(-(�( �0��� ��������

Page 6: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

����� ���� �����

� ���������(�, &�� �� ������'����� ���#� ���-'���� ������ #���'-'�'�.�������� ���'���

� ′(��) = ���→�

� (�� + �)− � (��)�

������ �� *��+���'�� �( ����� �(����'����� �/��� �����! ������-���� ����

� (�� + �)− � (��)�

����'�'� � ′(��) ���#�� &�� ������' ���(-(�( �0��� ���������(�(��� &��&� �01 ���(�( ������', �����-� *����'� &������-����0���� ��� &�� ������' �-������

Page 7: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

����� ���# ��#��'�' ������ ��!'��� 0�! � &���� ������ ��� ��������� ���# �������� �� ���2

Page 8: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

����� ���# ��#��'�' ������ ��!'��� 0�! � &���� ������ ��� ��������� ���# �������� �� ���2 �� ∈ (�, �) #������ # �� ∈ [�, �] ���!������� �� = �� + � �����-��� ��-����� � �= 3 ���'���' .01 0��� ��'��'��

Page 9: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

����� ���# ��#��'�' ������ ��!'��� 0�! � &���� ������ ��� ��������� ���# �������� �� ���2 �� ∈ (�, �) #������ # �� ∈ [�, �] ���!������� �� = �� + � �����-��� ��-����� � �= 3 ���'���' .01 0��� ��'��'��� ∈ � �[�, �] ���������(�(� �� ������'����� ���#��� *��+�����'�

Page 10: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

����� ���# ��#��'�' ������ ��!'��� 0�! � &���� ������ ��� ��������� ���# �������� �� ���2 �� ∈ (�, �) #������ # �� ∈ [�, �] ���!������� �� = �� + � �����-��� ��-����� � �= 3 ���'���' .01 0��� ��'��'��� ∈ � �[�, �] ���������(�(� �� ������'����� ���#��� *��+�����'� ξ(�)���'�' �� �� �� ����'��� ���� �1� �� # �� ��������'��� � ���������(��� ���� 4�.���. ����+������� +�����( *��� ���� �� &��&�

Page 11: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

����� ���# ��#��'�' ������ ��!'��� 0�! � &���� ������ ��� ��������� ���# �������� �� ���2 �� ∈ (�, �) #������ # �� ∈ [�, �] ���!������� �� = �� + � �����-��� ��-����� � �= 3 ���'���' .01 0��� ��'��'��� ∈ � �[�, �] ���������(�(� �� ������'����� ���#��� *��+�����'� ξ(�)���'�' �� �� �� ����'��� ���� �1� �� # �� ��������'��� � ���������(��� ���� 4�.���. ����+������� +�����( *��� ���� �� &��&�

� (�) = � (��)� − ���� − ��

+ � (��)� − ���� − ��

+� ′′(ξ(�))

5!(� − ��)(� − ��)

������ ��1'�'��

Page 12: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

����� ���# ��#��'�' ������ ��!'��� 0�! � &���� ������ ��� ��������� ���# �������� �� ���2 �� ∈ (�, �) #������ # �� ∈ [�, �] ���!������� �� = �� + � �����-��� ��-����� � �= 3 ���'���' .01 0��� ��'��'��� ∈ � �[�, �] ���������(�(� �� ������'����� ���#��� *��+�����'� ξ(�)���'�' �� �� �� ����'��� ���� �1� �� # �� ��������'��� � ���������(��� ���� 4�.���. ����+������� +�����( *��� ���� �� &��&�

� (�) = � (��)� − ���� − ��

+ � (��)� − ���� − ��

+� ′′(ξ(�))

5!(� − ��)(� − ��)

������ ��1'�'�� �� = �� + � �� � = �� − �� ���(-(���� �(���'���� �����(����'�����

� (�) =� (��)(� − �� − �)

−� +� (�� + �)(� − ��)

�+(� − ��)(� − �� − �)

5� ′′(ξ(�))

�����-�� (���'�'��

Page 13: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

����� ���# ��#��'�' ������ ��!'��� 0�! � &���� ������ ��� ��������� ���# �������� �� ���2 �� ∈ (�, �) #������ # �� ∈ [�, �] ���!������� �� = �� + � �����-��� ��-����� � �= 3 ���'���' .01 0��� ��'��'��� ∈ � �[�, �] ���������(�(� �� ������'����� ���#��� *��+�����'� ξ(�)���'�' �� �� �� ����'��� ���� �1� �� # �� ��������'��� � ���������(��� ���� 4�.���. ����+������� +�����( *��� ���� �� &��&�

� (�) = � (��)� − ���� − ��

+ � (��)� − ���� − ��

+� ′′(ξ(�))

5!(� − ��)(� − ��)

������ ��1'�'�� �� = �� + � �� � = �� − �� ���(-(���� �(���'���� �����(����'�����

� (�) =� (��)(� − �� − �)

−� +� (�� + �)(� − ��)

�+(� − ��)(� − �� − �)

5� ′′(ξ(�))

�����-�� (���'�'�� �( ������ � / .0� ���# ��'�'���

�′(�) =

� (�� + �) − � (��)

�+ ��

[ (� − ��)(� − �� − �)

��′′(ξ(�))

]

=� (�� + �) − � (��)

�+

�(� − ��) − �

��′′(ξ(�)) +

(� − ��)(� − �� − �)

��� (�

′′(ξ(�)))

��������

Page 14: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�-� ξ(�)/� ���� *��� ������ �*�� ������

� ′(�) ≈ � (�� + �) − � (��)�

������'' �� ������

Page 15: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�-� ξ(�)/� ���� *��� ������ �*�� ������

� ′(�) ≈ � (�� + �) − � (��)�

������'' �� ������ ξ(�) ���'�' �� ������ ����� �����-���� ξ(�)/����� *��� ������� *��+�����' ���� �-������

Page 16: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�-� ξ(�)/� ���� *��� ������ �*�� ������

� ′(�) ≈ � (�� + �) − � (��)�

������'' �� ������ ξ(�) ���'�' �� ������ ����� �����-���� ξ(�)/����� *��� ������� *��+�����' ���� �-������ �(�(��� &��&�-� � = �� ��'�'� �� �� � ′′(ξ(�)) ������� ������'�' �'�'� ���!�-'���������

� ′(��) =� (�� + �)− � (��)

�+

5(�� − ��)− �

5� ′′(ξ)

+(�� − ��)(�� − �� − �)

5��(�

′′(ξ))

����,

Page 17: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�-� ξ(�)/� ���� *��� ������ �*�� ������

� ′(�) ≈ � (�� + �) − � (��)�

������'' �� ������ ξ(�) ���'�' �� ������ ����� �����-���� ξ(�)/����� *��� ������� *��+�����' ���� �-������ �(�(��� &��&�-� � = �� ��'�'� �� �� � ′′(ξ(�)) ������� ������'�' �'�'� ���!�-'���������

� ′(��) =� (�� + �)− � (��)

�+

5(�� − ��)− �

5� ′′(ξ)

+(�� − ��)(�� − �� − �)

5��(�

′′(ξ))

����,ξ ���'�' �� �� �� + � ����'��� ���� �1�

� ′(��) =� (�� + �) − � (��)

�− �

5� ′′(ξ) 678

*���� .����

Page 18: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�-� ξ(�)/� ���� *��� ������ �*�� ������

� ′(�) ≈ � (�� + �) − � (��)�

������'' �� ������ ξ(�) ���'�' �� ������ ����� �����-���� ξ(�)/����� *��� ������� *��+�����' ���� �-������ �(�(��� &��&�-� � = �� ��'�'� �� �� � ′′(ξ(�)) ������� ������'�' �'�'� ���!�-'���������

� ′(��) =� (�� + �)− � (��)

�+

5(�� − ��)− �

5� ′′(ξ)

+(�� − ��)(�� − �� − �)

5��(�

′′(ξ))

����,ξ ���'�' �� �� �� + � ����'��� ���� �1�

� ′(��) =� (�� + �) − � (��)

�− �

5� ′′(ξ) 678

*���� .���� �����'�'��� �� # �� + � ����'-'����� �� � �-���� ����|� ′′(�)| ≤ � ���(�( ��-���'��� �� (� (�� + �)− � (��))/� ����'�'� � ′(��)�-��� = � |�|/5 *��� �'�'�'�� ��&�+ &�� ������' ���(-( ���(!( ��������

Page 19: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�-� ξ(�)/� ���� *��� ������ �*�� ������

� ′(�) ≈ � (�� + �) − � (��)�

������'' �� ������ ξ(�) ���'�' �� ������ ����� �����-���� ξ(�)/����� *��� ������� *��+�����' ���� �-������ �(�(��� &��&�-� � = �� ��'�'� �� �� � ′′(ξ(�)) ������� ������'�' �'�'� ���!�-'���������

� ′(��) =� (�� + �)− � (��)

�+

5(�� − ��)− �

5� ′′(ξ)

+(�� − ��)(�� − �� − �)

5��(�

′′(ξ))

����,ξ ���'�' �� �� �� + � ����'��� ���� �1�

� ′(��) =� (�� + �) − � (��)

�− �

5� ′′(ξ) 678

*���� .���� �����'�'��� �� # �� + � ����'-'����� �� � �-���� ����|� ′′(�)| ≤ � ���(�( ��-���'��� �� (� (�� + �)− � (��))/� ����'�'� � ′(��)�-��� = � |�|/5 *��� �'�'�'�� ��&�+ &�� ������' ���(-( ���(!( �������� 678 ������ � > 3 �� ����� ���� ���� 6��1� 9��� 7�78, � < 3 ������ ���� ���� ������ ������'�'�'��

Page 20: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

� �

�� �� + �

� (��+�)−� (��)�

�-��

� ′(��) �-��

9��� 7�7 2 "��# ���� ���� ���� ��������� .����� ���((

Page 21: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 7�7

� = 3.7� � = 3.3; � � = 3.37 ������ �� �� ������� ������� ���������� = 7.< ���������� � (�) = �� � ������������ ��� � � � ��� ������������ ��������� � � � ��� � � � �� ���� ��������� ������ �������� ��� ����� � ���� �����

Page 22: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 7�7

� = 3.7� � = 3.3; � � = 3.37 ������ �� �� ������� ������� ���������� = 7.< ���������� � (�) = �� � ������������ ��� � � � ��� ������������ ��������� � � � ��� � � � �� ���� ��������� ������ �������� ��� ����� � ���� �����

!���� ���� ���� ������ �(����'����� ��+'��!�� &�� ������'

� (7.<) ≈ � (7.< + �)− � (7.<)�

������ ���!�-'���� �����' � ��' (1(��(����' ���� ���-'���� �-��� �������2

� = 3.7 2 � (7.<) ≈ � (�.�+�.�)−� (�.�)�.� = �� �.�−�� �.�

�.� = 3.;=3>?5575?,

� = 3.3; 2� (7.<) ≈ � (�.�+�.��)−� (�.�)

�.�� = �� �.��−�� �.��.�� = 3.;=?@?@=<A<,

� = 3.37 2� (7.<) ≈ � (�.�+�.��)−� (�.�)

�.�� = �� �.��−�� �.��.�� = 3.;;=37<3A?>�

Page 23: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

� (�) = �� � ���� � ′(�) = �

�# � ′′(�) = − �

�����(-(���� ξ ���'�' �� ��

�� + � ���� 7.< �� 7.< + � ����'��� ���� �1�

|� ′′(ξ(�))| =∣∣∣∣− 7

(ξ(�))�

∣∣∣∣ ≤ �B�.�≤ξ≤�.�+�

7(ξ(�))�

=7

(7.<)�=

5;<7

= 3.A3<>=7@?;A

�� ������

Page 24: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

� (�) = �� � ���� � ′(�) = �

�# � ′′(�) = − �

�����(-(���� ξ ���'�' �� ��

�� + � ���� 7.< �� 7.< + � ����'��� ���� �1�

|� ′′(ξ(�))| =∣∣∣∣− 7

(ξ(�))�

∣∣∣∣ ≤ �B�.�≤ξ≤�.�+�

7(ξ(�))�

=7

(7.<)�=

5;<7

= 3.A3<>=7@?;A

�� ������ �(�� .0� #���� � �-���� ���� ��+'��� ������'�� ��(���*����'� �'�'�' ���-'���� ����� �� �����2

� = 3.7 2 = � |�|�

= ��

��

�.��

= �

�= 3.37;=A53@<??,

� = 3.3; 2 = � |�|�

= ��

��

�.���

= �

��= 3.33??7>3=@A<A,

� = 3.37 2 = � |�|�

= ��

��

�.���

= �

��= 3.337;=A53@<??�

Page 25: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

� (�) = �� � ���� � ′(�) = �

�# � ′′(�) = − �

�����(-(���� ξ ���'�' �� ��

�� + � ���� 7.< �� 7.< + � ����'��� ���� �1�

|� ′′(ξ(�))| =∣∣∣∣− 7

(ξ(�))�

∣∣∣∣ ≤ �B�.�≤ξ≤�.�+�

7(ξ(�))�

=7

(7.<)�=

5;<7

= 3.A3<>=7@?;A

�� ������ �(�� .0� #���� � �-���� ���� ��+'��� ������'�� ��(���*����'� �'�'�' ���-'���� ����� �� �����2

� = 3.7 2 = � |�|�

= ��

��

�.��

= �

�= 3.37;=A53@<??,

� = 3.3; 2 = � |�|�

= ��

��

�.���

= �

��= 3.33??7>3=@A<A,

� = 3.37 2 = � |�|�

= ��

��

�.���

= �

��= 3.337;=A53@<??�

C���� � ′(�) = �

����� � ′(7.<) = �

�.� = �

�= 3.;̄ ���(-(���� �(���'��

�� ���� �-����� .��� ���# �-��� ���'� ���(-( .01������

Page 26: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

������� ��������

� ������ � ����� ����ξ� ���'�' �� �� �� + 5� ����'��� ���� �1�

� ′(��) =75�

[−A� (��) + =� (�� + �)− � (�� + 5�)] +��

A� ()(ξ�). 658

Page 27: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

������� ��������

� ������ � ����� ����ξ� ���'�' �� �� �� + 5� ����'��� ���� �1�

� ′(��) =75�

[−A� (��) + =� (�� + �)− � (�� + 5�)] +��

A� ()(ξ�). 658

� ������ ���� ����� ����ξ� ���'�' �� − � �� �� + � ����'��� ���� �1�

� ′(��) =7

5�[� (�� + �)− � (�� − �)]− ��

>� ()(ξ�). 6A8

Page 28: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

%� � ����� �������� (� ����� # �������� ���� ����� �����������*����' "(��) ���� �� ���� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'����(��� *���, (� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'�� ��(���*����'� ���'�' ������'��

Page 29: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

%� � ����� �������� (� ����� # �������� ���� ����� �����������*����' "(��) ���� �� ���� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'����(��� *���, (� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'�� ��(���*����'� ���'�' ������'�� �(�(� ����, 6A8 ������ �(����'����� ��+'���������'�� �� ������'�'� *� ��� �����'����� #���� �(����'�'����� 658�������� ���! �� �0���� �������'� �(����'���'�'��

Page 30: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

%� � ����� �������� (� ����� # �������� ���� ����� �����������*����' "(��) ���� �� ���� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'����(��� *���, (� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'�� ��(���*����'� ���'�' ������'�� �(�(� ����, 6A8 ������ �(����'����� ��+'���������'�� �� ������'�'� *� ��� �����'����� #���� �(����'�'����� 658�������� ���! �� �0���� �������'� �(����'���'�'�� �������� (������ ������ � ���������(�(� ���#�� #���� ����'-'� (� ��������'���&�� ������' ��+'��!�� �� �(����'�'��

Page 31: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

%� � ����� �������� (� ����� # �������� ���� ����� �����������*����' "(��) ���� �� ���� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'����(��� *���, (� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'�� ��(���*����'� ���'�' ������'�� �(�(� ����, 6A8 ������ �(����'����� ��+'���������'�� �� ������'�'� *� ��� �����'����� #���� �(����'�'����� 658�������� ���! �� �0���� �������'� �(����'���'�'�� �������� (������ ������ � ���������(�(� ���#�� #���� ����'-'� (� ��������'���&�� ������' ��+'��!�� �� �(����'�'�� ��� ���������� ��+'��!��������'����� �� *����'�'� �1 ����'���� 0���� �������� ���� ������������� �(������ ���'��'�'��

Page 32: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

%� � ����� �������� (� ����� # �������� ���� ����� �����������*����' "(��) ���� �� ���� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'����(��� *���, (� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'�� ��(���*����'� ���'�' ������'�� �(�(� ����, 6A8 ������ �(����'����� ��+'���������'�� �� ������'�'� *� ��� �����'����� #���� �(����'�'����� 658�������� ���! �� �0���� �������'� �(����'���'�'�� �������� (������ ������ � ���������(�(� ���#�� #���� ����'-'� (� ��������'���&�� ������' ��+'��!�� �� �(����'�'�� ��� ���������� ��+'��!��������'����� �� *����'�'� �1 ����'���� 0���� �������� ���� ������������� �(������ ���'��'�'�� �������� ���� ����� �������(����'����� ��+'��� ������' 9��� 7�5/� .0�����������

Page 33: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

� �

�� �� + ��� − �

��[� (�� + �)− � (�� − �)] �-��

� ′(��) �-��

9��� 7�5 2 �������� ���� ����� ��������� .����� ���((

Page 34: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�������� ��������

�� ����� ���������� ���(-( .�&� *���� ��� &��&������ �����', ���' (1(��(��( ��, �� = �� + �, �� = �� + 5�, � = �� + A� #� = �� + =� ��������' ����, "(�) *����'�� ��*�+ &� ����� �����������-'���� ����� #�����2

Page 35: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�������� ��������

�� ����� ���������� ���(-( .�&� *���� ��� &��&������ �����', ���' (1(��(��( ��, �� = �� + �, �� = �� + 5�, � = �� + A� #� = �� + =� ��������' ����, "(�) *����'�� ��*�+ &� ����� �����������-'���� ����� #�����2��������� ���� ����� ����ξ ���'�' �� − 5� �� �� + 5� ����'��� ���� �1�

� ′(��) =7

75�[� (��−5�)−<� (��−�)+<� (��+�)−� (��+5�)]+

A3� (�)(ξ).

6=8

Page 36: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�������� ��������

�� ����� ���������� ���(-( .�&� *���� ��� &��&������ �����', ���' (1(��(��( ��, �� = �� + �, �� = �� + 5�, � = �� + A� #� = �� + =� ��������' ����, "(�) *����'�� ��*�+ &� ����� �����������-'���� ����� #�����2��������� ���� ����� ����ξ ���'�' �� − 5� �� �� + 5� ����'��� ���� �1�

� ′(��) =7

75�[� (��−5�)−<� (��−�)+<� (��+�)−� (��+5�)]+

A3� (�)(ξ).

6=8��������� � ����� ����ξ ���'�' �� �� �� + =� ����'��� ���� �1�

� ′(��) =7

75�[−5;� (��) + =<� (�� + �)− A>� (�� + 5�)

+ 7>� (�� + A�)− A� (�� + =�)] +�

;� (�)(ξ).

6;8

Page 37: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�������� ��������

�� ����� ���������� ���(-( .�&� *���� ��� &��&������ �����', ���' (1(��(��( ��, �� = �� + �, �� = �� + 5�, � = �� + A� #� = �� + =� ��������' ����, "(�) *����'�� ��*�+ &� ����� �����������-'���� ����� #�����2��������� ���� ����� ����ξ ���'�' �� − 5� �� �� + 5� ����'��� ���� �1�

� ′(��) =7

75�[� (��−5�)−<� (��−�)+<� (��+�)−� (��+5�)]+

A3� (�)(ξ).

6=8��������� � ����� ����ξ ���'�' �� �� �� + =� ����'��� ���� �1�

� ′(��) =7

75�[−5;� (��) + =<� (�� + �)− A>� (�� + 5�)

+ 7>� (�� + A�)− A� (�� + =�)] +�

;� (�)(ξ).

6;8

D�� (� ����� ���� ��+'��!�� ������'����� 6;8 ������, ��- (� ����� ������+'��!�� ������'����� �� 6;8 �����-��� � ���� −� ��1�� �(��� ���� ���� ����� �(����'�'��

Page 38: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�������� ���� ����� ������ �(�������� ��+'��� ������'�� ��(���*����'�, &������� (� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'����(��� *������ ��*� ����� ���(-( *��� ������ ����'����'�'��'-'��������!� .0������

Page 39: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�������� ���� ����� ������ �(�������� ��+'��� ������'�� ��(���*����'�, &������� (� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'����(��� *������ ��*� ����� ���(-( *��� ������ ����'����'�'��'-'��������!� .0������

:��� 7�5

� (�) = � � ������������ ���� ������������ � � �� �� ������� � ����������#$�� ��%����� � � �%����� ������� ���� ���������� � ′(5.3) � � �� ������� ��������� ��������� � ������ ����� � ��&�������

� � (�)'�( ')�((*+,-'�* '.�/)+'**.�) '0�//(''..�' '/�'0(*-/.�. '*�(--)++

Page 40: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

!���� ���� �������� .0� �������� �������� �(�������� �0�� �����'������' ��+'��&����2

Page 41: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

!���� ���� �������� .0� �������� �������� �(�������� �0�� �����'������' ��+'��&����2 �� ����� �������� � = 3.7 # � = −3.7 ��'��&����#�� � = 3.7 # � = 3.5 ���� ���� ����� ������ �(����'��&�����

Page 42: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

!���� ���� �������� .0� �������� �������� �(�������� �0�� �����'������' ��+'��&����2 �� ����� �������� � = 3.7 # � = −3.7 ��'��&����#�� � = 3.7 # � = 3.5 ���� ���� ����� ������ �(����'��&�����"� &(������ �������� � ��� ���(!( #�!� ���� ������', ��'(1(��(-(�(� � ����� ���(-( � = 3.7 �-�� ������ *����'�'���-������� ���'�' ����� ���(-(�( &����-��1 ���� ����� ���������(�������� ��+'��!�� ������'�'��

Page 43: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

!���� ���� �������� .0� �������� �������� �(�������� �0�� �����'������' ��+'��&����2 �� ����� �������� � = 3.7 # � = −3.7 ��'��&����#�� � = 3.7 # � = 3.5 ���� ���� ����� ������ �(����'��&�����"� &(������ �������� � ��� ���(!( #�!� ���� ������', ��'(1(��(-(�(� � ����� ���(-( � = 3.7 �-�� ������ *����'�'���-������� ���'�' ����� ���(-(�( &����-��1 ���� ����� ���������(�������� ��+'��!�� ������'�'��� = 3.7 ���� 658 ������ �� #���� �������� (� ����� ������ �(����'�����

� ′(5.3) ≈ 75(3.7)

[−A� (5.3) + =� (5.7)− � (5.5)] = 55.3A5A73

������'' �� ������ �( ����� �� � = −3.7 �-�� ���� ��+'��!��������''� ���(!( �� 55�3;=;5; ������ &(�(�(��

Page 44: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

!���� ���� �������� .0� �������� �������� �(�������� �0�� �����'������' ��+'��&����2 �� ����� �������� � = 3.7 # � = −3.7 ��'��&����#�� � = 3.7 # � = 3.5 ���� ���� ����� ������ �(����'��&�����"� &(������ �������� � ��� ���(!( #�!� ���� ������', ��'(1(��(-(�(� � ����� ���(-( � = 3.7 �-�� ������ *����'�'���-������� ���'�' ����� ���(-(�( &����-��1 ���� ����� ���������(�������� ��+'��!�� ������'�'��� = 3.7 ���� 658 ������ �� #���� �������� (� ����� ������ �(����'�����

� ′(5.3) ≈ 75(3.7)

[−A� (5.3) + =� (5.7)− � (5.5)] = 55.3A5A73

������'' �� ������ �( ����� �� � = −3.7 �-�� ���� ��+'��!��������''� ���(!( �� 55�3;=;5; ������ &(�(�(�� � = 3.7 ���� 6A8 �������� #���� �������� ���� ����� ������ �(����'�����

� ′(5.3) ≈ 75(3.7)

[� (5.7)− � (7.@)] = 55.55<?@3

������'' �� ������ �( ����� �� � = 3.5 �-�� ���� ��+'��!��������''� ���(!( �� 55�=7=7>A ������ &(�(�(��

Page 45: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

���� ������� .01 0��� ��'��'-'��� &������� ����������� ���!���� ����� ��������� � = 3.7 ���� (�.(����&��!-� ���(!(�� (���'�'��

Page 46: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

���� ������� .01 0��� ��'��'-'��� &������� ����������� ���!���� ����� ��������� � = 3.7 ���� (�.(����&��!-� ���(!(�� (���'�'��� = 3.7 ���� 6=8 ������ �� #���� &������� ���� ����� �������(����'�����

� ′(5.3) ≈ 775(3.7)

[� (7.<)− <� (7.@) + <� (5.7)− � (5.5)] = 55.7>>@@@

������'' �� ������

Page 47: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

���� ������� .01 0��� ��'��'-'��� &������� ����������� ���!���� ����� ��������� � = 3.7 ���� (�.(����&��!-� ���(!(�� (���'�'��� = 3.7 ���� 6=8 ������ �� #���� &������� ���� ����� �������(����'�����

� ′(5.3) ≈ 775(3.7)

[� (7.<)− <� (7.@) + <� (5.7)− � (5.5)] = 55.7>>@@@

������'' �� ������"��# ��������� .��� �-�� � ′(�) = � + � � = �(7 + �) ���(-(����

� ′(5.3) = �.�(7 + 5.3) = 55.7>?7><

����� �� ������

Page 48: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

���� ������� .01 0��� ��'��'-'��� &������� ����������� ���!���� ����� ��������� � = 3.7 ���� (�.(����&��!-� ���(!(�� (���'�'��� = 3.7 ���� 6=8 ������ �� #���� &������� ���� ����� �������(����'�����

� ′(5.3) ≈ 775(3.7)

[� (7.<)− <� (7.@) + <� (5.7)− � (5.5)] = 55.7>>@@@

������'' �� ������"��# ��������� .��� �-�� � ′(�) = � + � � = �(7 + �) ���(-(����

� ′(5.3) = �.�(7 + 5.3) = 55.7>?7><

����� �� ������ �(�� .0� ��+'��� ������'����� ��(��� (���� *��������-'���� ����� 01���&����2

E(����'��� ����� ��' �1(��(-( �(���� %����������� (� ����� � = 3.7 7.A; × 73−�

�������� (� ����� � = −3.7 7.7A × 73−�

�������� ���� ����� � = 3.7 >.7> × 73−�

�������� ���� ����� � = 3.5 5.=? × 73−�

�������� ���� ����� � = 3.7 7.>@ × 73−

Page 49: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 7�A

1�������� ������ ���������� � ′(3.73)� � ′(3.A;) � � ′(3.>3) � � �� �� ���� � �$�� �������� �&�����

� )�') )�'- )�.) )�+) )�+- )�-- )�,)� (�) )�+' )�+, )�0' )�0, )�0/ )�00 )�0'

Page 50: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 7�A

1�������� ������ ���������� � ′(3.73)� � ′(3.A;) � � ′(3.>3) � � �� �� ���� � �$�� �������� �&�����

� )�') )�'- )�.) )�+) )�+- )�-- )�,)� (�) )�+' )�+, )�0' )�0, )�0/ )�00 )�0'

!����

� ′(3.73) �-���� *��+���� ���� � > 3 ������ � ���� .�����

Page 51: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 7�A

1�������� ������ ���������� � ′(3.73)� � ′(3.A;) � � ′(3.>3) � � �� �� ���� � �$�� �������� �&�����

� )�') )�'- )�.) )�+) )�+- )�-- )�,)� (�) )�+' )�+, )�0' )�0, )�0/ )�00 )�0'

!����

� ′(3.73) �-���� *��+���� ���� � > 3 ������ � ���� .�����"�&������ #���� .0� � = 3.3; # � = 3.73 ������ ��'��&���� ���&(������� (�.(� ����', ������'�� ��*� ��� ���(� #�!-���&����-��1 ����� ���� �-��, ���� � = 3.3;/� ��'+ �������� (� ������������� �(�������'��

Page 52: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 7�A

1�������� ������ ���������� � ′(3.73)� � ′(3.A;) � � ′(3.>3) � � �� �� ���� � �$�� �������� �&�����

� )�') )�'- )�.) )�+) )�+- )�-- )�,)� (�) )�+' )�+, )�0' )�0, )�0/ )�00 )�0'

!����

� ′(3.73) �-���� *��+���� ���� � > 3 ������ � ���� .�����"�&������ #���� .0� � = 3.3; # � = 3.73 ������ ��'��&���� ���&(������� (�.(� ����', ������'�� ��*� ��� ���(� #�!-���&����-��1 ����� ���� �-��, ���� � = 3.3;/� ��'+ �������� (� ������������� �(�������'������ &������� �������� &( �-��� �����(����'���1�

Page 53: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 7�A

1�������� ������ ���������� � ′(3.73)� � ′(3.A;) � � ′(3.>3) � � �� �� ���� � �$�� �������� �&�����

� )�') )�'- )�.) )�+) )�+- )�-- )�,)� (�) )�+' )�+, )�0' )�0, )�0/ )�00 )�0'

!����

� ′(3.73) �-���� *��+���� ���� � > 3 ������ � ���� .�����"�&������ #���� .0� � = 3.3; # � = 3.73 ������ ��'��&���� ���&(������� (�.(� ����', ������'�� ��*� ��� ���(� #�!-���&����-��1 ����� ���� �-��, ���� � = 3.3;/� ��'+ �������� (� ������������� �(�������'������ &������� �������� &( �-��� �����(����'���1��(�� .0�

� ′(3.73) ≈ 75�

[−A� (3.73) + =� (3.7;)− � (3.53)]

≈ 75(3.3;)

[−A(3.A7) + =(3.A>)− 3.=7] = 7

&(�(�(��

Page 54: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

� ′(3.A;) �-���� *��+���� ���� � = 3.53 #�� � = 3.5; ��'������������� ���� ����� ������ �(����'��&�����

Page 55: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

� ′(3.A;) �-���� *��+���� ���� � = 3.53 #�� � = 3.5; ��'������������� ���� ����� ������ �(����'��&����� �������� �������� &(�-��� ���� �(����'���1�

Page 56: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

� ′(3.A;) �-���� *��+���� ���� � = 3.53 #�� � = 3.5; ��'������������� ���� ����� ������ �(����'��&����� �������� �������� &(�-��� ���� �(����'���1� �#!(� ��� ���� ����'���� *����'��-��� .0� ��*� ����� ���� � = 3.53 ��'����� �������� ���� ������������� �(������ � ��� ������'' ��+�'1' ��-����

� ′(3.A;) ≈ 75(3.53)

[� (3.;;)− � (3.7;)]

≈ 75(3.53)

[3.== − 3.A>] = 3.5

&(�(�(��

Page 57: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

� ′(3.A;) �-���� *��+���� ���� � = 3.53 #�� � = 3.5; ��'������������� ���� ����� ������ �(����'��&����� �������� �������� &(�-��� ���� �(����'���1� �#!(� ��� ���� ����'���� *����'��-��� .0� ��*� ����� ���� � = 3.53 ��'����� �������� ���� ������������� �(������ � ��� ������'' ��+�'1' ��-����

� ′(3.A;) ≈ 75(3.53)

[� (3.;;)− � (3.7;)]

≈ 75(3.53)

[3.== − 3.A>] = 3.5

&(�(�(��

� ′(3.>3) �-���� *��+���� ���� � < 3 ������ � ���� .�����

Page 58: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

� ′(3.A;) �-���� *��+���� ���� � = 3.53 #�� � = 3.5; ��'������������� ���� ����� ������ �(����'��&����� �������� �������� &(�-��� ���� �(����'���1� �#!(� ��� ���� ����'���� *����'��-��� .0� ��*� ����� ���� � = 3.53 ��'����� �������� ���� ������������� �(������ � ��� ������'' ��+�'1' ��-����

� ′(3.A;) ≈ 75(3.53)

[� (3.;;)− � (3.7;)]

≈ 75(3.53)

[3.== − 3.A>] = 3.5

&(�(�(��

� ′(3.>3) �-���� *��+���� ���� � < 3 ������ � ���� .�����"�&������ #���� .0� (�.(� �� �(�( � = −3.5; ������ ��������(� ����� �������� �(�������'��

Page 59: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

� ′(3.A;) �-���� *��+���� ���� � = 3.53 #�� � = 3.5; ��'������������� ���� ����� ������ �(����'��&����� �������� �������� &(�-��� ���� �(����'���1� �#!(� ��� ���� ����'���� *����'��-��� .0� ��*� ����� ���� � = 3.53 ��'����� �������� ���� ������������� �(������ � ��� ������'' ��+�'1' ��-����

� ′(3.A;) ≈ 75(3.53)

[� (3.;;)− � (3.7;)]

≈ 75(3.53)

[3.== − 3.A>] = 3.5

&(�(�(��

� ′(3.>3) �-���� *��+���� ���� � < 3 ������ � ���� .�����"�&������ #���� .0� (�.(� �� �(�( � = −3.5; ������ ��������(� ����� �������� �(�������'�� �(�� .0�

� ′(3.>3) ≈ 75(3.5;)

[A� (3.>3)− =� (3.A;) + � (3.73)]

≈ 75(3.5;)

[A(3.=7)− =(3.=?) + 3.A7] = −3.><

&(�(�(��

Page 60: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

���� ����� �� ��� ���� ������

� ���������(�( �� !�#��'����� ����!� "����� +�����(, ξ̂ ���'�' � �� ������'��� ���� �1�

� (�) =� (��) + � ′ (��) (� − ��) +75!� ′′ (��) (� − ��)

�+

7A!� ′′′ (��) (� − ��)

+7=!� (��)(ξ̂)(� − ��)

������ �� #������

Page 61: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

���� ����� �� ��� ���� ������

� ���������(�( �� !�#��'����� ����!� "����� +�����(, ξ̂ ���'�' � �� ������'��� ���� �1�

� (�) =� (��) + � ′ (��) (� − ��) +75!� ′′ (��) (� − ��)

�+

7A!� ′′′ (��) (� − ��)

+7=!� (��)(ξ̂)(� − ��)

������ �� #������ �( ��'�'�� � ���� �'���' �� �� + � # �� − � ��1'�'���,�� − � < ξ−� < �� < ξ� < �� + � ���� �1�

� (�� + �) = � (��)+ �′ (��) �+

75� ′′ (��) ��+

7>� ′′′ (��) �+

75=� (��)(ξ�)�

#

Page 62: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

���� ����� �� ��� ���� ������

� ���������(�( �� !�#��'����� ����!� "����� +�����(, ξ̂ ���'�' � �� ������'��� ���� �1�

� (�) =� (��) + � ′ (��) (� − ��) +75!� ′′ (��) (� − ��)

�+

7A!� ′′′ (��) (� − ��)

+7=!� (��)(ξ̂)(� − ��)

������ �� #������ �( ��'�'�� � ���� �'���' �� �� + � # �� − � ��1'�'���,�� − � < ξ−� < �� < ξ� < �� + � ���� �1�

� (�� + �) = � (��)+ �′ (��) �+

75� ′′ (��) ��+

7>� ′′′ (��) �+

75=� (��)(ξ�)�

#

� (�� − �) = � (��)−� ′ (��) �+ 75� ′′ (��) ��− 7

>� ′′′ (��) �+

75=� (��)(ξ−�)�

��������� �� ������

Page 63: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�( ��� ���� ����� ������ ��+���'��� &����!� # ����!� ���#� ���� ������������ #

� (�� + �)+� (�� − �) = 5� (��)+�′′ (��) ��+

75=

[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)

]�

�� ������

Page 64: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�( ��� ���� ����� ������ ��+���'��� &����!� # ����!� ���#� ���� ������������ #

� (�� + �)+� (�� − �) = 5� (��)+�′′ (��) ��+

75=

[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)

]�

�� ������ D�� ������ ����!� ���# .0� ����� ��1'�'���

� ′′ (��) =7��

[� (�� − �)− 5� (��) + � (�� + �)]−��

5=

[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)

]6>8

���(!(�� (���'�'��

Page 65: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�( ��� ���� ����� ������ ��+���'��� &����!� # ����!� ���#� ���� ������������ #

� (�� + �)+� (�� − �) = 5� (��)+�′′ (��) ��+

75=

[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)

]�

�� ������ D�� ������ ����!� ���# .0� ����� ��1'�'���

� ′′ (��) =7��

[� (�� − �)− 5� (��) + � (�� + �)]−��

5=

[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)

]6>8

���(!(�� (���'�'�� � (��) ���������( [�� − �, �� + �] ����'-'��� ������ ���(��

Page 66: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�( ��� ���� ����� ������ ��+���'��� &����!� # ����!� ���#� ���� ������������ #

� (�� + �)+� (�� − �) = 5� (��)+�′′ (��) ��+

75=

[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)

]�

�� ������ D�� ������ ����!� ���# .0� ����� ��1'�'���

� ′′ (��) =7��

[� (�� − �)− 5� (��) + � (�� + �)]−��

5=

[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)

]6>8

���(!(�� (���'�'�� � (��) ���������( [�� − �, �� + �] ����'-'��� ������ ���(���

[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)

]������ � (��) (ξ�) �� � (��) (ξ−�) �-����

����'��� ���(-(���� $������ �-� "���/� .0� ξ� �� ξ−� ����'���# �����'�'��� (�� − �, �� + �) ����� &�� ξ ���'�' ����

� (��) (ξ) =75

[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)

]6?8

�����-� ��-���'��

Page 67: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

6?8 &�-'��'�' 6>8/�� ���� ��1'�'��� ξ ���'�' �� − � �� �� + � ����'������� �1�

� ′′ (��) =7��

[� (�� − �)− 5� (��) + � (�� + �)]− ��

75� (��) (ξ) 6<8

�����-� �� ������

Page 68: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

6?8 &�-'��'�' 6>8/�� ���� ��1'�'��� ξ ���'�' �� − � �� �� + � ����'������� �1�

� ′′ (��) =7��

[� (�� − �)− 5� (��) + � (�� + �)]− ��

75� (��) (ξ) 6<8

�����-� �� ������ 6<8 ������� ������ ���� � �� ���� ����� ������' #������

Page 69: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

6?8 &�-'��'�' 6>8/�� ���� ��1'�'��� ξ ���'�' �� − � �� �� + � ����'������� �1�

� ′′ (��) =7��

[� (�� − �)− 5� (��) + � (�� + �)]− ��

75� (��) (ξ) 6<8

�����-� �� ������ 6<8 ������� ������ ���� � �� ���� ����� ������' #������ C0�����-� �1� *��� "(��)/����

Page 70: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 7�=

2�� � '�.3� � (�) = � � ������������ ��������� ������� � ��� �� � �� ��� �������� � ����� �� � � � ����� ������� �� ������ ��������������� �� ������������ � ′(5.3) ���� ������������ � � ���� �&������ 4 �� $!�� ���������� 5���� 6<8 �� � ��� � ����4� ��� � ������������������� � ′′(5.3) � � ��� ��� ��������� ��������� � �� ��������������� ����� � ��&�������

� � (�)'�( ')�((*+,-'�* '.�/)+'**.�) '0�//(''..�' '/�'0(*-/.�. '*�(--)++

Page 71: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

!���� �(���'���� ���� ��&���(�� .0� � ′′(5.3) �-��� &�� ������'� = 3.7 # � = 3.5 ��'����� ��+'��&�����

Page 72: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

!���� �(���'���� ���� ��&���(�� .0� � ′′(5.3) �-��� &�� ������'� = 3.7 # � = 3.5 ��'����� ��+'��&����� �-� � = 3.7 ��'�'� �� 6<8���������

� ′′ (5.3) ≈ 7

(3.7)�[� (7.@)− 5� (5.3) + � (5.7)] = 5@.;@A533,

&�1� ����� � = 3.5 ��'�'� ��

� ′′ (5.3) ≈ 7

(3.5)�[� (7.<)− 5� (5.3) + � (5.5)] = 5@.?3=5?;

�-���� �� ������

Page 73: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

!���� �(���'���� ���� ��&���(�� .0� � ′′(5.3) �-��� &�� ������'� = 3.7 # � = 3.5 ��'����� ��+'��&����� �-� � = 3.7 ��'�'� �� 6<8���������

� ′′ (5.3) ≈ 7

(3.7)�[� (7.@)− 5� (5.3) + � (5.7)] = 5@.;@A533,

&�1� ����� � = 3.5 ��'�'� ��

� ′′ (5.3) ≈ 7

(3.5)�[� (7.<)− 5� (5.3) + � (5.5)] = 5@.?3=5?;

�-���� �� ������� ′′ (�) = �(� + 5) ���(-(���� ���#�� .��� �-��

� ′′ (5.3) = �.� (5.3 + 5) = 5@.;;>55=

������ &(�(�(��

Page 74: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

!���� �(���'���� ���� ��&���(�� .0� � ′′(5.3) �-��� &�� ������'� = 3.7 # � = 3.5 ��'����� ��+'��&����� �-� � = 3.7 ��'�'� �� 6<8���������

� ′′ (5.3) ≈ 7

(3.7)�[� (7.@)− 5� (5.3) + � (5.7)] = 5@.;@A533,

&�1� ����� � = 3.5 ��'�'� ��

� ′′ (5.3) ≈ 7

(3.5)�[� (7.<)− 5� (5.3) + � (5.5)] = 5@.?3=5?;

�-���� �� ������� ′′ (�) = �(� + 5) ���(-(���� ���#�� .��� �-��

� ′′ (5.3) = �.� (5.3 + 5) = 5@.;;>55=

������ &(�(�(�� �(�� .0� � = 3.7 ��'��'-'��� ������'�� ��(���(���� *��� �-�� A.>@?>× 73−� ��� � = 3.5 ��'��'-'��� ��(��� (����*��� 7.=<3;7× 73−� ��(�� � �-�� � ����� ����� ��'�'� �� ��+'���������' .��� �-� � ����� �������!�-'���� &(�(��� (���� *����-���� ���'��'�'��

Page 75: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 7�;

� (�) = � ��� � � � = 3.7 ����� �� � � ′′(7) � � �� ���� ��� ������������������� 6� ��������� ������ ������ ����� � ��&������ � ���� ������� ��� ����� � ���� �����

Page 76: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 7�;

� (�) = � ��� � � � = 3.7 ����� �� � � ′′(7) � � �� ���� ��� ������������������� 6� ��������� ������ ������ ����� � ��&������ � ���� ������� ��� ����� � ���� �����

!���� � (�) = ���� � , �� = 7 # � = 3.7 ���� 6<8 ������ �(����'�'���

� ′′ (7) ≈ 7��

[� (�� + �)− 5� (��) + � (�� − �)]

≈ 7

(3.7)�[� (7.7)− 5� (7) + � (3.@)]

≈ 3.5A<3A

������ &(�(�(��

Page 77: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 7�;

� (�) = � ��� � � � = 3.7 ����� �� � � ′′(7) � � �� ���� ��� ������������������� 6� ��������� ������ ������ ����� � ��&������ � ���� ������� ��� ����� � ���� �����

!���� � (�) = ���� � , �� = 7 # � = 3.7 ���� 6<8 ������ �(����'�'���

� ′′ (7) ≈ 7��

[� (�� + �)− 5� (��) + � (�� − �)]

≈ 7

(3.7)�[� (7.7)− 5� (7) + � (3.@)]

≈ 3.5A<3A

������ &(�(�(�� � (�) = � ��� � �� � ′ (�) = ��� � + � !�� � #� ′′ (�) = 5 !�� � − � ��� � ���(-(���� ���������(� #���� ��������� ����!����# �-��

� ′′ (7) = 5 !�� 7 − ��� 7 = 3.5A@7A

������ �� ������

Page 78: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�(�� .0� ��(��� (���� *���

|3.5A@7A− 3.5A<3A| = 7.7 × 73−

�-�� �� #������

Page 79: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�(�� .0� ��(��� (���� *���

|3.5A@7A− 3.5A<3A| = 7.7 × 73−

�-�� �� #������ 6<8 �������� *��� ���� �0����!� ���#� �����-����� ′′′ (�) = −� !�� � − A ��� � # � (��) (�) = −= !�� � + � ��� � ���� �1���+'��� ������'�� ��(��� *��� ���� &�� ��� �'�'�

≤ ��

75�B

ξ∈[�.�,�.�]

∣∣∣� (��) (ξ)∣∣∣�����1��-� �� #������

Page 80: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�(�� .0� ��(��� (���� *���

|3.5A@7A− 3.5A<3A| = 7.7 × 73−

�-�� �� #������ 6<8 �������� *��� ���� �0����!� ���#� �����-����� ′′′ (�) = −� !�� � − A ��� � # � (��) (�) = −= !�� � + � ��� � ���� �1���+'��� ������'�� ��(��� *��� ���� &�� ��� �'�'�

≤ ��

75�B

ξ∈[�.�,�.�]

∣∣∣� (��) (ξ)∣∣∣�����1��-� �� #������ �(�� .0�, ��� � # !�� � ������������'�'� *� � ����&���� ����� # [3.@, 7.7] ����'-'��� ��� � ���������(�(� �����, !�� ����������(� �� �1���� ���(-( .01 0��� ��'��'-'���

≤ (3.7)�

75�B

ξ∈[�.�,�.�]|−= !�� ξ + ξ ��� ξ| =

(3.7)�

75|−= !�� 3.@ + 3.@ ��� 3.@|

���(��� ≤ 7.=@=;× 73−

�� ������

Page 81: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

����� ��� !�" ���� � #�� �� � � � �!

"��# �-��� &�� ������' ��+'��'-'��� ��(��� �(#����� *����'�������� �� .�����

Page 82: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

����� ��� !�" ���� � #�� �� � � � �!

"��# �-��� &�� ������' ��+'��'-'��� ��(��� �(#����� *����'�������� �� .����� �( �(�(( #(�.(���� ���� 6A8 �����-� �� #������������ ���� ����� ������

� ′ (��) =75�

[� (�� + �)− � (�� − �)]− ��

>� ′′′(ξ)

�1����� &�1' �'���'����� &(�(��&�����1�

Page 83: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

����� ��� !�" ���� � #�� �� � � � �!

"��# �-��� &�� ������' ��+'��'-'��� ��(��� �(#����� *����'�������� �� .����� �( �(�(( #(�.(���� ���� 6A8 �����-� �� #������������ ���� ����� ������

� ′ (��) =75�

[� (�� + �)− � (�� − �)]− ��

>� ′′′(ξ)

�1����� &�1' �'���'����� &(�(��&�����1� ���1 ��� ��, � (�� + �) #� (�� − �) ������� �'���' �� (�� + �) # (�� − �) �(#����� *������' ���̃ (�� + �) # �̃ (�� − �) ������ *��+����'��

Page 84: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

����� ��� !�" ���� � #�� �� � � � �!

"��# �-��� &�� ������' ��+'��'-'��� ��(��� �(#����� *����'�������� �� .����� �( �(�(( #(�.(���� ���� 6A8 �����-� �� #������������ ���� ����� ������

� ′ (��) =75�

[� (�� + �)− � (�� − �)]− ��

>� ′′′(ξ)

�1����� &�1' �'���'����� &(�(��&�����1� ���1 ��� ��, � (�� + �) #� (�� − �) ������� �'���' �� (�� + �) # (�� − �) �(#����� *������' ���̃ (�� + �) # �̃ (�� − �) ������ *��+����'�� �(�� .0�

� (�� + �) = �̃ (�� + �) + (�� + �) # � (�� − �) = �̃ (�� − �) + (�� − �)

��1'��&�����

Page 85: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�����'�'���, ������'�� �� # �(#�������� �����' ��(��� ��+�� *���

� ′ (��) =75�

[�̃ (�� + �) + (�� + �)− �̃ (�� − �)− (�� − �)]− ��

>� ′′′(ξ)

=�̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)

5�+

(�� + �)− (�� − �)

5�− ��

>� ′′′(ξ)

����

Page 86: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�����'�'���, ������'�� �� # �(#�������� �����' ��(��� ��+�� *���

� ′ (��) =75�

[�̃ (�� + �) + (�� + �)− �̃ (�� − �)− (�� − �)]− ��

>� ′′′(ξ)

=�̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)

5�+

(�� + �)− (�� − �)

5�− ��

>� ′′′(ξ)

����

� ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)5�

= (�� + �)− (�� − �)

5�− ��

>� ′′′(ξ)

������ �� ������

Page 87: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�����'�'���, ������'�� �� # �(#�������� �����' ��(��� ��+�� *���

� ′ (��) =75�

[�̃ (�� + �) + (�� + �)− �̃ (�� − �)− (�� − �)]− ��

>� ′′′(ξ)

=�̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)

5�+

(�� + �)− (�� − �)

5�− ��

>� ′′′(ξ)

����

� ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)5�

= (�� + �)− (�� − �)

5�− ��

>� ′′′(ξ)

������ �� ������ �-� (�� ± �) �(#����� *����' &�� ε > 3 ���'�' ��, ����������(�(� ����!� ���#� &�� � ���'�' �� �'�'��' ��∣∣∣∣∣ � ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)

5�

∣∣∣∣∣ =ε

�+��

>�

�� ������

Page 88: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�����'�'���, ������'�� �� # �(#�������� �����' ��(��� ��+�� *���

� ′ (��) =75�

[�̃ (�� + �) + (�� + �)− �̃ (�� − �)− (�� − �)]− ��

>� ′′′(ξ)

=�̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)

5�+

(�� + �)− (�� − �)

5�− ��

>� ′′′(ξ)

����

� ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)5�

= (�� + �)− (�� − �)

5�− ��

>� ′′′(ξ)

������ �� ������ �-� (�� ± �) �(#����� *����' &�� ε > 3 ���'�' ��, ����������(�(� ����!� ���#� &�� � ���'�' �� �'�'��' ��∣∣∣∣∣ � ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)

5�

∣∣∣∣∣ =ε

�+��

>�

�� ������ ��

�� �� *����'�' ����1 �� ���� � (1(��(-(�(

�1����� .�����

Page 89: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�����'�'���, ������'�� �� # �(#�������� �����' ��(��� ��+�� *���

� ′ (��) =75�

[�̃ (�� + �) + (�� + �)− �̃ (�� − �)− (�� − �)]− ��

>� ′′′(ξ)

=�̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)

5�+

(�� + �)− (�� − �)

5�− ��

>� ′′′(ξ)

����

� ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)5�

= (�� + �)− (�� − �)

5�− ��

>� ′′′(ξ)

������ �� ������ �-� (�� ± �) �(#����� *����' &�� ε > 3 ���'�' ��, ����������(�(� ����!� ���#� &�� � ���'�' �� �'�'��' ��∣∣∣∣∣ � ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)

5�

∣∣∣∣∣ =ε

�+��

>�

�� ������ ��

�� �� *����'�' ����1 �� ���� � (1(��(-(�(

�1����� .����� ����� � �-����� �1����' �(�((��� ε�

�� #�����(#����� *����' �-�� ����!���'��

Page 90: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�����'�'���, ������'�� �� # �(#�������� �����' ��(��� ��+�� *���

� ′ (��) =75�

[�̃ (�� + �) + (�� + �)− �̃ (�� − �)− (�� − �)]− ��

>� ′′′(ξ)

=�̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)

5�+

(�� + �)− (�� − �)

5�− ��

>� ′′′(ξ)

����

� ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)5�

= (�� + �)− (�� − �)

5�− ��

>� ′′′(ξ)

������ �� ������ �-� (�� ± �) �(#����� *����' &�� ε > 3 ���'�' ��, ����������(�(� ����!� ���#� &�� � ���'�' �� �'�'��' ��∣∣∣∣∣ � ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)

5�

∣∣∣∣∣ =ε

�+��

>�

�� ������ ��

�� �� *����'�' ����1 �� ���� � (1(��(-(�(

�1����� .����� ����� � �-����� �1����' �(�((��� ε�

�� #�����(#����� *����' �-�� ����!���'�� �����'�'���, +������, ��(��� �(#�����*����'�'� ������'� ����� .01 0��� ��'��'-'��� � �-����� ��� ���������' ������ �#����F�' &�� �(�( ������ ����''1� �'������'��

Page 91: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

����� ���� "�&�� 7/� #���� ��������� ����'�'� � (�) = ��� ����������(�(� ���'-' �-���, "�&�� 5/� �� #���� � �-���� ����� ′(3.@33) ���#��

� ′(3.@33) ≈ � (3.@33+ �)− � (3.@33 − �)5�

������ �(����'����� ��+'��� ������'��� # &( ������'��� ���(!(� ′ (3.@33) = !�� 3.@33 = 3.>57>7 ���(-( &������-�� .0� ��(��� (����*������ #���������

� ��� � � ��� � � � ′(3.@33)���#��������'

�(����%���

3.<33 3.?7?A> 3�@37 3�?<A@; 3�337 3�>5;33 3�33AA@3.<;3 3.?;75< 3�@35 3�?<=;? 3�335 3�>5;;3 3�333<@3�<<3 3�??3?= 3�@3; 3�?<>=A 3�33; 3�>5533 3�333A@3.<@3 3.???3? 3�@73 3�?<@;3 3�373 3�>57;3 3.333773�<@; 3�?<357 3�@53 3�?@;>3 3�353 3�>57;3 3�333773.<@< 3.?<53< 3�@;3 3�<7A=5 3�3;3 3�>57=3 3�333573.<@@ 3.?<5?3 7�333 3�<=7=? 3�733 3�>53;; 3�3373>"�&�� 7 "�&�� 5

Page 92: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

$�(��� *������ .01 0��� ��'��'-'��� ���# �-�� ���� � ��� ������'���'��/��� 3.33; �� 3.3; ����'����� �-���� ���� ��(��(-( .0���������

Page 93: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

$�(��� *������ .01 0��� ��'��'-'��� ���# �-�� ���� � ��� ������'���'��/��� 3.33; �� 3.3; ����'����� �-���� ���� ��(��(-( .0�����������-� �������� ��+'��� ������'�� ��(��� �� # �(#����� *������'�'� (�) = ε

�+ ��

�� ������ �� #�����-��� &������(1�

Page 94: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

$�(��� *������ .01 0��� ��'��'-'��� ���# �-�� ���� � ��� ������'���'��/��� 3.33; �� 3.3; ����'����� �-���� ���� ��(��(-( .0�����������-� �������� ��+'��� ������'�� ��(��� �� # �(#����� *������'�'� (�) = ε

�+ ��

�� ������ �� #�����-��� &������(1� 9��� (�) ���������(�(�

���( �-���� ���'-' ������' &(���'2

Page 95: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

$�(��� *������ .01 0��� ��'��'-'��� ���# �-�� ���� � ��� ������'���'��/��� 3.33; �� 3.3; ����'����� �-���� ���� ��(��(-( .0�����������-� �������� ��+'��� ������'�� ��(��� �� # �(#����� *������'�'� (�) = ε

�+ ��

�� ������ �� #�����-��� &������(1� 9��� (�) ���������(�(�

���( �-���� ���'-' ������' &(���'2

′ (�) = − ε

��+�A� =

�� − AεA��

= 3 ⇒ �� − Aε = 3

���(-(���� � = �

√ε�

������' (�) ���������(�(� ����( ������'�'��

Page 96: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

$�(��� *������ .01 0��� ��'��'-'��� ���# �-�� ���� � ��� ������'���'��/��� 3.33; �� 3.3; ����'����� �-���� ���� ��(��(-( .0�����������-� �������� ��+'��� ������'�� ��(��� �� # �(#����� *������'�'� (�) = ε

�+ ��

�� ������ �� #�����-��� &������(1� 9��� (�) ���������(�(�

���( �-���� ���'-' ������' &(���'2

′ (�) = − ε

��+�A� =

�� − AεA��

= 3 ⇒ �� − Aε = 3

���(-(���� � = �

√ε�

������' (�) ���������(�(� ����( ������'�'��

�(�(��� &������

′′ (�) =5ε�

+7A� =

>ε+��

A�⇒ ′′

(�

√Aε�

)> 3

��-����'-'���� ����!� ���# ����� .0� � = �

√ε�

������'��� (�)

���( �-���� ��'��

Page 97: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

$�(��� *������ .01 0��� ��'��'-'��� ���# �-�� ���� � ��� ������'���'��/��� 3.33; �� 3.3; ����'����� �-���� ���� ��(��(-( .0�����������-� �������� ��+'��� ������'�� ��(��� �� # �(#����� *������'�'� (�) = ε

�+ ��

�� ������ �� #�����-��� &������(1� 9��� (�) ���������(�(�

���( �-���� ���'-' ������' &(���'2

′ (�) = − ε

��+�A� =

�� − AεA��

= 3 ⇒ �� − Aε = 3

���(-(���� � = �

√ε�

������' (�) ���������(�(� ����( ������'�'��

�(�(��� &������

′′ (�) =5ε�

+7A� =

>ε+��

A�⇒ ′′

(�

√Aε�

)> 3

��-����'-'���� ����!� ���# ����� .0� � = �

√ε�

������'��� (�)

���( �-���� ��'�� ���'!� � ���'�' � ���������(�(� ����!� ���#����� &�� �'�'� ���(-(���� � (�) = ��� � ���� � ′′′ (�) = !�� � /��� # &(�����

� = �B�∈[�.�,�.�]

|� ′′′(�)| = �B�∈[�.�,�.�]

|!�� � | = !�� 3.< = 3.>@>?7

���(!(�� (���'�'��

Page 98: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�(#����� ������-� �� � �����'� &����� �(����'����� ��+'��� &��������'�� ��(��!�� *��� ���� &�� �'�'� ; × 73−�−� ������ #�����-����,; �����'� &����� �(����'����� *��+����� � �-������� �(#�����*����' ���� &�� �'�'� ε = ; × 73−� ������ �� ������

Page 99: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�(#����� ������-� �� � �����'� &����� �(����'����� ��+'��� &��������'�� ��(��!�� *��� ���� &�� �'�'� ; × 73−�−� ������ #�����-����,; �����'� &����� �(����'����� *��+����� � �-������� �(#�����*����' ���� &�� �'�'� ε = ; × 73−� ������ �� �������(���'�� *��+����� � # ε �-���� � �������� ���� ��1'�'���

� =�

√Aε�

=�

√A(3.33333;)

3.>@>?7≈ 3.35<

�� ������

Page 100: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�(#����� ������-� �� � �����'� &����� �(����'����� ��+'��� &��������'�� ��(��!�� *��� ���� &�� �'�'� ; × 73−�−� ������ #�����-����,; �����'� &����� �(����'����� *��+����� � �-������� �(#�����*����' ���� &�� �'�'� ε = ; × 73−� ������ �� �������(���'�� *��+����� � # ε �-���� � �������� ���� ��1'�'���

� =�

√Aε�

=�

√A(3.33333;)

3.>@>?7≈ 3.35<

�� ������ �(�� .0� � = 3.35< ������ �(�((��� � (�.(�������''� ��+'��!�-' ���(!(�� (���'�'��

Page 101: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

G������ #���� ���������(� ����!� ���#��� *� 1��� �����-��1�� �(���'�� �����'��'-' .�&� � (�.(� � �-�� ���� &����*��� &(�(���'1�

Page 102: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

G������ #���� ���������(� ����!� ���#��� *� 1��� �����-��1�� �(���'�� �����'��'-' .�&� � (�.(� � �-�� ���� &����*��� &(�(���'1������ ��' ����'-'�'� �1���'���'�'� ��+'���������'' ��*� ��� *�� *� 1��� .����!-� ��.(�(�( �� &��������� #���'���(���'���� 0���� �(#����� *����', 6A8 ������ �� #���� �������� ��������� ������ �1����� �����������

Page 103: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

G������ #���� ���������(� ����!� ���#��� *� 1��� �����-��1�� �(���'�� �����'��'-' .�&� � (�.(� � �-�� ���� &����*��� &(�(���'1������ ��' ����'-'�'� �1���'���'�'� ��+'���������'' ��*� ��� *�� *� 1��� .����!-� ��.(�(�( �� &��������� #���'���(���'���� 0���� �(#����� *����', 6A8 ������ �� #���� �������� ��������� ������ �1����� ����������� �(�(��� &��&� #���� �� ���#���������� &�1� 1���(� �� ����'���'������'��

Page 104: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

G������ #���� ���������(� ����!� ���#��� *� 1��� �����-��1�� �(���'�� �����'��'-' .�&� � (�.(� � �-�� ���� &����*��� &(�(���'1������ ��' ����'-'�'� �1���'���'�'� ��+'���������'' ��*� ��� *�� *� 1��� .����!-� ��.(�(�( �� &��������� #���'���(���'���� 0���� �(#����� *����', 6A8 ������ �� #���� �������� ��������� ������ �1����� ����������� �(�(��� &��&� #���� �� ���#���������� &�1� 1���(� �� ����'���'������'�� ��� ������'�� ��(����(#����� *����'�'� �-���� *��+����� �(����'��� ������ � ��'(1(��(-( +������ �� ���'-'���� ����� &�� ���' �� &0� ���� �����&���� �-��� �����, �����'�'��� �(#����� *����'�'� �����'����� �������'��

Page 105: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

G������ #���� ���������(� ����!� ���#��� *� 1��� �����-��1�� �(���'�� �����'��'-' .�&� � (�.(� � �-�� ���� &����*��� &(�(���'1������ ��' ����'-'�'� �1���'���'�'� ��+'���������'' ��*� ��� *�� *� 1��� .����!-� ��.(�(�( �� &��������� #���'���(���'���� 0���� �(#����� *����', 6A8 ������ �� #���� �������� ��������� ������ �1����� ����������� �(�(��� &��&� #���� �� ���#���������� &�1� 1���(� �� ����'���'������'�� ��� ������'�� ��(����(#����� *����'�'� �-���� *��+����� �(����'��� ������ � ��'(1(��(-( +������ �� ���'-'���� ����� &�� ���' �� &0� ���� �����&���� �-��� �����, �����'�'��� �(#����� *����'�'� �����'����� �������'�� �( �����������-���� 0���� ���# ��+'��� ������'������' $�� ���� � ������ ���������������

Page 106: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

������

� ����� ������������������ ���������������� �������� ���!� "��# ���� $��� ����� ������"��# %��&'��� $�(��� �(#����� %������'

� )�!*������ ������+������� ����(

Page 107: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

$�% �"��� &���� '�� ���� (���"�

�( ���, ��+'��� &�� ���# ������''��� ��*� ��� ���!�� �� ������ �(����'�'��

Page 108: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

$�% �"��� &���� '�� ���� (���"�

�( ���, ��+'��� &�� ���# ������''��� ��*� ��� ���!�� �� ������ �(����'�'�� �-� ������'�� ��(��� *��� � �= 3 ��' (1(��(-(�� &�-�'&�� ��������� ������ ����''1� �'�'��� �� ������� �� !� ���"��� #��$����% �� .��� �-� ��*� �� �������� ��������

Page 109: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

$�% �"��� &���� '�� ���� (���"�

�( ���, ��+'��� &�� ���# ������''��� ��*� ��� ���!�� �� ������ �(����'�'�� �-� ������'�� ��(��� *��� � �= 3 ��' (1(��(-(�� &�-�'&�� ��������� ������ ����''1� �'�'��� �� ������� �� !� ���"��� #��$����% �� .��� �-� ��*� �� �������� ��������7�,7�,7, · · · ��&���� # � ��' (1(��(-( ���� �1� 8�(�) ������ ���&���� &�� ������'

Page 110: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

$�% �"��� &���� '�� ���� (���"�

�( ���, ��+'��� &�� ���# ������''��� ��*� ��� ���!�� �� ������ �(����'�'�� �-� ������'�� ��(��� *��� � �= 3 ��' (1(��(-(�� &�-�'&�� ��������� ������ ����''1� �'�'��� �� ������� �� !� ���"��� #��$����% �� .��� �-� ��*� �� �������� ��������7�,7�,7, · · · ��&���� # � ��' (1(��(-( ���� �1� 8�(�) ������ ���&���� &�� ������' # &( ������'�� ��(��� *���

� − 8�(�) = 7�� + 7��� + 7�

+ · · · 6@8

���(��� ���(��

Page 111: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

$�% �"��� &���� '�� ���� (���"�

�( ���, ��+'��� &�� ���# ������''��� ��*� ��� ���!�� �� ������ �(����'�'�� �-� ������'�� ��(��� *��� � �= 3 ��' (1(��(-(�� &�-�'&�� ��������� ������ ����''1� �'�'��� �� ������� �� !� ���"��� #��$����% �� .��� �-� ��*� �� �������� ��������7�,7�,7, · · · ��&���� # � ��' (1(��(-( ���� �1� 8�(�) ������ ���&���� &�� ������' # &( ������'�� ��(��� *���

� − 8�(�) = 7�� + 7��� + 7�

+ · · · 6@8

���(��� ���(�� �(�� .0� � = 3.7 # � = 3.37 �-���� ����

� − 8�(3.7) = 7�3.7 + 7�3.7� + 73.7 + · · · ≈ 3.77�

� − 8�(3.37) = 7�3.37 + 7�3.37� + 73.37 + · · · ≈ 3.377�

# � .�� *��� � �= 3 ����

� − 8�(�) ≈ �7�

��1'��&�����

Page 112: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

$�% �"��� &���� '�� ���� (���"�

�( ���, ��+'��� &�� ���# ������''��� ��*� ��� ���!�� �� ������ �(����'�'�� �-� ������'�� ��(��� *��� � �= 3 ��' (1(��(-(�� &�-�'&�� ��������� ������ ����''1� �'�'��� �� ������� �� !� ���"��� #��$����% �� .��� �-� ��*� �� �������� ��������7�,7�,7, · · · ��&���� # � ��' (1(��(-( ���� �1� 8�(�) ������ ���&���� &�� ������' # &( ������'�� ��(��� *���

� − 8�(�) = 7�� + 7��� + 7�

+ · · · 6@8

���(��� ���(�� �(�� .0� � = 3.7 # � = 3.37 �-���� ����

� − 8�(3.7) = 7�3.7 + 7�3.7� + 73.7 + · · · ≈ 3.77�

� − 8�(3.37) = 7�3.37 + 7�3.37� + 73.37 + · · · ≈ 3.377�

# � .�� *��� � �= 3 ����

� − 8�(�) ≈ �7�

��1'��&����� 6@8 ��������� 8�(�)/��� � ��&���� ���'���� *'1'�'� ����(-(�(, ���� �� *����'�'� "(�) ���(-( .0������

Page 113: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

������+������� ���( (�.(������� ��*� ����� ��&�� ��*������' 6"

(��),"(�), · · · .�&�8 # �����'�'��� ��*� ��� ������'��� ��

���1�

Page 114: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

������+������� ���( (�.(������� ��*� ����� ��&�� ��*������' 6"

(��),"(�), · · · .�&�8 # �����'�'��� ��*� ��� ������'��� ��

���1� G�1���� � ��' (1(��(-(�� ��*�+

� = 8� (�) + 7�� + 7��� + 7�

+ · · · 6738

Page 115: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

������+������� ���( (�.(������� ��*� ����� ��&�� ��*������' 6"

(��),"(�), · · · .�&�8 # �����'�'��� ��*� ��� ������'��� ��

���1� G�1���� � ��' (1(��(-(�� ��*�+

� = 8� (�) + 7�� + 7��� + 7�

+ · · · 6738

��������� � ���� ��

��'�'���

� = 8�

(�5

)+ 7�

(�5

)+ 7�

(�5

)�

+ 7

(�5

)

+ · · ·

Page 116: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

������+������� ���( (�.(������� ��*� ����� ��&�� ��*������' 6"

(��),"(�), · · · .�&�8 # �����'�'��� ��*� ��� ������'��� ��

���1� G�1���� � ��' (1(��(-(�� ��*�+

� = 8� (�) + 7�� + 7��� + 7�

+ · · · 6738

��������� � ���� ��

��'�'���

� = 8�

(�5

)+ 7�

(�5

)+ 7�

(�5

)�

+ 7

(�5

)

+ · · ·

� = 8�

(�5

)+ 7�

�5+ 7�

��

=+ 7

<+ · · · 6778

������ "(�) ������' ������ �� ������

Page 117: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

6738 # 6778 ��������� 7� ������'�'�' ���� ���� ��� �� ����.���� ����� ��+'�'���

Page 118: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

6738 # 6778 ��������� 7� ������'�'�' ���� ���� ��� �� ����.���� ����� ��+'�'���

5� = 58�

(�5

)+ 7�� + 7�

��

5+ 7

=+ · · ·

−� = −8� (�)− 7�� − 7��� − 7�

− · · ·

� = 8�

(�5

)+

[8�

(�5

)− 8�(�)

]+ 7�

(��

5− ��

)+ 7

(�

=− �

)+ · · ·

Page 119: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

6738 # 6778 ��������� 7� ������'�'�' ���� ���� ��� �� ����.���� ����� ��+'�'���

5� = 58�

(�5

)+ 7�� + 7�

��

5+ 7

=+ · · ·

−� = −8� (�)− 7�� − 7��� − 7�

− · · ·

� = 8�

(�5

)+

[8�

(�5

)− 8�(�)

]+ 7�

(��

5− ��

)+ 7

(�

=− �

)+ · · ·

����

� = 8�

(�5

)+

[8�

(�5

)− 8�(�)

]− 7�

5�� − 7

=� − · · · 6758

���(!(�� (���'�'��

Page 120: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�-�

8� (�) = 8�

(�5

)+

[8�

(�5

)− 8�(�)

]67A8

�����

Page 121: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�-�

8� (�) = 8�

(�5

)+

[8�

(�5

)− 8�(�)

]67A8

����� 6758 ������

� = 8� (�)− 7�

5�� − 7

=� − · · ·

*���� .���

Page 122: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�-�

8� (�) = 8�

(�5

)+

[8�

(�5

)− 8�(�)

]67A8

����� 6758 ������

� = 8� (�)− 7�

5�� − 7

=� − · · ·

*���� .��� �� � ��&���� ��+'��� 8�(�) ������''�'� �� *����'�'�"(��) ���(-( .0������

Page 123: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�-�

8� (�) = 8�

(�5

)+

[8�

(�5

)− 8�(�)

]67A8

����� 6758 ������

� = 8� (�)− 7�

5�� − 7

=� − · · ·

*���� .��� �� � ��&���� ��+'��� 8�(�) ������''�'� �� *����'�'�"(��) ���(-( .0������ ���� 8�(�) ������ 8�(�)/� .0� ��*� ��� &��������'�'��

Page 124: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 5�7

2�� � '�'3� � = 3.7 � � = 3.3; � � �� �� ���� � (�) = �� ������������� � = 7.< ������������ ��� ��� �� �� ������� � ���� �� �&���� ��������� ��������� � � �� � �� ���������9

Page 125: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 5�7

2�� � '�'3� � = 3.7 � � = 3.3; � � �� �� ���� � (�) = �� ������������� � = 7.< ������������ ��� ��� �� �� ������� � ���� �� �&���� ��������� ��������� � � �� � �� ���������9

� = 3.7 ���� � ′(7.<) ≈ 3.;=3>?55 � � = 3.3; ���� � ′(7.<) ≈ 3.;=?@?@;�

:� �� ������� � ������� ���� � ���� ��� ′′(ξ(�)) �� � ��������� � ��

�������� � �� ������ "(�) ����

Page 126: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 5�7

2�� � '�'3� � = 3.7 � � = 3.3; � � �� �� ���� � (�) = �� ������������� � = 7.< ������������ ��� ��� �� �� ������� � ���� �� �&���� ��������� ��������� � � �� � �� ���������9

� = 3.7 ���� � ′(7.<) ≈ 3.;=3>?55 � � = 3.3; ���� � ′(7.<) ≈ 3.;=?@?@;�

:� �� ������� � ������� ���� � ���� ��� ′′(ξ(�)) �� � ��������� � ��

�������� � �� ������ "(�) ���� �����&������ � ���� �� ���� �� ���������� �&������ 4 ���� $!�� ������

Page 127: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 5�7

2�� � '�'3� � = 3.7 � � = 3.3; � � �� �� ���� � (�) = �� ������������� � = 7.< ������������ ��� ��� �� �� ������� � ���� �� �&���� ��������� ��������� � � �� � �� ���������9

� = 3.7 ���� � ′(7.<) ≈ 3.;=3>?55 � � = 3.3; ���� � ′(7.<) ≈ 3.;=?@?@;�

:� �� ������� � ������� ���� � ���� ��� ′′(ξ(�)) �� � ��������� � ��

�������� � �� ������ "(�) ���� �����&������ � ���� �� ���� �� ���������� �&������ 4 ���� $!�� ������

!���� 8�(3.7) = 3.;=3>?55 # 8�(3.3;) = 3.;=?@?@; ��������� 67A8�������� ��1'�'���

8�(3.7) = 8�(3.3;) + [8�(3.3;)− 8�(3.7)] = 3.;;;5<><

&(�(�(��

Page 128: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 5�7

2�� � '�'3� � = 3.7 � � = 3.3; � � �� �� ���� � (�) = �� ������������� � = 7.< ������������ ��� ��� �� �� ������� � ���� �� �&���� ��������� ��������� � � �� � �� ���������9

� = 3.7 ���� � ′(7.<) ≈ 3.;=3>?55 � � = 3.3; ���� � ′(7.<) ≈ 3.;=?@?@;�

:� �� ������� � ������� ���� � ���� ��� ′′(ξ(�)) �� � ��������� � ��

�������� � �� ������ "(�) ���� �����&������ � ���� �� ���� �� ���������� �&������ 4 ���� $!�� ������

!���� 8�(3.7) = 3.;=3>?55 # 8�(3.3;) = 3.;=?@?@; ��������� 67A8�������� ��1'�'���

8�(3.7) = 8�(3.3;) + [8�(3.3;)− 8�(3.7)] = 3.;;;5<><

&(�(�(�� �����'�'���� ′ (7.<) ≈ 3.;;;5<><

������'' �� ������

Page 129: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

��-� �������� � (�) = �� � ���� � ′ (�) = �

����(-(���� ���#�� #����

��������� .��� �-��

� ′ (7.<) =7

7.<= 3.;̄

����

Page 130: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

��-� �������� � (�) = �� � ���� � ′ (�) = �

����(-(���� ���#�� #����

��������� .��� �-��

� ′ (7.<) =7

7.<= 3.;̄

���� �(�� .0� � = 3.7 # � = 3.3; ��'����� �� ���� 8�(3.7) #8�(3.3;) ������'���'��� ��(��� (���� *������ �'���' ��

|8�(3.7)− � ′(7.<)| = 3.7=<<AA;;>× 73−�

Page 131: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

��-� �������� � (�) = �� � ���� � ′ (�) = �

����(-(���� ���#�� #����

��������� .��� �-��

� ′ (7.<) =7

7.<= 3.;̄

���� �(�� .0� � = 3.7 # � = 3.3; ��'����� �� ���� 8�(3.7) #8�(3.3;) ������'���'��� ��(��� (���� *������ �'���' ��

|8�(3.7)− � ′(7.<)| = 3.7=<<AA;;>× 73−�

#|8�(3.3;)− � ′(7.<)| = 3.?;?>3;;;;>× 73−�

���

Page 132: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

��-� �������� � (�) = �� � ���� � ′ (�) = �

����(-(���� ���#�� #����

��������� .��� �-��

� ′ (7.<) =7

7.<= 3.;̄

���� �(�� .0� � = 3.7 # � = 3.3; ��'����� �� ���� 8�(3.7) #8�(3.3;) ������'���'��� ��(��� (���� *������ �'���' ��

|8�(3.7)− � ′(7.<)| = 3.7=<<AA;;>× 73−�

#|8�(3.3;)− � ′(7.<)| = 3.?;?>3;;;;>× 73−�

��� 8�(3.7) ������''�'� (���� *����'

|8�(3.7)− � ′(7.<)| = 3.5><?;;;;;× 73−

������ &(�(�(�

Page 133: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

��-� �������� � (�) = �� � ���� � ′ (�) = �

����(-(���� ���#�� #����

��������� .��� �-��

� ′ (7.<) =7

7.<= 3.;̄

���� �(�� .0� � = 3.7 # � = 3.3; ��'����� �� ���� 8�(3.7) #8�(3.3;) ������'���'��� ��(��� (���� *������ �'���' ��

|8�(3.7)− � ′(7.<)| = 3.7=<<AA;;>× 73−�

#|8�(3.3;)− � ′(7.<)| = 3.?;?>3;;;;>× 73−�

��� 8�(3.7) ������''�'� (���� *����'

|8�(3.7)− � ′(7.<)| = 3.5><?;;;;;× 73−

������ &(�(�(� �� &( �� ��+'��� �����+������� ���(!( &(�(���������''� ��� ������'���� .0� ��*� ��� ���(-( ���(!(�( ������ ������

Page 134: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�-� �� *����', � ��' (1(��(-(�(� ���! ���� �(##������ �����������+'��� �����+������� ��� ��*� ��� ���(� #����

Page 135: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�-� �� *����', � ��' (1(��(-(�(� ���! ���� �(##������ �����������+'��� �����+������� ��� ��*� ��� ���(� #���� C�����

� = 8�(�) + 7��� + 7��

+ 7�� + · · · 67=8

� = 8�

(�5

)+ 7�

��

=+ 7�

7>+ 7

��

>=+ · · ·

���(��

Page 136: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�-� �� *����', � ��' (1(��(-(�(� ���! ���� �(##������ �����������+'��� �����+������� ��� ��*� ��� ���(� #���� C�����

� = 8�(�) + 7��� + 7��

+ 7�� + · · · 67=8

� = 8�

(�5

)+ 7�

��

=+ 7�

7>+ 7

��

>=+ · · ·

���(�� �(�� .0�, �� �������� ���� ������ ��������� ���� ����!������� = �� ���+'�'� &����!� ������ ���+'��� �'���'�'���

A� =

[=8�

(�

5

)− 8�(�)

]+ 7�

[�

=− �

]+ 7

[��

7>− ��

]+ · · ·

Page 137: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�-� �� *����', � ��' (1(��(-(�(� ���! ���� �(##������ �����������+'��� �����+������� ��� ��*� ��� ���(� #���� C�����

� = 8�(�) + 7��� + 7��

+ 7�� + · · · 67=8

� = 8�

(�5

)+ 7�

��

=+ 7�

7>+ 7

��

>=+ · · ·

���(�� �(�� .0�, �� �������� ���� ������ ��������� ���� ����!������� = �� ���+'�'� &����!� ������ ���+'��� �'���'�'���

A� =

[=8�

(�

5

)− 8�(�)

]+ 7�

[�

=− �

]+ 7

[��

7>− ��

]+ · · ·

���(��� "(�) �� *����'�� ��*�+

� =7A

[=8�

(�5

)− 8�(�)

]− 7�

=� − ;7

7>�� − · · ·

������ �� ������

Page 138: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�-�

8� (�) =7A

[=8�

(�

5

)− 8�(�)

]= 8�

(�

5

)+

7A

[8�

(�

5

)− 8�(�)

]

�����

Page 139: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�-�

8� (�) =7A

[=8�

(�

5

)− 8�(�)

]= 8�

(�

5

)+

7A

[8�

(�

5

)− 8�(�)

]

�����

� = 8� (�)− 7�

=� − ;7

7>�� − · · · 67;8

������'' �� ������

Page 140: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

�-�

8� (�) =7A

[=8�

(�

5

)− 8�(�)

]= 8�

(�

5

)+

7A

[8�

(�

5

)− 8�(�)

]

�����

� = 8� (�)− 7�

=� − ;7

7>�� − · · · 67;8

������'' �� ������ 67=8 ��������� �� *����' "(��) ��� ��+'��������+������� �� �� ���� 67;8 ������''��� �� *����' "(�) ��(��

Page 141: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

��1� ����� ����� �����+������� (�.(�����' # &(�(��� ������'��������� �� *����'�'� ��*� �� ��� ���(-(�( .0�����2

Page 142: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

��1� ����� ����� �����+������� (�.(�����' # &(�(��� ������'��������� �� *����'�'� ��*� �� ��� ���(-(�( .0�����2 67;8�����-��� � ���� �

���1���� �� ����

� = 8�

(�5

)− 7 �

>=� − ;7

735=�� − · · ·

�������� 7> �� ���+��, ��(��� ���+'��� 67;8 �����-� ����� ������ �'���'�'���

7;� =

[7>8�

(�5

)− 8�(�)

]+

7;7

>=�� + · · ·

���(��� "(��) �� *����'�� ��*�+

� =77;

[7>8�

(�

5

)− 8�(�)

]+7

>=�� + · · ·

������ �� ������

Page 143: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

��1� ����� ����� �����+������� (�.(�����' # &(�(��� ������'��������� �� *����'�'� ��*� �� ��� ���(-(�( .0�����2 67;8�����-��� � ���� �

���1���� �� ����

� = 8�

(�5

)− 7 �

>=� − ;7

735=�� − · · ·

�������� 7> �� ���+��, ��(��� ���+'��� 67;8 �����-� ����� ������ �'���'�'���

7;� =

[7>8�

(�5

)− 8�(�)

]+

7;7

>=�� + · · ·

���(��� "(��) �� *����'�� ��*�+

� =77;

[7>8�

(�

5

)− 8�(�)

]+7

>=�� + · · ·

������ �� �������-�

8 (�) =77;

[7>8�

(�

5

)− 8�(�)

]= 8�

(�

5

)+

77;

[8�

(�

5

)− 8�(�)

]�����

� = 8 (�) +7

>=�� + · · ·

������ "(��) �� *����'�� ��*�+ &�� ������' ������ �� ������

Page 144: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

��1� ����� �����+������� (�.(����� �#� ������

Page 145: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

��1� ����� �����+������� (�.(����� �#� ������ ; = 5, A, =, · · ·���� �1� "(��� ) �� *����' ����

8� (�) = 8�−�

(�5

)+

7=�−� − 7

[8�−�

(�5

)− 8�−� (�)

]

������'' &(�(�(� ��(��

Page 146: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

��1� ����� �����+������� (�.(����� �#� ������ ; = 5, A, =, · · ·���� �1� "(��� ) �� *����' ����

8� (�) = 8�−�

(�5

)+

7=�−� − 7

[8�−�

(�5

)− 8�−� (�)

]

������'' &(�(�(� ��(�� �� .�� *��� ; = 5, A, =, · · · ���� "(�� )������' ������

8� (�) = 8�−�

(�5

)+

75�−� − 7

[8�−�

(�5

)− 8�−� (�)

]

������ ���� ������

Page 147: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 5�5

ξ� � � �� �� − � �� �� + � �������� ����� �� � � ′(��) ��� ��� �������� ��� � �� ����� ����%����� �������

� ′(��) =75�

[� (��+ �)− � (�� − �)]− ��

>� ′′′(ξ�)

������������ �&���� ���������� <���� < �� �� ������������ �&������������� ������ ���� �� �������

� ′(��) =75�

[� (��+ �)− � (�� − �)]− ��

>� ′′′(��)− �

753� (�)(��)− · · ·

������� �� � ��� ��� 4 �� ���������

Page 148: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

:��� 5�5

ξ� � � �� �� − � �� �� + � �������� ����� �� � � ′(��) ��� ��� �������� ��� � �� ����� ����%����� �������

� ′(��) =75�

[� (��+ �)− � (�� − �)]− ��

>� ′′′(ξ�)

������������ �&���� ���������� <���� < �� �� ������������ �&������������� ������ ���� �� �������

� ′(��) =75�

[� (��+ �)− � (�� − �)]− ��

>� ′′′(��)− �

753� (�)(��)− · · ·

������� �� � ��� ��� 4 �� ��������� 6��� $!� � (�) = � � � � = 3.5����� �� � � ′(5.3) ��� � � � ��� "(��)� "(�)� "(��) � �� ���������� ����& �� ��������� ����������

Page 149: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

&'(� "(��) ������''2

Page 150: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

&'(� "(��) ������''2

8�(�) =75�

[� (��+ �) − � (�� − �)]

���� �1�

� ′(��) = 8� (�) − ��

>� ′′′ (��)− �

753� (�) (��)− · · ·

������ ��1'��&�����

Page 151: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

&'(� "(��) ������''2

8�(�) =75�

[� (��+ �) − � (�� − �)]

���� �1�

� ′(��) = 8� (�) − ��

>� ′′′ (��)− �

753� (�) (��)− · · ·

������ ��1'��&����� �(�� .0�

8� (3.5) =7

5(3.5)[� (5 + 3.5)− � (5 − 3.5)]

=7

3.=[� (5.5)− � (7.<)] = 55.=7=7>3>>

Page 152: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

&'(� "(��) ������''2

8�(�) =75�

[� (��+ �) − � (�� − �)]

���� �1�

� ′(��) = 8� (�) − ��

>� ′′′ (��)− �

753� (�) (��)− · · ·

������ ��1'��&����� �(�� .0�

8� (3.5) =7

5(3.5)[� (5 + 3.5)− � (5 − 3.5)]

=7

3.=[� (5.5)− � (7.<)] = 55.=7=7>3>>

#

8�(3.7) =7

5(3.7)[� (5 + 3.7)− � (5 − 3.7)]

=7

3.5[� (5.7)− � (7.@)] = 55.55<?<><<

������ "(��) ������'���' �� ������

Page 153: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

"(�) ������''2

Page 154: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

"(�) ������''2 8�(3.7) # 8�(3.5) �-���� �(����'�����

8� (3.5) = 8� (3.7) +7A[8� (3.7)− 8� (3.5)] = 55.7>>@@;>=

������ "(�) ������'' �� ������

Page 155: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

"(��) ������''2

Page 156: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

"(��) ������''2 &( ������'

8 (3.5) = 8� (3.7) +77;

[8� (3.7)− 8� (3.5)]

������ �� ��+'��'-'���� 0�! 8�(3.7) # &(�(� ����� 8�(3.3;)�-������ *��+���� .���� �� &( ������'��� �'���' �� "(�) # "(��)������'���'�'��

Page 157: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

"(��) ������''2 &( ������'

8 (3.5) = 8� (3.7) +77;

[8� (3.7)− 8� (3.5)]

������ �� ��+'��'-'���� 0�! 8�(3.7) # &(�(� ����� 8�(3.3;)�-������ *��+���� .���� �� &( ������'��� �'���' �� "(�) # "(��)������'���'�'�� �(�� .0�

8� (3.3;) =7

5(3.3;)[� (5 + 3.3;)− � (5 − 3.3;)]

=7

3.7[� (5.3;)− � (7.@;)] = 55.7<5;>=<>

8� (3.7) = 8� (3.3;) +7A[8� (3.3;)− 8� (3.7)] = 55.7>?7;?;5

������'���' 8 (3.5) �-�� ���� #���� ������� ��1'�'���

8 (3.5) = 55.7>?7><A7

������ &�� "(��) ������'' �� ������

Page 158: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

"� &( ������'��� �������� � ��� ���(�, *����' � ����� ���� "(��)������'' �� �� ������

Page 159: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

"� &( ������'��� �������� � ��� ���(�, *����' � ����� ���� "(��)������'' �� �� ������ C�����, � (�) = � � ���������(�(� ���#�� ′ (�) = �(7 + �) ���(-(���� � = 5.3 ����

� ′ (5.3) = � (7 + 5) = A � = 55.7>?7><A

.��� ���# �-�� &(�(�(��

Page 160: Ders 6: Nümerik Diferansiyel - web.iku.edu.trweb.iku.edu.tr/~eyavuz/dersler/sayisalyontemler/4.1.pdf · & 7/ # ' ' ( )= ( ( '-' - , " & 5/ # - 3 (. @33) # 3 (. @33) ≈ 3 (. @33

������� ������� �� ��������� ��������� �� ������

"� &( ������'��� �������� � ��� ���(�, *����' � ����� ���� "(��)������'' �� �� ������ C�����, � (�) = � � ���������(�(� ���#�� ′ (�) = �(7 + �) ���(-(���� � = 5.3 ����

� ′ (5.3) = � (7 + 5) = A � = 55.7>?7><A

.��� ���# �-�� &(�(�(�� �(�� .0�

"(��) : 8� (3.5) ≈ � ′ (5.3) , �(���� %��� = 3.5=>@@5A>

"(�) : 8� (3.5) ≈ � ′ (5.3) , �(���� %��� = 3.7?5>>× 73−

"(��) : 8 (3.5) ≈ � ′ (5.3) , �(���� %��� = 3.7 × 73−�

���(-( .0������