§5.3 常系数线性微分 方程组
( ),dx
Ax f tdt
, ( )A n n f t
a t b
这里系数矩阵 为 常数矩阵 在
;上连续的向量函数
一阶常系数线性微分方程组 :
( ) 0,f t 若 则对应齐线性微分方程组为
, (5.33)dx
Axdt
本节主要讨论 (5.33) 的基解矩阵的求法 .
一、矩阵指数 expA的定义和求法1 expA 的定义
定义 ,
exp
A n n
A
设 为 常数矩阵则定义矩阵指数为下列矩阵级数的和
2
0
exp (5.34)! 2! !
k m
k
A A AA E A
k m
0, , ,0! 1.mE A A m A E 其中 为单位矩阵 为 的 次幂注 1: 矩阵级数 (5.34) 是收敛的 .
由于 ,! !
kk AA
k k 而数项级数
1 !
k
k
A
k
收敛 .
注 2: 级数
在 t 的任何有限区间上是一致收敛的 .
由于 , ,! !
k kk k A cA tt c
k k
而数项级数1 !
k k
k
A c
k
收敛 .
22
0
exp! 2! !
k mk m
k
A A AAt t E At t t
k m
2 矩阵指数的性质(1) , .A B A BAB BA e e e 若 则
1(2) , (exp )A A ,对任何矩阵 存在 且1(exp ) exp(- ).A A =
由于 :0
( )exp( )
!
k
k
A BA B
k
0k
0
;!( )!
l k lk
l
A B
l k l
0 0
exp exp! !
i j
i j
A BA B
i j
=0 0
[ ];!( )!
l k lk
k l
A B
l k l
绝对收敛级数的乘法定理
由于 : exp exp(- )A A exp( (- ))A A exp0 .E
(3) ,T若 是非奇异的则
) (exp ) .AT A T-1 -1exp(T T
由于 :)AT -1exp(T
1
0
( )
!
k
k
T AT
k
E 1
1
( )
!
k
k
T AT
k
E
1
1 !
k
k
T A T
k
1T T 1
1
( )!
k
k
AT T
k
1
1
( )!
k
k
AT E T
k
(exp ) .A T -1T
3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵(1) 定理 9 矩阵
( ) expt At 是 (5.33) 的基解矩阵 , 且 (0) .E
证明 : 0 , expt At当 时由 定义知 (0) ;E
又因为 ' '( ) (exp )t At 2 3
2 1
1! 2! ( 1)!
mmA A A
A t t tm
A A
( ) expt At 故 是基解矩阵
22( )
2! !
mmA A
E At t tm
exp At ( ),tA
例 1 如果 A 是一个对角矩阵1
2
n
a
aA
a
' .x Ax试求出 的基解矩阵解 由 (5.34) 得
exp At E
1
2
1!
n
a
a t
a
21
2 22
2
2!
n
a
a t
a
1
2
!
m
m m
mn
a
a t
m
a
1
2
n
a t
a t
a t
e
e
e
例 2' 2 1
.0 2
x x
试求出 的基解矩阵
解 因为2 1
0 2A
2 0 0 1
0 2 0 0
而后面两个矩阵是可交换的
2 02 ,
0 2E
20 1 0 0
,0 0 0 0
故 exp At2 0
exp( )0 2
t
0 1exp( )
0 0t
2
2
0
0
t
t
e
e
2 20 1 0 1{ }
0 0 0 0 2!
tE t
2
2
0
0
t
t
e
e
1
0 1
t
2 1.
0 1t t
e
(2) 基解矩阵的一种求法n A对 阶矩阵 设 1A T JT
, .T J Jordan其中 为非奇异矩阵 为 矩阵
则 1 .At Jte T e T
其中 1
2 ,
k
J
JJ
J
1
2
,
k
J t
J tJt
J t
e
ee
e
注 1: 1 1 1 .At Jt Jte T T e T e ,由 知 也是基解矩阵
二 基解矩阵的计算公式
类似第四章 4.2.2, 寻求' , (5.33)x Ax
形如( ) , 0, (5.43)tt e c c
, .c的解 其中常数 和向量 是待定的
将 (5.43) 代入 (5.33) 得,t te c Ae c
0,te 因 上式变为( ) 0, (5.44)E A c
1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系
方程 (5.44) 有非零解的充要条件是 :det( ) 0,E A
结论 (5.33) ( ) tt e c 微分方程组 有非零解 的充要条件是, .A c 是矩阵 的特征根 是与 对应的特征向量
( ) (5.33)tt e c为 解 ( ) 0E A c 有非零解即
例 33 5
.5 3
A=试求矩阵 特征值和特征向量
解 A的特征值就是特征方程3 5
det( )5 3
E A
2 6 34 0
的根 , 1 23 5 , 3 5 .i i
' , (5.33)x Ax( ) 0, (5.44)E A c
1 1 23 5 ( , )Ti u u u 对特征根 的特征向量 满足
( )E A u 1
2
5 50
5 5
ui
ui
解得1
, 0.ui
2 1 23 5 ( , )Ti v v v对特征根 的特征向量 满足
( )E A u 1
2
5 50
5 5
vi
vi
解得 , 0.1
iv
' 3 5
5 3x x
微分方程组 的解为
(3 5 )1
1,i tx e
i
(3 5 )2 ;
1i t ix e
(3 5 )1
1i tx ei
3 (cos5 sin 5 )te t i t
1
i
3 cos sin
sin cost t i te
t i t
3 cos
sint te
t
3 sin
cost t
iet
故解为: 31
cos,
sint t
x et
32
sin.
cost t
x et
例 42 1
.1 4
A=试求矩阵 特征值和特征向量
解 特征方程为2 1
det( )1 4
E A
2 6 9 0
3 , 因此 为两重特征根 为求其对应的特征向量考虑方程组
( )E A c 1
2
1 10
1 1
c
c
解得1
, 0,1
c
3 是对应于特征根 的特征向量
'
3
2 1
1 4
1.
1t
x x
x e
方程组
的解为
2 基解矩阵的计算方法 --- 常系数线性微分方程组的解法
(1) 矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量时定理 10
1 2 1 2, , , ; , , , (
),n nv v v
A n如果矩阵 具有 个线性无关的特征向量它们相应的特征值为 不必
互不相同 那么矩阵1 2
1 2( ) [ , , , ],ntt tnt e v e v e v t
是常系数线性微分方程组' , (5.33)x Ax
的一个基解矩阵 .
证明 : 由上面讨论知 , 每一个向量函数
, 1, 2, ,jt
je v j n
都是 (5.33) 的解 , 因此矩阵1 2
1 2( ) [ , , , ]ntt tnt e v e v e v
是 (5.33) 的解矩阵 ,
1 2, , , ,nv v v由于 线性无关所以
1 2det (0) det[ , , , ]nv v v 0
( ) (5.33) .t故 是 的基解矩阵
例 5' 3 5
.5 3
x x
试求微分方程组 的基解矩阵
解 由例 3 知 1 23 5 , 3 5i i A ,是 的特征值
1 2 1 2
1, , ,
1
iv v
i
;是对应于 的特征向量
由定理 10, 矩阵
1 21 2( ) [ , ]t tt e v e v
(3 5 ) (3 5 )
(3 5 ) (3 5 )
i t i t
i t i t
e ie
ie e
就是一个基解矩阵 .
注 : , ( ) exp .t At一般来说 不一定是exp ( ) ,At t C但由于 有 1(0),C
从而 1exp ( ) (0).At t
例 6 试求例 5 的实基解矩阵 .
解 由于基解矩阵为(3 5 ) (3 5 )
(3 5 ) (3 5 )( )
i t i t
i t i t
e iet
ie e
故实基解矩阵为
exp At 1
1
1
i
i
(3 5 ) (3 5 )
(3 5 ) (3 5 )
i t i t
i t i t
e ie
ie e
(3 5 ) (3 5 )
(3 5 ) (3 5 )
11
12
i t i t
i t i t
ie ie
iie e
(3 5 ) (3 5 ) (3 5 ) (3 5 )
(3 5 ) (3 5 ) (3 5 ) (3 5 )
( )1
2 ( )
i t i t i t i t
i t i t i t i t
e e i e e
i e e e e
3 cos5 sin 5.
sin 5 cos5t t te
t t
求例 5 满足初始条件1
(0)1
的解
解 由于基解矩阵为exp At 3 cos5 sin 5
.sin 5 cos5
t t te
t t
故该方程的通解为 ( ) (exp )x t At c从而 ( ) (exp )t At c
由初始条件有1
(0)1
c
故( )t 3 cos5 sin 5 1
.sin 5 cos5 1
t t te
t t
3 cos5 sin 5.
sin 5 cos5t t te
t t
例 7 求方程组'
5 28 18
1 5 3
3 16 10
x x
的通解 .
解 A系数矩阵 的特征方程为2det( ) 3 (1 ) 0E A
因此特征根为 1 2 30, 1, 1;
它们相的特征向量为
1 2 3
2 2 3
1 , 1 , 0 ;
1 2 1
v v v
故基解矩阵为2 2 3
( ) 1 0
1 2
t t
t
t t
e e
t e
e e
故通解为1
2
3
2 2 3
( ) ( ) 1 0
1 2
t t
t
t t
e e c
t t c e c
e e c
1
2
1
1
c
2
2
1
2
tc e
3
3
0 ;
1
tc e
(2) 矩阵 A 的特征根有重根时1 2
1 2 1 2
, , , ;
, , , ; .k
k kn n n n n n n
n n A假设 矩阵 的特征值为 相应重
数为 且,n n U由高代知 维常数列向量所组成的 维空间 的子集
{ | ( ) 0}jn
j jU u U A E u
( 1,2, , ),jU n j k 是 的 维不变子空间 且
1 2 , (5.49)kU U U U
(5. 33) (0)= ,下面先寻求 满足初始条件 的解
' , (5.33)x Ax
( ) (exp )t At 分量是无穷级数 难 !
分量表为 t 的指数函数与幂函数乘积有限项组合将 分解, (exp )At
jU因子空间 是方程组
( ) 0, (5.48)jn
jA E u
的解产生的 , jv从而 一定是(5. 48)的解,由此即得( ) 0, , 1, 2, , , (5.51)l
j j jA E v l n j k
由于jteexp( )jt
je Et
j
j
j
t
t
t
e
e
e
E
( 1,2, , ),j jv U j k 其中1 2 , (5.50)kv v v
由 (5.49) 有
由 (5.51) 有 (exp ) (exp )j jAt v At v [exp( )]jt
je Et jte [exp( ) ]jA E t jv
jte2
2[ ( ) ( )2!j j
tE A E t A E
jv
(5.33) ( ) (exp ) ,t At 故 的解 可表为
( ) (exp )t At (exp )At1
k
jj
v
1
(exp )k
jj
At v
12
12
1
[ ( ) ( ) ( ) ]2! ( 1)!
j
j j
nkt n
j j j jj j
t te E A E t A E A E v
n
(5. 33) (0)=故 满足初始条件 的解可写成1
1 0
( ) { ( ) } , (5.52)!
j
j
n ikt i
j jj i
tt e A E v
i
11( ) ]
( 1)!
j
j
nn
jj
tA E
n
注 1: , ,A u当 只有一个特征值时 对任何 都有( ) 0,nA E u
故 exp At exp( )A E t te1
0
( ) , (5.53)!
int i
ji
te A E
i
注 2: (5.52) exp ,At为了从 求 注意到
exp At (exp )At E 1[(exp ) , , (exp ) ]nAt e At e
其中
1 2
1 0 0
0 1 0, , , ,
0 0 1
ne e e
1 2
,
, , , ,
,
exp .
ne e e
n
n
At
是单位向量 依次令 求得
个线性无关的解以这 个解为列可得到
例 8 试解初值问题
' 2 1, (0) ,
1 4x x
exp .At并求
解 从例 4 知 ,
3 A ,是 的二重特征值
1 12, ,n U这时 只有一个子空间
12
2n
1= (5. 52)将 及 代入 即得
3( ) { ( 3 )}tt e E t A E 13
2
1 1{ }
1 1te E t
1
1 0
( ) { ( ) } , (5.52)!
j
j
n ikt i
j jj i
tt e A E v
i
1 1 23
2 1 2
( )
( )t te
t
利用公式 (5.53) 即得3exp { ( 3 )}tAt e E t A E
3 1 0 1 1{ }
0 1 1 1te t
3 1
1t t te
t t
或者分别令 1 (1,0)Te T2, e =(0, 1) ,
(5. 54)然后代入 即得
1 2exp [(exp ) , (exp ) ]At At e At e 3 1.
1t t te
t t
例 9 如果 4 1 0 0 0
0 4 1 0 0
0 0 4 1 0
0 0 0 4 1
0 0 0 0 4
A
exp .At试求
解 5, 4 ,n A 这里 是 的五重特征值
直接计算可得 3( 4 ) 0,A E 因此由公式 (5.53) 可得
exp At -4te2
2{ ( 4 ) ( 4 ) }2!
tE t A E A E
1
0
exp ( ) , (5.53)!
int i
ji
tAt e A E
i
-4te
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
{ 1
1
1
t
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
2
}2!
t
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
-4te
2
0 02
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
tt
t
1
1
1
1
1
例 10 求方程组'1 1 2 3'2 1 3'3 1 2 3
3
2 ,
2
x x x x
x x x
x x x x
( ), exp .t At的解 并求
满足初始条件
1
2
3
(0)=
解 这里系数矩阵
A
3 -1 1
2 0 1
1 -1 2A的特征方程为
2det( - ) ( -1)( - 2) 0E A
特征根为
21, 2; 1 21, 2 ;n n 1分别为 重特征值
2, ;U U1为了确定三维欧几里德空间的子空间
由 (5.48) 我们需要考虑下面方程( ) 0A E u 和 2( 2 ) 0A E u
首先讨论 2 1 1
( ) 2 1 1 0
1 1 1
A E u u
这个方程组的解为 1
0
,u
为任常数
1 1 .U u子空间 是由向量 张成的子空间
其次2
0 0 0
( 2 ) 1 1 0 0
1 1 0
A E u u
这个方程组的解为 2 , ,u
其中 为任常数
2 2U u子空间 是由向量 张成的子空间
1 2 2 2, ,v U v U v v 1 1 ,下面找 使 即
1
2
3
0
解之得1 1
0
, ;v v
1
2 1 1
2 1 3 2 1
(0)=故方程满足 的解为2
1 2( ) { ( 2 )}t tt e Ev e E t A E v
2
0 1 1 1
{ 2 2 1 }
1 1 0
t te e E t
1
2 1 1
2 1 3 2 1
2
0 (
( )t t
t
e e t
1 3 2 1
2 1 1 3 2 1
2 1 3 2 1
exp ,At 为计算 直接令 等于
, , ;
1 0 0
0 1 0
0 0 1
代入上式得到三个线性无关的解 , 利用这三个解为列 , 即得
2 2
2 2 2
2 2 2
(1 )
exp - (1 ) -
- -
t t t
t t t t t
t t t t t
t e te te
At e t e e te te
e e e e e
(3) 非齐线性方程的解下面研究非齐线性微分方程组
' ( ), (5.60)x Ax f t (0)=满足初始条件 的解
由于 (5.60) 对应齐次方程组 'x Ax 的基解矩阵为( ) exp ,t At 1( ) exp( ),t At 且
故由常数变易公式 , 0t (5. 60)满足 ( )=的解为
00( ) exp[ ( )] exp[ ( )] ( )
t
tt A t t A t s f s ds
0
-1 10( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (5.27)
t
tt t t t s f s ds
例 10 设3 5
, ( )5 3 0
teA f t
' ( )x Ax f t 试求方程组 满足初始条件
0(0)
1
的解 .
解 由例 6 知3 cos5 sin 5
exp ,sin 5 cos5
t t tAt e
t t
故初值问题的解为
3 cos5 sin 5 1 0 0( )
sin 5 cos5 0 1 1t t t
t et t
3( )
0
cos5( ) sin 5( )
sin 5( ) cos5( ) 0
st t s t s t s ee ds
t s t s
3 sin 5
cos5t te
t
3 4
0
cos5 cos5 sin 5 sin 5
sin 5 cos5 cos5 sin 5
tt s t s t se e ds
t s t s
43
4
4cos5 46sin 5 41.
41 46cos5 4sin 5 5
tt
t
t t ee
t t e
三 拉普拉斯变换的应用
(1) 定义
( ) ,f t n设 为 维函数列向量 定义其拉普拉斯变换为
0[ ( )] ( ) ,stL f t e f t dt
' ( ),x Ax f t , ( )A n n f t a t b .这里 为 矩阵 在 上连续
常系数线性微分方程组 :
1 用拉普拉斯变换解微分方程组
(2) 定理 12
( ), 0 0,f t M 如果对向量函数 存在常数 及使不等式
( ) , (5.62)tf t Me
,t对所有充分大的成立 则初值问题' ( ), (0) ;x Ax f t x
'( ) ( ), ( ) (5.62)t t f t 的解 及其导数 均像 一样满足类似, .的不等式 从而它们的拉普拉斯变换都存在
(3) 推论
( ), 0 0,f t M 如果对数值函数 存在常数 及使不等式
( ) ,tf t Me
,t对所有充分大的成立 则常系数线性微分方程的初值问题
1
1 1( )
n n
nn n
d x d xa a x f t
dt dt
)1(
0)1()1(
0'
0 )0(,,)0(,)0( nn xxxxxx
n .的解及其直到 阶导数均存在拉普拉斯变换
例 11 利用拉普拉斯变换求解例 10.
解 将方程写成分量形式 , 即'1 1 23 5 tx x x e
'2 1 25 3x x x
1 2(0) 0, (0) 1 1 1 2 2( ) [ ( )], ( ) [ ( )]X s L t X s L t 令
1 1 2 2( ), ( )x t x t Laplace 以 代入方程组后对方程施行 变换得
1 1 2
1( ) 3 ( ) 5 ( )
1sX s X s X s
s
2 1 2( ) 1 5 ( ) 3 ( )sX s X s X s
1 2
1( 3) ( ) 5 ( )
1s X s X s
s
1 25 ( ) ( 3) ( ) 1X s s X s
由此解得
1 2 2 2 2
1 3 5 1( ) [4 46 4 ]
41 ( 3) 5 ( 3) 5 1
sX s
s s s
2 2 2 2 2
1 3 5 1( ) [46 4 5 ]
41 ( 3) 5 ( 3) 5 1
sX s
s s s
故 3 4
1
1( ) (4cos5 46sin 5 4 )
41t tt e t t e
3 42
1( ) (46cos5 4sin 5 5 )
41t tt e t t e
即
例 12 试求方程组'1 1 2
'2 1 2
2,
4
x x x
x x x
满足初始条件 1 1 2(0) 1 ( ( ), ( )),t t 2(0)=0, 的解
解 1 1 2 2( ) [ ( )], ( ) [ ( )]X s L t X s L t 令
1 1 2 2( ), ( )x t x t ,假设 满足微分方程组
对方程组取拉普拉斯变换得
1 1 1 2( ) (0) 2 ( ) ( )sX s X s X s
2 2 1 2( ) (0) ( ) 4 ( )sX s X s X s
即1 2 1( 2) ( ) ( ) (0) 0s X s X s
1 2 2( ) ( 4) ( ) (0) 1X s s X s
解得1 2
1( ) ,
( 3)X s
s
2 2
1 1( )
( 3) ( 3)X s
s s
故3
1( ) ,tt te 3 32 ( ) t tt e te 3(1 ) tt e
例 13 试求方程组'' ' '1 1 2 2
' '1 1 2
2 2 0,
2 2 t
x x x x
x x x e
满足初始条件 1 1
1 2
(0) 0
( ( ), ( )).t t
2(0)=3, (0)=2,
的解解 1 1 2 2( ) [ ( )], ( ) [ ( )]X s L t X s L t 令
1 1 2 2( ), ( )x t x t 以 代入方程组后对方程施行拉普拉斯变换得
21 1 2 2[ ( ) 3 2] 2[ ( ) 3] ( ) 2 ( ) 0s X s s sX s sX s X s
1 1 2
2[ ( ) 3] 2 ( ) ( )
1sX s X s sX s
s
整理后得2
1 2( 2 ) ( ) ( 2) ( ) 3 4s s X s s X s s
1 2
3 1( 2) ( ) ( )
1
ss X s sX s
s
解得1
1 1 1( )
1 1 2X s
s s s
2
1 1( )
1 1X s
s s
再取反变换得2
1( ) ,t t tt e e e
2 ( ) .t tt e e
2 用拉普拉斯变换求基解矩阵
' , (5.33)x Ax对常系数齐线性微分方程组
( ) (5.33) (0) ,t 设 是 满足 的解
( ) [ ( )],X s L t令 则
( - ) ( ) , (5.63)sE A X s det( - ) 0 ,sE A Grammer当 时由 法则
(5.63) ( ), ( )X s t可唯一解出 从而可解出
1 2 1 2, , , , ( ), ( ),
, ( ); ( ).n
n
e e e t t
t t
依次令 即可得基本解组
它们可构成基解矩阵
例 14 试构造方程组 'x Ax 的一个基解矩阵 , 其中3 1 1
2 0 1 .
1 1 2
A
解 对方程两边施行拉普拉斯变换得( ) - ( ),sX s AX s
即 ( - ) ( ) ,sE A X s
也即 1 1
2 2
3 3
-3 1 -1 ( )
-2 -1 ( ) ,
-1 1 - 2 ( )
s X s
s X s
s X s
由克莱姆法则 , 有 1 2 31 2
( 1)( )
( 2)
sX s
s
2
1 2 22 2
(2 1) ( 5 5) ( 1)( )
( 1)( 2)
s s s sX s
s s
1 2 3 3
3( )( 1)( 2) ( 2)
X ss s s
1, 0, 0, 1 2 3令 可得
1 2
( 1)( )
( 2)
sX s
s
2 2
2 3( )
( 1)( 2)
sX s
s s
1 1
1 2s s
2
1 1
( 2) ( 2)s s
2
1 1 1
1 2 ( 2)s s s
3
1( )
( 1)( 2)X s
s s
2 2 2( ) (1 ) , ( ) (1 ) , ( ) ,t t t t tt t e x t t e e x t e e 1 2 3故x
从而2
21
2
(1 )
( ) (1 ) ,
t
t t
t t
t e
t t e e
e e
0, 1, 0, 1 2 3其次令 得2
22
2
( ) ,
t
t t
t t
te
t e te
e e
0, 0, 1, 1 2 3最后令 得
2
23
2
( ) ,
t
t
t
te
t te
e
故基解矩阵
1 2 3( ) [ ( ), ( ), ( )]t t t t 2 2 2
2 2 2
2 2 2
(1 )
(1 )
t t t
t t t t t
t t t t t
t e te te
t e e e te te
e e e e e
且(0) .E
作业
P236 2, 4(b),5(a)
P236 5(c),6(a),7,
P237 8, 10(a),11